（信号与信息处理专业论文）光场的计算与相位恢复的方法研究.pdf

摘要 近年来，相位恢复算法己经成为一个很重要的研究领域，这主要是由于相位恢 复算法在信号复原、设计光学衍射元件等方面有所应用。其中极具代表性的有g s 算法、迭代傅里叶变换算法及y g 算法。迄今为止，相位恢复算法研究的大部分工作 都集中在如何提高收敛速率和精确度上。 本文概述了研究相位恢复算法的意义、起源及发展状况；详细介绍了各种由光 强反复迭代得到相位分布的方法和通过解光强分布传输方程得到相位分布的方法。 由于g s 算法常常陷于局部极小的困境，使计算进程陷入几乎完全停滞的状态，本文 中提出了一种改进型的g s 算法，利用中间结果及一个加权因子来切换初始条件，该 算法能够方便而随机地切换初始相位从而达到在一定程度上克服上述缺点的目的， 并进行了模拟试验，证明了该算法的可行性。 另外，w e b 服务是近年来发展的热点，它是一种崭新的信息交换手段，本文提 出了一种基于相位恢复的w e b 服务的解决方案，对、 ，e b 服务进行了简单的介绍，对 于具体实现中的问题也进行了研究，并进行了模拟试验，证明了该方案的可行性。 关键词相位恢复，g s 算法，w e b j i 务 a b s t r a c t r e c e n t l y , t h ep h a s er e t r i e v a la l g o r i t h mh a sb e e nav e r yi m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d ， m a i n l yb e c a u s eo fi t sa p p l i c a t i o ni ns i g n a lr e c o v e r ya n dd e s i g n i n gd i f f r a c t i v eo p t i c a l e l e m e n t s i nt h a tf i e l d , t h eg sa l g o r i t h m i f ta l g o r i t h ma n dy - ga l g o r i t h ma v e r y r e p r e s e n t a t i v e s of a r , m a i n l yj o b so fp h a s er e t r i e v a la l g o r i t h mr e s e a r c hh a v ef o c u s e do n i m p r o v i n gt h ec o n v e r g e n c es p e e da n dt h ep r e c i s i o n i nt h i sp a p e r , t h ea u t h o rs t u d i e dt h es i g n i f i c a n c e , o r i g i n s ，a n dd e v e l o p m e n to ft h e p h a s er e t r i e v a la l g o r i t h m , d a t a i l e d l yi n t r o d u c e da l lk i n d so fm e t h o d so fo b t a i n i n gt h e p h a s ed i s t r i b u t i o nb yr e p e a t e d l y i t e r a t e st h e l i g h ti n t e n s i t ya n db ys o l v i n gt h e t r a n s m i s s i o ne q u a t i o no fl i g h ti n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n u s u a l l yg sa l g o r i t h mf a l l si n t oa s t a t e m e n to fl o c a lm i n i m u m ，w h i c hc e u s e st h a tt h ec o m p u t a t i o nc o u r s ef a l l si n t on e a r l y c o m p l e t e l ys t a g n a n c y t h e r e f o r e , i nt h i sp a p e r , 锄a d v a n c e dv e r s i o ng sa l g o r i t h mh a s b e e nd e s i g n e d ，w h i c hu s e sap a r a i n e t e rt oc r e a t eaw e i g h t e da v e r a g eo ft h ei n t e r m e d i a t e c a l c u l a t e dr e s u l t sa n dt h e ng i v e san e wi n i t i a lp h a s ec o n d i t i o n t h e r e f o r et h ei n i t i a lp h a s e c o n d i t i o nc a l lb es w i t c h e dq u i c k l ya n dr a n d o m l yt oo v e r c o m et h i sd i s a d v a n t a g e ，a n d t h es i m u l a t i o ne x p e r i m e n tp r o v e dt h ef e a s i b i l i t yo f t h ea l g n r i t i n n i na d d i t i o n ，t h ew e bs e r v i c ei sah o t s p o to ft h ed e v e l o p m e n tr e c e n t l y , a n di ti sa b r a n d - n e wm e a n so f i n f o r m a t i o ne x c h a n g e i nt h i sp a p e r , w ep r o p o s e das o l u t i o no f w e b s e r v i c eb a s e do np h a s er e t r i e v a l ，a n ds i m p l yi n t r o d u c e dt h ew e bs e r v i c e t h es p e c i f i c p r o b l e m si nr e a l i z a t i o nw e r ea l s os t u d i e d t h es i m u l a t i o nt e s tw a sd o n es ot h a tw ep r o v e d t h ef e a s i b i l i t yo f t h ea l g o r i t h m k e y w o r d sp h a s er e t r i e v a l ，g sa l g o r i t h m ，w e bs e r v i c e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。掘我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛穆盔鬓他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 芦亳“垃 签字日期：勺7 年哥月巧日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解渐数犊保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门襄机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权盛碉嗡将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名左吾眦导师签名： 签字日期：右 年矸月万日 签字日期 学位论文作者毕业去向： 工作单位 通讯地址 电话 邮编 孝蠓之z - 趵1 年千 月歹6 日 第章绪论 第一章绪论 近些年来，人们对相位恢复算法进行了广泛的研究，这主要是由于相位恢复在 光束整形、设计光学衍射元件等方面都能够有所应用，从光强测量中恢复光学相位 的问题备受重视。迄今为止，已有很多有影响的相位恢复算法，它们都能够在所应 用的范围内有较好的效果，比如g s 算法【1 】，i f t 算法 2 1 ，遗传算法 3 1 ，y - g 算法 4 1 ， f o u r i e r 变换法【5 】，格林函数方法【6 j 等，并且相位恢复算法研究的大部分工作都集中在 如何提高收敛速率和精确度上。但是这些算法并不能保证迭代过程总收敛到正确解， 在实际计算中效果不够理想。本章将要简单介绍相位恢复算法的起源、应用、研究 相位恢复方法的目的和方向 1 1 相位恢复的简介 在物理学许多领域中存在一个经典问题，即如何利用容易测量的强度信息找回 丢失了的位相信息，重建波函数，这就是熟知的相位恢复问题l ”。 相位恢复( p h a s er e t r i e v a l ) 是一类从实际应用中提出的信号处理问题垆】。在实际 问题中，直接测量的数据常常只是波场的强度分布，而波场的相位分布往往很难直 接测量，甚至是不可能的。因此，从强度测量数据来恢复相位分布的问题一直受到 人们广泛的关注。相位恢复算法即是这种由强度测量数据导出辐射源的振幅相位的 方法，并且相位恢复也是一类重要的求逆问题。 1 1 1 相位恢复算法 相位恢复算法最先是针对物与像之间的关系仅限于傅里叶变换关系( 像场只记 录强度信息丢失相位信息) 而提出来的方法。利用傅里叶变换可以将信号或图像从时 光场的计算与相位恢复的方法研究 域到频域反复地进行变换，在反复变换中加进去希望的限制对信号在两个域中进行 反复修改，使得最后得到的是所希望的信号或图像。这个想法最初是g e r c h b e r g 和 s a x t o n 提出来的【l 】o 其目的在于由给定光学复信号的幅度和它的傅里叶变换的幅度 来决定该信号的相位，也就是决定该信号。 i i 2 相位恢复算法的分类 相位恢复的方法一般可分为光学测量与数字算法两类1 9 】。就测量方法而言，可 以借助数字算法的思想来建立一个光学系统来实现它，如建立一个h 1 b e n 变换系统， 或建立一个g e d c h b e r g - s a ) 【t o n 反馈回路等。也可以避开数字算法的思想，直接设计一 个实验系统来测量相位因子，如利用高阶光学相关，或者利用四波混频技术产生一 个镜像光场等。而在本文中只研究相位恢复的算法 1 2 相位恢复算法的发展 早在1 9 7 1 年，g e r f h b e r g 和s a x t o n 提出由两强度测量数据来恢复输入和输出平 面上光场相位分布的实际算法，并给出了在目标域和频域交替迭代的方法，就是从 给定的傅里叶模恢复目标信号，即g s 算法【l 】。 随后，f i e n u p 等人提出了各种有效地修正算法。其中j r f i e n u p i 正明了g s 算法具 有明显的误差下降的性质，并且提出了几种迭代傅里叶变换的( i t e r a t i v ef o u d e r t r a n s f o r m ，简称i f t ) 算法 2 】，其中包括误差减j 法( 2 ) ( e r r o r - r e d u c t i o n ，简称e r ) 和混 合输入输出法 2 ( h y b d di n p u t - o u t p u t ，简称h i o ) 的改进，而且该算法被认为是目前 相位恢复领域中最好的算法。遗憾的是i f t 算法并不能保证迭代过程总收敛到正确 解，有时甚至会停滞在某个局部极小值附近而不能逃出。 由于这些算法都只适用于么正变换系统，杨国祯和顾本源提出任意线性变换系 统中振幅相位恢复的一般理论和杨一顾算法( 简称y g 算法) 【4 】，并且成功地应用到 2 第一章绪论 各种实际问题和各种变换系统中去。而在此期间，又出现了其他算法诸如共扼梯度 法、模拟退火法【3 】、遗传算法【3 】【1 2 增多种有效果的改进算法，它们都进一步改进了 g s 算法。为了避免迭代算法计算量过大，并解决收敛性依赖于初始相位分布选择的 问题，d a l l a s 1 0 l 和h u i s e r t 埂提出了直接方法计算相位分布，但每步计算中存在的 多解选择问题，没能很好地得以解决。 1 3 相位恢复算法的应用 傅里叶变换系统中的相位恢复问题在很多方面都有所应用，如天文学、衍射光 学、全息成像、电子显微镜学以及逆源问题等都有重要的应用 1 3 1 光束整形 光波整形元件是近代光学应用中的基本元件之一，激光器发出的激光束的强度 分布一般呈高斯分布，即高斯激光束。而激光热处理等实际应用时希望激光束是均 匀分布的，如何把高斯分布的强度转换成均匀分布的强度，这就是所谓的光束整形 问题。g s 算法和y g 算法等许多相位恢复算法都可以应用于这一问题。 1 3 2 信号复原 在x 射线结晶学、天文图像处理、地震信号处理等领域中嗍，常常观测不到希 望的信号或图像( 晶格分子结构图、星云图像、地层反射时间序列等) 。但从观测信 号可以得到信号或图像的傅里叶变换幅度。所以希望依据所得到的傅里叶变换幅度 重建信号或图像。例如：以一维情况为例，希望所得到的复振幅是x ( n ) ，但直接观测 不到。我们就假定通过某种物理和分析方法能够得到此复振幅的傅里叶振幅i x ( u ) l 。 相位恢复问题就是要找x ( n ) 的傅里叶变换相位q ( u ) ，实现信号重建的过程。现已成为 3 光场的计算与相位恢复的方法研究 信号复原和重建的基本方法之一。 1 3 3 衍射光学元件 由于衍射相位元件的设计问题十分类似于光学变换系统中相位恢复问题，所以 y - g 算法创造性地从理论上推广到多波长混合光照明的光学系统中，应用于各种衍 射光学元件的设计过程中，并且能够实现诸波长信号分开和同时聚焦到同一平面上 预定位置的综合功能，并且设计和制作集多功能于一体的衍射相位元件，开辟了衍 射相位元件设计的新途径。 1 3 4 其它方面 目前，g s 算法在电子显微技术方面应用较广。g s 反演方法可以应用于恢复高 功率激光装置的低频相位噪声，还为设计合理的相位板提供依据，同时也为光束诊 断系统提供了一种测量相位的方法。 同时，采用迭代傅里叶变换算法可设计二元计算全息图，计算与目标物相关的 迭代相位，使物波频谱具有有限带宽和平滑性。能够改善恢复图像的质量，提高衍 射的效率。 近年来，遗传算法在物理学中得到了一定程度的应用，如设计d a m m a n n 光栅， 光学特征识别等等。 相位恢复算法最先应用于可见光波段【1 3 】。但文献f 1 4 】中，发现相位恢复算法在x 射线波段对于去除孪生像的收敛速度最快也取得了很好的效果。而且混合输入输出 算法和误差减少算法都可以应用，但混合输入输出算法的收敛速度最快。 4 第一章绪论 1 4 研究目的，方向及创新 由于光的频率较高，现有仪器只能采集光场的强度信息，而无法直接获取其相位 信息。借助强度信息来进行光场的相位恢复是非常必要的。目前对于相位恢复算法 的研究非常多，从更普遍的角度来考虑，应该是加强对所建立的模型算法具有更加 好的普适度的研究，只是我们还没有寻找到更适合的方法。在1 9 7 1 年至今的这几十 年的时间里，无论是在相位恢复算法的理论模型研究方面，还是对相位恢复算法的 具体应用方面都取得了很多丰硕的成果，通过分析这些前人的成果，作者认为研究 相位恢复算法主要有以下几个方面的目的【l ： ( 1 ) 研究相位恢复算法的适用范围内的精确性，比如加权因子、代换参数方程、 均方差等参数因子，并探索何种方法更适合恢复所需范围内的相位，使得所依据判 断的参数因子更符合满意的精度； ( 2 ) 建立有助于相位恢复的具体模型； ( 3 ) 帮助我们更好的利用相位恢复算法。， 目前，相位恢复算法的研究主要集中在以下几个方面： ( 1 ) 扩大研究的范围，探索我们尚未触及的领域。在过去的几年的时间内，g s 算法等典型的相位恢复算法已经被认真的研究，并被有效的修改过；近年，针对菲涅 耳区的算法已经开始得到仔细的研究，那么在将来，还可以将这个研究领域进一步 扩大： ( 2 ) 建立新的相位恢复模型，并对己有的模型进行改进，使其更加完善、更趋 于合理的精确度： ( 3 1 研究并寻找新的数学工具应用到相位恢复算法中，并使其在其它范围内可 以成为有效算法，增加它的精确度。 迄今为止，对于相位恢复算法的研究己经取得了多方面的成果。从1 9 7 1 年g s 算 法的提出，到如今各种相位恢复算法的百花齐放，一再成为研究的热点。虽然，大 部分的算法都取得过令人满意的效果，但这些算法并不能保证迭代过程总收敛到正 确解，在实际计算中效果不够理想。 光场的计算与相位恢复的方法研究 在本文中，为了了解相位恢复算法的历史背景和研究进展，对相位恢复算法理 论基本研究范围内进行了系统的总结，并对其中所涉及的数学工具，比如傅里叶变 换也做了深入的了解，对一系列修改的有效算法进行模拟研究，真正从理论到模拟 应用上理解了其内在的思想。 本文对g s 算法进行了改进，利用中间计算结果及加权因子来切换初始条件， 并取得了一定成果，该算法方便而随机地切换初始相位从而在一定程度上克服了g s 算法容易陷入局部极小的困境； 同时，w e b 服务是由于为了在整个因特网中实现对服务的自由访问而提出的一 种崭新的模式或信息交换手段，本文提出把相位恢复做成一种w e b 服务的解决方 案，并进行了基于相位恢复的w e b 服务解决方案的模拟试验，证明了该方案的可 行性，并解决了一些软件实现的具体问题。 6 第二章相位恢复算法的介绍 第二章相位恢复算法的介绍 在物理学的许多领域中，都存在着一个经典问题，即如何由测得的强度分布或 微分截面来重新恢复复振幅，这就是熟知的所谓相位恢复问题 7 1 。由强度来恢复相 位，它普遍地出现在天文学，衍射光学，电子显微学，x 射线晶体学，全息成像以 及逆源问题等诸多领域中1 1 1 | ，例如，在x 射线结构分析中，只能够测定结构因子 的绝对值大小，相位信息明显地丢失了；在散射问题中，由散射分布( 微分截面) 只给出散射振幅的绝对值平方，但是其相位信息是确定相互作用所必不可少的资料； 在利用光学显微镜或电子显微镜来确定物体的结构时，同样地也会出现类似的问题： 直接可观测的物理量是显微镜中像平面或某些其它平面上的强度分布，它们只给出 这些平面上光或电子波函数的绝对值平方。但在实际系统中直接测量的数据常常只 是波场的强度分布，而波场韵相位分布往往很难直接测量，甚至是不可能的。因此， 从强度测量数据来恢复相位分布的问题一直受到人们的广泛关注。 然而在许多问题中，需要知道波函数的相位。由此可见，相位恢复问题是很有 意义的和十分重要的问题。 如果已经知道输入平面的相位分布和输出平面的振幅分布，如何恢复输入平面 的振幅和输出平面的相位，或者已经知道输入平面的振幅和输出平面的相位，如何 恢复输入平面的相位和输出平面的振幅。这类问题称作混合型振幅和相位恢复问题， 简称混合型问题。例如：彭桓武等已经提出一种调相聚焦激光加速器的设计方案f 1 6 】。 该方案中的关键问题之一是如何设计无损耗的纯相位调制板，以保证粒子不断获得 加速。纯相位调制板的设计问题实质上就是混合型问题。 当然，还可能存在一类问题，即已知输入和输出平面的相位，如何恢复它们的 振幅。 下面将普遍地讨论光学系统中振幅和相位恢复问题。从算符矩阵理论出发讨 论一般的成象过程，用严格的数学方法推导出一组用以决定振幅和相位的方程。通 7 光场的计算与相位恢复的方法研究 过这组方程和迭代计算方法，能够求解各种振幅和相位恢复问题，诸如纯相位型纯 振幅型和混合型恢复问题【l n1 扪。 一成象过程的形式理论 一般成象过程的示意图如下图所示， p l p 2 图2 1 成象过程示意图 i m a g ef o r m a t i o np r o c e s ss k e t c hm a p 其中p 。是输入平面，其光场分布为 u l ( x 1 户pl ( x o e x p i 中l ( x 1 ) 】 ( 2 1 ) p 2 是输出平面，其光场分布为 u 2 ( x ：) = p2 ( x 2 ) e x p i q d 2 ( x 2 ) ( 2 - 2 ) 下面简单讨论一维情况。 光学系统的作用是把u 1 ( x 1 ) 转换成u 2 ( x 2 ) ，这种变换可以用线性算符g 描述， 不同的g 表示不同的光学系统或同一系统不同的过程。于是有 u 2 ( x 2 户gu l ( x 1 )( 2 - 3 ) 和 u i ( x i ) = g 4u 2 ( x 9 ( 2 - 4 ) 对于无损耗的光学系统，g 为幺正算符，以下我们将限于讨论这种情况。 一般说来，振幅和相位恢复问题可以分为三类： l 纯相位型：已知pi ( x 1 ) 和p 2 ( x 9 ，求们( x 1 ) 和啦( x 2 ) ； 2 混合型：已知q l ( x 1 ) 和p2 ( x 2 ) ，求pl ( x 1 ) 和啦( x 2 ) ，或者已知pl ( x 1 ) 和q 1 2 ( x 2 ) ， 求叩l ( x 1 ) 和p2 ( x 2 ) ； 8 第二章相位恢复算法的介绍 3 纯振幅型：己知i p l ( x 1 ) 和q , 2 ( x 2 ) ，求p i ( x 1 ) 和p2 ( x 2 ) 。 二基本方程1 7 1 就实际的物理问题而言，我们可以假定波函数u 1 ( x 1 ) 和u 2 ( x 2 ) 是带限的。根据 取样定理，能够用有限数目取样点上的数值来描述波函数。如果我们设取样点的数 目为n ，那么，u l ( x 1 ) 和u 2 ( x 9 均可表示成n 的单列矩阵，幺正算符g 可以用n x n 的矩阵h 表示。具体地说u l ，u 2 和h 的矩阵元可表示成 t i l l = pi ie x p i p n ( 2 - 5 ) u 抽= p 2 me x p i q l 2 m ( 2 - 6 ) 以及 ， u 2 i n = h m l u l l ，l ，m = l ，2 ，3 ，n ( 2 - 7 ) ，- i 所谓振幅和相位恢复问题就是从u u 和u 2 。中的已知的部分信息恢复其未知 部分信息，条件是u l 和u 2 必须满足上式。为了描述两个矩阵u l 和h u 2 的逼近程 度，我们引进一个量一距离d ，其定义为 d 2 = i i u l h u 2 ；百1 | u l l 椰2 ) l p t i = 1 = t r u l u l + + u 2u 2 + 2 r e ( u ：i - i u 0 ( 2 - 8 ) v 其中t r 表示矩阵的阵迹，r e 表示复数取实部，u i + 和u 2 + 分别表示u l 和u 2 的共轭 矩阵。如果d = o ，意味着矩阵u l 与h u 2 之间相应的矩阵元全部相等；如果恻o o ， 那么它们相应的矩阵元之间平均偏差等于d 0 。 于是，振幅和相位恢复问题可以归结为求解下列变分方程： 对于纯相位型钿舭d 2 = o ( 2 - 9 ) 对于混合型 6 pl 一2 i f = 0 或6 1 ，p 2 d 2 。o ( 2 一1 0 ) 对于纯振幅型6 pl ，p 2 1 f = 0 ( 2 - 1 1 ) 上式中d 2 表示对距离d 2 取微分。在离散情况下，通过分别变动q l ，叩2 ，p i 和p2 使得d 2 取极小值的条件，我们得到它们必须满足的方程组为 光场的计算与相位恢复的方法研究 pi k = r e e x p ( i c p l k ) h i k p 2 1e x p ( 一i r a 2 0 ， ( 2 - 1 2 ) f p2 k = r e e x p ( - i q 2 k ) h k l pi le x p ( i q h o ， ( 2 _ 1 3 ) ， e x p ( k p i d = 【h i k p 2 1e x p ( i 啦0 i 【h l k p 2 1e x p ( i q 2 0 i ， ( 2 1 4 ) ， e x p ( i q 2 k ) = 【h k l pi ie x p ( i q o l 0 l 【h u p l le x p ( i q h 0 i ，( 2 - 1 5 ) ， i 上面四式即是振幅和相位恢复问题的基本方程组，式中k ，i = 1 ，2 ，3 ，n ， n 为取样点数。可以用迭代计算方法求解上式，反复迭代直到d 值小于给定的误差， 从而得到们和叩2 利用上面四式和迭代计算方法，可以统一地求解三种类型的恢复问题，即纯相 位型恢复问题，纯振幅型恢复问题和混合型恢复问题，这三种类型的恢复问题在光 学设计和光学信息处理中是很重要的。 下面介绍各种具体的方法，在光学中，由光强分布恢复相位的方法大体可分为 两类： l由光强反复迭代得到相位分布的方法； 2 通过解光强分布传输方程( t r a n s p o r to fi n t e n s i t ye q u a t i o n ，i t e ) 得到相位分布的方法。 属于第一类的有g s 算法，i f l r 算法及杨顾算法，属于第二类的有f o u r i e r 变换 法j 格林函数方法，泽尔尼克多项式( z e m i k ep o l y n o m i a l s ) 法【2 0 l ，波前传输方程 ( w a v e f r o n t t r a n s p o r t e q u a t i o n ，w t e ) 1 2 1 】。 2 1 迭代法 对于电子显微技术中由双强度测量恢复相位的比较成功和有效的算法是1 9 7 1 年g e r c h b e r g 和s a x t o n 提出的一套g s 算法【1 1 ，随后，不少学者提出了有效的修正 的g s 算法1 2 l 。其中单强度测量恢复相位问题，可以利用解析函数特有的性质或应 用取样定理来实现相位恢复。但上述的方法只适用于f o u d 盯相位恢复问题。1 9 8 1 1 0 第二章相位恢复算法的介绍 年以来，顾本源和杨国桢以及董碧珍等人根据一般光学变换理论公式，提出了一般 变换下系统的振幅相位恢复的更普遍的描述方式，并由严格的数学推导，给出确定 振幅相位的方程组，利用迭代的方法，可以处理各种各样的振幅相位问题瞄】。下 面就将介绍这几种相位恢复算法。 lg s 算法、。 在目前解决相位恢复问题的算法体系中，g s 算法最具代表性，有时它能够很 快地收敛并得到误差较小的结果，尤其是针对输入输出平面之间存在解析傅里叶变 换对的情况。 大多数的相位恢复算法都是g s 算法的修改，因此下面简单将原理简述为： 设光束在近场的光场函数为 u l ( x l ，y n ) = i u l ( x b y o l e x p i 审l ( x l ，y 1 ) 】 ( 2 - 1 6 ) 其对应的焦平面上的光场函数为 u 2 ( x 2 ，y 2 ) = i u 2 ( x 2 ，y 2 ) l e x p i 叩2 ( x 2 ，y 2 ) 】( 2 - 1 7 ) 其中| u l ( x l y 1 ) 1 2 ，i u 2 ( x 2 , y 2 ) 2 为光强分布，p l ( x l ，y 1 ) ，靶( x 2 ，y 2 ) 为相位分布，根据 傅里叶光学原理，它们满足正反傅里叶变换的关系 u 2 ( x 2 , y 2 ) = f u l ( x i ，y 1 ) ( 2 1 8 ) u l ( x l ，y l 产f _ 1 u 2 ( x 2 ，y 2 ) ( 2 - 1 9 ) g s 方法指出，由测量得到近场光强分布和焦平面光强分布，通过迭代求解正反 傅里叶变换，可以得到光束的相位分布。其中误差控制量8 定义为 萨【i u l ( x 1 ，y o i - i u 2 ( x 2 ，y 2 ) 1 2 l u , ( xn , y oj2(2-20) 原理框图： 光场的计算与相位恢复的方法研究 图2 - 2g s 算法原理框图 t h es c h e m a t i cd i a g r a mo f g sa l g o r i t h m 下面简单归纳g s 算法的步骤： ( 1 ) 先任意给定一输入面上的初始分布p ( x ，y ) ( 以后的迭代结果就保留( 4 ) 计算得 到的相位) ，与入射光振幅分布i f 仅y ) i 构成入射波函 数f 【x ，y ) 圆对f i x , y ) 作傅里叶变换得g ( u v ) ( 3 ) 用g ( u ，v ) 的相位部分与输出面上希望得到的振幅分布i g ( u ，v ) l 构成函数g ( u ，v ) ( 4 ) 对g ( u ，v ) 作傅里叶逆变换得到下一步迭代波函数f ( x ，y ) ( 取f y ) 的相位部 分代入( 1 ) 中，代替叩( b y ) ) ； 重复以上步骤直至均方误差s s e ( s u m s q u a r ee r r o r ) t j , 于预先规定的指标6 ： s s e = 【( i g ( u 、，) j - | g ( u ，v ) 1 ) 2 d u d v i g ( u ，v ) 1 2 d u d v - x k ( m ，n ) 】。 注意x “m ，n ) 和x k + l ( m 1 1 ) 都满足目标域限制，但按定义，在任何点( m ，n ) ， 是距离x 舢，1 1 ) 最近且满足目标域限制的值。因此对所有点，有 f x k + l ( m ，l i ) - x k ( m ，n ) l l x k ( m ，n ) - x k ( m ，n ) i 于是有e o d 艮 ( 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) x h l ( m 柚 ( 2 2 9 ) 另一方面，由p a r s c v a l 定理，有 e o k = x x l x k + , ( u , v ) - x k ( 1 l v ) f 4 m n( 2 - 3 0 ) x k ( u ，v ) 和x k + l ( u ，v ) 都满足频域限制，它们的模都是i x o ( u ，v ) j o 但按定义，x h l ( u ，v ) 是距离x k + l ( 1 l ，v ) 最近且满足频域限制的值，在所有频率点都有 i x k + t ( u , v ) - x k + l ( u ，v ) i s l x k + i ( u ，v ) - x k ( u ，v ) l ( 2 - 31 ) 因此有e 咐l ! 丑o k 。组合上面的结果，得到e 哪! 玺岫k 垒h 。这就证明了基本算法的误 差下降性质。 因此，基本算法也称为误差下降( e r r o r - r e d u c t i o n ，简称e r ) 算法。 误差下降算法虽具有误差下降性质，但是在几步迭代以后，误差下降就变得越 来越缓慢。 除了误差下降算法外，f i e n u p 还建议了一种混合输入输出( h y b r i di n p u t - o u t p u t ， 简称h i o ) 算法。它与e r 算法的差别在于第步。在e r 算法中，是对x k ( m ，n ) 简 单地实施目标域限制来获得x k + l ( m 神。而在混合输入输出算法中，将获得的x k + 1 ( m ，n ) 的规则表达为 均刚i ) ；广均加油，着0 砌师属于7 lm r n 喇r r m ) ，棚肝1 r ( 2 - 3 2 ) 1 4 第二章相位恢复算法的介绍 式中，b 是一个常数，可以取在0 5 到1 0 之间。实际计算表明，混合输入输出算法 不能保证误差下降的性质，而且常常造成解的扰动。 因此，组合误差下降算法和混合输入输出算法常常能够逃出停滞现象。如果加 上目标域限制，算法常常能很快地达到收敛，正确地重建目标 典型的i f t 算法可以从误差下降算法迭代开始，然后用混合输入输出算法和误 差下降算法混合迭代。b 的典型值是0 7 ，实践证明，正确的并且紧的目标支持域限 制能够大大加快收敛。因此如果可能，总是设法估计一个目标支持域。 在某些例子中，只需要几十次迭代就能重建正确的目标。遗憾的是，i f t 算法 不总是收敛到正确的解。基本困难是。i f t 算法依据的价格函数是非凸的，它可能有 多个局部极小值。因此，i f t 算法可能停滞在某个不正确的解上 算法研究的经验表明，如果有多个不同的算法，它们依据不同的价格函数，但 各个价格函数有公共的全局极小值，那么交替使用这些不同的算法就可能提高正确 收敛的概率。在i f t 基础上修改成的算法对正确重建概率的改善非常有限。 如果迭代算法停滞时误差函数呈现较大的数值，就可以确认算法没有收敛到真 实的目标。闯题的难点在于可能出现这样的情况，价格函数己经达到了很低的值， 但解并不正确。这种现象称为解的模糊。从本质上说，这是相位恢复算法的弱收敛 性质决定的。 迭代算法广泛应用于相位恢复。由在空域和频域加限制条件的系列离散傅里叶 变换构成迭代傅里叶变换算法，能够改善恢复象质量，提高衍射效率。 3 基于g s 算法的最陡下降法( s t e e p e s t - d e s c e n tm e t h o d ，s d m ) 它是梯度搜索算法之一，定义f o u r i e r 域中平方误差 b k = e 2 f k = z 【i f 。) ( u ) i - i f ( u ) 1 2 n 2 ( 2 - 3 3 ) 作为误差的度量，去寻求一组参量，使b k 极小。这样一来，对每次迭代中间结果 施加另一限制，加速收敛过程。还有一种称作共轭梯度法，也能够改善收敛情况。 4分数阶傅立叶变换系统中的g s 算法1 2 3 1 光场的计算与相位恢复的方法研究 一般认为，g s 算法是适用于f o u r i e r 变换系统的种有效的相位恢复算法【”。 近几年，分数阶傅立叶变换的提出及它的光学实现引起了人们的广泛兴趣。最近有 人把g s 算法引进了分数阶傅立叶变换系统和f r e s n e l 变换系统。数值模拟表明，g s 算法是适用于分数阶傅立叶变换系统和f r e s n e l 变换系统的有效算法。 j7 ： j1 2 董o l 。 苫0 6 旦 就0 4 z0 ( a ) o2 0 0 4 0 0 6 0 03 1 0 0 0 p 啊小l 阻嘲_ ( b ) 图2 - 4光束整形系统 ( a ) 光束整形系统 理想输出 ( a ) b e a ms h a p i n gs y s t e m ( b ) i d e a lo u t p u t 杨国桢和顾本源历经数载努力，提出任意线性变换系统中相位恢复的一般理论 和杨一顾算法，并且成功地应用在各种变换系统中解决各种实际问题，提出逆问题可 1 6 第二章相位恢复算法的介绍 分为三类：纯相位型，纯振幅型，振幅相位混合型，并给出相应方程组和有效的迭 代算法。而g s 算法是y g 算法在么正光学系统下的情况，y g 算法同g s 算法一样， 对于初始值非常敏感。 y - g 算法的原理简介： 一个典型的光学系统可以用上图表示。其中p l ，p 2 为输入面和输出面。其间 可以有各种光学元件可，其性能由g 表示。 由y - g 算法，得到两个迭代公式： 懿p ( 一i 2 曲。；q i 。i q i 【l ( 2 3 4 ) q k = y p l e e x p ( - i 2 n h j x ) a 业( ”】- p 2 f e x p ( - i 啦j ) g 业( 纠 ( j ，k = 1 , 2 ，n ；j k ；a = g + g ) ( 2 - 3 5 ) e x p ( i q 曲= gm p t mx e x p ( i 2 n h i m ，【| g 一p h n 。e x p ( i 2 h h i 】 日m ，n = l 2 ，1 d( 2 3 6 ) 其中n 为输入输出面的采样点数，a ，盘，kl 分别为输入面振幅、输出面振幅、整 形光束波长和衍射光学元件表面浮雕的刻蚀深度。 6傅立叶变换系统中的递推算法2 s l 假定输入平面的波场分布是来自于波源函数颤x ) ，f 【u ) 和g ( x ) 之间满足关系：- f “g ( x ) = f 【u ) ， ( 2 3 7 ) ( f 是傅立叶变换算子， f g ( x ) 表示甙x ) 的傅立叶变换) 其中o r e b u i l d - s e t u p m c c - bc s g l s h a r e dl i b ：t e s t l i bt e s t p l e a s ec h o o s ey o u rc o m p i l e rf o rb u i l d i n gs t a n d a l o n em a t l a b a p p l i c a t i o n s ： w o u l dy o ul i k em b u i l dt ol o c a t ei n s t a l l e dc o m p i l e r sl v f n ? s e l e c tac o m p i l e r ： 1 】l c cc v e r s i o n2 4i nc ： m a t l a b 7 0 l 协s u c c 2 m i c r o s o f tv i s u a lc c * v e r s i o n7 1 i nc a p r o g r a mf i i 铝q v l i c r o rv i s u a l s t u d i o n e t2 0 0 3 0 n o n e 注意此时应选择：m i c r o s o f tv i s u a lc c + + v e r s i o n7 1i n p a t hl o c a t i o n ” m i c r o s o f tv i s u a ls t u d i o n e t2 0 0 3 选项此处p a t hl o c a t i o n 是你安装v s n e t 的路径 名 ( 2 ) 设置系统路径。打开“我的电脑一属性一高级环境变量一系统变量 p a t h ”选项，增加以下路径：头文件目录：“m a t l a bp a t h ”e x t e m i n c l u d e ； 库文件目录：“m a t l a bp a t h ”e x t e r n l i b w i n 3 2 m i c r o s o f t m s v e 7 ：d l l 文件目 录： m a t l a bp a t h 、b i n 、w i n 3 2 一 ( 3 ) 编写m 文件。注意只能是函数文件，而不能是脚本文件，否则将无法编 第四章基于相位恢复的w e b 服务解决方案 译 ( 4 ) 生成c o m 组件。在m a t l a b 命令窗口敲人c o m t o o l 。出现c o mb u i l d e r 窗口。选择f i l e - - n e w p r o j e c t 选项。出现一个界面，在c o m p o n e n t n a m e 文本框中设 置c o m 组件的名称，注意不要和m 文件重名。在c l a s sn a m e 框中设置类名，一般将 鼠标点击空白位置系统会自动生成。p r o j e c t v e r s i o n 是版本号，系统默认为1 0 。p r o j e c t d i r e g t o r y 是工程所在目录。c o m p l i e ro p t i o n s 是编译器配置选项可根据需要选择。 完成设置后点击o k ，系统会出现对话框，询问是否创建工程目录，点击确定。 此时出现另一界面，点击p r o j o c t f i l e s - - - a d df i l e 添加刚才编译好的m 文件然后点 击b u i l d _ 一c o mo b i e c t ，此时c o mb u i l d e r 开始自动编译c o m 组件，生成所需的头 文件、源文件、接口描述文件、动态链接库文件等，在右侧的b u i l ds t a t u s 显示框中 显示编译的过程和信息。点击菜单c o m p o n e n t - - c o m p o n e n ti n f o 可以查找关于接口、 类、库的信息，点击c o m p o n e n t - - p a c k a g ec o m p o n e n t - 1 以将文件打包。文件保存后 打开刚才保存的文件夹可以看到有两个新建的文件夹d i s t r i b 和s r c ，这里包含了在调 用中需要用到的文件、库、资源、接口等。 二n e t 下剑调用c o m 组件。 由于c o m 组件和n e t 组件依赖于不同的内部结构，因此它们天生就是不兼容 的。但微软公司在n e ts d k 中提供了一些工具，使用这些工具可以为n e t 组件生成c o m 代理，也可以为c o m 组件生成n e t 代理。( 1 ) 注册类型库；若要 正确地发送调用，运行库可能需要查找描述特定类型的类型库，类