（水利水电工程专业论文）日径流预报方法研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 通过对历史径流资料的分析，进行流域目径流预报，其预报结果不仅能够为梯级 系统的发电优化调度提供决策支持和依据，而且，对水电系统的经济运行和航运、防 洪等方面具有重大意义。) ，一 ，l 本文具体结合“可视化清江梯级水电综合调度仿真研究”项目，深入探讨了径 流预报的相关方法。适当整理现有历史观测资料后，根据模型的适用范围，建立了几 种预报模型。最4 - 乘法建立降雨径流模型用于洪水期径流描述，时间序列分析建 立枯水期径流预报模型，神经网络模型、遗传算法模型及其联合模型进行年日径流预 报。 首先，利用径流流量及降雨资料建立了线性降雨径流模型。传统的降雨一径流模 型理论已经相当成熟，但由于现有资料的限制而无法建立，且传统模型有计算量、工 作量大，不便于移植的缺点。故而，本文充分利用计算机计算上的优势以最小二乘法 建立了流量与降雨量的相关关系模型，用于洪水期径流描述。 其次，本文根据a r m a 系列模型的特点、相关分析方法及建模方法，结合现有数 据资料，给出了枯水期径流预报的a r 模型，经过实例验证，取得了较好的效果。 然后，作为本文的研究重点，在第四章、第五章引入神经网络、遗传算法等非线 性理论与模型，尝试用三层b p 网络模型和遗传算法模型模拟全年的同径流过程。进 而将两种算法结合起来，建立联合模型。在网络结构与算法优化等方面做了有益的探 讨，同时，对各个模型进行了预测结果验证与比较分析，其结果证明是可行的。 关键字：径流预报，降雨一径流，时间序列，a r 模型， 人工神经网络，b p 算法，遗传算法 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h em o d e l sa r ec o n s t r u c t e dt of o r e c a s tt h ev a l u eo f d a l l yr u n o f f i t sr e s u l t n o to n l yp r o v i d e st h ee v i d e n c eo f d e c i s i o n - m a k i n g ，b u ta l s oi m p a c t sg r e a t l y o ne c o n o m i c a l o p e r a t i o no f h y d r o p o w e rs y s t e m ，n a v i g a t i o n ，f l o o dc o n t r o l l i n ga n ds oo n t h e t h e o r ya n dd e v e l o p m e n to f f o r e c a s t i n gi sr e f i e w e d ，a n dt h ec o r r e l a t i v em e t h o d so f r u n o f fp r e d i c t i o na r ed i s c u s s e dd e e p l ya s s o c i a t e dw i t i lt h ep r o j c c to f “v i r t u a lc a s c a d e d s c h e d u l eo f q i n g j i a n g h y d r o p o w e rs y s t e m ”t h ec o r r e c ta n di n t e g r a t e dd a t ai sg a i n e da f t e r d i s p o s i n g t h eh i s t o r i c a ld a t at ob ef i tf o r u s i n g i nm o d e l s u s e dt h ed a t ao fr u n o f fa n dr a i n f a l l ，am o d e lo fr a i n f a l l - r u n o f fi sb u i l ti nc h a p t e r2 t r a d i t i o n a lt h e o r yo f r a i n f a l l - r u n o f f h a sb e e ng r o w n u p b u t b e c a u s eo f t h el a c ko f h o l d i n g d a t a , i t sv e r yd i f f i c d tt ob eb u i l t a tt h es a m et i m e ，t r a d i t i o n a lm o d e lt a k e st o om u c ht i m e t ob ec o n s t r u c t e da n dc o m p u t e d , a n dd o e s n ts u i tt ob er e p l a n t e d u s i n gt h ea d v a n c eo f c o m p m c rac o r r e l a t i o nm o d e lo fr u n o f fa n dr a i n f a l li sb u i l t t od e s c r i b et h ef l u s h - w a t e r p e r i o d t h em a i nt h e o r yo ft i m es e r i e s ，e s p e c i a l l yt h el i n e a rs t a t i o n a r yt i m es e r i e s ，h a sb e e n g r o w nu p i th a sb e e nu s e dt oc o n t r o la n df o r e c a s ti n v a r i o u sf i e l d s i nt h i sp a p e r , t h e c h a r a c t e m ，c o r r e l a t i v ea n a l y s i sm e t h o d sa n dm o d e l i n gp r o c e s so fa r m as e r i e s a r e i n t r o d u c e d a rm o d e li sg i v e na c c o r d i n gt oc o r r e l a t i v ea n a l y s i sb a s e do na v m l a b l ed a t at o f o r e c a s tt h er u n o f f i nd r o u g h t p e r i o d b yp r a c t i c e ，g o o dm s d t i sa t t a i n e d t h et w oa b o v em o d e l so n l yc a nm a k eg o o dr e s u l ti ns o m ep a r t so fa n n u a lr u n o f f , d e c a u s ei ti sd i 伍c u l tt od e s c r i b ear u n o f fc o u r s ew i t hl i n e a rs y s t e mi nt h en a t u r e t h e n o n l i n e a rs y s t e m ss u c ha sa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k , g e n e t i ca l g o r i t h ma r ei n t r o d u c e d b p m o d e lw i t l lt h et h r e e l a y e ra n dg am o d e la i f o u n d e dt os i m u l a t et h ea l l y e a rr u n o f f m o r e o v e r t h eu n i t e dm o d e lc o m b i n e st h et w oa l g o r i t h m st of o r e c a s t a f t e rm 她s o m e u s e f u lr e s e a r c ht oo p t i m i z et h en e t w o r kc o n s t r u c ta n d a l g o r i t h m ，t h eu n i t e d m o d e l sa t eu s e d t op r e d i c tt h ea n n u a lr u n o f f , a n di ti sf e a s i b l eb yt e s t k e yw o r d s ：r u n o f f f o r e c a s t i n g ，r a i n f a l l r u n o f f , t i m es e r i e s ，a u t o r e g r e s s i v em o d e l ，a r t i f i c i a l n e u r a ln e t w o r k , b a c k p r o p a g a t i o na l g o r i t h m ，g e n e t i ca l g o r i t h m 华中科技大学硕士学位论文 1 1 引言 i 径流预报理论与方法综述 本课题来源于重点科技攻关项目“可视化清江梯级水电综合调度仿真研究”。该 研究项目由以下几大模块组成：梯级系统长期优化调度、梯缴短期优化调度、j 内a g c 、 径流预报和不稳定流计算。本文针对入库径流的不确定性，进行径流预报的模型及算 法研究。 水库调度的实施过程是“预报，决策，实施，再预报，再决策，再实施”这样一 个循环往复不断向前的滚动决策过程。它既要考虑近期效益，又要考虑长期效益。既 要考虑面i 临时段内的径流变化，又要顾及径流的长期变化规律。从科学和合理性出发 建立的水库调度规则( 或图) ，充分考虑了径流长期变化规律和水库长期运行规律，是 指导水库运行的科学依据“。 可见，预报在水库调度规则中的重要作用。径流预报的准确性对由此作出的调度 方案的最优性至关重要。 此外，径流预报在防洪、发电、航运、环保以及实现经济可持续发展等综合效益 方面也发挥了重要作用。1 。在水电信息进行预演、评估，实现综合分析与最优调度仿 真，检验流域梯级水电能源的运行管理和调度质量，充分发挥水电工程的综合效益， 提供最大的调峰发电效益，实现大型水电厂梯级水电综合调度决策过程的自动化、智 能化工程中起到了重要作用。 1 2 论文涉及的径流预报理论、方法综述 1 2 i 径流预报的常规方法 据不完全统计，目前全国水情站有8 4 0 0 多处，已开展预报的测站有1 1 0 0 多处， 预报河段总长度达1 0 万多公里。1 。在径流预报迅速发展的同时，形成了一套行之有效 的预报方法，按预报期长短可分为长期预报和短期预报等。简要描述如下： 华中科技大学硕士学位论文 长期预报根据长系列历史径流资料，计算各时段入库径流量的统计特征参数值( 均 值、方差、变差系数等) ，采用皮尔逊型分布。长系列历史径流数据的统计均值， 是期望值的无偏估计，可简单地用年该时段的入库流量平均值来作为入库径流的估 计值。 短期径流预报主要采用降雨一径流模型和方法。此法根据流域内雨量站的分布特 点，采用泰森多边形法或等雨量线法估计流域内的降雨量，用物理模型和数学模型相 结合的方法，建立降雨一径流模型，从而进行径流预报。此模型主要涉及平均降雨量 计算和汇流计算“1 。 根据清江现有的水文资料情况和项目需求，确定了以日径流流量为目标的预报方 案，针对这一目标，结合目前掌握的技术情况，建立了线性降雨一径流模型、时间序 列模型、神经网络模型、遗传算法模型及其联合模型，1 2 2 1 2 5 小节将简要叙述 模型建立的理论基础。 1 2 2 最小二乘法 在传统的降雨一径流模型基础上，尝试建立降雨量与径流量之间的相关关系。这种 通过观察输入输出数据对确定未知系统数学模型的闯题，通常称做系统辨识。最小二 乘法是系统辨识中用于线性模型的常用方法。 最d , z 乘法是功能强大的研究成熟的数学工具，提出并应用在各个领域中，包括 自适应控制、信号处理和统计，已有几十年的历史。至今，它们仍被证明是建立线形 数学模型最基本的必不可少的工具。最小二乘法提供了在平方误差最小的意义下实现 线性模型，与实验数据达到最佳匹配的数学方法o 。 1 2 3 时间序列分析及其应用 径流由降雨形成，而降雨后由于土壤、植被等的调蓄作用，使一部分降雨量要延 迟一段时间才能汇入水库形成径流，这样，水库的入库流量在相邻两时段之间存在相 关关系。即径流流量形成一个时间序列。 所谓时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序 华中科技大学硕士学位论文 排列而成的数列“1 。数列彼此之间存在着统计上的依赖关系。而且时间序列是所研究 系统的历史行为的客观记录，因而它包含了系统结构特征及其运行规律。因此，可以 通过对时间序列的研究来认识系统的结构特征，揭示其运行规律，进而用以预测、控 制其未来行为；修正和重新设计系统( 如改变其周期、参数) ，使之按照新的结构运 行。 1 2 4 神经网络理论及其应用 早在2 0 世纪初，人们已经知道人脑是由大量基本单元经过复杂的相互连接而成的 一种高度复杂的、非线性的、并行处理的信息处理系统。单个神经元的反应速度是 在毫秒级，但由于人脑神经元数量巨大，每个神经元可与几千个其他神经元连接，对 有些问题的处理速度反而比计算机快得多。因此，人们想从模仿人脑智能的角度出发， 构造一种更接近人类智能的信息处理系统来解决实际工程和科学研究领域中传统方 式难以解决的问题，这就促使人们研究人工神经网络系统。近年来，神经网络已在模 式识别与图象处理、控制及优化、金融预测与管理、通信等领域得到了广泛应用。 1 2 5 遗传算法及其应用 遗传算法是h o l l a n d 在6 0 年代提出的，由于该算法简单、易用，且对很多优化 问题能够较容易地给出令人满意的解，所以得到广泛应用，其影响也越来越大。 遗传算法是基于自然选择和基因遗传学原理的随机搜索算法，在遗传过程中，新一代 的个体不断地在总体特性上超过旧的一代，从而使整个群体向优良的、更适应环境的 品质发展m 。 遗传算法的核心问题是寻找求解优化问题的效率与稳定性之间的有机协调性，即 所谓的鲁棒性( r o b u s t n e s s ) 。人工系统一般很难达到如生物系统那样的鲁棒性。遗 传算法吸取了自然生物系统“适者生存”的进化原理，从而使它能够提供一个复杂空 间中进行鲁棒搜索的方法。由于遗传算法具有计算简单和功能强大的特点，它对于参 数搜索空间基本上不要求苛刻的条件( 如连续、导数存在及单峰等) ，所以遗传算法 在许多工程优化问题的求解上得以广泛地应用。 华中科技大学硕士学位论文 1 3 本文主要内容及章节安排 由于径流过程是一个涉及到水文、气象及力学的复杂的力学系统”1 ，这种确定性 动力系统中的混沌行为是一种内在的非线性现象，从这个意义上讲，系统是不可预测 的，初始时相邻的轨迹会以指数速度分离，但短期预测又是可行的。因此，本文在前 人研究的基础上尝试将最小二乘法、时间序列分析、人工神经网络、遗传算法等理论 和方法用于日径流的描述和预报，取得了良好的效果。 文章围绕日径流预报这一研究中心，按照模型建立顺序组织章节。 第1 章为全文综述，简要说明了文中用到的最小二乘法、时间序列分析、人工神 经网络、遗传算法等理论及主要特点。 第2 章讲述了以最小二乘法建立的线性降雨一径流模型。在传统的降雨一径流模型 的基础上进行适当简化，根据清江流域的具体情况，建立各水文站点流量值与相应时 段降雨量的函数关系，以最小二乘法确定模型系数，建立了简单易行的降雨一径流关 系模型，2 2 3 节将其应用于洪水期径流描述，取得了很好的模拟效果。 第3 章讲述时问序列分析的含义、分类，通过对平稳时间序列模型特性的研究， 经过模型识别、定阶、参数估计建立了枯水期日径流预报的时间序列模型。3 3 节将 模型应用于渔峡口等水文站，进行径流预报与分析，取得了很好的效果。并且，在3 4 节中引入降雨量，将模型进行了进一步改进。 第4 章讲述人工神经模型的特点、分类、描述等，进一步将e b p 网络应用于全年 日径流预报。4 3 节以清江渔峡口水文站为例，对神经网络在径流预报中的应用进行 了深入探讨，并对预报结果进行了总结分析。 第5 章讨论遗传算法的特点、模型原理、编码方法、遗传算子等，在此基础上将 遗传算法应用于径流预报中，用以确定当前径流流量与前期流量的关系，对全年日径 流量进行预测，以期扩大模型的使用范围和预报准确性。但遗传算法本身也存在一定 的局限性，遗传算法在优化搜索中基本上不用外部信息，仅用适应度函数为寻优依据。 适应度函数的调整会影响函数的收敛速度，延长计算时间，5 4 节将神经网络与遗传 算法结合起来，建立联合模型。取长补短，以最小的代价获得最优的结果。 华中科技大学硕士学位论文 2 降雨径流模型的建立与分析 2 1 传统的降雨径流模型 传统的短期径流预报中，主要采用降雨径流模型。因为由降雨到形成河流某断面 的流量是一种复杂的变化，要准确预报，通常要采用比较严密的计算方法。由于同一 时刻降在流域各处的雨水离开水库入口断面有远近之分，流速也不一定相同，故不可 能在另一个同一时刻汇集到水库入口处，即流域调蓄作用使降雨到径流有一个过程， 可能分布在不同的几个时段上。此时采用等流时线法9 1 建立模型，具体介绍如下： 根据流域的地形地貌和时段长度缸，将流域分成几块等流时面积，分别为 一， ， ，一场持续个时段长的降雨，设j 时段降在第等时面积上的平均雨量 为 ! ”，则这场降雨形成的出流过程为： q - ：盟 。 f q ：= 古( ：1 + f 2 厶) q ，= 古( 趟工+ _ i l i 2 + p 六) 幺= 去( 掣 蝴6 。( 2 ) ，f ：”州p ) ( i = 1 ，2 ，聊+ n _ 1 ) ( 2 - 1 ) 其中，当i m 或少仃时，髓力= 0 ，当k m + 月时，g = 0 。 等流时线法可从一场降雨的过程及降雨的区域( 即降雨的时空分布) ，计算出径 流的流量过程线，如果降雨的时空分布测得较准，则计算的流量过程是非常准确的， 由于要用到各雨量站各时刻的雨量及流域地理信息，计算工作量大。 上述径流预报方法涉及的主要因素有：长系列历史径流数据、雨量站地理分布图 华中科技大学硕士学位论文 及实测降雨数据、流域内各水文站实测径流数据、流域地理信息。而根据清江流域的 具体情况，历史径流数据不足，缺少流域地理信息数据，这些现实条件都严重的影响 了降雨径流模型的建立。为解决这一矛盾，引入最小二乘法以建立降雨一径流模型。 在模型建立之前必须进行数据整理。 2 2 现有资料及数据预处理 2 2 1 清江径流概况 清江位于鄂西南山区，是长江中游南岸的一条较大支流，河流自西向东，流经l o 个县市，全长4 2 3 k m ，总落差1 4 3 0 m ，流域面积1 7 0 0 0 k m 2 。流域形状呈狭长形，东西 长，南北窄，地势自西向东倾斜。流域山势陡峭，河谷深切，坡陡流急。 清江流域气候属亚热带季风气候区，气候温和，雨量丰富，年降雨量1 4 0 0 r a m ，年 径流量1 3 3 亿m 3 。清江系山区河流，坡降陡，降雨汇流快，河槽调蓄能力小，流域境 内多暴雨，一遇暴雨便发生洪水，洪水陡涨陡落，峰高量小，常常给下游带来损失， 危及下游和荆江河段的防洪安全。 清江流域水能资源丰富，清江梯级装机容量大，总装机容量3 4 5 2 i 哪，联合运行年 发电量8 1 6 亿脚h 。为湖北省电能供应基地之一，是华中电网理想的调峰电源。流 域各电厂在电网生产运行中发挥着蓄丰补枯、调峰调频等巨大作用。干流水电工程具 有防洪、发电、航运等巨大的综合效益。因此，如何利用高新技术和手段快速扑捉流 域的水情、雨情、工情、电情，合理进行流域梯级水库和发电生产以及跨流域补偿综 合调度成为清江流域梯级水电综合调度所面临的一项重大课题。 2 2 2 现有径流资料 现有清江流域部分水文站1 9 9 6 1 9 9 9 年四年的历史流量资料，各水文站记录历 史资料多少有所不同。同时，根据流量变化大小以及径流利用程度不同，每天记录2 6 个时段流量数据，枯水期和丰水期不等。同样，各水文站降雨资料也随降雨量的不 同，观测点密集程度有所区别，使得对不同水文站点所得到的信息量有很大差异。 华中科技大学硕士学位论文 由于缺乏长系列历史数据、流域地理信息和气象信息等相关数据资料，径流预报 难以从流域物理成因入手，只能从统计角度出发分析现有数据，力争找出其内在规律， 在满足航运、防洪、环保的基本要求下，为制定最优发电计划提供依据。 2 2 3 数据预处理 由于观测误差、观测数据缺失等影响，必须对所得到的资料进行认真的检查、归 纳和整理。必要时还需要进行适当的预处理。 l 、数据的采集 为了数字计算处理上的方便，按照一定的时间间隔对所研究系统的响应进行记录 和采样。以清江流域降雨数据为例，一天分四个时段，每六个小时采集一次降雨值。 以日为单位进行降雨量处理时，将各水文站点每天各时段的降雨量相加，得到日降雨 量。 2 、离群点的检验与处理 离群点是指一个序列中，远离序列一般水平的极端大值和极端小值。如图2 - 1 所 描述的是清江流域恩施水文站记录的1 9 9 8 年1 0 月下半月的流量数据。从图形中可以 直观地看出，时段7 的径流流量大大高于其它时段的径流流量，从序列来看，x t 远离 了序列x 。，称x ，为离群点。 05 0 0 疽4 0 0 ：辞 叫3 0 0 鬟 2 0 0 1 0 0 0 三三二三；e7今 小z 、。，一一：一一一- ：一一k - 一卜一卑一2 - - p 矿i iy 下i骶：f i o _ 、r _ 一q _ l4t1 3z z3 7 期( 单位： 幽改进模型实测与拟合数据 此时，模型的平均误差为 。 最小二乘多项式总是可以很好地拟合数据，但鲁棒性不好一数据集上的微小噪 声都将严重影响整条曲线，使之变得不可信。另外，由于模型在枯水期拟合效果很不 理想，拟合数据集的大小也有一定要求，使得该方法的应用范围受到了很大限制。 华中科技大学硕士学位论文 3 时间序列分析及在日径流预报中的应用 3 1 时间序列分析的一般问题 3 1 1 时间序列的含义 从数学意义上讲，设x ( t ：t e t ) 是一个随机过程，x t 。( i = l ，2 ，) 是在时刻i 对过程x ( t ) 的观测值，则x t 。( i = l ，2 ，) 称为一次样本实现，也就是一个时间序列。 从系统意义上看，时间序列就是某一系统在不同时间( 地点、条件等) 的响应。 这个定义从系统运行的观点出发，不仅指出时间序列是按一定顺序排列而成的；这里 的“一定顺序”既可以是时间顺序，也可以是具有各种不同意义的物理量，如代表温 度，速度或其它单调递增地取值的物理量。可见，时间序列只强调顺序的重要性，而 并非强调必须以时间序列排列“”。 综上所述，时间序列具有如下特点：首先，序列中的数据或数据点的位置依赖于 时间，即数据的取值依赖于时间的变化，但不一定是时间t 的严格函数。其次，每一 时刻上的取值或数据点的位置具有一定的随机性，不可能完全准确地用历史值预测。 再次，前后时刻( 不一定是相邻时刻) 的数值或数据点的位置有一定的相关性，这种 相关性就是系统的动态规律性。最后，从整体上看，时间序列往往呈现某种趋势性或 出现周期性变化的现象1 。 3 1 2 时间序列分析 不论是经济领域中每年的产值、国民收入，还是自然领域的月降雨量、河流流量 等等，都形成了一个时间序列o “。所有这些序列的基本点就是每一个序列包含了产生 该序列的系统的历史行为的全部信息。时间序列分析的基本思想是根据系统的有限长 度的运行记录( 观察数据) ，建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存 关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预测。 时间序列分析的基本特征就是研究序列随时间发展的模式。其次，时间序列中的 观察值之间存在着一定的依存关系。再次，时间序列分析是根据某一变量与其它相关 华中科技大学硕士学位论文 变量过去的变化规律来预测未来的变化。任何运动都有一定的惯性，这种惯性就表现 为系统的动态性即记忆性。因而，人们可以通过研究时间序列中数值上的统计相关关 系，来揭示相应系统的动态结构特征及其发展变化规律。 一元时序模型不像回归模型那样是根据因果关系，而是根据被预测变量过去的变 化规律性来建立模型，然后利用这个模型来预测该变量未来的变化“。时序分析的作 用主要有以下几个方面： 对理论性模型与数据进行适度检验，以讨论模型是否能正确地表示所观测的现象。 刻画系统所处的状态及其结构性，从而达到认识和解释系统之目的。 描述系统的运动规律性，从而达到认识规律和掌握规律性之目的。 预测系统的未来行为，从而达到利用规律之目的。 控制系统的未来行为，从而达到利用和支配系统之目的。 3 2 平稳时间序列模型 平稳时间序列模型可以分为自回归( a r ) 模型、滑动平均( m a ) 模型、自回归滑动 平均( a r m a ) 模型。本文主要应用a r 模型，对m a 和a r m a 模型可参考文献【5 】、 1 8 1 。 对于观测序列 x 。 ，如果x 。仅与过去p 时段的观测值f x 。，x 。，x 。，) 有关，与 x i _ ，( j p ) 无关，用记忆性来说，即是系统具有p 期记忆，也就是p 阶动态性“。描述 这种关系的数学模型就是p 阶自回归( a u t o r e g r e s s i v e ) 模型，即 = 张一l + 伊2 一2 + + 妒p 一p + 口f ( 3 - 1 ) t = l ，2 ，3 ， 其中仍，仍，为自回归系数，q 是均值为零，方差为o 。2 的正态分布白噪声， 这样的模型记为a r ( p ) 。 3 2 1 时间序列模型的特性 上面简述了常用的时间序列模型，在此将讨论表征模型( 或系统) 动态特性的几种 函数，它们常用来分析系统的稳定性和可逆性，以及进行模式识别。 华中科技大学硕士学位论文 i 、格林函数g j 对a r m a 模型 t = g ，b 口，= g ，q g 。；l ， ( 3 2 ) j = o。0 式中的系数g j 称为格林函数。可见g j 把x t 表示成口，及其既往的乜，线性组合，用 以说明口及其既往值如何影响着响应x 。 由于格林函数就是差分方程解的系数函数，其意义可概括如下： g j 是前j 个时间单位以前进入系统的扰动口。对系统现在行为( 响应) 影响的 权数。 g ，客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。 g ，是系统动态的真实描述。系统的动态性就是蕴含在时间序列中的数据依存 关系。具体地讲，对于一个平稳系统来说，就是系统在某一时刻，由于受到 进入系统的扰动口的作用，离开其平衡位置( 即平均数一零) ，g j 描述系统回 到均衡位置，g ，的值较小，速度较快；g ，的值较大，回复的速度就较慢。 格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数。 以a r ( 1 ) 模型为例讨论低阶模型的格林函数及其稳定性的问题。 对a r ( i ) 模型 t = 州口。= g j 口。 ( 3 3 ) i = oi = o 其中 g ，= 伊f ，_ ，= o ，1 ，2 ， ( 3 - 4 ) 对于a r ( 1 ) 模型，如果i 他i 0 时，x 、+ 与口，不相关，所以e x t 。口。 ：o 。用r o 除( 3 7 ) 式的两边，得 p k = 吼n l + 仍n ，2 + + n 1 ，k 0 ( 3 8 ) 由( 3 7 ) 与( 3 8 ) 两边可以看出，自协方差函数与自相关函数是具有相同形式的差分方 程。将( 3 - 8 ) 式写成 伊( b 如t = o ， o ， ( 3 9 ) 其中孽，( b ) = 1 - 9 i b 一妒2 8 2 一一尹，b p ( 3 1 0 ) 这晕的b 是对k 而不是对t 进行运算。如果妒( b ) 能分解成 伊( b ) ：血( 1 一w b l ( 3 - 1 1 ) 扭l 则( 3 - 9 ) 式的通解是 p k = c l w l 一+ c 2 w 2 一+ c p w p - k ，七 - p ( 3 1 2 ) 由此可见，a r 模型的自相关函数p 。是由指数衰减( 实根) 和衰减正弦波( 复根) 组 华中科技大学硕士学位论文 成。因而p 。的尾部不可能在延迟某步之后等于零，而是按负指数衰减，具有拖尾性。 从m a 序列的自协方差函数和自相关函数可以看出，模型具有截尾性。 3 、偏自相关函数 由上可知，对于a r 及a r m a 系统来说，其自相关函数表现为拖尾，截尾性唯m a 模型所特有。那么，怎样识别a r 模型昵? 这就需要研究偏自相关函数。 对k = l ，2 ，分别考虑用x 。，x 。l i “x t + 对x 。作最小方差估计，即选择系数 钆( j = 1 ，2 ，) ，使得 万= e 置- z i - n 置， 2 万= e | 置置，i lj t = ，0 2 ，j + 吼_ 一。 ( 3 1 3 ) j - ll ，t l 达到极小。令害 ：o ，得到应该满足的线性方程组 。妒b 二 l 届 吼一i 届 l - , o k 一2 p l p 1 ： p k ( 3 1 4 ) 上式就是著名的y u l e - w a l k e r 方程，系数矩阵为t o e p l i t z 矩阵。利用c r a m e r 法则， 可得 2 l 岛 p 2 ： p 女一l 。p k 一2风 p k 4p 2 p i 一卢b p 1p k np 2p i 一 l p l咋一2 见l所一3 p i 一2 。3 1 ( 3 1 5 ) 可见，伊。是表示了在给定x 。x 2 ，x 。* - 的条件下，x t 和x ，t 的条件相关，故称为 偏自相关函数。可以看出，当k p 时，a r ( p ) 过程的行列式巾。将变为零，对于a r 模 型来说，第k 个偏自相关系数尹。就是a r 模型中x n 的回归系数，那么，对于a r ( p ) ；纵 vli-_l_-i几 卅 a 风 岛，n ；陬 华中科技大学硕士学位论文 模型，有 尹1 l = 仍，p 2 2 = e p 2 ，p 伊= 妒p ，= 0 ，k y p ( 3 1 6 ) 可见，a r ( p ) 模型偏自相关函数p 步截尾。 3 2 2 平稳时间序列模型的建立 利用所得到的有限长度的平稳序列样本，通过模型的识别、模型的定阶、模型的 参数估计等步骤建立适合的模型。 1 、模型识别 对于一个观察序列，从各种模型中选择一个与其实际过程相吻合的模型结构，就 是模型的识别问题。在此讨论根据样本自相关、偏自相关函数的截尾、拖尾性初步判 断序列所适合的模型类别。 首先，计算样本均值及其标准差，如果序列均值显著非零，则要用样本均值作为 其估计对序列进行零均值化或将其作为一个参数进行估计。零均值平稳序列的自相关 函数和偏自相关函数的统计特性如下： 模型a r ( p )m h ( q )a r m a ( p ，q ) 自相关函数拖尾截尾拖尾 偏自相关函数截尾拖尾拖尾 可以依据这些性质来初步确定模型的类型。 ( 1 ) 若p 。序列在q 步截尾并且由n 序列被负指数函数控制收敛到零，则可判断 x t 为m h ( q ) 序列。 ( 2 ) 若巾。序列在p 步截尾，并且p 。序列被负指数函数控制收敛到零，则可判断 x 。为a r ( p ) 序列。 ( 3 ) 若p 。序列与由。序列皆不截尾，但都被负指数函数控制收敛到零，则x 。很 有可能是a r m a 序列。 若p 。、巾。序列无以上特征，而是出现了缓慢衰减或周期性等情况，则说明序列 不是平稳的，须采用非平稳序列的分析方法建模。 2 、模型定阶 华中科技大学硕士学位论文 选择合适的模型类别后，就要根据实际的观测数据具体地确定该类数学模型所包 含的项数，这就是模型定阶。 目前有很多定阶准则，在此简要介绍几种。 ( 1 ) 残差方差图定阶法 用一系列阶数逐渐递增的模型进行拟合，通过观察阶数增大时模型的残差方差的 变化情况，选择合适的模型阶数。此法最大不足，就是没有一个定量的准则，判定的 阶数具有主观性。 ( 2 ) 自相关函数和偏自相关函数定阶法 平稳序列的自相关及偏自相关函数具有较为规范的统计特性，如前所述，因此可 用于模型定阶，但该法判定的阶数也只能是作为初步的参考值，还需结合其它方法确 定出精确的阶数。 另外，还有f 检验定阶法，最佳准则函数法定阶法如f p e 准则、a i c 准则等。文 中主要将上面介绍的两种方法结合起来使用。 3 、模型参数估计 选择合适的模型，确定阶数后，就需要对模型的相关参数进行估计。常用的方法 有线性递推算法“。、矩估计、最d ：- 乘估计等，在此介绍a r 模型参数的矩估计。 将y u l e w o l k e r 方程( 3 - 1 4 ) 变形，得： 吼i 仇2 ： 1 p i n l - 成一l a p 2 ： p o ( 3 1 7 ) 根据自协方差函数 r k = e 阮置一i ) = e 瞳h 。置一+ + 墨一。+ q ) 】 ( 3 1 8 ) 当k = 0 时， r o = 张，i + 妒2 r 2 + + 纸_ + 刃 ( 3 一1 9 ) 即 盯。2 = r o 一妒l 一妒2 r 2 - 一p 。_ ( 3 2 0 ) ；_j 一 4 风以一 华中科技大学硕士学位论文 对于m a 模型和a r m a 模型的矩估计，见参考文献1 6 。 4 、系统建模 对一系列的观测数据进行分析和处理，得出相应的数据模型，进而对系统进行控 制和预报，这就是系统建模。在此讨论平稳时间序列的建模方法。 b o x j e n k i n s 建模方法即通过零均值化处理平稳化处理相关分析参数估 计模型定阶建立模型。该方法是以相关分析为基础，以自相关函数、偏自相关函数 的统计特性为依据来实现的，但是，在建模之前，无法知道序列的理论自相关( 偏自 相关) 函数。样本自相关( 偏自相关) 函数作近似替代不可避免地会产生一定的误差。 p a n d i t w u 在b o x j e n k i n s 方法的基础上，于1 9 9 7 年提出了系统建模的新方法，具体 方法见参考文献 1 5 1 。 3 3 时序模型在径流预报中的应用 河流流量的变化具有很大的不确定性，但是在枯水期，流量变化比较平稳，对少 量离群点进行处理后，可用线性平稳时问序列模型来描述。 3 3 1 模型拟合 对于径流的中长期预报，平稳时间序列模型一般不适用，特别是对于流量变化比 较大的洪水期，流量呈偏态分布“。但是，枯水期的流量变化较平缓，且在均值附近 随机波动。这一点可以从图形上直观看出( 图3 1 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 03 0 奄 2 5 捌 苎2 0 _ 爝1 5 1 0 5 o 豢 2 i3 14 15 1 6 7 1 日期( 单位：d a y ) 图3 - 1 恩旋1 9 9 6 年春季径流量 由图可见，枯水期冬春季节的流量变化不大，对少数离群数据处理后，可看作平 稳过程。通过对径流序列进行相关分析，可以初步确定系统模型。 在此以渔峡口1 9 9 7 年冬季的流量为例，讨论系统的建模过程。 按前述2 2 3 节的方法对数据进行处理，建立相应的时间序列，对序列进行相关 分析，通过计算序列的自相关函数和偏自相关函数来初步判断模型的类型。 序列的自协方差函数用样本自协方差函数代替 五= 击五x h ，七= o ，i ，2 ，n 一1 (321)-iv ，- k + l 当序列均值为零( 或中心化处理后) 或为已知常数时，式( 3 2 1 ) 是有偏的 = ( 一钰 睁z z ， 偏差的期望为 e 以一矗) = - r k ( 3 - 2 3 ) 与样本的长度成反比，与滞后及理论自相关成正比“3 。当k 取某一个固定常数时，n 力是一个渐近无偏估计量。因而，下式是无偏的 2 万l _ 。萎一置。( 3 - 2 4 ) 华中科技大学硕士学位论文 通过计算，序列样本的自相关函数如下： 从上图可以看出，样本自相关函数表现出一定的拖尾性，如以平稳时间序列模型 拟合，则有可能是a r 模型或a r m a 模型，由此还不能判断系统的确切模型类别，还须 计算序列样本的偏自相关函数。 由( 3 1 7 ) 式计算样本偏自相关函数，计算结果如下： 样本偏自相关函数具有很明显的截尾性，而自相关函数又具有拖尾性，由此可判 断可用a r 模型来描述系统。 3 3 2 模型阶次与参数估计 确定模型类别后，就要进行阶次与参数估计。从上面的相关函数图可以看出，样 华中科技大学硕士学位论文 本偏自相关函数在l 阶之后截尾，可以初步判断为a r ( 1 ) 模型。 由图3 4 可以看出，当模型阶数为l 7 时，样本残差方差变化不大，从建模的“约 简性”原则出发，应选择模型a r ( 1 ) 。 搬1 2 0 0 妇 型1 0 0 0 8 0 0 6 0 0 4 0 0 2 0 0 0 12345678 91 01 11 21 31 4 图3 4 样本残差方差 阶数 顺便指出，由于此处针对枯水期径流，观测值相对较少，用最优函数准则( f p e 、 a i c 等) 确定阶次时，一般也会得出最优阶次为l 。因为观测序列较短，n 值较小，不 适合用最优函数准则定阶。 综上所述，系统模型为 x ，= 妒i x + a ，( 3 - 2 5 ) 计算自相关函数，得 j 岛一( 3 - 2 6 ) b = 0 9 6 3 由此根据( 3 4 1 ) 可得出偏自相关函数，即自回归系数 旷。- 0 9 6 3 ( 3 - 2 7 ) 即系统模型为 x ，= 0 9 6 3 x | - l + a ， ( 3 - 2 8 ) 残差方差为o 2 = 2 0 6 5 2 。 华中科技大学硕士学位论文 3 3 3 预测与误差分析 文中要解决的问题是在时刻t 用x ，x 。，对的x 。取值进行预测，而x 。是一 个未知的随机变量，因此一个直观的想法是用其条件期望值作为预测值。由于x 。之间 具有相关性，因而x 。+ 。的期望是有条件的，即 j ，o ) = e ( x ，+ ，f ，x 。，) ( 3 2 9 ) 有关和的条件期望具有以下定则： ( 1 ) 常量的条件期望是其本身 对序列而言，现在时刻与过去时刻的观测值及扰动的条件期望是其本身，既 e ( x tl x f 1 ，x ，- 2 ，) = x ，k t ( 3 - 3 0 ) e ( 口f 置一l ，z 一2 ，) = d k , k f ( 3 3 1 ) ( 2 ) 未来扰动的条件期望为零，即 e q i 置，x i 1 ，) = 0 , k t ( 3 - 3 2 ) ( 3 ) 未来取值的期望为未来取值的预测值，即 e 帆+ ， 墨，置+ ) = 置+ ，l ( 3 3 3 ) 对于模型( 3 2 8 ) ，一步预测值 丘( ) = e ( x 。) = e g 吼x i + 口。) = 9 1 x t = o 9 6 3 x , ( 3 3 4 ) 对清江流域渔峡口水文站1 9 9 8 年2 月初的只径流流量进行预报，预报结果如下 表3 1 所示。可以看出，预测的相对误差均控制在2 0 以内，说明a r 模型能较好地拟 合枯水期的径流过程。 a r 模型本身会产生系统误差，由此也会影响预测结果。首先是径流序列从观测数 据而来，不可避免的会存在一定的观测误差：其次，离群数据处理、归零化及数值计 算会产生一定的计算误差。模型预测时，一般由计算机进行计算，只要适当地提高计 算精度，减少由于数值计算引起的误差，就可以忽略系统误差对于枯水期预测精度的 影响。 华中科技大学硕士学位论文 表3 1 渔峡口水文站1 9 9 8 年2 月初的日径流流量 日期预报值实测值相对误差 1 9 9 8 2 0 19 3 1 51 0 6 3 31 2 4 0 1 9 9 8 2 0 21 0 2 3 91 0 9 0 06 0 6 1 9 9 8 2 0 3 9 8 6 09 1 8 07 4 1 1 9 9 8 2 0 48 8 4 0 1 0 6 2 71 6 8 2 1 9 9 8 2 0 5 1 0 2 3 49 6 9 35 5 8 1 9 9 8 2 0 69 3 3 49 3 6 3 o 3 0 1 9 9 8 2 0 7 9 0 1 69 6 3 36 4 1 1 9 9 8 2 0 89 2 7 6 8 6 6 07 1 1 1 9 9 8 2 0 98 3 3 98 1 8 0 1 9 4 1 9 9 8 1 2 1 07 8 6 28 4 5 3 6 9 9 将模型代入其它水文站进行枯水期流量预报，经过比较发现，虽然径流过程具有