（水力学及河流动力学专业论文）渭河下游非恒定流泥沙数学模型研究.pdf

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于艮距离的天然河道进行洪水演进和冲淤变形计算。所建模型已编制 成计算机释序，通过渭河下游实测水沙资料进行了验证。利用所建模型计算出的19 8 3 年7 月至l o 月渭河下游i i 自潼至华阴段汛期洪水的水位过程线、流量过程线以及含 沙越过程线均与相应实测资料吻合较好，计算结果表明模型具有较好的精度，说明 本文所建泥沙数学模型能够较好的反映河床变形实际情况，可以满足实际应刚要 求。 关键词：渭河泥沙数学模刑1 i 恒定流p r e is s m a n n 格式 美文摘要 d e v e l o p m e n t o fm a t h e m a t i c a lm o d e lf o ru n s t e a d y s e d i m e n tt r a n s p o r to ft h el o w e rw e i h er i v e r m 旬o r ：h y d r o d y n a m i c s d e b a t ed a t e ：2 0 0 3 3 a u t h o r ：z h a n g q i a n g t u t o r ：w a n g x i n h o n g t u t o r ：z h o u x i a o d e a 1 1 d 砌v e rd y n a m i c s s 追n a t u r e ： s i g n a t u r e ：w ，枷l n ， s i g n a t u r e ： a b s t r a c t ： l li so n eo ft h ei m p o 九a n lt a s k so fi h ey e l i o wr l v e rm a n a g e m e n lt h a tt o d e c r e a s et h es e d i m e n ts m a t i o nj nt h ei o w e rw e m er i v e rb yc h a n g i n gi h eo p e r a t i o nm o d e so f t h es a n m e n x i ap r o j e c ta n dr e d u c i n gt h et o n g o u a ne v a l u a t i o n a r e rt h er e d u c i i 。no f t h e t b n g g u a ne v a l u a t i o nw h e t h e rs c o u r i n go rd e p o s i t i n gw i i la c to nt h er i v e r 、v a y i nt h el o w e r w e j h er i v e ri sd i r e c t 】y 陀l a t i v et os i g n i 如c 明td e c i s i o n ss u c h s y n t h e t i c a lm a n a g e m e n t p r 。g r a m m i n g t h j sp a p e rd e v e i o p sam a t h e m a t i c a lm o d e lf o ru n s t e a d ys e d j m e n tt r a n s p o n o f t h ei o w e rw e i h er i v c rt op r o v i d cat o o l t or e s e a r c ht h es c o u r i n ga n dd e p o s i t i n gp r o c e s si n t h el o w e r 、i h er i v c r w a yc o n v e n i e n t l ya r e rt h er e d u c t i o no ri h et o n g g u a ne v a l u a t j o n ， w h i c hi sb a s e do nt h ec h a m c t e r i s t i c so ft h ei o w e rw e h er i v e r t h i sp a p e rp r e s e n t st h em a t h e m a t j c a lm o d e lf o ru n s t e a d ys e d i m e n tn o wo ft h ei o w e r w e h er i v e rb ys u m m a r i z i n gt h ea d v a n 诅g e sa n ds h o n c o r n i n 鲈o ft h eex l s t i n gs e d i m e n t m a t h e m a t i c a lm o d e li nv i e wo ft h es e d i m e n t a t i o ne n g i n e e r i n gp r o b i e m sc o n s i d e n g 日o o d i a n ka n dr i v e rc h a n n e lc h a r a c t e r i s t i c so f t h e 门u v i a lr i v e t h ea r e ao fn o wi sd e a i tb yn 0 0 d l a n ka n d v e rc h a n n e ii n d e p e n d e n t l yb yu s i n gt h ep r e j s s m a n nw e i g h e di m p i i c i t4 - p o i n t s c h e m et h em a t h e m a t i cm o d e lb a s i se q u a t i o n si sd i s p e r s e d i nh y d r a u l i cc a l c u l a t i o nt h i s 望圭兰三苎兰婴主量堡笙圣 p a p e rp r o v i d e st h ed i f f e r e n c en u r n e r j c a ls 。| l l t i o no f1 1 1 es tv e n a n te q u a l l o n sa n dd l s c u s s c s t h ec “c u l a t i o nm e t h o d so ft h ec o e f n c i e n t si nt h ed l f f e r e n c ee q u a t i o n s ，t h e no f 话r st h e c o e 俑c i e n t sc a l c u i a t i o nm e t h o d si ns e d l m e n tc a l c u i a t i o nt h i sp a p e ro 仃e r ss e d i m e m c a l c u i a t i o ne q u a t i o n so fe v e r ys e d i m e n t 掣。u p ss 。a st oc o n s i d e r l n gt h en t e 卜i m p a c 【o r d i f r e r e ms e d j m e n tg r o u p sb e c a u s eo ft h ea p p i i c a t i o no ft 1 1 ep r e i s s m a n nl m p i i c l ls c h e m e 1 i m a k e st h em a t h e ma t i c a lm o d e lc a nc a l c u l a t et h e 们o o dr o u t i “ga n dc h a n n e ld e f o r m a t i o no r t h en a t u r ec h a n n e lw i t hi o n gd i s t a n c et h ed e v e l o p e dm o d e lh a sb e e np r o g r a m m e dt h e m 。d e ii sc a l i b r a t e db yu s i n go f t h em e a s u r e dd a t ao nt h er e a c hb e t w e e nl j n t o n ga n dh u a y i n o fw e i h er f v e rn o ms e p t e m b e rt oo c t o b e ri n 19 8 3t h ec o m p u t e dw a t e ri e v e l sa n d d i s c h a r g e sa g r e ew j t ht h em e a s u r e do n e s t h ec o r n p u t e dr c s uj t sa r er e a s 。n a b l e k e yw o r d s ：w e i h er l v e r ：m a t h e m a t i c a im o d e lo fs c d i m e n i i r a n s p o r t ， u n s t e a d yo p e n c h a n n e jn o w ：p r e i s s m a n ni m 口l j c i is c h e m o 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及问题的提出 渭河是黄河的最大一条支流，发源于甘肃省渭源县乌鼠山，在潼关附 近入黄，全长8 1 8 k m ，流域面积1 3 4 8 万k m 2 ( 不包括泾河张家山站以上流 域面积6 2 4 4 0 k m 2 ) 。主河道平均比降为2 2 3 。流域多年( 1 9 5 4 1 9 9 6 年) 平均降水量6 1 3 4 m m ，径流量5 9 9 3 亿m 3 ，输沙量1 3 3 9 亿t 2 】a 渭河上 游为山地，出宝鸡峡谷后进入平原，土地肥沃，史称“八百里秦川”，历来 为我国西部地区的富庶之地f 2 j 。 渭河下游河道系指成阳渭河铁路大桥至潼关河口段。在三门峡水库建 库前渭河为一条冲淤平衡的微淤型地下河。三门峨建库后，虽二i 门峨上羁! 先后两次改建( 6 5 6 8 年和6 9 7 】年) 且水库运行方式多次改变，作为渭河 河床侵蚀基准面的潼关高程抬升后曾出现定幅度的降低，但难于维持。 1 9 6 0 年9 月1 9 6 2 年3 月蔷水运用期删，潼关高程上升14 6 m ，1 9 6 2 年4 月1 9 6 9 年1 0 月防洪排沙运用期间潼关高程上升3 6 7 m ，1 9 6 9 年1 1 月1 9 7 3 年1 0 月防洪排沙运用期间潼关高程下降2 1 l m ，1 9 7 3 年1 1 月1 9 9 1 年1 0 月全年控制运用，潼关高程上升1 4 3 m 口j 。渭河河床侵蚀基准面的升高致使 渭河河床溯源淤积严重，1 9 6 0 1 9 9 5 年，三门峡水库总淤积量为5 5 6 6 亿t ， 其中潼关以上为4 5 4 5 亿t ，占总淤积量的8 1 6 5 f4 1 。渭河下游逐渐演变为 强烈的堆积性地上河，洪灾频繁，河道环境趋于恶化，防洪形势同益严峻【5 _ 9 】。 近十多年来，渭河下游洪涝灾害问题十分严峻。潼关高程第二次急剧 抬升且长期居高不下，渭河下游泥沙淤积严重，随着淤积的发展，渭河漫 滩流量减小，濉面抬升加快【6 j ，加剧了泥沙淤积的上延。淤积使渭河下游河 床剧烈萎缩，导致主槽过洪能力减小，同流量水位大幅度抬升，如“9 2 8 ” 西安理工大学硕士学位论文 洪水，华县站洪峰流量3 9 5 0 m 3 s ，其洪水位为3 4 0 9 5 m ，较建库f j 同流量水 位抬升4 1 2 米【6 】。同时渭河下游两岸临背差进一步加大，渭河下游成为悬河。 目前华县以下河段临背差达到3 4 4 m ，华县至临潼河段临背差2 3 m ，咸 阳至西安河段临背差1 5 m 吼渭河滩槽同步淤积，致使渭河发生小流量洪 水即可漫滩倒灌南山支流，造成支流河口段严重淤塞，特别是二华渭河堤 外滩区支流河槽被多次高含沙漫滩小洪水淤死，并倒灌淤积支流3 6 k m ， 最大淤积厚度达3 5 m ，严重阻塞了支流洪水的出路使支流河道“南高北 仰中间洼”的态势进一步加剧，支堤临背差加大1 6 】。目前的渭河大堤始 建于六七十年代，后经多次续建和加高培厚，但多属于抢险应急修建，工 程布设不尽合理，控导长度严重不足。由于施工手段落后，质量控制不严 土料含杂质多，分段、分层接茬多，导致整体工程质量差，隐患多。堤防 检测、管护、维修穷于应付，自然侵蚀、生物危害、人为破坏严重。据分 析渭河下游大堤目前实际防洪能力为1 0 年一遇标准以下，与规定的5 0 年一遇的设防标准相差甚远【9 】。同时，南山支流堤防标准低边坡陡，断 面小，隐患多，河道纵断面呈南高、北仰、中间低洼的态势，央槽段防洪 压力很大，极易形成灾害。由于移民返迁后，一直未进行系统的防洪设施 建设，防洪标准低，撤离难度大，致使移民返迁区防洪安全没有保障，一 旦遭遇大洪水，人民生命财产安全难以保证1 5 】【7 1 1 8 】。 进入2 1 世纪，随着国家西部大开发战略的实施，渭河流域作为我国西 部的重要地带必将优先得到开发。一方面，随着社会经济的发展，新世 纪对渭河下游的防洪减灾提出了更高的要求。随着渭河流域人类活动对水 沙资源的进一步开发利用与生态环境的改变，将使渭河下游的水沙条件发 生重大变化，引起渭河下游河道的剧烈调整，渭河下游河道将发生新的变 化，并会出现一些新的情况与新的问题。另一方面，随着小浪底水库的建 成和投入运用，三门峡水库原来承担的防洪、防凌、春灌等任务将不同程 度的由小浪底水库承担。调整三门峡水库运用方式、降低潼关高程以改善 渭河下游严重的淤积状况，是当前我国治黄工作面临的重要任务之一。潼 第一章绪论 关高程降低后，渭河下游河道将发生怎样的冲淤调整是直接关系到渭河下 游综合治理规划等决策的重大问题之一。 本文拟针对渭河下游河道的特点，建立一个一维非恒定流泥沙数学模 型，以便用于研究潼关高程降低后，渭河下游河道的冲淤演变过程。 1 2 国内外泥沙数学模型研究现状 泥沙数学模型就是通过数值计算的方法对河流泥沙运动规律及河床冲 淤变形进行分析和模拟，它的理论基础建立在水动力学、泥沙运动力学和 河床演变学三大基本理论体系上。近年二十年来，随着计算机技术、计算 方法和泥沙科学的发展，以及实测资料精度的提高泥沙运动的数学模拟 正逐步完善起来，并成为研究工程泥沙问题的重要工具之一。泥沙数学模 型按照所模拟的水沙运动在空间上的变化情况，可分为一维( 1 d ) 、二维( 2 d ) 和三维( 3 d ) 模型：若依据其模拟的水沙运动在时间上的变化情况可分为恒 定流和非恒定流模型：若依据其模拟的泥沙运动状态的不同可分为仅模拟 悬移质运动的悬移质模型，仅模拟推移质运动的推移质模型及同时模拟悬 移质和推移质运动的全沙模型。早期，工程中的泥沙问题大都采用原型观 测和物理模型试验方法加以解决，但在经济性和灵活性等方面有很大的不 足，因而限制了它的广泛应用。随着大容量、高速度计算机的发展，泥沙 数学模型也有了长足的发展。一维泥沙数学模型用来解决长河段长时段的 泥沙运动和河床变形问题，研究较早，应用广泛，比较成熟，已经可以部 分替代物理模型试验。二维和三维泥沙数学模型适合于研究短距离的水沙 运动及河床变形问题。由于泥沙数学模型的进步依赖于泥沙运动基本理论 的发展，在二维，三维模型中采用的挟沙力、恢复饱和系数等公式或参数 主要还是由一维模型推而广之。二维和三维泥沙数学模型由于结构复杂， 节点多，计算工作量大，目前只适用于短河段或局部的河床演变问题。近 年来，二维泥沙数学模型，尤其是平面二维泥沙数学模型用束解决泥沙运 动和河床变形在平面上的分布问题，也得到了迅速发展，建立了为数众多 的平面二维泥沙数学模型，目前平面二维泥沙数学模型已逐步应用到工程 西安理工大学硕士学位论文 实践之中但模型的精度还不高，还必须辅以一定的物理模型试验或相关 的现场实测资料为基础：由于泥沙基本理论在应用于三维泥沙模型时还存 在很多悬而未决难题，有许多问题有待进一步研究。这些问题目前还难以 突破，致使三维泥沙数学模型发展比较缓慢。总体上来说，国内外学者对 一维泥沙数学模型研究的较多，应用的也比较广泛：对二维、三维泥沙数 学模型的研究起步较晚，但发展的很快，现有的模型也不少【”。1 ”。 国内对泥沙数学模型的研究和应用最早可追溯到5 0 年代后期，与发展 较早的某些国家相比虽稍迟，但随着我国江河治理工程的大规模展开，泥 沙数学模型的研究应用发展较快，目前已有很多种类的泥沙数学模型应用 于生产实践中。国内在工程泥沙研究中所面临的问题与西方国家略有差异。 一般来说，欧美国家河道中中粗颗粒泥沙较多，属沙质推移质范畴，因而 在这方面的研究也很深入，国际上也有一些流行的计算公式。例如早期的 e i n s t e i n 公式、b a g n o l d 公式和m e y e r - p e t e r 公式，近期的v 2 l l l r i j n 公式和杨 志达公式等。而我国所面临悬移质细颗粒泥沙的输移问题比较多，按西方 国家对泥沙的划分应属于粘性沙范畴。对于悬移质泥沙的计算西方国家的 模型大多会归结到求解河床底部的含沙量和悬沙沿垂线分柿，而我国在悬 沙模型中一般用到了断面平均的挟沙力和泥沙的恢复饱和系数。对比这两 种方法，根据以往计算经验，我国的计算方法在对付实际工程问题中有较 强的适应性和较好的精度。谢鉴衡、魏良琰对1 9 8 7 年以前国内外河流泥沙 数学模型的研究状况进行了回顾| 2 0 j 。s f a n 对美国的1 2 个泥沙数学模型进 行了综述，李义天对1 9 9 2 年以前国内外二维和三维泥沙数学模型的研究 进展进行了论述l 】，a s c e 对国外可估算河宽变化的泥沙数学模型作了评 述【2 2 】。1 9 9 5 年王兆印和宋振琪对欧美泥沙数学模型作了述评【2 3 】。一维泥沙 数学模型中，国外比较有影响的如h e c 6 模型 2 4 】，f l u v i a l 1 2 模型( 2 s 1 【2 6 】， g s t a r s 模型 2 7 】，s n 也a m 2 模型f 2 8 【2 9 】，w i d t h 模型【3 0 1 ，以及其它 一些模型【3 2 珀】。国内的一维泥沙数学模型也很多，可分为各有特点的三类： 一是以水文相关分析为基础的模型l ”j ；二是以水动力学和泥沙运动力学 第一章绪论 为基础的模型【3 9 4 5 】：三是介于上述两类之间的模型，以张启舜模型为代表 【4 6 4 引。 就水动力学和泥沙运动力学为基础的模型而言目前各种一维泥沙数学 模型已经很多其理论基础不外乎水流泥沙四大控制方程，即水流连续方 程、水流运动方程，泥沙连续方程、河床变形方程以及挟沙力方程和推移 质输沙率方程。上述的六个方程联立求解就是一维非恒定流全沙数学模型。 国内外各种模型的主要区别在于水流挟沙力或分组水流挟沙力所采用的经 验公式的形式或处理方法不同，其次为求解方程时所采用的方法或方程中 物理量、参数的计算方法略有不同，如数值计算方法、水流输沙率计算方 法、挟沙力恢复饱和系数计算方法、动床阻力计算方法、横断面概化方法 及可动床面床沙级配调整计算方法等1 4 。以下即对现有一维泥沙数学模型 进行评述。 八十年代以后，先后出现了为数众多的恒定流泥沙数学模型。韩其为 在泥沙运动统计理论和非均匀沙悬移质不饱和输沙的基础上建立了其数学 模型基本思路为：不区分床沙质和冲泻质并假定水流挟沙力的级配和实 际输移的泥沙级配一致，而悬移质的床沙级配在每一时段内的变化都看成 是本时段内河段冲淤变形的鹭= 接后果。按照此模式计算，每一断面床沙级 配必须经过反复试算才能确定。此方法对泥沙输移的物理过程考虑的比较 细致，不仅可以算出河床变形过程，而且还可以算出悬移质级配、淤积物 级配、干容重、含沙量等参数，但是计算过程过于复杂。非均匀泥沙悬移 质非饱和输沙法是韩其为在八十年代引入泥沙数学模型中的，目前国内外 的恒定流悬移质泥沙数学模型基本上均沿用此模式做进一步探索。李义天 模型是在输沙平衡的基础上，通过推求床沙质级配与床沙级配的函数关系， 并据此计算分组水流挟沙力，再迸一步采用非饱和输沙模式计算河段内的 冲淤，并依据冲淤结果调整床沙级配，作为下时段的计算依据，其特点 是同时考虑了水流条件和床沙组成对挟沙力的影响。和韩其为模型相比， 李义天模型中可以避免试算带来的繁琐计算，由于床沙级配的变化通常缓 西安理工大学硕士学位论文 于水力因素的变化，只要在时间步长上作出定的限制，就能保证计算精 度。美国h e c 6 模型和日本芦田和男模型也是从非饱和输沙的角度出发， 具体做法是先求每一粒径组均匀泥沙的可能水流挟沙力，然后按各粒径组 在床沙中含量的百分数加权平均作为实际水流挟沙力，再配合其他方程求 解泥沙数学模型。 随着水利工程建设事业的发展，工程设计对泥沙数学模型的要求越来 越高，对以上恒定流泥沙数学模型的精度和适用范围提出了不少质疑。犬 然情况下，水沙运动均为非恒定过程，而一维泥沙数学模型，通常将连续 的不恒定水沙过程概化为梯级式的恒定水沙过程进行计算，这种概化在计 算河段较短，河道的槽蓄量较小的情况下，是基本正确的，但在计算区域 较大，河道的槽蓄量影响较大的情况下，其计算结果往往不能反映实际水 沙运动过程，甚至无法直接应用。在较长河段的河床变形计算中，由于洪 水传播需要一定的时间，流量沿程变化较大若假定流量沿程不变与实 际情况有较大的差异，也很难保证河床冲淤计算结果的正确性，特别是对 河床冲淤幅度较大情况下的洪水计算问题。恒定流泥沙数学模型有较大的 局限性。以上问题的存在致使一维恒定流泥沙数学模型已很难满足水利工 程对计算精度和适用范围的要求。为此，国内外的众多学者一直在寻求逼 近这一实际过程的更为精确的模拟方法，泥沙数学模型的研究方向也逐渐 从恒定流向非恒定流方向转变。在这一方面学者们的工作各有英特点， 有的试图从水沙运动机理方面深入探讨，有的试图改进模型的计算方法。 1 9 9 8 年张丽春、方红卫等人1 4 0 】在一维非恒定泥沙数学模型的基础上，引进 韩其为对恒定泥沙数学模型的研究方法，考虑泥沙非均匀性的影响，对悬 移质泥沙连续方程进行了离散，得到了非恒定非均匀条件下的悬移质含沙 量计算公式。李义天、尚全民等人【5 ，着重对求解一维非恒定流泥沙数学 模型控制方程的数值解法进行了研究。1 9 9 9 年梁国亭、高懿掌等人1 5 1 】介绍 了一维非恒定泥沙数学模型的原理和计算方法，并且对于泥沙数学模型中 边界处理问题进行了较详细的讨论。2 0 0 0 年粱国亭、钱意颖等人1 52 j 回顾了 第一章绪论 黄科院黄河泥沙数学模型的发展概况，对黄河水文学模型的特点，水动力 学模型的基本原理、计算方法、关键技术的处理等方面分别进行了论述。 同年王光谦、方红卫等5 3 1 对比了国内外常用模型的特点，分析各模型的差 异，针对模型中有关参数的选择进行讨论和分析。2 0 0 1 年韦直林、孙广生 等人f 5 4 】提出了自己的一维泥沙数学模型。以上模型中，泥沙计算部分或是 沿用已有的计算方法，或是在泥沙连续方程中引入分组计算，差分方程离 散过程多采用显格式。 综上所述，一维恒定流泥沙数学模型目前发展较为完善，并且已经大 量的应用于实际。现有的一维非恒定流泥沙数学模型中，水流计算基本都 是采用差分法求解明渠非恒定流的圣维南方程组：泥沙计算则大多采用基 于恒定均匀流假设条件下的古沙量沿程变化方程，或采用显式差分法求解 河床变形方程( 或泥沙连续方程) ；水流挟沙力、河床阻力等的计算多采用 基于恒定均匀流假设条件下的公式。就非恒定流泥沙输移的基本理论而言， 非恒定情况下水流挟沙力、动床阻力、不同粒径组泥沙之间的相互影响、 不平衡输沙的规律等问题，目前还处于探索阶段。加之天然河道非恒定流 水沙运动特性十分复杂，目前一维非恒定模型能有效用于实际的还不多见， 许多问题还有待继续研究和完善。 1 3 本文的研究意义及内容 渭河下游水流条件十分复杂，由于下游支流汇入较多，北岸有泾河、 石川河和北洛河，南岸有沣河、灞河、尤河、罗夫河等，南岸支流均发源 于秦岭北麓。泾河和北洛河都是我国著名的多泥沙河流，因此，渭河下游 处于我国多泥沙河流的汇流区，同时也是大中小河流的汇流区，是三门峡 水库的回水影响区。近十多年来，渭河下游具有来水来沙量锐减，含沙量 较高的中、低水流量出现的机率增加，高含沙小洪水明显增多，水流中悬 沙粒径有细化的趋势。同时渭河泥沙主要集中于汛期的几场高含沙洪水 之中，河道的冲淤变形也往往发生在汛期的几场高含沙洪水过程之中，例 如渭河下游河道发生的高含沙水流“揭河底”冲刷现象。洪水过程中河床 西安理工大学硕士学位论文 的冲淤变形对河道的中长期冲淤演变具有十分重要的作用。因此，作为研 究和预测非恒定流泥沙输移过程中河道冲淤演变的有效工具非恒定流 泥沙数学模型的研究具有重要的实际意义和理论价值。 本文拟针对渭河下游河道的特点及其水沙特性，建立一个维非恒定 流泥沙数学模型以便用于研究潼关高程降低后渭河下游河道的冲淤演变 过程，并为渭河下游的洪水预报等提供工具。本文的主要研究内容包括以 下几个方面： 1 在总结和分析河道非恒定流水沙运动规律最新成果的基础上，选择 和建立适合于渭河下游河道水沙运动特性的非恒定流水沙运动的基本方 程。 2 对目前泥沙数学模型中采用的数值计算方法进行分析和比较，选用 合适的差分格式对基本方程进行离散，采用非耦合法分别求解水流方程和 泥沙方程，建立一个一维非恒定流泥沙数学模型，并利用f o r t r a n 语言编 程。 3 在泥沙计算中，采用分组计算模式分别对泥沙连续方程和河床变形 进行求解，以反映泥沙冲淤过程中悬移质的级配变化过程和床沙的级配变 化过程。 4 在不影响计算结果精度的前提下，通过模型计算分析比较，寻找更 为简便的数值计算方法，进一步减少非恒定流泥沙数学模型的计算工作量， 以便于一维非恒定流泥沙数学模型在天然河道洪水计算及河床演变计算等 方面的推广和应用。 5 通过实测资料分析和模型调试计算，结合渭河下游非恒定流水沙运 动的特性，确定适合于渭河下游的非恒定流泥沙冲淤计算的水流挟沙力、 动床阻力、泥沙沉速、浑水粘滞性等的计算公式，以及泥沙恢复饱和系数、 糙率等参数的合理取值。 6 利用渭河下游几场洪水过程的水沙实测资料对所建立的非恒定流泥 沙数学模型进行验证计算。 第二章渭河下游非恒定流泥沙数学模型的建立 第二章渭河下游非恒定流 泥沙数学模型的建立 2 1 概述 河道中的水流作用于河床，使河床发生变形，而河床的变形又反过来 影响水流的结构。这两个因素相互作用，相互影响。在水流和河床的相互 作用过程中，泥沙在两者之间起着调节作用，因此在河床演变计算中应 同时考虑水流和泥沙两个因素，计算的基本方程式中除包括水流连续方程 和运动方程外，还应包括泥沙连续方程和河床变形方程，用这几个方程式 联立求解爿能反映水沙作用的复杂性。 现有一维泥沙数学模型的计算方法分为两大类：一类是水流方程和泥 沙方程直接联立求解，称为耦台求解法，这类方法适合于河床变形尤为急 剧的+ 陆况；另一类是先求斛水流方程式，求出有关水力要索后，再求解泥 沙方程式，推求河床冲淤变化，这种方法称为非耦合求懈法适合于河床 变形较为缓和的情况。耦台解法一般只适用于边界条件比较简单的情况， 如矩形渠道或二维宽浅明渠，在河床变形的理论分析中，一般也采用耦合 解法。对于天然河道，边界条件极其复杂，如果采用耦合解法，不仅许多 边界条件不易处理，计算也相当复杂。而且根据实测资料表明，一般河道 的变形都滞后于水流条件的变化。因此一般河道的水沙数学模型，利用非 耦合解法是合理的。本文就是采用非祸合解法柬建立模型。 2 2 数学模型基本方程 天然河道河型极其复杂的，分为顺直型、弯曲型、游荡型和分汉型等， 各种河型水流结构、泥沙运动都不一样。严格讲，天然河道是不存在一维 水流运动的，但如果从宏观角度进行分析，研究问题的着眼点集中在断面 平均水力要素上，维水流的假定是可以接受的。为此，我们作出如下假 西安理工大学硕士学位论文 定：水流和泥沙是一维的，即各水流和泥沙运动要素在全断面上呈均匀分 布：悬移质含沙量在全断面上分布均匀；河床坡度较小，其倾角的余弦近 似等于1 ；悬移质和推移质颗粒相互碰撞的影响可以忽略。全断面由固液( 水 和沙) 两相体占据，并视为连续体。 挟沙水流基本运动方程有四个：水流连续方程，运动方程，泥沙连续 方程和河床变形方程。关于明渠非恒定流问题，1 8 7 1 年法国圣维南( d es a i n t v e n a l i t ) 根据b o u s s i n e s q 提出的缓变流定义而建立的非恒定流方程组( 即圣 维南水力方程组) ，至今仍被工程界所采用，成为一维非恒定流数值模拟的 基础【5 5 57 1 。 根据洪水波运动的圣维南方程、泥沙连续方程和河床变形方程等，一 维泥沙数学模型的基本方程【5 5 5 1 可简化为： 水流连续方程 鱼+ 土箜：of 2 - 1 ) 甜b 苏 水流动量方程 詈+ 昙f 半卜塞+ g 笋= 。 任z ， 研良【2j 。函。足2 、 泥沙连续方程 晏( $ ) 叫警：o ( 2 - 3 ) 河床变形方程 挟沙力方程 ，娑：b 叩( s 一跗 甜 、 “ s = ，( 9 ，爿，b ，s ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 式中：q 为断面流量，爿为断面过水面积，b 为断面水面宽度z 为断面水 位，s 为断面平均含沙量，s 。为断面平均挟沙力，g 为重力加速度，口为非 第二章渭河下游非恒定流泥沙数学模型的建立 恒定流的动量修正系数，口，为泥沙非平衡恢复饱和系数，为泥沙颗粒沉 速，y ：为泥沙干容重，d 为泥沙粒径，f 为时间步长，x 为空间步长。 圣维南方程组是具有两个独立变量f 、z 和两个从属变量= 、q ( 或h 、v ) 的一阶拟线性双曲型微分方程组。求解这类方程目前在数学上尚无精确的 解析解法，因而实践中常用数值解法求解，这些解法大致可归纳为以下几 种： 第一种为瞬态法。用差商代替偏导数，从而将圣维南方程组写成差分 方程组，假定在有限长的流段x 和有限长的时段，内各水力要素呈线性 变化，结合具体的初始条件和边界条件求解差分方程组，得指定瞬时各断 面的水力要素。由此可见，瞬态法也是一种差分法。原则上，瞬态法可以 忽略方程中的惯性项。即式( 2 2 ) 中的a 【，研，也可以不忽略惯性项求解，然 而在电子计算机问世之前，因为计算工作量庞大，往往不得不忽略惯性项 并借助于作圈，包括反映连续方程和动量方程的图以及同一i l i 肇时各流段的 可能水情曲线圈，结合初始条件和边界条件求解指定瞬时各断面的水力要 素。习惯上将此方法称为瞬态法。 第二种为差分法。差分法在离散点上用差商代替偏导数，从而将微分 方程化为差分方程，并结合初始条件和边界条件求解各离散点的数值解。 差分法所得离散点上的数值解虽然也是近似解，但是由于电子计算机的问 世，可以在不忽略惯性项的情况下求解，故所得的近似解比常用的忽略了 惯性项的瞬态法有较高的精度。明渠非恒定流所依据的方程是圣维南方程 组。如果直接将圣维南方程组化为相应的差分方程称为直接差分法。若把 圣维南方程组先化为特征线方程( 常微分方程组) ，再将特征线方程化为差 分方程，称为特征线差分法。 第三种为微辐波理论法。首先假定由于波动所引起的各种水力要素的 变化都是微小量，这些微小量之乘积或平方值均可忽略不计，这样将拟线 性偏微分方程化为阶线性常微分方程，然后求解。 第四种为经验方法。在水文上往往需要预报某些断面上洪水演变的情 西安理工大学硕士学位论文 况，这些方法大多需要根据过去实测的水文资料绘制经验曲线。详见水文 预报这门学科。 描述泥沙运动的基本物理定律主要是质量守恒定律，用以建立泥沙连 续方程以及河床变形方程。在以上假定的基础上通过对河段的控制体使用 质量守恒定律，就可以得到微分形式的基本控制方程。在推求积分型基本 物理方程式时，我们不要求各物理量是连续可微的，仅要求控制体两断面 间的间距足够小，这个特征使得在应用于解决工程问题时降低了对方程式 的要求，所以本文在使用基本方程时使用微分型方程式。 2 3 基本方程的离散及求解方法 2 3 1 概述 水动力、泥沙数值模拟就是以微分方程为理论基础，并通过微分方程 的离散，变成代数方程，最后采用电子计算机进行近似求解。离散微分方 程常用两种方法，一种是有限差分法( 简称差分法) ，另一种是有限元法1 。 这两种方法在精度上没有多大差别，但差分法的概念明显，算法简便，编 程容易，因此，本文采用差分法对基本方程进行离散。 数值模拟无法模拟微分方程不能描绘的物理现象，而且结果不是很直 观不能生动而形象地反映水动力现象( 如流场、泥沙运动、地形演变等) ， 但是数值模拟却具有实验费用少，实验速度快、周期短，可模拟多种因素 相互作用的复杂物理现象，无需大片模型实验场地，可完全控制流体的物 理性质( 如密度、容重、粘度、含沙量等) ，不存在模型比尺的影响等优点。 随着大容量、高速度、多功能电子计算机的发展和现代近似计算方法的进 步，数值模拟获得了高速发展与应用。 本文将以上节所列的微分方程为基础，根据模拟域边界条件选择合适 的网格，并选择p r e i s s 锄四点隐式差分格式离散微分方程组，得出代数方 程后采用合适的数值方法求解代数方程，并通过计算机编程来求解代数方 程，此后经过调试源程序阶段和模型验证阶段，使模型具有良好的稳定性 第二章渭河下游非恒定流泥沙数学模型的建立 和收敛性，并与现场资料有良好的吻合。 2 3 2p r e i s s m a n n 四点差分格式简介 在数学物理问题中，把微分方程和积分方程问题，化为代数方程组， 来求近似解的方法，叫做直接方法1 6 “。有限差分法是一种直接方法。 有限差分法的基本思路是把描述连续变量( 例如水深、流速、含沙量 等) 的微分方程，在讨论域内化成有限差分方程( 通常为代数方程) 求近 似解的方法，或者说，有限差分法( 简称差分法) 就是在有限个网格节点 上求出微分方程近似解的方法l 。在有限差分法中，因变量的值是定义在 有限个不同的空间点上的有限集合，这些空间点通常是一些规则网格的交 点，也叫做结点或节点，定义在节点上的函数称为节点函数| 6 2 l 。连续变量 被网格节点函数值代替，待求的连续函数值只要求在网格点上知道。而变 量的导数则是由差商来代替，描述某一物理现象的微分方程，如水流连续 方程运动方程和河床变形方程等，则由有限点值的网格代数关系式来代 替。当初始时刻户0 时给出网格点上连续变量的离散值，差分方程便被用束 预报任意时刻，时这些节点上因变量的未来值。 目前对有限差分法的研究颇为成熟，差分格式繁多。从计算角度讲， 差分格式主要分为两大类：显式差分格式和隐式差分格式。显式差分格式 是指任一节点上待求因变量在新的时间层( 如在n + 1 层) 的值可以通过早 先时间层( 如 层，月一1 层) 上变量值显式解出。由于早先时间层的都是己 知的，所以当时问开始先前推进时，新时间层上的待求变量值可逐点求 出。而隐式格式则不然，新时间层上的待求变量值不可能由早先时间层上 的已知值求出，还需同时间层( 新时间层) 相邻节点值( 未知的) 作为信 息，这样，常常在一个代数方程中包含几个未知数，因此，新时间层的待 求变量是不可以用显式解得的往往需要借助于叠代求近似解的方法才能 获得解。相较于显式格式，隐式格式最大的优点是时间步长可以取得较大， 稳定性好，对急缓问题都适用。所以本文对模型基本方程的离散采用 p r e i s s a n n 四点隐式差分格式。 西安理工大学硕士学位论文 p r e i s s a i l l l 四点隐式差分格式是p r e i s s a n n l 9 6 1 年解一维水流方程的积分 形式时提出的。对变量，和一阶偏微商在相邻点和相邻时间层采用加权平均 进行离散，即对时间，的偏微商分别取，和p 1 上的差商平均值，对空间z 的偏微商则是分别取h 厶f 和( n + 1 ) ，时间层上的差商加权平均，变量厂采用 同一网格周围四个相邻点的加权平均值逼近，参考图( 2 1 ( a ) ) ，p r e i s s a l l i l 四 点隐式差分格式的函数和导数的离散形式为 蚓2 1 ( a ) 一p i 幽2 l ( b 】 几，r ) z 詈坛+ 川+ 半卜) 要= 臼毪+ ( 1 刊譬 毋缸 、7 血 堑。 l j i f j “+ j 。一 3 西 2 ， 式中：目为权因子。 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 _ 8 ) 若采用，”1 = 厂”+ ，形式表示相邻时间步长的因变量函数值，则式 ( 2 - 1 ) ( 2 - 3 ) 的函数和导数的表达式变成如下形式： ，z 罢+ 1 + 蜕) + 圭+ ) ( 2 - 9 ) 篙= 口气笋+ 警 陋， 嘶缸缸 第二章渭河下游非恒定流泥沙数学模型的建立 笪。堑! ! 二堑 西2 ， ( 2 - 1 1 ) 因空间方向采用的是算术平均，所以p r e i s s a 肌格式又称为四点空间中 一山差分格式。式中f 为时间加权因子，由稳定分析决定。此格式相当于在 由四个临点的网格内点尸处对变量厂展开所建立的格式，系数项同样也可 采用四点上的平均值或加权平均值。按照式( 2 1 ) ( 2 - 3 ) 或式( 2 - 4 ) ( 2 6 ) 来改 写有关的微分方程，就可以得到四点隐格式意义下的差分方程组。 由于p r e i s s a r u l 格式仅涉及到四个网格点，外边界和内边界条件的处理 都比较方便，所以此格式在国内外都得到广泛应用。但是对于挟沙动床数 学模型，对于较小的比值l 蚴z ( _ 为特征波速) 数值扰动不可避免。 但理论和实践都表明，如果对时间f 的微分也同样采用按空间偏微商的方式 处理，参见图( 2 1 ( b ) ) 即有 厂( x ，f ) = i 罗x 。+ ( 1 一日l 臻，】+ ( 1 一妙) 1 9 7 “+ ( 1 一目矿7j ( 2 1 2 ) 可口0 ) + ( 1 一目”“一。) ，、 瓦一i 一 吖j j 可y c 瑞1 一，“) + ( 1 一少) ( 片一_ ) 一 a tt ( 2 - 1 4 1 式中：口为空间偏微商项权因子，为时间偏微商项权因子。 经过上述处理后，数值扰动现象即可避免。考虑式( 2 7 ) ( 2 9 ) 后的 p 陀i s s a n n 格式称为四点时空偏心隐式格式。这个格式目前在国内外应用也 相当普遍p ”。 经过分析，采用p r e i s s a r u l 格式离散后的差分方程逼近微分方程的截断 误差的阶是： l 当o 5 和口o 5 时，差分格式具有一阶精度。 2 当= 目= o 5 和r l 时，差分格式具有二阶精度。 3 当扩= 口= o 5 和f 1 时，差分格式具有高阶精度。 其中r = 厶4 z 。 1 西安理工大学硕士学位论文