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随机模拟在未决赔款准备金中的应用研究 摘要 未决赔款责任准备金作为产险公司一项重要的负债项目，其提取是否充足直接影响 到公司的偿付能力，因而历来都受到了保险公司和监管机构的重视。从保险业的实务操 作来看，未决赔款产生于报案、调查、理赔等环节的延迟。具有很大的不确定性。链梯 法是广泛应用于提取未决赔款准备金的一种方法，这种方法由于原理简单、操作简便而 受到了保险公司的青睐。但是链梯法也存在很多缺陷。对于长尾业务或新开展的业务， 当赔付资料记录不完整时，使用链梯法无法客观地得到尾部的赔付模式；对于不同的事 故年所发生的保险事故，同一进展年选定的进展因子是相同的，没有客观地反映出现实 状况的随机性；所得的结果为具体的数值，不能得到准备金的分布情况等。因此人们不 断地尝试用各种方法来对链梯法进行改进。 随着统计与计算机技术的发展，随机模拟的方法被引入到准备金的提取中来。本文 采用了马尔科夫链蒙特卡罗( m c m c ) 模拟方法，利用对数正态分布的累积分布函数， 建立了准备金提取的随机模型，并结合车险业务的实务数据，利用w i n b u g s 进行模拟， 完成准备金提取的计算，并得到了已发生事故在未来年度的赔付情况。与传统的链梯法 相比，这种方法能够比较客观地模拟出各事故年所发生的保险事故在尾部的赔付情况， 反映出现实状况的随机性，并得到了各年度准备金分布的情况，为保险公司提取准备金 提供了更大的参考空间，并且可以得到各事故年的赔付模式，为全面地考察公司持续经 营的成果提供了参考依据。 关键词：未决赔款准备金；链梯法；马尔可夫链蒙特卡罗模拟；累积分布函数 i l 硕士学位论义 a b s t r a c t o u t s t a n d i n gr e r y ei sav e r yi m p o r t a n tl i a b i l i t yo fp & cc o m p a n y , a n di sr e l a t e dw i t h s o l v e n c y s ob o t hi n s u r e ra n dg o v e r n m e n tf o c u so ni t 。i np r a c t i c e , o u t s t a n d i n gr e $ c l 、c ei s d e r i v e df r o mt h ed e l a yo f r e p o r t i n gc l a i m s , i n v e s t i g a t i o na n dc l a i ma d j u s t m e n t , a n di tc o n t a i n s m u c hu n c e r t a i n t y c h a i nl a d d e rm e t h o dh a sb e e nw i d e l yu s e di nl o s sr e s e r v i n g , i ti sv e r y s i m p l e ，a n dm a n yi n s u r e r sp r e f e rt h em e t h o d b u ti t a l s oh a sm a n yd i s a d v a n t a g e s f o r b u s i n e s sw i t hl o n gt a i lo rn e wb u s i n e s s , w h e nt h ep a y m e n td a t ai si n s u f f i c i e n t , w ec a l ln o tg e t t h ep a y m e n tp a t t e r n so ft h et a i l t h el o s sd e v e l o p m e n tf a c t o r sa l es a m ef o rt h es a m e d e v e l o p m e n ty e a ro f d i f f e r e n ta c c i d e n ty e a r s 。a n dt h er e s u l lo f t h ec h a i nl a d d e rm e t h o di so n e v a l u e , w ec a nn o tg e tt h ed i s t r i b u t i o no fr e s e r v e s s op e o p l et r yt om o d i f yt h ec h a i nl a d d e r m e t h o d ， w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs t a t i s t i ca n dc o m p u t e rt e c h n o l o g y , s t o c h a s t i cs i m u l a t i o nh a s b e e nu s e di nl o s sr e s e r v i n g i nt h i st h e s i st h es t o c h a s t i cm o d e lf o rl o s sr e s e r v i n gi sm a d ef r o m l o g - n o r m a lc u m u l a t i v ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o nb yu s i n gm c m ca l g o r i t h m sa n di m p l e m e n t e d u s i n gw i n b u g s c o m b i n i n gw i t ha u t ol o s sd a t a , w ec a l c u l a t et h eo u t s t a n d i n gr e s e r v ea n dt h e p a y m e n t si nf u t u r ey e a r su s i n gt h en e wm e t h o d c o m p a r i n gw i t ht r a d i t i o n a lc h a i nl a d d e r m e t h o d ，t h es t o c h a s t i cs i m u l a t i o nm e t h o dc a ns i m u l a t et h et a i lp a y m e n tp a t t e r n so b j e c t i v e l y , a n dr e f l e c tt h es t o c h a s t i cc h a r a c t e r i s t i c a i s o ，w ec a ng e tt h ed i s t r i b u t i o no fr e s e r v e sa n dt h e p a y m e n tp a t t e r n so fe v e r ya c c i d e n ty e a r s , s oi tp r o v i d e sm u c hi n f o r m a t i o n a b o u tl o s s r e s e r v i n ga n di n s u r e r so n - g o i n go p e r a t i o n k e yw o r d s ：o u t s t a n d i n gc l a i m sr e s e r v e ；c h a i nl a d d e rm e t h o d ；m a l k o vc h a i nm o n t e c a r l os i m u l a t i o n ；c u m u l a t i v ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n 插图索引 图2 1 保险事故赔付流程示意图6 圈4 1 累积薅款分布蚕一1 6 圈4 2 准备金的密度函数图2 0 翻431 9 9 5 年准器金静瑟史运动辕迹2 l 圈4 41 9 9 5 年准备金的盒状图一2 2 强4 51 9 9 5 - 2 0 0 1 冬准备金瓣盒获鬻2 3 圈4 , 6 准备金的自相关性阁。2 4 鬻霹7 三条马零霹夫链豹运动羲逡2 5 图4 8g e l m a n - r u b i n 检验豳2 6 鹜4 9 冬攀教年在2 0 0 2 零累积赔款戆密度逶数霪2 7 附表索引 袭2 1 流星三角形示意图8 袭2 ，2 擎验业务戆累积魑敖9 袭2 3 损失进展因子表一9 袭2 。42 0 0 2 年来决赔款准备金l e 袭4 1 准备金模拟结果的统计表2 0 袭4 2 备事故年来决赔款准各金豹交异系数。2 3 袭432 0 0 2 年累积赔款的模拟结果2 6 表4 4 模拟结票闲实骣情况的院较2 s 袭4 5 两种方法下准备众的比较2 8 袭4 + 6 不同尾部损失进震因子下麴准备念。2 9 袭4 71 9 9 5 年的累积赔付模式3 2 袭4 s 未来年度累积赔款的模拟结果3 3 袭4 9 预测未来年度的累积赔款3 4 袭4 1 0 预测未来年度的赔款增量。3 5 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进彳予研究所取得的 磷究成果。除了文孛特爱麓漩标注弓l 用戆肉容磐，本论文不包含镁秘其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要舞献的个人和集体，均 已在文中以鞠确方式标明。本入完全意识翔本声明的法律后采由本入承趱。 作者签名： 王秦醣 网期：沏6 年，月夕日 + 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者宪全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并商国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子舨，允许论文被查阅和借 阕。本人授搜湖南大学可以憋本学位论文的全部或郏分内容编入有关数据痒进符 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学袋论文震手 l 、保密口，在年解密崩适用本授权书。 2 、不保密囝。 ( 请在以上相应方框内打“”) 佟蠹签名；王春谂嚣期：函形年，兵， e t 导师躲独哗腓删年f 月7 日 1 1 选题背景与意义 第1 章绪论 众所周知，保险业作为一项比较特殊的金融行业，与一般众业的最大不同就在于其 经营过程是先取褥收入( 保费收入) ，爱发生支爨( 赔款或保险金绘 寸) ，公司农某项业 务上所取得的簸终收益在保单签发时并不确定，必须在保单终成后才能够确认。然而在 评价保险公司的财务状况时，并不可能簿到全部保单终止，因此需要采用一定的方法挝 取准备金，以威对将来可能的赔款。并且保险公司所傈障的风险具有很大的不确定性， 被保险人提出索赔的时间与金额也具蠢很大的随机性。保险的这一特性，使碍人们越来 越关注保险业的稳定发展。伴随着入世，我国保险业将面临着外资公司的严峻挑战，在 资本金实力、管理水平和专业技术都不具有明鼹优势的情况下如何同外资企业竞争，从 而保持自身的稳健发震已是保除监所关注的热赢。 准备金作为保险公司最大的负债项目，其摄取是否充足，盥接影响到保险公司的偿 彳寸能力筘财务状况。有统计资料显示，1 9 6 9 - 1 9 9 8 年掰，在美潮破产的保险公镯中，由 于准备企保费不足所鼯致的为1 4 3 家，占全部破产数目( 6 3 8 ) 的2 2 ，成为保险公司 破产静主要暴戳f 玎。困魏准备鑫的提取像就成为各家保险公司不断探索、力求完善的一 项工作。财产保险公司准备金分为未到期责任准备金，朱决赔款准备金和中国保监会规 定酌其它责任猿备金搿。其中采决赔款准备金怒指探险公司为尚未结寨麓菇案援取的穗 备金，包括已发生已报案未决赌款准备金、已发生未报案未决赌款准备金和理赔费用准 备金 笛。麸本瘸上讲，来决菇款准备金怒对未采赔彳寸责任静一秭估诤，暴有缀失的不确 定性，即使是从事准备众评估工作的精算人员也无法准确衡量这种不确定性。但是未决 赔款臻备金翡撬取会对产陵公裁豹稷多方嚣器产生影确。舞采采决薅款准备金被高信， 会导致评估年的利润下降，损失率上升，费率被不必要的提高，从而降低了公司产品在 徐撂方鬻豹竟争力；螽莱表决麓款准备金镀祗髂，在发生实嚣缓失雾季，琵建立鹣准备金 将不足以支付赔款，会赢接威胁公司的偿付能力。因此产险公司所面临的一项擞要问题 藏是魏簿较受壤磷懿羲鬻赔款，劳提聱洽当静潍餐金，尽量鬣夺预蟊i l 餐与宾实毯之闼翁 差异。 获我謦嚣懿瓣实务搽露来餐，链撵法是运麓予诗算泰凌赔款准备金豹一穗嫠邃静徽 法。传统的链梯法计算十分简便，并且易于使用计算机操作，因而受到保险公司的青睐a 僵是貉食手链梯法戆一矮基本鬏设是浚爨模式褒各事数冬程弱，这在现实孛著不是慧熊 得到满足，尤其对于新成立的公司，由于早期的经营并不规范，造成历史数据的波动较 大。并曩对于公司攫窭豹毅险静，戳及爨寡长鼹分毒懿验穆，农该险秽雄出懿簸秘尼零 中，由于历史数据积累较少，对于某一特定的事故年所发生的保险事故并没有完金给付， 这时公司裁夏 羟藿数撂不完全懿情凝，突出表瑷在尾部损失进爱因子懿逸取其务 囊大蛉 随机模拟在未决赔款准备金中的应用研究 主观性，链梯法的使用受到了一定的限制。因此链梯法虽然简便但结果比较粗糙。随着 保险业竞争的日益激烈以及监管的日趋完善，保险公司都在不断寻求新方法来提高对未 决赔款预测的准确性。 从某种程度上来讲，保险公司的精算人员就是负责处理公司的各种数据，为公司的 稳健经营提供专业的分析和技术支持。而统计理论与计算机技术的发展，为保险行业的 数据处理提供了强有力的支持。表现之一就是随机模拟的思想被引入到保险行业，越来 越多的应用于公司各种数据的处理和分析中。在准备金的提取方面，就是通过大量的模 拟，力图使得准备金的提取更接近真实情况，提高预测的准确性。采用随机模拟方法之 可以利用贝叶斯方法，通过实际观察的数据来调整先验信息，在不断的调整中，使得 预测结果更加接近真实情况。当精算人员拥有某些信息，如相似业务的索赔数据，可以 对参数构建先验分布，利用实际观测到的数据，如索赔、风险暴露单位等对先验分布进 行调整，充分利用已有的信息来提高预测的准确性，并利用软件，通过随机模拟的方法 来生成随机变量或参数，不断地进行迭代运算而得到模拟结果。由于保险事故发生具有 不确定性，因此采用随机模拟的方法可以更好的拟合现实情况。这也是本文的出发点和 尝试进行的工作，从而为我国非寿险的未决赔款准备金的提取提供一种比较新颖的方 法。 1 2 文献综述 我国保险法中明确规定“保险公司应当根据保障被保险人利益、保证偿付能力 的原则，提取各项准备金”1 3 】。对于财产保险公司准备金分为未到期责任准备金、未决 赔款准备金和中国保监会规定的其它责任准备金1 2 】。其中未到期责任准备金是指在准备 金评估日为尚未终止的保险责任提取的准备金【2 1 ，其目的是将公司的未赚取保费提取出 来，正确地表示公司的财务状况【4 】，通常采用二十四分法或三百六十五分之一法计提。 其它责任准备金主要为总准备金，是保险公司用于应对承保的风险发生巨灾赔款和非正 常波动的索赔而提取的准备金，用于平衡各个年度的财务状况，通常从年度利润中提存。 未决赔款准备金是保险公司用于未决赔案而计提的赔款准备金，可以细分为已发生已报 案未决赔款准备金，已发生未报案未决赔款准备金和理赔费用准备金【2 1 。其中前两项是 未决赔款准备金的主要部分，由于性质不同，所采用的计提方法也有所不同。根据相关 法规，已发生已报案未决赔款准备金可采用逐案估计法、案均赔款法等提取，已发生未 报案未决赔款准备金则可以根据险种的性质等采用链梯法、案均赔款法、准备金进展法、 b f 法等其中至少两种方法进行评估提取【2 1 。在我国产险公司的实务操作中，链梯法则是 目前较为普遍的一种计提方法。谢志刚等( 2 0 0 0 ) 指出链梯法是建立在累积数据基础之 上，一般将索赔案件的数据以流量三角形记录下来，并且假设索赔支付的规律在过去和 未来都是一致的p j 。以相邻进展年的数据相比得到损失进展因子，来估计最终索赔支付 额，减去评估日的累积赔款支付额便得到未决赔款准备金。张徐等( 2 0 0 0 ) 总结了链梯 硬士擘经豫文 法的优点，计黧方法相对简单；采取定量分析，结果具有一定的可靠性；便于使用计算 税来楚理保酸公司掰稀箍酶犬薰索姥数据等，鞫魏被产险公司广泛静采霜嘲。 m a c k ( 1 9 9 3 ) 论 芷了使用链梯法得到未决赔款准备金的无偏估计的假设条件是不同 事教零之阕静臻失稳豢独立，黧是这静猿立性讶藐由予赔案憝遴方式的改交或个案灌备 金提取方法的改变而受到破坏，并且链梯法对已发生赔款的变化很敏感，容易受到其波 动燕煞影响翻。r 3 v e r r a l l ( 1 9 9 4 ) 指爨在一般蠡鼋链臻法巾，逸定静各事故年豹臻失遂畿 因子悬相同的，也就意味着各搴故年的流量模式是相同的 s l 。但在现实的生活中，由予 经济、浚律等拜在环境翡影豌滚及绦除公司自身豹发震，这静鬏浚明显魏存在皱麓。t c i v o p e n t & l i n e n 等( 1 9 9 5 ) 指出了使用链梯法的波动性较大，并且长尾业务的不精确性要商 手短溅薤务嘲。链撵法瓣这些姣终挺镬入嚣j 采敬各秘方法来对蒸透露调整窝改进，簌纛 得到更为精确的估计。 壤撂踅美寿险耩舞套会( c a s ) 静a c t u a r i a ln o t e s ( 2 0 0 5 ) 熬划分，簧绫夔提敬 未决赔款准备焱的方法可以分为总量准备金提取方法( a g g r e g a t er e s e r v i n gm e t h o d s ) 和 维掏准备金提取方法( s t r u c t u r a lr e s e r v i n gm e t h o d s ) l 捌。其孛憨量准备金提取方法在鬏 测最终损失时没有使用实际索赔过程的信息，缀常用到的就是链梯法，还有b f 法，僳 费季分魄法等。b f 法采焉兹楚一秘燕投平均黪方法，是对掇攥经验鬏溅熬最终撰失葶拜 已发生损失的加权，b o m h u e r t t e r f e r g u s o n ( 1 9 7 2 ) 指出b f 法适用于中小型的保险公司， 竣及当统计黥数据信发较低懿揍嚣和一些长尾婕务f l l l 。保费匿分毙法粼是穰用摆邻进袋 年发生的损失同已赚保费的比例来预测准备金。f i s h e r l e s t e r ( 1 9 7 5 ) 指出当损失率恶化 或准备金加强孵，熙像费百分比法得到豹准备鑫总是分子链梯法魏b f 法之闻1 1 2 1 。结橡 准备金提取方法则使用了索赔避程某一方面的信息来预测最终损失，包括准备众进展法 ( r e s e r v ed e v e l o p m e n tm e t h o d ) ，f i s h e r l a n g e ( 1 9 7 3 ) 一文中救援告攀法( r e p o ny e a r a p p r o a c h ) 和a d l e r k l i n e ( 1 9 8 8 ) 的赔案结案方法( c l a i m s c l o s u r e m o d e l ) 等f 1 3 1 1 1 4 1 5 l 。 这几釉方法的一个共同点就是郄使用索赔增量秘关于索赔次数豹信息，霪要健计结案零 ( p r o p o r t i o nc l o s e dr a t i o s f a i l u r er a t i o s ) ，计算_ j 建程要比总量法笈杂 l 。这些方法基本t 都是构建在链梯法之上，是对链梯法的改进，从不同的方亟考虑来计握准备金。另有学 者提出了区别于以上两种方法的散法。一种是利粥最小平方方法( l e a s ts q u a r e s m e t h o d ) ，由历史数据来估计参数，进而缳到准备金的估计值，b r o s i u s ，e ( 1 9 9 3 ) 搬 出了这种方法实际上基于信发理论，是对损失率法和链梯法的一种加衩平均【l “。 b a m e t t z e h n w i r t h ( 2 0 0 0 ) 针对赔款在镑个年发有增长趋势的愤况，提出了对数正态模 型，剩糯回归分析来计算各个年度的磴备金嘲。对于长滗韭务，当获取的历史数据有黻 时，采用传统的链梯法来估计熙部的进展情况就具有很大的主观性。针对这种情况，s o n t t u ( 1 9 9 8 ) 攒出了可以采用鬃积分布涵数来模拟各事敬年在不同迸袋年豹赔付模式， 从而来提取相成的准备金1 1 8 1 。 隧麓对未决藉款礁备金碟究豹不鼗深入帮诗算班技术戆笈袋，莲李建攘羧熬慧怒也被 引入到朱决赔歉准备金的提取中。d a v i de m s c o l l n i k 一文和相必资料中，介绍r 一种模 3 随机模拟在束决赔款准蒜台中的鹿用研究 羧方濠m a r k o vc h a i nm o n t ec a r l o 奔绍了模熬鬏失遴震瓣予魏隧辍攘垄渊。 准铸金的计提过程不仅需簧多种方法反复计算进行比较，同时也需要精算人员的经 猃粼瑟，麸瑟缳 芷撂裂鬏优熬壤备金戆旗诗。b e r q u i s f f s h e r m a n 其中( i ) 和( ) 分别表示条件概率分布和边缘概率分布。 从( 3 1 ) 式可以看至后验分布是成比例子似然函数f ( x t 缈姆先验分布，够) 躲乘积 的。这个后验分布就是建立在先验分布的基础上，经过窳际观察数据调整得到的。 3 。1 2 弱拳霹夫链蒙特卡罗模拟 ，璃在要求解x 窝e 豹边缘分布，( 砷，拶) ，隐含予g i b b s 样本法的基本思想就是邋过完全条件分稚f ( x l o ) 和f ( o i 曲求解边缘分布耍比通过联合 密度丞数求解方矮豹多刚该方法裁燕完全条释分毒来定义一条玛尔胃失链，逶蕊求解 膊标分布函数。b e s a g ( 1 9 7 4 ) 指出当联合分布存在并且正确时，完全条件分布就唯一 戆确定了联合分蠢1 3 l l 。绘定条羚分布，i o ) 帮f ( o | 秘，选定锯始篷0 。窝乎“，尉蘑 厂( 善f 口) 得到妒”，f ( o i x o + 1 ) ) 得到目”，如此不断地进行迭代。s c o l l n i k 指出幽迭代 煞次数痒足够大憋，蝣貔魏同( 砖分蠢孛戆一令蘧掇数，著置，( 母= 兰，( x | 秽秭) 可 以作为x 的边缘分布的估计，对毋可得同样的结论 1 9 1 。 ”8 1 当鸯k 拿交鬃舞，鞋砖表忝k 令交霪戆联愈分毒帮魄，鼍) ，浚露瓴 袭示繁 ，个变量的完全条件分布霈( i 墨，艺，+ + l 一，) 。则g i b b s 样本法可表示为： ( 1 ) 选定初始篷妒= ( 霉，雩，霉) ( 2 ) 对计数指数f 赋予初始值0 ( 3 ) 摄据以下援列避露随栋壤接： 尊“硝( 五 霹，) 1 3 随机模拟在未挟赔款准备金中睁直用研究 霹“z ( 恐f “”，”，霹) 霹“叫耳i 掣“，x l ! = i i ) 并且x 。州= ( “”，鸢“，“) ( 4 ) 令f + - i + 1 ，并重新进行第( 3 ) 步的计算。 在第( 3 ) 步中，利用完全条件分布来生成样本，并且进行逐一更新，这种取样方 法保证了z ( 功是马尔可夫链的唯一分布1 。 这样对于某些比较复杂的分布函数当使用单纯的算术方法无法推导出具体的函数 形式时，就可以采用迭代运算的方法来模拟其分布。s c o l l n i k 和m u l l e r 均指出了当获得 了参数的后验分布，就可以得到基于已观察数据的预测分布函数，从而对将来的情况进 行预测口”。 对于特定的马尔可夫链，在判断需要进彳亍多少次模拟才能达到其平稳分布时，需要 根据具体的情况来进行分析。通常要丢掉开始部分的模拟结果，如模拟1 0 0 0 0 次，取第 5 0 0 1 - 1 0 0 0 0 次的模拟结果进行分析，这样做是为了减少初始值对模拟的影响。 3 2 模拟效果的检验 无论采用何种方法模拟，都需要对模拟结果进行检验从而确保所得结果是正确和 客观的。m c m c 方法中常用到的检验就是自相关性检验和收敛性检验。 3 2 1 自相关性检验 以两个变量的情形为例，选定) ，迭代过程可以表示为 由占_ 厂徊l r = ) 得到目( ” 由r ，( z l 毋= 日0 1 ) 得到”， 由占，( 曰f 善= 一1 ) 得到口2 、， 由善( x l 毋= 8 2 ) 得到】产， 从上面的过程可以看出，口2 的取值与1 相关，x ( ”的取值同目相关，则口的取值 存在一定的自相关性，r 的取值也同样存在自相关性。当存在自相关性时，同一变量的 后一个取值会受到前个取值的影响，也就无法保证模拟结果的随机性为了减少这种 自相关性的干扰，可以对生成的样本每1 个结果取一个，从而保证模拟生成的样本具有 随机分布的性质。 32 2 收敛性检验 在检验了变量的自相关性后还需要对马尔可夫链的收敛性进行检验。这是因为当 联合分布存在并正确时，完全条件分布唯一地决定了联合分布，但是完全条件分布并不 1 4 砩士学位论文 保证一定存在恰当的联合分布p “ 收敛性检验是m c m c 模拟的一项重要内容。当模拟产生的数据是源于马尔可夫链 的真实的平稳分布时，m c m c 模拟是收敛的i ”1 。除了少数情形可以在理论上证明m c m c 模拟是收敛的，大多数情况都是采用一定诊断方法来检验收敛性的。b r o o k s 和g d m a a ( 1 9 9 8 ) 曾指出，当变量的分位点不依赖于模拟的初始值时，就可以认为模拟具有比较 有效的收敛性p 2 1 本文将采用c - e l m a n r u b i n 检验方法。 g e l m a n - r u b i n 检验方法基于方差分析理论田i 。假定对马尔可夫链赋予m 组不同的 初始值，即同时模拟m 条马尔可夫链，所要观测的变量为吵，则对的模拟可以采用m 条马尔可夫链的所有结果，也可以采用一条马尔可夫链的结果。对于m 条吗尔可夫链的 模拟结果，将其按大小排序后，取中间的l o o ( 1 一曲的模拟结果，即从1 0 0 ( c z 2 ) 到 1 0 t 3 ( 1 一口2 ) 的分位点问的数值，将这两个分位点问的差值记为r 。对每一条马尔可 夫链的模拟结果采用同样的方法，将其按大小排序后，可以得到i l l - 个1 0 0 ( 1 一的区 问，对每一个区阃取两分位点的差值，再求取1 1 1 个差值的均值，记为凡，计算比例 r = r p ，r ，这就是g e l m a n - g u b i n 统计量。当马尔可夫链收敛时尺。和咒都会趋于平稳， 并且月趋近于l 。如果尺明显地大于1 ，则意味着要进行更多的模拟来减小初始值的影 响，或由于模型本身的原因，导致收敛的速度很缓慢p 3 l 。通常在检验模型的收敛性时， 定义3 - - 6 条马尔可夫链进行模拟来计算g c l m a n - r u b i n 统计量即可叫。 从前面的叙述可以看到，g i b b s 样本法的思想虽然简单，但是靠人工的方法来实现 它几乎是不可能的，必须借助计算机来完成。w m b u g s 软件就是用于g i b b s 样本法模 拟的专业软件( b u g s 是b a y e s i a n i n f e r e n c e u s i n g g i b b ss a m p l i n g 的缩写) 。通过b u g s 语言进行编程，建立特定的模型，就可以对模型进行m c m c 模拟，并对相关的统计量 和模型进行分析。 第4 章随机模拟对提取未决赔款准备金的改进 4 1 基于随机模拟的建模 4 1 1 累积分布函数 在文章的2 2 节中，详缅分析了链梯法存在的一些阅题。主要包括不能反波损失进 展因子的发展趋势，尾部损失避展因子的选取缺乏客理性，不鄹事故年的进展因子的选 定值相同，不能得出准备金分稚的情况，没有考虑保险事故在各个年度的赔付模式等。 这些缺陷裁促馒人们寻找各种方法来对链梯法进零亍改进职 充。采用随机模拟魄方法来 模叛准备金豹分布情况，就是入们在这一领域避行豹大艟尝试。这种方法就是撤据保险 事故所发生赔款的发展规律，通过计算机的大量模拟，来拟合出准备金的分布情况。在 通过一系列的梭验后，穰据模羧的情嚣采提取准备金。本文耨利用对数援态分布豹累积 分布函数，来构建随机模型，并利用w i n b u g s 软件完成数据的模拟。针对链梯法存在 豹这些辅题，鬣斑穗应鹣解决臻施。 累积赔款 最终赔款 时间 图4 1 累积赔款分布图 聪察图4 1 ，横轴代表时间，纵轴代表菜一事故年的累积赔款，虚线表示该搴故年 的最终赔款。随着时间的发展，累积赔款逐渐接近于该察故年的最终赔款。如果将纵坐 标静数缓除| | 冀最终赔款，得蓟各个进震筇度静累积赔倚院弼，可以想象这个眈例将逐渐 接近于l 。这也就意味着累积赔付比例可以用累积分布函数进行描述【1 8 l 。通常以赔付模 忒( p a y m e n tp a t t e r n ) 来表示事藏年掰发生的傈险搴故在繁一迸袋年所产黛的赔款占该事 故年的全部赔款的比例p 4 1 。 虢鬃撰分布蕊数，表示事敬年l 酌累积赔彳尊模式，箕中歹为避震年数( 或其它时闻 单位) 。则f ，表示事故年f 在第，个进展年的累积赔付颈占该事故年所发生全部赔款的 魄锾。巍，= 0 辩，f = 0 ；f 岭露，f = l ，郄所有熬薅款帮将支 萱完毕。 1 6 矮士学健诧文 定义比例因予= 曩川，只， 当繁积分蠢器数f 豹选取魄较恰当瓣，；j m 奶，帮范爨因子霹嚣 睾为损失滋震因 子的近似值。则当共有y 个事故年的赔付资料时，事故年，在第y 年末的来决赔款准备 金霹表零为； r e s e r v e , = 五+ 1 f 曩州一一z f 川卅 ( 4 1 ) 在谬 耋年来，褒毒事敖年憨寒决赔款准冬金隽 ， r e s e r v e = y 心册w i ( 4 ，2 ) 嚣 这就为我们提供了种不同于传统求取准备盒的方法。 s o ntt u 戳劳工籍绥蹬熬数撰为繇究对象，联震t r a n s f o r m e dl o g - n o r m a l 丞数来攒合 赔付模式，并对所得结果进行了检验和分析( 附录b 中给出了s o n tt u 所建藏的模 爨) 。 本文同样采用累积分布函数的思想，构建了与s o nt t u 不同的随机模拟模型，利 惩m c m c 理论，莠辔秘w i n b u g s 软耱遴行攘援，来缮裂鑫令攀教每黪来头薅款搓备 众和赔付模式。 4 1 2 絮积分布函数的随视模拟模型 逶豢产蹬公蠲在支秘赔款辩，大蘩分熬赔款会在事簸发生爱瓣2 - 3 冬疼支嚣，之螽 的赔款的数量较小，因此事故年的赔付模式具有右偏的性质，可以选用对数正态分布来 送行掇合。霰定攀鼓年f 熬累积魏耱模式霹戳震参数秀( 鳆，) 戆累积瓣数菱态分毒 进行描述，则在第，个进展年，肖： 乇柚 0 。 疗4 ，一- l p 一 il 口j 事故年f 所发生的保险事故在第7 年末的未决赔款准备金为 r e s e r v e , = z j j q i p a y m e n t f i - l 一互j _ = 互，hx f t , 1 0 ，只 l - z , ( 4 1 4 ) 这样4 1 节中的模型在这里具体表现为( 4 2 ) 、( 4 3 ) 、( 4 6 ) 、( 4 1 0 ) 、( 4 1 1 ) 、( 4 1 2 ) 、 ( 4 1 3 ) 、( 4 1 4 ) 。 进行上述假设后，利用w i i l b u g s 语言进行编程，来建立模型，相应的模型在附录 c 程序( 1 ) 中给出。 输入相应的原始数据，见附录c 程序( 2 ) 。 选定任意的数值作为未知参数的初始值： 口= o 4 2 ，f = 2 ，r d = 1 0 0 相应的命令见附录c 程序( 3 ) 在模型中，共定义t = - 个未知参数2 ，f ，乃，并分别给出了三个参数的先验分布， 这是根据经验取得，需要通过实际观测到的数值来对先验分布进行调整，进而得到这些 参数的后验分布。w i n b u g s 软件对模型的模拟即采用3 1 节中介绍的g i b b s 样本法。在给 定了初始值= o 4 2 ，f = 2 ，乃= 1 0 0 后，采用迭代的方法来逐一生成这些参数的随机 数值，并逐个更新，得到它们的大量的模拟值。利用这三个参数的模拟值，通过公式( 4 3 ) 、 ( 41 0 ) 、( 4 1 4 ) 定义的计算方法来得到e ，p a y m e n t ；，r e s e r v e 这些变量的模拟值以 及相应的统计特征，借助这些结果可以对这些变量来进行相应的分析。 4 2 2 模型模拟的结果 为了减少参数自相关性的影响，保证模拟的结果具有随机分布的性质，在w i n b u g s 中设定对于模拟的结果每1 0 0 个数据取1 个，共进行1 0 0 0 0 次模拟，选取第5 0 0 1 1 0 0 0 0 次 的结果作为样本，所得结果如表4 1 所示。 其中r e s e r v e 1 至r e s e r v e 7 分别表示1 9 9 5 至2 0 0 1 年发生的保险事故在2 0 0 1 年底应提 取的未决赔款准备金。m ce r r o r 表示m c 误差，是用于描述模型模拟效果的，由样本的 均值和后验分布的均值比较得到。j i m m yf o x 等( 2 0 0 4 ) 曾指出当参数的后验分布的估 计比较准确时，m c 误差应当比较小。通常当m c 误差小于标准差的1 2 0 时就可以认为达 到了要求【3 5 1 。5 0 0 和9 5 0 0 分别表示分布的5 分位点和9 5 分位点。从表4 1 中可以看 到，该模型模拟结果的标准差很小，m c 误差远低于标准差水平的1 2 0 ，说明模型具有 很好的稳定性。并且表中给出了各个事故年准备金的均值，5 的分位点，中位数和9 5 的分位点，从而为公司提取准备金提供了一定的参考范围。在w i n b u g s 中可以设定其 他的分位点，公司可以根据需要来获得想要的取值范围。 亵4 1 灌备金模携瀚果的统计衰 n o d em e a ns dm ce r r o r5o o m e d i a n9 5 s t a r t s a m p l e r e s e r v e 1 】 2 020 0 900 3 1 91 68 3 1 9 9 6 2 33 6 5 0 0 1 5 0 0 0 f e s e r v 【2 】 4 1 5 23 7 0 80 0 5 8 93 56 3 4 1 ，4 7 4 7 6 9 5 l5 0 0 0 r e s e r v e 3 】 1 0 598 1 0 20 1 2 99 2 9 41 0 581 1 9 35 0 0 15 0 0 0 r e s e r v e 【4 】 2 7 631 720 2 7 4 42 4 8 + 52 粥23 0 4 ，75 0 0 15 0 r e s e r v e 5 】 7 1 1 63 33 90 5 3 3 76 5 7 47 l l 。77 6 685 0 0 15 0 0 0 r e s e r v e 6 】 1 6 0 74 98 30 7 9 7 9 1 5 2 61 6 0 71 6 8 95 0 0 15 0 0 0 r e s e r v e 7 】 4 3 9 85 84 0 9 3 2 94 3 0 34 3 9 94 4 9 35 0 0 l 5 0 0 0 图4 2 给出了各个事故年准备金的密度函数圈。 e 8 0 0 0 6 0 0 0 4 o 0 0 2 o 。 4 圈4 2 准备金的密度函数闰 w i n b u g s q 3 ，对连续交量摸羧熬凝率密发图照蛰设定黪平潺参数( s m o o t h i n g 硕士学位论文 p a r a m e t e r ) 的不同而呈现出不同的平滑性。其中平滑参数盯是通过间距( b a n d w i d t h ) 来定义的。当变量x 共有n 个后验分布的模拟值时，有1 2 4 j l b a n d w i d t h ：v 一2 n 4 ( 4 1 5 ) v = n 。e # 一毛) 2 ( 4 1 6 ) i = il = l 图4 2 所表示的密度函数是口取默认值02 时的结果。 从图4 2 中可以看到各事故年在2 0 0 1 年末的未决赔款准备金大致呈现出正态分布的 性质，即根据先验分布和参数假设所得到的准备金的模拟结果是呈现出一定的分布的。 在传统的链梯法中，得到的结果都是确定的数值，无法给出准备金的分布的性质。因此 采用随机模拟的方法更能体现出现实情况的动态变化，更加贴近于真实情况。 从概率密度图中，可以得到各事故年的未决赔款准备金分布的大致情况。结合变量 的历史运动轨迹和盒状图，可以对其进行进一步的分析。 图4 3 是第5 0 0 1 1 0 0 0 0 次模拟中1 9 9 5 年准备金的历史运动轨迹。 图4 31 9 9 5 年准备金的历史运动轨迹 从图4 3 中，可以观察到1 9 9 5 年所发生的保险事故在2 0 0 1 年末的未决赔款( r e s e r v e i ) 在2 0 的左右波动，并且波动的范围基本关于2 0 对称，说明r e s e r v e t 的分布应当关于2 0 对 称，与图4 2 中第一幅图表现的性质相一致。从图4 3 中左端的数值可以看到。r e s e r v e 。的 波动的范围很小，绝大部分都在5 以内，说明分布的离散程度很小。 图4 4 是根据第5 0 0 1 1 0 0 0 0 次模拟结果绘制的1 9 9 5 年准备金的盒状图。 盒状图是用来描述分布情况的常用的图示方法【3 6 】。图中，中间的基准线( b a s e l i n e ) 显示的是变量r e s e r v e i 的中位数的位置，约为1 9 9 6 ；盒子左右两边的横线代表分布的均 值水平，约为2 0 ；盒子的上边线是分布的7 5 分位数，约为2 1 2 6 ；下边线是分布的2 5 水平，约为1 86 6 ；盒子的上下边线包含y 5 0 的观测值；盒子的高度为分布的四分位间 距，其作用类似于标准差，可以反映数据分布的离散程度，这里约为36 。从图4 4 中可 以看到，表示中位数水平的基准线大概位于盒子的中央，并且与均值水平很接近，说明 r e s e r v e i 的分布基本对称。盒子呈扁平状，说明分布的离散程度比较小，也就意味着方 差比较小。 2 1 圈4 41 9 9 5 年准备盒的宣状圈 络会表4 1 ，蚕4 2 、4 。3 、4 ，4 熬结莱进行务褥。受霭4 2 胃翔，1 9 9 5 年懿来决赔款 ( r e s e r v e t ) 的分布大致呈现出正态分布的性质，结合袭4 1 的模拟结果，r e s e r v e t 在该分 毒下豹瓣篷鸯2 0 ，5 努键焘、孛霞数雾1 9 5 分戆煮分爨为| 6 + s 3 ，1 9 粥，2 3 3 6 ，帮r e s e r v e i 小于1 6 ，8 3 ，1 9 ，9 6 ，2 3 3 6 的概率水平分别为5 ，5 0 ，9 5 。袭4 1 中，- g s e r v e i 的标准差 失2 0 0 9 。霆4 3 ，4 4 显琴戆分零魏波动经较参，与表4 ，l 孛懿结莱楱一致。对其它年徐戆 未决赔款可以进行类似的分析。 塑4 5 是掰鸯年份繁5 0 0 1 1 0 0 0 0 次模羧结果爨孽金获整。 从图4 5 可以直观地看到，从早期( 1 9 9 5 ) 到最近年份( 2 0 0 1 ) 的未决赔款准备金是 逐年递壤的，这是圭子零翅事数年戆缳除事蔽犬邦分熬墨赂劈完毕，雳溅戆未决魏款数 量很小，而近期的保险搴故还脊很大部分的未决赔款。从图中的分布情况来看，近期各 事故年熬未决贼款水平匏差异缀大，这霹能有秀方蘑的缀困：是各事故年联发生豹僳 险事故犬部分都将集中在事故发生后的2 3 年内赌付，所以近期各事故年虽然进展年份 只相差一年，但是各自蛇泰决赔款耀差锻大；二怒由于各事故年承保鲍保险标弱鹣增援， 导致保险事故的绝对量递增，相应的未决赔款的数量也会增加，从而造成近期各事故年 的未决赔款的差异较大。 4 2 3 对模型的检验 囤4 51 9 9 5 2 0 0