（工程力学专业论文）复合材料弹塑性分析多级模型与算法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 随着细观力学的发展，多尺度分析方法的研究己成为近年来计算力学的研究热点， 宏细观尺度相结合的材料分析多尺度计算与均匀化方法研究已经构成了现代计算固体 力学研究的重要方向之一。 有限元法常被广泛用来分析复合材料的线性和非线性力学特性，然而将整个结构体 直接进行离散化进行分析的计算方案，势必导致巨大的计算量。因此有必要寻找一种新 的理论来实现这一复杂的分析过程。多尺度计算方法能够加速建模过程，减少计算工作 量，实现各种载荷工况作用下复合材料力学性态的计算模拟。该方法的主要思想是以全 局均匀材料来等效原来的非均质材料，且两体系的应变能应完全或近似相同。早期的多 尺度方法体现在对本征代表单元的应变、应力场进行直接平均( 平均场方法) ，常见的 代表理论有m o r i t 缸a k a 有效场方法、自洽方法、广义自洽方法和微分方法等微观力学 的经典理论。但是许多方法还局限于非均质材料的线性和某些非线性的有效特性问题计 算。 本文建立了复合材料宏细观统一计算方法，在构建周期分布单胞分析算法的基础 上，发展了用于弹塑性复合材料结构非线性多尺度一体化分析的一般有限元方法一转换 场原理( t r a i l s f i o r i r l a t i o nf i e l da n a l y s i s ) ，给出弹塑性材料多尺度分析的基本理论与算法， 在此基础上研究了算法的基本实施路线。方法的特点是将所建立的单胞分析过程作为有 限元分析的子程序嵌入到总程序系统当中，完成对应的高斯点应力计算，因而使所发展 的方法具有实现方便的特点。建立复合材料非线性分析的有限元模式，采用非线性迭代 算法，最终将非线性多尺度分析归结为一个传统的非线性数值问题求解的迭代过程。研 究工作进一步对算法进行了程序实现，并对多个例题进行了计算，与传统的有限元方法 的结果进行比较，以验证方法与所开发程序的正确与有效性。 关键词：复合材料；单胞；多级分析 大连理工大学硕士学位论文 m u l t i s c a l em o d e ia n da l g o r i t h mf o re l a s t o p i a s t i ca n a l y s i so f c o m p o s i t e m a t e r i a l s a b s t r l c t t h em u l t i s c a l ea i l 甜y s i sm e t h o dh a su n d o d b t e d l yb e e nau s e m lt o o li n 也er e g i o no f c o m p u t a t i o n a lm e c h a i l i c sw i t l lt l l ed e v e l o p m e n to fm i c r o - m e c h a t l i c s t h ei n v e s t i 岛a t i o no f r n u l t i s c a l ea n a l y s i sm e t l l o do fc o m p o s i t em a t e r i a lp r o c e e d i n gw i mm r e el e n g 吐1s c a l e s ，i e m a c r o ，m e s oa i l dm i c r o ，h a sp r o m o 僦m ed e v c i o p m e n to f c o m p u t 砒i o ns o l i dm e c h a i l i c s t h ef i n i t ee l e m e mm e t l l o dh 船b e e nu s e d 、v i d e l vi i la n a l v s i sf b rl i n e a ra 1 1 dn o n 1 i n e a r m e c h a l l i c a lp r o b i e m so fc o m p o s i t em a t e r i a l s h o w e v e r ，m e c h a i l i c a lp r o b l e m so fc o m p o s i t e b o d i e dw i mav e r yf i i l ep e r i o d i cs 机l c t u r ec a n n o tb ea 芏l a l y z e db yk n o w nc o m p u t a t i o n a l t e c l l i l i q u e s 研mt l l eu s eo fd i r e c td i s c r e t i z a t i o no fm eb o d yb e c a u s eo ft o ol a r g ec o m p 删o n c o s to fs u c ha 1 1 a l y s i s ，t h c r c f o r e ，s o m em e 吐l o d so fs u b s t i t u t i o nf - o rar c a lh e t e r o g e n e o u s m a t e r i a l 、v i 也m eh o m o g e n e o u so n e ，m a c r o s c o p i c a l l ye q l l i v a l e 鸸a r eu s e d s u c has u b s t i t u t i o n p m c e d u r ei sk n o w na s 也eh o m o g e n i 刎o nm e 也o d ，c a ns p e e d u pm o d e l i n g ，r e d u c et h ec o s to f c o m p 恤t i o n ，a n da c h i e v e 也ec o m p l i 锄o n a ls i m u l a d o no fm e d l a l l i c a lb e h a v i o ro fc o m p o s i t e m a t e a ls u b j e c t e dt ov a r i o u sk i n d so fl o a d i n g m 撕ni d e ao ft h em e t h o di st os u b s t i t u t e p r i m a r yh e t e r o g e n c o u sm a t e r i a lb yas p e c m ck i n do fh o m o 寥n o u so n e ，粗c hn e e d s g 呦t e e 廿1 a tt h e yh a v et 1 1 ee q l l i v a l e ms 廿a i l le n e r g y e a r l ym l n i s c a l em e m o d sr 印r e s e n tm e d i r c c ta v e r a g i n go fs n a i n 跚l ds 七r e s sf i e l d so f 也er c p r e s e n tv o l 砌ee l e m e n t ( a v e r a g ef i e l d m e m o d ) ，s u c h 鹊m o r i - t a l l a k a se f r e c t i v ef i e l dm e m o d 、 s e l f i c o n s i s t e n t 、 2 e n e r a l i z e d s e l f - c o i l s i s t e n tm e t h o dd i 丘b r c n t i a lm e m o da i l ds oo n b u ts o m eo ft h e ma r el i m i t e dt os o l v e s u c h p r o b l e m s a sl m e a ro rc e r t a 血n o n _ l i n e a r p r o b i e m sf 礴 e f ! e 毫c t i 、，cc h a r a c e r so f h e t e r o g e n e o u sm a t e r i a l s au n i f i e dm a c r o a n di n i c r o - m e c h a n i c sc o n s t i t l m v em o d e li sb u i l ti nt h i st l l e s i sf o rt h e h o m o g e n i z a t i o na i l a t y s i so fp e r i o d i ce l 喊i c _ p l 踮t i cc o m p o s i t em a t e r i a l s b a s e do n 也et f a ( t r 锄s f o m l a t i o nf i e l da n 矾y s i s ) ，曲ep r e s e n tp a p e rc o n s t n l c t sab a s i c 出e o r ya 芏l da l g o m mf o r m u l t i s c a l ec o m p u 诅t i o no fm ee l a s t i c - p l a s t i cs 订u 咖e sc o n s 仇1 c t e db yc o m p o s i t em a t e r i a ls a c c o r d i n gt o t l l e a l g o r i t l l i nd e v e l o p c d ，t h ep r o b l e mc a nb eg e n e r a l i z e dt oe 髓c t i v e c o m p u t a t i o no f s t r e s si i l t e _ 旷a t i o na tg a u s sp o i n t si nt 1 1 ee l e m e n t s 0 n 也eb a s i so f 也eu n i tc e i l s ， m o d e l i n g 印p r o a c h a 1 1 d a l g o r i m mo fe i a s t i c - p l 船d ca l l a l y 击i so fc o m p o s i t em a t 嘶a l s e s t a b l i s h e db a s e do nv o n m i s e sy i e l dl a wf o rm eb 髂i cm 删a l sa r er c p r c s e n t e d t h ef i n j t e e l e m e n tm o d e 】f o rn o 小l i n e a ra l l a l y s i so fc o m p o s i t em a t e r i a l si s 伍u se s t a b l i s h e da n dt h e p r o b l e mi sc h a l l g e dt om es 0 1 u t i o np m c e s so f 仃a d i t i o n a ln o n - l i n e a rn 啪e r i c a lp r o b l e m s 复合材料弹塑性分析多级模型与算法 n u m e r i c a ie x a n l p l e sa r ec o m p u t e d 舡l d 廿1 er e s u l t ss h o wt i l e v a 王i d i 母a n de 蚯c i e n c yo fm e 吐1 e o r y 锄df i l l i t ee l e m e n tp r o g r a md e v e l o p e df o rm 山t i s c a l ea i l a l y s i s k e yw o r d s ：c o m p o s i t em a t e r i a i s ：u n j tc e u ： m u l t i s c a l ea n a l y s i s i v 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：，么墟 日期： 乡 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 导师签名 么喀 磁丝酋： 趔年上粤日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 选题背景 复合材料是由两种或两种以上的单一材料，用物理的或化学的方法经人工复合而成 的一种多相固体材料，其微观界结构和复合机理一般是非常复杂的，其中存在着不少力 学问题。复合材料不但能保留其组分材料的主要优点，克服或减少它们的缺点，还可产 生组分材料所没有的一些优异性能：现在，以各种先进纤维和各种高性能基体制造的复 合材料已经广泛应用于工业领域和人们的日常生活中。在航空航天领域，以各种复合材 料制造的结构部件已经占到整个结构的相当比例。例如，航天飞行器和卫星的主要部件 采用高性能金属基复合材料，玻璃和碳纤维复合材料应用于飞机的机翼等部件。在交通 运输和汽车工业等方面也有广泛的应用。 由于复合材料具有一系列的力学特点，它的力学问题比均匀、连续、线弹性和各向 异性材料复杂得多。如要深入研究复合材料及其结构的力学问题，我们必需对复合材料 及其结构的力学特点有明确和深刻的了解。要提高复合材料及其结构的性能，充分发挥 它们的优点，克服其缺点，也必需对复合材料及其结构在设计、制造、使用和维修过程 中出现的一系列力学问题，作全面和深入的研究。显然，对这些问题的研究，将有很大 的使用价值；同时也有重要的理论意义。 随着现代工业的迅猛发展，对高性能先进复合材料的研究和开发也变得更为迫切。 经典的复合材料力学多侧重从宏观角度对复合材料进行研究，忽略了复合材料的细观结 构及其演化，难以揭示材料变形和破坏的物理机理。作为一种多相介质，复合材料具有 明显的细观结构特征，因而其力学性能不仅取决于组分材料性质，同时也与其细观结构 密切相关。近年来，随着细观力学的迅速发展，从复合材料细观结构入手，对复合材科 性能研究已逐渐兴起，发展了较为系统的细观力学方法，解决了一些理论和实际问题， 比较有代表的是e s h e l b y 等效夹杂理论、自洽理论、广义自洽理论、m 耐t a n a k a 方法， 微分介质方法，以及利用交分原理求上、下限方法等。 1 2 复合材料的细观力学进展 复合材料计算细观力学就是复合材料的细观力学模型与数值方法的结合，或者简单 地说是针对细观模型的计算力学或利用数值方法的细观力学。因此，复合材料计算细观 力学主要有两个要素构成，一是细观力学模型，二是数值计算方法。 细观力学模型大致可分为二类：一类是细观唯象理论，如g u r s o n 模型等。这类模 型看上去是一个唯象表示，但公式中含有细观参数，反映了细观变形机理。在用有限元 复合材料弹塑性分析多级模型与算法 进行分析时，仍然在宏观试件上进行网格划分，这种方法在模拟延性材料的空洞形核和 多晶金属的剪切带变形与滑移方面获得了成功。第二类方法是选取含有详细细观结构参 数的模型，称为细观结构力学模型，在这些模型中，各组分材料的本构关系是已知的， 细观参数反映在模型的细观结构中，这类模型成功的关键因素在于模型是否合理。但这 种方法需要建立细观参数与宏观参数之间的相互关系。在选择复合材料细观结构力学模 型时，代表单元，代表体元，自治模型，m t 模型等可以参考。另外，利用细观结构的 周期性、均匀性和对称性条件，可使模型大大简化。一个成功的细观结构力学模型应具 备如下特点： ( 1 ) 模型中必须包括所要研究的细观特征单元； ( 2 ) 模型中必须包括足够的细观和宏观参数，这样才能建立宏细观参数之间的关系； ( 3 ) 模型的边界条件能够确定； f 4 ) 在求解上尽可能简单： ( 5 ) 具有试验或物理基础及直观性。 一些大变形、率相关的本构关系的建立和复杂细观结构材料模型的构造，对计算力 学提出了新的挑战，这种对大规模复杂系统的发展过程的数值模拟也正是现代计算力学 的主要特征之一。有限元方法仍然是解决这些问题的强有力的工具之一。但是，传统意 义上的有限元法必须增加新的方法和技术，才能适应细观力学对它的要求。在过去，有 限元分析的目的往往是为了得到一个满意的最终结果，随着计算环境的改善和实际问题 的客观要求的发展，有限元分析正在转向整个结构和一个发展过程的全程模拟。这种由 一点一时的状态计算到整个空间和时间上的全程模拟是有限元法的一个重大发展。 细观计算力学的特点是大规模、非线性和长周期。大规模是指细观结构的几何形式 比较复杂，各相之间的几何尺度相差很大。要想真实反映某些细观特征，必须采用非常 多的自由度。例如界面相的尺寸比纤维或基体的尺寸相差几个量级。在利用细观唯象本 构理论进行计算时，为了在宏观试件上显现细观变形特征( 孔洞的形核、剪切滑移带) ， 需要非常多的节点和单元。这样就形成非常大的解题规模。非线性是指材料的内部结构 演化都是在较大的变形下出现的，具有非常强的几何材料非线性特征。长周期是指要模 拟的问题是一个从变形起始到最终破坏的过程对数值模拟而言是非常漫长的，由此带来 的网格重划分、单元消去与再生、节点释放和数据储存管理都需要进一步研究。 1 3 复合材料细观力学研究的基本内容 复合材料力学的两个基本问题是复合材料的刚度和强度，细观力学研究的目的是探 求复合材料的刚度和强度与其组分性能之间的关系。 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 复合材料的刚度 复合擦料的刚度研究可以追溯到1 9 5 3 年，c o x 【1 】首先分析了纤维方向和弹性系数 的关系；复合材料力学从此发展了起来。1 9 7 0 年以前的成就已总结在j o n c s 的书中【2 】和 文献【3 】的综述中。较为成功的刚度公式是h a l p i n - t s a i 公式，它简便实用j 但公式中含 有经验性的参数。对横向弹性系数、剪切摸量和泊松比等公式的研究与改进一直持续至 今。 较新的研究一方面是关于短纤维复合材料、混杂复合材料和编织复合材料的弹性系 数分析。关于混杂复合材料和编织复合材料的研究综述可参见文献【4 。另一方面，注意 力集中在界面及缺陷对弹性系数的影响，主要目的在于消除理论公式和实测结果之间的 差别。文献 5 】提出了一个纤维和基体之间有中间相的模型，中间相别假设是均质各向同 性的。文献 6 则作了改进，设中间相的弹性系数是半径，的函数，并求得了复合材料轴 向弹性系数和泊松比。文献【7 用实验方法研究了长纤维复合材料的界面的影响。结果表 明：界面的强弱对复合材料轴向弹性系数几乎没有影响，而且影响还比较大。实际复合 材料中，纤维的弯曲将会导致复合材料性能的降低，文献 8 对这个问题进行了研究。 f 2 ) 复合材料的强度 复合材料强度的细观力学研究是当前复合材料研究的热点。而其研究的困难在于复 合材料的破坏是一个过程且破坏模式复杂。各组分性能对破坏的作用机理、各种缺陷对 强度的影响，均有待于具体深入的研究。迄今研究成果有限，进展缓慢。纤维的拉伸强 度及其统计特性，旱已为人们所熟知。单丝和单束纤维的拉伸强度分散性很大，而且与 标长有关。有关基体的强度特性亦有不少研究。 r o s e n 【9 】曾对复合材料的破坏模式、强度与其组分性能的关系的研究状况作了综述。 即使是最简单的情形，单向复合材料的强度和破坏的细观力学研究，也还不成熟。其中 研究最多的是单向复合材料的轴向拉伸问题：但问题仍相当复杂和困难。实验表明：加 载到极限载荷的6 0 时，就有部分纤维断裂和基体开裂的发展过程。虽然对单向复合材 料轴向拉伸的破坏过程已定性地有所了解，但对强度预测则不大成功【10 。 复合材料细观力学的核心任务是建立复合材料的宏观性能同组分性能及细观结构 之间的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的响应规律及其本质，为复合材料 的优化设计，性能评价提供必要的理论依据及手段。为此，需要了解复合材料的宏观性 能同组分材料性能即细观结构之间的定量关系；解释不同的材料组合具有不同的宏观性 能的内在机制；并回答诸如为什么该种复合材料具有如此高的刚度、强度等问题。它主 要的研究背景在于根据工程需要选取合适的组分材料，设计最优的复合材料。对复合材 料来说，其组分材料、含量及细观结构等参数稍有变化将导致复合材料宏观性能变化。 复合材料弹塑性分析多级模型与算法 因此，试图通过实验测得所有材料的性能是不现实也是不可能的。从这一角度看，复合 材料细观力学有明确的工程背景，是复合材料发展的重要理论基础。 1 4 小结 细观力学是对于非常小物体小一个层次的力学，近些年来它越来越受到力学界的重 视。细观力学分析往往还是借助于连续介质力学来推断出宏观本构关系的一些规律；细 观力学的其他各种研究中的特点是因此能考虑材料破坏过程中的细观不均匀性。 细观力学成为固体力学基础研究中当前最重要和最关键的技术研究需要。许多材 料，特别是生物组织、地质材料、混凝土和许多材料( 陶瓷、复合材料及聚合物) 的力 学响应都强烈地受细观结构和细观结构变化的影响。但是，复合材料的细观力学仍然存 在着大量的研究课题，需要人们作深入地研究。 1 5 本文的主要工作 本文的研究工作主要分为以下两个方面： ( 1 ) 复合材料弹塑性多级分析模型与算法 对材料非线性多级分析的计算模型与算法进行深入研究。在构建周期分布单胞分析 算法的基础上，发展针对复合材料结构材料非线性多级分析的一般有限元方法。方法的 特点是将所建立的单胞分析过程作为有限元分析的子程序嵌入到总程序系统当中，完成 对应的高斯点应力计算，因而使所发展的方法具有实现方便的特点。给出数值计算结果， 验证了方法与所发展的多尺度有限元分析程序的正确与有效性。 ( 2 ) 桁架网格材料弹塑性多级分析模型与算法 研究了桁架材料非线性多级分析的计算模型与算法。根据有限元思想，将网格状桁 架单胞等效成连续微元体以求得单胞结构的弹性属性。基于此，在构建周期分布单胞分 析算法的基础上，发展针对桁架材料结构材料非线性多尺度分析的一般有限元方法，通 过对数值算例的计算，验证了方法与所发展的多尺度有限元分析程序的正确与有效性。 本文的工作以大型有限元分析软件a n s y s8 o 为平台，以v i s u a lc + + 为开发环境， 其整个工作使用到的软硬件条件有： 大型通用工程软件a n s y s 8 o v f6 5 数据可视化软件m a t l a b6 5 w i n x p 平台 奔腾微机 4 一 大连理工大学硕士学位论文 论文的结构安排：第一章绪论：第二章系统地介绍了均匀化理论及其应用：第三 章详细叙述了转换场原理( t f a ) ：第四章复合材料弹塑性分析多级模型与算法，详 细给出了算法的实施框架，并与有限元软件结果作了对应比较，分析两者误差形成的原 因；第五章在第四章的基础上对平面桁架材料弹塑性进行多级分析；第六章是本文的结 论与展望。 本课题“复合材料弹塑性分析多级模型与算法”，属材料结构非线性多尺度分析领 域，课题来源于国家自然科学基金项目( 1 0 4 2 1 2 0 2 ，1 0 3 3 2 0 1 0 ，1 0 2 2 5 2 1 2 ) 。 复合材料弹塑性分析多级模型与算法 2 均匀化理论及其应用 2 1 统计均匀性假设与均匀边界条件 一般材料可划分成三个层次：微观层次( m i c r 0s c a l e ) 、细观层次( m e s os c a l e ) 、宏 观层次( m a c r os c a l e ) 。例如，如果将聚晶体金属看成是宏观材料，则晶体粒是细观层次， 原子点阵是微观层次。当然还存在更高层次的微观水平。由于材料千姿百态，各不相同， 很难对各个层次的尺寸量级做出数量描述。一般地有关系：m i c r o m e s o 心d a c m 。在 这个条件下，某一层次上的不均匀性在它的高一个层次上可以被忽略。 在连续介质的范围内，复合材料由细观和宏观两个层次的单元组成。细观层次单元 有若干增强相( 也称夹杂物) 和它周围的基体及界面相组成。在细观层次上，材料是不 均匀的，但连续介质力学仍然适用。宏观层次单元由大量的细观单元组成，具有一般工 程结构的尺度。 从细观层次上看，材料具有一定的结构和不均匀性，因而细观力学有时也被称为细 观结构力学。在复合材料中，英文l i c r o ，m a c r o 和m e s o 都被用来表示纤维尺度的细 观层次。电镜观察到的一个画面可以看作一个典型的细观单元。如果一个细观单元具备 下列性质：细观单元的总体几何特征，例如增强物的体分比、增强物的分布的概率统计 值( 一次矩、二次矩) 都是常数，与细观单元的位置无关，则称这样的细观单元为一个 代表单元。也就是说代表体元是一个具有代表性和一般性的细观单元( 图2 1 ) 。由代 表体元组成的材料成为统计均匀材料，统计均匀材料受到均匀边界条件的作用，则介质 内的场变量是统计均匀场。统计均匀场是指概率统计值为常数的细观场。以应力场为例。 设d 为表示细观应力场，它是位置的函数且具有不均匀性。如果盯是统计均匀场，则盯 在任一体积为v 的代表体元的概率统计量( 如均值、二次矩) 都应是常数，与代表体元 的位置无关。 均匀边界条件是为了在统计均匀材料内产生统计均匀场面对边界条件所加的一种 限制。对于弹性场而言，如图2 2 所示，均匀边界条件是： 均匀应变( 位移) 边界条件： 均匀应力边界条件 “? ( s ) = 占知 ( 2 1 ) z ( s ) = 爵 ( 2 2 ) 其中爵，一是常数，是长度坐标，珂。是边界s 的外法线向量，j ，产1 ，2 ，3 。对 温度场、电场、磁场等异可相似定义均匀边界条件。 x “= 一l + 工2 2 + x3 3 ，只j = 砂，积，z ，p = a 2 z 缸，_ y j ( 2 3 ) 这里采用张量求和约定，在一项中重复下表表示从1 到3 求和。下标中的逗号表示 对该坐标分量求倒数。例如： 统计均匀场满足偏厉性条件，其场量的统计平均值( 均值) 与体积平均值相等。以 弹性场为例，细观场量在代表体元上的体积平均值定义为： 平均应力：瓦= 古j 毗咖 ( 2 - 4 a ) 平均应变：易= 吉m 勺西 ( 2 4 b ) 当统计均匀材料受到均匀边界条件的作用时，其统计均匀场的体积平均值可用边界 值表示，例如材料受到均匀应变边界条件的作用，应变场在代表体元上的体积平均： 弓= 古f j 勺咖= 吉缸，心渺 = 专胖+ 蜘泌 2 专j i f ( 占品 + 或靠_ 诲 ：专f f ( 艺+ 或沙 5 = 吉枷 = 上式表明统计均匀应变场的体积平均值就等于边界上施加的常应变。 同理，如果材料受到均匀应力边界条件的作用时，其统计均匀应力场的体积平均值 就等于边界上的施加的常应力，即 瓦= 仃： ( 2 6 ) 复合材料弹塑性分析多级模型与算法 由于代表体元的普适性，由方程( 2 4 a ) 和( 2 4 b ) 定义的平均应变和平均应力就是复 合材料的宏观应变和宏观应力。上述关于统计均匀场的平均化理论对材料的热、电、磁 场等同样适用。 图2 1 代表体元 f i g 2 1r e p 化s e n tv o l 啪ee l e f n e n t 五 图2 2 均匀边界条件 f i g 2 2u n i f o mb o u n d a r yc o n d i t i o n 2 2 随机细观结构 当增强相在基体材料内呈现随机分布时，则可从试验上观察到随机分布的细观结 构。如果增强物的形状和大小也是不规则的，并有一定的随即性，则复合材料的细观结 构呈现多重的随机状态( 分布、大小和形状) ，可用随机场来描述。颗粒增强复合材料 的细观结构大多如此。在单向纤维复合材料的横截面内，纤维呈现二维随即分布，如图 2 3 a 所示： 一 图2 3 a 随机分布颗粒 f i g 2 3 a 黜m d o md i s 砸b u t e dg r a i n 图2 3 b 二维随机分布短纤维 f i g 2 3 b2 dr 如d o md i s 订i b m c ds h o f tn b e r s 大连理工大学硕士学位论文 用c o 表示基体的弹性模量，c 1 表示杂物的弹性模量，则随机弹性模量场可表示为 c ( x ) = c o + ( c 1 一c o ) 矿( x ) ( 2 7 ) 其中v 0 ) 数，它是位置的嘲函数。 x q x d q ( 2 8 ) 其中d 是整个材料所占有的区域，q 是夹杂物占有的区域。 这个模型实际上将弹性模量看成坐标的随机函数，由它导出的弹性力学方程成为具 有随即变量系数的微分方程，因而由此解出的位移、应变和应力场也是坐标的随机函数。 但是，这种思想是很难实现的，因为弹性模量的数学模型实际上很难用于描述一个实际 的材料。作为一种近似和简化，可借助于细观扫描技术，对细观结构的分布曲面或曲线 进行定量化统计处理，再得到弹性场的统计特性。 对短纤维复合材料，如果纤维的形状和长度是基本确定的，则只有纤维分布的角度 是随机的。在二维情况下，如图2 3 b 所示，假设方位角在【o ，r 内均匀分布，其分布 函数可写为： 厂( 目) ：上口【o ，r 】 万 ( 2 9 ) 详细分布随机细观结构复合材料的弹性场分布是比较困难的，即便能够分析，也会 因夹杂的数量非常大而失去实用的价值。一般分析其统计特性就够了。 2 3 周期性均匀细观结构 尽管随机场模型比较接近复合材料的实际情况，但其力学问题的数学描述和定量化 处理则相当困难。因此，对细观结构进行简化是非常必要的。均匀性和周期性分布假设 是常用的方法。 对单方向铺设的连续纤维复合材料，由于纤维在轴向无限长，只需分析纤维在横截 面内的分布情况。典型的纤维分布为正方形和正六边形分布，如图2 4 和如图2 5 所示。 对这种具有均匀性和周期性的细观结构，可取出一个最小的单胞作为代表体元。这种单 胞可以按平面应变模型或广义平面应变模型计算，而且要满足变形后的单胞边界仍为直 线或平面的协调性要求。 复合材料弹塑性分析多级模型与算法 对于具有规则形状和一定大小颗粒增强的复合材料也可简化为上述二维模型。另一 种纤维复合材料的随机分布模型是采用同心圆柱和同心球作为单胞，如图2 6 所示。其 代表体元为由纤维和周围基体组成的同心圆柱和同心球。这种代表体元拼接后不能从满 整个材料空间，但代表体元的纤维体分比与整体材料相同。 从以上模型可以看出，用轴对称模型所模拟的复合材料在实际中是很少见的，因为 实际的复合材料很少具有这种规则的矩形排列结构，而且这种排列存在承载能力很弱的 无纤维区，从力学的观点看，应力求避免这种细观结构。平面应变模型却不能精确模拟 圆截面纤维的几何形状。一般情况下，利用三维模型的代表体元更能接近于实际情况， 如图2 7 所示。 短纤维复合材料具有三维随机分布的细观结构。但单向短纤维复合材料可简化为矩 形排列和交叉排列模型( 图2 8 ) 。矩形排列复合材料造成一些没有纤维的横断区域， 在这个区域内完全由基体承受载荷，它的代表体元可用一个轴对称的同心圆柱来表示。 交叉排列的模型纤维在两端点的界面上传递的正应力很小，雨沿纤维母线的界面传递的 剪应力很大，这种细观结构如果简单地用轴对称的代表体元表示，将会遇到确定边界条 件的困难，较多地采用平面应变模型作为代表体元。 无论利用哪种模型，都存在代表体元与周围材料的变形协调问题，因此，需要谨慎 确定代表体元的边界条件。最简单的变形协调条件是使代表体元的边界在变形后保持直 线或平面。如果代表体元是对成的，还应保证边界条件的对称性。 图2 4 正方形排列与代表单元 f i g 2 4s q u a r ea 珊叮g e m c n ta n dr v e 大连理工大学硕士学位论文 图2 5 六方形排列与代表单元 f 遮2 5h e x a g o na r r 锄g e m e n t 醐dr v e 图2 6 随机排列与同心圆柱模型 f i g 2 6r 柚d o md i s 倒b u t e da m n g e m e m 锄dc o n c e n 矗cc o l u m nm o d e l 图2 7 短纤维复合材料的三维单胞模型 f i g 2 7u n i tc e l lm o d e lo f s h o r tf i b e r s mt l l r e ed i m e n s i o n 复合材料弹塑性分析多级模型与算法 ( a ) 矩形排列及其轴对称单胞 ( a ) s q u a r ea r r 弛g e m e 眦髓dc o n s p o n d i n ga m ss y m m e n y u n i tc e n ( b ) 交叉排列及其平面应变单胞 ( b ) c r o s s e d 趾髓n g e m e ma n dc o r r e 印o n d i n gp l 锄es 删nu n i tc e 图2 8 单向纤维复合材料的细观结构 f i g 2 8m i c r o g 打u c n l r eo f s i n 舀ed i r e c t i o nf i b e rc o m p o s n em a t e r i a l 2 4 均匀化方法及其理论 不论是天然材料还是人工材料，实质上都是非匀质的，即包含着在较小尺度中可以 区别的、具有不同性能和不同方位的组分或缺陷，这些组分本身在更小的尺度中也可以 是非匀质的典型的非匀质材料有复合材料、多晶体材料、多孔材料、胞元材料、功能梯 度材料、骨骼、木材、混凝土等。它们的宏观性能与微观结构是密切相关的。在经典微 观力学中，总假设宏观水平的材料性能是均匀但是未知的，而微观水平的性能是非匀质 但其物理规律是已知的。微观力学的任务就是基于微结构的信息来寻找宏观均匀材料的 大连理工大学硕士学位论文 性能，或整体材料性能，或有效材料性能。例如，有效的弹性模量、热膨胀和强度性能、 热传导和其它输运性能、电磁性能、压电性能、扩散性能、渗透性能等等。寻找材料有 效性能的方法称为均匀化( h o m o g e n i z a t i o n ) 。这里均匀化指统计平均的意思。确定非匀 质材料宏观与微观的关系有两种基本的微观力学理论：基于数学的渐近均匀化理论和基 于物理的平均场理论。平均场理论直观易懂，利用平均场理论，有时可以得出解析解。 2 4 1 经典的多尺度理论 经典微观力学的模式是双尺度的力学结构：宏观尺度和微观尺度，或者说它包括两 种元素：宏观元素和微观元素在宏观尺度中，连续介质是由许多物质点所组成，而每一 个物质点均与一个微观空间相关联一个宏观物质点也称为宏观元素，或体积元素。与它 相关的微观空间包含许多微观元素。它实际上是一个微观连续介质。如果材料在宏观尺 度上是统计均匀的，那么，为了研究材料的性能，我们可以只研究任一个典型的宏观尺 度的点即可，而与该宏观的点相关联的微观空间称为代表性体积单元r v e ( r e 口r e s e n 诅t i v e v o l 啪ee l e m e m ) 。它是微观力学中的一个基本概念，两种尺度的差别应该足够大，需 要满足尺度的二重性。一方面，从宏观上讲其尺寸足够小，可以看作一个物质点，因而 在r v e 中的宏观应力、应变场可视为均匀的；另一方面，从微观角度上讲，其尺寸足 够大，应该包含很多微观元素和足够多的微观结构信息，以便使它可以代表局部连续介 质的统计平均性质，而微观应力应变场只通过它们的体积平均值对材料的宏观性能产生 影响。r v e 是一个数学概念，没有固定的长度尺寸。宏观水平与微观水平的尺度是相对 的。如果研究非匀质金属的有效性能，微观水平的尺寸可以从几纳米到几微米，而宏观 水平的尺寸可以从几毫米到几厘米。如果研究混凝土坝的有效性能，微观水平的尺寸可 是几厘米，而宏观水平的尺寸可以是几米。 对于真实的微结构分布，想要在充分大的参考体积中来分析微观场的空间变化，显 然超出了当今计算机的能力，迫使我们采用近似方法，所有这些近似方法可以归纳为两 类： 第一类近似方法包括基于有限的统计信息来描述非匀质材料微观几何的方法，这类 方法需要解决r v e 的大小，和收敛性的问题。第一类方法包括： ( 1 ) 平均场方法以及有关的方法。 在每一个组分( 相) 中的微观场，近似采用各相应力和应变的体积平均来代替，即 用分片均匀的应力应变场这种描述法采用微尺度拓扑、夹杂的形状、方向和相分布的统 计信息。大量平均场方法的文献多数可归于：m o 小t a i l a k a 有效场方法、自洽方法、广 义自洽方法和微分方法等微观力学的经典理论。 复合材料弹塑性分析多级模型与算法 ( 2 ) 变分界限方法。 变分原理被用于求有效弹性张量、弹性模量、割线模量和其他非匀质材料的物理性 能的严格的上限和下限。界限理论主要有：v o i g t 界限和r e u s s f s 界限，h 船h i s h 缸 k m a l l 界限，m i j t o n 界限等。在无精确解和近似解的情况下，界限方法可以提供有关性能的可 能范围，对于评估各种理论和模型很有用处。 第二类近似方法是基于研究离散微结构的方法，图2 9 表示微结构略图和用于它的 近似方法：周期性微观场方法、深埋胞元方法和窗口方法。概括地说，基于离散微结构 的方法是通过解析或数值方法来分析r v e ，或胞元( 1 l i l i tc e l l ) 。它可以采用精细的微 结构几何模型，可以求出详细的微观应力应变场。它主要应用于求非匀质材料的非线性 性能和计算高分辨率的微尺度应力应变场。尽管在许多情况下，为了求得有效性能并不 需要微观场的详细信息，但是材料的损伤和破坏却取决于微观场。对于r v e 中离散微 结构几何模型的选取，有两种互补的见解，一种是统计构造和随机生成的微结构模型， 选取相当数目的增强物体( 纤维或颗粒) ，采用统计方法生成各组分的复杂排列，产生 准随机和统计构造的微结构：另一种是真实微结构模型，采用与真实材料尽可能接近的 组分排列。可以从金相截面，系列截面。上述两种模拟方法都有一个问题需要解决：为 了合适地获得材料的物理性能需要研究多复杂的几何情况和多大的r v e 。对于统计各向 同性的、具有基体一增强体拓扑和类似球形粒子的弹性复合材料，d m g a n 等估计，为了 使整体模量的误差小于1 或5 ，对于任意体积分数，只需取r 的尺寸约为夹杂直 径的2 倍或5 倍。对于非线性基体，许多数值研究表明，为了得到满意的结果需要较大 的r v e 。多数已经发表的关于离散微结构的微观力学分析的论文采用标准的工程数值方 法来计算微观场。现在，有限元方法仍是计算离散微结构最流行的方法，特别是在非线 性范围。有限元在微观力学中的应用大体有四种( 图2 9 ) ：( a ) 大多数工作采用离散为 数目很多的标准连续单元，网格的布置常使得单元的边界位于不同组分之间。其优点是 原则上任何微结构都可以应用商业有限元软件来处理。但是。对于复杂组分的构形很难 自动生成网格，由于次优的单元形状，所得的刚度矩阵有可能不适宜。f b ) 采用较小数 目的特殊混合单元，它是基于适当的分析理论，专门用来模拟在单个夹杂或孔洞连同基 体的非匀质区域内的应力应变场的。当今这种类型的方法的最新进展是由g h o s h 等发展 的v o r o n o i 有限元方法( v o r o n o if i n i t ee l e m e n tm e m o d ) 。混合单元的网格是基于增强 的位置由v o r o n o i 镶嵌花纹得到的。对于较大的平面多夹杂几何排列，采用这种方法时， 只需要较少的单元个数，并有高精度和高效率这种方法是专门为基体夹杂型非匀质 材料而设计的。( c ) 像素离散单元，当待研究的相的几何排列是基于真实微几何的数字 一图象技术时，这种微几何的离散方法是有趣的。它包含正方形或六面体网格，其分辨 大连理工大学硕士学位论文 率与数字一图象的相同。通过运算( 例如给相应像素的灰度以门槛值) 分别把每一个网 格分配给组分中的一个。这种网格的优点是可以根据实验资料( 金相断面，x 光扫描) 直接自动生成。( d ) 多相单元，也是采用正规有限元网格，但在标准单元的结合点赋予 相性能。 鼷鼷 鼷囵 图2 9 随机微结构和微几何简图及模拟它的三种方法 f i g 2 9s k e i c ho f a r a n d o mm i c m 蚰1 l 咖r e dt 1 1 e m i c r o g e o m e t i e s 粕d 也r c ea p p r o a c h e sf o rm o d c l i n gi t 2 4 2 常见的多尺度分析方法 ( 1 ) 周期性微观场方法( p 耐o d i cm i c m f i c l da p p r o a c h e s ) 或胞元方法( u i l i tc e l l m e t l l o d ) 。真实的非匀质材料被近似为组分具有周期性排列、无限延伸的模型材料，相 应的周期性微观场通常是通过解析