（基础数学专业论文）一类拟微分算子解的估计及应用.pdf

摘要 自上个世纪二十年代以来，s c h r i ；d i n g e r 方程就一直是数学物理界所关注和研 究的核心论题之一，其理论和应用背景十分丰富高阶s e h r 6 d i r t g e r 方程甚至更一 般的s c h r 6 d i n g e r 方程都是s c h r s d i n g e r 方程的自然延伸和发展，对其研究不仅会对 数学本身提出更多的挑战，同时也能加深对s c h r 6 d i n g e r 方程的认识 本文主要考虑了在某种退化条件下的一类拟微分方程的解的护一l g 估计，文 章给出了其基本解的逐点时空估计作为应用，这些估计可被用来证明带可积位势 的高阶s c h r 6 d i n g e r 算子在o ( r t - ) 上能生成分数次的可积半群 在具体的研究中，本文主要采用的是调和分析的方法和技术，同时还结合了 泛函分析的一些重要的工具和手段，这其中包括了算子插值、曲面上的f o u r i e r 变 换、单位分解技术、积分半群等特别地，采用的振荡积分技术最近被频繁地用 于s e h r 6 d i n g e r 方程的研究之中 关键词：拟微分方程；护一l q 估计；积分半群 a b s t r a c t s i n c e1 9 2 0 s ，s c h r s d i n g e re q u a t i o n sw i t ha b u n d a n tt h e o r e t i ca n da p p l i e db a c k - g r o u n d sh a wb e e nc o n s t a n t l yc e n t r a ls u b j e c t so fs t u d yo fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s t h e s t u d yo fh i g h e r - o r d e rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s ，w h i c ha r e n a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no f s c h r s d i n g e re q u a t i o n sn o to n l yc a np r o m o t et h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i ci t s e l f , b u ta l s od e e p e nt h ec o m p r e h e n s i o no fs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h e 汐驴e s t i m a t e so ft h es o l u t i o n sf o ra c l a s so f p s e u d o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n su n d e rs o m ed e g e n e r a t ea s s u m p t i o n s a sa p p l i c a t i o n s ， t h e s ee s t i m a t e sc a nb eu s e dt os h o wg e n e r a l i z e ds c h r 5 d i n g e ro p e r a t o rw i t hs o m e i n t e g r a b l ep o t e n t i a lg e n e r a t e sa 每a c t i o n a l l yi n t e g r a t e dg r o u pi n 2 ( r ”) i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yu s et h em e t h o d sa n dt e c h n i q u e so fh a r m o n i ca n a l y s i s ， m e a n w h i l e ，s o m et o o l sa n dm e a n so ff u n c t i o n a la n a l y s i sa l s ob eu s e d a l lo ft h e m i n c l u d ei n t e r p o l a t i o no fo p e r a t o r ，f o u r i e rt r a n s f o r m sc a r r i e do ns u r f a c e ，d e c o m p o s i t i o no ft h eu n i ta n df r a c t i o n a li n t e g r a ls e m i g r o u p e s p e c i a h y w eu s et h em e t h o d s f r o mt h eo s c i l l a t o r yi n t e g r a l sw h i c ha r ef r e q u e n t l yu s e di ns c h r s d i n g e re q u a t i o n s k e yw o r d s ：p s e u d o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；扩一l qe s t i m a t e ；i n t e g r a t e dg r o u p i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经表明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文 中一明确的方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名聊 嗜篆 吼彳年6 月；日 学位论文版权使用使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描的复制手段保存和汇编本学位论文。同意华 中师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名= 即嗜晕 日期：叩年6 月5 日 ， 导师签字： 咖1 徊1 ，、 日期：夕歹年6 月专日 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人 的学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并按“章程”中 的规定享受相关权益。同意论文提交后滞后：口半年：口一年；口两年发布。 储豁即i 乏和 日舢7 年易月5 日 导师签字：翻沙、 日期：节年易月多日 第一节绪论 s c h r s d i n g e r 方程是非相对量子力学中的最基本的方程，其基本形式是 客= i ( a 一跏，u ( 0 ) - u o ， 其中是l a p l a c e 算子，v 是一实值位势函数自上个世纪二十年代提出以来，该 方程及其相应的s c h r s d i n g e r 算子一+ y 就一直成为现代数学物理研究的中心 课题之一，课题经k a t o 、s i m o n 等人为代表的数理学家近半个世纪的开拓和发展， 业已成为数学学科最活跃的研究领域之一，它也与偏微分方程、调和分析、微分几 何等其他数学领域有着深刻的联系我们知道，对上述方程的研究本质上是归结为 对s c h r s d i n g e r 算子的研究在h i l b e r t 空间l 2 ( ) 上，围绕s c h r s d i n g e r 算子的 研究主要集中在其自伴性、谱分析及散射理论三个方面，也即所谓的l 2 理论 然而，近二十年来，人们逐渐认识到s c h r s d i n g e r 算子的驴理论的研究不仅 仅是数学理论的推广和兴趣，它更多的研究动力是其能广泛地应用于线性和非 线性的各种问题在驴( r n ) 上，关于s c h r 6 d i n g c r 算子的半群与谱的研究首先 被s i m o n 4 1 发起和强调特别地，s i m o n 还对s c h r 6 d i n g e r 算子的口理论的意义 和价值作了充分的阐述随后，人们围绕【4 】中的众多公开问题进行了大量的研究， 例如s c h r s d i n g e r 算子汐谱的独立性及推广的研究就十分活跃 高阶微分算子p ( d ) + v 的研究的是s c h r 6 d i n g e r 算子的直接发展和延伸， 对其研究不仅丰富了数学本身的理论，而且还加深了对s c h r s d i n g e r 算子的认识， 因此它的研究自然引起了人们的众多兴趣和关注在p ( d ) + v 中，如未指明， p ( d ) 为任意系数的微分算子，当然p ( d ) 也可以是具有一般象征的拟微分算 子，y 为任意的可测函数从形式上看，人们通常把这种算子称之为高阶( 或广 义) s c h r s d i n g e r 算子，尽管高阶s c h r 6 d i n g e r 算子与二阶s c h r 6 d i n g e r 算子有许多 共同的研究主题( 例如散射理论，半群与谱等) ，但主算子p ( d ) 的复杂性使得对 高阶s c h r s d i n g e r 算子的研究有着更大的难度，其理论还需要进一步的完善和发展 与二阶s c h r 6 d i n g e r 算子相比较，在高阶s c h r s d i n g e r 算子的研究中人们感到更加 需要调和分析技术，如算子插值理论，f o u r i e r 乘子理论，振荡积分方法等等，这方 面的知识见s t e i n 1 7 1 9 尽管c a u c h y 问题是与算子半群密切联系，但针对上述的椭圆微分算子i p ( d ) 对应的c a u c h y 问题( 即自由高阶s c h r s d i n g e r 方程) ，除了用算子半群来讨论估计 以外，人们还可以封直接讨论其解算子的驴一口估计研究这些估计主要依赖于 调和分析中的振荡积分技术，其处理过程自然要复杂许多 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 本文的主要目的是研究如下形式的广义s c h r s d i n g e r 方程解算子的口一伊估 计： o t u = 皿( d ) 牡，t 正( o ，- ) = u o l p c r “) ，( 1 1 ) 其中皿( d ) 为一个拟微分算子，从而该方程事实上是一个拟微分方程假设皿( d ) 具有象征为皿( ) = q ( ( ) ) ，q ( s ) 为r 上的仇( m 2 ) 阶实多项式，妒( ) 为一次 正齐次函数并且在r n 0 ，b r t ) ， 其中妒( ) 为光滑函数且当f 充分大的时候为1 ，在原点附近为0 当m ( f ) 为非退化 的m ，阶非齐次实椭圆多项式的时候，说( ) 非退化，如果其主部皿m 的h e s s i a n 矩 阵的行列式在0 是不为o 此时可以证明，皿( ) 非退化与 r 他i 皿。( f ) = 1 的高斯曲率不消失是等价的在这样的条件下，首先由b a l a b a n e 和e m a m i p 沮d 2 1 得到了基本解的全局时空估计以及解算子的汐一l q 估计，但结果比较粗糙，相 比之下，在他们的研究基础上，c u i 5 6 1 得到了基本解的最佳时刻估计，说最佳是 指此时的估计与m i y a c h i 1 5 1 所考虑的齐次情形是一致的，但对时间却是局部的 但是近来在相同的假设之下，k i me ta l 1 4 1 中得到了基本解最佳的全局时空估计 以及解算子的护一。估计另一方面，由于皿( ) 的非退化条件的限制对多项式 来说是很强的，存在大量的退化多项式如p + + 凹( m = 4 ，6 ，) ，这要求 我们要去考虑退化的情况，那么如何来描述退化性就变得至关重要了z h e n ge t a 1 1 2 3 】在处理1 i r ( ) 为正齐次实椭圆多项式的时候引入了一种关于退化的描述：假 设f f r “i 皿( f ) = 1 为有限型，当然此时还要求其为凸曲面，这这样的假设之 下得到了基本解的逐点时空估计以及解算子的驴一l a 估计然而若皿( f ) 为非 2 齐次实椭圆多项式且代r n l 皿。( ) = 1 为有限型的时候，我们无法采用k i m e ta l 1 4 】的方法来得到基本解的逐点全局时空估计了，但是我们可以来处理某一 类皿健) ，这就是我们文章所要解决的问题，其中m ( ) 的条件在前面已经给出另 一种关于退化的描述就是x y a o 和q z h e n g 2 1 】中所引入的( h b ) 条件： ( 凰) m a x l 七n ( ) i 一= o ( 1 f 1 一忡一2 ) 6 ) ( _ ) 其中 a k l l 为矩阵日p ( f ) 的佗个特征值，0 b 1 ，p ( ) 为m 阶的非齐次实 椭圆多项式事实上，在x y a o 和q z h e n g 2 1 】中已经证明当b = 1 的时候，( h 】) 条件与p ( ) 非退化是等价的 众所周知，算子半群是研究发展方程的一个有力工具，其丰富的理论知识对微 分算子的研究有着广泛的影响，其中对常系数微分算子是其对微分算子应用的核 心部分在驴( r “) ( p 2 ) 上，我们知道c 0 半群对微分算子的应用主要适用于强 椭圆微分算子事实上，h 6 r m a n d e r 1 l 】在六十年代已经证明了在l p ( r ) 上椭圆 算子i 生成g 半群的当且仅当p = 2 此后，为了克服g 半群对应用的局限性， 人们相续提出了其他的几类算子半群，其中包括分布半群，积分半群，正则半群等 等这些半群能处理非强椭圆常系数微分算子，尤其包括形如i p ( d ) 的椭圆微分 算子，这里p ( d ) 是实系数椭圆微分算子 第二部分主要研究了带可积位势的广义的s c h r 6 d i n g e r 算子i ( d ) + v ，其中 为了证明算子在扩上生成分数次积分半群，我们主要采用了算子扰动的方法得到 了算子的豫解式估计，而这又依赖于第一部分所得到的自由情形时方程( 1 1 ) 解算 予的扩一伊估计，以及i 皿( d ) 生成分数次积分半群的结果这部分内容我们不但 改进了b a l a b a n e 和e m a m i r a d 2 1 中的相应结果，还突破了非退化的限制也改进 了z h e n ge ta 1 1 2 3 1 中的相应结果，具体结果可见文章正文部分 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 2 1基本记号 第二节预备知识 这本篇文章中，我们始终假设q ( s ) 为r 上的m ( m 2 ) 阶实多项式，妒( ) 为一次正齐次函数并且在舯( o ) 上光滑，其中n 2 记为水平集( f r n l ( ) = 1 】 由于对于有v ( ) 0 ，我们可知是r “中的紧光滑超曲面但是为 了估计箩- 1 ( e 赴口) ( o ) ，其中( ) = q ( 砂( ) ) ，我们需要关于更进一步的几何 条件因此我们要首先介绍有限型的概念记s ”1 为r n 中的单位球面令 v 叩= 仍a a ，7 = ( 叼1 ，) s “， j = l 为沿方向叩的方向导数，并令为沿此方向的歹阶导数 定义2 1 记k 正整数光滑超曲面被称为k 阶有限型，如果存在常数c 0 使得 k i ( ) i c j = l 对任意的和，7 s n 一1 均成立我们称e 为凸曲面如果对任意的f 有 e c 叼r n l ( 7 7 一f ，v 砂( f ) ) o 显然，为k 阶有限型当月仅当七2 ，并且如果为k 阶有限型那么它必 为凫7 ( 尼) 阶有限型如果是正的齐次椭圆多项式的水平集，那么e 是紧的光滑 超曲面，并且是有限型的( 见z h e n ge ta 1 1 2 3 ) 例如若( ) = ( f p + 曰+ + f ? ) 击， 那么e 为m 阶有限型 定义2 2 称t ( t ) b ( x ) ( 0 ) 为b a n a c h 空间x 上的强连续线性算 子半群( 简称为c o 半群) ，如果t ( o ) = ，t ( s + t ) = t ( s ) 7 1 ( t ) ，s 0 ， 及l i m t l o ? ( 芒) z = z ，比x 又称由 d ( a ) 全 z x ；l i m 型存在 ， q o t a z 全l i m 婴2 兰二型 t l ot 定义的线性算子a 为c o 半群的无穷小生成元( 简称生成元) ，亦称a 生成t ( t ) 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 为了后面的应用，我们先对积分半群的定义做一点简单的介绍 定义2 3 设a 是b a n a e h 空间x 上的一线性算子，并且p 0 我们称一强 连续算子族t ：【0 ，o o ) 一l ( x ) 为肚具有生成元月的卢次积分半群，如果存在 常数c ，u 0 ，使得对t q ，( t d ，0 0 ) cp ( a ) ( a 的预解集) ，i i t ( t ) l l c e “，并且 ， ( 入一a ) _ 1 z = a 卢 e 一她t ( t ) x d t ，a u ，z x ，0 如果4 和一月均是x 上p 次积分半群的生成元，则称a 是x 上一p 次积分群 的生成元 2 2 需要的引理 首先给出一个关于超曲面的曲面测度的f o u r i e r 变换的引理( 见【3 】) 引理2 4 假设e 为船中紧致的光滑凸超曲面，并且为昆阶有限型的对每 个，7 铲，令为e 上以- t - r 1 为外法向的两个点如果妒c o o ( ) 并且定义 一 舯妒( ) 打( ) ，) = 蠢) 妒( ) 打( ) ， ，e 那么 石j 苫( 入叩) = e i m n ，+ ) 月( 入) + e 认佃，f 一) 日一( a ) + 月0 ( a ) ， a 0 其中啦，k c o o ( ( o ：。o ) ) ，并且对任意的j n ，存在仅依赖于的常 数g ，q ，| 使得 i 础( a ) l q a 千孚， 和 i 爿2 ( a ) i g ，| a 一，v n 0 下而的引理是关于积分半群的生成问题的，对于给定的b a n a c h 空间上的一线 性算子a ，如何判定其是否为一积分半群的生成元是很重要的，下面给出一个充分 条件，该结果可以参见h i e b e r 1 0 引理2 5 设a 是b a n a c h 空间x 上的一线性算子，若存在常数c ，u 0 和7 一l ，使得对r e a u ，有a p ( a ) 和j l ( 入一a ) 一10 7 则算子a 在x 上生成一p 次积分半群，其中 7 + 1 5 为了方便应用，我们还需要如下的引理( 见【1 3 】) 引理2 6 令( a ，d ( a ) ) 是x 上口次积分芈群的生成元，令( b ，d ( b ) ) 为x 上的线性算子使得d ( a ) d ( b ) 以及存在常数m ，u 0 使得当p l e a u 时有i i b ( , x a ) 一1 l ism a + 1 进一步，如果x = 口( r n ) ( 1 0 。令妒c ”( 尺) 使 得s u p p 妒c 【l ，。o ) ，0 妒( s ) 1 以及当s 2 l 时有垆( s ) = 1 ，其中l 为一个常 数并且满足当s l 时存在c 1 ，c 2 0 使得 c l s 一i q u ( s ) i c 2 s m j ，0 j m q o ) ( s ) l c 2 8 ”一j ，0 j n ( 3 2 ) 由于积分岁- 1 ( e - i t c a ) ( 。) 与岁1 ( 细) ( z ) 本质上是一致的，因此我们只须估 计莎1 ( e 抛) ( z ) ，t 0 。我们分下面几种情况来处理 莎一1 ( e n 皿) ( z ) = 夕一1 ( e “皿( 1 一妒( 矽) ) ) + 岁一1 ( e n 皿妒( ) ) ：= k 1 ( ，z ) + 如( t ，z )( 3 3 ) 7 叩 器 = r 0q n l 一 l =m 中其 rm l i 一 z = 一 记 我们首先估计k 2 ( t ，z ) 。对v 0 ，记 毒( ，z ) ：=e 1 币代) “( ) “憎化) 妒( 咖( ) ) 必 = j ( e + 唰吨铲1 吣) ( 上出神高葡蛐) ) 如，( 3 4 ) 其中r = 蚓，。z = r u ，q ( s ) = 銎oa i 8 ，如为上的诱导测度 由于为r n 中的紧凸超曲面，那么高斯球面映射 岫曼一揣时q 是从到s n 一1 的同胚因此对给定的u s ”1 ，存在牲使得士u 分别为其 单位外法向，并且由e u l e r s 齐次公式有 ( 帅) - ( 黼m ) = 志 1 9 z , 由引理2 4 和( 3 4 ) t ( 2 ，。( ，z ) = e - 5 s + i t q ( s ) + 打舢m + 以( r s ) - s ”1c p ( s ) d s + e - 5 s + i t q ( 3 ) + 打5 ( 州一) 日一r s ) s ”1 妒( 5 ) d s + e - e s + i t q ( 5 比( r s ) s ”1 妒( s ) d s ：= i ：+ 硅+ 砭 = 一e s + i t q ( s 1 = 。( r s ) 5 ”1 妒( 5 ) 由于当s l 有u ；( s ) 0 ，那么定义d 口，= ，) 其中夕( s ) = 一南由归纳法可 以得到 ( s ) l c 憾( s ) ) ( 札箩“( 5 ) ) 帅( 扎) 十1 j ， ( 3 5 ) l a l = # 其中嫠：啦= 2 j ，o t 峨“并且( 名仅依赖于j ，m 因此由( 3 2 ) 和，( 3 5 ) 我们 可以得到 垆) ( s ) i c t 一1 s 1 一j m 8 旬0 令 以以 霉r-、一， 分积虑考 们 我先首 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 另一方面，根据l e i b n i z s 公式以及引理2 4 有 更进一步我们有 i 毋i c r 一s n j _ 1 珥( ，) = 瓯夕夕( 夕( q ，( 州) ， h l 刮 ( 3 6 ) 其中o l 为多重指标q = ( 乜l ，哟+ 1 ) 心+ 1 满足川= j 以及0 a l 吗 因此有 q ( 忱) ic t j r 一s n m j 一一1 那么当t 1 ，r j 时，我们采用分部积分可以得到 ，t00 覃i = i e u 3 ( 3 ( d ；忱) ( s ) d s i i d ；( v 3 ( s ) ) l d s ，0j 0 c t j r - c t 一”r - h ( m ，n ，七) g 一l ，2 一c n 一1 ，七( ；) 一 7 “ n 七 其中在倒数第二个不等式中我们令歹= ( 2 n k k 一2 n + 2 ) 2 k ( m 一 及n h ( m ，他，七) 这里，对h ( m ，n ，k ) 和的选择是根据下面的估计( 3 r 3 ) 的 接着我们估计积分譬令 让l ( s ) v l ( s ) - - e 8 + i t q ( s ) + i r s ( w ，佴) i - 1 + r s ) s 铲1 妒( s ) f = r ，叩+ ) ，并且仍记夕( s ) = 一百1 两， c t - 1 s 卜“，因此由( 3 5 ) 可得 以及 9 ( s ) i ( 3 7 ) 1 ) 以 而来 此时我们注意到l 夕( s ) i c f 一1 以及i 夕( s ) is c t - 1 8 1 一仇一j 9 u ( s ) i c f 一1 s j c r 一1 5 对上两式采取平均，对任意的0 【0 ，1 ，有 9 u ( s ) i g 7 _ 一口t o 一1 s ( 1 一口) ( 卜m ) 一 9 又由引理2 4 以及l e i b n i z s 公式可以得到 那么根据( 3 6 ) 有 d ；( u t ) i 口p ic r - 孚s n l 手串 c r - ( 乃+ 量) 一j ( 1 一e ) s - 盼( 1 一m ) 一t 可一1 一曼 + n 令口= 1 一；，其中l ，在( 3 7 ) 式处已经被定义那么当j n 时，一方面有 o 口 h ( m ，n ，七) ， 一( 1 一m ) 一删一1 二t n - 1 + 礼= 一j 一三 _ 1 因此当t 1 ，r 6 时， 那么我们可以得到 d ；( 口l ( s ) ) i c t 一”r 一 ( m ) s 一卜 ，j n ，o o c i i d ；( v , ( s ) ) l d s c t 7 “哪朋 - ，0 最后我们来考虑覃令 1 1 2 ( 8 ) 忱( s ) - - e 8 + i t q ( s ) + i r s ( w ，叩一) h r s ) s n - i 妒( s ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 和f = 南由于q ( s ) 一f = 0 最多有m 一1 个实根，不失一般性我们假设它 们分别是8 1 ，s 卢其中1 p m 一1 并且l 8 1 s p 更进一步我们 由( 3 2 ) 可知存在常数西，吐使得 c ：( ；) 由 s 1 1 ，h 6 的每一紧子集上一直收敛到恐( t ，z ) ，叶0 因 此令_ 0 我们有 i 配( t , x ) i 优一”i z l _ h ( m , n , k ) - - - - c t - 1 2 - ( n - 1 ) k i l 孝a ) 一 州，1 ，i z i 坤1 3 ) 下面来估计k l ( t ，z ) 首先我们选取光滑函数妒( f ) 使得 s u p p 砂c r n ；去2 ) 以及 砂( 2 一) = 1 ，f 0 1 z 注意到函数1 一妒( ( ) ) 具有紧支集，所以存在仅依赖于三的常数使得 m o， i k i ( 扣) i 。三i 乱叭日( 1 _ 粼删2 飞) 必j m o， 。三2 胁i 2 k 乇姗仁) ( 1 刊2 燃蚓 m o g 2 t ( n - q ) t 4 g c ( t 一1 i x l ) - qv q n o ，0 g h ( m ，n ，k ) + 1 因此如果t 1 ，6 并且t - l i x i l ， 那么我们可以在( 3 1 4 ) 中令q = m a x + 1 ，o ) 这样便可以得到 i k l ( ，z ) l c ( t 一1 i x l ) 一9 c ( t 一1 i x l ) 一 ( m ， m 联合估计式( 3 1 3 ) 便有 l 夕一1 ( e n 雪) ( z ) i i k l i + i j 岛i c ( t 一1 i x l ) 一 ( m 七) c ( 1 + t - 1i x l ) 一 ( 仇，巩 若t l ，r 6 以及t - 1 r 1 ，那么再通过( 3 1 3 ) 以及在( 3 1 4 ) 中令q = 0 便有 i 罗1 ( e n 雪) ( z ) l i g li + l 鲍l c c 7 ( 1 + t - 1 i x l ) 一h ( r n , n , k ) ， 12 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因此我们得到了 i 乡? 一1 ( e n 田) ( z ) i 0 ( 1 + t - 1 i z i ) 一 ( m ，“，t 1 ，l 。i 6 ( 3 1 5 ) ( i i ) 现在考虑t 1 以及吲5 将配。写成如下的形式： 啪= 上( z e 一“州卅州啪分q 删s ) 揣 由于t 1 和6 ， i 乱，( s ) i ：i e + i t q ，( s ) + 订( u ，7 ) i i m 其中m 2 粤p l q 7 ( s ) i ) ，那么通过分部积分可以得到l 配，e ( z ，x ) l c 与前面一样 采取控制收敛令e _ 0 ，我们有 i 尬( ，z ) i c ，t 1 ，i z i 正 另一方面，在( 3 1 4 ) 中令q = 0 ，我们仍可得到 一 i k l ( ，z ) i c 注意到当t 1 和6 时，有i t - l i x i 6 ，因此 i 莎一1 ( e n 田) ( z ) i i k l i + i i c c 7 ( 1 + t - l i x l ) 一 ( m ，n ，( 3 1 6 ) 那么联合( 3 1 5 ) 与( 3 1 6 ) 我们可以得到 i 。尹一1 ( e n 皿) ( z ) i c ( 1 + t - 1 i x l ) 一 ( 仇 ，t 1 ，z r ” ( i i i ) 最后我们考虑0 t 1 和z r “ 通过伸缩变换 莎。( e 赴毋) ( z ) = z 一景莎_ 1 ( e 皿) ( 一去z ) 其中面( f ) = 凳o 譬( ( ) ) 首先注意到当t 1 时，通过取不同的独立于t 的常数c j ( j = 1 ，2 ) 和常数l ，q ( s ) = 竺la i 等s 仍然满足( 3 2 ) 因此由相同的 方法以及令t = i ，我们可以得到 i 莎一1 ( e i 屯) ( z ) i c ( 1 + i x l ) 一九( m ，仉 13 那么 l 莎一1 ( e n 田) ( z ) i c t 一景( 1 + t 一丽1l z l ) - h ( m , m k ) ，0 m ，并且当2 k t ( m ，n ) 的时候h ( m ，佗，k ) 0 那 么当2 k t ( m ，7 1 , ) 时，记口日g e 为一个闭的四边形以一下四个点为顶点： a = ( i i ， ) ，b = ( 1 ，；) ，c = ( 1 ，o ) ，以及e = ( 7 1 ，o ) ，其中7 = n ( 仇，佗，七) ，丁7 是7 的对偶指标满足i b - + 1 一= l ( 见图1 ) 其次，我们记l p ，q ( r “) 为l o r e n t z 空 间( 见【9 】) 并且记i p 一- 为c ( 汐，l q ) 中的范数( ( 驴，l q ) 为从l p ( r n ) 到l q ( r “) 的有界线性算子组成的空间1 定理3 2 在定理7 珀假设下，如果2 k ，( m ，礼) ，那么 “e n 霍c 。踞一l ! 喜：三 芝；，：l ；i 三 ， c 3 8 ， 其中( ；，；) 哦kb g e 和 州! = 1 4 轨 k 一一 ，l，l = = 、，、， 呈土他儿皓其 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 三 q 1 o i 1e ( 专，o ) c ( 1 ，o ) ； 图1 ：当2 k 7 - 时， 有伊- 1 ( e n 电) l qnl 7 一n n e hy 0 u n g ( 或者弱y o u n g ) 不等式，我们可以得 到e i t 皿( d ) ( 0 ) 关于闭线段b c 上的点的估计为 e f 雪( 。i | l i l ! s 三：羹l ：一，：i ：i 三； 0 使得 i l ( a i q j ( d ) ) 一1 i i l ，一臼c ( i r e 入i 景( ；一：) 一1 + j 胁入厂n i 专一；卜1 ) ，d r 觑入0 ， 其中( ；，：) 口鲁日c e b ，e ) 以及；一； 0 时，对任一厂s ( r “) ，有 ( a i 皿( d ) ) - 1 ，= 莎- 1f ( a i 皿( ) ) 一1 力 = e 。乡_ 1 ( e 乱母乃d ：e 砒e 胂( d ) 砌 j o 由( 1 加，1 q ) 口盖b c e 口，e ，1 p l g m n ，以及定理3 2 我们有 一i k o ( d ) ) i l l ，小e 一( m ) 。秽屯( d ) 1 1 肛l 。d t c o o e - ( a e ) ) t ( t 景冲州一啪 c ( i r e a i 景( ；一：) 一1 + l r e a i n f 争一；| 1 ) 当r e a 0 时，对任一f s ( r t “) ，我们注意到如下公式 ( a i 皿( d ) ) 一1 ，= 一( 一a + i 皿( d ) ) 一1 厂= e a t e 一乱雪( d ) 丸t 故所要证明的豫解式估计仍可由定理3 2 得到定理证毕口 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四节 对算子i 皿( d ) + y ( z ) 的应用 在这一节，我们将通过运用e t t 口( d ) ( 0 ) 的护一估计来证明这个广 义的带位势的s c h r s d i n g e r 算子t 皿( d ) + y ( x ) 在驴( r n ) 上生成积分半群，这 对s c h r s d i n g e r 方程的解的驴( r n ) 估计是至关重要的 此时，我们要给算子皿( d ) 一个额外的假设( h ) ( h ) ：皿( ) 为光滑函数或者皿( ) 为齐次函数事实上这样的条件是有意义的 由于皿( ) = 2 0 a i ( f ) ，那么我们假设为一次齐次函数，并且令啦= 0 ，i m ，那么此时有皿( f ) = ”为m 次齐次函数，特别地，此时当m = 2 时( d ) 对应于拉普拉斯算子另一方面，当p 为p + + 凹m = 4 ，6 ，) 时， 令函= p 去也能满足我们的假设 如果皿( ) 为光滑函数，则有皿( f ) s ( r n ) ，那么算子i 皿( d ) 在定义域为 d ( i 皿( d ) ) = ，汐( r n ) ；莎_ 1 ( i 皿) 木，u ( r “) ) 是2 ( r n ) ( 1 p o o ) 上为闭稠定算子另一方面，当皿( ) 为m 次齐次函数的时 候，由于皿c ( r “ o ) 为m 次齐次函数，那么莎- 1 ( 皿) 为一他一肌次齐次分布 并且仍然属于c o o ( 时 o ) ( 见h s r m a n d e r 1 1 ) 现在我们取函数p 掣( r “) 使得 当蚓l 时有p ( ) = l ，那么莎_ 1 ( 皿) 则可表示为一个l 1 ( r “) 函数莎- 1 ( 皿) ( 1 一p ) 与一个具有紧支集的分布夕- 1 ( ) j d 的和因此；岁- 1 (