（基础数学专业论文）关于may谱序列e2项的若干结果.pdf

ab s tr a c t ab s t r a c t o f t h e s t a b l eg ro u p s o f s p h e r e i s o n e o f t h e c e n t r a l t o p o l o g y . t h e m a i n m e t h o d t o i s t o u s e t h e c l a s s i c a l a d a m s s p e c tr a l w h o s e 凡 t e r m i s t h e c o h o m o l o g y o f t h e s t e e n r o d a l g e b r a . m a y ( 6 ) g - t w o t h e c o h o m o l o g y o f t h e a l g e b r a . a s a n a l g e b r a , t h e凡 t e r m o f t h e s e c o n d ma y s p e c tr a l s e q u e n c e i s e ( h , n = 1 ,2 , . . ., .1 = 0 ,1 , . . .) . p ( b , , i n = 1 , 2 , . . . , .l = 0 ,1 , . . .) .p ( a . l m = 0 ,1 , . . .) w h e re e r e p r e s e n t s e x t e r i o r a l g e b r a ,尸r e p re s e n t s p o l y n o m i a l a l g e b r a . i n t h i s p a p e r , w e p ro v e s o m e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e c h a i n wh i c h c o n s i s t s h ,., a n d t h e c o h o m o l o g y 山 e a b o v e c h a i n c o m p l e x i n t h e c a s e p = 3 . k e y wo r d s : a d a m s s p e c t r a ls t e e n r o d a l g e b r a m a y s p e c t ra l s e q u e n c e b a s i s m a t r i x w e i g h t s u b c o m p l e x . t i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印 刷本和电 子版，并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印 件和电子版; 在不以 赢利为目 的的 前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内 容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 :偿妙， 及 刃 7年犷月少 口 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 介介水 学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内 部 5 年c 最 长5 年 可 少 于5 年 ) - 秘密1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于 l o 年) 机密2 0 年 ( 最长2 0 年、可少于g o 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引 用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 已 公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名: 年月日 第 一 章 权 子 复 形 及h ( r) 的 性 质 第一 章 权子复 形及h ( r ) 的 性 质 代数拓扑学的一个主要任务是计算球面稳定同伦群, ( s ) ，其中 n r + l , s 为n 维 球面， 也即 计算7 c , ( s o ) ， 这里s o 为 球谱. 经典的a d a m s 谱序列的e 2 项 ( 即代 数 上 同 调 ) 凡 ， = e x t a ( z , , z , ) = ,t ,- ( s o ) , ， 其 中 ,r ,- , ( s o ) ， 为 二 - , ( s ) 的 p 一 分 量 群 . 而m a y 谱 序 列 则 是 计 算 代数上同 调 ( 记 为h ( a ) ) 的 重要 工具， 它由 两 个 谱序列 组成: 第 一 个m a y 谱 序 列 瓦= h ( e o a ) = : h ( a ) ， e o a 二 v ( l ) ， 其 中l 二 p ( e o a ) 为e o a 的 原 初元 集合，v ( l ) 为l 的限 制 泛包络 代数: 第二个 m a y谱序列 e 2 = : , h * ( v ( l ) ) = h ( e o a )，并有结 果 e 2 = e ( h j i n = 1 ,2 , . 二 ， .1 = 0 ,1 , . . .) . p ( b j , t . i n = 1 , 2 , . . . , m , 1 = 0 ,1 , 其中e 为 外 代数， 尸 为多 项式 代 数， 用卜 i 表 示 上同 调阶数， 卜 ” 表 示 对偶 代数的 阶数，则以上群的分次为i h , i= 1 , ii kj ii= 2 ( p j - p ) , i b 一2 , 11 b j 11= 2 ( p - l 一 尸 +) d 2 ( h , ) = 一 艺幅j+i h jj 各e ， 为 交换d g a . i t 卜1 ，( n 1 ) ，d 2 ( t 0 ) li t . ii =0， = 2 p - 1 ， 且 么仇j ) = 0 d 2 ( t ) = 乏 h - u t, , d 2 ( b j ) = 0 , 凡 . 中 有 子 复 形 e ( h j i n = 1 ,2 , 二 ， j = 0 ,1 , 重 新 表 示 为 x j r * j = h .i 则 该 第 一 章 权子 复 形 及h- ( r) 的 性 质 就为外代数e ( x , i i = 0 , 1, 2 , - 二 ， j i) , 微分为d x t,j - f kj - ti+ ix t,t x t ,j = 0 . 令 这 个 复 形 为r ， 则 它 有 子d g a复 形 r= e ( x ,j 1 0 1 ， 二 、 = n ) 的 一 个重新 排列， 则 两 个链复 形 作为 线性 空 间 的 维 数相 等， 即d im r ( fo , 4 ， 一 、 动= d i m r ( j , , i i ， 二 、 . n ) ( 不 是 上同 调 群 ! ) . 性质1 . 3= d i m h ( r ( n 一 i n , n 一 i . _ , , n 一 io 由 链复 形凡到自 身的 反射同 构r 导出. 性质 1 .4 d i m h ( r ( i o , i . . . . . in ) ) = d h n h ( r ( n 一 io , n 一 il . 二 ， n 一 i n ) ) 由 链复形 凡到其对偶链复形的对偶同构导出. 性质 1 .5 d im h ( r ( io , i . . . . in ) ) = d im h ( r ( i i2 - -, in , io ) ) 由 链复 形凡到自 身的旋转同构口导出. 性 质1 .6 d im h ( r ( i o , i . . . . . in ) ) = d im r ( i o , i l . . . . . i n ) = 1 , 如 果( io . il ， 二 、 动为 ( 0 ,1 , - - , n ) 的 重 新排 列. 其它 情况下，d i m h ( r ( io , i, ， 二 、 in ) ) 为 偶数. 性质 1 . 1 的证明. 第 一 章 权 子 复 形 及h - 凡) 的 性 质 .趴-k+i 艺 、 -艺 (1 一 ， ) + 一 熟一 a .,，十 、 ， _ n (n + 1).0 2 性 质1 .2 的 证明 . 只 需 证r ( io , . . . , 1k , i k + v . . . , 动与r ( 2 0 , - b ik + l , ik , - - -, i . ) 的 基 矩 阵1 - 1 对 应 将 基 矩 阵 ( a , ) 对 应 到 ( b ,j ) 如 下( 省 略 部 分 不 变 )， a 卜 2 声 a k - l .k a k - 2 , k + 1 口 * 一,k + l a k ,k + l b k - 2 ,k + 1 a k ,k + 2 口 k + 1 声 + 2 a k ,k + 3 口 k + l k + 3 对应 b k ,k + 2 b k + l .k + 2 b k .k + 3 b k + l ,k + 3 其 中 b k k + l = 1 一 a k ,k + l ， 如 果 a . .k = a . ,k + l ， 则 久 ， = 气 ， + ， = a . ,k ; 如 果 a . . * a .,k + l ， 则 b . .k = a .,k + l ， b . .k + l = a . .k ， 二 = 0 ， ， k 一 1 ; 如 果 a k , = a k + l, ， 则 b k ， 二 b k + l,r = a k , ; 如 果 a k , * a k + l, ， 则 b k ., = a k + l., , b k + 1, = a k , , v = k + 2 , . . . , n ; a , = b ,., 其 它 情 况. 性 质1 . 3 的 证 明 r ( io , il 二 ， i. ) 基 矩 阵 (a ,户对 应 r ( n 一 i . . . .， n 一 il , n 一 10 ) 的 基 矩 阵 ( 、， 一 ， ) 如 下( 正 负 号 由 环 同 构 法 则 确 定 ) ， a . - 2 r , 口 n - 2 j r 1 对应士 a n - 3 ,n - 2 a , ,. a , ,. - , a o ,n - z ao.al.际 ao，al.肠 性质 1 . 4 的证明. ， 人., in ) 基 矩 阵( a , ) 对 应r ( ， 一 i o , n 一 i . . . , n 一 to 的 基 矩 阵( 1 一 a , , ) 如下， 4 第 一 章 权 子 复 形 及h- ( r n ) 的 性 质 1 一a 0 ,2 1 一 a 1,2 1 一 a 0 ,3 1 一 a 1,3 1 一 a 2 ,3 对应 1 一 a o ,n 1 一 a l ,. 1 一 a 2 ,n ao.al.气 ao.al，阳 a0，zal.z a n - , ,n1 一 a n - l ,n 性 质1 .5 的 证 明 . r ( i o , il 二 ， t o ) 基 矩 阵( a , ) 对 应r ( ln t 0 r h v. l 临) 的基矩阵如 下 ( 正负号由d g a模同 构法则确定) ， a o , 2 a o . 3 a 1 . 2 a l ,3 1 一a n - 2 ,n a o .l a 2 . 3 对应士 1 一a o ,n a o ,n _ l a l ,n - l ao.al.际 a n - l , n 口 n - 2 ,n - 1 性质1 . 6 的证明. d u n r ( 2 o , 2 l , . . . , i n ) = 1 由定义. 其它上同 调维数为 偶数是由 于r ， 是 一 个整 系 数 链 复 形 与z ， 张 量 积得 到的 复 形， 而 根 据k o s t a n t 定 理 对 应整 系数复 形的上同 调群的自 由 部 分 在 权( i 0 1 i1 + . . . l i n ) 不是( 0 ,1 ， 一 ， n ) 的 重排时为 零， 所以 运算在上同调群上的作用为 1 - 1 对应， 所以上同调群维数为偶数. 以下是本节的主要结果: 定理 1 . 1如 果r , ， 中 的 权 子 复 形r ( 1 o , 1 1 , , j _ 1 ) 满 足 h * ( r ( j o , j l ， 二 、 h 十 1 ) ) # 0 , 则 存在r 。 中的 权子 复 形r ( i o , tl ， 二- , 1 . ) 满足h ( r ( j o , = 1 ,- , l ) ) # 0 并且 月 ( o , i l , . . . + . n , j n + 1 ) _ ( i 0 十 c o ,h +e 1 , , i. + s , tt + l 一 艺e t ) (* ) 其中s ! 只能 取0 或1 . 5 第 一 章 权子 复 形 及h ( r) 的 性 质 证明 : 首先r + 1 = 凡. e ( x o + , , x ,r + . . . , x+ 1 ) ， 在r n + ， 上定 义一 个 新的 分 次ii . 比 ， 如 下: ii x , + , ll, = n 十 1 一 i 0 , i = 0 , n ; ll , = o , o s j k 】! ， = 0 “ x k , .+ 1 ll, 2 , 各 x n 为0 , 1 或2 . 显 然h ( r ( 1 ,1 1 ,3 ) ) = 。 ; 而 对 于风: q峥q， 丸: q冲q， 有k e r 叭= x 2 ,a 2 = im d 2 ， 故h 2 ( r ( 1 ,1 1 ,3 ) ) = 0 . 所以 整 个h ( r ( 1 ,1 1 ,3 ) ) = 0 ， 即r ( 1 ,1 ,1 ,3 ) 零调. 同理r ( 0 ,2 , 2 , 2 ) 亦零调.证毕. 第二 章 p = 3 时h ( r , ) 的 计算 由 上 节的定 理1 . 1 及 本 节定 理2 . 1 知， 在r 。 中 ， 只有 权 ( j o + j l . j 2 + 1 3 1 4 卜0 0 + c o a + e 1 . = 2 + e 2 + j 3 + c 3 ,4 一 或 . 0 8 k ) 的 那些 权 子 复 形的 上同 调 群 才 有 可能 不 为 零 ， 其中( i0 1 2 1 1 3 ) 为( 0 ,1 ,2 ,3 ) 的 一 个 排 列， e k 为0 或1 . 由 性 质1 . 5 ， 只需考 虑人 为 最大的 情形. 1) . 若人= 4 ， 则各e k = 0 ， 此即( 0 ,1 , 2 ,3 ,4 ) 的 一个排列， 这已由 性质 1 . 6 所确定. ii ) . 若.1 4 = 3 ， 且j o i a 1 i 2 l a 中 有。 的 话， 利 用性 质1 . 5 将。 换至 末 位， 再 由 性 质1 . 4 便转换 至i ) . 的 情形. 故 下面我们假设j o i a 1 j 2 1 a中 最小 者 为1 . 由 于人= 3 = 4 - 或 . o e k ， 故s k 中 只 有一 项为1 ， 其 余 为0 . 不 妨 设i0 = 0 , 则 。 必 为1 ( 否则j o 仍 为0 ， 与j o i a 1 a 1 a 中 最小 者 为1 矛 盾) ， 故 除 权 为( 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ) 的 一个排列的权子复形 外， 只有权为( 1 , 1 , 2 , 3 , 3 ) 的一个排列的 那些权子复形的上 同调群才有可能不为0 . 以 下 仍然考虑j 4 = 3 的 情 形， 这时( 1 ,1 , 2 ,3 ,3 ) 的 排列 共有1 2 种. 反 复 运用性 质1 .3 - 1 .5 ，易知 d i m h ( r ( 1 , 1 , 2 , 3 ,3 ) ) = d i m h ( r ( 3 , 1 , 1 , 2 , 3 ) ) = d i m h ( r ( 3 , 2 , 1 , 1 ,3 ) ) = d i m h ( r ( 2 , 1 ,1 , 3 , 3 ) ) ; d i - h ( r ( 1 , 2 ,1 , 3 ,3 ) ) = d i m h ( r ( 3 ,1 , 2 ,1 , 3 ) ) = d i m h ( r ( 2 ,3 ,1 , 1 , 3 ) ) = d i m h ( r ( 1 ,1 , 3 , 2 多 ) ) : d i m h ( r ( 1 , 3 , 1 , 2 ,3 ) ) = d i mh ( r ( 1 , 2 , 3 , 1 , 3 ) ) = d i m h ( r ( 1 ,3 , 2 , 1 ,3 ) ) = 第 二 章 p = 3 时h ( 凡) 的 计 算 d i m h ( r ( 2 , 1 , 3 , 1 , 3 ) ) . 故只需 在这三组中 各 取一 权子复形计算其上同 调 群即 可 算出 整 个r 的 上同 调群. 先考虑第一组. 我们取r ( 1 j , 2 , 3 , 3 ) ，易得其基 ( 矩阵) 为 1二00 00 阳卜|l 一- 气 000 ，10 n 尸月，.11，卫胜.1扭 -一 内 们月州川月叫 oo nu 一!月，lesesesesesesesl - 几 0 0 八un “0 阳厂ee|sell - a 00.1 oj.1 r.已eel.l - as -引|引|叫曰月 nntl ，.盆0 n 一leeee，卫we.es，eej - 马 叼吐引|引ju 01.10 00 己.几 -1.，1.we.j l a6 n八unu 0.1 门且 -11ee.t.l -一 几 且有 d a , = a 2 + a ， 十 a 4 ， 由 : = - a ， 一 a 6 ，d a , = a , 一 a 7 ，d a 4 = a 6 + a 7 ，d a , = a . , 瓶 = 一 。 ，d a 7 = a = 电 = 0 . 设连通上 链复形r ( 1 ,1 , 2 ,3 ,3 ) 为c . = 0 对n c, ， 其中c 6 = 0 , q= xa , ，q = x 2 , a 2 + x 2 2 a 3 + x 2 3 a 4 ，几 = x 3 1 a , + x 3 2 a 6 + x 3 3 a 7 ，q= x 4 , a 8 c= 0 对m 4 , 各x 4 为。 ， 1 或2 . 刘杨 显然h ( r ( 1 ,1 ,2 ,3 ,3 ) ) = 0 : 若d ( x 2 , a 2 +x 2 2 a , +x 2 3 a 4 ) ，即 ( - x 2 , + x 2 2 ) a , + ( - x 2 , + x 2 3 ) a 6 + ( - x 2 2 + x 2 3 ) a 7 = 0 ， 得x 2 , = =x ” 而d ( xa , ) = xa 2 + x u a 3 + x u a 4 ，即k e r d = im d ， 故h 2 ( r ( 1 ,1 ,2 ,3 ,3 ) ) = 0 . 1 0 第 二章 p = 3 时h ( r , ) 的 计 算 同 理可 验 证h 3 ( r ( 1 ,1 ,2 ,3 ,3 ) ) = h ( r ( 1 ,1 , 2 ,3 ,3 ) ) = 。 ， 则h ( r ( 1 ,1 , 2 ,3 ,3 ) ) = 0 . 由 此可知，第一组的各权子复形的上同调群均为0 . 类似以 上过程， 在第二组中取r ( 1 , 2 ,1 , 3 , 3 ) ， 其基为 ，几000.10 0.1.10 阳卜|.l - 瓦 000111.盆八u oj.二01.1 曰.且 reel.l 一一 几 u 一.一月il 一一 bs 山.卫 r.，.eses，j 一一 八 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 n r.胜.l 一- 八 一m|.|il - 八 自尸|il - 瓦 000n”nn 0110 n r.l -一 乓 且有 d b , = - b 3 一 b 2 一 b , = 一 + b 3 一 b s ，d b 2 = b 6 ，d b 3 = b , ，d b , = b 6 + b , 助. = b , 一 b b ,助d b , = 0 . 类似于 第一 组中h ( r ( 1 ,1 ,2 ,3 ,3 ) ) 的 计 算， 得h ( r ( 1 ,2 ,1 ,3 ,3 也为0 . 最后在 第三组 取r ( 1 , 2 ,3 , 1 , 3 ) ， 其基为 n，几，二 ，卫0 一冈|，|il 一一 几 升n，且 n11 月.1 一一.胜.l 一一 内 j.二曰.二 00 冈一 - c2 0.1.1 00 一旧|- - cl ，二0 nl.1 阳1.|l 一一 cs n.11.1 0.1 曰.且 一1.l - 马 ，二1且n 00 阳|il 一- 几 ，且n nu n rse几胜.l - 几 第 二 章 p = 3 时h ( 凡) 的 计算 且有d c , = c 3 + c 4 + c 2 ，d c , = c , + c a 一 c 2 ，d c 6 = - c 4 + c , + c 2 ，d c , = - c 7 ， 丸 = c 7 ， 汽 = ，丸 = 0 ，么 = 0 . 设连通上链复形r ( 1 ,2 ,3 ,1 ,3 ) 为c . = 0 对n i 3 l 人 ) ) = 1 ， 如 果认j i j 2 j 3 j 4 ) 为 ( 0 , 1 , 2 , 3 ,4 ) 的一个排列， d i m h ( r ( 1 , 3 ,1 , 2 , 3 ) ) = d 恤h ( r ( 1 , 2 , 3 ,1 , 3 ) ) = d i m h ( r ( 1 , 3 , 2 ,1 , 3 ) ) = d i m h ( r ( 2 ,1 , 3 ,1 , 3 ) ) = d 加h ( r ( 3 , 1 , 3 , 1 , 2 ) ) = d i m h ( r ( 2 ,3 ,1 , 3 , 1 ) ) = d i m h ( r ( 3 ,1 , 2 ,3 , 1 ) ) = d i m h ( r ( 3 , 1 , 3 , 2 , 1 ) ) =d i m h ( r ( 1 ,3 , 1 , 3 , 2 ) ) = d i m h ( r ( 3 , 2 ,1 ,3 , 1 ) ) = 2 ; 其余d i mh ( r ( j o , j , , j 2 , j 3 , j 4 ) ) = 0 具有非平凡上同调群的权子复形 ( 共有 1 0个) ，其上同调群的生成元 ( 即基) 列表如下: 权基矩阵表示 基表示 ，1.且0 00 ( 1 , 2 , 3 , 1 , 3 ) x 0 3 x l 3 x 2 3 x 3 4 x 04 x , 3 x ”一x o 3 x l 4 x 2 3 + x o 3 x i 3 x 2 4 nn 第 二 章 p = 3 时h * ( r 4 ) 的 计 算 第二 章 p = 3 时h ( r , ) 的 计算 第 二 章 p = 3 时h 凡) 的 计 算 参考文献 参考文献 1 a d a m s , j . f . , o n t h e s t r u c t ur e a n d a p p l i c a ti o n o f t h e s t e e n r o d a l g e b r a , m a t h . l h e l v . 3 2 . ( 1 9 5 8 ) , 1 8 0 -2 4 7 . 2 b o u s fi e l d , a . k . , c u rt i s , e . b . , k a n , d . n . , t h e m o d p l o w e r c e n t r a l s e r i e s a n d t h e a d a m s s p e c t r a l s e q u e n c e , t o p o l o gy 5 . ( 1 9 6 6 ) , n o .4 3 1 -3 4 2 . 3 m a c l a n e s . h o m o l o gy. s p r i n g e r - v e r l a g 1 9 7 5 . 4 林金坤. 拓扑学 ( in预印 本 ). 协 林金坤. a d a m s 谱 序列 和球面稳定同伦群( 预印本). 6 m a y , j . p , t h e c o h o m o l o g y o f r e s tr i c t e d l i e a l g e b r a s a n d h o p f a l g e b r a s , j o u r n a l o f a lg e b r a 3 ( 1 9 6 6 ) , 1 2 3 -1 4 6 . 闭 m i l n o r , j o h n , t h e s t e e n r o d a l g e b r a a n d i t s d u a l , a m : u a l s o f m a t h e m a d e s . 6 7 . n o . 1 . ( 1 9 5 8 ) , 1 5 0 -1 7 1 . 8 s t e e n r o d , n . e ., c o h o m o l o g y o p e r a t i o n s , l e c t u r e s 州n t e d i n p r i n c e t o n u n i v e r s i t y p r e s s , 1 9 6 2 . 沙 q i b i n g z h e n g , a n e w m a s s e y p r o d u c t o n e x t g rou p s , j o u r n a l o f a l g e b r a 1 8 3 . ( 1 9 9 6 ) , 3 7 8 -3 9 5 . 1 0 王 向 军 ， 郑 弃 冰 ， t h e c o n v e rg e n c e o f司 ” 凡 气 中 国 科 学 ( s e r ie s a ) 4 1 n o . 6 ( 1 9 9 8 ) , 6 2 2 - 6 2 8 . 川 t o d a h . , o n s p e c t r a r e a l i z i n g e x t e r i o r p a r t o f t h e s t e e n r o d a l g e b r a , t o p o l o g y ( 1 0 ) , 1 9 7 1 , 5 3 - 6 5 . 1 2 ) r a v e n e l d . c . , c o m p le x c o b o r d i s m a n d s t a b l e h o m o t o p y g r o u p s o f s p h e r e s , a c a d e m i c p r e s s , l n c . 1 9 8 6 . 1 3 c o h e n r, o d d p r i m a ry f a m i l i e s i n t h e s t a b l e h o m o t o p y t h e o ry , me m o ir s o f a m e r. ma t h . s o c .n o . 2 4 2 , 1 9 8 1 1 4 s w i t z e r r . m . , a l g e b r a i c t o p o l o g y h o m o t o p y a n d h o m o l o g y , b e r l i n : s p r i n g e r - v e r l a g , 1 9 7 5 . 1 5 t o d a h . , a lg e b ra o f s ta b l e h o m o t o p y o f 凡- s p a c e a n d a p p l ic a t io n s , j . m a t h . k y o t o u n iv .( 1 1 ) , 1 9 7 1 , 1 9 7 - 2 5 1 . 1 6 h o ff m a n p . , r e l a t i o n s i n t h e s t a b l e h o m o t o p y r i n g o f m o o r e s p a c e s , p r o c . l o n d o n m a t h . s o c . ( 1 8 ) 1 9 6 8 . 1 7 j i n k u n l i n a n d q i b i n g z h e n g , a n e w f a m i l y o f fi l t r a t i o n s e v e n i n t h e s t a b l e h o m o t o p y o f s p h e r e s , h i r o s h i m a m a t h . j . ( 2 8 ) 1 9 9 8 , 1 8 3 - 2 0 5 . i s l i u l e v i c i u s a . , t h e f a c t o r iz a t i o n s o f c y c l i c r e d u c e d p o w e r s 衍s e c o n d a ry c o h o m o l o gy o p e r a t i o n s , me m o i r s o f a m e r . ma t h . s o c . n o . 4 2 , 1 9 6 2 . 1 9 a i k a w a t ., 3 - d i m e n ti o n a l c o h o m o l o g y o f t h e m o d p s t e e n r o d a l g e b r a , ma t h . s c a n d . ( 4 7 ) 1 9 8 0 , 9 1 - 1 1 5 . 2 0 a n k u n l i n , s o m e n e w f a m i l i e s i n t h e s t a b l e h o m o t o p y o f s p h e r e r e v i s i t e d , a c t a ma t h . s i n i c a , v o 1 1 8 ,no . 1 , 2 0 0 2 , 4 5 - 1 0 6 . 2 1 o k a s . , m u l t i p l i c a t i v e s t r u c t u r e o f fi n i t e r i n g s p e c t r a a n d s t a b l e h o m o t o p y o f s p h e r e , 1 7 参考文献 a l g e b r a i c t o p o l o gy( a a r h u s ) , l e c t . n o t e s i n m a t h . v o l 1 0 5 1 , s p r in g e r - v e r l a g . 2 2 c o h e n 凡a n d g o e r e s s p , s e c o n d a ry c o h o m o l o gy o p e r a t i o n s t h a t d e t e c t h o m o t o p y c l a s s , t o p o l o g y ( 2 3 ) , 1 9 8 4 , 1 7 7 - 1 9 4 . 2 3 t h o m a s e . a n d z a h l e r r . , g e n e r a l i z e d h i g h e r o r d e r c o h o m o l o gy叩e r a t i o n s a n d s ta b l e h o m o t o p y m o ws o f s p h e r e s , a d v a n c e s i n m a t h . ( 2 0 ) 1 9 7 6 , 2 8 7 - 3 2 8 . 2 4 mi l l e r h凡 ， r a v e n e l d . c . a n d wi l s o n w . s . , p e r i o d i c p h e n o m e n a i n t h e a d a m s no v i k o v s p e c tr a l s e q u e n c e , a n n . o f m a t h .( 1 0 6 ) 1 9 7 7 ,4 6 9 - 5 1 6 . 2 5 o k a s ., o n t h e s t a b l e h o m o t o p y r i n g o f m o o re s p a c e s , h i ro s h i m a m a t h . j . ( 4 ) 1 9 7 4 , 6 2 9 - 6 7 8 . 2 6 ma u d e r c a l f . , a l g e b r a i c t o p o l o g y , c a m b r i d g e u n iv e r s i t y p r e s s , 1 9 7 0 . 2 7 z h o u b o x u n , h o m o lo gy a l g e b r a , b e ij i n g : s c i e n c e p r e s s , 1 9 8 8 . 2 8 s p a n i e r e . h . , a l g e b r a i c t o p o l o g y , n e w y o r k : s p r i n g e r - v e r l a g , 1 9 6 6 . 2 9 g r e e n b e r g m .j . a n d h a r p e r j .r . , a l g e b r a i c t o p o l o gy( a fi r s t c o u r s e ) , l o n d o n : t h e b e n j a m i n c u m m i n g s p u b l i s h i n g c o m p a n y , 1 9 8 1 . 3 0 o k a s . , a n e w f a m i l y i n t h e s t a b l e h o m o t o p y o f s p h e r e s , h i r o s