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w e i e r s t r a s s 型函数图像的b o x 维数 基础数学 研究生刘鸿博指导教师周吉 论文摘要： 分形几何是描述自然物形态结构的一门新的几何学，是上世纪七十年代末期 由美籍数学家b bm a n d e l b r o g l 9 】创立的它以“极不正规”的几何图形为研究 对象，用各种数学工具来刻画这种不正规性由于这种“不正规”对象在各种不同 的领域中大量出现，因此它越来越多的和物理、化学、生物和计算机等不同的学 科发生联系也正是这样，近几年来，分形几伺迅速发展成为一门新兴的学科 w e i e r s t r a s s 函数是一类无处可微的连续函数由于无穷项求和导致了函数具 有精细结构，而且处处不存在切线它不能像光滑的曲线那样可以用经典的微积分 方法来研究因此，常常借助于分形几何的思想研究w e i e r s t r a s s 型函数本文主 要讨论了w e i e r s t r a s s 型函数的b o x 维数首先，研究了w e i e r s t r a s s 函数 w ( t ) = n 唧s 妒t b = 1 的图像的b o x 维数，给出了它们的图像的b o x 维数为2 的一个充分条件，并且构 造了满足该条件的函数粪这个充分条件比t f x i e 和s p z h o u 1 6 1 中给出的条 件更为简单其次，进步讨论了较经典的w e i e r s t r a s s 函数更一般的处处不可微 的连续函数一一w e i e r s t r a s s 型函数 w ( z ) = n t 机( “z + o k ) = 1 第i 页，共2 6 页 中文摘要 研究了它的图像的b o x 维数，并得到了它的图像的b o x 维数为2 + l i r a ( 1 0 9 l o g k ) 关键词：w e i e r s t r a s s 函数；b o x 维数；图像 l u c k y h o n g b o y a h o o c o r nc n 第i i 页，共2 6 页毕业论文 t h eb o xd i m e n s i o n so fg r a p h so ft h ew e i e r s t r a s s t y p e f u n c t i o n s p u r em a t h e m a t i c s w r i t e r ：l i uh o n g - b o s u p e r v i s o r ：z h o uj i a b s t r a n t ： f r a c t a lg e o m e t r yi sad e s c r i p t i o no ft h es t r u c t u r eo ft h en a t u r a lp a t t e r n so f t h en e wg e o m e t r y i ti sc r e a t e db ya m e r i c a nm a t h e m a t i c i a nb b m a n d e l b r o t 9 】 t h el a t e1 9 7 0 s i ti sv e r yi r r e 9 1 a l a rt ot h eg e o m e t r i cf i g u r ef o rt h er e s e a r c h ，u s i n g v a r i o u sm a t h e m a t i c a lt o o l st oc a p t u r es u c hi r r e g u l a r b e c a u s eo ft h i si r r e g u l a r i nav a r i e t yo ff i e l d sf l o u r i s h e d ，i ti n c r e a s i n g l ya s s o c i a t e dp h y s i c a l ，c h e m i c a l ， b i o l o g i c a l ，c a l c u l a t o r sa n ds oo n t h i sw a se x a c t l yt h a ti nr e c e n ty e a r s ，t h e r a p i dd e v e l o p m e n to ff r a c t a lg e o m e t r ya sa n e w l y d e v e l o p e dd i s c i p l i n e t h ew e i e r s t r a s sf u n c t i o ni st h en op l a c ed i f f e r e n t i a b l ea n dc o n t i n u o u sr u n e - t i o n b e c a u s et h ei n f i n i t es u m m a t i o nc a u s e dt h ef u n c t i o nt oh a v et h ef i n es t r u c t u r ea n de v e r y w h e r ed o e sn o th a v et h et a n g e n ti tc a n n o tl i k es m o o t hc u r v et h a t i sd o s s i b l et ou s et h ec l a s s i c st h ec a l c u l u st os t u d y t h e r e f o r e ，w eu s et h ef r a c - t a lg e o m e t r ym e t h o dt os t u d yt h ew e i e r s t r a s s t y p ef u n c t i o n sf r e q u e n t l y i nt h i s p a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h eb o x d i m e r l s i o n so ft h ew e i e r s t r a s s - t y p ef u n c t i o n s f i r s t l y ，t h eb o x d i m e n s i o no ft h eg r a p ho ft h ew e i e r s t r a s sf u n c t i o n ( t ) = f o c o s 地 = 1 i ss t u d i e d a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fw e i e r s t r a s sf u n c t i o n sw i t hg r a p hb o x d i m e u s i o i l28 4 eg i v e nw es t r u c t u r ea c l a s so ff u n c t i o n ss a t i s f i e dt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa n dt h e s ec o n d i t i o n sa r ee a s i e rt h a nt f x i ea n ds , pz h o u s 1 6 1 s e c o n d l y ，w ed i s c u s st h em o r ec o m m o n ，n op l a c ed i f f e r e n t i a b l ea n dc o n t i n u o u s 第i i i 页，共2 6 页 f u n c t i o n st h ew e i e r s t r a s s t y p ef u n c t i o n s ( 。) = a k 庐( b k z + 以) = l a n dt h eb o xd i m e n s i o n so ft h eg r a p ho fs u c hw e i e r s t r a s s t y p cf u n c t i o n si s2 + | i m ( 1 0 9 a n l o g k ) k e yw o r d s ：w e i e r s t r a s sf u n c t i o n s ；b o xd i m e n s i o n ；g r a p h s 部分符号说明 自然数集 整数集 实数集 d 维欧式空间 集合e 的直径 集合e 的r 平行体 以z 为中心，以r 为半径的球 求和符号 可列集族 和式i l “。1 5 ，一中所有紧集构成的集合 集合a 的e 平行体 测度 h a u s d o r f f 度量 s _ 维h a u s d o r f f 测度 h a u s d o r f f 维数 s 一维上闵可夫斯基容度 s _ 维下闵可夫斯基容度 上盒维数 下盒维数 上修正闵可夫斯基维数 下修正闵可夫斯基维数 维预填充测度 预填充维数 s _ 维填充测度 填充维数 函数，在点的d 振幅 函数，在陋，6 】上的6 - 变差 第v i 页，共2 6 页 1 0 m n z r础陋伊研甜卯叩小 h 日 。口m 肼 p p 肛妇=胪坠毓些=蕃血pp咖吲 引言 分形几何是研究不规整的图形和描述自然物形态结构的一门新的几何学， 是上世纪七十年代末期由数学家曼德勃罗特创立的分形几何的创立标志着人 类对形的认识由规则的形态进入了不规则的形态，为研究不规则点集或非线性 现象提供了种重要的思想、方法和技巧它以极不规则的几何图形为研究对 象，用各种数学工具来刻画这种不规则性由于这种不规则对象在许多不同领 域中大量出现因此，它越来越多的和物理、化学、生物、医学、地质和计算 机等不同学科发生联系也正因此，这一新兴学科在上述领域中获得了巨大成 功同时，不同学科中提出的大量问题又刺激了分形几何的深入发展 分形理论是来自牛顿建立微积分以来数学中的又一次革命分形几何“是 研究自然界中没有特征长度而又具有自相似性的形状和现象古代的几何学在 希腊曾大放异彩，但它研究的图形只是用圆规和尺规画的简单图形，这样的图 形全都是平滑的自牛顿以后，由于微积分学和几何学的结合，才能表现更为复 杂的形状但这些形状的重要特征是具有特征长度的，是平滑的，是可微的分 数维研究的图形是更为复杂的图形，是不光滑眠是不可微的从这个意义上来 说，分数维否定微分，这是一个划时代的革命，将建立在一个全新的理论的体系 上” 过去，数学己广泛涉及到那些可以用经典的微积分进行研究的集类和函数 类，而那些不够光滑和不够规则的集和函数却被认为是“病态”的，不值得研究 而不被理睬，确实，它们被当成个别的特例，其中只极少数被认为是可以利用一 般理论进行研究的近几年来，这种态度发生了变化，人们已经意识到，对“不 光滑集”可以而且必须进行详细的数学描述不规则集比经典的几何图形能更 好的反应许多自然现象，分形几何恰好为研究这样的不规则集提供了一个总的 框架， 人们努力给分形一个数学定义，考虑欧几里德空间中的集合e ，如果它具 有下面所有的或是大部分的性质，它就是分形 f i ) e 具有精细的结构，即有任意小比例的不规则的细节； 第1 页共2 6 页 引言 f i i ) e 是如此的不规则，以至于无论它的局部或整体都不能用微积分的或 传统的几何语言来描述： ( i i i ) 通常e 具有某种自相似或者自仿射性质，可能是统计或者是近似意义 上的： ( i v ) e 的“分形维数”( 以某种方式定义) 通常严格大于它的拓扑维数； ( v ) 在许多令人感兴趣的情形，e 具有非常简单的定义，可能是由迭代产 生： f v i ) 通常e 有“自然”的外貌 现实中有许多分形的例子，云彩的边界，地表面的形状，海岸线，流体的湍 流等等但这些例子没有一个不是实际的分形，用充分小的比例观测时，它们的 分形特征就消失了，然而在一定的比例范围内，它们表现了许多类似分形的性 质，而在这样的比例下，它们通常被看作是分形实际上，自然界没有真正的分 形刻画分形性质的一个重要参数就是维数，而h a u s d o r f f 维数是刻画这种不 正规几何中不正规性的一个重要参数分形集正是指它的h a u s d o r f f 维数与拓 扑维数不相同的这样一类集合如何计算一个分形集的h a u s d o r f f 维数，如何构 造新的分形集是分形几何的重要课题，同时具有理论和实际重要性的许多令人 感兴趣的分形是以函数图像形式出现的确实，当许多现象被绘制成时间的函 数时，就显示了分形的特征相应的例子包括大气压强，容器中液体的水平高 度，股票市场的价格等，至少当记录的数据跨越较长的时间间隔便是如此 为了文章的完整以及结论的证明，在本文的第一部分，给出了分形与熟悉 的几何性质类似的一些性质，主要说明了h a u s d o r f f 维数和b o x 维数的性质 1 8 7 2 年，w e i e r s t r a s s 提出著名的连续无处可微的函数w ( z ) = a nc o s ( 7 r 扩z ) ，0 ：口“乖( 扩t + ) n = 0 其中，0 0 ，使得对于足够大的b ，w e i e r s t r a s s 函数图像的豪斯多 夫维数的下界为2 一。一( c i n 6 ) 质量分布原理为目前估计下界比较好的 一种方法h u n t 3 1 通过估计函数的密度函数，从而利用其t 一能量有限，证明 了：若在f 0 ，2 7 r 】上，相位0 。独立于一致概率测度，那么函数图像的豪斯多夫 维数为2 一o l 而这个结果也只对几乎所有的w e i e r s t r a s s 函数成立k r z y s z t o f b a n r a f i s k i 7 考虑了两类w e i e r s t r a s s 函数( 正弦型和余弦型) 的复化利用复 化后的函数有非空的内部而得到这两类w e i e r s t r a s s 函数图像的水平集的豪斯 多夫维数，于是得到函数图像的豪斯多夫维数为2 一a 曾经，人们猜想，函 数五，d t ) = a “c o s ( b n t ) ( 或k ，b ( t ) = a “s i n ( b 。) ) 的图像的豪斯多夫维数 为2 一。当且仅当测度芦x 。( 或p k 。) 关于r 上的勒贝格测度是绝对连续的 ( 其中，pr 表示映射，：肛o ，t 1 一r “下像点的一致概率测度) p r z y t y c k i 和 u r b a f i s k i 1 1 1 证明了在贝努力卷积下，上述猜想是成立的k 6 n o 6 1 证明了：若 b n ，且a b 足够大，并且p x 。( 或p k 。) 关于勒贝格测度有有界密度函数，则 函数图像的豪斯多夫维数为2 一 当函数的条件加强时，人们曾经得到一些较好的结果，伯西柯维奇函数和 l u c k y h o n g b o y a h o o c o i n c a 第3 页、共2 6 页毕业论文 引言 拉德马赫尔级数都是特殊的例子对于伯西柯维奇函数： b ( f ) = - e 芍- 2 c o s ( a ，) ，1 s ： 焉 1 t 【0 ，1 ) ，j 1 a 0 ，集合e 的r 平行体由下式给出： e = ：j z 一引茎吐 x e e 中心在点z ，半径为r 的球定义为 耳( z ) = g ：f y 一。f r ， c ( r 4 1 表示由倒中的所有紧子集所组成的集合 定义1 1 1 设x 为个集合，x 的子集族8 称为x 的一个o - 代数，如果 满足： 第5 页，共2 6 页 第一章预备知识 ( i ) x b ； ( i i ) 如果e 1 3 ，贝u x e b ； ( i i i ) 女 f 果既序，n 1 ，贝0u 廖 n 1 欧氏空间r “上的波莱尔集类为包含f 的所有开集的最小口代数，因此 ( i ) 每个开集是波莱尔集，每个闭集也是波莱尔集； ( i i ) 如果a i ，a 2 ，是任意波莱尔集组成的集族，那么u 墨，a ；，n 墨，a 和 a l a 2 也是波莱尔集 定义1 i 2 设8 是x 的口代数肛：b 一 0 ，o 。】称为一个测度，如果它满 足： ( i ) p ( 妒) = o ； ( i i ) 如果3 ，n 之l ，且两两互不相交，则 p ( u 最) = 肛( 玩) n = lt = 1 由上述定义立刻看到： ( i ) 测度肛具有单调性，即如果ecf 1 这里e ，f 廖，则p ( e ) sp ( f ) ； ( i i ) 若a 1 ，a 2 ，为一可数( 或有限) 集序列，则 芦( u a ：) p ( a d t = 1= l 定义1 1 3 集函数u ：2 。一【0 ，0 ( 3 称为x 上的外测度，如果它满足： ( i ) u ( 咖) = o ； ( i i ) 如果acb cx ，则v ( a ) u ( b ) ； ( i i i ) v ( u 晶) ( 昂) n 1 n 0 ，对于x 的可列( 或有限) 子集族 u d ，如果它满足下 述两条性质：任以的直径不超过6 ，即l 阢l 茎正并且它们的并覆盖e ，即 u 以 e ，则称 a j 为e 的一个正覆盖 t l 定义1 22 设ecr d ，s 0 ，对任意的6 0 ，定义 h ；= i n f l 以1 5 ： 矾) 。1 为e 的6 - 覆盖) ， 垃1 这里i n f 表示对e 的所有正覆盖取下确界注意到随着j 的减少，爿；是单调 非减的，故当d 一0 时，它趋于一极限 何5 ( e ) = l i r ! a h ；( e ) ， 这个极限对所有的ec 础存在称“5 ( e ) 称为e 的5 一维豪斯多夫测度 但是它的值可能为0 ，也可能是正无穷，如果0 o ) = s u p s ：h 。( e ) = 。o ) 一i n f s ：7 - 8 ( e ) 0 ：a 6db ，b 5 a 1 不难看到：妇，口) 是c ( r 8 ) 上的一度量，并且( c ( 耐) ，d h ) 是一个完备的距 离空间 容易验证：妇具有下述两性质： ( i ) 对任意的4 ，日c f 碾4 ) ，z 碾4 妇( a + 。，b + z ) = d h ( a ，b ) ， 记以+ g = f + z ：y 爿 ，z 豫d ( i i ) 对任意a ，也，b 1 1 8 2 c ( a 9 ，有 妇( aua 2 ，b 1u 马) s m a x d 日( a 】，b j ) ，妇( a 2 ，岛) 下面，我们给出b o x 维数的严格定义和性质 定义i 2 4 设e 为掣的非空有界子集，s 0 则e 的上、下s 维闵可夫 斯基容度分别定义为： ( e ) - - l i 哿9 掣， e u j 。 鹾( 日) = l i r 刚ni n f 两= f f s ( o ) 如果b ”( e ) = e ( e ) ，则称e 的s 一维闵可夫斯基容度存在，记为伊( e ) ，并等 于e 林共同信 u c k y h o n g b o y a b o oc o l l c n 第9 页：共2 6 页 毕业论文 第一章预备知识 定义12 5 设e 为础的非空有界集，则e 的上、下阂可夫斯基维数分别 定义为： d i m s = s u p s ：8 ”( e ) 一o 。) = i n f s ：b ”( e ) = o ) ， d i m b = s u p s ：& q e ) = o 。，= i n f s ：嫒旧) = o ) 若d i m b e = d i m b e ，则称e 的阂可夫斯基维数存在，记为d i m b e ，其值为上 述公共值 闵可夫斯基维数( 盒维数) 有另一些等价定义 定义1 2 6 剥础的一个非空有界子集e ，用 ，r 旧) 表示覆盖e 的直径为 r 的集合的最少个数，则e 的下、上盒维数为： d i m b e = l i ，m i n 。f _ l 0 9 1 n 云( _ e ) ， 和 。 d = 而m b e ：l i ms u p 掣 r _ u i o g7 如果它们相等就把这相等的值称为f 的计盒维数或盒维数记： d i m b e ：l i l l o gn r ( s ) 一( ) 一l 0 9 7 上述定义有若干经常用到的等价形式如果 i ( e ) 取以下任意一个数，上 述中的极限值都不变： ( i ) 覆盖e 的半径为r 的闭球的最少个数； ( i i ) 覆盖e 的边长为r 的立方体的最少个数； ( i i i ) 中心在e 内半径为r 的不交球的最多个数； ( i v ) 与e 相交的r 一网立方体个数( r 一立方体是形如【m ，r ，( m - + 1 ) r ) x 【”kr 1 ( m 。+ 1 ) r ) 的立方体，这里m l ，m 。是整数) 另一个等价定义是：e 为础中的非空子集、则 垫b e = l i m i 8 l f ( d 一笔挈) ， 丽b e ：l i ms u p ( d 一掣) 1 u c k y h o n g b o y a h o oc o m c a第1 0 页，共2 6 页毕业论文 第一章预备知识 命题1 2 1h a u s d o r f f 维数，上盒维数和下盒维数都有以下性质： ( i ) 如果e 1ce 2 ，则d i m h e l 茎d i m h e 2 ；旦殛b e ls 旦迪日e 2 ；d i m e e ls 1 d 。i 。m b e 2 ； ( i i ) 如果e 是有限的，则d i m h e = 0 ，d i m b e = 0 ，d i m b e 一0 ，d i m b e = 0 ； ( i i i ) 如果e 是豫4 上的( 非空) 开子集，则d i m h e = d ，鱼i 坐b e = d ， d i m b e d d i m b e = d ： ( i v ) h a u s d o r f f 维数是可数稳定的，设 易) 趔为一集列，则 d i m hi je = s u p l 0 碍( e ) ， p 称为目的s 一维预填充测度 1 u c k y h o n g b o y a h o o c o i l l c n 第1 1 页，共2 6 页毕业论文 第一章预备知识 对于055 t o 。，若p 8 ( e ) 0 ，则 p s ( e ) = 。，从而预填充测度诱导一个维数，定义为： a ( e ) = s u p s ：p 8 ( e ) = o o 一i n f s ：p 3 ( e ) = o ) 对预填充测度尸s 及它诱导的预填充维数进行下述修正： 矿( e ) 一i n f p 5 ( 旦) ：e = u e j ， d i m p e = i n f s u p ( e i ) ：e = u 日) p s ( e ) 与d i m p e 分别称为集e 的s 一维填充测度与填充维数 最后，我们给出这些测度与维数间的比较 命题1 2 2 设e r 4 ，s 0 ，则 c 1 h 3 ( e ) z 4 ：( e ) 5 l i n 8 ：( e ) ，m ”( e ) ) m a x 联( e ) ，”( e ) ) s 日”( e ) 茎c 2 p 5 ( e ) ； h 5 ( e ) p 3 ( e ) p 5 ( e ) ； c 3 a d ”p 3 ( e ) ； d i m h e d i r j , m b esm i n d i r r 。b e ，d i m p e r a a x d i m b e ，d i m p e d i m b e ， 其中c l ，c 2 ，。3 均为常数 1 u c k y h o n g b o y a h o oc o m c n 第1 2 页，共2 6 页 毕业论文 第二章一类图像的b o x 维数为2 的w e i e r s t r a s s 函数 众所周知，在a b21 ，b 为奇数的情形下，w e i e r s t r a s s 函数，6 ( t ) = 墨，a c o s b k t ，0 0 ，我们有 o w , d t ) 1 w ( t 十d ) 一w ( t 一5 ) 令j = a ，那么 w ( t + 6 ) 一w ( t d ) 令h ( t ) 一s i n a n t ，由( 2 - 1 ) 5 ( 2 - 1 ) l a kc o s 妒( j ) 一a k c o s ( t d ) i ik = lk = 1i 妻z 埘i 。地。i 。舶j j = ll f 2 s i n 脚s i n l + 2 埘n 地s i n 舶j ( 2 - 2 ) ( ：2 - 2 ) 式得 d 眦d ( t ) d t 1 w ( t + 6 ) 一w ( t j ) i d t h ( t ) ( 1 矿( + j ) 一w ( t d ) ) i 出 2 h ( t ) a 。s i n a “t s i n l + 2 h ( t ) a ks i n a 2 t s i n a d l d t ” 独捌n 协咖脚出 z 副z 1 吣，s i n a k t d t 卜s ， l u c k y h o n g b o y a h o oc o i nc n 第1 4 页，共2 6 页毕业论文 ，儿，m，m，m = _ = 鱼i 兰堕堕堕麴箜堕塑塑型 由三角函数的倍角公式，有 知砷s i n a = t d t = z 2 s i n 。脚出 = z l _ 1 - c o 。s 2 1 t 出 一；( i - 而s i n 2 a n ) 芝；( i - 而i ) + 一。 i1(2-4 由三角函数的积化和差公式有4 i f 0 1 h ( t ) s 叫= 眙扣( a t + a k t ) - - ；。( a t - a e t ) ) d t 掣+ z 1 i 1 警 w 掣z 1 尝f ，1 1 1 1 j a 。一、“f ( ! 一a ”一a n 一1 黼，及。三意1 - a - i 妄，有 皿s ， 蚶刊唧( 。一竺芝掣) 刮嘶+ 竺芝善竺) 1 u c k y h o n g b o y a h o o c o i l lc n 第1 5 页，共2 6 页 毕业论文 第二章一类图像的b o x 维数为2 的w e i e r s t r a s s 函数 现在我们令 l n ( ( s i n1 ) 22 a “a k ( 1 一a - 1 ) ) = 1 毒生一 利用条件( i i ) ，知 因此，我们令 l i r a ! 婴：0 n 1 1 2 a i n a n = 一e n 几 其中e 。 0 且当n o 。时，岛一0 又由于a e ，则 ( 2 - 6 ) l i h l 兰孙m 未0 ( 2 7 ) 州e - - o n “一州e 一6 n ” 、 由( 2 - 6 ) 和( 2 7 ) ，我们得到 l i mi = l i m l n ( ( a 。s i n1 ) 2 2 a 一a k ( 1 一a 。1 ) ) 女士“ n l i l a l n ( ( a 。s i n1 ) 2 ) + l n ( 1 4 a o k a 一“( ( a 一1 ) a 。s i n1 ) ) k “ = 恶躲+ 恕 = 熙黑+ 熙 n i n a l n ( 1 4 a a “( ( a 一1 ) a 。s i n l ) ) # ” n l n a 垫! 二坐：! 蔓 n i n a = 0 其中c = ( 4 a k ) ( ( a 一1 ) s i n l ) 0 所以， d i m b f w 2 而平面上任意集合的b o x 维数都不会超过2 因此，d i m b 工1 w = 2 定理证 毕 2 3 举例 通过上面的证明我们发现，本文的条件比文 1 6 】中的条件简单最后，我们 给出几个满足定理条件的例子，其中包括文 1 6 1 中的例子 l u c k y h o n g b o y a h o o c o i n c r l 第1 6 页，共2 6 页 毕业论文 第二章一类图像的b o x 维数为2 的w e i e r s t r a s s 函数 o o 例2 3 1 令a e ，卢 1 ，则函数= f ( t ) = k 口c o s a t ，0 ts1 的图 = 1 像的b o x 维数为2 容易验证，k - 4 e ，y 2 ，则函数掣= ，o ) = 曼e k l hc 。s a ，0 茎t 茎1 的 k = l 图像的b o x 维数为2 o o ， 同样可以验证，蚤e - k l l 7 。o 和：骢( 1 n e l “1 n ) = 0 均成立- 于是该函1 k = 一 数同样满足定理2 2 1 的条件，它的图像的b o x 维数也为2 1 u c k y h o n g b o y a h o o t o m c n 第1 7 页。共2 6 页毕业论文 第三章 类w e i e r s t r a s s 型函数图像的b o x 维数 。曼数图像的维数在分形几何的研究中具有相当重要的地位人们不仅研究 譬苎堂w e i e 冀t r a s s 函数，对于各种推广形式的w j j e r s t r a 8 s 型函数，同样可以给 出它的b o x 维数 妻 中，在讨论了一类w e i e r s t r a 8 s 型函数的性质后，给出了这类函数的 b o x 维数 3 1 定义和引理 首先，给出本章需要的定义和引理i s j l l 4 j ，芋拳3 11 设，：j 一只上的连续函数，以r ，表示函数图像，即r r ( t ，( t ) ) ：t ， 。 ，支曼：3 2 多，j z ) 在z 。处具有有限的右导数群( z 。) ：a ，a 是正常数，。 。：是满足如下条件的两个实数列： “ ( i ) x o z 。 1 则有 d i m b r ：2 + l i “百l o g a n “。o 。t o go n 在证明定理之前，我们先来讨论一下这类w e i e r s t r a s s 型函数的性质 命题3 2 1 对于函数w ( x ) = 墨，o e 饥( k z + 以) ，当满足上述定理条件时 它是无处可微的连续函数 证明：对任意的n ，存在唯一的正整数 k ，使得 垒掣 。 些 0 no n 令z 。= k b 。，z ：= ( k + 1 ) b 。，贝0z z 。 ” l l 。一c a k b k b 。一2 1 2 a k ，三生三竺一一 1 b 。 第1 9 页，共2 6 页毕业论文 k 乩k 0g “ 第三章一类w e i e r s t r a s s 型函数图像的b o x 维数 幽啪。一g 基础。 f 1 k 一各啪。 = ( 1 1 一而c 一羔 2 f z “。t n 所以当n o 。时，有 l i 。f 堕毕生型f ：。 io ；一z ni 而当n 一。时，z ：一z ，利用引理311 可知函数w ( z ) 在z 处不存在有 限的右导数 同理可证w ( x ) 不存在有限的左导数 由于是有界连续函数，故彤( z ) 致收敛，因而临) 连续 综上所述，w ( x ) 是无处可微的连续函数 由此可以看出，我们构造了一类w e l e r s t r a s s 型函数，它是无处可微的连续 函数 对于经典的w e i e r s t r a s s 函数 w ( z ) = o 。c o s ( = b x ) ，0 o 1 由于 譬= n n = n 。九( k z + 艮) + a k e ( k z + o k ) 七“ ( i ) 首先证明 d i m b f 2 + l i 4f l o g _ a n 一”m g o n 我们在每个区间厶，上估计s u p w ( z ) 一i n f w ( x ) s u p w