（基础数学专业论文）零级亚纯函数的充满圆与奇异方向.pdf

摘要 本文通过复杂的计算，研究了平面上满足条件： l i t f f l o g t ( 业：kf 2 k 。c ) 1 。l o g l o g ” 的又一类零级亚纯函数的充满圆与奇异方向的存在性问题首先，证明了下面卜 满足以上条件的零级亚纯函数其充满圆与b o r e l 方向的存在性，在此基础上证明 了关于其小函数的b o r d 方向的存在性然后，定义了平面上的满足以卜条件的k 级收敛类和级发散类，证明r 平面上满足以上条件的零级亚纯函数的v b 方向 和关于其小函数的b r 方向的存在性，从而不用充满圆重新证明了零级亚纯函数 关于其小函数的b o r e l 方向的存在性 关键词：亚纯函数；零级；小函数；充满圆；b o r d 方向；收敛类；发散类； v b 方向；b r 方向 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h r o u g hc o m p l i c a t e dc a l c u l a t i o n ，i tc a l lb ee a s i l yp r o x m dt h a t t h e r ee x i s tf u l l i n g u pd i s c sa n db o r e ld i r e c t i o no nt h el n e r o m o r p h i ef u n c t i o n so f z e r oo r d e rw h i d ls a t i s f yt h ee o n t i o n 匦掣：k(2。)1 ”一。o g l o g r b yu s i n gi t ，i nt h i sp a p e r ，w eh a v ea l s od i s c u s s e da n dp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fb o r e l d i r e c t i o no nt h e8 i i l a l lf l m c t i o n so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw h i 出s a r i s f vt h ea b o v e c o n t i o nid e f i n et h ec o n v e r g e n c et y p eo fk - o r d e ra n dt h ed i v e r g e n c et y p eo fk o r d e r w eh a v ed i s c u s s e da n dp r o v e dt h ee x i s t e n e eo fv bd i r e c t i o na n db rd i r e c t i o n o nt h es m a l lf u n c t i o n so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw h i c hs a r i s f vt h ea b o v ec o n t i o n s ot h a ti na n o t h e rw a yj n o tc o n s i d e r i n gt i l ef u l l i n g u pd i s c ，w eh a v ep r o v e dt h e e x i s t e n c eo fb o r e ld i r e c t i o no i lt h em e r o m o r p h i cf u n e t i o n so fz e r oo r d e ra g a i n k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；z e r oo r d e r ；s m a l lf u n c t i o n ；f u l l i n g - u pd i s c s ；b o r e l d i r e c t i o n ；c o n v e r g e n c et y p e ；d i v e r g e n c et y p e ；v bd i r e c t i o n ；b rd i r e c t i o n 前言 下- 面上亚纯函数的b o r e l 方向足在亚纯蛹数充满圆序列的存在性的基础上得 到证明的对于亚纯函数的b o r e l 方向有过很多研究工作例如首先由g t i i r o n 于1 9 2 8 年得到定理e j m b i e r n a c k i 于1 9 3 0 年发展丁gv a l i r o n 的结果，建立了 定理a a r a u c h 进一步发展了b i e r n a c k i 的结果，定义了亚纯函数收敛类和发散 类的概念，建立了定理g 吼mt s u j i 推广了ar a u c h 的结果，运用a h l f o r s s 覆盖曲 面的方法研究得到定理h 吵庄圻泰于7 0 年代推广了定理a 吼提出并证明了定理 b 2 i 和定理c 吵然后于1 9 8 7 年又由柏盛桄等研究了满足条件：n 五熹三笔粤= o o 的一类零级亚纯函数，( z ) 的情况，推广了定理b 口1 和c 2 1 得到了定理d 【6 1 有限 正级1 1 , 2 , a 1 ，无穷级 ，部分零级满足1 i i 警；磐= 。【4 】的亚纯函数的充满圆与 b o r e l 方向的存在性以及关于其小函数的b o r d 方向的存在性已得到证明至于平 面上满足条件： 面- l o g t ( r , f ) l o g l o g r 的又一类零级亚纯函数的充满圆与b o r e l 方向的存在性以及关于其小函数的b o r e l 方向的存在性是一个相当复杂的问题，至今尚未完全解决通过认真研读文文 【2 】，文【3 1 ，文f 9 】，以及通过复杂的计算，利用四章的篇幅，得到定理11 1 ，定理 12 1 ”l ，定理2 1 ( i o ，定理31 定理32 ，定理33 ，定理41 ，初步解决了这一问题， 其中定义了平面上的满足以上条件的级收敛类和k 级发散类，证明了平面上满 足以上条件的零级亚纯函数的v b 方向的存在性和关于其小函数的b r 方向的存 在性本文通过第三章系理和第四章系理，探讨性地研究了b o r e l 方向和v b 方 向、b r 方向的关系 华南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确的方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：别暂利 日期：访年，月0 f 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华南师范大学有关收集、保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华南师 范大学。学校有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版，允许学位论文被检索、查阅和借阅。学校可以公布学 位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印、数字化或其他 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在年后解密适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权 书。 论文作者签名：新意和7 日期：胖，月引日 导师签 日期： 本文中我们常用c + c 、k 表示常数，但在每次出现时不一定相同 说明设，( 。) 为于h 。砸纯且满足条件 l i r a ! 器卦c 。 一 吼 以后不再 第一章零级亚纯函数的充满圆与b o r e l 方向 本章讨论满足条件( + ) 的零级亚纯函数充满圆与b o r e l 方向的存在性 1 1 引言及结论 亚纯函数的b o r e l 方向是在亚纯函数充满圆序列的存在性的基础上得到证明 的有限正级m ，无穷级 2 , 3 1 ，部分零级满足可i 絮凳磐= o o a 】的亚纯函数的 充满圆与b o r e l 方向的存在性已得到证明本章在此基础上继续讨论满足条件( + ) 的一类零级亚纯函数充满圆与b o r e l 方向的存在性，得到下面两个定理： 定理11 设f ( z ) 为于l o 。满足条件( + ) 的亚纯函数，则必存在一列圆 r ，：1 2 一句i 勺i 勺1 - 土恐勺= o ，l i r a i i = 。o 一1 ，2 ，+ ) 使得在每个r ，内f ( z ) 取任意复数至少弓= ( 1 0 9i z j l ) “2 一如次，最多除去一些复 数可含于球面半径为ep j 的两个圆内，其中l i r nd ，= 0 ，0 6 ， k 2 f j ( j = 1 ，2 ，) 称为f ( z ) 的一列k 2 级充满圆具有上述性质的r j 称 为f ( z ) 的一个以，j 为指数的充满圆 定理1 2 设f ( z ) 为于川 一2 o 。l o g l o g ” 至多可能除去两个例外的复数其中n ( r ) 0 0 e ，= a ) 表示f ( z ) 一a 在扇形域 ( i a r g z 0 0 i r ) 充分大时，则在圆环r ：r r 内，( z ) 取某些复数至少 ( 击) j j 警次，且这些复数不能为球面半径总和为i 1 的任意一组球面圆所覆盖 引理1 2 取充分大的正整数q ，将区域r r 作如下划分：从原点 山发引入q 条半直线，使每相邻两条间的夹角为警；再分别作圆弧h rr ( 1 + 等) ，( 1 十警) 2 ，+ ，r ( 1 + 警) 5 。其中s 由r ( 1 + 警) 5 - 1 rsr ( 1 + 孚) 8 确定， 即s = f 搞1 十1 于是圆环r _ r 被划分为p = q s 个小曲边四边形 ，j ，( ? = 1 2 ，p ) ，其巾，当q 充分大t 有 一邓 q 【蒜南】+ 1 缸享 记d j 的中心为勺，则可以看出d j 含于圆r ，：i 。一勺i r ) 及q 充分大时，在圆环r ：r h j r 内必存在点。 使得在圆f z 一句i 警 乇l 内，( z ) 取任意复数至少n 一；i 去；鲶次，( c + 为正常 数) ，最多除去一些复数能为两个球面半径为e “的圆所盖住 1 3 定理的证明 我们先证明定理1 1 由于 1 z t f i - l o g t ( r , f ) ：k ( 2 m a x 2 a 。，等笋，z 那，) ，警i ， 以及q l2 l o g l o g r m 。，当m l 适当大时，由引理1 3 ，在圆环1 h r 。内必存在点 兰，使得在圆r j ： 2 一z ，i 2 r 。，再取r 使得 丁( r ，) 三m “ 2 4 0 ，可2 4 0 l o g r m ：2 丁( “) ，掣l o g f r 0 2 ) 以及q 22 l o g l o g r m ，当t o , 2 适当大时，在圆环r 二， i z l r 。：内必存在点。2 ，使 銎孽粤。：i z 一句l ：l z 2l 内，( z ) 取任意复数至少n 。= 而五导粕次， 最多除去一些复数可含于球面半径为e n 。的两个圆内 。 2 将这个步骤继续下去，便得到一列圆显然在圆j ： z 一勺j = 恕鼍+ 恕警群 令 则 2 l o g l o g l o gr m ， l i 。i 2 l o 忑g l = o g m j ： 一2 芝 一2 曲， f 1 1 ) ，+ i o g i o g r ”l i r a 。o 一。2 一( 一2 ) 2 o 由( 1 1 ) 式推出 。，：! ：! ：! ! ! - 二二! l ( 1 0 9 r m j ) 。一。6 ，( 1 0 9 ( 1l 弓 ) 一z 一。o g r “j 。一+ , ) 2 ( 1 0 g ! 一l o g r + + j ) 2 “。l 弓。 若令勺2 疏啬五，则白。o ( j 叶。) 所以d ：z 勺 勺f 勺1 ( j = 1 ，2 ，。) 为，( # ) 的一列一2 级充满圆证毕 下面证明定理1 2 根据定理1 1 ，l 厂( 2 ) 有一列k 一2 级充满圆 r ，：1 2 f 勺l i ，l z j i _ o o ，s j _ 0( j 一。) ，( 1 2 ) 使得在每个r j 内，( 。) 取任意复数至步( 1 0 9h ) “”6 ，次，最多除去一些复数可含 于球面半径为e 一( ”g l 1 ) 的两个圆岛和s ；内，其中屯一o ( j 一。) 记巧= r j e ”，由于0s 如 2 7 r u = l ，2 ，) ，序列 毋) 至少有一个聚点 0 0 ( o 茎o o 2 r r ) 可以证明半直线a ( o o ) ：a r 9 z = o o 具有定理所述性质网若不 然，则必存在三个判别复数n 。( = 1 ，2 ，3 ) 以及正数e o ，使得 甄堕唑訾掣 一2 ( ”：l ，2 ，3 ) ( 13)l o g l o g ” 、7 另一方面，序列 巳) 0 = 1 ，2 ，) 存在一个子序列( 不妨仍记为 巳 ) 使得i i m 巳= 自o 为聚点) 所以当j 充分大时，可使 巴一 詈，卟砌z 署 3 即当j 充分大时，充满圆序列( 1 _ 2 ) 全部进入角形域q ：l n 叼。0 0 0 ，且当j 充分大时，有 于是a v 一l ，2 ，3 ) 中至少有一个不妨设为a l 不属于岛”墨，( 12l ，2 ，+ ) ，其巾 岛。，曷。为岛，的子序列即，( ：) 在 r 。 内取n - 至少( 1 0 9 i 乃，1 ) “2 次，于是 1 i = _ l o g n ( r ，0 0 ，5 0 ，f = a 1 ) t 哦面面；_ 一 甄絮蹦裂 甄笔剖l o g 字 。 l o g【z 1 0 ，| 】 犹l i m 坠l o g 篇2 剖一z f ，一 + l o g l o g h l 第二章零级亚纯函数关于小函数的b o r e l 方向 本章应用定理1 1 ，讨论并证明了满足条件( + ) 的又一类零级亚纯函数f ( z ) 涉 及小函数的b o r e l 方向的存在性问题 2 1 引言及结论 在亚纯函数的理论中有一类关于小函数的b o r e l 方向的存在性问题，最早由 m b i e r n a c k i 于1 9 3 0 年提出并建立了下述定理： 定理a i5 j 设函数，( 。) 于开平面亚纯，级a 为有穷正数，则存在一条从原点 出发的半直线( b ) ：a r g z 一岛( os 如 2 ”) ，使得对于级小于a 的任意亚纯函数 n ( z ) ( 包括h ( z ) 蜕化为常数的情况) 恒有 1 7 五- l o g n ( r , 0 o , e , f l o g 至多可能除去两个例外的函数 国内有不少人对此进行了研究庄圻泰于7 0 年代推广了定理a ，提出并证明 了下述两个定理： 定理b 【2 】有穷正级亚纯函数的b o r e l 方向也是关于集合s ( p ) 的p 级b o r c l 方向 4 定理c q 设，( 。) 为于 。的一个无穷级亚纯函数并设( r ) 为，( = ) 的 一个级则，( 。) 最少有一个关于集合s p ( r ) 的p ( r ) 级的b o r e l 方向 然后子1 9 s 7 年义由柏盛桄等研究r 满足条件：了甄等：；等= 。的一类零级 亚纯函数( 。) 的情况，推广了定理b 和c 得到了 定理d 亚纯函数的b o r e l 方向也是关于集合s ( f ) 的b o r e ) 方向 本章在此基础上继续研究，使这一理论更加成熟起来本章所用符号同文 3 以下不再说明 定义2l 设，( ：) 为于 o 。的亚纯函数且满足条件( * ) ，设妒( 。) 为于 o 。的亚纯函数且满足条件 面! 孥擎塑 一2 ，( 2 1 ) 7 + 。l o g l o g ” 则称妒( ：) 为，( z ) 的小函数设这样的( z ) 组成的集合记为s ( k 一2 ) ，并设 s ( k 一2 ) = s ( k 一2 ) u o 。) 为s ( k2 ) 与值。o 所成的和集s ( k 一2 ) 包含所有常数和值。以及所有，( z ) 的非常数小函数 定义2 , 2 我们称一个半直线( ) ：a r g z = 0 u 为，( 2 ) 的一个关于集合 s ( k 一2 ) 的k 2 级b o r d 方向，如果下列事实成立：若对任意的，) ( o 违) 以及 集合s ( 女一2 ) 中的每一1 个元素妒恒有 丽! 堕坐坠! ：三盟2k 一2 ， 至多除去两个例外元素曲 定义2 3 q 设，( 。) 为一函数在一区域d 为亚纯并且非为常数设c ：i 。一 。i p 5 条件1 c ( c ，) ( j1 ，2 ，3 ) 在圆( j 内妈( ，= 1 ，2 ) 奶一蛾( j i = 1 ，2 ，叠，i ) 的零点个数，幽( j = l ，2 ，3 ) 的极点个数及积分 嘉卜g + 1 “, 2 1 d 一( j 毛2 ) ， ； i i l 。g + 【i i ! 再i d 一( ，z = l ，2 ，3 ：，z ) 均小l - - p ， 条件2 钙8 ( f ，) ( j = 1 ，2 ) ，t = 。在圆f 内妈0 = 1 ，2 ) ，幽一眇2 的零 点个数，蚂0 = 1 ，2 ) 的极点个数及积分 ；l i 。i 1 0 9 陋( j 钆。) m s ，0 9 + i 点 均小于p 条件3 咖l e ( c ，) ，咖2 = 0 ，怕= 0 ( 3 在圆f 内妒l 的零点个数与极点个数 及积分 - i c i l 。s 。i 一- l d 口，l i 。i 。s + i 去l 一一 均小于p 定义2 4 1 2 】设“：i z 一却i 7 为一圆并且i t 为一正数我们以“( j 表示圆 i z z o l p r 定理21 设，( 。) 为于 o 。内的一个零级亚纯函数且满足条件f + ) ，则 ，( = ) 最少有一个关于集合s ( 一2 ) 的k 一2 级b o r e l 方向 2 2 引理 引理21 设妒( z ) s ( k 一2 ) ，则可得一数e o ，0 印 1 ，具 有下列性质：如果一个圆c ：l 。一z 0 l h l z o i ( 0 h r o ，( 2 2 ) 则 n ( e ，妒= 。) l o g o + h ) l z 0 1 “2 1 。， 并。i 。再f ：i 仃j 1 。g + i 妒( z ) l d 。 ； 1 。g ( 1 + ) l 。i 2 2 一。 证明由( 21 ) 式有 一l o l g 。g r e l 。( r g , r 妒) k - 2 令r 一2 r ，则j i 恐逢筹= 1 ，故 m 壶( 肌) + c s 壶m ，妒) 托 甄絮掣 i 面。i - ml o s t 。( r , v ) rl o go g r 恕搿o g ， l o g l o g r 一一 l7 l l o g r 故可得一数钿( o e o 1 ，使 1 ( r ，妒) l o g r 一2 “，r ( r 妒) l o g r 。2 5 。( r r 0 ) 如果圆d 满足( 22 ) ，则 n ( g ，妒= c , o ) n ( 1 + h ) l z o l ，咿 i o g ( 1 - k ) l 。o 一2 。 另一方而，由于圆c 位于圆环f ：( 1 一h ) l 。0j 1 为文献【2 1 ( 6 2 ) 式中正数字常数) ，则圆。为 ，( g ) 的关于集合s ( c ，) 以p 为指数的充满圆 2 3 定理的证明 根据定理1 1 ，存在圆序列 r m ：l 。一。m l s mj i t i 虫毛e m = o 、t 3 粤b l = 0 0 ( m = 1 ，2 ，。) 使得在每个r 。内f ( z ) 取任意复数至少f i m = ( 1 0 9l z 。i ) k - 2 - 6 m 次，最多除去一些 复数可含于球面半径为e - 的两个圆内，其中l i r a5 m 一0 ，0 k 一2 设z 。= 1 1 矿m ，0 墨0 。 2 m = 1 ，2 ，) ，由于 o , n ) 是有界数列，则其有 极限点，并设日。为序列0 。的一个极限点在以下我们证明半线z x ( o o ) ：a l g z = o o 为函数f ( z ) 的一个关于集合s ( k 一2 ) 的k 一2 级b o r e l 方向 假设( 如) ：a r g z = 如不具有定理所述性质，则存在q ( 0 ，；) 及s ( k 一2 ) 中三个判别的元素砂，( j = 1 ，2 ，3 ) ，使得： 甄堕啦掣k一2(j：l忍3)t “ o g l o g ” 7 则可得一数l ( o 5 l l ，使得 礼( r 0 0 ，叩，也) f 1 。g r ) 一2 咱0 = 】，2 ：3 ：r r 1 )( 2 3 ) 先设奶s ( 一2 ) ( = l ，2 ，3 )由丁也( j l ，2 ，3 ) 是判别的，我们可设 奶( j = 1 ，2 ) 均非常数零根据引理2l 知，存在一数e o ( 0 印 1 ，具有下列性质：如果一个圆c ：i z。oj h f - 0 1 ( 0 h ，则在圆c 内奶( = 1 ，2 ) ，奶一也( j ，z = 1 2 3 ；j i ) 的零点个 数，也( j = 1 ，2 ，3 ) 的极点个数均小于 l o g 0q - h ) i 铀i 旷。1 0 ， 并且积分 。( h l t 0 1 ) 7 f l 。g + j 奶 d 一。= l ，2 ) ， 赢f 弘s + i 萨1 鼽i 如i 乩z ，。：，纠 均小于 ； l o g ( 1 十h ) z o l l 一 令 4 r r a ”2 。t n 。l o g l o g r m l 取一个适当大的正整数i n 使下列几个不等式同时满足： 1 0 。0 0 l ；2 0 a 。 s i n ； 1 ，如 i s o ， ( 2 5 ) ( 1 - 2 0 a m m 加地器老掣 ，+ 南，意禹 黜， 赤 1 0 9 ( 1 + 2 0 a m ) 1 l o g 警 1 0 9 “2 1 m + 豳 = l o g i z d “导 h 业踹嚣掣 ，+ 南 号坪1 8 ) 1 0 9 ( 1 + 2 0 a 。) j 盼22 一 l o gj b k2 - 等 1 为引理2 2 中正数字常数m 这样选取后，考虑相应的圆f 。由( 2 5 ) 式可知圆f 。是以8 k ) m 为指数的充满圆故根据引理2 , 2 ，圆2 0 f 。是，( 。) 的关 于集合f ( 2 0 r r ) 以，k 为指数的充满圆根据e f j 、t d 的性质及( 2 6 ) 、( 27 ) 式易知，如( 7 = 12 ，3 ) 满足定义2 3 中条件1 ( 关丁圆2 0 f 。及i 厂( 。) 的条件) 所 以在幽0 = 12 3 ) 之中就最少有一个呜使得 f 2 l ( 】1 另一方面由( 2 4 ) 式知道，圆2 0 f 。位于扇形域( 1 a r g z o o i q ) n ( 0 吲 ( ( 1 + 2 ( ) a 。) l i ) 内，故由( 2 8 ) 、( 2 3 ) 和( 2 9 ) 式可知 n ( 2 0 l 。f = 如) ! n ( 1 + 2 0 a 。) f 。f ，乳，吼奶 p m 这与( 21 0 ) 式矛盾i 从而( ) ：a r g z = 0 0 具有定理所述性质 如果在也( j 一1 ，2 ，3 ) 之中有一个不属于s ( k 一2 ) ，如砒s ( k 2 ) ，即钒= 。， 则有两种可能性： ( i ) 妒，( j = 1 ，2 ) 均非常数o ； ( i i ) 亿( j = 1 2 ) 之中有一个为常数0 这两种情形分别相当于定义2 3 中条件2 及条件3 ，用以上同样方法均可得出矛 盾! 从而定理结论成立证毕 第三章零级亚纯函数的v b 方向 本章讨论满足条件( + ) 的零级亚纯函数v a l i r o n b o r e l 方向的存在性 3 1 引言及结论 关于开平面上的亚纯函数的b o r e l 方向的存在性首先由g v a f i r o n 丁- 1 9 2 8 年 得到： 定理e 【7 , 1j 设函数，( 。) 于开平面亚纯，级a 为有穷正数，则存在一条从原 点出发的半直线( b ) ：a r g z = o o ( o 曼o o 2 ”) ，使得对于任意复数a 和任意正数e 恒有 丽! ! ! ! 生当! ! ! ! 三盟：a ， l o g ” 至多可能除去两个例外的复数 定义3l 9 a l 设函数，( z ) 于开平面亚纯，级p 为有穷正数，若积分 ，。! 叫d r 。 jy p 1 则称，( 。) 属于p 级收敛类；若上述积分等下无穷，则称，( 。) 属于p 级发散类 9 m t s u j i 证明了gv a l i r o n 的一个定理： 定理f 【9 l 设函数f ( z ) 于开平面亚纯，级p 为有穷正数，则存在方向j ( v 1 9 z _ = “，满足下列条件： 设 内的，( z ) ( i ) o ) ， 争k ( 。：) 卜 7 至多可能除去两个例外的复数n ( i i ) 若，( z ) 属于发散类，则有 一 l 荨i z 。( 0 ，有 ”等咎虮o 。，”嚣等把。 定义3 2 设函数，( z ) 于开平面亚纯，且满足条件( + ) ，则称 为( 。) 的对数 级 定义33 设函数，( 。) 于开平面亚纯，且满足条件( + ) 若积分 厂裟等打 o 。， 则称，( 。) 属于级收敛类；若上述积分等于无穷，则称，( 。) 属于k 级发散类 下面叙述本章的主要结果 定理3 1 设函数，( 。) 于开平面亚纯，如果，”；群d r 2 ，i l ，2 ，3 ) ，则厂。辫咖 。 至多可能除去两个例外的复数 1 0 ( i i ) 若，( 。) 属于 级发散类，卿 厂芈掣d r = 。 j r l o g r 至多可能除去两个例外的复数 定理3 3 设函数f ( z ) 于开平面亚纯，且满足条件( * ) 则存在一条从原点 出发的半直线( b ) ：a r g z = o o ( o 日o 0 至多可能除去两个例外的复数 ( i i ) 若f ( z ) 属于级发散类，则 ”掣虻。 至多可能除去两个例外的复数 具有定理所述性质的方向称为，( ) 的级v a l i r o n ，b o r e l 方向，或简称为，( 。) 的v b 方向 系理设函数f ( z ) 于开平面亚纯，且满足条件( + ) 则存在一条从原点出发的 半直线( b ) ：”9 z = 0 0 ( 0 k 一2 ， 一”l o g l o g ” 至多可能除去两个例外的复数 具有系理所述性质的方向称为，( 。) 的女一2 级b o r e l 方向，或简称为( z ) 的 b o r c l 方向 3 2 引理 设函数叫( 。) 于角域o ：i a r g z l a o 内亚纯，a ：l a r g z l o ( f 器d r n ( 即，f 赤把；帮， 从而有；鼎 。 t ( r ) z 。毒把i 1 研t ( r ) ， r 一 lr 2 g 0o+ ) nr2 。“ 6 0 使得r 。薏 d r 从而由引理3 3 有f ”忑各g ! ；打 o o 则由第二基本定理可知， 7 ( r ) ( a 。) 十o ( 1 0 9 r ) ，从而有 “毒虮耋。嚣d r + o ( f 。而丢办， o c 因此由定理3l 可知，( 2 ) 的对数级 一e o k 矛盾! ( i i ) 假定存在三个判别的复数n t0 1 ，2 ，3 ) ，使得，；等粤咖 o c ，从而 由引理3 3 有”等棼d r o 。，则出第二基本定理可知 。拳打塞。粼d r + o ( f 。赤 。一 因此这与，( 。) 属于k 级发散类矛盾! 证毕 下面证明定理3 3 由条件 。鬈砖把o 。，纠， 其中一般地说p = 一e ；若，( z ) 属于级发散类，则p = 把单位圆2 “等 分，易见存在角域a 。，其宽度为景= 呆：，边界为两条过z = 0 的射线，使得 1 2 ) - 。 且 厂裂把。 r 】0 9 9 + 1r 。 设。收敛到一个方向( b ) ：a r q z = e o ( os 岛 2 ”) ，则对于任意小角域 j a r y z 一如j o ) ，( b ) ，有 ”群扣o 。 ( 3 - ， 设o ：l a r g z 口o l o ) 由引理3 ，1 我们有 丁( r ；) 3 n ( 2 r ，a l ；o ) + o ( 1 0 9 2r ) 注意到 ( 32 ) 咖 i 蚶 旧 ， j _ 办 鲁 r 若，“：辫d r e 。+ o ) 设( 口n ) 为相应的方向， 则( b 。) 有一个极限位置设为( b ) ，从而( b ) 满足定理条件 证毕 最后证明系理 定理33 中的方向( b ) ：a r g z 一即为f ( z ) 的一个k 一2 级b o r e l 方向冈若 不然，存在三个判别的复数a 。( i = l ，2 ，3 ) ，使得 面! ! 曼! 坚! ! ! 垒! 女一2 ”一。 l o gj o g r 从而存在充分小的正数s 。有豆蚕警：嚣笋k 2 e 0 因此当r 充分人后有 帅必) ( 1 0 9 。2 。，筹s 面点可 其中一般地说p k e l ( s l 印) ；若f ( z ) 属于k 级发散类，则p k 由于 r 。而万d r o o ，故，。罱鬻1 d r o 。o = l ，2 ，3 ) ，这与定理3 3 的结论 矛盾!证毕 第四章零级亚纯函数关于小函数的b r 方向 本章主要讨论满足条件( + ) 的零级亚纯函数关于小函数的b r 方向 4 1 引言及结论 关于开平面上的亚纯函数的b o r e l 方向的存在性首先由gv a l i r o n 于1 9 2 8 年 得到定理e m 】，mb i e r n a c k i 于1 9 3 0 年提出并建立了下述定理： 定理a h 设函数，( o ) 于开平面亚纯，级 为有穷正数，则存在一条从原点 出发的半直线( b ) ：a r g z 一8 0 ( ose o 2 ) ，使得对于级小于 的任意亚纯函数 ( 。) ( 包括( 。) 蜕化为常数的情况) 恒有 il o g n ( r ，p o ，f 艘墨可 至多可能除去两个例外的函数 a r a u c h 进一步发展了b i e r n a c k i 的结果，得到 1 4 定理( 3 - 1 8 设函数，( = ) 下开平面亚纯 出发的半直线( b ) ：w ：= 0 0 ( 0 0 0 l - ) 类的任意弧纯函数n ( 。) 恒有 ，”型! ：塑! ! ， jr + 1 属下a 级发散类，则存在条从原点 使得对于级小于a 或者属于a 级收敛 至多可能除去两个例外的函数 a 级收敛类和a 级发散类的定义详见定义31 m t s u j i 推广了ai k a u e h 的结果，得到： 定理h p 】设函数八z ) 于开平面亚纯，级p 为有穷正数，则存在方向j a r g z = n ，满足f 列条件： 设：l a r g z 一。f j 为任意小角域，j ，g ( ：) 于开乎面亚纯，f ( r ： g l ) ) 为包含在角域内的，( = ) 一( 。) 的零点，多重零点仅计一次 ( i ) 若g ( z ) 的级 p ，则有 一 l 丙万百雨。【o j ， 至多可能除去两个例外的函数g ( z ) ( i i ) 若，( 。) 属于发散类，且i 厂。哿弘办 。g 则有 g - 1 k ( ，= 9 ；) l 一一 至多可能除去两个例外的函数g ( g 定义4 1 设函数g ( z ) 于开平面亚纯，且满足 甄掣l o k 一2 ( 2 。) ，(41)glog 一 ” 、 ，、， 则有，。毫哮打 o o ，称9 ( 。) 属于k 一2 级收敛类 定义4 2 称满足条件( 4 1 ) 或属于一2 级收敛类的亚纯函数9 ( z ) 为r ( 。) 的小函数 下面叙述本章的主要结果 定理4 1 设函数( z ) 于开平面亚纯，且满足条件( + ) 若，( z ) 属于k 级 发散类，则存在一条从原点出发的半直线( b ) ：a r g z = o o ( o 0 0 2 ”) ，使得对于 ，( z ) 的任意小函数g ( z ) 恒有 ，。0 坐掣d r 一。， “| l o g 。f 至多可能除去两个例外的函数 其中a ：j a r q z 一l 0 ) 为一角域，( 甘) 具有定理所述性质的 方向称为，( ：) 的k 级b i e r n a c k i r a u c h 方向，或简称为，( ) 的b r 方向 1 5 注：定理41 中若f ( z ) 属于级收敛类，则存在一条从原点出发的半直线 ( b ) ：a r g z = ( 【) 曼 o ) 71 0 9 “一r “ “、。7 。 至多可能除去两个例外的函数 定义43 设函数f ( z ) 于开甲面弧纯，且满足条件( + ) 设满足条件( 41 ) 的 亚纯函数9 ( 。) 组成的集合记为s ( 一2 ) ，并设 s ( k2 ) 一5 ( 一2 ) u o 。) 为s ( 2 ) 与值。所成的和集s ( k2 ) 包含所有常数和值。以及所有 ，( 。) 的非常数小函数我们称一个半直线( 日) ：a r q z = 口。为，( z ) 的一个关于 集合s ( k 一2 1 的一2 级b o r c l 方向，如果下列事实成立：若对任意的小角域 ：l a r g z 一l o ) ，( 仃) 以及集合s ( k 一2 ) 中的每一个元素9 ( 2 ) 恒 有 甄掣挚扯z ， 至多除去两个例外元素g 系理设，( 。) 为于 0 0 内的一个零级亚纯函数且满足条件( + ) ，则，( 。) 最少有一个关于集合s ( k 一2 ) 的一2 级b o r e l 方向 4 2 引理 设函数w ( z ) 于角域o ：j a r g zjs 咖内亚纯，： a r g zj5d ( o o ) 为一角 域，ac o ，设o ( r ) ，( r ) 分别为a o ，的位于r 的部分置 s c r ；，= s c w ，r ；，= ；厶。，c r 丰；考2 岳，2 r a r a a ，z = r g i 8 , 7 1 ( r ；) = 7 1 ( “，r ；) = 0 7 i 坚：j 垒2 d r 设n ( t n ；o ) 为角域o ( r ) 内的w ( z ) 一n 的零点个数，多重零点仅计一次置 ( tn ；。) = ( 毗r n ；。) = f n ( r , a ，；a o ) d r 引理4l 【9 1 设函数u 心) ，风( z ) ( i = l ，2 ，3 ，4 ) 于开平面亚纯，又设 他，= 器等端 则有 s ( f ，啦) n ( 叫i 毒叮a r 1 ( 凡，= f ；) 从而有盟帮 盯 。o ，因此，。鼍案孑笋d r 收敛 若，。号j ；掣咖收敛，则必有f 。等音i ；洋d r 收敛，否则与厂。兰j ；掣d r 收 敛矛盾! 从而结论成立证毕 4 3 定理的证明 我们先证明定理4 1 由条件 j 。鬻把。， 把单位圆2 ”等分，易见存在角域。，其宽度为参= j 票一边界为两条过z = 0 的 射线，使得1 2 ) 。) 且 ”篙掣虻。c ，。，。 设。收敛到一个方向( b ) ：a r g z = o o ( oso o 2 ”) ，则对于任意小