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西北大学硕士学位论文 摘要 数论函数的均值估计问题在解析数论研究中占有非常重要的位置，许多著名 的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析 数论的发展起到重要的推动作用! 著名的美籍罗马尼亚数学家f s m a x a l l d a c h e 一生巾引入了许多十分有趣的数列和数论函数，并提出了许多的问题和猜想他 在1 9 9 3 年发表的( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ) ) 【5 】一书中提出了1 0 5 个关于数 论函数和序列的问题与猜想，很多学者都在对此进行研究，并且有些已经得到了 一些十分重要的结果 本文研究了几个重要数论函数的均值估计问题，以及相关方程的可解性，并 给出了一些较好的渐进公式和精确的计算公式具体说来，本文的主要成果包括 以下几方面： 1 在第三章利用初等方法研究了关于s m a r a n d a c h e 对偶函数巩m ) 的相关方 程的可解性，并给出了它们的正整数解 2 在第四章中，本文研究了s m a r a n d a c h e 高阶乘函数的性质及其均值估计 问题，利用解析的方法得到一系列的渐进公式 3 对于给定的自然数n ，关于s m a r a n d a c h el c m 对偶函数s l + ( n ) ，本文第五 章利用初等方法研究了一个包含s l + ( n ) 的d i r i c h l e t 级数计算问题及s l + ( n ) 的 均值性质，分别给出了精确计算公式和一个较强的渐近公式 关键词：s m a r a n d a c h e 对偶函数；阶乘函数；正整数解is m a r a n d a e h el c m 对偶 函数：均值 o nt h em e a nv a l u ec a l c u l a t i o np r o b l e m so f a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s a b s t r a c t ( 英文摘要) i ti sw e l lk n o w nt h a tt h em e a d - v a l u ep r o b l e m so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo ft h ea n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t et o m a n yf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si n t h i sf i e l dw i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf s m a r a n d a c h ei n t r o d u c e dh u n d r e d so fi n t e r e s t i n g s e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n dp r e s e n t e dm a n yp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e si nh i sl i f e i n1 9 9 3 ，h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d “o n l yp r o b l e m s ，n o t s o l u t i o n s ! ”【5 j h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e s a b o u tt h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e si ni t m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s es e - q u e n c e sa n df u n c t i o n so ft h i sb o o k ，a n do b t a i n e dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fs o m ei m p o r t a n t a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n ds t u d yt h es o l u t i o n so fs o m ee q u a t i o n si n v o l v i n gt h e s m a r a n d a c h ed u a lf u a c t i o n ，eo b t a i ns o m es h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l a sa n d s o m ee x a c tc a l c u l a t i n gf o r m u l a sf o rt h e m t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di n t h i sd i s s e r t a t i o na r ea 8f o l l o w s ： 1 i nt h et h i r dc h a p t e r w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h es o l u t i o n s o fs o m ee q u a t i o n si n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ed u a lf u n c t i o n ，a n dg i v et h ep o s i t i v e i n t e g e rs o l u t i o n so ft h e m 2 i nt h ef o r t hc h a p t e r w es t u d yt h en l e a nv a l u eo fp r o p e r t i e so fs m a r a n d a c h ef a c t o r i a lf u n c t i o na n di t sm e a nv a l u e u s i n ga n a l y t i cm e t h o d sg i ws e v e r a l i n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l af o rt h er e c i p r o c a lo fs k ( t ，n ) f u n c t i o n 3 f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rn ，a b o u tt h es m a r a n d a c h el c md u a lf u n c t i o n s p ( n ) ，t h em a i np u r p o s eo ft h ef i f t hc h a p t e ri su s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o d t os t u d yt h ec a l c u l a t i n gp r o b l e mo fad i r i c h l e ts e r i e si n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h e l c md u a lf u n c t i o ns l + ( n ) a n dt h em e a nv a l u ed i s t r i b u t i o np r o p e r t yo fs l + ( n ) ， o b t a i na l le x a c tc a l c u l a t i n gf o r m u l aa n das h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l af o ri t k e y w o r d s ： s m a r a n d a c h ed u a lf u n c t i o n ；f a c t o r i a lf u n c t i o n ；p o s i t i v ei n t e g e r s o l u t i o n ；s m a r a n d a c h el c md u a lf u n c t i o n ；m e a nv a l u e i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 醒堡指导教师签名：主损么圆丑逢舅 彩年3 - , 9 弓口日 锄莎i f - 弓月乡。日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 胥奄习p 增芳年j 月3 0 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 数论，是研究整数性质的数学分支也是我国发展最早的数学分支之一数 论作为一门独立的学科形成后，随着其他数学分支的发展，也先后出现了初等数 论、解析数论、代数数论、几何数论和计算数论等等更细致的数论分支现在数 论已经深入到数学的许多领域 自变量n 在某个整数集合中取值，因变量y 取复数值的函数y = ，m ) ，这种函 数称之为数论函数或算术函数，它们在许多数论问题的研究中起着非常重要的作 用尽管很多重要算术函数的单个取值往往很不规则，然而很多时候它们的均值 却体现出了很好的规律性，因此数论中对算术函数性质的研究经常是在均值意义 下进行的【1 4 | 1 2 0 】 数论函数的均值估计是数论尤其是解析数论的重要研究课题之一是研究各 种数论问题不可缺少的工具因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析 数论的发展起到重要的推动作用 罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 在( o n l yp r o b l e m s n o ts o l u t i o n s ! ) ) 【5 】 一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的数学问题，其中绝大多数问题与数论有关许多 学者都已研究过其中的问题【2 1 l 2 5 】本文是在前人研究的基础上对其中的一些数 论问题进行了研究，并给以一定程度上的解决，是有趣并有一定的理论意义的研 究课题 原于以上的想法，我们应用初等、解析的方法，对书中提出的相关问题进行 研究主要研究了一些与s m a r a n d a c h e 函数相关的函数及特殊函数的均值性质及 代数性质，以及他们与一些重要函数之间的联系，并得到了一定的成果 1 2主要成果和内容组织 本文研究了一些重要算术函数的均值估计，以及他们与一些著名函数之间 的联系，有关和式的一系列均值的渐近公式这些成果主要表现在函数的均值问 题、相关方程，以及一些新的数论函数均值估计等几个方面，内容分布在第三至 第五章具体来说，本文的主要成果和内容组织如下： 1 对于任意的正整数n ，s ( n ) 表示最小的正整数m ，这里m 满足nim f ，我们 称之为s m a r a n d a c h e 函数，s ( n ) 在初等数论的研究中具有很重要的地位，与许多 数论函数有着密切的关系，本文在第三章利用初等方法研究了关于s m a r a n d a c h e 对偶函数氟( n ) 的几个方程的可解性，并给出了它们的正整数解 2 关于s m a r a n d a c h e 阶乘函数的研究有着丰富的内容在第四章中，本文定 义了s m a r a n d a c h e 高阶乘函数，并研究了它的代数性质及其均值估计问题，利用 初等、解析的方法得到一系列的渐近公式 1 ：塞= 童鱼鎏 一 3 在第五章，本文给出t s m a r a n d a c h el c m 对偶函数s 上，( n ) 函数的定义， 并利用初等方法研究了一个包含s r ) 拘d i r i c h l e t 级数计算问题及s l ( n ) 的 均值性质，并分别给出了精确计算公式和一个较强的渐近公式， 2 西北大学硕士学位论文 第二章预备知识 本章中给出一些后面要用到的基础知识 2 1 积性函数 定义2 1 ：设整数集合d 满足条件：若m ，1 1 , d ，则m 扎d 定义在集合d 上的 数论函数，( n ) 称为是积性函数，如果满足 ，( m n ) = ，( m ) ，( n ) ，( m ，n ) = 1 ，m ，n d ； ( 2 1 ) ，( n ) 称为是完全积性函数，如果满足 f ( m n ) = ，( m ) ，( 竹) ，m ，n d ( 2 2 ) 定理2 1 ：设，( n ) 是不恒为零的数论函数，当n 1 时有标准分解式n = 硝1 霹”那么，( n ) 是积性函数的充要条件是，( 1 ) = 1 及 ，( n ) = ，0 7 1 ) ，( 簖) ，( n ) 是完全积性的充要条件是，( 1 ) = 1 及 ，( n ) = f ( p 1 ) “，( p ，) “ ( 2 3 ) ( 2 4 ) 定理2 1 表明：一个积性函数完全由它在素数幂矿上的取值所确定，而完全 积性函数则完全由它在素数p 上的取值所确定 2 2欧拉求和公式 定理2 2 ：设，在区间函，叫上连续可微，- g - o y 。，则有 - z ，( n ) = f ( t ) d t + ( t 一嘲) ，他) 出 i t n z ”掣j + ，( z ) ( b 】一z ) 一，( ) ( m 一) ( 2 5 ) 3 第二章预备知识 2 3 欧拉乘积公式 定理2 3 ：设，是积性算术函数且级数f ( n ) 绝对收敛，则该级数和可以表示成 一个绝对收敛的无限乘积 ，( n ) = i i t ：+ ，( p ) + ，( 矿) + - 】 ( 2 6 ) n = l p 其中乘积遍及所有的素数如果，是完全积性的，则上述乘积可以简化为 o o 三砌) 2 玎砑1 ( 2 7 ) 2 4阿贝尔恒等式 定理2 4 ：对任一数论函数( n ) ，令a ( z ) = o ( n ) ，其中，a ( x ) = 0 ，当z 1 n x 时，假设，在区间b ，卅有连续导数，其中o y z 那我们有 ，三。删( 啦雒荆叫舶) _ z 。删俅) 出 n s z 。o 4 西北大学硕士学位论文 第三章一些特殊方程的求解问题 3 1 关：f s m a r a n d a c h e 对偶函数的方程 3 1 1 引言 设礼为正整数，著名的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 定义为 s ( n ) = m i n m n ：n i m l ) 比如，s 0 ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，s ( a ) = 3 ，s ( 4 ) = 4 ，s ( 5 ) = 5 ，s ( 6 ) = 3 ，s ( r ) = 7 ， s ( s ) = 4 ，数论专家f s m a r a n d a c h e 在文献吲中提出研究这个函数关于函 数s ( n ) 的性质，许多学者都作过研究，并获得了很多重要的结论【2 q 一【2 9 】 同时，很多学者也研究了与s m a r a n d a c h e 函数相关的s m a r a n d a c h ec e i l 函 数s k ( n ) ，我们如下定义这个函数： s k ( n ) = m i n m n ：n i m 例如，若k = 3 ，有数列 s 3 ( n ) m = 1 ，2 ，3 ，) ：s a ( 1 ) = 1 ，s a ( 2 ) = 2 ， s a ( 3 ) = 3 ，8 3 ( 4 ) = 2 ，s a ( 5 ) = 5 ，s 3 ( 6 ) = 6 ，8 3 ( 7 ) = 7 ，s a ( 8 ) = 2 ，容易看出这 个算术函数是积性函数，也有很多值得探讨的性质，因此许多学者都研究过它的 各类性质1 3 q 一【3 稍 相类似地，我们将介绍s m a r a n d a e h e 对偶函数氟( 礼) ，它表示使得 m l n 成立的最大正整数m ，其中n 表示任意正整数即， 氟( n ) = m a x m n ：m 。i n ) 显然i 3 ( 1 ) = 1 ，黾( 2 ) = 1 ，i 3 ( 3 ) = 1 ，g a ( 4 ) = 1 ，a 3 ( 5 ) = 1 ，融( 6 ) = 1 ，8 3 ( 7 ) = 1 ，i 3 ( 8 ) = 2 ，关于这个函数，路亚明【3 8 】通过初等的方法研究了d ( 巩( n ) ) 的 n s o 性质，并获得了如下的渐近公式： 薹璁( 埘叫咖+ e ( ；) 舢。( 。南)n 3 q m ) 证明：令n = 硝1 西2 砟r 是的标准分解式，由如( n ) 的定义可知， 有 i 3 ( 1 ) + s 3 ( 2 ) + + 两( n ) n = 跻1 琏2 霹 由q ( n ) 的定义可知 n ( - ) = 口1 + d 2 + a r 因此为了完成引理的证明，我们只需要证明下面的不等式： 硝1 硝2 p 7 3 ( a 1 + n 2 + o r ) 下面通过对r 做数学归纳法来证明( 3 1 ) 式 i ) 当r = 1 时，n = 硝1 a 若p 1 = 2 ，则a 1 4 ，有 2 4 3 4 ，2 0 1 3 0 1 b 若p 1 = 3 ，5 ，7 ，则o l22 ，有 i 4 3 2 ，1 0 1 3 0 l ，i = 3 ，5 ，7 6 当n 8 时， ( 3 1 ) 塑i 奎耋堡圭堂堡垒圣 c 若p l 1 1 ，则q 1 兰1 ，有 硝1 3 a 1 这就证明了r = 1 时( 3 1 ) 式成立 i i ) 现在我们假设对于r ( 芝2 ) 时( 3 。1 ) 式都成立，并且证明它对于r + l 时也成立 由归纳假设可知： p 1 理2 醇7 p r q + r + 1 1 3 ( o l + 嘞+ 嘶) - 磺j 1 由于肼+ 1 是素数，所以有 由上面的我们可以获得： 珥o i + l + 1 1 + 1 + i 硝1 硝2 p a 粥1 3 ( a 1 + a 2 + o r ) ( q r + 1 + 1 ) 因为若a 1 ，b 1 ，则o b n + b ，所以 ( 0 1 + a 2 - + 口r ) ( o r + 1 + 1 ) a 1 - - t 1 2 + a r + a r + l + 1 q 1 + a 2 + d r + 口r + 1 因此 砰1 赡2 簖7 p “r + “l 3 ( a a + a 2 + 哪+ o 件1 ) 于是证明了引理3 1 3 1 3 定理的证明 下面我们来完成定理的证明，首先把所有的正整数n 分为两个部分 1 当n 8 时，由靠( n ) 和q m ) 的定义可知： 有 两( 1 ) = 1 ，两( 2 ) = 1 ，两( 3 ) = 1 ，8 3 ( 4 ) = 1 ， 砘( 5 ) = 1 ， q ( 1 ) = 0 ， n ( 5 ) = 1 ， s 3 ( 6 ) = 1 ， n ( 2 ) = 1 ， q ( 6 ) = 2 ， 两( 7 ) = i ， n ( 3 ) = 1 ， q ( 7 ) = 1 ， 两( 8 ) = 2 q ( 4 ) = 2 ， q ( 8 ) = 3 i 3 ( 1 ) + 醯( 2 ) + 两( 3 ) = 3 u ( 3 ) ， 两( 1 ) + 两( 2 ) + + 两( 6 ) = 3 f l ( 6 ) 如( 1 ) + 两( 2 ) + + 如( 8 ) = 3 n ( 8 ) 7 第三章一些特殊方程的求解问题 因此验证可知7 , = 3 ，6 ，8 是方程的正整数解 2 当n 8 时，由引理我们知道：无论n 取何值时，都不能使方程成立即，方程没 有正整数解也就是说，方程 两( 1 ) + 两( 2 ) + + 两( n ) = 3 f t ( n ) 有且仅有三个解，是n = 3 ，6 ，8 于是完成了定理3 1 的证明 3 2关于s m a r a n d a c h e 对偶函数方程的推广 3 。2 1引言 这一节，在前面研究的基础上将上述方程推广到任意正整数七上，即我们研究 方程 氟( 1 ) + 乳( 2 ) + - i - 砘( n ) = 七q ( n ) 的正整数解问题，也就是证明下面的： 定理3 2 ：对所有正整数n 方程 靠( 1 ) + 8 k ( 2 ) + - + 氟( n ) = n ( n ) 当k = 1 时无解当2 e t ，方程至少有一个正整数解e p ： 甜当k = 2 时，n = 2 i i i ) 当k = 3 时，n = 3 ，6 ，8 i i i i ) 当k 4 _ l ；1 n q 1 o ：2 珥 嘶 o l l + q 2 + - + q r = q ( n ) 综上所述，对所有的正整数n ，方程i 1 ( 1 ) + 民( 2 ) + + 两( n ) = q ( n ) 没有正整数 解 这就完成了引理3 2 的证明 引理3 3 ：对所有的正整数n ，方程 而( 1 ) + 而( 2 ) - f + s 2 ( n ) = 2 f 2 ( n ) 只有一个解他= 2 i 方程 i 3 ( 1 ) + 黾( 2 ) + - + 黾( n ) = 3 f l ( n ) 有三个解n = 3 ，6 ，8 证明：第二个结果上节已给出，类似的方法可以得到第一个结果 引理3 4 ：对于所有的整数女4 ，都有2 + 1 k ( k + 1 ) 证明：我们用数学归纳法给出引理的证明 当k = 4 时，不等式显然成立 假设上述不等式对所有正整数m m ( m + 1 ) 因为2 m ( m + 1 ) ( m + 1 ) ( m + 2 ) ，由归纳假设我们知道 2 m + 1 + 1 2 m ( m + 1 ) ( m + 1 ) ( m + 2 ) 即，引理对m + 1 时也成立 这就完成了引理3 4 的证明 引理3 5 ： - 3 k 4 时，对于所有的正整数n 2 ，有 氟( 1 ) + 靠( 2 ) + + 靠( 竹) q ( n ) 证明：令n = 硝1 p 铲钟r 为n 的标准分解式，当n 2 时，有 氟( 1 ) + 酞( 2 ) + + 靠( n ) = p ? 1 硝2 - 霹7 9 眈m 乱 。试 此 因 第三蕈一些特殊方程的求解问题 又由q ( n ) 的定义可知 n ( 礼) = a 1 + a 2 - - - + a r ， 因此，要完成引理的证明，我们只需证明下面的不等式成立即可 硝1 理2 群 k ( m + o t 2 + n r ) ( 3 2 ) 用对r 的数学归纳法证明( 3 3 ) 式 i ) 当r = 1 时，n = 衍1 8 若p 1 = 2 ，因为2 k + 1 2 则有a 1 + 1 ，以及引理3 4 告诉我们2 1 k c k + 1 1 因此 2 0 1 0 1 b ；g p l 3 ，则砖 2 8 因此我们有o t l 当= 4 时，则有矿 4 2 当k 4 时，我们有p 4 0 k 2 因此 p k k 所以 衍1 k a l 这就证明了对r = 1 时引理3 ，5 成立 i i ) 现在假设对于r ( 2 ) 时( 3 2 ) 式都成立，并且证明它对于r + 1 也成立 由归纳假设可知 硝1 赡2 妒p “f + “l k ( a l + 劬+ + 坼) t p r “+ ”l 由于肼+ l 是素数，则有 p r “+ 1 1 n r + 1 + 1 从上面的结果我们可以有以下结论： 则 p a l 谬舻露鞴1 七( 0 1 + o r 2 + + 嘶) ( o ，+ l + 1 ) ( 口1 + o - + q r ) ( a r + l + 1 ) o q + c l a + + o r + 凸- 十l + 1 0 1 + a 2 + + 口r + o r + 1 所以 砰1 缪p q 7 p r + 1 1 k ( a l + n 2 + + n ，+ 嘶+ 1 ) 这就完成了引理3 5 的证明 1 0 西北大学硕士学位论文 3 2 3定理的证明 这节我们来完成定理的证明根据氟( n ) 的定义和引理3 2 和引理3 3 的结果 我们可知当k 4 时，方程解的情况我们现在讨论当k 4 时，方程 氟( 1 ) + 靠( 2 ) + + 靠( 他) = 七q ( n ) 是否存在有限个正整数解问题 首先我们把所有的正整数n 分为两部分： 1 当 2 k 时，由靠( 竹) 和q 伽) 的定义可知，靠何) = 1 ，所以，方程靠( 1 ) + 氟( 2 ) + + 缸( n ) = q ( n ) 等价于方程n = n ( n ) 因此，当礼= p ? 1 赡2 霹r 时，方程的 正整数解为n = 七似1 + o l 2 + + q ，) 2 当n 2 时，从引理( 3 5 ) 我们知道方程没有正整数解 综上所述，我们有以下结论： 方程 氟( 1 ) + 如( 2 ) + - - + 砘( n ) = 0 ( n ) 当k = 1 时，方程无解当k22 时，方程有正整数解，是 i ) 当k = 2 时，解为礼= 2 ； i i l 当k = 3 时，解为凡= 3 、6 、8 ； i i i ) 当k 4 、礼 2 k 时，方程有解当且仅当n = q ( n ) 成立 特别地：当= p 是一个素数时，有昂( 1 ) = 1 ，昂( 2 ) = 1 ，昂晒) = 1 ， 如( 2 p ) = 1 ，a ( p ) = 1 ，n ( 印) = 2 ，因此，n = p 和助是方程的两个特殊解 这就完成了定理的证明 第四章关于高阶乘函数的均值 4 1引言 第四章关于高阶乘函数的均值 对任意正整数珏，s m a r a a a d a c h e 冤阶乘函数彭( ) 表示其双阶乘蹈( ) ! ! 能 被n 整除的最小正整数即：s d f ( n ) = m i n m n ：n f m ! m 例如s d ，( 1 ) = 1 ， s d y ( 2 ) = 2 ，s a y ( 3 ) = 3 ，s a y ( 4 ) = 4 ，s a y ( 5 ) = 5 ，s d ，( 6 ) = 6 ，s d f ( 7 ) = 7 ， s d f ( 8 ) = 8 ，s d f ( 9 ) = 9 ，s d f ( 1 0 ) = 1 0 ，s d ( 1 1 ) = 1 1 ，s d f ( 1 2 ) 6 其中 删：j ，2 【1 4 - - s d f ( 礼) 3 - - s d ，( 礼) 如果2 l s d f ( n ) 如果2 t s d f ( ) f s m a r a n a d a c h e 5 建议我们研究此数列的性质 关于函数s d f ( ) 的算术性质，许多学者都进行了研究，并且得到了一些结论 例如，d u m i t r e s c u 1 9 1 ，f e l i c e 【2 4 j 研究了该数列的算术性质关于它的均值，朱敏 慧1 4 0 l 做了相关的研究 在这一章，我们定义s m a r a n d a c h e 高阶乘函数瓯( ，n ) 如下： s k 0 ，n ) = m i n m n ：扎i r a ! t ， 其中m k 表示 m ! t = m 十( m t ) ( t + i ) i ，m 兰i ( m o d t ) ，t = 0 ，1 ，t 一1 显然司知，这个函数是s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 的推广实际上，如果我们 令k = t = 1 ，那么s 1 ( 1 ，n ) = s ( n ) 这章的主要目的就是研究函数s k ( 印1 ) 的均值 性质以及代数性质，并获得了一些有趣的结果即就是证明下面的定理： 定理4 1 ：对于任意的实数z 2 和正整数t ，我们有渐近公式 f 唑等监盖+ o ( 禹) ，2 i t ； 最瓴n ) = 。 i 比二业1 2 鑫+ d ( 燕) ，2 t t 推论4 1 ：对于任意的实数z 2 和正整数七，有渐近公式 至鲫，垆s k ( 啦等盖+ 。( 熹) n z n z 一7 推论4 2 ：对于任意的实数z22 ，我们有 s 水，n ，= s 搿c 秆，= 等鑫+ o ( 熹) n n z 一7 1 2 耍! ! 奎堂堡主堂堡堕塞 4 2 几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面几个引理，首先有 引理4 1 ：4 n 的标准分解式为n = p ? 1 p ；2 霹r ，其中p l ，p 2 ，p ，是互不相 同的素数，o l ，0 2 ，a ，是任意正整数，我们有 s k ( t ，n ) = m a x 鼠( ，贡1 ) ，s k ( t ，纡) ，s k ( t ，碟0 证明：令”k = & ( 屯卯) 其中i = 1 ，2 ，r 则有 ( 群) 。i ( 舰) ! t ，i = 1 ，2 ，r 令仇= i x i s , x ，t z l ，r o t 2 ，m r ，则有 ( 碱) ! i m ! t ，i = 1 ，2 ，r 注意到p 1 ，m ，p r 是不相同的素数，我们有 g c d ，圬) = 1 ，1 茎i js 因此，我们得到舻l 仇! f ，于是有 s k ( t ，n ) m 另一方面，根据m 的定义，如果s k ( t ，n ) m ，那么必存在一个素数幂群( 1 is r ) ，使得 ( 硝) is k ( t ，n ) ! t 这样，我们得到舻is k ( t ，n ) ! ，但与已知矛盾 这就完成了引理1 的证明 引理4 2 ：对于任意的正整数、t 和n ，今m = 硝1 癌2 砰r p ( n ) 是n 的素因子 分解式，p ( n ) = m a x ，、，佤 ，则有恒等式 瓯( t ，扎) = t ( k 一1 ) + i i p ( , o ， 其中p ( n ) 表示n 的最大素因子 证明：由n 的素因子分解式，我们立即可以得到 硝1 理2 霹 m a x ( k ，、元) ) b = n ：倪z ，p ( n ) m a x ( k ， 元) ) i ) 若 - i 扫a b e l s 等式( 见文献【1 1 】) ，我们可以得到 s k ( t ，礼) 蕾： = 瞳 一1 ) + 1 】p ( 竹) p ( 譬：鬈：而) 1 4 和 = 【t ( k 1 ) + l l p ( 2 1 + 1 ) 2 1 一+ l 厢 = 陋一1 ) + 1 】p 2 f 十1 s 、压2 z + 1 如s i 寿t 、 = 【t 一1 ) + l j p + oi 而l 2 + 1 、压2 $ l _ p z ( 2 j w l )2 i + 1 兰、至丽p s z ( 2 l + 1 ) = 陋( 七一1 ) + l 】p + o ( z i l n z ) ( 4 2 ) =萎；(赤丌c寿删。卜廖巾冲1211 + ( 4 4 ) 因此 = m 一1 ) + 1 】p ”丢乎2 1 p s i = m 一1 ) + 1 n s 面 = t c k 一1 ) + 1 】 n s v 庄 2 十n l i p b p ! ： l f p n p 暑 = 陋一1 ) + l 】 pl 矿 七矿+ 1 pl 。 转 e 学 p + o ( 。z ) 2 + 1 s ；2 t + l _ p _ _ x ( 2 1 + 1 ) 坠箍8 i n 型+ 。( 盖) z一1 n 2 茁， ( 4 , 5 ) 。s k ( 咖) = 坠等丝+ 。( 盖) ( 4 。) 同样地，件l e u l a r 求和公式( 见文献f 1 1 1 ) ，我们能够得到 = 2 狐l n 砒+ 2 ( 一( 以l n 硝砒+ 而l n 出一 z g i n z ( 4 7 ) 结合( 4 6 ) 和( 4 7 ) 式，我们有 坠装型+ 。( 熹) ( 4 s ) 接着讨论( 4 1 ) 式的第二部分，令n 令s k ( 1 ，2 。n 1 ) = m i n m ：( 2 。n 1 ) j m ! ) 和 = 2 0 n 1 其中o l 、m 是正整数，且2 t n l ， y 、_ s k ( 2 “n 1 ) 的定义中我们知道 ( ，n ) = s k ( t ，2 。n 1 ) 篙”；f 2 nn 讧1 1 1 。， ( 4 9 ) a i n x i n 2 篆+ 。( 盖) _ 舯， 肼而 需 哟p 带 = 哟o鼠 繁 = h 正d 卜m泸 q& 常 = 曲 瓯 前 塑! ! 奎堂堡圭童丝堕塞 从( 4 9 ) 、( 4 1 0 ) 式，口j 以得到 萋蜘，= 篆+ 。( 熹) 圳 由( 4 8 ) 和( 4 1 1 ) 式，我们可以获得下面的渐近公式 萎蜘，= 学丽2 ；2 + 。( 熹) - 情况2 当2 托时，我们像情况1 样把n 分为两部分：集合a 和日， e 鼠( t ，n ) = s k ( t ，n ) + ( t ，礼) 我们可以得到以下的渐近公式： 羡蜘，= 掣而x 2 + 。( 篙) 于是完成了定理4 1 的证明 r e m a r k m s k ( t ，n ) 的定义，我们可以获得它的一些代数性质 性质1 若2 l n 和n = 2 a n l ，其中。，n l 是正整数，且2 t n l ，有 s k ( 亡，n ) 冬m a x s k ( t ，2 0 ) ，t s k ( t ，n 1 ) 性质2 令p 是一个素数，q 是一个正整数，有矿i s k ( t ，p q ) 性质3 令p 是n 的最小素因子，有s k ( t ，n ) p 性质4 对于任意素数p 和任意整数o ，有 ( t k t 十1 ) ( p - 1 ) 口 1 ，我们有渐近公式 s l + ( n ) = c x + o ( 1 n 2 z ) ， 辄= 薹莓为礴常耗 5 2几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面几个引理，首先有 引理5 1 ：对于任意给定的正整数，我们有 s l ( n ) = p a 一1 ， 其中p 为素数，a 为大于等于1 的整数 证明：设s l + ( n ) = k ，则有s l + ( n ) 的定义知： 【1 ，2 ，k i l n ，( k + 1 ) t m 否则有【1 ，2 ，k ，k + 1 1 1 , z ，这时s l + ( n ) 兰k + l ，与s l + ( ) = 七矛盾 设女+ 1 = 衍1 砖2 赡为+ l 的标准分解式，其中m 为素数，p l m 1 时， d i r i c h l e t 级数f 型墨型是绝对收敛的由引理l 知：s l ( n ) = 矿一1 ，那么 有【1 ，2 ，p 。一1 】ln 令n = 【l ，2 ，矿一1 】m ，且p 十m ，那么对于任意 实数s 1 ，我们有 o 。 = o = 1pn = l p a 1 竹5 s l + ( n ) = 矿- 1 =薹莓妻酉百等杀1n =pm = l 1。 = 厄 d = lp 【上 芝二1 2 ，矿一1 p r 二 瞻嘉一薹南) 睡扣尹1 ) = 匡嘉) 薹莩黼 = “小薹莩 2 0 掣 s 一 脚 堂一 ， ， 州1 1 | | 1 这就完成了定理1 的证明 f l ：t s m a v a n d a c h el c m 对偶函数s l + ( n ) 的定义和引理5 1 和引理5 2 可知 s l + ( 竹) n z = 酽一1 ) 2 ，p o - l l m x ( m ，p ) - l 扩一1 ) 【1 ，2 ，p o - 1 z = ( p 。一1 ) 【l ，2 一，p o - l l z = 卫 = 石 =c m s 瓦1 _ 号网 p t m 2 ，矿一1 】 m 。，9 器端+ 。( 。 薹莩嬲+ d ( 砰z ， 。+ 0 ( i n 2 z ) ， f 百_ - 两 2 ，一，矿 鼽= 薹车是一恫计算常数 这就完成了定理5 2 的证明 驱。矿) + 。( 1 ) 、 第六章小结与展望 第六章小结与展