（基础数学专业论文）几类特殊不定方程的研究.pdfVIP

摘要 丢番图方程又称为不定方程，是数论的一个重要分支，是古老且活跃的数学 研究方向之一不定方程不仅自身的发展异常活跃，而且广泛应用于其他学科 ( 如离散数学，经济学，物理学) 的研究领域它对人们的学习、研究和解决实 际问题具有重要的指导作用因此，国内外许多学者对不定方程( 组) 进行了广 泛、深入的研究 本论文的主要工作是利用初等方法对几类特殊的不定方程进行了研究具 体分为以下几个方面： 1 设+ 是全体正整数的集合，a ，b ，c 是大于l 且两两互素的正整数，方程 矿+ 6 ，= c 。，x , y ，z n + 是一类基本而重要的指数丢番图方程著名学者t e r a i 对上述不定方程的解的个 数提出了一些猜想，从而吸引了许多专家学者从不同角度对t e r a i 猜想进行更深 入的探讨本文考虑了丢番图方程a 。+ b y = c 。在一定条件下的整数解的问题；并 给出了不定方程x 2 + b y = c z 在一定条件下的解的问题 2 讨论了不定方程 x 3 - 8 = b y 2 ，其中x ，y n + ，g e d ( x ，y ) = 1 在d 是奇素数且d = 1 0 8 s 2 + 1 ( 其中s 是偶数) 时的解的情况 3 讨论了一次不定方程组解的存在问题，并在其有解的情况下给出了其解 的一般形式 关键词：丢番图方程；方程的整数解；整除；同余；p e l l 方程 a b s t r a c t d i o p h a n t i n ee q u a t i o ni s a l s oc a l l e di n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n i ti sa ni m p o r t a n t b r a n e l ao fn u m b e rt h e o r y , a l s oo l da n da c t i v eo n ei nt h ef i e l do fm a t h e m a t i c st h r o u g h t h ew h o l eh i s t o r y d i o p h a n t i n ee q u a t i o nn o to n l yd e v e l o p si t s e l fv e r ya c t i v e l y , b u t a l s oe x t e n s i v e l ya p p l i e st ou s ei nt h er e s e a r c hf i e l do fo t h e rs u b j e c t s ，s u c ha sd i s c r e t e m a t h e m a t i c s ，e c o n o m i e sa n dp h y s i c s i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei no u rs t u d y , r e s e a r c h , a n ds o l v i n gt h ea c t u a lp r o b l e m s t h e r e f o r e ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v es t u d i e dt h e i n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n ( e q u a t i o n s ) e x t e n s i v e l ya n dd e 印l yi nt h ed o m e s t i ca n d a b r o a d i nt h i sd i s s e r t a t i o n , s e v e r a ls p e c i a lk i n d so fd i o p h a n t i n ee q u a t i o nw e r es t u d i e d b yu s i n ge l e m e n t a r ym e t h o d s t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sp a p e ra r e 嬲 f o l l o w s ： 1 l e tn + b et h es e to fp o s i t i v ei n t e g e r , a ，b ，cb eg r e a t e rt h a n1a n de a c h o t h e rb e i n gc o - p r i m e t h ee q u a t i o n 口j + 6 y = c 。，x , y ，z n + i sak i n do ff u n d a m e n - t a lb u ti m p o r t a n te x p o n e n td i o p h a n t i n ee q u a t i o n f a m o u ss c h o l a rt e r a ih a sb r o u g h t f o r w a r dal i t t l ec o n j e c t u r et os o l u t i o nn u m b e ro fa b o v e m e n t i o n e di n d e t e r m i n a t e e q u a t i o n i ta t t r a c tm a n ye x p e r ta n ds c h o l a rt oe a r l yo u tr l l o l et h o r o u g hi n v e s t i g a t i o n a n dd i s c u s s i o no nt e r a i sc o n j e c t u r ef r o md i f f e r e n ta n g l e s i nt h i sp a p e r , t h ei n t e g e r s o l u t i o n so fd i o p h a n t i n ee q u a t i o na j + 6 ，= c 2a n dz 2 + 6 y = c 。l u eg i v e nu n d e r s o m ec o n d i t i o n s ，r e s p e c t i v e l y 2 t h ei n t e g e rs o l u t i o n so f t h ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o n s z 3 - 8 = b y 2( x ，y n + ，g e d ( x ，y ) - - 1 ) a r ed i s c u s s e dw h e ndi sf l t no d dp r i m ea n dd = 10 8 s 2 + 1 ( sb e i n g 龃e - , v e l ln u m b e r ) 3 t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o na b o u tt h eo l l gt i m ei n d e t e r m i n a t ee q u a t i o ng r o u p a t ed i s c u s s e da n dag e n e r a lf o r mo fi tu n d e rt h es i t u a t i o no fh a v i n gas o l u t i o ni sg i v e n k e y w o r d s ：d i o p h a n t i n ee q u a t i o n ；t h es o l u t i o nt od i o p h a n t i n ee q u a t i o n ；d i v i s i b i l i t y ； c o n g r u e n c e ；t h ep e l l se q u a t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间 论文工作的知识产权单位属于西北大学学校有权保留并向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版本人允许论文被查阅和借阅学校可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再 撰写的文章一律注明作者单位为西北大学 保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名： 闻徘 | 跏口年r 月孑7 日 弩萼名：素岜 2 c ) f 。年g 矿 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：闺繁很 锄d 年r 月乡7 日 第一章概述 1 1 数论和不定方程的概述 数论在数学中的地位是独特的高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是 数学中的皇冠 因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，例如 费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题等， 叫做“皇冠上的明珠 ，以鼓励人们去“摘取一 数论是数学中古老的分支之一它是研究数的规律，特别是研究整数性质的 一门学科自古以来，数学家对于整数性质的研究从未间断，但是直到1 9 世纪， 这些研究成果还只是孤立地记载着，还没有形成完整、统一的的学科在我国古 代，许多著名的数学著作中都记载有数论的相关内容，例如孙子定理，勾股数组， 百钱买百鸡，韩信点兵问题等在古希腊时代，数学家对于数论最基本的整除性 问题就有过系统的研究，有关质数、合数、约数、倍数等一系列概念也陆续产生 并加以应用后来，各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出了重大的贡 献，使数论的基本理论逐步得到完善 数论形成了一门独立的学科之后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方 法也在不断发展数论按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数 数论和几何数论四个不同的分支其中，初等数论是数论中不求助于其他数学学 科的帮助，只依靠初等方法来研究整数性质的分支例如，著名的“中国剩余定 理( 孙子定理) 的证明就是典型的初等方法解析数论是使用数学分析作为工具 来解决数论问题的分支用数学分析来解决数论问题是由欧拉( e u l e r ) 奠基的， 俄国数学家切比雪夫等也对它的发展做出过贡献解析数论是解决数论中艰深 问题的强有力工具例如，对于“质数有无限多个这个命题，欧拉给出了解析 方法的证明，其中应用了数学分析中有关无穷级数的若干知识2 0 世纪3 0 年代， 苏联数学家维诺格拉多夫创造性地提出了“三角和方法修，这个方法对于解决某 些数论难题有着重要的作用我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中 使用的也是解析数论方法代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分 支把整数概念推广到一般代数数域上去，在此代数数域上也相应地建立了素整 数和可除性等概念几何数论是由德国数学家、物理学家闵科夫斯基等人开创和 奠基的几何数论研究的基本对象是“空间格网一空问格网对几何学和结晶学 有着重大的意义由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础 才能够深入研究 数论是一门高度抽象并有着广泛应用的数学学科但在以往相当长的时期 内，它却被认为是很难有应用价值的当时，它的发展处于纯理论的研究状态， 虽然它对数学理论的发展起到了积极的作用，但对于大多数人来讲并不清楚它的 实际意义目前，由于近代计算机学科和应用数学学科的发展，数论得到了广泛 的应用，比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛运用了初等数论的许 多研究成果，改变了人们的看法，数论的研究也增加了新的内容；据文献报道， 如今有些国家应用“孙子定理 来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变 换等此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换 等方面得到了广泛和深入的应用 不定方程是数论的一个重要分支，有着悠久的历史与丰富的内容所谓不定 方程( 或不定方程组) 是指未知数个数多于方程的个数，且取整数值的方程( 或方 程组) 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干此类方程，详细阐述了一 些具体不定方程的解法，方法巧妙，因此人们称不定方程为丢番图方程来纪念他 丢番图对代数学的发展具有极其重要的作用，对不定方程进行了深入细致的研 究，摆脱了几何形式的羁绊，在希腊数学的研究中独树一帜，被誉为“代数学之 父 ，同时，他的研究观点对后来的数论学者具有深刻久远的影响1 9 6 9 年，莫 德尔系统地总结了关于不定方程方面的研究成果此外，著名数学家费马、欧拉、 拉格朗日、高斯、希尔伯特、库默等致力于不定方程的研究，他们的研究成果大 大丰富和发展了数论的内容我国，许多数学学者和专家致力于丢番图方程的研 究，得到了大量好的研究成果迄今为止，已有不少关于数论及丢番图方程的理 论及其应用专著涌现，如 1 1 0 等 近年来，丢番图方程这一研究领域取得了惊人的重要进展但从整体上来 说，对于高于二次的多元不定方程，人们掌握得并不深刻；另一方面，不定方程 与数论中的其它分支以及代数几何、群论、组合论、编码理论、计算机科学等学 科有着密切的联系，在有限群论和最优化设计中也常常提及不定方程的问题，这 样使得不定方程这一古老的数论分支继续吸引着许多数学家的注意，从而成为数 论中重要的研究课题之一 2 1 2 丢番图方程的主要成就 近年来，不定方程这研究领域出现了许多优秀成果，极大地充实了数论的 内容，促进了数论的发展 1 9 5 5 年，r o t hk f 证明了一个著名的定理【1 1 1 ：设秒是一个刀2 次的代数 数，则任意的s 0 ，适合 h 0 只有有限组利用此定理，可以得n - 元刀3 ) 次不可约多项式 方程的解数是有限的例如，1 9 6 2 年，国内数学家柯召证明了：当p ，g 是不同的 奇素数，且g 2 ( p 一1 ) 或者p 2 ( q - 1 ) 时，丢番图方程矿一少= 1 只有有限组整 数解另外，英国数学家b a k e ra 于1 9 6 8 年前后将g e l f o n d 和s c h n e i d e r 有关 h i l b e r t 第七章的结果推广到更一般的情况，给出了一类特殊的丢番图方程整数解 的绝对值的上界0 2 1 3 1 1 9 7 3 年，d e l i g i n ee 证明了有限域上不定方程 八五，而，毛) = 0 的解的个数的猜想，即著名的w e f ta 猜想1 9 8 3 年，德国数 学家f f l t i n g sg 结合使用了苏联和美国哈佛两个代数几何学派的工作，证明了 m o r d e l ll j 猜想，即有理数域里亏格2 的代数曲线上仅有有限个有理点1 1 4 1 利 用此结论，可以推导出f e r m a t 方程，+ 少= 矿，其中 ，y ) = 1 在刀4 时最多有 有限组正整数解1 9 9 5 年，英国剑桥数学家a n d r e ww i l e s 终于解决了困扰人类 3 5 8 年的难题一f e r m m 大定理，即，当刀3 时，不定方程，+ 少= 矿无x y z 0 的 整数解a n d r e ww i l e s 教授的工作不仅仅是给出了f e r m a t 大定理的证明，更重 要的是他的深刻的思想和奇异的研究方法对数论中一些长期未决的基本问题( 如 伊瓦萨瓦理论猜想和谷山丰志村五郎猜想) 的解决做出了巨大贡献，在很大程度 上丰富、发展了数论这门学科，甚至在一定程度上推动了数学的发展 在丢番图方程及其应用方面，己经得到了许多优秀成果然而，这一学科仍 有许多未知的领域，特别是在研究相关学科的过程中，提出了一些需要解决的丢 番图方程的问题，这值得数论学者进行深一步的讨论与研究一般而言，可以给 3 出二元高次不定方程解的绝对值的上界，但其上界往往太大，以致于难以给出方 程的全部解对于其他类型的丢番图方程，特别是指数丢番图方程，还存在着广 阔的未知领域1 1 5 1 1 3 丢番图方程的研究方法 丢番图方程的研究内容非常丰富，但是并没有一个普遍可行的研究方法针 对其研究目的而言，人们总是希望尽可能寻找某类方程的一般的求解方法，以便 在更广泛的领域更好的应用例如，部分问题在整数环上已经解决了，为了得到 新的求解方法，人们把它拓广到代数整数环上去进行研究某些问题用高深的方 法解决了，人们还想将其转化为较容易解决的问题，希望找到更为初等的方法来 求解因此，经过日积月累的研究可以不断的产生新的结构、新的技巧，而构成 这些新结构、新技巧很可能就是数学分支的萌芽，也很有可能对科学技术的发展 产生一定的特殊应用一般来说，人们只能给出丢番图方程的一些求解原则，即 综合利用各种初等的、高深的方法，将丢番图方程转化为较容易处理的或有数值 结果的方程具体来说，丢番图方程的求解方法主要分为下列两种： ( i ) 初等方法主要包括简单同余法、无穷递降法、分解因子法、二次剩余 法、比较素数幂法、p e l l 方程法和递归序列法等，上述初等方法都是利用产生一 些矛盾的等式来得到它在一定范围内是不成立的，于是证明其在某处是成立的 此外，初等方法还包括利用整函数的某些性质和不等式法来求解不定方程等 ( i i ) 高等方法某些不定方程利用初等方程求解是很困难的，人们为了解决 这类不定方程，建立了许多不同的研究方法，主要有丢番图逼近、代数数论和 p a d i e 方法等 对于一个给定的丢番图方程 f ( x a ，而，矗) = o ，毛t i ) fo = 1 ，2 ，刀)( 1 ) 其中f ( x a ，而，毛) 是关于未知数五，而，毛的整系数多项式，。o = 1 ，2 ，刀) 是未知数的取值的集合，一般情况下，需要解决下面的问题： ( i ) 方程( 1 ) 是否有解( 而，而，毛) ? ( i i ) 方程( 1 ) 有解时，它的解是否是有限组? ( i i i ) 如果方程( 1 ) 的解是有限组，可否具体找出其各组解? 4 ( i v ) 如果方程( 1 ) 的解是有限组，可否给出一个统一的求解公式? 1 4 课题研究背景及意义 众所周知，求解丢番图方程没有一个普遍通用的方法和规则有一些看上去 非常简单的方程，但解决起来却相当困难对丢番图方程而言，从古至今一直都 是不同的问题采用不同的方法解决通常，求解丢番图方程在很大程度上是由人 们的数学基础知识和研究经验决定的本文就丢番图方程的几种特殊情况用不 同的方法做了一些微薄工作，这些问题的解决对其它丢番图方程有一定的帮助和 借鉴作用，希望能使丢番图方程的理论得到进一步的发展和完善 5 第二章关于指数丢番图方程c f + b y = 矿 2 1 引言及预备知识 在指数位置出现未知数的丢番图方程称为指数型丢番图方程此类方程的 研究几乎涉及了初等数论、代数数论和超越数论中所有的重要方法，其中有关丢 番图逼近的t h u e s i e g l e r o t h - s e h m i d t 方法和有关代数数对数线性型下界估计的 g e l f o n d b a k e r 方法在这方面占有主要地位关于这两类方法的基本原理和早期 的应用情况可分别参见文献【1 6 】和【1 7 】1 9 8 6 年，s h o r e y 和t i j d c m a n 的专著对指 数丢番图方程进行了系统的论述f l s j 此后，e v c r t s ej h 、s c h m i d tw m 和孙琦 等 t 9 - 2 2 1 对后来的进展情况作了详细的综述，此外，许多著名学者 2 3 - 刎也致力于 指数丢番图方程的深入研究 定义2 1 满足下列条件的整数集m 叫做模：若a ，b m ，则a + b m ，即， 对加法与减法封闭的整数集叫做模 定义2 2 对任意整数仉m ，一定存在唯一的整数f 与厂，使得 a = m t + r ，0 ， 2 定义整变数d 的函数 = h 一： 6 把( 暑) 称为是模p 的l e g 础符号 定理2 1 4 1l e g e n d r e 符号具有以下性质： - ( 孚 ( d l - - d ( p - d 1 2 删p ，； 盼； 划m ：l ； 乩盼吵 2 2 关于丢番图方程矿+ b y - - c z 的一个猜想 设n + 是全体正整数的集合，a , b ，c 是大于1 且两两互素的正整数，方程 矿+ b y - c 2 ，x , y ，z n +( 2 ) 是一类基本而重要的指数丢番图方程1 9 3 3 年，m a h l e r 2 8 l 运用p - a d i c 形式的丢 番图逼近方法证明了( 2 ) 仅有有限多组解( x ，y ，z ) 1 9 4 0 年，g e l f o n d 2 9 1 运用超越 数论方法给出了解的可有效计算的上界1 9 4 4 年，t e m i 3 0 l 对于不定方程( 2 ) 的解 的个数提出了以下猜想 猜想1 如果存在正整数p ，鼋，适合m i n ( v ，q ，) 1ra p + 矿= c 7 ，方程( 2 ) 仅 有正整数解( x ，y ，z ) = ( p ，g ，) 1 9 9 9 年，曹珍富 3 q 给出了猜想1 的反例，并据此提出猜想1 应改为： 猜想2 当m a x ( a ，b ，c ) 7 时，猜想1 成立 然而，猜想2 仍然存在无穷多个反例因为口= 2 ，b = 2 ”一1 ，c = ? + 1 ，其中 刀是任何大于2 的正整数时，口，b ，c 是满足m 戤( 口，6 ，c ) 7 的正整数，而且方程( 2 ) 有解( x , y ，z ) = 仍+ 2 ，2 ，2 ) 适合m a x ( x , y , z ) 1 ，但是方程( 2 ) 还有另一组解 0 ，y ，z ) = ( 1 ，1 ，1 ) 因此，著名学者乐茂华嗍建议将t e m i 猜想1 修改为以下形式： 猜想3 方程( 2 ) 最多有一组解( x ，y ，z ) 适合m i n ( x ，y ，z ) 1 目前，有关方程( 2 ) 解的个数的已知结果都支持上述的猜想，但这仍是一个 远未解决的j 口- j 题 设，是大于1 的奇数，当a ，b ，c 适合 口= 刀哩i 罢2c 一- ，( 磊) ，1 7 2 i l 甩2 七l ， 6 = 拧l 警2 c t ，( 2 ：- 厂卜2 七- l 刀2 七l ， c 3 ， c = m 2 + l ， 式中当加是偶数时，方程( 2 ) 显然有解对此，曹珍富 3 1 1 提出以下猜想 猜想4 当a , b ，c 适合( 3 ) 式时，如果研三2 ( m o d 4 ) ，且c 是奇素数方幂，则方程 ( 2 ) 仅有解o ，y ，z ) = ( 2 ，2 ，) 近年来，许多专家学者从不同角度得到了t e r a i 猜想的一些重要结果曹珍 富【3 n ，董晓蕾和曹珍富【3 3 1 分别对于c 和b 是素数的情形得到了t e r a i 猜想的一些 结论 本文运用初等方法，得到了以下结论 定理2 2 设，是大于1 的奇数，所是偶数，q 和k 是适合 e + q j = ( m + j ) 7 的整数，若 口爿ki ，b 刊ql ，c = 肌2 + 1 且b 是素数，兰3 ( m o d 4 ) ，m 兰2 ( r o o d 4 ) ，m ，万，则方程( 2 ) 仅有正整数解 ( x ，y ，z ) = ( 2 ，2 ，) 定理2 2 的证明由于q ，巧适合 杉+ u j = ( 所+ j ) 7 ，( 4 ) 显然q ，k 适合 k 一珥j = ( 掰一j ) 7 ( 5 ) 令 口= 朋+ j ，夕= m 一, z - i ， ( 6 ) 结合( 4 ) 和( 5 ) 可得 8 以= 丛铲= 等 由c = m 2 + 1 和( 6 ) 可知c = 筇，故有 口= c ( c o s 0 + i s m 回，= c ( c o s o - i s i n o ) ， 其中f = 一1 ，0 是满足 t a n o ：土o 9 至 的唯一实数 根据d em o i v r e 公式，结合( 8 ) 和( 9 ) 可得 q = 等 ( 4 c ( c o s 0 + i s i n 8 ) ) 7 一( c ( c o s o - i s i n o ) ) 7 = = 。= = = ：一 2 4 1 ( c ) 7 ( c o s r o + i s i n r o ) - ( 、c ) 7 ( e o s r o i s i n r t 9 ) = ：= = = ? - 一 2 4 一l 、c 7 2 i s i n r o 五 = q c 7s i n r o 即 阢= c 7s i n r o( 1 0 ) 由( 9 ) 可知t 趾p ：三，o 口：咖三 ，万，从而 0 乡 r o 0 ，进而由( 1 1 ) 可知q 0 ，故由b = qi 可知b = q 由于m 是偶数，故从( 4 ) 可得 珥= 参旷匕) m r - 2 k - ! = ( - 1 ) ( r - i ) 2 一- - r ( m o d 4 ) ， ( 1 1 ) 由，誊3 ( m o d 4 ) 以及( 1 1 ) 可得 b = 仉毫r ( m o d 4 ) 暑3 ( r o o d 4 ) 于是，根据文献【3 3 】中的定理可知，方程( 2 ) 在题设条件下仅有正整数解 “y ，z ) = ( 2 ，2 ，) 定理证毕 9 2 3 关于指数丢番图方程妒+ b y = 矿 在文献【3 3 】中，董晓蕾，曹珍富证明了以下结论：设册n ，如果b 是一个 奇素数，且a = 朋ii v 4 1 0 m 2 + 5i ，b = 5 m 4 1 0 m 2 + 1 ，c = t t 2 + 1 ，那么方程( 1 ) 仅有解 ( x , y ，z ) = ( 2 ，2 ，5 ) 在文献【3 4 】中，袁平之对丢番图方程 铲+ 6 ，= c 7 ， x ，y ，g n( 1 2 ) 满足条件b = s 2 一t 2 , c = j 2 + f 2 ，其中s ，f n ，( s ，f ) = 1 ，s f ，且2s t ，得nt 以下 结论：若b - = - ：l ：5 ( m o d 8 ) ，且c 为素数幂，则方程( 1 2 ) 仅有一组正整数解 o ，y ，z ) = ( 2 s t ，2 ，2 ) 本节对方程( 1 2 ) 作进一步的研究，利用同余的性质得到了以 下结果 定理2 3 设方程( 1 2 ) 满足条件 b = s 2 一t 2 , c = j 2 + f 2 ， 其中s ，f n ，( j ，f ) = l ，s f ，且2 i s t ，若b - l ( m o d 8 ) ，且b ，c 为素数，则方程( 1 2 ) 的y 为偶数的解仅有( x ，y ，z ) = ( 2 s t ，2 ，2 ) 弓l 理2 1 若( g ，彬= 1 g h = c 七，则g = ”，h = 1 ，七 引理2 2 如果刀 1 ，那么丢番图方程x 扫一2 y 2 = 一1 仅有正整数解伍力= q 1 ) 引理2 3 如果i t 2 ，那么丢番图方程 x 2 - 2 y 2 = 一1 ，y 1 仅有正整数解阮y ) = ( 2 3 9 ，1 3 ) 引理2 4 设拧是大于1 的奇数，则方程 x 2 + p = z “，x ，y ，z n ，g e d ( x ，d = l ， 的解( j ，】，z ) 可以表示为 x + _ y 一l = 月, ( a + , h b 4 2 - ) ”，z = 彳2 + b 2 ， 其中 ，五 - 1 ，1 ，a ，b n ，g e d ( a ，b ) = 1 定理2 3 的证明 由于c = s 2 + r 2 ，s ，f n ，( s ，t ) = l ，则c 必为一奇素数又s - - 0 ，1 ，4 ( r o o d s ) ，则 2 s 2 兰0 ，2 ( r o o d s ) 由已知b + c = ( s 2 一f 2 ) + ( s 2 + f 2 ) = 2 s 2 ，于是b + c 兰0 ，2 ( r o o d s ) 而b 暑l ( m o d s ) ，从而c 毫_ + 1 ( r o o d s ) 下面分两种情况讨论： 情形l 当c 量- l ( m o d 8 ) 时，设( ；) 是l e g e n d r e 符号，则 1 0 ( 以等 ( 筹) = ( 南) ( 寿) 2 = ( 南) = ( 争川 对方程，+ 6 y - - c 。两边取模c ，得z 2 + 6 ，- o ( m o d c ) ，即而y - - x 2 ( m o d c ) ，所以 乩又= ( 寻) ( 争l ，而( 寻) 卟- 小叱于是，叫然 而，e ) = 1 ，所以e ) y = 一l 是不可能的故当c 董一l ( m o d 8 ) 时，方程( 1 2 ) 无解 情形2 当c 暑l ( m o d s ) 时，分两种情况讨论： i 当2z 时，由方程x 2 + 6 y = 矿可得x 2 + 6 y 暑c ( m o d 8 ) 由于6 - = c - = l ( m o d 8 ) ， 所以，- - o ( m o d 8 ) ，即4 i x 设z = 2 毛，y = 2 y l ，则方程( 1 2 ) 转化为x 2 + 6 2 m = c 拓， 变形得p 而一以一+ 功= 6 “下面首先证明p 而一五矿+ 力= 1 设( c 五- - x , c 而+ 功= z ，则，i c 而一x ，l i 一+ 毛由整除的性值得1 1 2 一，1 1 2 x ，于 是，l2 ( c 2 1 ，功由于c 为奇素数，设( c 气，功= c 蔚，其中o 聊毛，由方程( 1 2 ) 知 c 2 赢ib y ，若m 0 ，这与( 6 ，c ) = 1 产生矛盾，所以研= o ，即( c z l ，功= 1 ，则，i2 由 于c 而一x 为奇数，于是，= 1 即( c 毛一毛驴+ 工) = 1 由于b 为素数，结合引理2 1 得 f c z i x = 6 2 m 1 c 2 i + 工：1 ( 1 3 ) 或者 f 一一x ：1 不2 ( 1 4 ) l 驴- i - x = b 2 m r ( 1 3 ) 式是显然不成立的，我们只需考虑( 1 4 ) 式 首先考虑当咒= 1 时，由( 1 4 ) 式的第二个式子知z l 1 时，由( 1 4 ) 式可得6 2 乃一2 矿= 一1 若弓为偶数，则 由引理2 2 知( 1 4 ) 式没有正整数解若z l 为奇数，由前面讨论可设z l - 3 ，结合引 理2 3 可得p m ) 2 - 2 c 而= - 1 ，z 1 l 仅有正整数解扩= 2 3 9 ，c = 1 3 ，磊= 4 ，这显然 是不可能的所以( 1 4 ) 式除了o ，y ，z ) = ( 2 s t ，2 ，2 ) 之外无其他正整数解 i i 当2 j ，z 时，由于c b = 2 t 2 ，c b 兰0 ( r o o d s ) ，所以2 t 2 兰0 ( r o o d 8 ) ，即 r 2 兰0 ( r o o d 4 ) ，于是2 i f 由于c - - $ 2 + f 2 ，结合引理2 4 知 工1 2 i s z - 2 i ( - t 2 ) l ， (15)i, x l 、7 矿= t l 艺e i + l s z - 2 i - 1 ( - t 2 ) 1 i = 0 1 圭1 ( 1 5 ) 式知rl 矿，所以f = 矿若七= 0 ，则6 - 8 2 一l , c = 占2 + 1 ，从而c b = 2 ，这与 c b 三0 ( m o d 8 ) 产生矛盾，因此0 2 且d 不被3 或形如6 k + l 的素数整除，则方程 ，8 = d y 2 最多只有一组正整数解 1 9 8 1 年，柯召与孙琦【蚓证明了 定理3 2 ( 柯召和孙琦) 蚓设d 2 无平方因子且不被3 或形如6 k + l 的素数 整除，则，一8 = d y 2 在d 声3 ( r o o d 4 ) 无解 在文献【3 7 】中，作者证明了，当d 是奇素数时，如果d = 3 ，则方程( 1 ) 仅有 解( x ，y ) = ( 1 l ，2 1 ) ；如果d 三5 ( r o o d 6 ) ，则方程( 1 ) 无解受此启发，本文对 d 暑l ( m o d 6 ) 的奇素数的情况得到了以下一般性的结论 定理3 3 设d 是奇素数，如果d = 1 0 8 s 2 + 1 ，其中s 是偶数，则方程( 1 ) 无解 定义3 1 形如 ，一d y 2 = l ，其中d 是非平方数，d 1 ， 的不定方程称为p e l l 方程满足x 0 , y 0 的解称为正解 引理3 1 4 l 若( 口，b ) = 1 ，a b = ，l l l a = 矿，b = 1 ，：，其中c = l n ，( “，d = 1 3 2 定理的证明 定理3 3 的证明假设o ，y ) ( x ，y n + ) 是方程( 1 ) 的解，当x 一2 声0 ( r o o d 3 ) 时， 方程( 1 ) 可变为 ( x - 2 x x 2 + 2 x + 4 ) = d y 2 ， ( 2 ) 由g c a ( x ，力= 1 可知x ，y 皆是奇数，而x 2 + 2 x + 4 = o 一2 ) o + 4 ) + 1 2 ，由此可知 ( x 一2 ，x 2 十2 x + 4 ) = l ， 根据引理3 1 ，则有以下两种情形成立： i x - 2 = ”2 ，x 2 + 2 x + 4 = d v 2 ，y = 柳，似，d = 1 ； 1 3 x 一2 = d u 2 ，x 2 + 2 x + 4 = v 2 ，y - - - - i v ，( “，功= 1 下面将分别讨论这两种情形所给出( 1 ) 的正整数解： 先考虑情形i 由于x 声o ( m o d 2 ) 可知1 ，声o ( m o d 2 ) ，则x 2 + 2 x + 4 = 3 ( r o o d 4 ) ， 而d = 1 0 8 s 2 + 1 ，于是d - l ( m o d 4 ) ，所以3 羞x 2 + 2 x + 4 宝d v 2 - = l ( m o d 4 ) ，产生矛 盾 再考虑情形由第二式可知( v + x - i - 1 x v x 1 ) = 3 ，但由于x l ，因此 1 ，拟+ l ，吖一1 所以只可能有以下两种分解 f v + x + l = 3 1 v x 一1 ：1 或者 v v 一+ 石x 一+ 1 l ：= 刁- i ， 解得x = 0 ，显然不适合第一式，于是该情形( 1 ) 无解 下面将考虑x 兰2 ( r o o d 3 ) ，由工是奇数( x - 2 ，x 2 + 2 x + 4 ) = 3 ，根据引理3 1 ， 由( 2 ) 得以下两种分解： ( i ) x 一2 = 3 d u 2 ，z 2 + 2 x + 4 = 3 v 2 ，y = 3 u v , ，v ) = 1 ； ( i i ) x 一2 = 3 u 2 ，x 2 + 2 x + 4 = 3 d v 2 ，y = 3 u v ，( “，d = 1 先看情形( i ) ，把x = 3 d u 2 + 2 代入第二式有( v ) 2 3 ( d u 2 + 1 ) 2 = 1 ，因此有 l ，i + ( 加2 + 1 ) ；= ( 2 + j ) ”，其中以为整数，其中2 + ；为p e n 方程r 2 - 3 s 2 = 1 的 基本解，其中后一等式给出了p e l l 方程r 2 3 s 2 = 1 满足g 0 的全部整数解因 此 d u 2 + 1 = ( 3 ) 易知有下列递归关系成立： 晶+ 2 = 4 l 一矗， ( 4 ) ，：i = 2 r 一l + 3 - l ， ( 5 ) = 2 1 + ，：- _ ， ( 6 ) = 乞。2 + 3 s 2 柳2 ， ( 7 ) s 4 肼= 2 r 2 脚 ( 8 ) 由于d ，”都为奇数，从( 3 ) 可知晶= - o ( m o d 2 ) ，由于( 4 ) 以及= o ，焉= l ，故 有力兰o ( m o d 2 ) ，即y 奎0 ( r o o d 4 ) 或r - 2 ( r o o d 4 ) 当刀- - - 0 ( m o d 4 ) 时，令以= 4 m ，由( 7 ) ，( 8 ) 可得= 墨。= 8 r 2 一4 由于 ，：1 2 3 2 = 1 ，可知与& 必为一奇一偶，于是r s 兰0 ( m o d2 ) ，所以兰0 ( m o d 8 ) ， 而d u 2 + l 善2 ( r o o d 酌，这是个矛盾 当刀- = - 2 ( r o o d 4 ) ，令刀= 4 m - 2 ，由r 4 ，+ s 4 埘3 = ( _ 胂一2 + s 4 。一2 3 ) ( 2 + 3 ) 2 及 ( 5 ) ，( 6 ) 可得 = 川= 2 8 r 2 。，雕一8 乞册2 + 4 而三0 ( m o d 2 ) ，于是暑4 ( m o d 8 ) ，这仍然是个矛盾，故此情形下无解 再看情形( i i ) ，将第一式带入第二式有 d v 2 - 3 ( u 2 + 1 ) 2 = 1 ，( 9 ) 由此可知( x ，d = ，甜2 + 1 ) 是方程 d x 2 3 y 2 = 1 ，y n + )( 1 0 ) 的一组解，因为d = 1 0 8 s 2 + 1 ，所以方程( 1 0 ) 的最小解为( 五，k ) = ( 1 ，6 s ) ，根据文 献 3 8 】的结论，由( 9 ) 可得 1 ，d + 2 + 1 ) 怕= ( d + 6 s x 3 ) 。，其中t 是正奇数，( 1 1 ) 由( 1 1 ) 可得甜2 + 1 兰0 ( m o d 6 s ) ，由于y 是奇数，故“也是奇数，而s 为偶数，所以 0 兰“2 + 1 _ 2 ( m o d 4 ) ，这是个矛盾，故此情形下无解 综合上述各种情况，可知方程( 1 ) 在题设的条件下无解定理证毕 1 5 第四章关于一次不定方程组 定义4 1 设整数k 2 ，c ，q ，岛，a k 是整数，且q ，呸，鲰都不等于 零，五，岛，以是整数变数，则方程 q 而+ 伤而+ + q & = c ( 1 ) 称为七元一次不定方程，q ，a 2 ，a k 称为它的系数 许多文献1 3 9 - - 4 3 1 已经详细地讨论了k 元一次不定方程解的存在问题，以及在有 解时求其全部解，本文主要讨论一次不定方程组解的存在问题，并在有解的情况 下给出了其解的一般形式 下面首先给出一些相关的定义和基本的引理 定义4 2 设m = 至至至 行列式的值等于1 ，则m 称为模方阵。 引理4 1 任一矩阵厶。必与一形如 或者 4 0 0 4 d 2 00 00 0 0 盔畋蟊 o 届0 0 碣破 0o 0o o0 0 o o 4 吃厶 o 0 吗畋西 0 0 的矩阵相似，其中z - 0 下面研究整系数线性方程组： ，其中为整数( 1 厶歹刀) ，若m 的 0 o 0 o 0 0 0 o ( m 功 打 咒= x j a j , ( 1 f 胁刀所) t l 沏5 刀)( 2 ) 的整数解，其中乃是已知的整数，即研究y = d ，其中 1 6 y = 挑，y 2 ，儿) ，工= ( 而，而，毛) ，彳= 的整数解 令 d = 抛矿= 碣0