公交车调度的规划数学模型

第 l 9卷建 模 专辑 2 0 0 2年 0 2月 工程数学学报 J OURNAL OF ENGI NEERI NG MATHEM ATI CS Vo l 1 9 S u p p F 20 0 2 文 章 编 号 ： 1 0 0 5 3 0 8 5 ( 2 0 0 2 ) 0 5 0 0 6 7 0 8 公 交 车调度 的规 划数 学模 型 薄 立 军 ， 要 尉 鹏 ， 王 艳 辉 指 导 老师 ： 刘 红 卫 ( 西 安 电子 科 技太学 ， 西安 7 1 0 0 7 1 ) 螭 者按 ： 奉 文 建立 丁两 种 优化 模 型来 研究 公室 车 调度 问盾 。第 一 种模 型 牛 使用 F i s h e r聚类 算 法 对 客 稚分 布 进 行 了优 化分 类 这 使 得 客漉 时间 段 的划分 更 为合理 。第 二种 模 型 基 于 随机 眼 务 系 统 ， 主要 利用 了 GI M t t 排 队 系 统 的平 均 队 长 及 平均 等 待时 间等 基本 公 式 。因城 市交 通客 流是 随机 的 利用 排 队理论 来研 究 公 室车 调度 问题 更翡 刻划 问题 的 实质 。但单 变 通线 上 的公 交车 具有 串联 服务 的性 质 ， 这 与 G M n系 统不 大符 合 。第二 种模 型有 明 显的 不足 。 抽要 ：车 文 根据 有序 样 车聚 类 的 F i s h e r 算 法 特 出 一 种峰 值 曲线 的 优 化 方 法 通 过 诙 方法 我 们 得 出 了 上行 客 流 峰值 为 5 十 ， 其 峰值 区间 为 ： 5 ： 0 0 6： ，6： 0 0 9： 蚰 ，9： 0 0 - 1 6 ： 0 0 1 6： o 0 1 8： ，1 8： 0 0 2 3 ： 0 0；下 行客 流峰 值 为 5十 其 峰值 区闻 为 ： 5： 0 0 7 ： 0 07 ： 0 0 9 ： 0 0 9： 0 0 1 6 ： 0 0 1 6： 一 1 9： ，1 9： 0 0 2 3： 0 0 o 然后 依 据峰 值 区 间建 立 确定 发车 间 隔的算 法 I模 型 和算法 模 型 ， 对两 种算 法模 型 计 算 结果 进行 比较 分析 ， 得 出结论 ： 两 十 间隔 高 峰类 时间段 用算 法 I进行 求解 其泉 3十 类时 间段 用 算法 进 行 求 解 。 在各 十 时问 段结 合 处用 光 滑法 进行 优化 址理 并 以址理 后的 数 据 为基 础 制定 出两 十起 点 站 的 发车 时 蓟表 井 求 出全 线 共 需 要 4 7辆 车 乘 客 对方 寨 的满 意程度 为 9 8 2 ， 公变 酱 司的 茴意程度 为 7 6 2 3。 最后 运用 随机 服务 系统 的相关理 论建 立 随机规 射模 型 ， 给 出概率 灵镀 度 和误 差 分 析 ， 进而 得 出 采集 运昔 数据 的鞍 好方 案 。 关蕾 词 ：有 序样 本聚 类 ；客流 ；峰 值 ；车次 ；平 滑法 ；随机 服务 分类 号 ：AMS( 2 0 0 0 )9 0 C 0 8 中 圈分类 号 ：TBl l 4 l 文豫 标识 码 ： A 1 问题重 述( 略 ) 2 基 本假设 1 ) 公 交 车在 该线路 行进 中以 2 0公 里 ， 、 时的速度 匀速 运行 ，即不 考 虑启 动和停 车 ，每 站 停车延迟 及其他 因素 的影 响 2 ) 公交 车按发 车时刻表顺 次发车 ，准时到达 每个站 点 3 ) 乘 客候 车时 间一般不 超过 1 0分钟 ， 早高 峰时一般不 超过 5分钟 4 ) 满载 率不要 超过 1 2 0 ，一般也不应低 于 5 0 3 符号说明 P， ： 时段 内的配 车数( 时段配 车数 ) ( 车次 ) ； ：i时段 内的期望满 载率 ； H ： 时段 内的小 时最高 断面 的通过量 ( 人 ) ； M ：i时段 内的期望 占用 量( 人 ) c：车容量 ( c=车型 定员 +最 大允许站人数 ) ( 人 ) ；L：路线长 度 ( k m) ； 维普资讯 6 8 工程数学学报 第 1 9卷 Q， ：i时段 内的乘 客周 转量 ( 人 k m) ：乘客 的平均满 意率 ； ：公交公 司的平 均 满意 率 ； 8 ：i 时段 内乘 客 的满 意率 ； w ：i时段 内乘客 的平均等待 时间 4问题 ( 1 ) 模型的 分析 、建立及求解 下 面我们 逐 步以两种 不 同的方 法对公交 调度 方案进行讨 论 ，第一种 方法 对公 交调度 峰值 曲线进行优化 ，第二种方 法对公交 调度 发车间 隔进行确定 ，进 而制 定 出公 交调 度方 案 。最后 依据制定方 案过程 中 的相 关参数 的随机特性 ，抽象 出明确 完整 的随机规划 模型 。 方 法 I 优 化 公 交 调 度 峰 值 曲线 公 交 调度 人员 在制定 线路 配 车计 划 时 ，最 为重要 的依 据是 线 路 客 流 的 每 日时段 分布 曲 线。调度人 员进行 这样 的峰值划分 主要依据 以下两个原 因 ：对 于 客 流大小相 似 而且 相邻 的 时段 配置相 同的运力 ；划 分为若 干峰值 区间 ，便 于进 行驾乘 人员 的班 次 安排 ( 明确一点 ： 公交调 度峰值 曲线 中峰值代 表一个 区间 ， 而不 是一 个点 ) 。 公交 调度 峰值 曲线 的优化 过程实 际上是有序样 品的聚类 问题 。 所 谓有序 样品是 指 ，样 品按 照一定 的要求 排成序 ， 分类时 不能打 破这种次 序 。 设 ，-I ， ， 表示一组 有序 的样 品 ，则每一 类必须呈 ， + - - ， ， l ( i ) 形 态 。 个有序样 品 分成 k类 的一切 可能 的分 法有 c 种 ，这 个数 比 要小 得 多。因此 在某 种损 失 函数 下 ，有 可能求 得最 优解 。费歇 ( F i s h e r ) 发展 了一个有序样 品的聚类算法 ，它 可保证求 得最优解 。 下 面给出费歇 ( F i s h e r ) 聚类 算法 ： 基础 算法 首先定 义 D( i ， ) 表示 类 l i ， i +1 ， l 7 j 的直径 。类 的直径 D( i ， ， ) 这里 采 用该 类 的值 与 类均值差 的平方 和来表示 直 径 的大小 。 用 b 表示 个样本 分成 k类 的一种 分法 ，即 6 ： i l= 1 ， i l + 1 ， ， 2 1 l ， i 2 ， i 2+1 其 中 ，i 1 =1 i 2 i 。 定义 b 分类下 的损 失 函数 为 ： L ( b ， )= D( i， ， t + l 一1 ) ( 1 ) J； 1 其 中 ，i + 1 = +1 损失 函数值 越小 ，分类越合 理 。设 b ： 为使 式( 1 ) 达 到极小 的解 费歇 ( F i s h e r ) 的计 算方法使 用下面两个 递推公式 ： L( 6 2 )= r l i n f D ( 1 ， 一1 )+D( j， ) ( 2 ) L( 2 )= f ra i n L( b 7 - 1 ， ) D( j ， ) j ( 3 ) 在 k=2时 ，b 2 ： l 1 ， 2 ， ， 一1 l ， l ， J+1 ， ， nl ， 2 j 。 由式 ( 1 ) 得L( b )= D( 1 ， ，一 1 )+ D( ， ) 最优 的分法 上式 对 J ( 2 ) 求极 小 ， 得 到式 ( 2 ) 。为证式 ( 3 ) ，只需注意 到 个有序 样 品分 成 k类 ，这等价 于将它们先 分成两部 分 ： l 1 ， 2， ， 一1 ， ， ，+1 ， ， nf 其 中i 1 ， 2 ， ， ，一1 j 将分 成 k一1类 ，而 j J ， j+1 ， ， J 独成 一类 ，显 然 k ，于 得 到 式 ( 3 ) 维普资讯 建模 专辑 公 交 车调 度 的规 划数 学 模 型 算法 实现 若 k( 1 k2 ，找 ，使 L( 6 ： ) =L( 1) +D( ， ) 于是得 到 第 k类 P = ，J + 1 ， ，n l ，然 后 找 一 l ，使 它 满 足 L( 6 _ 1 ) = L( 一 2)+D( 一 1 ， J 一1 ) ， 得 到第 一1 类 P 1= 一 l ， J 一 1+1 ， ， J 一1 依次类推得到所有类 ( P ， P ， P ) =6 ： 。由式 ( 2 ) 和 ( 3 ) 可看 出 6 ： 是最优解 我们 应用 上面 的费歇 ( F i s h e r ) 算 法对 公交调度 峰值 曲线进 行聚类 处理 ，具体步 骤如下 ； 1 ) 先将 各时段 客 流量 转化 为 其 占全线 路客流 的 比例 。本题 中有 1 8个时 间段 ，即 1 8个 有序样本 。 2 ) 计算所有可能 类的 直径D ( i ， ) ： ( 一 i) ， 其中， i = z J 0 3 ) 计算 最小损 失 函数 。用 b ， 表 示用前 个 样 品分成 类 的最 优解 ， 它 的最优 损失 函数 为 L( b ， ) 。 当 j i 1 8 ，2 8时 ，利 用费歇算 法得 到上下行 方 向的最小损 失 函数 值 变化 曲线 图 ( 1 ) 圄 1 】 最 小损 失 函数 值变 化 曲线 经分析 计算 得 出：在分 类数为 5时 ， 损失 函数 的值为 0 0 0 4 2 0 4和 0 0 0 2 7 6 2， 损失 函数 已 经下 降的足够 小 了。在 分类数 为 6时 ， 损失 函数 的值为 0 ， 0 0 3 0 7 6和 0 0 0 2 2 1 1 。分为 5类与分 为 6类 ，两者 之 间损 失 函数的差 别不 大 。从方 便调 度管理 的 角度 出发 ， 期 望 划分 尽 可能 少 的 类 ，所 以取 曲线 最优 聚类 个数 为 5个 。 在聚类个数 为 5时 ，可 以得 出 ，上行 方 向 的最 优 分 类 为 5： 0 。 一6： 0 0 ，6 ； 0 0 9： 0 0，9 ： 0 0 1 6 ： 1 6 ； o 0 1 8 ： 0 。，1 8 ： 0 0 2 3； 0 0；下 行方 向的 最优 分类 为 5； 一7： 0 0 ，7： o 0 9： 0 0，9； 1 6； 0 0，1 6： 0 0 1 9： 0 0，1 9： 一 2 3： 0 0 o 方法 确 定公交调 度发车 间隔 我们 通过引 入时段配 车数 的概念 ， 来 探讨 在不 同客流状态 时如何确 定 时段 配 车数和发 车 间 隔 。 定 义在某 一时 间段 内需求 的车辆数称 之 为时段 配车数 。确定原 则是 ，既保证 有 足够 的 服务 质量 ，又保 证配车数 最小 。 维普资讯 工程数学学报 第 1 9卷 下面给 出两 种算法模 型 ： 算 法模型 I P ，= i = L lY 算 型 n P i x l ， 等 x l ， 菩 l 我们对确 定发车 问隔 的模 型采 用两 种不 同的间隔确 定方法进 行求解 ， 综 合评 价后 得 出综 合算法模 型 ： ( 假设 每小 时被调查 的上车人数基 于均 匀 的达 到率 ) i ) 参数分 析 ：对上行 方 向和 下行方 向分别计算 ， 将 每一 时间段 内每一 站点的 上 车人 数 减去下 车人 数得 到该时 间段 内该 站点 净上车人数 ，然后从 每一时间段起始 站点开 始 累加 得 到每一 站点 的 小时通 过量 D ( i时间段 内第j个站点 Of l , 时通过量 ) ，那么 i 时 间段 内 的 Hi = ma x( D ， ) ，n 是上行 或下行 方 向的车站 总数 c：依据 定义有 C=1 0 0 x1 2 0 =1 2 0 ( 人 ) N ：N =Cx L：上行 方 向 L=1 4 5 8 ( k m) ，下行方 向 L=1 4 6 1 ( k in) Q ： Q ， = d D ， d o 是i 时间段内第J 个站点与其相邻的前一个站点间的距离 ：我们 对 的估 计值是 按综合考 虑每一时间段 内的总客流量 在 全天 的 总客流量 所 占的 比率 以及 一 些 可 以 查 到 的 经 验 值 拟 合 出 与 H 的 分 布关 系 函 数 ： =0 ， 0 1 7 3H + 46 6 91 9 i i ) 结果 分析 分别按 照算 法模 型 I和算 法模 型 计算 每个 时 问段 内的 发车 次 数 。对 这 些 数 据分 析可 知 ：算 法 I和算法 各 自在 不 同的类 时间段会 出现不稳 定 的结果 ，在每个类 时 间段单 独使用 一 种算法得 出 的结 果都会 具有一定 的不可信度 。以不 同类 时间段 上 的算 法 模型 I及算 法模型 的适应程 度作为评 价标 准 ， 得 出确定发车间 隔的综 合算法模 型 。 综合 算法模型 ： 在 两个 间隔高 峰类 时间段 ：上行方 向类 时间段 t 2， 3， 4l ，l 1 2 ， 1 3 及下行 方 向类时 间段 t 3， 4 l ， 1 2 ，1 3 ，1 4 采 用算法 I进行求解 ， 而 在上下行 方 向的其 余各 3个类 时 间段则 采用算 法 求解 。 优化模 型 平滑法 为确 定相 邻两 个 时段之 间 的转 换 段 内的发 车时 间 ，我 们采 用平 滑法 ( 所谓平 滑法就 是根 据计算 的时段 配车数 ，在前一 时段 内确定 第一辆车 的发车 时 间 ，在转 换 段 内综合前 后两种 配 车数 ，设置 平均期望 占用量而不是 不均匀间 隔) 。 例如我们 所得结 果 中 ，上行方 向 5： 0 0 5 ： 5 9， 6： 0 0 6 ： 5 9两个 时段 内 ( 第一 辆 车为 5 ： 0 0 发车 ) ，时段配 车数 和发 车间隔分 别为 8 4 2 6 0车次 ，7 1 2 mi n；2 9 9 5 0 5车 次 ，2 0 0 mi n 。前 一 时段所需 要 的配 车 数 的 0 4 2 6 0车 被 留在 5 ： 5 7之 后 与 下 一 时 段 的 0 5 7 4 0车 结 合 。此外 ， 0 4 2 6 0车的期望 占用量 为 M = C， 0 5 7 4 0车的期 望 占用 量 为 Nt + l = + 1 x C，后一 时 间段 每分钟需 求的 配车数 ( 斜率 ) 为 2 9 9 5 0 5 6 0 ，相应 的 0 5 7 4 0车要 运行 0 5 7 4 0 ( 2 6 9 5 0 5 6 0 ) =1 1 7 mi n 。因此第 二 时段 内第一辆车 的发车时间 为 6 ： 0 1 ： 1 7，其 期望 占用量 为 0 4 2 6 0 N 十 0 5 760 x N +1 。 通过 以上的分 析及 数据 求解 ， 我们 制定 出上行方 向和下行方 向两 个起 点 站 的发 车时刻 表 ( 略 ) ，并求 出需要 的车辆 总数 ( 即最小 配 车数 ) 。我们 求得 ：上行 方 向为 ：4 7下行 方 向为 ： 维普资讯 建模 专辑 公 交车调 度 的规 划数 学 模 型 7 l 3 5故所需 车辆总数N=ma x ( 4 7 ， 3 5 ) =4 7 根 据题 意 ，我们定 义 时段 内乘客 的满意率为 f 1 0 0 W 5 1 w s f 1 0 0 9 6 W 1 0 1 w 1 - o 高峰期 非 高 峰 期 = z 煅公 司的平均 满觯 = 得 - 5 ( + )=7 6 2 3 其 中，上行 =7 8 3 6 ， 下行 ： ：= ：7 4 0 9 9 6 5问题 ( 2 ) 基本 假设 1 ) 某站 乘客 到达为泊松 过程 ，设上 ( 下 ) 行各 站乘 客 的到达 过程 为平 稳 的泊松 过程 ，乘 客 到达率为 ，0为第 i个乘 客到达 时刻 ，则乘客 到达的 间隔为 + 一 。 = ： 。 c ， 又设公交车每批运送的乘客数量为 该系统可变换为一等效 的新系统。由爱尔兰分布 与负指数 分布 之间 的关 系可得 ，新系统 的乘客到 达间隔服从参 数 的 k阶爱尔兰 分布 ： P r 一 r f 式 中 ， 为 新 系 统 第 m 组 乘 各 到 达 时 到 。 2 ) 公交 车对每批 乘客 服务时 间为相互 独立 的负指 数 分布 ， 每批 服务 时 间是指 公交 车从 起始 站 出发再 返 回起 始站所 需 的时 间为 R r 。设公交 车成 批 服务 时 问 t R T 服从 参数 的 负指 数分 布。，即 P l ： 卜 ， 。 ( 6 ) l 。 ( ) 式 中 ， 与 r 的 关 系 为 ： 毒， 为 运 行 一 个 行 程 的 平 均 时 问 。 6 问题 ( 2 ) 模型 建立与求 解 定理 1 在 G I M n系统 中， 设各顾客的服务 时间相互独立且具有公共的以 为参数 的负指数 分 布 ，则在该 顾 客等 待 的时 间 内 ，每 台服务 设施 的输 出过 程 ( 即服 务 完成 离开 服务 机构的顾客 ) 是 一个 以 为强度 的泊 松过程 。( 参考文献 1 ) 阶爱 尔兰分 布 的分布 函数 A( ) 见 ( 5 ) 式 ，由( 5 ) 得 到 k阶爱 尔兰分 布的概 率密度 为 、 ， 1 、l I ( )= A = e ( 7 ) 一 P 0 0 由排 队理论 ，可得 到公交 车服务 系统 的服务强度 ： 一 墨 一一T R r a ( 1 o ) 其 中 ： 为爱尔兰 分布 的阶数 ( 公交 车每批运送 的乘 客数) ， 为公交 车数量 ，E 系统服 间 的期 望值 ，E + 一r 为第 十l批乘客 与第 m 批乘 客 的到达间隔 的期望值 a 强 ： 1 3 、 系统 的平均等 待队长为 ： ， K0 E q J= = ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 维普资讯 建模 专辑 公 交 车调 度 的规 划数 学模 型 4 )系统 服务 台平均 占有数 E = E g 一E g w 定理 3对 GI M n系统 ，在平衡状 态下 。顾客 到达时不需 等待 的概率 为 ( )= l ( 1 7) ( i s ) 平 均等待 时 间为 ： 一 r J 。 一 x d ( ) 南 I 9 ) 其 中 K 、 0分别 由( 1 3 ) ，( 1 1 ) 式 确定 。 莪们用 系统 的平均等 待队长作 为衡量乘 客满 意度 的标准 ，用 系统服 务 台平均 占有数作 为 衡 量公交公 司利益 的标准 ，因此 ，在任 意时 闻段 内都 可以建立 目标 规划模 型 ： 1 ) 设 置变量 ： 所需车 辆数 ； K 车容量 ； 2 ) 选择 目标 ：P， 第 一 目标 ： 尽 可能使顾 客满意 。 P2 第 二 目标 ： 尽 量使公 司利益最大 。 3 ) 约束条 件 的制定 ： i ) 乘 客在非 高峰期等 待 时间不超过 1 0 rai n，在高峰期 等待时 间不超过 5 rai n 。 i i )车容量在 区间 ( 5 0 ， 1 2 0 ) 综 上我们 得到 随机规划模 型为 ： = ； ml n E 2 = E q 一E q z u ； K ( 5 0，1 2 0) ； ； = 5 ( ) 其 中 K， 由式 ( I 3 ) ， ( 1 1 j 决 定 对上 述模 型进 行 系统 分析得 到 以下结论 ： 1 ) 基于对模 型 结果 的分析 ， 服务 强度 P对 系统 的性 能指 标 起着 至关重 要 的作 用 。由于 个】 p = 二 ，而采 集数据对 丁 r 无影 响 ，故所 采集 的数据 应尽 量体 现 的实 际情况 即某站 在某 期 间内指定 时间段 内的到达人数最 大值 。 2 ) 对不 同的 系统参 数下得 出的重 要指标 比较后 ，得 出 ：系统 公交 车数量 对系统性 能的 改善 的灵 敏度 比公 交 车容量对 系统性 能改 善的灵敏度 太。 3 ) 我们 所 建立 的公 交车服 务系统模 型还 可应用于 系统 的优化 配置 ，只要 赋予 明确 的优 化 目标 函数 就可得 到相 应 的配置参数 。同时为计算 机仿 真 提供 理论 基础 。 7 模型 的推广 考虑 约束 条 件下 的间隔 确定 。例如 以下两种约束条 件 j ) 资金有 限 ，应配备 的车辆数 不足或 当 日应 配 车辆 发 生事故 不 能上 岗又 无替 补车 辆供 给时 ， 调 度员 应及时 考虑 时 刻表 的变 动。 i i ) 当运力 充足 时 ，可 以增 加总发车 次数 ，提高对乘 客 的服 务质量 。 维普资讯 7 4 工程数学学报 第 1 9卷 参考 文献 ： 】 擦光辉随 机服 务 系坑 ( 第 二版 ) M 北 京 学 出版社 ， l 9 8 6 2 周 义仓 赫 孝 良 数学 建模 实验 M 西 安 ： 西 安变 通大 学 出版杜 ， 1 9 9 9 3 李涛 贺 勇 军 ， 刘 志 位Ma t t a b工具 箱应 用指 南 应用数 学篇 M】 北京 ： 电子工 监 出版 社 2 0 0 0 The Opt i m u m M a t he m a t i c a l M o de l o n t he Bu s Di s pa t c h BO Li J u n，YAO W e i pe ng，W ANG Ya n - hui Adv i s e r ：LI U Hon g- wo i ( Xi D a n Un i v e r s i t y Xi a n 7 1 0 0 7 1 ) Ab s t r a c t Th i s p a p e r pr e s e n t s a n o p t inl a l me t h o d f p e a k c L L r a c c o r d i n g t o t h e Fish e r a t g u r i t hm o f s e r i z t s p e c i me n c i ph e r i n g W e c o n c l u d e 5 u phi L L p a s s e n ge r - t t o w p e ak ：5： 0 0 6： 00，6： 0 0 9： 00，9： 0 0 1 6： 0 0 I 1 6： 00 1 8： 00 1 8： 0 47 23： 00，a nd 5do wnh i ll p a s s e n g e r flo w p e a k r an g e s ： 5： 0 0 7： 0 0，7： 0 0 9： 0 0，9： 0 0 1 6： 0 0，1 6： 0 0- 1 9： 0 OI 1 9： 0 0 - 2 3： 0 0 Th en ，u n d e r t h e p e a k r a n g e s ， t wo g o fi t h m mo d e ls I H n d ， 0 _r et a b t i s h e d Co n a p a r ln gt h e c a l c u la t e d r esu lt s o f t h e f o r e g o in g n md e l s ，we c o n c l u d e ：mod e l I is a p p l i e d t o t w o i n t e a h i g h p e a k ，a n d mo d e l is a p p l i ed t o t h r e e o t h e r s W i t h t h e s mi t h me t h o d b e t wl t e ve r y t wo f me s e c t i o n swe ma h t h e b u s t i me s c h ed u l e o f t wo s t a r ti r g s t a t i o n s ，o n d g e t 4 7 ne e d ed b l 】 5 e s a t k L n t hi s s c he me p a s s e n ge r s。s a t i s f a c t i o n t a l e i s 9 8 2 ，a nd the b u s c c o m p an y s i s 7 6 23 By t h e e n d e S e t a r s m d o m o p t him m mo d e l by t he t h e o r y 0 f r an d o m s e i c e s y s t ，an d g i v e t h e pr ob b i t it y s e n s l t i v i t y a nd a n a y s i s Fu r t h e r g e t a b e t t e r s c he m e f or m l t e c t i ng o p e r a t i o n d a t a Ke y e0 r ds ：s e r i a l e n c u t e r i n g；p0 z s eng r - fl o w ；pe a k；b u s n u mbe r ；s m o ot h m e t h od；r a n d o m s e i c e 上 接 5 3页 Re e s t a b l i s hme nt o f t h r e e di m e n s i o na l b l o od v e s s e l DI NG Fe n g p i n g，ZHOU Li f e ng，LI Xi a o- pe ng Ad v i s e r ： M a t h e m a t l c a M o d e ing T ut o r Gr o u p ( Z h a n g Un i v e r s i t y o f Te c h n o I e g y ， Z h e j ia n g Ha n g z h o u 3 1 0 0 3 2 ，C h i