三角形复习指导

第七章 三角形复习指导一、复习目标1了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形两边的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定性2了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和3了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式4通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计二、重点与难点：重点是：三角形的有关概念和性质，多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式难点是：借助三角形建立多边形的有关概念和性质三、知识归纳1三角形的概念不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义2三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边3三角形的中线、角平分线、高（1）三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：1.AD是ABC的BC上的中线.2.BD=DC=BC.注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD是ABC的BAC的平分线.2.1=2=BAC.注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；用量角器画三角形的角平分线（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段表示法：1.AD是ABC的BC上的高线.2.ADBC于D.3.ADB=ADC=90.注意：三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形三条高所在直线交于一点4三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.5三角形的内角和定理三角形的内角和等于180推理过程：一、作CMAB，则4=1，而2+3+4=1800，即A+B+ACB=1800二、作MNBC，则2=B，3=C，而1+2+3=1800，即BAC+B+C=1800注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角6三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:ACD、BCE都是ABC的外角，且ACD=BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.7三角形外角的性质（1） 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和 （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；（2）作CMAB由于B、C、D共线 A=1，B=2. 即ACD=1+2=A+B. 那么ACDA.ACDB.8多边形的概念（1）在同一平面内，由不在一直线上的n (n3的整数)条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做n边形.注意：有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形（2）多边形相邻两边组成的角是它的内角（3）多边形的边和它邻边的延长线组成的角是它的外角（4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线（5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形（6）下面两图中，图(1)任何一条边所在的直线整个图形都在这条直线同一侧， 这样的图形我们称它为凸多边形，而图(2)就不满足上述凸多边形的特征， 因为我们画BD所在直线、整个n边形不都在这条直线的同一侧.我们称它为凹多边形， 今后我们提到的多边形都是凸多边形.9多边形的内角和n边形的内角和等于（n一2）180注意：（1）要得到多边形的内角和可通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形；（2）此公式可以已知边数求内角和，也可以已知内角和求边数10多边形的外角和多边形的外角和等于360注意：多边形的外角和与它的边数无关11平面镶嵌（1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完整覆盖，叫做多边形覆盖平面(或平面镶嵌)（2）用同一种正多边形镶嵌用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360，这种正多边形就能作平面镶嵌注意：正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌；而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、的内角的度数都不能整除360，所以这些正多边形都不能镶嵌（3）用两种或以上正多边形镶嵌用两种或以上正多边形镶嵌只要几个正多边形的内角和是3600就行（4）用一般多边形镶嵌用同一种三角形、同一种四边形都可以四、典题分析：考点一、数三角形的个数例1 图中三角形的个数是（ ） A8 B9 C10 D11分析与解：以某一条线段为三角形的边依次找三角形选B点评：数三角形时不能重复，不能遗漏注意按一定的顺序找备用：当三角形内部有1个点时，互不重叠的三角形的数目为3；当三角形内部有2个点时，互不重叠的三角形的数目为5（1）当三角形内部有3个点时，互不重叠的三角形的数目为_；（2）当三角形内部有4个点时，互不重叠的三角形的数目为_；（3）当三角形内部有n个点时，互不重叠的三角形的数目为_；（4）互不重叠的三角形的数目能否为2007，若能请求出三角形内部点的个数；若不能，请说明理由分析与解：（1）作出图形，依次数，7；（2）探索规律，3，5，7，从而得9；（3）2n+1；（4）2n+1=2007，n=1003，当四边形内部有1003个点时，共有2007个三角形考点二、三角形三边关系例2 （2006广州）已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是( ) Al，2，3 B2，5，8 C3，4，5 D4，5，10分析与解：三条线段能否构成一个三角形， 关键在于判定它们是否符合三角形三边的不等关系，符合即可构成一个三角形，不符合就不可能构成一个三角形.对于A，由于1+2=3，不能组成三角形；对于B，由于2+58，不能组成三角形；对于D，由于4+5b）的木棒，构成一个三角形，由第三根木棒的长度应介于ab和a+b之间备用：（1）下列各组条件中，不能组成三角形的是( ) A.a+1、a+2、a+3(a3) B.3cm、8cm、10cmC.三条线段之比为1:2:3 D.3a、5a、2a+1(a1)分析与解：选项C（2）以长为3cm，5cm，7cm，10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是（ ）A2个 B3个 C4个 D5个分析与解：以四根木棍中的三根木棍主长共可以组成：3，5，7、3，5，10、3，7，10、5，7，10共四种情况其中只有两种情况能组成三角形选A考点三、三角形的稳定性例3 下列图形具有稳定性的有( ) A.只有(1)，(2) B.只有(2)，(3)，(4) C.只有(5)，(4) D.(1)，(2)，(3)，(4)，(5)分析与解：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性选B备用：（1）如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条，这样做的数学道理是 分析与解：三角形的稳定性（2）下列由几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（ ） A B C D 分析与解：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性选C考点四、三角形内角和定理：例4 ABC中，B=A=C，求B的度数.分析与解：设B=x0，则A=3x，C=4x，从而x+3x+4x=180，x=22.5即：B=22.50，A=67.50，C=900点评：在一个三角形中，当已知三角关系时，可通过列方程的方法求出三个角例5 如图，点O是ABC内一点，A=80，1=15，2=40，则BOC等于（ ）A. 95 B. 120 C. 135 D. 650分析与解： O=1800（OBC+OCB）=1800（1800（1+2+A）=1+2+A=1350点评：几何题的解题关键是：把未知向已知转化例6 （1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点x在ABC内部，若A30，则ABCACB 度，XBCXCB 度；（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点x还在ABC内部，那么ABXACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABXACX的大小分析与解：（1）ABC+ACB=1800A=1800300=1500，XBC+XCB=1800X=1800900=900；（2）ABX+XBC+XCB+ACX+A=1800，又XBC+XCB=1800X=1800900=900，ABX+ACX=1800900300=600备用：在ABC中，A=（BC）、BC=20，求A、B、C的度数分析与解：A=（BC），B+C=180A，A=（180A），A=60，B+C=120，BC=20，B=700，C=50考点五、三角形的外角例7 (2006金华)下图能说明12的是( )分析与解：利用三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角选C点评： 比较角的大小一般用外角大于不相邻的一个内角备用：一个零件的形状如图，按规定应等于90，应分别是20和30，李叔叔量得142，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？分析与解：连接AC，并延长至E，则1=3+D，2=4+B，DCB=3+4+D+B=142，即这个零件不合格考点六、多边形的对角线例8 观察下面图形， 并回答问题. 四边形、五边形、六边形各有几条对角线？从中你能得到什么规律？根据规律你知道七边形有多少条对角线吗?你知道边形有多少条对角线吗？分析与解：从多边形的一个顶点出发，可以引（n3）条对角线，n个顶点共有n（n3）条对角线，但有一半是重复的，所以n边形的对角线数目为点评：请记住多边形的对角线数目的公式备用：从一个多边形的一个顶点出发，可引12条对角线，则这个多边形的边数为( )A12 B13 C14 D15 分析与解：从多边形的一个顶点出发，引对角线，本身和相邻的两个点不可以引对角线，其它的点均可以引对角线，选D考点七、多边形的内角、外角例9 （06长沙）正五边形的一个内角的度数是 分析与解：本题有两个思路（1）从内角和方面考虑：；（2）从外角和方面考虑：每一个外角为，所以每一个外角为1800720=1080例10（2006南安）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n 分析与解：设这个多边形的边数为n，则n=6点评：要学会用代数的方法解几何题例11 小华从点A出发向前走10m，向右转36然后继续向前走10m，再向右转36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由分析与解： 360可以看成是一个正多边形的外角，它正好是正十边形故能回到A点，共走了100mABDCE例12 如图，已知DAB+D=180，AC平分DAB，且CAD=25，B=95（1）求DCA的度数；（2）求ECA的度数分析与解： ABCD，DCA=CAB=CAD=250，ECA=CAB+B=1200备用：（1）若两个多边形的边数之比是1:2，这两个多边形的内角和为1980，求这两个多边形的边数分析与解：设一个多边形的边数为x，则另一个多边形的边数为2x，（x2）180+（2x2）180=1980，x=5，这两个多边形分别为五边形和十边形（2）在四边形ABCD中，若A+D=160 （1）有一块直角三角板XYZ放置在四边形ABCD的边BC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点x在四边形ABCD的内部则ABCDCB 度，XBCXCB 度；（2）若改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点x还在四边形ABCD的内部，那么ABXDCX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABXDCX的大小分析与解：（1）ABC+DCB=360160=200，XBC+XCB=18090=90；（2）ABXDCX=ABC+DCB（XBC+XCB）=20090=110考点八、平面镶嵌例13 装饰大世界出售下列形状的地砖：正方形；长方形；正五边形；正六边形若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选用的地砖有（ ） A. B. C. D. 分析与解：用一种图形镶嵌，有三角形，四边形，正六边形选B例14（2006盐城）如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（ ）A3 B4 C5 D6 分析与解：用两种或以上正多边形镶嵌，其几个正多边形的内角和是3600备用：某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面.