（科学技术史专业论文）柏拉图著作中的数学.pdf

柏拉图著作中的数学 摘要：本文通过对柏拉图全集的详细研读，主要研究了柏拉图的数学知识水平和他 对数学学科的发展及数学教育的重要贡献。首先考察了柏拉图的生平及著作，并对其著 作的真伪、分期进行论证；其次，探讨了柏拉图的数学思想：把数学概念当作抽象物， 强调概念在推理中的作用，并把演绎推理作为数学求证的唯一方法。接着采用原著释读 的方法明确指出其蕴含的数学定义、比、比例和均值、倍正方形、面积贴合等数学内容， 由此反映出柏拉图对数学的重视。还以柏拉图是否为数学家为议题，给出笔者的参考观 点：柏拉图可以称为业余数学家；再次，在前人研究的基础上进行讨论和归纳，探讨了 柏拉图的数学哲学思想及其对数学发展的影响；最后从柏拉图主张普及数学、创办研究 型大学和他的数学课程论思想、数学教学论思想、数学方法论思想五个方面进行分析， 论述了柏拉图对数学教育的突出贡献。柏拉图可被视为现代数学教育的先驱，而其著作 理想国也成为现代数学教育学的早期经典著作。 关键词：柏拉图数学数学哲学数学教育 a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r , t h r o u g hd e t a i l e dr e a d i n g “p l a t o sc o m p l e t ew - o r k s ”，i th a ss t u d i e dt h e l e v e lo fm a t h e m a t i c sk n o w l e d g eo fp l a t oa n dh i si m p o r t a n tc o n t r i b u t i o nt om a t h e m a t i c s s u b j e c t sd e v e l o p m e n ta n dt h em a t h e m a t i c se d u c a t i o n f i r s tp l a t o sb i o g r a p h ya n d w o r k sh a v e b e e ns t u d i e d t h ea u t h e n t i c i t ya n dt h es t a g e so fh i sw o r k sh a v eb e e nd e m o n s t r a t e d ；n e x t ，i t h a sd i s c u s s e dp l a t o sm a t h e m a t i c st h o u g h t ：r e g a r d e dm a t h e m a t i c sc o n e e p ta sa b s t r a c to b j e c t s ， e m p h a s i z e dt h er o l eo ft h ec o n e 印ti nr e a s o n i n g ，a n dt h o u g h td e m o n s t r a t i v er e a s o n i n ga st h e o n l ym e t h o do ft h em a t h e m a t i c sp r o o f t h e ni th a sp o i n t e do u te x p l i c i t l yi t sc o n t a i n e d m a t h e m a t i c sd e f i n i t i o n ，r a t i o ，p r o p o r t i o na n dm e a nv a l u e ，t w i c et h e s q u a r ea r e a ，t h e a p p l i c a t i o no fa r e aa n ds oo nb yr e a d i n ga n di n t e r p r e t i n go r i g i n a lw o r k s t h i sh a sr e f l e c t e d t h a tp l a t oh a da t t a c h e dm u c hi m p o r t a n c et om a t h e m a t i c s i ta l s oh a sd i s c u s s e dw h e ：t h e rp l a t oi sa m a t h e m a t i c i a n a n dg i y e n 也ea u t h o r sr e f e r e n c eo p i n i o n ：p l a t oc a nb ec a l l e da na m a t e u r m a t h e m a t i c i a n ；o n c em o r e ，b a s e do nt h ew o r ko fp r e d e c e s s o r st h r o u g hd i s c u s s i o na n d s u m m a r y , i th a sp r o b e di n t op l a t o sp h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c sa n dt h ei n f l u e n c eo n m a t h e m a t i c sd e v e l o p m e n t ；f i n a l l yi th a sa n a l y z e df r o mf i v ea s p e c t s ：p l a t oa d v o c a t e d p o p u l a r i z a t i o no fm a t h e m a t i c s e s t a b l i s h e d 也er e s e a r c hu n i v e r s i t y , a n dh i sm a t h e m a t i c s c u r r i c u l u mt h e o r yt h o u g h t ，m a t h e m a t i c st e a c h i n gt h e o r yt h o u g h lm a t h e m a t i c sm e t h o d o l o g y t h o u g h t i th a se x p o u n d e do np l a t o so u t s t a n d i n gc o n t r i b u t i o n st om a t h e m a t i c se d u c a t i o n p l a t oc a nb er e g a r d e da sap i o n e e ro fm o d e mm a t h e m a t i c se d u c a t i o n ，a n dh i sw o r k “r e o u b l i c ”a l s ob e c o m e st h ee a r l yc l a s s i c so fm o d e mm a t h e m a t i c sp e d a g o g y k e yw o r d s ：p l a t o m a t h e m a t i c s p h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c s t i c se d u c a t i o n 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名：函金 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：垂：l 兰立 指导教师签名：至盐 签名日期： o 歹年月罗日 柏拉图著作中的数学 引言 柏拉图( p l a t o ，公元前4 2 7 - 前3 4 7 年) 是古希腊伟大的思想家、哲学家、文学家、 教育家。他的思想与著作( 2 e 要是对话) 对西方哲学理念和整个文化的发展发挥了重要 作用，有着极其深远的影响。人们对其哲学思想的研究成果比比皆是，也有个别对其数 学思想的研究，如汤斌如、赵粤民发表的柏拉图与数学、w m p r i e s t l e y 的( p l a t oa n d a n a l y s i s ) ) 等论文。但是目前还没有专门详细研究其著作，从中挖掘蕴含数学内容的具 体文献。本文正是以柏拉图全集为基础，从细节入手，剖析其中的数学思想。 柏拉图身为哲学家，却与数学结下了不解之缘：他非常重视数学；他对数学和数学 教育做出了多方面的贡献；他的数学哲学对后世产生了深远的影响，一直影响到当代。 研究柏拉图与数学这一课题，对于数学的发展、数学教育改革以及数学哲学的发展，都 有重大的意义。 第1 章柏拉图的生平与著作 1 1 生平 记载柏拉图生平的史料主要有两个来源：第欧根尼拉尔修( d i o g e n e sl a e r t i u s ) 的著名哲学家的生平和学说和柏拉图自传性的第七封信。( 1 ，1 6 ) 柏拉图是阿里斯通( a r i s t o n ) 和佩丽克蒂奥妮( p e r i c t i o n e ) 的儿子，于公元前4 2 7 年出生于雅典附近的埃伊纳岛( a e g i n a ) 岛。双亲的家庭均是雅典的贵族世家。柏拉图 的一生处在希腊世界的奴隶制度及其意识形态由盛趋衰和剧烈的变革之中。长达2 8 年 之久的伯罗奔尼撒战争( t h ep e l o p o n n e s i a nw a r ，公元前4 3 1 前4 0 4 年) ，结果以雅 典惨败和向斯巴达投降告终。由于这场战争，雅典的奴隶主民主政体从繁荣的顶峰开始 走向衰落。柏拉图的青少年时代，正是在这场战争的阴影下度过的；成年之后还深受影 响，这对他的世界观的形成以及整个思想体系的发展打下了深刻的烙印。 柏拉图幼年时父亲就去世了。母亲嫁给了他的叔父皮里兰佩( p y r i l a m p e s ) 。皮里 兰佩是伯里克利( p e r i c l e s ) 的挚友和重要支持者。柏拉图从小在继父家度过，受到良好 的教育，并且由于他的几个亲戚是雅典政治生活中的活跃人物，柏拉图对政治活动也产 生很大兴趣。从他撰写的第七封信中可以看出，柏拉图青年时期热衷于政治，希望 能参与政治事务，公正地治理城邦。但实践经验告诉他，包括雅典在内的所有城邦都不 能做到这一点，要重新建立一种新的道德准则更加困难，除非“真实而又纯正的哲学家 设法得到政治权力，或者强有力的政治家开始研究真正的哲学 ，才能指望有良好的行 政管理。特别是公元前3 9 9 年苏格拉底( s o c r a t e s ，前4 6 9 一前3 9 9 年) 被处死，给柏拉 图留下了终身难以忘怀的印象，也改变了他一生的志向。柏拉图把主要兴趣从政治转移 到了哲学。 苏格拉底去世以后，柏拉图离开雅典，首先到了麦加拉( m e g a r a ) ，开始了为期1 2 柏拉图著作中的教学 年左右的游历活动，包括埃及( e g y p t ) 。他离开埃及后，到了希勒尼( c y r e n e ) 。该地 区是希腊殖民城邦，当时是希腊世界的数学和哲学活动的中心之一。柏拉图在这里结识 了著名的数学家西奥多罗斯( t h e o d o r u s ，约公元前4 6 5 一前3 9 9 年以后) ，此人还擅长于 天文和音乐理论，并开始由纯思辨转到自然科学的专门研究；柏拉图曾表明西奥多罗斯 对他的影响，说由此提高了自己在数学、天文学等方面的学识。接着柏拉图向西航行到 南意大利漫游，在他林敦( t a r e n t u m ) 结识了当地民主政体的领袖和毕达哥拉斯学派的 主要代表阿尔希塔斯( a r c h y t a s ，公元前4 2 8 - 约3 5 0 年) ，彼此结下了深厚而持久的友 谊。公元前3 8 7 年，柏拉图应邀到西西里，见到叙拉古( s y r a c u s e ) 统治者狄奥尼修一世 ( d i o n y s i u si ) ，并在那儿和狄翁( d i o n ) 产生诚挚的友谊。这是他三次西西里之行的 第一次。这十二年间，柏拉图经过种种挫折，详尽地考察了各地的政治、法律、教育、 宗教等制度，进一步研究和掌握了当时的数学、天文学、力学、音乐等理论，以及各种 哲学学派的学说。正是在这样广博的知识基础之上，柏拉图逐渐形成了他自己的哲学体 系，以及对改革希腊的社会、政治、法律、教育、宗教等制度的见解。到公元前3 8 7 年 柏拉图才返回雅典，着手建立学园。 学园的建立是柏拉图生命史上的转折点，是柏拉图一生最重要的功绩。这是欧洲历 史上第一所综合性传授知识、进行学术研究、提供政治咨询、培养学者和政治人才的学 校。他担任学园的第一任校长，后半生除了两次短期去西西里之外，一直在学园内定居， 从事著作和领导整个学园的工作。柏拉图虽然将主要精力投入哲学研究，但始终没有放 弃政治理想，仍想以他的思想影响城邦统治者。学园的目的之一是培养贵族子弟成为既 精通哲学、自然科学，又善于治理国家的上层统治者。 狄奥尼修一世于公元前3 6 7 年去世，当时己担任叙拉古首席大臣的狄翁，看到有实 现柏拉图政治理想的机会，就邀请柏拉图第二次来叙拉古，训练狄奥尼修二世( d i o n y s i u s 玎) 成为哲学家政治家。柏拉图虽然对此不抱希望，但是为了不辜负朋友，第二次 来到西西里。但不久狄奥尼修二世与狄翁的矛盾激化。狄翁被驱逐出境。由于和狄翁的 友谊关系，柏拉图的生命也遭到威胁；后来在阿尔希塔斯等人的斡旋和当地发生战争的 情况下，他才被允许暂时回雅典。公元前3 6 1 年，柏拉图践约第三次去西西里，狄奥尼 修二世承诺与狄翁和解。但柏拉图去了才发现狄奥尼修二世不仅没收了狄翁的个人财 产，还将他关进监狱。柏拉图又一次处于危险境地，更没能挽救狄翁，但狄奥尼修二世 不允许他回国。后来，还是在阿尔希塔斯等人的斡旋下，柏拉图于公元前3 6 0 年才返回 雅典。 柏拉图从叙拉古返回之后，狄翁请求柏拉图帮他用强硬手段恢复权力，但柏拉图不 同意使用这种方法，拒绝了他。狄翁在学园的一些成员们的支持下，训练军队，于公元 前3 5 7 年攻占了叙拉古，将狄奥尼修二世逐出叙拉古；而狄翁本人于公元前3 5 4 年被人 谋害。柏拉图对狄翁的死感到非常悲痛，这个事件改变了他培养“哲学王”的想法，开 2 柏拉图著作中的数学 始寄希望于法律。在后来的生活中，柏拉图将大部分精力放在今天我们看到的哲学著作 上。公元前3 4 7 年，柏拉图卒于雅典，享年8 0 岁。( 【2 】，1 1 2 9 ) 柏拉图晚年在希腊世界 享有崇高的荣誉，他当时在人们心目中的形象可用他的学生亚里士多德( a r i s t o t l e ，公 元前3 8 4 前3 2 2 年) 的悼词来佐证： “岿岿盛德， 光风霁月， 有诵其文， 乐此盛世， 1 2 著作 柏拉图是古典时代著作丰富且作品似乎完整齐全流传下来的唯一作家。但是，他的 著作总数和年表一直是学者们争论的热点。某些作品在一个时期被认为是真作，在另一 个时期又被反对，但也有作品曾经被怀疑是伪作，现已被证明是真作。目前，大多数学 者承认的柏拉图的书面著作有2 6 篇对话和申辩篇。编号从1 到1 3 的信札中，学者 们一致认为至少最重要最长的第7 篇和第8 篇是真作。无人知晓所有这些对话和信件的 具体顺序，但是通过研究作品风格和其它参考资料已经给出了一个大概分期，分为三期， 每期的作品有某些相同特征。下面是著作和它们相应的研究课题的列表，主要参考康福 德( f m c o r n f o r d ) 在剑桥古代史中提出的分期： 标题 课题 早期：申辩篇 克里托篇 拉该斯篇 吕西斯篇 查密迪斯篇 欧梯弗罗篇 大希庇阿斯篇 小希庇阿斯篇 普罗塔哥拉篇 高尔吉亚篇 伊安篇 中期：美诺篇 斐多篇 理想国 费德罗篇 欧梯德谟篇 3 苏格拉底在法庭上的申辩 论责任 论勇敢 论友谊 论节制 论虔敬 论美 论谬误 论智者 论修辞 论伊利昂纪 论美德 论灵魂 论正义 论爱 论诡辩家 、，o2 1 j l r l l o o o o 名明行生能贞其缮之育瞻以 莫涵有善 柏拉图著作中的数学 梅涅克塞努篇 克拉底鲁篇 后期：巴门尼德篇 泰阿泰德篇 智者篇 政治家篇 蒂迈欧篇 克里底亚篇 斐利布篇 法律篇 葬礼演说 论正名 论理念 论知识 论存在 论君主政体 论自然 阿特兰提的故事 论快感 论立法 信札 在早期对话中，苏格拉底作为主要发言人。尽管苏格拉底和对话者谈话象平常闲谈 那样东拉西扯，但柏拉图还是尽力将他塑造成对待伦理道德问题非常认真严格的完美形 象。苏格拉底用反对论证的方法详细地检查每一个理论或他对话者的观点，并一步步驳 斥它们的错误，经常把对话者逼到无路可走的困境。但是苏格拉底没有给出自己的正确 解答，只是提出问题并应用“理智助产术”。他的问题大致是“x 是什么 的形式，x 总是道德概念，如神圣，责任，勇敢，甚至美德这一整体。苏格拉底从对话者们那 儿得到的回答通常是这些概念的具体例子，但他想要的不是许多“x ”，而是“x 本身 ， “形式”，“理念”或“本质 。在哲学上道德概念的定义是柏拉图中期著作中明确提 出的理念论的原型。 进入第二个时期的标志是柏拉图于公元前3 8 7 年第一次西西里之行，与毕达哥拉斯 学派接触，从这时起他的哲学思想达到成熟阶段。在中期对话中，柏拉图逐渐摆脱苏格 拉底的影响，从对伦理道德问题的研究，转向更广泛的哲学问题的研究，建立起了自己 的认识论、本体论、辩证法体系以及国家学说。这个时期的对话集主要阐述理念论的特 性。理念论是柏拉图整个体系的理论基础，而把理念理解为独立而客观存在的本体，则 是理念论的核心思想。理念正如它的命名所含的意义，是看不见的、无形的、永恒不变 和神圣的。在柏拉图看来，可知的理念世界与可感的个体事物世界处于绝对的对立之中， 理念先于可感事物而独立存在。理念是万物的本原，模型，可感个体事物是以同名的理 念为模型，摹仿或分有理念而派生出来的摹本，它们处于运动变化之中，存在但不实在。 理念是万物追求的目标和赖以产生的动因。但是理念和个体事物之间的关系到底是什 么，柏拉图没有给出一个清楚的、前后一致的解释。既然理念绝对独立于个体事物，那 我们分别以理念世界和可感世界为认识对象的知识和意见是绝对不同的。知识是我们从 理念世界把握到的，是真理，而意见是变化的，容易犯错，是不合理的，因为它来自变 异之中的可感世界。知识是回忆起来的，而意见是劝说的结果。一个人出生以前他的灵 4 柏拉图著作申的数学 魂就掌握了理念世界的知识，人们只需回忆起以前知道的，就能获得真正的知识。这个 结论显然建立在灵魂不朽说之上，柏拉图在几篇对话中证明了这一点，包括费德罗篇。 与这些结论密切相关的是，柏拉图在理想国中给出了一个理想国的模型，这个城邦 由“哲学王”管理，由一些接受过数学科学和辩证法训练的教育的士兵守卫。接着柏拉 图就对自己中期的理念论进行了认真的自我批评，然而又不愿放弃它。 在后期对话中，柏拉图的哲学思想内容丰富，并改变了文体风格。苏格拉底不再是 主要发言人，退居次要地位，并在最后未完成的法律篇中完全没有出现。在巴门 尼德篇中，柏拉图借巴门尼德之口进行自我批评理念论，且在方法上有所突破，提出 了以对立统一为特征的理念范畴论。在泰阿泰德篇中讨论了苏格拉底的问题“知 识是什么 ，对话中给出三个答案，但都被一一否决。在政治家篇中，柏拉图仍然 认为法律是第二个最好的法规，最理想的统治是专家哲学王的统治。对话中分析和 综合占用了大量篇幅。只有一篇对话蒂迈欧篇是研究自然科学的。柏拉图阐述了包 括整个宇宙系统在内的物质世界的形成，以及生物和人的产生。虽然他对宇宙的研究中 精华和糟粕交织在一起，但他达到了自己的目的，揭示了宇宙演化论，证明感官世界作 为理念世界的一个摹本，是一个“可见的神，在优越性和完美性上都是无可比拟的 。 ( 蒂迈欧篇最后一句) 。最后的法律篇给出了一个理想国的详细立法，但没有 完成。柏拉图也许由于实际的政治活动失败，晚年不再提倡哲学王的统治，而是将注意 力转向法律。柏拉图的后期作品对认识论、辩证法、本体论、社会政治法律学说，做出 了一系列重大的贡献。 ( 2 】，5 3 6 3 ) 柏拉图是一位世界级人物。他的哲学对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展都有深远 的影响，在数学史和科学史上也举足轻重。总体来看，他的著作并不只围绕理论研究， 远离实际生活的，相反，他游历甚广，近距离接触了自己的城邦及其他地方的许多政治 领导人。读者能发现柏拉图的主要兴趣是社会改革，但这与他对知识本身的热爱并不矛 盾。对他来说，那些有哲学思想的人追求真理是一件平常事，若他们只为自己的个人爱 好就很容易满足。但那些人们有很强的责任感，要直接或间接地为社会变得更好而努力。 这种责任在柏拉图的头脑中和他的所有工作中都一直很清楚。 柏拉图的著作不像其它哲学家那样是系统的哲学专题，但柏拉图是古代哲学家中第 一位将自己的哲学体系在其书面著作中几乎完整保存下来的哲学家。个人、社会和自然 都在他的哲学研究范围之内。主要原则是理念论和灵魂不朽说。这两个理论紧密联系并 渗透到他的哲学问题的每个解答之中。柏拉图认为灵魂永存是理所当然的，因为理念的 存在，只有灵魂的眼睛才能看到永存的形式。对于个人来说，他关注最多的是人一生追 求的目标“善”。据柏拉图所说，人们要形成善的生活，需要有勇敢、节制、智慧 和正义等美德。要得到这些，第一件事就是懂得美德是什么。所以，知识在柏拉图的道 德哲学中很重要。灵魂不朽论就是让每个人尽力注意他的灵魂完美。人一生的意义在于 5 柏拉图著作中的数学 设法纯化灵魂，帮他摆脱身体的束缚。正是为了这个目的才学习各种不同的知识，包括 数学哲学。数学哲学在柏拉图体系中有其相应位置，能帮学习者促使灵魂转向，最终去 认识理念世界。对于社会，柏拉图的家庭背景和实际经历使政治抱负在他的一生中处于 优先地位。他的著作理想国和法律可以证明这一点。这两篇作品致力于研究一 个理想国的建立，每篇内容长度都远远超过了其作品的任一篇。概观他的著作全体，理 想国是他所有文学作品的中心。事实上，可以认为早期对话集是理想国的准备工 作。柏拉图的生活经历表明他一直在重复尝试实现哲学王梦想。为了制定改造雅典社会 的蓝图，他从保守的贵族立场出发，总结了当时的实际政治情况；为了给自己的主张寻 求理论上的根据，他积极开展了自然科学和哲学领域的研究，广泛利用了前人理论思维 的结果，制订了他那庞大、丰富的客观唯心主义体系。 第2 章柏拉图著作中的数学 2 1 数学思想 柏拉图的数学思想是：把数学概念当作抽象物，不依赖于经验而自有其实在性；强 调数学的抽象性和逻辑化，强调了概念和推理；重视演绎结构；对分析和归纳的方法也 给予了充分注意。柏拉图把演绎推理作为数学求证的唯一方法，主张把知识用演绎系统 整理出来，是第一个把推理法则系统化的人。从那个时代起，数学上要求从一些公认的 原理( 公理) 来进行演绎证明，这对科学的发展有重要作用。 由于柏拉图重视抽象概念，把数学思想当作进入哲学的阶梯，把数学当作认识理念 世界的准备工具，并且由于柏拉图的哲学中辩证法问题和逻辑交织在一起，所以柏拉图 对数学作出的最重要的贡献便是给我们留下了宝贵的数学思想。【3 】 2 1 1 把数学概念当作抽象物 柏拉图很重视概念的研究，当然也很重视数学概念的研究。由于柏拉图的数学思想 源于其哲学思想，所以我们在讨论柏拉图的数学思想时，首先要看其哲学思想。 柏拉图认为理念高于相应的可感知的具体事物，而具体事物只是理念的不完善摹 本，因而只有理念才是认识的起点，才能成为数学研究的对象。他曾以圆为例进行分析 说： “有四种圆：1 被世人称为圆的事物；2 圆的定义：在任何方向上的边界点到中心 的距离都是相等的；3 画出的一个圆，即旋转圆规所得的圆；4 实质性的圆，即圆的理 念。 柏拉图接着评论道：名称是无关紧要的，只是由习惯形成的。我们甚至可称圆为直 线，并反过来称直线为圆。定义其实也不具有真正的确定性，它是由名词、动词等词语 组成的。圆的图形是画出来或旋转出来的具体的圆。这里难免掺杂着其他东西，它甚至 充满着和圆的本质相抵触的成分。例如，数学圆和数学直线仅能相切于一个公共点，这在 6 柏拉图著作中的数学 画圆时是无法做到的。因此，它们都不是完善的圆，即不是圆的理念，但和圆的理念密切 相关。由此可见，柏拉图所说圆的理念，其实就是圆的概念。他所说的数学理念，其实就 是数学概念。 尽管柏拉图的理念论带有唯心主义色彩，但他对数学概念的论述是深刻的，和我们 今天所说的大体一致：数学名词、定义和相应的图形都是用以描摹数学概念的，但都和 数学概念本身有所区别。显然，定义要比名词和图形更能刻画数学概念的本质特征，因而 柏拉图注重对定义的推敲。由于柏拉图强调概念的独立性和抽象性，并将概念和判断明 确地区别开来，从而为用概念和命题系统地表现数学理论奠定了基础。( 【4 ，4 2 - 4 3 ) 柏拉图对几何学研究对象的性质也赋予了理念世界的意义： “你是否也知道，他们虽利用可见的形象进行推理，但他们想的并不是这些东西，而 是类似于这些东西的理想形象：他们所看到的不是所画的图形，而是绝对正方形及绝对 直径。他们力求看到事物本质，而这只有用心灵之目才能看到。”【5 】 柏拉图还对概念( 相对于柏拉图逻辑意义下的理念) 分类作了尝试，尽管其中有含 糊之处，但他对概念划分，这本身就很有意义，对后人进行概念分类不无启迪作用。 2 1 2 柏拉图重视数学概念在推理判断中的作用 随着社会生产和科学的发展，人们思维水平的提高，在逻辑创造的阶梯上也一步一 步地向上攀登。如果说苏格拉底只前进到“概念论”，那么柏拉图己前进到研讨判断问 题了。柏拉图在研究“上升的”、“下降的”辩证法过程中，首先区分出概念间“无联系 的表达”和概念间“有联系的表达 。柏拉图是西方逻辑史上第一个尝试区分概念和判 断这两种思维形式的人。他认为判断是类与类的关系，或特性属于对象的关系，应重视 数学概念在推理判断中的作用。 在理想国中，柏拉图记录了苏格拉底对数学的一段评论，可以反映出那个时代 人们的数学态度： “整个算术和计算都要用到数这就是我们所追求的那种学问，它有双重用途 军事上的和哲学上的，而我们必须竭力奉劝我国未来的主人翁学习算术，而不是像业余 爱好者那样来学，而必须学到唯有靠心智才能认识数的性质那种程度；也不像商人和小 贩那样，仅是为着做买卖去学，而是为了它在军事上的应用，为了灵魂本身去学；而且又 因为这是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径。我所说的意思是算术有很伟大和崇 高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对 象。”( 6 ，4 9 5 0 ) 由此可以说明柏拉图对数学概念的重视。 2 1 3 柏拉图重视演绎推理，并提出了合理的思维原则 虽然我们无法肯定柏拉图是否对数学的演绎结构提出过具体模式，但是把演绎法 作为一种具体的推理方法，的确是由他明确提出的。他在理想国第卷中说： 7 柏拉图著作中的数学 “想必你知道，研究几何、算术以及这一类学问的人首先要假设有奇数与偶数、各 种图形、三种角以及各学科中诸如此类的东西，把它们当作已知的公设，认为不必要就 此向自己或别人进一步解释。他们从这些假设出发，并通过前后一致的推理，最后得出 想要的结论。”( 【7 】，5 0 8 ) 这段话说明，柏拉图首先提出了要从一些自明的假设出发进行证明的观点，而这个 观点正是公理演绎法的初始构想。说它是初始的，是因为还不完善。在上述引语里，公理 ( 假设) 究竟是概念还是命题并不清楚，“通过前后一致的推理”也不能确认为明确的 推理要求。虽然它是不完善的，但却是一个伟大的开端。m 克莱因( m o r r i sk l e i n ，1 9 0 8 - 1 9 9 2 ) 认为柏拉图是第一个把严密推理法则加以系统化的人。柏拉图唤起了古希腊人尤 其是数学家的一种强烈信念：一个完备的科学的理论结构，应该是一个演绎陈述系统。 继承并完成这项工作的是柏拉图的学生亚里士多德，他创立了形式逻辑和完善的公理方 法。后来数学家欧几里得( e u c l i d ，约公元前3 3 0 - - ，公元前2 7 5 ) 在其名作几何原本 中建立了第一个数学公理演绎体系。 虽然柏拉图当时没有明确提出逻辑规律：同一律、矛盾律、排中律及充足理由律。 但是他却用了不少篇幅论述合乎逻辑的思维原则，从他的对话集中可以明显地看到一些 逻辑法则的程式。 ( 1 ) 同一性原则：“思维必须和它自身一致。 “我们所有的确信必须彼此一致。 ( 斐多篇) ( 2 ) 充足理由原则：“我们的断定，必须由理由产生 。“仅仅它们的根据是己 知的，这样的知识才是科学的”。( 蒂迈欧篇) ( 3 ) 不矛盾原则：“矛盾的判定不能在同一时间适应同一事物。 他在智者篇 中对不矛盾原则作了进一步的论述：“通过考察一个人的言词，当他说一些事物存在， 同时又说这些事物不存在时，很容易判断他的观点前后矛盾；关于同一事物的同一方面、 同一关系上作并蒂的断定自相矛盾。，【8 】 这些逻辑思想都无一例外地渗透到了柏拉图的数学概念、判断、推理中。总之，柏 拉图的数学思想源于其哲学思想，又是其哲学思想的补充和具体体现。而在古希腊，数 学思想和逻辑思想关系又十分密切，并相互渗透；所以我们又可把柏拉图的逻辑思想视 为其数学思想在逻辑意义下的自然推广。 2 2 定义 柏拉图在对话集中，尤其是早期，主要关注一些道德概念的定义。苏格拉底在对话 中与谈话者讨论了勇气、责任、节制、虔敬、友谊、正义、美德等，甚至还讨论了知识。 苏格拉底的问题可归结为“x 是什么”，换句话说，他想得到这些概念的定义。 柏拉图认为，数学是研究哲学的必要阶梯，所以他在著作中集中精力研究数学概念 的定义，有奇数和偶数、图形、计算、算术和天文学等。柏拉图批判性地继承了毕达哥 8 柏拉图著作中的数学 拉斯的数学传统。一方面，他进一步把数学的抽象性加以深化，把数学作为一种完美的、 理想的、绝对的知识和真理；另一方面，对毕达哥拉斯主义的神秘色彩予以剥离。柏拉 图认为定义是必不可少的，是几何公理化的起点，而且强调定义的严密清晰。这对其他 数学家一定有所影响。公元前4 世纪末，欧几里得几何原本问世，给出了数学的第 一个公理化体系，毫无疑问，它是以柏拉图和其他数学家们的成果为基础。从柏拉图的 著作中，我们能体会到柏拉图对定义或名称的本质的正确理解。柏拉图在克拉底鲁篇 4 2 2 a b 中表达了这样的观点： ( 1 ) 有必要用其他语词来定义一些名称； ( 2 ) 这些语词由其他语词构成，这个分解过程一定能够停止； ( 3 ) 有的名称是其他名称中最基本的成分。 在第七封信3 4 2 b 中，他说： “每一存在的事物都有三样东西，关于存在物的知识必定由这三样东西而来；知识 本身是第四样东西，还必须添上作为知识真实对象的那个真正的实在，当作第五样东 西；第一，名称；第二，定义，第三，图像；第四，关于对象的知识。”【9 】 接着他举出一个具体事例。圆的定义由名词和动词组成，可以描述为：从每个端点到中 心都相等的那个事物。由此可见，定义是获得对象知识的必要方法，非常重要。 2 2 1 奇数和偶数 奇数和偶数是柏拉图在著作中最喜欢引用的例子。把所有的数分成奇数和偶数；若 平均分开，奇数和偶数一样多。偶数可以平均分成两部分。但是，柏拉图在欧梯弗罗 篇1 2 d 中说偶数是与等边形相应的数，不是与不等边形相应的数。内容如下： “现在我们看下一点，如果虔敬是公正的一部分，那么在我看来我们必须找到它是 哪一部分公正。假定你问我数的哪个部分是偶数，偶数是什么样的数，我会回答说，偶 数是与等边形相应的数，不是与不等边形相应的数。”( 1 1 1 ，2 4 9 ) 奇数和偶数的这种特别定义，引起一些争论，因为它们看起来捉摸不透，又不准确。 但柏拉图为什么选用这些词呢? 这个定义反映的并不是柏拉图自己的数论。他的对话总 是会考虑听者的个性特征。谈话艺术的连贯性要求讲话者运用例子生动地表达，使听者 能明白。那么我们考虑一下欧梯弗罗的个性特征。他对辩证法和数学都不感兴趣，被学 园的座右铭“不懂几何者不得入内 拒之i - j 多 l - 。因此当苏格拉底提出应该有一些方 法解决政治分歧时，引用重量问题用秤解决作为论证举例( 欧梯弗罗篇7 d ) 。( 【1 】，2 4 0 ) 在数学实验证明方面，欧梯弗罗发现与“数学”相关且类似的唯一例子是每天使用的尺 子和称。不等边三角形指歪的，不规则的，而等腰三角形有两条边相等。一个偶数分成 两部分，这样的类比足以使欧梯弗罗明白。这些知识在欧梯弗罗的数学能力和抽象理 解范围之内。因此，柏拉图在对话中选择的词语与谈话者的熟悉程度有关。 柏拉图根据奇和偶将数更进一步划分为“偶倍偶数 、“奇倍奇数”、“奇倍偶数 、 9 柏拉图著作中的数学 “偶倍奇数 ( 巴门尼德篇4 4 4 a ) 。“奇倍偶数”和“偶倍奇数 可能是相同的 数，如6 ，正如在欧几里得几何原本中所说。( 【1o 】，2 0 7 - 2 0 8 ) 2 2 2 计算和算术 毕达哥拉斯( p y t h a g o r a s ，公元前5 6 9 - - - 前4 7 5 年) 的“四道”分为4 门课程，柏拉 图的数学老师阿尔希塔斯也对四种涉及数学的科学作了区分：算术、几何、天文和音乐， 他认为这都是应用数学学科。例如，在天文学中数学家已给出有关天体运行的速度及其 升落的清晰表述，球体的性质已足以解释天球的运动；在音乐中可以用比例论确定音阶 盘莹在盘 。守奇。 柏拉图对数学学科的分类来自毕达哥拉斯学派，与阿尔希塔斯的分类大概相同，但 略微有所不同。在理想国v i i 中，柏拉图为管理者教育开设的课程中几何和天文学之 间添加了体积测定术。这是因为，以柏拉图的观点来看，立体几何似乎还没有得到很好 的研究，他分析了原因并鼓励他的学生要重视它。除此之外，柏拉图有时将算术和计算 清楚地区分开来，有时又同时提到它们，似乎是数学研究中的重叠部分，而正如我们所 知，“算术并不意味着实际计算，而是数的理论，数的科学。 柏拉图用计算的意思是什 么，我们需要更认真地检查一下。 按照希思( t h o m a sl i t t l eh e a t h ，1 8 6 1 1 9 4 0 ) 所说，首先，计算包含通常的算术运 算，加、减、乘和除、分数运算等；第二，计算解决羊、碗以及诸如此类的实际问题。 ( 【11 ，5 6 ) 计算的第二层意义在公元前l 世纪就被人们接受，并且新柏拉图主义评论 者讨论计算时，专门详细阐述了这个解释。正如一位匿名学者看了柏拉图的查密迪斯 篇1 6 5 e 说：“计算是以有限对象为研究对象的科学，不是数；真正意义上它并不研究 数，而把1 作为单位，有限对象作为数，如，它以3 为一组( t r i a d ) ，1 0 为十年( d e c a d ) ， 并将算术理论应用到实际例子中。( 【1 2 】，1 4 ) 但在理想国v i l 5 2 5 c d 中，柏拉图将算 术和计算放在一起，与有限对象或任何感官事物都无关。柏拉图说： “现在我想起以前提到的计算研究，在它内部有一些美好的东西，只要不是为了买 卖，而是为了追求知识，那么这种学习对于实现我们的目的就会以各种方式起到很好的 作用。这种学习用力向上提升灵魂，迫使灵魂讨论纯粹的数。若有人在讨论数的时候要 给它附加上可见的、可触摸的物体，那么它决不会苟同。” ( 【7 ，5 2 5 ) 因此，柏拉图的意思和新柏拉图主义评论者的理解有很大分歧。希思对计算的第二 个解释无疑是新柏拉图主义者的传统看法，但这种理解与柏拉图的格格不入。 计算具有实际计算和处理财政帐目等日常意义，柏拉图在斐利布篇5 6 d 一5 7 d 中应用过计算的这层意义： “苏格拉底：有没有两类算术，一类是普通人的，一类是哲学家的? 与哲学家的 几何和计算相比，在建造和商业中使用的计算和度量的技艺怎样区分呢? 一一我们应当 说它们是同一类，还是承认有两类? 有两种算术的技艺和两种度量的技艺，还有大量 1 0 柏拉图著作中的数学 与此相同的成对的技艺，尽管每一对技艺共享一个名称。” ( 1 3 1 ，2 4 7 - 2 4 9 ) 柏拉图将算术分为不同的两类：一类是“实际”，另一类是“理论 ! 计算也一样。 据柏拉图所说，算术和计算都是解决奇数和偶数，但它们之间有细微的差别。高 尔吉亚篇4 5 1 a _ c 段落说明了这一点： “假如有人问我：苏格拉底，算术是什么? 我会像你刚才那样回答说：那是一 门通过语言来产生影响的技艺。如果他进一步问我：它的范围是什么? 我会回答： 奇数和偶数，无论它们各自的数字有多大。如果他还要问：你把计算称作什么技 艺? 我会说：计算也是一种通过语言来产生影响的技艺。如果再问：是在哪个方 面? 我会像一名在集会中提出修正案的动议者那样，详细地回答：迄今为止我们提 到的所有技艺中，计算和算术最相似一一因为计算的范围与算术的范围相同，也是偶数 和奇数一一但是计算与算术的不同之处在于，算术要考察奇数和偶数与其自身关系以及 它们之间的相互关系。( 1 ，3 2 3 3 2 4 ) 在查米迪斯篇1 6 5 e 1 6 6 a 叙述的段落中，柏拉图没有提到算术，但谈到计算 的定义，与上面所说的相似。在其他段落中也有类似的语句，如在普罗塔哥拉篇 3 5 6 e 一3 5 7 a 中，柏拉图描述度量的技艺时说： “再说如果我们的幸福取决于我们对奇数和偶数的选择，我们知道当较小的数与它 自身或其他数相比时，无论是近是远，我们一定做出正确的选择，选较大的数一一又有 什么能确保我们过上幸福的生活呢? 当然是知识以及度量这种专门的学问，因为这种技 艺与过量和不足有关，是一种算术，因为算术是处理奇数和偶数的一门学问。” 2 2 3 图形 柏拉图在美诺篇中讨论美德是什么时，7 4 b 一7 6 a 段落给出了图形的定义。用 数学概念的定义来隐喻如何正确的回答伦理学问题，显然反映了数学对柏拉图哲学的影 响。该对话( 美诺篇8 2 b 8 5 a ，8 6 e _ 一8 7 c ) 的进一步例证让我们有更深刻的体会。 美诺篇是柏拉图著作中第一篇反映数学在其哲学辩论中发挥很大作用的对话。这是 柏拉图游览南意大利时与毕达哥拉斯学派接触的成果。 美诺篇的主要问题是“美德是什么 。当美诺( m e n o ) 列举出一系列美德的例 子时，苏格拉底要求找到“一个贯穿于各种美德的美德。”接着，苏格拉底问：“图形是 什么? 美诺给了一个特例“圆”，又让苏格拉底失望了。苏格拉底指出：“圆不是图 形而是一种图形。 对苏格拉底来说，“图形 的定义是“常见的圆、线以及其他 被称为图形的东西的共同点。”( 美诺篇7 5 a ) 他鼓励美诺最好试着回答一下，对回答 美德问题是个很好的练习。通过这个过程，他逐步让美诺明白了如何给出概念的一般定 义。苏格拉底首先暗示“图形是什么 ，把图形定义为“总是与颜色相伴的东西。”但是 美诺通过假设有人不能辨别颜色来反对这种说法。因此，苏格拉底改变了他的回答：“不 仅要答出真实的答案，而且必须使用提问者熟悉的用语。”( 美诺篇7 5 b d ) 苏格拉 柏拉图著作中的数学 底说，你对几何中所说的平面和立体知道的话，有了这些概念我们就能明白“图形”的 意思了；“图形是立体所达到的边界，或是一个立体的极限( 或终端) 。( 1 ，4 9 6 - 4 9 9 ) 所以，此处“图形”实际上与“平面”是一回事。“图形 与颜色的关系使人回想起毕 达哥拉斯学派曾经用颜色( c o l o u r ) 或皮肤( s k i n ) 表示“平面”。 柏拉图还给出其他定义，包括线和圆。线的定义“线只有长度而没有宽度”( 欧几 里得几何原本第1 卷定义2 ) 毫无疑问源于柏拉图学园。柏拉图本人将直线定义为 “中间覆盖着末端( 即沿着这条线从任一端看) 。这正是欧几里得的意思。欧几里得说： “直线是它上面的点一样的平放着的线 。( 几何原本第1 卷定义4 ) 毕达哥拉斯学 派定义“点 为“有位置的单位 ；柏拉图虽然反对这种说法，但只说过“点是线的起 点。【1 4 】柏拉图给出“圆周 或“圆形 或“球”的定义，即“从每一端点到中心都相 等的那个事物。 ( 第七封信3 4 2 c d ) 欧几里得给出圆的定义为“圆是一条线包围着 的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等 ，但没有说那是新 事物。此外柏拉图和希腊数学家通常认为圆不仅仅是我们所看到的画出的圆周，而是它 所包含的平面图形。不过也有几个例外，如“两圆相交至多有两个交点 。( 1 0 ，7 7 ) ( 欧 几里得几何原本第1 i i 卷，1 0 ) 2 3 比、比例和均值 在欧几里得第v 卷中，一个比( 标志) 描述为“两个同类量之间的一种大小关系。 两个几何量成比率当且仅当其中一个量的某( 正整数) 倍超过另一个量。因此，例如， 在欧几里得几何中不能说一个线段与一个面积之比，因为有限个相同的己知线段不能构 成一个面积并超过已知面积。也不能说一个面积与一个体积的几何比，因为这些同样不 是“相同