一元函数与多元函数的对比认识-学年论文

学号： 12124660110 学年论文一元函数与多元函数的对比认识Understanding a contrast function and multivariate function学院 理学院 专业 数学与应用数学 班级 数学12-1学生 周定 指导教师 陈锡庚 完成时间 2014 年 4月 1 日至 2014年 4月 9日1指导教师评语：评分： 签名： 函数的极限一元函数与多元函数的对比认识摘要通过对一元函数与多元函数（以二元函数为例）在极限，连续性，微分，极值以及积分上作简单的基本属性概要和一些重要的典例分析，去了解一元函数与二元函数的相同点与不同点，通过比较认识，能够使我们的印象更加深刻，思维更加衔接。在学习一元函数的之后，我们能够在一元的理解上去引申多元的问题，并且能够深刻认识多元函数的变量变化，从而掌握了一元函数与多元函数的知识，而不会混淆。关键词：函数 极限 连续 微分 积分 对比 认识 引言：有关函数的概念，我们已经有了很深的认识。首先我们来回顾一下函数的定义:给定的两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D內的每一个x，都有唯一的一个y属于与它相对应，则称是定义在数集上的函数，其中为自变量。为因变量。一元函数就是自变量只有一个的函数，有两个或以上的自变量就叫多元函数。一元函数是两个数集之间的关系，而多元函数则是有序数组（二元数组，三元数组，元数组）的集合与数集之间的函数关系。多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到维空间（），使问题的研究更加复杂化，研究的方法更加多样化。多元函数我就以二元函数为例去讲述。一、函数的极限 函数极限是高等等数学的最基本概念之一，导数等的概念都是在函数极限的定义上完成的。1.1一元函数极限的定义设f为定义在a, +上的函数，若对任给的0,存在正数M(=a).使得当xM时有 f(x)-A0（或xo0)，则对任何正数rf(xo)(或rr(或f(x)0的时）存在某U(xo),使在其内有f(x)1/2f(xo)。定理4.4（四则运算）若函数f和g在xo点连续，则fg,fg,f/g(这里g(x)不等于零）也在点xo连续。定理4.5 若函数在点xo连续，g在点uo连续，uo=f(xo),则复合函数在gof在点xo连续。 这些定理在函数极限的讲述的时候也出现过，基本都是大同小异，只有我们掌握其基本的定理描述，然后再进行引申。在此过程中，我们能够学会数学中的归纳。2.3一致连续性一致连续性是指函数f在区间上连续，是指f在每一点都连续，本段中讨论的一致连续性概反映了函数在区间上更强的连续性。2.3.1一致连续的定义 设f为定义在区间I上的连续函数，若对任给的0，存在=()0,使得对任何的x1,x2I,只要|x1-x2|0,由于 |f(x1)-f(x2)|=|a|x1-x2|,故可取=/|a|，则对任何的x1,x2（-，+）,只要|x1-x2|，就有 |f(x1)-f(x2)|0，对每点xI,都存在相应的正数=（，x),只要x1，且|x-x1|,就有|f(x)-f(x1)|.一般来说，对于I上不同的点，相应的正数是不同的。换句话说，的取值依赖于之外，还与x有关，由此，我们写=（，x）以表示与和x的依赖关系。如果能够做到只与有关，而与x无关，或者说存在适合与I上所有点x的公共的，即=（），那么函数就不仅在I上连续，而是一致连续了。2.4二元函数的连续性定义：设f为定义在D含于R2上的二元函数（它或者是D的聚点，或者是孤立点），对任给的正数，总存在相应的正数，只要PU（po;)D,就有 |f(p)-f(po)|则称f关于集合D在po连续。在不误解的情况下，也称f在po点连续。 若f在D上任何点都关于集合D连续，则称f为D上的连续函数。又上述定义可知：若po是D的孤立点，则po必定是f关于 D上的连续点。若po是D的聚点，则f关于D在po连续等价于 如果po是D的聚点，上面的极限式子不成立（其含义与一元函数的对应情形相同），则称po是p在f的不连续点（或称间断点），特别，当式子左边的极限存在但是不等于f（po）时，po是f的可去间断点。下面给出一个例子说明。例：上，这时由于其中m为固定的实数亦即函数f只定义在直线y=mx上，由于因此f在原点沿着直线y=mx是连续的。本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 由多元函数的连续和有极限的定义中我们可以看出，这两个概念都是用多元法给出的.这样，一元函数在点处连续的表达式，就可以换成多元函数在点处的表达式（点和点为多维空间的点），.从而就使得一元函数在一点连续则有极限的结论在多元函数中仍然成立，即“连续有极限”的关系在多元函数中依成立。三.关于微分“可微可导” 的关系在多元函数中仍然成立。在多元函数中，由于可微这一概念是用多元法给出的，在点处可微，即有（其中）成立.再由偏导数的定义，我们有如下定理.定理2.2.1 （可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点处可微则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且.由上述定理我们很容易发现，“可微可导”的关系在多元函数中也成立。3.1 二者可微性之间的关系多元函数微分学中很重要的一个内容，就是弄清多元函数与一元函数在极限，连续，微分等问题上的关系.关于连续，极限的问题，我们在之前已经讨论过.现在，我们讨论一元函数可微性与多元函数可微性之间的关系.下面以二元函数为代表，再推广到多元函数中去。定理2.2.2 一元函数，对（某个），在可微（对，在可微），一元函数在可微（在可微）；且（或）在连续，则二元函数在可微。证明：不妨设在连续.而对，在可微 则有， 可改记为，则又在可微，同理而。则，其中 ，其中现只需证明事实上，显然， 在可微而 ，其中现只需证明事实上，显然，而 在可微上述定理我们可以看出，在一定条件下，一元函数与二元函数的可微性是统一的.接下来我们把定理2.2推广到元函数.定理2.2.3 一元函数，对，在可微，对，在可微，对，在可微，在可微，在连续，则元函数在可微.在特定的的条件下，我们就把一元函数与多元函数的可微性统一了.3.2 可导与可微的关系 在一元函数微分学中关于可微和可导之间的关系有如下定理定理1 函数在点可微的充要条件是函数在点可导.但是在多元函数微分学中有：在点处可微及存在；反之，及存在却不能推出在点处可微.四极值与最值问题在求一元可微函数在上的最大值和最小值时，只考虑两个端点和几个极值点即可.即若在内有稳定点，则 但是求二元函数的极值，若f在点（xo,yo）取得极值， 则当 固定y=yo时，一元函数f(x,yo)必定在x=xo取得相同的极值。同理一元函数f(xo,y)在y=yo也取得相同的极值。于是，二元函数取得极值的必条件如下定理17.10（极值必要条件）若函数f在点po（xo，yo）存在偏导数，且在po 取得极值，则有 =0 =0反之，函数f在po但是，在求可微函数满足上式，则称po为f的稳定点。并且在二维有界区域上的最大值和最小值时，也要考虑无穷多个边界点。一元函数与多元函数不仅在极值点的范围上有差异，多元函数在一元函数的极值点处也不一定取得极值，我们以二元函数为例.定理2 若二元函数在点处取得极值，则一元函数及在点处取得极值，但反之不一定成立.如一元函数与都在点处取得极小值，且，但在点处不能取得极小值.因为在上，在点的去心邻域内，说明在两个方向上，二元函数在点处都不能取极小值.同理说明在点处不一定取得极大值.以上说明了一元函数在点处取得极值，但二元函数在该点不一定取得极值，因此，二元函数的极值不能用一元函数的极值来判定.五、 积分与广义积分5.1关于定积分与重积分在定积分的计算中，分割对象是有限区间，分割方式只有一种，即在区间内任意插入有限个分点，分割的任意性只体现在这些分点的自由选择上.但在二重积分的定义中，分割对象是平面上的有界闭区域，分割方式多种多样，千变万化，从理论上讲甚至有无穷多种.如直角坐标网分割，极坐标网分割，以及任意曲线坐标网分割等.因此给重积分的计算方法和技巧带来多样化.这是二者的又一差异.一元函数与多元函数的积分换元公式上也有差异，我们比较重积分与定积分的换元公式.比较以上二式，定积分换元公式中，无绝对值，而在二重积分换元公式中带有绝对值.原因在于定积分是在有向线段上取的，而二重积分是在无向区域上取的，因而要加绝对值.（2）在广义积分上的差异一元函数与多元函数的积分性质有许多相似，但一元函数与多元函数的广义积分却存在显著差别.一元函数的收敛性并不蕴含其绝对收敛性，反之，对多元函数则不然.多于函数的广义积分的收敛性本身蕴含其绝对收敛性，也就是说多元函数的广义积分收敛性与其绝对收敛性等价.结论1）空间结构发生变化.从一元到多元，函数的变化范围由一维空间扩展到维空间，发生了空间结构变化，使研究的问题更加复杂化，研究方法更加多样化，思维方式更加灵活.2）通过对比学习，掌握一元函数的基本知识，在通过比较深入认识，就可以更加行之有效的了解并掌握二元及n元函数的知识。由一元函数的引申，使得n元函数形式更加简单，更容易理解。3）多元函数中的概念有些是用多元法给出的，如极限，连续，可微等，有些是用单一法给出的，如偏导数，驻点等.而在一元函数的研究中，只有一个自变量，所以没有单一法与多元法之分，其概念也都是同一类.这恰恰使得一元函数中概念间的关系，在多元函数中有些会发生质的变化，即出现新问题.参考文献1解永跃.二元函数极值点与一