（工程力学专业论文）脆性材料的强间断分析.pdf

臆性材料的强间断分析 摘要 强间断法用于研究位移不连续问题因而受到了广泛的注意和研究。强间断法的重要 特征是在连续的位移场中研究位移不连续的问题，通过在间断上引入附加应变来模拟间 断。 本文对位移间断做了简要的介绍，并回顾了位移间断研究的发展过程，介绍了各个 阶段的标志性研究成果，其中重点介绍了强( 弱) 间断法。阐述了强间断法的基本原理， 并针对脆性材料和塑性材料，介绍了破坏模型和塑性模型在间断线上的本构方程。同时 针对强间断法的几种不同算法，根据数值试验，对这些算法进行对比，介绍了各自的优 势及适用条件。本文提出了在计算脆性材料时，用位移法和总势能变分原理离散单元， 在弱形式下满足了在间断线上力的平衡要求，这样得到了对称的刚度阵。并通过一维和 二维问题的数值算例说明了这一算法的可行性。通过算例可以看出，这一算法基本解决 了在用对称单元刚度阵进行强间断计算中所遇到的应力自锁现象。与o l i v e r 利用p e t r o v g a l e r k i n 法离散单元相比，这一算法在脆性材料的破坏计算中显示出了在计算效率上 的突出优势。文章最后将强间断法应用到具有构造柱的墙体的破坏计算中，用最大主应 力准则来判断破坏，通过强间断法的引用，得到了嵌入间断的破坏单元，从而计算出在 外载作用下墙体的开裂方向。 强间断法在计算材料的开裂和滑移中有较广泛的应用，可以针对多种材料的位移间 断进行应用。强间断法将不连续问题转化成连续问题进行研究。因此，强间断法为位移 不连续问题的研究开辟了一条崭新的道路，在间断研究和连续体研究之间建立起一座相 互连通的桥梁。 关键词：强间断；破坏模型；脆性材料；构造柱 一一 堕堡翌型堕堡堡堡坌堑 a b s t r a c t s t r o n gd i s c o n t i n u i t ya p p r o a c hs t u d i e sd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t yp r o b l e m sa n dh a sb e e n a t t r a c t e dm o r ea r e n f i o n s t h ee s s e n t i a lf e a t u r e so ft h em e t h o da l et o s t u d yd i s p l a c e m e n t d i s c o n t i n u i t yp r o b l e m si nc o n t i n u o u sd i s p l a c e m e n tf i e l da n dt os i m u l a t ed i s c o n t i n u i t yb y i n t r o d u c i n ge n h a n c e da s s u m e ds t r a i n f i r s t l yd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t yh a sb e e ni n t r o d u c e di nt h et h e s i sa n di ti st r a c e dt ot h e d e v e l o p m e n to fd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t y a n dr e s e a r c h f i n d i n g s o fm a i ns t a g e sa l e i n t r o d u c e d ，w h e r es t r o n g ( w e a k ) d i s c o n t i n u i t ya p p r o a c hi sh i g h l i g h t e d s e c o n d l yf u n d a m e n t a l p r i n c i p l eo fs t r o n gd i s c o n t i n u i t yi ss t a t e da n dt h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o n so fd a m a g em o d e la n d p l a s t i c i t ym o d e li nt h es t r o n gd i s c o n t i n u i t yl i n ea r eo b t a i n e da c c o r d i n gt ob r i t t l em a t e r i a la n d p l a s t i cm a t e r i a l b yc o m p a r i n gm a n yd i f f e r e n ta l g o r i t h m s ，t h ep a p e ra p p l i e st h ev a r i a t i o n a l p r i n c i p l eo f t o t a lp o t e n t i a le n e r g yt ot h et h e o r yo f s t r o n gd i s c o n t i n u i t y , a n dt h eb a l a n c e o nt h e d i s c o n t i n u i t yl i n e i ss a t i s f i e di nw e a kf o r m , s oas y m m e t r i c a le l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i xi s o b t a i n e d o n e d i m e n s i o n a la n dt w o d i m e n s i o n a ln u m e r i c a lr e s u l t si l l u s t r a t e g o o d p e r f o r m a n c eo ft h ep r e s e n tm e t h o di ne l i m i n a t i n gt h es t r e s sl o c k i n gp h e n o m e n ai nt h e s y m m e t r i c a le l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i x 。i i lc o n t r a s t 、i 血t h et r a d i t i o n a lp e t r o v - - g a l e r k i nf i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，t h i sa l g o r i t h ms h o w s o u t s t a n d i n ga d v a n t a g e o nt h e c o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c y a s p e c t f i n a l l yt h es t r o n gd i s c o n t i n u i t ya p p r o a c hi sa p p l i e dt o as t r u c t u r ew i t hr e i n f o r c e d c o n c r e t ec o l u m n sa n db y i n t r o d u c i n g e m b e d d e dd i s c o n t i n u i t i e s e l e m e n t s ，c r a c ki n t h e s t r u c t u r ei sg o t t e n s t r o n gd i s c o n t i n u i t ya p p r o a c hh a sm a n ya p p l i c a t i o n s i n e n g i n e e r i n gp r o b l e m s a n di s a p p l i e dt om a n y m m e r i a l si n c l u d i n gb r i t t l em a t e r i a la n d p l a s t i cm a t e r i a l s t r o n gd i s c o n t i n u i t y a p p r o a c hl i n k sc o n t i n u u ma n dd i s c r e t ea p p r o a c h e st ot h es t r a i nl o c a l i z a t i o np h e n o m e n aa n d p r o v i d e s an e wa p p r o a c ht os o l v e d i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t yp r o b l e m s t h e r e f o r e t h e a p p r o a c h s e t su dab r i d g eb e t w e e nc o n t i n u u mm e c h a n i c sa n d d i s c o n t i n u i t ym e c h a n i c s k e yw o r d s ：s t r o n gd i s c o n t i n u i t y ；d a m a g em o d e l ；b r i t t l em a t e r i a l ；s t r u c t u r ec o l u m n n 脆性材料的强间断分析 1 1 引言 第一章绪论 固体力学研究的对象通常是连续体，即位移场是连续的。然而在许多工程问题中经 常出现位移跳动的现象，例如在岩石或混凝土中出现裂缝，在土壤中出现滑移线或者在 金属材料中出现剪切带等。因此模拟这些在材料中出现的间断及间断的伸展成为近二十 年来固体力学的主要课题之一。 1 2 研究背景及意义 混凝土作为重要的建筑材料已有百余年的历史，当今广泛应用于各个领域。混凝土 材料的性能取决于原材料的品质、组分、浇注工艺和使用条件。混凝土的力学性能是混 凝土结构设计的重要依据。如何配置满足结构要求的混凝土，充分利用混凝土的力学性 能，设计和建造出经济、技术安全和结构合理的建筑物或工程结构，对于结构工程师来 说是必不可少的知识。过去，人们对于混凝士力学性能的探索，在很大程度上要依靠试 验技术和测试手段。随着试验技术的发展，混凝土的各种力学性能被揭示出来。人们通 过试验逐渐认识清楚了混擞土的压缩、拉伸和弯曲等力学性能，并在结构设计中引用， 作为控制结构安全的重要指标。刚性试验机和伺服试验机的出现，以及高频响应测试系 统的应用，使人们能够测定出混凝土的应力一应变全过程曲线。微型试验机和扫描电镜 相结合，揭示了混凝土裂纹尖端的秘密。人们发现，混凝土在受力后要产生损伤，裂纹 尖端往往通过界面微裂纹，绕过骨料，随着载荷增加逐步扩展，最后贯通，从而导致混 凝土的断裂。 古典的材料力学强度理论和今天仍处于发展阶段的损伤断裂等破坏理论，都是固体 力学中的重要分支。破坏的含义十分复杂，般是指在研究对象这一量级内的材料或体 系丧失承载能力。从广义上讲，材料和结构的破坏失效形式有多种，其中主要可以列举 为两类：塑性流动和断裂。断裂是由于新裂纹萌生或已存在裂纹的扩展而引起的一个破 坏过程n 在一些文献中，也把几乎不带有塑性变形的破坏叫做脆性破坏，而把带有相 当数量的塑性变形的破坏叫做延性破坏。由于混凝土的损伤与断裂过程与其中含有的微 裂纹有关，因此混凝土对拉应力特别敏感，是一种脆性材料。混凝土及其组成的承载结 构在破坏时变形很微小，裂纹尖端几乎不产生塑性区，具有突发性，其破坏形态称为脆 性破坏。在结构工程等混凝土更为广泛应用的研究领域，人们已经对混凝土的力学特性 进行了广泛的研究，但是对于混凝土损伤和断裂过程中的裂纹扩展以及损伤和断裂机制 等基本问题，还需要做进一步的研究。 我国是地震多发地区，每年由于地震所带来的经济损失高达几十亿元，因此提高建 筑物的抗震能力是多年以来学术研究的焦点。而且，近年来各个城市都兴建了一大批高 脆性材料的强间断分析 层建筑，高层建筑的大量出现对建筑结构的设计提出了更高的要求。因此，模拟出混凝 土结构的断裂过程，得到裂缝的伸展方向对于生产实践有着重大的指导意义。可以根据 混凝土结构的开裂方向，有效的加固钢筋混凝土结构，改进建筑物的设计，从而提高建 筑物的抗震能力。此外，位移间断的研究在模拟土壤的剪切带和金属滑移线等其它领域 也有着广泛的应用。 1 3 国内外发展过程及其现状 早在1 9 8 0 年，j o h n s o n 和s c o t t 【2 】认识到通常的有限元法在利用试探函数解决塑性问 题时不能取得理想的结果。因此他们提出修改形函数以满足位移不连续这一特点。然而， 他们的研究对象只限于理想塑性模型，并且他们仅仅提出了在一维情况下的应用。 d r o z f 3 】试图改进在断裂带上的位移函数，由于考虑到理想脆性材料在出现断裂后裂 缝处的法向应力为0 ，在应力应变关系中： 对于平面应力问题，弹性矩阵见为 见= 盯= 皿占( 1 i ) 1u ol 00 o o 1 一u 2 ( 1 2 ) 而当出现裂缝后。在由裂缝的法线方向和切线方向所形成的局部坐标系下，d 。被开裂 的弹性矩阵d j 所代替： 00 0 哆2 l o 10 e0 n 口e ”丽 ( 1 3 ) 这里，系数口是考虑到弹性体己开裂，剪切弹性模量有所降低而引入的剪切系数， 这个值介于0 和1 之间。开始只是将口作为一不等于0 的常数，所以不可避免的产生应 力自锁现象( 即当单元破坏后单元内的应力并不是随着裂缝的展开而降低) 。后来为了 克服这一局限而将a 定义为开裂函数，当口等于0 时，表明裂缝已完全张开，即出现 了宏观裂缝。由于只有当主应力轴和主应变轴重合的情况下，剪切系数口才存在，因此 在旋转破坏模型中无法利用这种方法。后来d r o z l 3 j 提到，即使口等于0 ，而在剐度阵中， 断裂线所对节点的刚度并不是0 ，应力锁现象仍然存在。为了避免这种情况，d r o z 提出 使用不连续的形函数。然而这只能应用在理想脆性材料中，这时当出现裂纹后该单元上 2 脆性材料的强间断分析 的应力立即为零。对于具有逐渐软化性质的材料来说要求单元划分的十分细化。 1 9 8 7 年，o r i t i ze ta l 【4 j 提出了一种新的思想。为了提高四边形单元的剪切带的计算精 度，他提出在原有弹性体中的应变场外附加一部分间断上的应变场，这样弱间断法首次 被提出来。附加应变场是由局部破坏的声波张量决定的，它的形状在整个间断的分析中 是不变的。运用这种方法，改善了四边形单元中的剪切带的计算结果。弱间断是指在间 断线上位移是连续的而应变场是不连续的，并且在一个单元中只有一条弱间断线通过， 这样就必须在其相邻单元中同样存在一个含有弱间断线的单元，以模拟出整个断裂带， 如图1 1 a 所示。 b e l y t s c h k o e ta l 5 】发展了弱间断法，他们提出在单元中插入局部断裂带，也就是在一 个单元中同时存在两条互相平行的弱间断线，如图1 _ 1 b 。通过这样的改变，断裂带的宽 度不再受单元大小的限制，而成为一个独立的表征材料性质的参数。断裂带的方向也能 够通过局部破坏分析来决定。但同o r t i z 【4 】相反，裂缝的开裂比率及附加应变场中的滑移 部分的位移都是任意的，这样使得单元更加灵活，而不受单元大小及形状的限制。f i s h 和b e l y t s c h k o t 6 】将这种方法应用到大变形中，并且还提出了在粘塑性固体中细化剪切带的 方法”。 圈囡 ( a )( b )( c ) 图1 1 ( a ) 单元内存在一条弱间断线( b ) 单元内存在两条弱间断线( c ) 一条强间断线 f i 9 1 1e l e m e m sw i t h ：( a ) o n ew e a kd i s c o m i n u i t y ( b ) t w ow e a k d i s c o n t i n u i t i e s ( c ) o n es t r o n gd i s c o n t i n u i t y d v o r k i ne ta l i 8 9 1 首先提出了强间断法。强间断法是指位移场和应变场都是不连续的， 如图1 1 c 所示，而且在强间断面的两侧必须满足拉应力的连续性。k l i s i n s k i ，o l o f f s o n 【i u j 用双线性四边形单元和常应变三角形单元【t t - t 4 使得方程得到简化。由于单元的简化，因 此不需要利用变分原理进行推导，而仅仅从物理角度就可以得到基本方程。 l o f t f i 和s h i n g u 。刀对含有间断线的单元用变分原理进行推导。他们用h u - w a s h i z u 原理对含有间断线的单元进行推导，得到附加应变项( e a s ) 的形式。 s i m oe ta 1 【1 8 - 2 0 详细阐明了连续体上的软化的应力一应变法则和在间断线上的应 力一应变法则之间的关系。因此，强间断可以由连续的本构关系来描述，但在这个本构 关系中必须引入一能够表征材料软化性质的软化系数。s i m o 等人通过引入一d e l t a 函数 而在连续的条件下计算位移间断问题。他们发展了具有强间断的e a s 单元的方法，并 且给出了非对称的形式来描述具有间断线的单元。a 1 t o _ e ：r o ，o a r i k i p a t i 掣j 平o l i v e r ”1 应用了这种方法。这种方法后来被应用到大应变塑性模型 2 5 】和大应变各向同性损伤模型 2 螂中。之后0 1 n e r e ta 1 f 2 7 + 2 9 提出将模型从弱间断形式转化到强间断形式的方法。 脆性材料的强间断分析 l a r s s o n 和r u n e s s o n 也在从事位移不连续问题的研究。起初，他们只是将出现的位 移间断放到两个单元之间 2 9 - 3 1 ，后来为了所研究的问题更具普遍性，而将间断嵌入到单 元中 3 2 ；3 3 。l a r s s o n 将这种方法应用到非饱和土的研究中，应用间断位移和孔隙压力的 方法研究了土骨架和孔隙液体的混合模型【3 4 l 。与b e l y t s e h k oe ta 1 弘惭进行的研究相类似， 嵌入了局部应变带的单元被用来模拟混凝土的裂缝和在土中的剪切带，s l u y s ，b e r e n d s 和d eb o r s t t 3 5 - 3 9 】在这个方面也做了大量的研究 这里所提及的学者在处理单元内表征间断的参数时，都是将这个参数在单元内凝缩 掉，在计算时只考虑节点的参数。而b o l z o n 和c 嘶掣i n a n o m 】却将间断当作类似节点的 一个自由度去考虑。l i 【4 l 】试图改进d r o z e 3 1 的方法，他提出在具有应变软化性质的材料中， 用间断形函数来代替规则的形函数来模拟间断。 1 4 本文工作 论文主要针对不连续位移模型，用强间断法进行了研究，结合作者编制的嵌入强间 断的有限元程序，进行了数值试验。借鉴了基于o l i v e r 提出的强间断位移方程，提出了 一种新的基于位移法和总势能变分原理的算法，来形成对称的单元刚度，以更好的模拟 模型的断裂过程。最后本人将所推导结果应用于工程实践中，计算出了具有构造柱的墙 体在外载作用下，裂纹的开裂方向。 论文的主要内容如下： 1 ) 第一章介绍了位移间断及混凝土破坏技术的研究背景和研究意义，及其研究内容与 技术难点，详细介绍了国内外的研究现状。 2 ) 第二章介绍了强间断法的基本理论。通过对破坏模型和塑性模型的分别研究，仿造 连续体的应力一应变关系，得至f j 7 破坏模型和塑性模型在间断面上的本构方程。并 且通过数值试验，对比了两种形成刚度的算法。 3 ) 第三章通过对o l i v e r 等人所研究成果的分析，利用位移法和总势能变分原理，改进 了离散单元及形成刚度阵的方法，得到了对称的单元刚度阵。通过对单拉模型和剪 切模型的数值计算，利用j i f e x 软件的后处理功能，得到了模型的变形图。 4 ) 第四章首先介绍了论文所研究的墙体模型，研究了钢筋混凝土单元的刚度阵形成方 法，对裂缝的开裂方向进行分析，进而编制了含有嵌入间断的单元的有限元程序a 最后对所得数据进行分析整理，得到变形后的墙体位移图。 5 ) 第五章对论文所做的主要工作做了一个总结，对后续的强间断法的研究提出了一些 设想和建议。 4 脆性材料的强间断分析 第二章强间断法的基本理论 2 1 强间断法的基本方程 假定所研究的模型如图2 1 所示。弹性体q 被间断线l 分割成两部分q + 和q 图中n 是间断线的法线方向。 图2 1 被间断线l 穿过的模型q f i 9 2 1b o d y qc r o s s e db yad i s c o n t i n u i t yl 为了能更准确的描述出图2 1 的模型，因而在位移场中引入h c a v i s i d e 函数h ，( x ) ( 如 图2 2 ) ： 日。( x ) = 1 垤q + 日。( x ) = 0 v x q 一( 2 - 1 ) l i 一 图2 2h e a v i s i d e 函数 f i 醴2h e a v i s i d e f u n c t i o n 跪性材料的强间断分析 这样，褥到r 斟2 1 的模型的位移函数： “( 工) = 玎( x ) + h 。( x ) l 】( 石) 方程中玎( 卫) 表示连续体的位移，而k ( x ) 表示在间断线上的位移跳动量。 方程( 2 2 ) 中在间断线l 上的位移跳动量l 】，表示为： k 酬。= 乩 通过对方程( 2 2 ) 求导得到应变场方程为： s = ( v - ) 5 + 日，k 矿+ 屯 】圆n ) s 其中，( ) 5 表示( ) 的对称部分，表示在间断线妒上的d i r a c 的线三角函数a 令： 芋= ( v 玎) 5 + h 。勺函矿 因此( 2 4 ) 式化为： s = 孑+ 瓦 o ”) 5 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 这里占。满足以下条件： n m = 胁订 v 吼c 孑心) ( 2 7 ) 强间断分析的概念应用的是标准的本构方程。所研究问题的关键是使得该本构方程 能够和强间断线的边界条件保持一致。因此，就需要在本构方程的应力场中满足以下几 个条件： ( 1 ) 在弹性体q 内，应力处处有界。 ( 2 ) 在间断线l 两侧的拉应力是连续的。 ( 3 ) 在间断线l 上的任一点，间断线的法线方向都是由该处的应力情况来决定。 2 2 破坏模型的强间断分析 2 2 1 破坏模型基本方程 对于各向同性破坏模型，s i m o ，j u 【4 2 】和o l i v e r e ta l ( 4 3 ) 给出如下基本方程 臆性材料的强间断分析 e ( e ，) = 【l 一矗渺。g ) 盯= a 。p ( 占，r ) d = 1 一g ( ，) 7 i ， ，= 旯， l ，o y 。：昙占：c ： 盯= 0 一d ) c ：s d e 0 ，1 】 k ，。) 盯“ e ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1o ) ( 2 。1 1 ) 这里。沙是自由能，占，仃分别是应变张量和应力张量，r 是类应变内部变量，是弹 性自由能，c 是弹性矩阵，d 是损伤变量，q ( r ) 是软化变量。是弹性区域的临界值。 从方程( 2 6 ) 可以看出否是有界的，而民 圆玎) 5 是无界的，为了数值计算，定义巧， 为： 以o ) = 杠g )心o ) = 惦x ：篆9 g 1 2 ) 其中h 表示断裂带的宽度，通常取一极小的常数。这样，方程( 2 6 ) 改写为： s = 手+ 如 】o h ) 5 ( 2 1 3 ) 弱间断法既是断裂带宽度不是0 ，这在o l i v e r 2 1 中有具体的论述，因此可以看出在 弱间断法中，当h 不趋近于0 时，方程( 2 1 3 ) 的第二项便是有界的。而当h 一0 时，( 2 1 3 ) 式的第二项是无界的，这也就是强间断法。 2 2 2 破坏模型本构方程 强间断法要求在间断线两侧满足应力的连续条件，因此需要满足： y g ) = 盯。n g ) = 盯，g ) n g ) 帆妒 ( 2 1 4 ) 这里，0 ) 表示拉矢量，表示间断线上一点的应力张量，仃n 、，表示在与间断线相邻 的连续体上一点的应力张量。 从方程( 2 1 4 ) 可以看出，由于在连续体上应变，= 手是有界的，所以连续体上的应 力盯。也是有界的，这样就可以得到拉矢量y = 盯脚h 也是有界的。因此，尽管在间断 线上的应变占。是无界的，但是间断线上的应力盯，是有界的a 7 脆性材科的强间断分析 根据方程( 2 9 ) 写出间断线上任意一点的本构方程： 盯，= ( 1 - d ) c ：s ，( 2 i s ) 根据方程( 2 1 0 ) 得出： 1 一d ：划 ( 2 1 6 ) 0 将方程( 2 1 6 ) 和( 2 1 3 ) 代入方程( 2 1 5 ) 得到： 旷詈c ：e 妒 亿忉 当h 专0 时，拉矢量为： ，= n - = 瓣詈玎c ： 手+ 去删固，z ) s = 渤古妒c 防手+ 。妒】 = 试斟c 删。妒= l 。i d l 一计t ) ，缈1 r 1 1 5 吼可p 。 【2 1 ” 这里，是所谓的声波张量h 钔。 从前面的讨论可知，是有界的，而q 。m 0 ( n n n n n m = 0 时，q 。阴= 0 ， 而这时所对应的模型是连续体，没有间断线存在。) 因此从方程( 2 1 8 ) 可知l 。i + r a 。 0 0 ， 因此定义间断内部变量石： 融帆= 贯 ( 2 1 9 ) 这样就得到了破坏模型的本构方程： y ：垒q e 1 】 ( 2 2 0 ) 模仿( 2 t o ) 式，得到： 出咖，一掣 蓑捌 z ， 这里，( 习可以看成是间断的破坏变量，它的值域范围是从= 。( 这时对应的 酉：0 ，表示刚刚出现断裂线) 到= 1 ( 这时对应的万= o d ，表示弹性体己经完全断 臆性材料的强间断分析 从方程( 2 2 2 ) 可以看出，间断线上的本构方程和连续体的本构方程有相同的形式， 下表给出连续部分和间断线上各力学量的对比： 表1 破坏模型中连续部分与间断部分备力学量的对比 t a b l e1 c o r r e s p o n d i n gb e t w e e nt h ec o n t i n u u ma n dd i s c r e t ev a r i a b l e si nt h ed a m a g em o d e l i 连续部分： 1 3 s cd ， g ( r ) l 间断线上： y m 功 瓦 虿( 石) q = - c 在方程( 2 2 2 ) 中，由于在刚出现间断线时珊= 一o 。，这样初始的割线本构模量 q “= + o 。，n n n - - r 玻坏模型可以认为是刚性破坏模型，如图2 3 所示。 圈2 3 在破坏模型中连续体( a ) 和间断( b ) 的应力一应变关系 f i 9 2 3s t r e s s - s t r a i ni nd a m a g e m o d e l s ：c o n t i n u u mv s d i s c r e t e 2 3 塑性模型的强间断分析 2 3 ，1 塑性模型的基本方程 对于小应变塑性模型，仿造破坏模型的形式，s i m o 和h u g h e s 4 s l 给出如下基本方程： 杪e ，占p ，日) = 妒扛一占p ) + h o ) 妒。0 ) ；圭s 。：c ：s 。 ( 2 2 3 ) 9 ) 规 1 l jl p f 妇 甜一 0 l l ， 为写改 ) 加 q 程方将就k 样裂这 脆性材料的强间断分析 盯= a 。妒0 ，占p , q )盯= c ：g 一占，) a ：一a 。矿皓，s ，9 ) ：一a 。h ( q h ( q ) 口 o ，o 。) a = 一a 。矿p ，s 9 ，9 ) = 一a 口 )口【o ，o 。) p = a m m ( 盯) = a 。5 ；p ) ( 2 2 4 ) f 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 这里，y 表示自由能，而2 - 8 ) 和h 0 ) 分别表示弹性能和塑性能。s ，g e 和占9 分别表 示整体应变，弹性应变和塑性应变。c 是各向同性弹性本构张量，q 表示应力( 应变) 软化变量，口是它的共轭变量。方程( 2 2 6 ) 表示塑性流动法则a 2 3 2 塑性模型的本构方程 考虑到强间断的连续条件，类似方程( 2 1 4 ) z ，i j ： y = 胛g ) = n - c ：0 ，一占；) 在强间断面上，并且结合方程( 2 1 3 ) ，有： l i 邺mt c k 一) = l 。i r a “：卜去 】。”) _ ； = l 。i m ( 。n c ：g + l 。“： 】。n ) s - n c ：e ；) 、 i + 去呸型k 】一c ：l f 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 这里，q 。是标准声波张量。 从方程( 2 2 8 ) 可推出： q 。l 】= 躲啪c ：手) + 砌c ：占到 ( 2 2 9 由于y 是有界的，手也是有界的，因此当h 呻。时， 一n c ：i ) 寸0 ，这样( 2 - 2 9 ) 式化为： q 。- 嘲= 小c ：l 。i m 蟛 ( 2 3 0 ) 对于( 2 3 0 ) 式存在两种情形： ( 1 ) 塑性流动应变占；是有界的( j 憋 = o ) 。这时( 2 3 0 ) 式化为q 8 - = o j l 】= o ， 这也就表明不存在间断了，显然这是和已知条件相矛盾的。 1 0 c肝 ，。l 劁 i l 脆性材料的强问断分析 ( 2 ) 塑性流动应变s ；是无界的( j l 。i r a 。南是有界的) 。由于塑性流动张量m 是有界的， 这样可以得出： l i r a 。h e ；= 嬲0 勺b ，j 躲0 以) ( a 3 d 瓦蕊；f 一i 令： 乃5 2 云历 ( 2 3 2 ) 其中，百是一有界的内部变量。 这样将( 2 3 2 ) 式代入( 2 31 ) 式，得到： q r b 】：积c ：俄。龄k 】= 蟊( q r - k c ：m ， ( 2 3 3 ) 由塑性模型的间断线上的本构关系，考虑( 2 1 3 ) n ( 2 2 6 ) 式，得： = c ：e ，一s ；) = c ：( 云+ 去 一) 5 一九 = c ： i + 去 】。”) 5 一去砌， ( z ，。) 方程两侧同乘以h ，得： l 。i m h o - ，= l 。i m c ： 等+ 。拶一劢， 。c ：吼】固矽一确一( 2 3 5 ) 警 】。栉) 5 一砌，= c - l 。i m h a 由于盯，是有界的，所以l 。i r a 。h o - ，2 0 ，这样( 2 - 3 5 ) 式化n ： ( 1 】 h ) 8 = 翻， ( 2 3 6 ) 在连续体模型中，由于应力和内部参数口，分别是应变白和软化参数g ，的麸轭变 量，结合方程( 2 3 2 ) ，因此有： g ，= 一8 矿k ，q ，) = 瓦= 一矗a “矿0 ，蟛，g ，) ( 2 3 7 ) 由于在强间断条件下，因此对上式取极限，得： 万= 一脚加y - ，s ；，g ，) 2 一a i 妒 ( 2 3 8 ) 这样就由连续体上的自由能推导出了间断上的自由能妒。 蒯= 黔如，) = 剐矗旷k ) + 喇卜避峰：c ：+ 盼电) 眨3 9 ) l畸j i 一 脆性材料的强同断分析 眺) = 啸) 这样就得到了间断上的自由能： 伊g ) = m 臼) 下表给出了在塑性模型中，连续体上和间断上的各力学量的对比关系。 表2 塑性模型中连续部分与间断部分各力学量的对比 t a b l e 2 c o r r e s p o n d i n gb e t w e e n t h ec o n t i n u u ma n dd i s c r e t ev a r i a b l e si nt h ep l a s t i c i t ym o d e l ( 2 4 0 ) ( 2 4 i ) l 连续体上： 盯s 占p a y ：g 。) + h 白) 间断上： 妒= o + m g ) ， i o - 】 万 图2 4 分别表示塑性模型中，连续体和间断的应力一应变关系，从图中可以看出 在间断中卸载的时候，间断大小m 是不可逆的，也就是说在间断中没有弹性的应力。 图2 4 塑性模型中( a ) 连续体和( b ) 间断上的应力一应变关系曲线 f i g 2 4s t r e s s - s t r a i ni np l a s t i cm o d e l s ：( a ) c o n t i n u u mv s ( b ) d i s c r e t e 2 4 强间断法的有限元计算概述 近年来，国内外很多学者都利用强间断法来模拟材料中的间断，但是由于所采用的 离散单元和形成刚度的方法的不同，因而派生出很多不同的算法。这些方法在解决某一 类问题中有着自己的优势，但不能涵盖所有的断裂破坏问题。这里，按照单元刚度来划 分主要可分成两类： 对称静态协调单元 在这单元中，在间断面两侧的拉矢量是连续的，这样通过变分所得到的单元刚度 阵是对称的，但这种单元不能使被间断面分开的两侧弹性体保持相对的运动。 3 4 1 对称可动协调单元 这种单元不会限制间断面两侧弹性体的相对运动，然而在间断面两侧的拉矢量的连 1 2 臆性材料的强间断分析 续性很难保证。【l 列 非对称可动协调单元 这种单元可以保证在间断面两侧的拉矢量的连续性，而且能够保证间断线两侧的相 对运动，但是这样得到的单元刚度阵是不对称的f 2 4 】。由于单元刚度阵的不对称使得计算 起来十分费力甚至无法进行运算。 为了能够清楚的说明以上方法的各自优势，下面对单元( i i ) 和单元( i i i ) 做简要的阐述 ( 在附录里有较严格的公式推导) ，并给出数值试验加以说明。1 4 7 j 2 4 1 非对阵法( p e t r o v g a l e r k i n ) 法 b ( b ) = b f 8 ) b 。硝6 ) 硝曲g 。】 ( 2 4 2 ) b ( e ) = 障口硝。) 酵g 州j ( 2 4 3 ) = kd ：d ，d 。k l r ( 2 4 4 ) 萨小 击酬 b 4 5 ， d 虬剁嵌妇 岣 k = f 占唯扩d b 。孢。 ( 2 4 7 ) 2 4 2 对称法 对称法可以看成非对称法的特例，仅当间断线与所对应的底边平行的时候，刚度阵 才是对称的，这时有： g ( e ) ：g ( e ) ( 2 4 8 ) 因此这时的单元刚度阵为： 萨) ：瞰j 霹1 丑 l b 5 。1 g f 1 j ( 2 4 9 ) 一些竺翌整塑塑塑堑坌堑 2 4 3 数值试验 随时o b j 曲= l o a ，f 。i b 砰以种j 洲书 一击蚓 置= f b 咿d b “施。 ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 为了比较上面提到的两种方法，采用数值试验来加以验证。该模型是一左端固定x 方向位移，右端给定位移6 的模型。材料选用具有线性软化的各向同性连续破坏材料进 行模拟。材料参数如下： e - = 3 0 0 m p a ，y = o 3 ，材料抗拉应力吼= l o m p a 图2 5 ( a ) 各向同性板的有限元模型；( b ) a 点的应力一位移曲线 f i g ，2 5h o m o g e n e o u sp l a c e ：( a ) f i n i t ee l e m e n tm e s h ；( b ) s t r e s s d i s p l a c e m e n tc h i v e sa tp o i n ta 当施加的固定位移达到使材料出现破坏后，在模型中间产生一垂直的间断线，在间 断线上位移跳动是均匀的( 如图中阴影部分) 。这里，分别用上面提到了两种单元( 对称 单元和非对称单元) 进行计算。选取模型中任意一点4 ，做出点爿的应力一位移曲线。 从图中可以看出，当选取非对称单元，当材料达到极限应力盯。后，模型出现断裂，随 着给定位移的增加，材料不断软化，a 点的最大主应力也随着位移的增大而逐渐减小。 这是符合软化材料性质的。而当采用对称的单元刚度对，当材料达到抗拉应力瓯后，彳 点的最大主应力仍随着位移的增加而增加，也就是存在着应力自锁的现象，这显然是不 1 4 脆性材料的强间断分析 符合材料软化的陛质的。 因此，通过试验可以清楚的看出，非对称单元较好的模拟出材料的软化现象，而对 称单元尽管简单，但是存在缺陷，因此在计算材料断裂时，应该对单元刚度加以修改。 脆性材料的强问断分析 3 1 引言 第三章位移强间断的数值分析 近年来，围绕着强间断的模型，提出了很多求解强间断问题的算法。这里主要可分 成两类：对称的单元刚度阵和非对称的单元刚度阵。g a b r i e l l ab o l z o n 用三变量原理对单 元进行离散。得到的刚度阵是对称的，却在间断面上存在应力自锁现象，不能很好的模 拟断裂破坏。o l i v e r 利用p e t r o v g a l e r k i n 法离散单元，得到了较好的数值解，可由于所 采用的单元刚度阵是非对称的，因此为计算带来了极大的不便。本章应用强间断模型框 架采用位移法和总势能变分原理对单元进行离散，在弱形式下满足了在间断面上力的平 衡要求，这样得到了对称的刚度阵。本章应用强间断法从分析最简单的一维问题入手， 给出一维模型的算例。在一维问题的基础上推导出二维问题计算模型，并同时给出单拉 变形和在均布剪力作用下的变形算例。最后，对用不同方法所做出的数值解进行分析和 比较。 3 2 运_ f f l 变分原理推导有限元方程 3 2 1 基本方程 图3 1 断裂带qd 的定义域 f i g 3 id e f i n i t i o no f t h ed o m a i n q d 考虑如图3 ，1 所示的模型，断裂线l 将q 分割成两部分q + 和q 一， 是断裂线的法 线方向，r l ，和l 是位移边界条件和力的边界条件，u 是整个弹性体q 的外法线方向。 根据模型得到位移方程： 1 6 脆性材料的强间断分析 模型满足以下初始条件： 飞- o - 4 - l = 0 盯1 - 1 = t c r 船= 盯行 仃。n = 盯+ 1 珂( = 盯一船) 豁( z ) = 磊( x ) + 置，( z ) b 】( x ) 在q p 上 在l 上 在l 上 在口上 在口上 这里，方程( 3 2 ) 是弹性体内平衡方程。这里盯应力，厂体力密度。方程( 3 3 ) 和( 3 4 ) 分别是位移边界条件和力的边界条件。“一位移场， “一给定的位移，t * - - 边界上的力。 方程( 3 5 ) 和( 3 6 ) 表示拉矢量在间断线妒上是连续的。其中巧+ 和盯一分别表示在q + 和q 一 上的应力场，仃。表示在间断线上的应力场a 这里定义在断裂线两侧存在着断裂带，如图3 1 ，在q + 区域内的断裂带为q ：，在q 一 区域内的断裂带为q ：。这样，定义连续函数g ) ： 女g ) = 万g ) + 妒6g ) - k ) ( 3 7 ) l hl 下 、一 图3 2 单位跳动函数 f i g 32c o n s t r u c t i o no f t h eu n i t j u m p f u n c t i o n 固 国 句 固 c 0 o o 0 0 脆性材料的强间断分析 妒6 g ) 定义为( 如图3 2 ) ： 将( 3 7 ) 式代入( 3 1 ) 式得 令： 妒6 扛) = 0 妒6 g ) = 1 v x q 一q ： v x q + q ： “g ) = 女g ) + 。g ) 一妒6 g ) k k ) 以0 ) = 也g ) 一妒6 ( x ) 则( 3 9 ) 式化为( 其中：g ) 函数如图3 3 ) ： ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 甜g ) = 女g ) + ：g ) - k ) ( 3 1 1 ) 岳一 1 o i 一 图3 3 ：g ) 函数 f i g 3 3 ：0 ) f u n c t i o n 通过这样的变化，位移场用( 3 1 1 ) 式表示出来，其中螽( x ) 表示位移的规则部分( 函 数是连续的) ，而：0 酗k ) 包含了位移在断裂带上的跳动部分- 而且由于q 。的选取是 任意的，伊。g ) 函数是连续的，因此方程( 3 1 1 ) 具有一般性。 3 2 2 有限元离散 将弹性体离散，定义子集，是所有包含间断带的单元集合，