（基础数学专业论文）最优估计与小波分析理论在经济分析中的应用研究.pdf

河南大学硕士学位论文 y 5 9 2 8 4 5 摘要 摘要 经济全球化与金融一体化正在广泛推进，中国的经济也必将更快和更广的融 入世界经济体系中。但是，目前我国处在经济体制转轨的特定时期，存在许多经 济实践问题急需相应的理论指导。因此，进一步积极探索更加适合我国经济现状 的系统性、现实性、实时性和动态性的分析方法和技术是十分紧迫的。 论文利用最优估计理论中的卡尔曼滤波方法和强跟踪滤波方法以及小波分析 理论中的多尺度分析方法，对一些经济现象进行实时动态分析和多尺度分析，并 应用具体实例将新方法与传统方法进行了比较，取得了一些有意义的研究成果。 主要学术贡献为： 1 系数是度量资产系统风险的一个重要指标，由于资产系统风险常受到各 种不确定因素的干扰，因而，口系数具有一定程度的随机性和动态性。最 优估计理论中的卡尔曼滤波( k a l m a nf i l t e r i n g ，k f ) 方法具有实时估计能力， 论文基于k f 方法对口系数进行动态估计，并将其估计结果与传统的回归分 析方法的估计结果进行比较，发现基于k f 方法的口估计值是实时变化的， 并且更加有效，充分体现出k f 方法的优越性。 2 我国上市公司的股利信息含量问题已引起国内部分学者的关注，论文通过 股利与永久盈余之间的相关性来研究股利的信息含量。首先，利用最优估 计理论中的强跟踪滤波( s t r o n g t r a c k i n g f i l t e r i n g ，s t f ) 方法对永久盈余进 行动态估计，结果表明s t f 对永久盈余的发展变化具有较强的实时跟踪能 力：其次，对股利与永久盈余之间是否存在显著的相关性进行分析，但检 验结果表明二者之间没有显著的相关性，进而确定现阶段上市公司的股利 不能反映公司未来盈余的信息。 3 针对自然、社会和经济等环境中存在有大量周期性的非平稳随机过程，我 们将k f 方法和多尺度分析方法相结合，提出了既具有实时性和递归性又具 有多尺度分析能力的小波一卡尔曼滤波混合估计与预报方法，应用此方法 可实现周期内对目标状态的实时跟踪估计和动态多步预报。论文利用实际 经济数据对此方法进行检验，结果表明新方法在经济实时预报和多尺度分 析方面具有较强的适用性。 关键词：经济信号；卡尔曼滤波：强跟踪滤波：多尺度分析：小波变换 河南大学碗士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t w h i l ee c o n o m y g l o b a l i z i n ga n df i n a n c ei n c o r p o r a t i n g ，t h ec h i n e s ee c o n o m yw i l l j o i ni nt h ew o r l de c o n o m ys y s t e mf a s t e ra n d w i d e r b u ta tp r e s e n t ，t h ec h i n e s e e c o n o m y i si nt h es p e c i a lp e r i o do ft h es y s t e mc h a n g i n g t h e nm a n y p r a c t i c a lp r o b l e m s n e e dt h e c o r r e s p o n d i n gn e wt h e o r y t h e r e f o r ei t i sv e r yn e c e s s a r yt oe x p l o r et h em e t h o d sa n d t e c h n i q u e s ，w h i c ha r em o r es y s t e m a t i c ，r e a l i s t i c ，r e a l t i m ea n dd y n a m i c ，a n dm o r e a d a p t a b l e t ot h ec h i n e s e e c o n o m y i nt h i sp a p e r , iu s et h ek a l m a nf i l t e r i n g ，t h e s t r o n gt r a c k i n gf i l t e r i n ga n dt h e m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i sm e t h o d st oa n a l y z es o m ee c o n o m i cp h e n o m e n a f u r t h e r , i c o m p a r e t h en e wm e t h o d sw i t ht h et r a d i t i o n a lm e t h o d s b ys o m ee x a m p l e s t h e n lg a i n s o m e m e a n i n g f u l r e s e a r c hr e s u l t s t h em a i nc o n t r i b u t i o n so f t h i s p a p e r a r ea sf o l l o w s ： 1 - t h e f t i sa n i m p o r t a n ti n d e x w h i c hc a n w e i g h t h ea s s e t ss y s t e m i cr i s k b u tt h e 声i n t h es t o c km a r k e to fc h i n ai ss t o c h a s t i ca n dd y n a m i ct oac e r t a i ne x t e n t ， d u et ot h ed i s t u r b a n c eo ft h ev a r i o u su n c e r t a i nf a c t o r s i nt h i sp a p e r ，io b t a i nt h e d y n a m i ce s t i m a t i o no f t h e 晷b a s e do n t h ek a l m a n f i l t e r i n gm e t h o d t h e ni ti s r e p o r t e dt h a tt h er e s u l t so ft h i sm e t h o di sm o r ee f f e c t i v ec o m p a r e dw i t ht h e t r a d i t i o n a l r e g r e s s i o nm e t h o d 。i tc l e a r l yd e m o n s t r a t e st h ea d v a n t a g eo ft h e k a l m a n f i l t e r i n gm e t h o d + 2 s o m ed o m e s t i cs c h o l a r sp a ya t t e n t i o nt ot h ei n f o r m a t i o nc o n t e n to f d i v i d e n d si n t h es t o c km a r k e to fc h i n a i nt h i sp a p e r , is t u d yt h i sp r o b l e m b yt h ec o r r e l a t i o n b e t w e e nt h ed i v i d e n d sa n dt h ep e r m a n e n te a r n i n g s 。f i r s f l t h es t r o n gt r a c k i n g f i l t e r i n gm e t h o da l l o w sm e t oo b t a i nt h ed y n a m i ce s t i m a t i o no ft h ep e r m a n e n t e a r n i n g s i t i sf o u n dt h a tt h i sm e t h o dh a st h e s t r o n ga b i l i t y t ot r a c kt h e p e r m a n e n te a r n i n g s t h e nia n a l y z et h ec o r r e l a t i o nb e t w e e nt h ed i v i d e n d sa n d t h ep e r m a n e n t e a r n i n g s ，t h er e s u l t ss h o w t h a tt h e r ei sn o s i g n i f i c a n tc o r r e l a t i o n b e t w e e nt h e m s oi ti s i m p l i e dt h a td i v i d e n d sc a n tr e f l e c tt h ef u t u r ee a r n i n g i n f o r m a t i o nn o w a d a y s 3 s i n c et h e r ea r eal o to f p e r i o d i cn o n - s t a t i o n a r ys t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，ic o m b i n e t h ek a l m a nf i l t e r i n ga n dm u t t i r e s o l u t i o n a n a l y s i sm e t h o d s ，a n dp r o p o s et h e l l 塑查点堂堡主堂焦丝苎 一 一些塑生 w a v e l e t - k a l m a n f i l t e r i n gh y b r i de s t i m a t i n g a n d f o r e c a s t i n g m e t h o d t h i s m e t h o dh a st h er e a l t i m e ，r e c u r s i o na n dm u l t i r e s o l u t i o nc h a r a c t e r i s t i c s i nt h i s p a p e r , u s i n g t h i sm e t h o d ，ir e a l i z et h er e a l - t i m et r a c k i n ga n dd y n a m i cm u r i s t e p f o r e c a s t i n gi no n ec y c l e t h e n t h i sm e t h o di st e s t e db yt h er e a le c o n o m i cd a t a i t i sc l e a r l yt h a tt h i sn e wm e t h o di sa d a p t a b l et ot h ee c o n o m yr e a l t i m ef o r e c a s t i n g a n dm u l f i r e s o i n t i o n a n a l y s i s k e y w o r d s ：e c o n o m i cs i g n a l ；k a l m a nf i l t e r i n g ；s t r o n gt r a c k i n gf i l t e r i n g ；m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ；w a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n i n 河南火学矾士学位论竞 第1 章绪葩 第1 章绪论 1 1 国内外研究现状 步入2 l 世纪，我国的经济将更快捐更广的融入世器经济体系，我翻证券市场 在此过程中发挥着极其重要的作用。然而，与鞭方成熟的证券市场相比，我国的 证券市场存在竞争无序性、信怠垄断往等不利因素，翮此，证券投资领域的研究 一一直是我国经济学界研究的热点问题。 首先，资产的风险分析一赢是证券投资分析的核心问题。通常情况下，风险 是指资产投资收益的不确定性，即实际收益可能偏离期塑收益的幅度。在1 9 5 2 年， 美国芝加哥大学的h a r r ym a r k o w i t z 教授在其发袭的投资组合的选择一文中首 次对风殓曲援念遥行了鼗姥分错n l 。绝采用段票收益率塄史数据艴均值期方差分别 作为投资者收蠡率和资产风险的衡量指标，将照杂的投资决策问题转化为一个容 易处理豹风险( 方差) 粒渡盏率( 均僮) 酶二缝淘嚣：投资者在辐同麴期望毂箍 率条件下，选择投资风险最小的资产；或者在相同的投资风险下，选择期望收益 搴最大瓣嵌产。 1 9 6 4 年，在h a r r ym a r k o w i t z 教授的基础之上，w i l l i a ms h a r p e 教授。提出了著 名的资零资产定价模型( e a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l ，c a p m ) ，以简洁优美酌形式 刻画了瓷产风险与投资者期望收益率之间的关系【l 】。在模型中，他将资产风险进一 步翅分为系统风险和非系统风险，系统风险是由普遍静市场和经济状况所导致。 如购买力风险、利率风险、政镣风险、市场风险等，它与市场整体运动相关联， 不能通过投资分散化加以消除：非系统风险是由只影响菜一具体证券的微观独特 事件所引起的，如公司破产蝇险、流动性风险、违约风险、管理风险等，它可通 过投资维合加以消除。 资本资产定价模型( c a p m ) 作为现代金融学理论基葛之一，已技广泛应用于 资产定价、风险分析以及投资决策等领域。几十年来，国内外学者利用该模型进 行了大敲鹁实诞瑶究。在国强，b r o o k s 、f a f f 与l e e ( 1 9 9 2 ) 1 2 1 ，k o u t m o s 、l e e 与 “j o h n l i n t n e r 教授在1 9 6 5 年提出了与w i i l l 蛳s h w p c 教授的c a p m 模型基本相同的撞型；垃济学家j 卸 m o s s i n 在1 9 6 6 年氇桴出了稳耩斡结谂。 1 河南大学硕士学位论文 第1 章绪论 t h e o d o s s i o u ( 19 9 4 ) 3 1 e p i s c o p o s ( 19 9 6 ) 1 4 1 ，b r o o k s 、f a f ! f 与m c k e n z i e ( 19 9 8 ，2 0 0 0 ) 5 , 6 1 ，g r o e n e w o l d 与f r a s e r ( 1 9 9 9 ) 【7 】，b u c k l a n d 与f r a s e r ( 2 0 0 2 ) 8 】等学者分别利 用时间序列分析方法对此模型进行了研究，同时也基于该模型对国际环境下的投 资风险性和市场有效性进行了分析。在国内，施东辉( 1 9 9 6 ) p 】，杨朝君、邢靖 ( 1 9 9 8 ) 1 0 】，陈小悦、孙爱军( 2 0 0 0 ) 1 “】等学者也进行了相关研究。 口系数是度量资产系统风险的一个重要指标，也是衡量资产系统风险相对于 市场平均风险变化的重要参数。目前，对我国证券市场进行的相关研究大都是基 于历史数据进行的，并将口系数视为静态参数进行回归分析，已取得大量的研究 成果【9 1 3 1 。由于影响经济环境的因素错综复杂，资产系统风险常受到各种不确定因 素的干扰，因而，在实际经济系统中，卢系数具有一定程度的随机性和动态性【2 1 。 针对这种情况，探索能更有效的反映实际经济现象的动态分析方法是十分必要的。 其次，为了追求效用最大化，投资者必须进行证券投资的决策分析，利用市 场内外经济要素的变化趋势和相互作用来获取信息，分析企业的营运状况和获利 潜力，评估企业发行的证券并预测其风险和收益，进而为确定投资的证券种类和 买卖时机提供依据。其中，上市公司分配的股利是否具有信息含量以及股利在何 种程度上能反映何种信息的问题已引起了国内部分学者的关注【1 4 q 6 。 股利信息含量的思想最早出现在l i n t n e r ( 1 9 5 6 ) 开创性的经典研究中，从而 揭开了股利理论研究的序幕【1 4 1 。l i n t n e r 是利用股利信号理论来解释股利政策的， 在对2 8 家美国公司的股利和盈余情况进行调查研究之后，他发现这些公司都是按 照长期的平均盈余来确定股利的支付率，只有当企业的盈余发生了“长期显著的” 变化后，才可能对股利的支付率进行调整。 在1 9 6 1 年，m i l l e r 和m o d i g l i a n i 提出了著名的“股利无关论”，它标志着西方 股利理论研究进入了一个崭新的阶段【1 4 1 。然而，他们也承认，市场并不完善时， 公司管理者常常通过改变股利的支付率将未来盈余的期望值传递给投资者，而投 资者一般都认为股利的变动就是管理者对未来盈余的期望值变化的反应。因而， 股利在很大程度上反映了有关公司未来的业绩和营运状况的信息。 西方学者在不断激烈的争论中，逐步形成了西方股利理论的古典学派，并在 此基础上逐步进行发展和完善，从而形成了百花齐放的现代学派。其中，股利信 2 河南大学硕士学位论文 第1 章绪论 号理论是现代学派的代表性观点之一，该理论的基本观点为：在信息不对称的情 况下，公司管理者在信息方面拥有优势，他们通常把股利政策作为一种信号向投 资者传递公司未来盈余的信息i l 。 西方学者一般采用符号检验、回归检验、累计超额回报分析和交易变量检验 等方法进行股利信息含量的实证研究，主要涉及的内容有：( 1 ) 股利政策是否具 有信息含量，( 2 ) 股利政策传递的信息是否与事实一致，( 3 ) 股利政策向市场传 递了何种信息，如：未来盈余的信息、投资状况的信息或股权结构的信息等等。 虽然西方的股利理论得到了不断完善，但是对股利信号理论实证研究的结果目前 尚未达成共识。 近几年，陈晓、陈小悦、倪凡( 1 9 9 8 ) ，魏刚( 2 0 0 1 ) 等国内学者以股价为研 究对象对股利的信息含量也进行了相关的实证研究，结果表明股利在一定程度上 具有信号传递效应 1 4 , 1 5 1 。然而股价常常受到众多偶然因素的干扰，易产生较大的 波动，所以具有相当的不稳定性，利用它作为研究对象将会影响实证分析的结果。 因此，尝试选取更适当的经济变量进行相关研究是十分必要的。再由于我国的证 券市场体制并不完善，存在诸多的干扰因素，致使对经济动态系统的建模往往与 其所描述的实际系统不匹配，为此，寻求能更加实时、有效的估计和分析方法来 研究股利信息含量问题也是十分必要的。 另外，证券市场往往受到自然、社会和经济等环境不同程度的影响，而在这 些环境中存在有大量周期性的非平稳随机过程，因此，实现在周期内对过程或现 象进行动态分析和实时预报将是十分重要的。特别是在经济系统中，经济决策和 经济宏观调控更加依赖于动态分析和预报技术。 国内外学者已成功利用卡尔曼滤波( k a l m a nf i l t e r i n g ，k f ) 方法对一些经济现 象进行了有效的动态分析和实时预报 3 , t 7 - 1 9 1 。但是，卡尔曼滤波器是基于时域内的 动态模型和测量模型建立起来的，没有利用过程或现象的多尺度特性或多尺度效 应，因而无法充分体现出经济变量在短、中和长期中不同的变化特征。小波分析 方法是目前国际上公认的最新最好的时间一频率分析工具之一，它具有多尺度分析 的特点，在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力，受到国内外经济学者的 广泛青睐- 2 4 1 。但是，小波分析方法不具有实时性、递归性等特点，利用它很难 河南大学礤士学位论文第1 章绪论 对经济信号进行实时黪渤态分析。沟了获褥更优躲实对跟踪粒动态预报效暴，需 要建立对缀济信号进行时闻一频率的动态分斩方法。 1 2 论文研究背景 在玟安靛经济环瀵中，经济因繁或交量壶予常受到各耱不确定因素稳予扰丽 具有一定稷度的随机性和动态性。为此，需要探索能更有效的反映实际经济现象 的实时分析方法，利用窀获得具有煎器意义和价德的经济信息，从而进行熙深入 麓经济分掰暑鏊更有力懿经济决策。 最优估计理论中的卡尔曼滤波( k f ) 方法魁一种在误差协方差最小准则下的 最优估计方法，它己广泛应用于自动控制、工业嫩产、航空航天和经济动态分析 等学器 领域。k f 方法瓣蒸本愚憨楚：营免建立撬述随税羲态黛整蘧露阗交纯稳先 验模型，然后在对随机变量进行实时观测的情况下，利用k f 方程组实时获得目标 状态基于众局信息的最优估计值和估计误差协方麓阵【2 5 2 9 1 。 我鏊瓣涯券枣场体绢舞不完善，存在诸多静予虢因素，毅薅遥或薅经济麓态 系统的建模往往与其所描述的实际系统不匹配，鼯致k f 方法的估计精度犬大下 降。最优估计理论中的强跟踪滤波( s t r o n g t r a c k i n gf i l t e r i n g ，s t f ) 方法能够有效 黪竟骚k f 方法戆上述皱终，它的嫠本愚想是：盔线实霹戆调整滚态臻溺误麓瓣懿 方差矩阵殿相应的增益阵，进而有效提取出输出残差中的有朋信息，强迫滤波器 保持对实际系统突变状态的跟踪能力【2 8 , 3 0 l 。 轰毖，论文剥用最谯镂诗理论中耱k f 羁s t f 方法慰不潮的经滚售号爽褒了 实时的动态估计，并进行了相关的实证分析，丰鬻了我国证券投资领域的分析方 法和技术。 在鸯然环境和工援嶷践中，许多现象移过程都兵有多尺度特征或多尺爱效应， 人嚣j 对现浆或过程韵观察和测量往往也是在不同尺度( 分辨级) 上进行的。经济行为 或经济变鬣在短、中和长期中大都凝有不同的变化特征，因而经济信号也具有多 尺度特征或多尺度效应。小波分板( w a v e l e ta n a l y s i s ) 方法在时域苇珏频域中都其有 表 芷信号搦郝特征酌能力，可对信号进行时间一频率分析，其有多尺度分析的特 点f 28 _ 3 1 。 4 河南大学硕士学位论文第1 章绪论 论文通过将目标状态的小波变换系数描述为k f 方法的状态变量，进而将k f 和多尺度分析方法相结合，提出了既具有实时性和递归性又具有多尺度分析能力 的小波一卡尔曼滤波混合估计与预报方法( w a v e l e t k a l m a nf i l t e r i n gh y b r i d e s t i m a t i n ga n df o r e c a s t i n ga l g o r i t h m ，w k h e f a ) ，应用此方法可实现周期内的实时 跟踪和动态多步预报。基于w k h e f a ，我们针对一类非平稳随机过程进行了仿真 试验，并利用实际经济数据对此方法进行检验，实验结果表明w k h e f a 方法十分 有效，并在经济实时预报和多尺度分析方面具有较强的适用性。 1 3 论文结构 论文的具体安排如下： 第二章简要介绍了本章所需的基础知识。首先介绍了回归分析理论的部分 知识，其次介绍了最优估计理论中的卡尔曼滤波和强跟踪滤波方法，然后介绍了 小波分析理论中的多尺度分析和小波变换的内容。 第三章基于最优估计理论中具有实时估计能力的k f 方法对资产系统风险 ( p 系数) 进行动态估计，并将其估计结果与传统的回归分析方法的估计结果进 行比较，以验证新方法的效能。 第四章通过股利与永久盈余之间的相关性来研究股利的信息含量，并利用 最优估计理论中的s t f 方法实现对永久盈余的实时估计；然后对股利与永久盈余 之间是否存在显著的相关性进行分析，进而研究股利是否反映了以及在何种程度 上反映了公司未来盈余的信息。 第五章将目标状态的小波变换系数描述为k f 方法的状态变量，进而将k f 和小波分析相结合，提出了既具有实时性和递归性又具有多尺度分析能力的小波 一卡尔曼滤波混合估计与预报方法( w k h e f a ) ，可实现周期内的实时跟踪和动态 多步预报。基于w k h e f a ，我们针对一类非平稳随机过程进行仿真试验，并利用 实际经济数据对此方法进行检验。 第六章对论文的工作进行总结和展望。 辩瘴大学碟学挝谂文 嚣1 章绪论 本耄小结 精毙，介缮了禹内缔裙蒺的经济分柝霜研究现状；其次，经过辩濒内终籀关 研究魏欢囊秘分辑，绘爨了谂文豹磷究鬻爱，帮疆磁论文瓣蚕磷究麓茂客；最簸， 分绍了论文的其体安排。 6 河南大学硕士学位论文 第2 章基础知识 第2 章基础知识 2 1回归分析理论基础3 2 】 2 1 1 最, j 、- - 乘估计法 为了研究变量彳和】，之间的统计关系，我们需要每一个变量的一组观测值， 以及有关变量之间关系的数学表达式的假设。这组观测值称为一个样本( 样本数 据是从代表真实关系的总体中选取的观测值) 。我们主要讨论的是x 和，r 之间呈线 性关系。在x 和，之间为线性关系的假设下，我们的目的是确定一个规则，从而 决定x 和】，之间的“最佳拟合”直线。确定“最佳拟合”直线的一种简单易行的方法 就是最小二乘法，即“最佳拟合”直线是使样本点到该直线的垂直离差平方和达到最 小的真线，如图2 1 所示。 夕一 j lj 方 l 【一一 -_ “，| 一 l - -z ； il_ 夕 一 r t 一 。 一i _jl i 孝 l 一一 一 ： ! 一 f _ r i 一一 7 i l ：1 012 3 45 678 91 0 ”1 21 31 41 51 61 71 81 92 02 12 2 图2 1 “最佳拟合”直线 构造统计关系的目的通常是为了预测或说明一个或多个可以控制或可以解释 的变量的变化对另一个变量的影响。我们假定和】，之间存在y = n - i - 6 x 的线性 5 4 5 3 5 2 5 1 4 3 2 ， 河南大学硕士学位论文 第2 章基础知识 方程，变量y 称为非独立变量，变量称为独立变量。 最小二乘估计的准则可写为 ，= ( r t ) 2 = ( r 一口。一口x i ) 2 = m i n ( 2 1 1 1 ) i = li = 1 f 是变量】，的第f 个观测值；置是变量x 的第f 个观测值；为截距，是斜率； t = 口。+ 甜。x 是f 的拟合值，即x 。在拟合直线上相应的y 值。 为了达到极小的目的，我们求，关于和口。的偏导数，可得 嵩。2 善n ( r - - 0 o - - 球1 五) 兹= 姒e 一- g t x , ， ( 2 i 1 2 ) ( 2 i i 3 ) 令关于和啊的偏号数为零，整理式( 2 i 1 2 ) 和( 2 1 1 3 ) 得到方程组( 称为正规方 程组) i = + 口。x i ( 2 t 1 4 ) z 。e = x ；+ 口，x ，2 ( 2 1 1 5 ) 解上方程组，可得 置霉 反= 等一 ( 2 1 1 6 ) 碧，2 氐= y 一反( 2 1 1 7 ) 这里j = 丙l 善n 墨，f = 丙1 善n f ，岩。= z 。一j ，霉= r f 。 2 1 2 线性回归模型 2 1 2 1 一元线性回归模型 我们假定z 和y 之间的统计模型为 = 口o + 口l x ，+ s ，( 2 1 2 1 ) j ，是一个随机变量，称为被解释变量；x 是确定的或是非随机变量，称为解释变 量；占是随机误差项，具有确定的统计一、二阶距。 河南大学硕士学位论文第2 章基础知识 误差项是由于各种因素的相互作用而产生的。一方面，模型是现实问题的一 种简化，很多有关的因素被忽略，这些被忽略的因素都包含在误差项中。如果那 些被忽略的因素作用很小，误差项是随机的假设就是合理的。另一方面，经济和 商业的准确数据往往是很难获得的，数据的搜集和测量也会带来误差。 一元线性回归模型满足以下性质： x 和y 之间的关系是线性的，如式( 2 1 2 1 ) 所示； x 是非随机变量，它的值是确定的； 误差项占的期望为零，即e ( 占) = 0 ； 对于所有观测值，误差项s 具有相同的方差，即e 旧2 ) = 盯2 ； 随机变量占，之间是统计独立的，即e ( e ，占，) = 0 ，f ， 误差项5 服从正态分布。 上述假设一构成了古典线性回归模型。如果我们认为每一个误差很小而 且相互独立，误差项占服从正态分布的假设，即假设就是合理的。如果误差项占 服从正态分布，则y 也服从正态分布。 如果假设假设一成立，则估计量瓯和盔是关于和的最佳( 最有效) 的线性无偏估计量，即在所有线性无偏估计中最小二乘估计量具有最小的方差。 这也就是高斯一马尔可夫定理的基本结论。 2 1 2 2 多元线性回归模型 假设被解释变量l ，是多个解释变量x l ，z ：，x k 和误差项占的线性函数，就 可以将一元线性回归模型加以推广。我们将多元线性回归模型表述为 = + 甜l x l ，+ 口2 置。+ + 吒也，+ ( 2 1 2 2 ) 表示为矩阵形式，即 y = x b + 占 ( 2 1 2 3 ) 其中 9 河南大学硕士学位论文 第2 章基础知识 y = z e ： k b = x = 口0 口l 口2 1 x l ，lx 2 ，1 1 墨2x 2 2 l i ，z 2 ， s l s 2 ： 占 则 = ( x 7 x ) 一1 x 7 y 也是无偏估计。 ( 2 1 2 4 ) ( 2 1 2 5 ) ( 2 1 2 6 ) 2 。1 3 拟合优度 回归残差( r z ) 是估计回归直线与数据之间拟合优度的一个很有用的度量， 但它的取值依赖于解释变量的单位，为了寻找一个无量纲的量来衡量拟合优度， 将残差平方和除以y 的偏差平方和是合理的。 偏差平方和= ( r - f ) 2 ( 2 1 3 1 ) f = l 我们希望将y 的偏差平方和分为两部分，一部分是能被线性回归模型解释的， 另一部分是不能被线性回归模型解释的。 z 一】，= ( z 一，：) + ( z 一】，)( 2 1 3 2 ) 上式等号左边代表样本观测值r 与j r 的均值之差，右边第一项为残差，右边第二 项为y 的拟合值与y 的均值之差。 我们将式( 2 1 3 2 ) 两边同时平方，且对f - 1 , 2 ，n 的所有观测值求和得 nnn ( f - f ) 2 = ( z 一# ) 2 + ( p f ) 2 + 2 ( r 一矿) ( p p ) ( 2 1 3 3 ) i = ii = 1i = 1i = l 用最小二乘残差的性质可知上式最后一项为零，因此 ( r 一，) 2 = ( r e ) 2 + ( 霉一，) 2 ( 2 1 3 4 ) t = li mf = l 式( 2 1 3 4 ) 等号左边代表为y 的总变差或总偏差平方和，右边第一项为j ，的剩余变 1 0 鼬跏：跏 河南大学硕士学位论文 第2 章基础知识 差或误差平方和，右边第二项为】，的可解释变差或回归平方和。简记为 t s s = e s s + r s s ( 2 1 3 5 ) 为了标准化，我们将式( 2 1 3 5 ) 两边同时除以总偏差平方和，可得 1 ：e s s - f r s s f一一一62 136 1l = ( ) 2 x ，z 潞 我们定义回归方程的拟合度尺2 为 r 2 ：1 一e s s r s s f 2 1 3 7 1 t s st s s r2 是回归方程所能解释的那部分变差占总变差的比例，r2 值介于o 1 之间。一 般情况下，我们认为r 2 的值高则回归直线拟合得较好，r2 的值低则回归直线拟合 得不好。 2 2 最优估计理论基础 所谓“估计”，简单地解释是从观测数据中提取信息。例如，多个经济因素之 间的关系常常以方程的形式来表示，需要根据观测数据来估计描述该方程的某些 参数，这一过程称为参数估计，这些被估参数都是随机变量。再举一个例子，在 经济环境中，要从带有随机干扰的观测数据中估计出描述某个经济实体发展变化 的状态变量，这一过程称为状态估计，这些被估状态变量都是随机过程。这些被 估参数或状态变量统称为被估量【2 8 】。 为了进行估计，必须确定估计准则，估计方法和估计准则是紧密相关的。所 谓“最优估计”，简单地解释是指在某一估计准则下获得被估量的最优估计值。假 设有一动态系统，己知其数学模型和有关随机向量的统计性质。估计准则给出最 优性的含义，测量数据提供估计被估量所必需的统计资料。“最优估计”的任务就 是根据选定的估计准则，从带有随机误差的观测数据中估计出某些参数或状态变 量的最优估计值1 2 7 1 。 1 9 6 0 年，美国学者卡尔曼( k a l m a nre ) 和布西( b u o yrs ) 提出最优递推滤波方 法，称为卡尔曼滤波( k a l m a nf i l t e r i n g ，k f ) 。k f 是一种在误差协方差最小准则 下的最优估计方法，适用于平稳随机过程和非平稳随机过程。并且，k f 方法可用 数字计算机来实现，因此，它己广泛应用于自动控制、工业生产、航空航天和经 河南大学硕士学位论文 第2 窜基础知识 济动态分析等学科领域。 2 2 1 预备知识 矩阵求逆引理【2 7 】 设一是任一非奇异的n n 阶矩阵，b 和c 是两个- i x m 阶矩阵 与( ，+ c 7 4 - 1 b ) 非奇异则下列矩阵恒等式成立 ( a + b c 7 ) = a 一一a _ 1 b ( i + c 7 a _ 1 b ) 一1 c 7 a - 1 正交定理1 2 7 1 线性最小方差估计的估计误差与观测值正交。 矩阵( 一+ b c 7 ) ( 2 2 1 1 ) 在本章卡尔曼滤波基本方程和本章许多方法的推导中，正交定理都要被应用， 因此在这里对其做较为详细的介绍。 。 在进行线性最小方差估计时，我们用观测值z 的线性函数+ z 作为z 的估 计值，即量= + 吼z ，其中口。和口。待定。首先假设x 和z 均为1 维，并且估计 值是无偏的，然后根据估计误差方差最小来确定和，即利用 j = e l x 一豆 2 = e l x 一( + 啊z ) 】2 _ m i n ( 2 2 1 2 ) 来确定瓯和吼。求j 对o r 。的偏导数，并令偏导数等于零，可得 当生= - 2 e ( x 一( 口。+ a l z ) 】z = 0 ( 2 2 1 3 ) a 口l 上式中的z 一( + z ) = j 为估计误差根据上式可得 e 汪j = 0 ( 2 2 1 4 ) 从上式可看出，估计误差j 与观测值z 的乘积的数学期望等于零。我们知道， 如果两个随机变量乘积的数学期望为零，则称这两个随机变量正交。所以，估计 误差量与观测值z 正交，如图2 2 所示。所谓正交定理即由此得名【2 4 1 。 如果z 和z 分别是n 维和q 维的向量，则z 的估值j 可用下式表示 耍= + a z 其中，为n 维非随机常数向量，4 为n g 非随机常数矩阵类 似的，也可证明正交定理 1 2 河南大学硕士学位论文 第2 章基础知识 肖一口。一口1 z o 口o + a l z d z 图2 2 正交定理示意图 2 2 2 离散系统卡尔曼滤波问题分类 卡尔曼滤波( k a l m a nf i l t e r ，k f ) 方法是一个在误差协方差最小准则下的最 优估计方法，它的基本思想是：首先建立描述随机动态变量随时间变化的先验模 型，然后在对随机变量进行实时观测的情况下，利用k f 方程组实时获得目标状态 基于全局信息的最优估计值1 2 5 - 2 9 1 。 假定所研究的对象是一个随机序列 坝女) ，用下面的模型来描述状态在相邻 时刻之间的动态关系 x ( 詹) = m ( 七，k 一1 ) x ( k 一1 ) + 矿( 七)( 2 2 2 1 ) 上式中，整数k 0 为离散时间变量，x ( k ) r “1 为状态变量；中( _ j ，k 一1 ) r 为 状态转移阵；矽( 摩) r “1 为系统建模误差，具有统计特性 e 矽( 尼) = o ，e 杪( 七) 7 ( _ ，) = q ( i ) 瓯，- ，o ( 2 2 2 2 ) 这里 f 1k ：， 瓯= 托七j ( 2 2 2 3 ) 为了对状态x ( k ) 进行实时估计，需要对状态的变化情况进行实时观测，其观 测模型为 z ( k ) = c ( k ) x ( k ) + 矿( | i )( 2 2 2 4 ) 其中，z ( k ) r 1 ( m 胛) 为测量值，c ( k ) r ”为测量阵，v ( k ) r 1 为测量噪 声，具有统计特性 e 矿( 尼) = o ，e g ( k ) v 7 ( _ ，) ) = r ( k ) 8 ，七，j - 0 ( 2 2 2 5 ) 并且 e w ( k ) v 7 ( 川= 0 ( 2 2 2 6 ) 河南大学硕士学位论文第2 章基础知识 我们的任务是在已知状态变量初始状态以o ) 的统计特性 e 瓤o ) ) = 蜀，e 防( o ) 一x o l x ( o ) 一x 。r = 只 ( 2 2 2 7 ) 的条件下，从观测序列z ( 0 ) ，z o ) ，z ( k ) 中得到x ( j ) 的线性最优估计卫( _ ，k ) x ( jl 尼) = e 忸( 川以1 ) ，z ( 2 ) ，z ( i ) ) ( 2 2 2 8 ) 最优线性估计需满足下列要求 ( 1 ) 估计值j 0 ik ) 是z ( 1 ) ，z ( 2 ) ，z ( 的线性函数； ( 2 ) 估计值是无偏的，即e 2 ( ji 尼) = e 扭( 脚： ( 3 ) 估计误差j ( _ ，l 七) = z ( ，) 一贾( _ ，i 七) n 方差n n d , ，即 五谚( ，ik ) 2 7 ( _ ，ik ) = m i n 。( 2 2 2 9 ) 与连续系统类似，离散系统卡尔曼滤波问题也可以分戚三类： 一 ( 1 ) j k 称为预测( 或外推) 问题； ( 2 ) j = i 称为滤波( 或估计) 问题； ( 3 ) j = c ( k ) x ( klk - 1 )0 。2 3 。8 ) 增益阵 x ( k ) = 【( 露+ l ，k ) p ( k k - 1 ) c 7 ( 定) 】9 g ( 七) 联素l k - 1 ) c 7 ( i ) + 震( 孟) 】1 ( 2 。2 。3 9 ) 若记y ( j ) = z ( k ) 一2 ( k l k 一1 ) ，则利用测漫新息，( 七) 对状态预测值 并暖+ l l 露一1 ) 进霉亍修正，从两季譬到状态竣龄基于全局售患熬最钱颚溪l 毽 x ( k + l i 七) = x ( k + t i k 一1 ) 十k ( 【z ( 露) 一z ( k 七一1 ) 】( 2 2 _ 3 1 0 ) 及攘应黪鑫诗误差协方差簿 p ( k + 1 j 七) 。m ( 1 j + l ，k ) p ( k 似一1 ) 坤7 ( 七+ 1 ，七) 一k ( k ) c ( k ) p ( k l k 1 ) 辔7 ( 奄+ l ，枣) + q ( 枣+ 1 )( 2 2 。3 1 1 ) 惫= 1 ，2 。 2 2 。4 鬻散系统卡拳受最优滤波 本节讨论离散线性系统的卡尔曼最优滤波方稷设系统状态方程和观测方程如 ( 2 2 2 1 ) 和( 2 2 2 4 ) 所示，并( o ) 、w ( k ) 、矿( a ) 的统计特性间上节。 已知戏澳4 序列z o ) ，z ( 2 ) ，z ( 站，要求找出盖( 盘) 的最优线性馈诗 x ( k1k ) = e 讧( 女) lz 0 ) ，z ( 2 ) ，z ( 觅) j ( 2 2 4 1 ) 携疲蛉估诗误差块方差阵必 p ( 后i 七) = e “x ) 一j ( 七i 后) i x ( k ) 一叠( 七i 七) 】7 ( 2 2 4 2 ) l s 河南大学硕士学位论文 第2 章基础知识 为了描述算法，假定已得到( k 一1 ) 时刻状态基于全局信息的最优估计值 2 ( k l l k 一”和相应的估计误差协方差阵p 一1 1 一1 ) ，则利用卡尔曼滤波器就可 获得k 时刻状态基于全局信息的最优估计值j ( 七lk ) 和相应的估计误差协方差阵 p ( k l 砷。 卡尔曼滤波方程组由下面式( 2 2 4 3 ) - ( 2 2 4 8 ) 给出。 状态一步预测值 x ( k lk 一1 ) = 巾( 七，七一1 ) x ( k 一1 lk - 1 )( 2 2 4 3 ) 一步预测误差协方差阵 p ( k lj | 一1 ) = 中( 七，七一1 ) p ( k - 1 1 i 一1 ) m 7 ( 七，k 一1 ) +