（水利水电工程专业论文）自由曲面造型技术在水力机械研究中的应用.pdf

摘要 自由曲面造型技术在水力机械研究中的应用 学科名称： 研究方向： 导师姓名、 乍豢姓名： 答辩日期： 垄盔奎整苎堡 垄盘垫撼楚鲞 职称： 摘要 本文针对水轮机叶片的特点，结合曲面造型搜术的研究现状，研究了水 轮辊时嚣豹n u r b s 篷笺爨嚣造螫滴题。主要工作骞： 第一，完成了叶片与任意平黼求交问题的研究，提出分割迭代拟合三 步求交算法。司时首次应蘑最夺= 乘瓠合薅部法解决7 时片数，l 、莲蠛瑟袋 问题。 第二，首次实现混流式水轮梳叶片稿面酌整体造鍪。 第三，针对水轮机叶片的特点，完成了各圆柱面时栅进口安放角的求 解算法。 最露，根据以上数学模型，建立了一套基予n u r b s 曲线曲匦造型理论 的水轮机转轮叶片的图形设计软件。 算例结果表明，上述方法不仪可精确拟台混滤式、轴流式水轮机转轮叶 片，而且还能对叶片进行求交、延展运算并控制精度，实现了n u r b s 荫斌 造型技术应用予本轮机时片设计秘工程实惩豹预期耳掾，必水轮枫时片匏 改型设计和优化设计、水轮机叶片的计算机辅助制造打下了基础。 【关键谗】时冀n u r b s掇会 延矮糖发 a b s t r a c t t h ea p p l i c a t i o no ff r e e s u r f a c em o d e l i n g t e c h n i q u e 1 n h y d r o m a c h i n er e s e a r c h s u b j e c t ：w a t e r p o w e re n g i n e e r i n g a u t h o r t u t o r ： a n s w e rd a t e a b s t r a c t t h i st h e s i sd i s c u s s e st h ep r o b l e mf r e e s u r f a c em o d e l i n gt e c h n i q u eo f t u r b i n eb l a d ea c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t yo ft h er u n n e rb l a d ea n dt h ep r e s e n t r e s e a r c ha c h i e v e m e n ti nf r e e - s u r f a c em o d e l i n gt e c h n i q u e ，t h em a j o rs t u a y c o n c e r n e da r ei n t r o d u c e db e l o w ： f i r s t l y , i ta c c o m p l i s h e dt h es t u d yo fi n t e r s e c t i o nf o rb l a d e - t o - p l a n ea n d p r e s e n tt h e m e t h o do ft h r e e s t e pa l g o r i t h m ss u c ha ss u b d i v i s i o n 、i t e r a t i v e r e f i n e m e n t 、a p p r o a c h ；m e a n w h i l ei ts o l v e dt h ep r o b l e mo fs m a l la r e ae x t e n do f b l a d eb yu s em i n i m a lm o d u l u sm e t h o d s e c o n d l y ，i tr e a l i z e dt h ew h o l es t r u c t u r eo f f r a n c i st u r b i n eb l a d es u r f a c e t h i r d l y , i ta c c o m p l i s h e dt h ec o m p u t a t i o no f b l a d e i n c i d e n c e t h ec o n s e q u e n c eo fc o m p u t a t i o ni n d i c a t e da b o v em e t h o dn o to n l yc a n a p p r o a c ht u r b i n eb l a d es u r f a c ea c c u r a t e l yb u ta l s oc a r lb ep r o v i d e df o re x t e n d a n di n t e r s e c t i o nw h i l et h ep r e c i s i o nc a nb ec o n t r o l l e d i tr e a l i z e da n t i c i p a t e d g o a l so ft h ea p p l i c a t i o no ft u r b i n eb l a d ea n de n g i n e e r i n ge x e r c i s e s t h u s ，i t p r o v i d et h ef o u n d a t i o nt ot h er e c o n s t r u c ta n do p t i m i z ed e s i g no f t u r b i n e b l a d ea s w e l la st h ec a mo ft u r b i n eb l a d e k e y w o r d s t u r b i n eb l a d e n u r b s a p p r o a c h e x t e n d p r e c i s i o n 第一章绪论 第一章绪论 1 1本文的研究意义和i i 标 1 1 1 研究意义 众所周知，水轮机转轮是实现流体机械能与固体机械能相互转换的 水力机械。水轮机转轮性能的优劣对合理开发利用水能、保证电网可靠 性方面有着巨大影响。目前，提高水轮机转轮性能的途径主要有以下几 个方面： ( 1 ) 优化水力设计：优化设计施工程设计的发展方向，目前水力机 械的设计已经发展到全三维设计阶段【1 7 】o s 1 1 9 1 ，已经能够更好的模拟流动 的空间特性，得到的设计转轮的效率相应的有了明显提高，已经能够达 到9 5 以上。但是通过优化水力设计来提高水轮机转轮性能可谓是百尺 竿头进一步之举，在现有的条件下实现这一目标的难度很大，更不是可 以一蹴而就的。 ( 2 ) 提高制造质量：提高制造质量的关键是叶片的加工制造，主要 目标是严格依据设计数据加工，检验结果符合设计要求，也就是提高加 工精度和测量精度。目前，工程上大多采用木模图来表达水轮机转轮叶 片、控制叶片的加工精度和测量精度。经过长期的应用和发展这种空间 扭曲叶片的木模图能够较好的满足传统的工艺制作及放样，然而在计算 机辅助设计和制造技术广泛应用的今天，木模图的不足凸现出来。首先 木模图直接面对加工制造，无法应用于研究分析整个叶片的几何特点和 力学特性；再者无法直接把木模图引入计算机辅助设计和制造系统，这 大大影响叶片的设计和制造质量。随着科学技术的飞速发展，这种采用 木模图来表达水轮机转轮叶片的方法已经逐渐不能满足当今市场竞争的 需要。解决之道可以通过改进加工工艺、使用高精度数控设备进行加工， 光学无接触测量完成测量。由此可见在提高制造质量方面有很大的空间。 西安理工大学硕士学位论文 由上述可见，水轮机转轮叶片是水轮机的关键部件，它直接影响水 轮机的工作性能，而叶片型面质量高低影响着叶片的工作质量，进而影 响到水轮机的效率。长期的研究表明正确设计过流部件的流线形状和提 高叶片型面质量，可以提高水轮机的水力效率。而提高水轮机的水力效 率不论从经济效益、社会效益任何一方面都具有十分可观的价值，因此 研究水轮机转轮叶片型面的表达具有十分现实的意义。 1 1 2 研究目标 长期以来，国内的科技工作者在水轮机叶片曲面造型研究过程中， 先后采用的方法主要有c o o n s 曲面、b e z i e r 曲面、b 样条曲面的造型设 计方法。这些方法都取得了一定的成果，但是同样有一定的局限性，例 如c o o n s 曲面需要已知四条边界益线，这对与大部分混流式水轮机叶片 是无法满足的。最近，n u r b s 曲线曲面拟合技术被引入水轮机叶片曲面 造型研究，由于n u r b s 不仅具有良好的凸包性、局部性和适应性等优点， 同时还可以表示相当复杂的曲线曲面形状，因此是最被看好的一种拟合 方法。然而由于目前对于这种方法的研究还不够深入，未能达到工程实 用的程度，所以在本文中力图做好以下两个方面的工作： 1 利用转轮水力设计中得到的有限型值点，拟合出转轮的叶片型面和 流道型面，为进一步反带入流场中计算转轮叶片、流道的水力性能，预 估转轮性能提供有力支持。 2 利用曲线曲面造型技术，为转轮叶片等不规则曲线曲面的加工、测 量提供支持。 1 2c a g d 概况 1 2 1c a g d 的起源 c a g d 即通常所讲的计算机辅助几何设计。这一术语首次出现在 1 9 7 4 年美国u a t h 大学召开一次国际会议上，当时是由巴恩希尔( b a r n h i l l ) 与里森菲尔德( r i e s e n f e l d ) i l l 2 在提出的，用以描述计算机辅助设计， 第一章绪论 因为其更多的描述数学方面，因此加上“g e o m e r t r i c ”，即“几何”加以 修饰。最终大会正式将利用计算机进行产品外形设计技术列为一个独立 的研究领域，并命名为c a g d ( c o m p u t e ra i d e dg e o m e r t d cd e s i g n ) 即计 算机辅助几何设计。他包括曲面造型、柔性加工、神经网络模式识别等 主要内容，涉及微分几何、数值逼近、机械加工、人工智能和图像编码 等学科，是随着现代计算机技术的进步而产生和发展的。 其中曲面造型技术是计算机辅助几何设计和计算机图形学中最为活 跃、同时也是最为关键的学科之。它随着c a d c a m 技术的发展而不 断完善、渐趋成熟，如今广泛应用于航空、汽车、地质测量、军事等诸 多领域，而且随着计算机技术的进一步发展必将发挥更大的作用。 1 2 2c a g d 的核心问题 众所周知，工业产品的形状大致上可分为两类：一类是仅由初等解析 曲面( 例如平面、圆柱面、双曲面、球面等) 组成：第二类是不能由初等解析 曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成， 例如飞机、汽车、船舶、叶轮的外形零件。显然，后一类形状单纯用画法 几何与机械制图是不能表达清楚的。 自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，这为加 工制造具有此类外型表面的工业产品带来了很多困难。为了解决这个问题， 人们直在寻求用数学方法唯一地定义自由型曲线曲面的形状，将形状信 息从模拟量改变为数值量。后来，随着计算机的出现，采用数学方法定义 自由型曲线曲面才达到实际应用的地步。这种方法依据定义形状的几何信 息，应用c a g d 技术建立相应的曲线曲面方程即数学模型，并通过在计算 机上执行计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量的点及其他信息。其间， 通过分析与综合就可了解所定义形状具有的局部和整体的几何特征。形状 的几何定义为所有的后置处理( 如数控加工、物理性质计算、有限元分析等) 提供了必要的先决条件。 目前在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心的问题是计算机 西安理工大学硕士学位论文 表示，即要找到既适合计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要求， 又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。 1 2 3c a g d 的发展 c a g d 的发展先后经历了f e r g u s o n 曲面曲线、c o o n s 曲面曲线、b e z i e r 曲面曲线、b 样条四个主要阶段。 1 9 6 3 年，美国波音飞机公司f e r g u s o n 提出了将曲线曲面表示为参数 的失函数法，其主要思想是通过曲线首、末两点的点矢和切矢定义曲线 段，推广至曲面为通过四个角点及其偏导矢定义曲面片。虽然f e r g u s o n 曲面曲线方法没有解决型值点分布不均匀导致的曲线波动问题，同时他 的局部性不强，但他首次把参数曲线应用于曲面造型技术，把参数化概 念引入曲面造型技术，为曲面造型技术进一步的发展奠定了基础，从这 一点来说，f e r g u s o n 曲面曲线造型方法可以称得上是c a g d 发展历史上 的一个重要里程碑。 f e r g u s o n 之后，美国麻省理工学院( m i t ) 的孔斯提出了一个具有一 般性的盐面描述方法，其基本内容为根据事先给定的围成封闭曲面的四 条边界定义一块曲面片，通常称之为孔斯曲面。孔斯曲面采用分片一拼 接技术完成了整体曲面的造型，但同样存在局部性不好的不足，同时因 为其造型所需要的信息比较多造成计算机算法实现的困难因此没用得到 广泛应用。 1 9 7 1 年，法国r e n a u l t 汽车公司的贝齐埃提出了一种由控制多边形 定义曲线的方法，即b e z i e r 曲线曲面方法。b e z i e r 方法简单易用，只要 移动控制顶点就可以方便的修改曲线的形状，这就成功地解决了整体形 状的变化控制问题。b e z i e r 方法是曲面造型技术的另一个里程碑，b e z i e r 曲线曲面具有良好的对称性、凸包性和几何不变性，但不具备局部性， 即一点的变动将影响整个曲线或曲面的形状。 为了解决b e z i e r 曲线曲面局部性不好的不足，随着应用数学和 c a d c a m 技术的发展，尤其是在s c h o e n b e r g 、m a n s f i e l d 、d e ，b o o r 及c o x 4 第一章绪论 奠定和完善了b 样条的基础理论之后，w g o r d o n 和r i e s e n f e l d 于7 0 年 代中期，将样条理论引入曲线曲面设计系统。由于b 样条基函数具有计 算稳定、快速的特点，同时b 样条曲线曲面除了具有b e z i e r 方法几大优 点外还具有局部可改性强，因而具有较强的几何造型能力，并为人们广 泛接受。 以上几种方法尤其是b 样条方法比较成功的解决了自由曲线曲面形 状的描述问题，然而将其应用到圆锥截线和初等解析曲面时，却并不是 很成功，而且他们都只给出了精度不高的近似表示，因此不能很好的适 应大多数工业产品的要求。代数几何里的隐方程形式可以满足这一要求。 在参数范表示围内，1 9 6 8 年福恩斯特首先给出了圆锥截线的有理b e z i e r 表达式，1 9 7 4 年波尔在他的c o n s u r f 系统中提出的有理方法在英国飞 机公司得到普遍的使用。然而，欲在几何设计系统中引入这些与前述自 由曲线曲面描述方法不相容的方法，将会使得系统变得十分庞杂，工业 界感到十分不满意的是系统中需要并存两种模型，这违背了产品几何定 义唯一性原则。正因为如此，在过去有理曲线曲面从未像非有理曲线曲 面那样得到广泛接受。人们希望找到一种统一的数学方法。 1 9 7 5 年，美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l 在其博士论文中提出了有理 b 样条方法。8 0 年代后期，美国的p i e g l 和t i l l e r 将有理b 样条方法发展 成为非均匀有理b 样条方法，即通常所说的n u r b s ( n o n u n i f o r mr a t i o n a l b s p l i n e ) 方法。随后，n u r b s 快速流行，非有理与有理b e z i e r 和非有理 b 样条曲线曲面都被统一到n u r b s 标准形式之中，因而可采用统一的数 据库。正因为其具有空前的优越性，继美国的p d e s 标准之后，国际标 准组织( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的s t e p 的国际标 准，把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法【4 】。 1 2 4c a g d 技术在水力机械研究中的应用 水轮机转轮叶片是一种复杂的空间扭曲面，c a g d 技术的发展使利 用计算机对这种复杂曲面进行几何外形设计成为可能。在进行计算机几 西安理工大学硕士学位论文 何外形设计时，首先要利用已知条件建立叶片几何外形的数学模型，然 后通过算法在计算机上的实现对产品外形进行描述、修改和控制。建立 水轮机转轮叶片数学模型的关键是确定描述外形的数学方法【5 】【6 】。 在探索描述外形的数学方法方面，国内八、九十年代，相继有人用 f o r t r a n 、c 语言开发了水轮机设计方面的绘图软件，包括水轮机转轮 叶片、蜗壳、尾水管的二维图形绘制。如东方电机厂的谭恢树、柳兴勇【7 】 做的叶片有限元网格的自动生成，李政人1 8 】设计的参数化方法对水轮机叶 片的二维图形处理；四川宜宾张蓉生f 9 】的二维转轮叶片数学拟合等等。但 这些软件不能给用户一个直观的认识，在显示叶片时，只能给出特定条 件下的叶片形状，且不能使用户得到叶片的任意截面、剖面形状，显示 的叶片图形效果欠佳，精度不高。 随后，1 9 9 0 年谭恢树提出了b 样条空间曲线拟合方法；哈尔滨大电 机研究所陶星明l lo 】提出用b e z i e r b 样条曲面拟合；1 9 9 7 年哈尔滨电机有 限责任公司杨金华【利用b 样条完成了对叶片曲面造型。虽然这些方法 在提高精度方面取得了一定成果，但随着深入的研究，人们发现b 样条 曲面拟合生成的叶片只能保证叶片的自由型曲面形状性质p i ，对构成叶片 的二次曲面却无能为力【3j ，通常只能给出二次曲面的近似表示，这势必带 来了近似误差，使问题更加复杂化，更为重要的一点是他的工作在引进 的软件基础上开发，这意味着实现拟合叶片必须有一个特定的运行环境 即他们引进的软件，这一点无疑限制了此方法的推广应用。 目前，随着n u r b s 曲面曲线技术已被引入许多工程应用当中，并取得 了良好的效果，n u r b s 曲线曲面拟合技术被引入水力机械研究中。由于 n u r b s 曲线曲面具有强大的曲面造型功能，如果把它引入数控加工系统 必将大大改进目前传统的加工工艺，提高劳动生产率；如果把它引入水 力机械的水力设计中必将为转轮叶片的设计质量提供强有力支持。这给 水力机械几何造型设计带来了曙光，但同时带来了严峻的问题。n u r b s 曲线曲面拟合技术经过二十多年的发展已经基本成熟，但如何把他引入相 6 第一章绪论 应的工程领域一直是一个难题，现在人们的共识是n u r b s 曲线曲面拟合技 术难点不在理论，而是应用技术。然而，掌握主要应用技术的软件公司， 为了保证自己产品的先进性和出于市场竞争的考虑，他们不愿以更不可 能将自己的研究成果尤其是最新的、最关键的技术公诸于众。由此造成 的局面是目前公开发表的文献中，很少有详细介绍有关n u r b s 曲线曲面 应用技术的，大多是应用成果展示。正如n u r b s 曲线曲面技术大师p i g e l 说的那样，“关于n u r b s 的出版物与基础研究落后到了开发工作后面”。 尤其是在我国，八十年代后许多大企业花费巨资从国外引进一些商品化 的c a d c a m 软件系统，这些软件系统一般都面向通用产品零件，对转 轮叶片等行业特殊部件的造型技术并未很好解决，即使部分涉及还是无 法达到令人满意的结果，最重要的一点是这些软件大都是封闭的运行模 块，对硬件运行环境的要求相当苛刻，使用者只能看到系统实现了何功 能，永远无法知道它是如何实现的。更谈不上根据实际应用情况进行修 改和开发，推广移植也十分困难。 在此情况下，国内c a d c a m 软件行业要发展、开发出有特色、有 市场的具有自主版权的c a d c a m 软件，单靠等待被人公布的研究成果 是肯定不行的，必须自觉的深入研究有关问题，能够提出一套完整的 n u r b s 应用技术方法。 事实上，国内部分高校，如北京航空航天大学、浙江大学、清华大 学、西北工业大学、西安理工大学等分别对这一领域的许多问题展开了 一定程度的研究，取得了一定的研究成果【1 2 】1 1 3 】1 1 4 】i l s 1 1 6 1 。他们的成果各 有侧重，有的侧重于n u r b s 曲线曲面的数学表达，有的在几何方面取得 一定成果，从事此项研究的工作结构也比较复杂，有从事纯数学研究的 也有从事计算机研究的，但力量都比较分散，到目前为止，无论在深度 还是在广度上，国内的研究都还不具备以之为基础开发一套完整的 c a d c a m 软件系统的能力。同时有许多问题或是没有人投身研究或是 研究的不够深入，取得的结果不尽理想，不能达到应用的程度。尤其是 7 西安理工大学硕士学位论文 在一些比较专的行业鲜见有把n u r b s 曲线曲面技术引入工程应用的。目 前从公开发表的论文和调研结果来看，在水利机械研究领域仅有哈尔滨 电机厂、四川1 东方电机厂和西安理工大学等为数不多的几家单位有人从 事过这方面的研究工作，而哈尔滨电机厂和四川东方电机厂是从国外引 进软件然后实现了软件的功能，真正从事过n u r b s 曲线曲面技术基础研 究并引入水力机械工程实际的，仅有西安理工大学的杨楠渝1 3 】硕士在她攻 读硕士研究生时作过并取得了探索性的成果，比如说建立了部分n u r b s 算法，对拼接、求交问题也进行了一定研究，但由于是第一次把n u r b s 技术引入水利机械研究领域并进行基础研究，故在有限的时间内未能达 到客观上也不可能达到工程实用的程度，同时n u r b s 曲面曲线技术仍在 发展之中，一些问题如生成曲面时如何延拓n u r b s 曲面曲线、如何决定 合适的参数与权因子等许多问题有待进一步研究解决。从这一点来说， 在这一领域的研究前人迎着巨大困难给后人开了一个头，目前研究者还 需做大量的更为深入同时肯定也是更为艰苦的工作。 因此本文在学习、研究、消化国内外过去的和最新的相关资料和国 内的有关博士、硕士论文的基础之上，以n u r b s 曲线曲面的一些关键算 法为内容来开展论文研究工作的。 1 3本文主要工作内容 综上所述，为了实现水力机械的三维实时设计，并对工程、工业产品 的设计等提供有效的参考依据，本课题研究的主要目标为以下几个方面： 1 完成，完善n u r b s 基本算法库，使其稳定性和效率进一步提高； 2 n u r b s 曲线拟合造型方法的研究；改进分割拟合拼接造型法，完 成叶片整体造型算法。 3 n u r b s 曲面求交方法、延展方法的研究；完成n u r b s 曲面与平 面的求交算法，完成n u r b s 曲面小区域延展算法。其中小区域延展算法 是一个难点，渴望得到探索性的成果。 第一章绪论 4 利用n u r b s 曲面求转轮叶片进水边任意点的进口安放角。 由叶片剖面型线内切圆圆心连线构成的曲线称为骨线。叶片进口安 放角尼是指在进口叶片骨线与该圆周切线的夹角。水流相对速度与圆周 切线的夹角称为水流进口角，以属表示。当转轮进口水流相对速度彤与 叶片剖面中线在进口出的切线方向一致时，成为无撞击进口。此时，水 流角等于叶片安放角，即卢。= 崩，水流对叶片不发生撞击和脱流，其绕 流是平滑的，水力损失小。相反，当转轮进口水流相对速度彬与叶片剖 面中线在进口出的切线方向不一致时，则形成所谓冲角口，口= 屈。 这样就会产生脱流和旋涡区，从而产生撞击损失。有上可见，转轮的声。 是一个十分重要的性能参数，求出尻。对于评价转轮设计的性能，计算转 轮的水力损失具有十分重要的意义。在本文中将寻求一种简便、准确的 方法来计算拟合出的转轮叶片进水边任意点的进口安放角。 5 所有算法、程序将在w i n d o w s 平台下开发。 目前存在的在d o s 系统下开发的程序在数据量较多的情况下，在微 型计算机上运行往往会出现由于计算机内存不够、堆栈空间溢出以至最 后求不出交线，这就对计算机硬件提出了较高的要求，不便于在微型计 算机和数控机床控制机上实现程序功能；同时原有的程序其运行界面交 互性不强，对运行人员提出了一定的要求，要求运行人员对d o s 系统有 较好的掌握，这无疑在w i n d 0 w s 风行的今日有点不合时宜，进而影响 了本技术的推广使用。基于上述两点原因，本文的工作将致力于在 w i n d o w s 平台下开发出程序简练、操作性能良好、交互性强的n u r b s 曲面造型软件。 9 第二章曲线和曲面的基缸理论 第二章曲线和曲面的基本理论1 1 】1 2 0 l 【2 1 1 2 1曲线与曲面的参数表示 在空间解析几何里，常采用参数表示空间曲线，即把空间曲线上一点p 的3 个坐标都写成某个参数“的标量函数 x = x ( “) ，y = y ( “) ，= = z ( u ) 在微分几何里，将其合写在一起，列矢量转置成行矢量，左端就是该 点的位置矢量p = 【x ，y ，z 】，右端p ( u ) = x ( u ) ，y ( u ) ，z ( u ) 】表示它是参数u 的矢函 数。于是，就有微分几何里表示曲线的一般的矢函数形式 p = p ( u )( 2 1 1 ) 上式方程右端的p ( u ) 指3 个标量函数x ( u ) 、y ( u ) 、z ( u ) 合写在一起构成 的矢函数。这种矢量表示等价于笛卡儿分量表示： p ( “) = x ( u ) i + y ( u ) j + z ( u ) k 其中，i 、j 、k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴正向的3 个单位矢量，它与前面的 参数表示也是等价的。在此把它写成如式( 2 1 1 ) 的形式是因为在微分几何 里，若要在理论上分析研究与坐标系选取无关的曲线的微分性质，在那里 不必考虑曲线用怎样的矢函数表示，不必考虑组成矢函数的3 个坐标函数 是怎样的标量函数，即分析研究完全是抽象地进行的，就必须将组成曲线 上的点的3 个坐标作为一个整体即矢量看待。这里再次强调所要考察的正 是这个整体而不是组成整体的各个分量或坐标函数，以及曲线上点之间的 位置关系而不是它们与所取坐标系之间的相对位置关系。如果采用参数表 示，要在理论上分析研究与坐标系选取无关的曲线的微分性质将是无法做 到的。因为在参数表示中，3 个坐标函数都与坐标系选取有关。若非要用参 数表示来进行，不仅使问题人为地复杂化，而且难以排除坐标系这个掩盖 问题本质的因素。 在c a g d 里，曲线大都采用如下称为基表示的一种特殊的矢函数形式： 1 0 西安理工大学硕士学位论文 p ( 廿) = 口，见( “) ( 2 - 1 2 ) j i o 其中，识( f ) ( i = 0 ，l ，n ) 称为基函数，它决定了曲线的整体性质；a ，( i = 0 ， l ，1 1 ) 称为系数矢量。当基函数确定后，就决定了系数矢量究竟是表示 位置矢量的绝对矢量还是相对矢量，也就决定了所表示曲线的形状。在 c a g d 里，人们总希望找到具有符合形状数学描述要求的整体性质的一类 曲线，最后发现只有采用基表示形式，寻找具体的合适的基函数时才有可 能做到这一点，采用解析几何里的参数表示或微分几何里的一般矢函数表 示都是做不到的。c a g d 最终还是要解决计算问题，因此在用具体的矢函 数给出一条曲线的方程或者给定一组基函数来定义一类曲线要求编制通用 的计算程序时，类似在微分几何里那样，都必须依次在各个坐标函数上进 行，最后将结果合在一起。 把曲线推广至曲面，则曲面可以表示成双参数u 和v 的矢函数 p ；p 也v )( 2 1 3 ) 相应地，在c a g d 里，曲面大都采用基表示的一种特殊矢函数形式 p ( u ，v ) = 口口识( “) 矿，( v ) ( 2 1 4 ) ，卸j - 0 其中，吼( “) ( i = 0 ，l ，m ) 为以u 为变量的一组基函数，p ，( 0 = 0 ， l ，曲为以v 为变量的一组基函数。两者都是用于定义曲线的。各取 其一组成的乘积，就得到用于定义曲面的以i i 与v 为双变量的一组基函 数纯( “) 吵，( v ) ( i = 0 ，1 ，m ：0 ，1 ，n ) 。口。为系数矢量。 相对于显函数、隐方程等非参数表示或非参数形式而言，式( 2 1 1 ) 式 陀1 4 ) 与解析几何里的参数表示都统称为参数表示或参数形式，相应的曲线 曲面都称为参数曲线曲面。只是在微分几何里，总是特指式( 2 1 1 ) 与式 ( 2 1 3 ) ，在c a g d 里则是特指式( 2 1 2 ) 与式( 2 1 3 ) 。 与非参数表示相比，曲线曲面采用基表示的特殊参数矢函数形式就具 有如下一系列优点，因而能较好地满足形状数学描述的要求： 第二章曲线和曲面的基本理论 1 总是能够选取那些具有几何不变性的曲线曲面基表示形式，且能通 过某种变换处理使那些不具有几何不变性的形式变换成具有几何不变性的 形式，从而满足几何不变性要求。 2 易于规定曲线曲面的范围。 3 易于表示空间曲线。 4 仿射变换( 一个一般的仿射变换由一个比例、旋转或剪切等线性变换 加上一个平移变换) 和投影变换容易执行。 5 易于计算曲线、曲面上的点及其他信息。采用隐方程表示时，计算 曲线或曲面上一点需要求解一个非线性方程组，远不及采用参数方程方便。 此外，求导、等距计算等也能较容易地进行。 上述诸优点中，几何不变性是居主导位置的，这正是它成为形状数学 描述的标准形式的主要原因。 2 2曲线与曲面的的几何不变性 曲线曲面的几何不变性是指它们的数学表示及其所表达的形状不依赖 于坐标系的选择或者说在旋转与平移变换下不变的性质。 假定坐标系固定，曲线、曲面相对于坐标系先旋转后平移，旋转矩阵 和平移矢量分别为m 与c 。又设经旋转与平移后，曲线、曲面上点的位置矢 量为p 。对于规范基表示则有 p + = 彬+ c = ( q 纪) m + c = ( q m ) 纪+ c 纪= ( a ，m + 咖 i f 0i = oi = 0 于是； ” p + = 口，+ 仍 ，# 0 其中，口j = a , m + c 。可见，对于规范基表示，欲获得经旋转平移变换后的 西安理工大学硕士学位- 论文 曲线、曲面表示，仅需将原表示中的系数矢量( 都是绝对矢量) 作相同的旋 转平移变换即可。这就证明了规范基表示具有几何不变性。 对于部分规范基表示，可先将其改写为 hi” p = q 舛= q 识+ e q 妒 ，m，= mj t + l 女 其中，仍- - - 1 ；，q ，吼为绝对矢量；q 。吼。，吼为相对矢量。作 ，卸 旋转平移变换就有 于是 t月 p = ( d 蛾+ 口仍) 村+ c j 神i k + l k ( q m + c ) 识+ ( q ) p ，z oi = k + l p = q 妒 其中，：= 口m + e ( i = 1 , 2 ，t ) 为原表示中的绝对矢量经旋转平移交换后 的绝对矢量，口；= q 肘( f = 七十1 , k + 2 ，n ) 为原表示中的相对矢量经交换后 的相对矢量。这里对相对矢量的变换只进行旋转变换，不进行平移变换。 这与把相对矢量看做自由矢量可在空间任意平移是一致的。这就证明了部 分规范基表示也具有几何不变性，只是对其中相对矢量只作旋转变换不作 平移变换，对其中绝对矢量的变换与规范基表示完全相同。 对于非规范基表示，因不能判定其中的系数矢量为绝对矢量还是相对 矢量，对它们的旋转平移变换无法执行。因此，非规范基表示不具有几何 不变性。 曲线、曲面的几何不变性有其理论和实际应用价值。首先，它是形状 描述的基本要求。应用几何不变性就可视需要与方便任意选取合适的坐标 系从而保证获得不变的形状。这样，在实物测量造型中，在不同的测量坐 第二章曲线和曲面的基本理论 标系中测量得的同一组数据点，采用相同的具有几何不变性的数学方法处 理，就可以得到同样的形状，另外，对于组合几何体( 例如转轮) 而言，有 其总体坐标系。而其中某一特定部件或部位形状( 如翼型曲线) 有其方便的 局部坐标系。应用几何不变性就可将在局部坐标系里的曲线、曲面表示经 过适当的变换而得到在总体坐标系里的表示。其次，应用几何不变性，可 将位于坐标系里规范位置的形状方便地变换到空间任意位置。其次，可应 用于曲线曲面的几何特征分析。最后，在生成任意方向的投影视图与轴测 图时，不必计算并变换所有需绘制或显示的点，而仅需变换基表示中那些 系数矢量，再计算需绘制或显示的点，这就节省了大量的变换计算，提高 了图形的生成速度。 曲线曲面的几何不变性即在旋转平移变换下的不变性。其中的变换仅 是仿射变换中保持形状不变的一种刚性变换。在计算机图形学中还常用到 仿射变换中的其他变换，如比例与剪切变换。这时形状就发生了变化，那 是生成图形所需要的。规范基表示的曲线曲面不仅具有几何不变性，而且 具有在仿射变换下不变的性质。4 。这表明，欲获得经仿射变换后形状( 可 能发生了改变) 的表示，只需对原表示中的系数矢量执行同样的变换即可。 2 3 参数化与参数变换 给定了一个具体的参数曲线方程，称之为给定了一个曲线参数化。它 既决定了所表示曲线的形状，也决定该曲线上的点与参数域内的点之间的 一种对应关系。 设给定一正则曲线p = p ( “) ，其中“陋。，“1 。若令”= “( f ) 满足 掣o ，且r 。 j ，“，】则 “i p = p ( “( f ) ) ，r f o ，f i 曲线从表示为参数u 的矢函数变成参数r 的矢函数，称为重新参数化。 这里“= u ( t 1 是对曲线进行的参数变换。 西安理工大学硕士学位论文 将曲线对新参数f 求导，则 鱼：鱼塑 西幽出 因在原参数u 下，曲线是正则的，即有拿0 ，故车o 保证变换后的曲 a ua f 线也是正则的。如果宰 0 ，曲线取向不变；如果睾 3 ) 3 y = 巴x j = o 使得总误差 n3 2 q = ( 只一巳掣) f - 】 j = 0 为最小。 由于q 可以看作关于a 。( j = o ，1 ，2 ，3 ) 的多元函数，故上述拟合多项式的 构造问题可以归结为多元函数的极值问题。令 即由 ( 咒一a j x 舛= 0 j = 0，= 0 a o n + a 1 + t + q # + + 呜# = 只 + 吗= x i y , 嘞霹+ q # “+ + n ，# ”= # y 这是关于系数a 。的线性方程组，而且是一个正则方程组，可以证明 32o虹0 | i 堡鲰 到得 西安理工大学硕士学位论文 此方程组解唯一。由此实际上的到了端部拟合曲线的多项式表示，进一步 可以对其进行延长运算，得到新的端点数据。 设原有型值点集为p 。( i = o ，l 。n ) ，新的端点为q ，则由p 。和q 构成新 的型值点集p 。( i = o ，l ，m ) ，其中m = n + l 。由此m 个型值点重新拟合得到延长 后的曲线。 对于曲面假设进行u 方向延展，先采用曲线延长得到已知的n 条u 向 延长后的曲线和n 个新的端点，记这n 个新的端点为q 。，可以由q n 拟合一 条n u r b s 曲线，为v 方向增加了一条控制曲线，实际上这条曲线就是新的 边界曲线，原曲面u n xv i i l 延展成为u n x v ( m + 1 ) ，即为延展结果。 4 3安放角求值问题 4 3 1 安放角求值问题的提出 叶片进口安放角声。是指在进口叶片骨线与该圆周切线的夹角，他是 水轮机的一个十分重要的性能参数，他与水流进口角届( 即水流相对速 度与圆周切线的夹角) 之间的关系是设计者十分关心的问题，在进行转 轮内的流场分析和计算水力损失时都必须在这一参数已知的条件下进 行。由此可见，安放角求值问题具有很强的必要性。在本文中将寻求一种 简便、准确的方法来计算拟合出的转轮叶片进水边任意点的进口安放角。 4 3 2 安放角求值问题的解决 对于轴流式水轮机如下图4 3 1 所示 第四章应用问题的提出和解决 ! 星c 1 图4 3 1 叶片进水边安放角图 设进水边上一点p i ( x ；，y ；，z i ) 距离水轮机轴线为r i ( r r 。r 壮) ， 要求这一点的进口安放角必须首先得到这一点所在圆柱谣的叶栅骨线方 程，再通过骨线方程得到骨线头部切矢只，最后利用牟和圆柱面上点p i 的 周向切矢进行点积运算得到f 和珥之间的夹角，这一夹角即为点p ；迸i ；3 安放角屁。 其中，圆柱面的叶栅骨线方程由拟合结果与圆柱面方程x 2 + y 畋求交 得到，头部切矢只1 利用曲线求导算法对叶栅骨线方程求导得到，周向切矢 为( 一y t ，x t ，o ) 。 对于混流式水轮机由于其流线延圆周扫掠而成是一个喇叭面，因此不 能由骨线方程不能由拟合结果与圆柱面方程x 2 + r = 群；求交得到，而是应该 由喇叭面与拟合结果求交得到。喇叭面是一个自由曲面，而拟合结果即叶 片叶是一个自由曲面，由于本文的求角算法未能完成自由曲面与自由蓝面 的求交，因此最终没能完成混流式水轮机进水边各点进口安放角的求值。 第五章算倒及分祈 s 1 1 求交运算 第五章算例及分析 5 - 1 程序框图 西安理工大学硕士学位论文 5 1 2 延长运算 开始1 赋初值包括延长边界方程 延长曲线端部最小二乘法拟合 i l 拟合多项式与延长边界方程联立求解 _ 记录交点 拟合延长后的边界 等参数线与新边界求交 生成新等参数线 l 拟合曲面 结束 l 第五章算例及分析 西安理工大学硕士学位论文 5 2算法验证 5 2 1 拟合算法： 拟合算法中赋初值包括型值点总数n 和各型值点参数值p ( x i ，y 1 ，z i ) ，同 时设置精度控制常量，精度控制常量包括拟合方程的阶数k 和插入节点数 m ，以下给出不同k 、m 条件下拟合结果的比较： 以函数y = 1 0 + 2 o x + 3 o x ：+ 4 o x 3 为例： 给出原始型值点如下： k = - 3 x1 o1 21 41 72 1 y1 01 4 6 3 22 0 6 5 63 2 7 2 25 5 4 7 4 y 最优值的 x 理论值 m = 1 0m = 1 0 0m = 1 0 0 0相对误差 1 11 2 1 8 3 8 1 2 1 5 5 8 3 81 2 1 5 4 0 1 5 1 2 1 5 4 0 0 0 0 0 0 1 2 1 3 1 7 5 0 0 81 7 4 6 0 6 4 01 7 4 5 8 0 2 0 1 7 4 5 80 0 0 0 0 0 1 2 1 52 4 3 0 9 6 32 4 2 5 3 8 4 42 4 2 5 0 2 0 62 4 2 50 0 0 0 0 0 8 5 1 62 8 3 3 3 52 8 2 6 8 4 8 02 8 2 6 4 2 4 02 8 2 6 40 0 0 0 0 0 8 5 1 83 7 7 4 1 6 63 7 6 5 5 0 5 53 7 6 4 9 4 0 83 7 6 4 8o 0 0 0 0 0 3 7 4 1 94 3 1 7 3 3 l4 3 0 7 4 2 3 44 3 0 6 7 7 7 44 3 0 6 60 0 0 0 0 0 4 1 2 2 o 4 9 1 2 1 94 9 0 0 9 18 24 9 0 0 18 3 2 4 9 o o0 0 0 0 0 0 3 7 4 k = 4 ： x y最优值的 理论值 m = 1 0 m = 1 0 0m = l o o o相对误差 1 11 2 1 8 3 7 91 2 1 5 5 8 3 61 2 1 5 4 0 1 3 31 2 1 5 40 0 0 0 0 0 11 1 31 7 5 0 0 8 1 7 4 6 0 6 3 71 7 4 5 8 0 1 9 21 7 4 5 80 0 0 0 0 0 11 1 5 2 4 3 0 9 6 12 4 2 5 3 8 2 12 4 2 5 0 1 8 4 3 2 4 2 5 0 0 0 0 0 0 7 6 1 62 8 3 3 3 4 72 8 2 6 8 4 5 42 8 2 6 4 2 2 1 4 8l2 8 2 “0 0 0 0 0 0 7 6 第五章算例及分析 1 83 7 7 4 1 2 13 7 6 5 4 6 0 73 7 6 4 8 9 6 0 0 23 7 6 4 80 o 0 0 0 0 2 5 5 1 94 3 1 7 3 0 94 3 0 7 4 0 1 54 3 0 6 7 5 5 4 6 84 3 0 6 6o 0 0 0 0 0 3 6 1 2 04 9 1 2 1 3 2 4 9 0 0 8 6 0 04 9 0 0 1 2 4 9 54 9 o o0 0 0 0 0 0 2 5 5 m = 1 0 0 ： y 最优值的 x 理论值 k = 3k = 4 k = 5相对误差 1 11 2 1 5 5 8 3 81 2 1 5 5 8 3 61 2 1 5 5 8 3 21 2 1 5 40 0 0 2 4 5l 1 31 7 4 6 0 6 4 017 4 6 0 6 3 71 7 4 6 0 6 3 21 7 4 5 80 0 0 2 4 5l 1 52 4 - 2 5 3 8 4 42 4 2 5 3 8 2 12 4 2 5 3 7 6 12 4 2 50 0 0 2 4 5 5 1 62 8 2 6 8 4 8 02