（基础数学专业论文）一类非线性抛物方程解的长时间渐进行为.pdf

西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学 位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。 学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保 证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：垒l 蔓：指导教师签名： s 7 年6 月争日 6 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 日 争 一 月五年 獬， 著阼文沦位学 西北大学硕士学位论文 捅要 对解的长时问渐进行为的分析是偏微分方程中非常重要的内容，本文主 要采用非线性抛物方程的极值原理，正则性估计和软化子估计的方法来研究 一类非线性抛物方程解的长时问渐进行为根据系数函数的选取不同，本文 证明了这类方程的解或者收敛到一行波解或者收敛到一自相似解由于本文 所讨论的方程更加一般，使得文献【1 l 便成为本文的推论 关键词：长时间渐进行为；行波解：自相似解。 1 西北大学硕士学位论文 l o n gt i m ea s y m p t o t i c sf o rac l a s so fp a r a b o l i ce q u t i o n s a b s t r a c t l o n gt i m ea s y m p t o t i c ss t u d y i n gi st h em a i np a r ti np d e w ec 蛆i 鹏 m a n yt e c h n i q u e ss u c ha se n e r g ym e t h o d ，f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o ne c t i np a p e r 【i i ，t h el a r g et i m ea s y m p t o t i c sf o rt h ee v o l u t i o no fap l a n a rc u r v es u b j e c t e d t ot h em e a i lc u r v a t l l r ef l o wa n dc o n s t a n tf o r c i n gi ss 乞1 | d i e d i ti 8t h es t u d yo f t h em o t i o no fas u p e r c o n d u c t i n gv o r t e x 。w h e nt h ev o r t e xl i e sm o n g8 0 m el i n e w h i c hi sa g r a p hi nz s u c ht h a ti t sp o s i t i o nm a yh ew r i t t e na sq = ( 墨v ( x ，t ) ，o ) ， t h em o t i o ns a t i s f i e ss u c hae q u a t i o na sf o l l o w i n g ： 仇2 南+ ，碗 t h ea i mo ft h i sp a p e ri st om a k et h ee q u a t i o na b o v e 掣m e r a lw i t ht h e 姗e i n i t i a lb o u n d a r yv a l u eo ft h ef o r m 仇= ，( ) t ，搿+ 9 ( ) d e p e n d i n go nt h ec h o i c eo ft h ec o e f f i c i e n tf u n c t i o n s ，w ec a np r o v ec o n v e r g e n c e t oe i t h e rat r a v e l l i n gw a t v eo l - as e l f - s i m i l a rp r o f i l ef o rl a r g et i m e s k e yw o r d ：l a r g et i m ea s y m p t o t i e s ；t r a v e l l i n gw a v e ；s e l f - s i m i l a rp r o f i l e 2 西北大学硕士学位论文 第一章物理背景及问题的提出 一个超导体在磁场域， b ，中的反应，可以由尤一点b 直角坐标系中的圈来 描述这里尤代表材料系数，也被称为g i n z b e r g - l a n d a u 系数尤和其它的一些 因素可以决定一个超导体是i - 型超导体( 此时蓐 1 、，伍) 对于i - 型超导体，随着磁场域的不同可以出现两种截然不同的 状态：当磁场域低于趣时，成为超导状态，此时物体几乎全部排斥磁场域的作 用( 被称为m e i s s n e r 效应) ；当磁场域高于j = 时，成为一般导体状态，此时物 体对磁场域没有任何捧斥作用然而对于i i - 型超导体，在超导状态和一般状态 之间会出现第三种状态，混合状态。混合状态允许磁场域部分的作用于超导体 上，而且在这种状态下超导体会呈现出一种有趣的形态，这种形态由正交的细线 组成，每一个细线结合其上的磁通量嵌入超导母体中这些细线通常被称为超导 涡流。 对这种涡流的动力学行为的研究是最近研究的熟点之一特别是对一一o o 的极限行为研究的很多，不仅是因为此时数学中许多描述渐进行为的方法可以 适用而且这个状态具有实际意义( 高咒材料可以支持高磁场域) 利用依赖于 时间t 的超导电性g i n z b e r g - l a n d a u 方程中的一些方法，可以得到平面涡流线 的运动速度法则( 参考文献 2 1 ) 随后，这个结果被推广到三维的情形( 参考 文献 3 1 ) 此时涡流线的运动速度可以分为两个部分：第一项来自于磁场流密 度，五第二项是涡流线自身产生的，依赖于涡流线的局部曲率也就是说，如 果涡流线r ( ) 的速度记为蟊那么其运动法则可以表示为； 豸；j a 宁+ k 9 1 其中f 是单位切向量，k 是曲率，元是涡流线的单位法向量。另外一个关于 高一涡流线动力学的结果表明了此时涡流线一定与超导体的边界垂直( 参考文 献 4 1 ) 。为了简化问题，可以假定流密度彳是常向量，并且平行于边界而且与涡 流线垂直。 平面上，可以将涡流线r c t ) 上述的速度法则表示成不同形式的偏微分 方程最直观的表示法是令r ( t ) 具有参数形式彳= 似( s ，t ) ，t ，( s ，t ) ，o ) ( 这里 幽= 再弘是弧长参数) ，而且随磊演化，磊垂直于曲线r ( 0 那么可以 得到关于i t , ，可的偏微分方程组： 1 ，t i、j - 地一丽丽如2 一丽 4 西北大学硕士学位论文 1 t ”。 、 j t 。 仉一丽丽几2 丽。 这里假定川j = 1 ，也就是，= 1 或j = - 1 边界条件如下： u ( o ，t ) = 0( o ，0 = 0 生_ mh ，5 _ t 这里不失一般性可以假定m 0 初始条件为让( 5 ，o ) = t o ( 5 ) ，”( s ，o ) = 伽( s ) 另外的一个表示法是一个方程的形式，此时涡流的位置可以表示为彳= ( z ，t ，0 ，力，0 ) 那么涡流线的运动速度法则便可以表示成如下的偏微分方程初边值 问题： 砘= 禹+ ，磁 砘 =丽+ j 、l + 呓 ( 0 ，t ) = 0 ( z ，力_ m z o o ( 马0 ) = 蛳( 功 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中， - 1 ，1 ) ，m o 是一个给定的常数 文献【1 l 研究了上述初边值问题的长时间渐进性，给出了其收敛行为主要结 论为：当，= 1 时，方程的解收敛到行波解：当t ，= 一1 时，方程的解收敛到自相 似解 本论文的目的是将方程推广到下述更一般的形式： 砘= ，( ) t * + 夕( ) 研究了其解的长时间渐进行为，讨论了如何选取系数函数，、9 ，使其解也收敛到 行波解或自相似解，证明了这种选取的合理性，给出并验证了这种行波解和自相 似解的具体表达式使得文献1 1 】成为本文的推论。 本论文的主要结构如下：第二章列举了本文所需要的一些泛函分析方面的的 预备知识；第三章讨论了长时间渐进收敛行为并给出了主要定理；第四章是主要 定理的证明过程；第五章总结全文并讨论了问题的推广。 5 西北大学硕士学位论文 第二章预备知识 在这一章中给出了全文所出现的一些函数空间，弗定义了空间的范数。可以 参考文献【5 】，【6 j ， 7 1 设q 是固，中的开集，t 0 ，q r = nx ( o ， 定义：设k 是非负整数，o 口 1 ，定义函数空间 日枷，字( 办) = “；d ；珑t c ( 舀) ，2 r + s s q 并具有有限范数记为j g ，= 嚣。+ 名似) 罂。 其中： ( 器= l n l 笛= m a x q ，f q ， ( ) 譬= i d 域“际 2 r + = 口 扣) 等神；( 乱) 舞+ 砷慧， ( 砷嚣= ( 研d ：t ) 乙， 2 r + ，= 七 ( h ) 落=( d ：牡) ：等产， = s u 球p 靠峰糊掣 ( 峨= s u 眯p 西等高掣 易验证如此定义的空间z p + a ，5 笋( 西) 是b a 聃c h 空间。 0 7 1 ， 0 1 1 定义：设u 扛) 是定义于ncr i - 的函数。对于o 口 1 ，引入半范效 m啪=。嚣却lu(x可)-ucu)l,i# 旦4 7 叩l f i 用p ( 矗) 表示n 上满足m 。；o o t 0 ，蜘( z ) 满足 8 u p ( i 撕；( 力i + l 魄。( 刁| ) m 时，有p 一m ； ( a 4 ) 存在岛 o 使得对任意的z p , o ，有u o 。( = l r n ， 那么初边值问题( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的解收敛到一行波解，并且有估计式： s u p f t ，( z ，力一( w ( 功+ 9 ( 神力i 一0t 一 抄 这里毗是常微分方程边值问题【3 5 ) ，( 3 6 ) 的解。 如果系数函数g 不满足定理二的条件，也就是不具有单调递增的性质，那么 就不会存在如此形式的行波解但是，为了研究问题( 3 1 ) ( 3 4 ) 的解得正确 的渐进行为，可以先求出下面的一阶双曲方程的自相似解： = 9 ( ) ( 3 7 ) 假设方程( 3 7 ) 的解具有形式p = p p ) ，其中p = ”和口= 吖f 是相似变量。代入 到方程( 3 7 ) 中，便可以得到关于p 的一阶常微分方程： p ( 一e p ( e ) = 9 ( p ，( ) 对上述方程关于0 求导可得： ( 一) + 口) = 0 当= 0 时， p ( 口) = 七一+ g ( 岛) ； 当矿( p ，) - f0 = o 时，根据逆函数定理( 参考文献【8 】) ，如果假设旷0 ，可得 到： p = ( 一，) - 1 ( p ) 令9 ( m ) 0 使得： p ( o o ) = ( 一9 ，) 一= m ， p ，( o ) = ( 9 ，) 。1 ( 0 ) = 0 ， ( 3 8 ) e ( e o ) = ( 一，) 一1 ( 励d 卢= m o o + g ( m ) ， j 0 1 0 西北大学硕士学位论文 那么如此便构造出来了方程( 3 7 ) 具一阶连续导数的解p = p ( p ) ， 条件p ( 口) 一i n ，当口一；p ( o ) = 0 即： 尹t 钞= 0 ：9 ) d 口p 。 a o 如 满足边界 ( 3 9 ) 定理三在满足定理一的条件下，假定9 ( m ) o 使 得( 3 8 ) 成立，那么( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的解收敛到一相似解，并且在 ( z ，t ) 【o ，o o ) 2 l z r t ，0 r 0 ，0 t ，定义区域q r t = ( 0 ，固x ( 0 ，t ) 。考虑下面的初边值问 题： 吨= ，( 地) t j 嚣+ g ( )q 是7 ( 2 0 o “ v z ( r ，t ) = m 0 t t t ，( z ，o ) = t 芬( z )( 0 ，固 这里谁是如的逼近函数，满足下面的条件： ( 1 ) 对任意的ic cr ，当r 一( 3 0 时，培在空间c 2 ( d 中收敛到v 0 ； ( 2 ) t 密。( o ) = 0 ，t 爱。( 兄) = m ； ( 3 ) s u p ( o 用( i 嵋。i + i 培。f ) m ，j l 培。一m i 庸，对任意的r 都成立 接下来将利用l e r a y - s c h a u l d e r 原理来证明问题( 4 1 ) 解的存在唯一性( 参 考文献【5 】) 首先建立的估计对( 4 1 ) 关于z 求导便得到关于y = 的发展方程： 肌= ，白) p b + ，7 ( 暑，) 记+ ，( y ) l ；n s , r y ( o ，力= 0y ( 冗，t ) = m 0 t t y ( ，0 ) = 也( o ，固 由极大值原理和初值培满足的条件( 3 ) 可得： s u pi t k i m a x ( s u p0 ，r ) i 二i ，m ) t 对( 4 1 ) 关于t 求导，可以得到如下关于f = 饥的方程： 佻；，他) + 旷他) + g ，) k q r ，t ( o ，t ) = 如( r ，t ) = 0 0 t t y ( 。，o ) = 地( z ，0 )( 0 ，聊 1 2 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 西北大学硕士学位论文 同样由极大值原理可以得到关于仇的估计，即： s u p1 仇i s u pi v t ( x ，o ) i s u p ( 1 ，( t 】；o ，) i i t ，o ，。l + 1 9 ( 珈，) i ) 毛( 4 4 ) ( i a t( o 用( 0 ，埘 由 的方程“1 ) 可以得到： = 志砘+ 必f ( v z )1 k 2 7 i j 砘+ 一 结合一3 ) ，“4 ) 便有关于的估计： 器川s 志器h i + 丽1 9 ( v = ) l 尥 ( 4 5 ) 注意到上面估计式中的m ，尬和娩都是与r 和t 无关。 最后，利用( 4 4 ) 可以得到关于 自身的估计： s u p 阳f s u p i 诏i + t = c ( r ，即 i 】r j( o 丑) 上述估计式是l e r a y - s c h a u l d e r 原理的主要步骤 将解延拓到区域( 一兄，固( 0 ，t ) 中，即令： t r r ( 一z ，功：= 俨( z ，t ) 0 z r ，0 t 估计式( 4 3 ) - ( 4 5 ) 说明了当r 充分大时，函数”凡在空间俨，1 ( ，【0 ，7 1 ) 是一致有界 的，这里j 是r 中的有界开集那么利用a r z e l a , - a s e o l i 定理和对角化原理可知，存 在子序列( 马) j n ，马一o o ，j o o 和函数口使得有下面的收敛性成立： 庐_ 口 日1 竹 字( ，【o ，t 1 ) ，y l ，j r c c r 谚二俨( ，x ( o ，刃) ，c c r ( 4 6 ) 妒二仇 工。( ，( 0 ，刃) i c c r 特别的从中可以看出，口( z ，o ) = t j 0 和( o ，d = 0 ，0 t t 接下来取函数c 0 。( rx 【o ，卅) 做检验函数，由( 4 1 ) 可以得到： t $ 一婚憾七毫t ，g 蝴 1 3 西北大学硕士学位论文 利用( 4 6 ) ，令- j 一： f 仁加t = r 仁c ，+ f 仁细c 蚺 也就是说，函数 在分布的意义下满足方程( 4 1 ) 已经知道对任意的，y 1 ，p ，- d 2 ( r 【0 ，卵) 根据线性抛物方程标准的正则 性结果( 参考文献【5 j ) ，便可得到口日抖。，1 + ；( r f 0 ，卅) ( 这里q 和条件( a 1 ) q 3 的相同) ，所以便推出函数口在经典的意义下满足方程( 4 1 ) 接下来验证远端边界 条件 首先回到逼近解泸方程( 4 2 ) 两端乘以谚一仍然后关于摊积分可得： r r a- r 罐( 谚一m ) = ，( 谚) t 彘( 谚一m ) + ，( 谚) i 畦1 2 ( 谚一m ) j 0j 0j o + ，( 谚) 吃( 谚一m ) = ( 一m ) ，( o ) 畦( o ，) 一( v = a ) l 屹| 2 + 9 ，( 谚) 镌一m ) 蒜z 冠咖m | 2 + 加( 酬rl r 一2 锄+ c 上矗阍睁州 。m 尬+ i 1 五r i 八r 川r 1 2 + i c 五r l t 謦一m 1 2 面d 上r i 谚一m 1 2 + g r i 谚一m 1 2 + r | ，( 谚) i | t 磊1 2 m ( 4 。3 ) 和培满足的条件结合g r o 】嗍a u 8 不等式可以锝到和r 无关的一致估计； 。茹上i ( 谚一仇) ( ，t ) 1 2 + 上上r r l 砭1 2 g ， ( 4 7 ) r r订 由( 4 6 ) 和弱收敛意义下工2 模的下半连续性可得对任意的n ： ，i(一m)c。)12+0t0置i”zzl2suposttj o j oj o sc ( ，qf i ( 一，t ) 1 2 +s c ( ，q 令n _ ： 。! 笛上i ( 一m ) ( 。，。) 1 2 + 上t 上i t k l 2 c ( 咖，d ( 4 8 ) ， 西北大学硕士学位论文 显然的，由上式便可以推出对几乎处处的( o ，力，v f f i ( z ，) 一m ，互一o 。 由于t 是任意的，那么定理一中的存在性部分便以证完注意到估计( 4 3 ) 一 ( 4 5 ) 便可以推出如，i ，拓，仇工p ( ( o ，0 0 ) x ( o ，o o ) ) 为了验证解的唯一性，令m ，t j 2 1 t 2 + 4 l + 是( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的两个解。和上面一 样，把它们延拓到区域rx 【o ，刁，可以得到口= t j l 一t j 2 是下述初值问题的解： 魄一n + b = 0rx ( o ，d 口0 ，0 ) = 0 r 其中 8 ；f ( v l )b = ( f ( v 2 ) 一，触) ) t 1 2 辫+ g ( t 】2 ) 一9 ( t ，l ，) 都在r 【o ，t 1 上是有界的 注意到因为口( 毛o ) = 0 ，可以得到估计： 一 扣( ) l 上h ( z ，s ) i d s 剑吨i i p t z e r ，t e 【o ，t 1 因此由极值原理( 参考文献【9 】) 推出： t ，1 0 r x ( o ，” 定理证完。 在这一节中，我们主要通过构造逼近解，讨论了逼近解的一致估计，利用弱收敛 的方法得到了原问题的解，并且验证了解的边界条件和其唯一性。 4 2 定理二的证明 首先建立问题( 3 5 ) ( 3 6 ) 的解的存在性。就是下面的引理： 1 5 西北大学硕士学位论文 引理一当c = 9 ( m ) 0 时，常微分方程边值问题( 3 5 ) 一( 3 6 ) 存在唯一的解f c ”( r ) ，而且对任意的z r ，有( 一曲= 一f ( z ) ，并满足估计式 z 。i m - i d x o o 证明：首先验证函数7 丽1 ( 9 ( m ) 一9 ( f ) ) 关于是l i p 8 d l i t z 连续的实际上如果 令矗，6 r 我们有： 1 7 南( 确一9 ( & ) ) 一7 南幻一9 佞) ) l i g ( 州丽1 一志) + 怒一搿i s 1 7 揣( ，( 6 ) 一，( 巳) ) + 竖尘望；善铲i s i 皇5 ；善面群( ，( 6 ) 一，( 6 ) ) 一7 舌簧( g ( 矗) 一9 ( 6 ) ) i _ 0 对上式关于z ( 0 ，劭积分可得： g z 且i m 一刳s z 且f ( z ) 出= f ( r ) m z s 。 所以 i m 一i 如 0 ， 使得： t ( ) s 一竹t + 5霉- r z ( 4 1 2 ) 在定理一的证明中已经得到磴满足下面的方程： 谚；，( 谬) q 乜+ ，( 谚) ( 罐) 2 + 9 ，( 谚) t 景 f 2 r , t t 善( o ，t ) = 0t 乎( 冗，t ) = 价0 t t 谚( ，0 ) = 也0 霉 r 定义比较函数毋= 地0 一忍一r 1 ) 下面来看满足的方程 也一，( ) 九；一厂( 纠磋一，( ) 钆 = 0 一，( ) t e 一一，( ) 吃一9 ，( 豫) = 一( ，( ) + 9 ( ) ) 7 由( 4 1 0 ) ，上式等于零，故 也= ，( 纠币h + ，( ) 程+ 矿( ) 屯f k t ，r r o 1 7 西北大学硕士学位论文 利用( 4 1 2 ) 可以得到西的边界条件，对任意的0 t o 是任意固定的常数，0 o ( 4 1 9 ) 从上面的证明中可以看出系数7 ，和k ，露都不依赖于r ，那么只需在估 i r ( 4 1 7 ) ；1 0 ( 4 1 9 ) e e 令r o o 就可以得到关于t l 黜的相同的下界。 引理证完 引理四存在一个子序列( t a j n ，岛一0 0 ，j o o 使得： ， i 仇乩南) 1 2 d x _ 0 j _ + 0 0 、j 0 证明令( c m ( r ) 是截断函数，具有性质：0s ( 1 ；当$ l 时，( 兰1 ； 当z 2 时，( 三0 定义函数白( 功= e ( 置) 对( 3 1 ) 关于求导可得： t k 一，( t k ) 仇芦一厂( 如) t 瞄仉声一9 ，( t k ) 吨声= 0 对上式两端同乘以照一g ( m ) ) 然后关于z 做积分注意到( o ，t ) = v t 一( o ，t ) = 2 1 西北大学硕士学位论文 ；面d 厶。矗2 i 砘一g ( m ) 1 2 + f 最，( ) 1 1 2 + ；f 2 tu 。) t k h 一9 ( m ) i ： m ，_ = 一2f 白矗，( ) 仇，m 一( g ( 仇) ) ) 一 c r 矗9 ，池) b h o ( 帕) 1 2 一；，( o ) l 仇( o ，) 一 ，0 j 0 z m， s 五1 e 磊，( ) i 砚，1 2 + 2fl 岛p f ( v = ) l v t g ( m ) 1 2 + ；，( o ) f 仇( o ，t ) 一9 0 - ) 1 2 j 0 j 0 圻觏训划f 龇叫m ) | 2 s ；z ”舀删蚶+ 簧f + 删一g ( m ) 1 2 i z ”罐，似) i 1 2 + 晏z 。( k f 2 + 阢) 一9 ( m ) i 2 ) 墓f 盆咖) f 2 + f 露他+ f 秽t i 仇叫删2 妥f ( 蚶岫( 小9 ( 蝴 对上式关于t 作积分，结合( 4 8 ) 可得： f 黜饥刊m ) ) ( - ，圳2 + z f 媛，( 训仉，1 2 + z 厂黜( ) i 仇叫珊 z ”靠f 以一夕沏) ) ( ，0 ) 1 2 + 画c 上t f ( k 1 2 + 从) 一9 1 2 ) s z ”僦( 毗o ) 1 2 + 鬟r z 。川2 + 元c 五t 厂咛毗驯。 s c + 丢g ， 利用( 4 3 ) ，通过取极限r 一可得： z 。i iv b , l i b 慨叫一；o o 。m m 仉吲m ) | 2 + d 引理三表明了： 一丽面骊k z 2 0 ，2 0 西北大学硕士学位论文 所以有： ri i 地，o 玉( o t 。，e + k z ( - r t + 1 ) 一 o 。( + 1 ) 一j l 仇一9 ( m ) 1 2 d z d 8 c + c ( 7 t + 1 ) 一i d s g ( 1 + i ) 对上式关于求导可得： 1 1 仇o 乞( o 嘲( d i c t 一 由此可以看出引理的结论是正确的 引理证完 除了已经得到的关于，t k 和m 的一致的界( 4 3 ) ，( 4 4 ) 和( 4 5 ) ，还需要讨论 关于解 自身的估计。为此，定义辅助函数： 面p ，t ) ；g ( m 弦+ 1 1 7 ( 而 其中t ，由( 4 1 0 ) 给出那么面满足方程： 讯( z ，幻= ，( 矾) 面拓+ 9 ( 以) r ( o ，乃 结合t ，的方程可以得到函数z _ t ，一面满足方程： 毳= + b r ( 0 ，刀 其中系数 口= ，( )b = ( ，( t k ) 一，( t 如) ) 面b + 9 ( t k ) 一9 ( 面k ) 在区域取( o ，印都是有晃的。 关于函数z 的初值的估计可以由条件( a 4 ) 和引理一得到 l z 0 ，o ) l = l t o ( z ) 一仰( z ) l = i t i o ) 一t 毡( 0 ) + t b ( 一”( 0 ) 4 - ”( 0 ) 一”( 甸i o ) r ( 们曲一r 国) d u i l ( o ) l + i v o ( y ) 一w = ( y ) l d y r m a ( e o 。神 伽( o ) i + r os u pl 伽，( z ) 一缸k ( z ) i + f i m 一缸k ( j ，) f d y o s l s 励j 岛 e ( ，m ) 西北大学硕士学位论文 根据关于初值如的假设和叫的性质，可以推出l z ( ，) ism ( t ) c 1 + i x l ) 0 ，0 r ( o ，力那么由极大值原理( 参考文献【5 1 ) 可得： s u p 扣一面i ss u p l t o t t ，l c ( t ，o ，1 ) t 0 ( 4 2 0 ) i t x ( o ，即 卫 利用m 划舡槭定理和对角化原理，根据( 4 3 ) 一( 4 5 ) ，( 4 2 0 ) 和引理四可以得到， 存在子序列( 格b n ，岛一，j 0 0 使得： 甜( ，如) 一面( ，如) ，伊( dj c c l o ，0 0 ) t k ( ，幻) 一t 如( ，) 一九伊( j ) ，c c 【o ，0 0 ) ( ，岛) 一( ，) 二珐护( o ，0 0 ) ( 4 2 1 ) 仇( ，t ) 妒伊( d ，c c 【o ，o o ) u 鹳哳( ，如) l i p ( o 。 一0 令函数( c 矿o ( o ，o o ) ，那么对任意的j n 有： 上地( r ，岛k2 上f c v = ( ，t j ) ) ( ，t j ) e + j o t o o 9 ( ( 。，幻) ) ( pm 取极限j 一，根据( 4 2 1 ) 可得： z 。认= f m m + f 舶) 其中 = 以+ 地因此， 满足方程 k 5 南( 妒一9 ( 九) ) l o ，0 。) h ( o ) = 0 由( 4 2 1 ) 可以推出对任意的e c 铲( o ，( 3 0 ) ，o om l 砘( ，鸟) g = 7 毡，( ，知x u v , ( ，缸) l 胪( o ，。) 8 g ( m ) ，即对某个南 m ，令怕= 9 ( 而) 。因为函数h 是下面方程的解 1 k 2 页南 ( 而) 一9 ( 砷) h ( 0 ) ；0 和在引理一的证明一样，存在翻吏得 ( 茁) j 1 ( m + 南) 窖蛊 另一方面，由引理二，存在应使得 l 。，( 毒，t ) 一m i ：( 癍一m ) 之袁，t o 则令r ：= 瑚x ( 窟矗) ，对任意的j n 有： i t k ( 兄，巧) 一 ( 固i i ( r ) 一m i l t k ( r ，) 一m l ；饰一神一：浈一m ) = ；坼一m ) 显然的，上式和“2 1 ) 是矛盾的，所以一定有奶= g ( m ) 从引理一立即可以得 到h = 地，也就是札= 0 。所以由( 4 2 1 ) 可以推出对某个常数c 有 口( ，岛) 一( 面( ，岛) + c ) ：0c 哆( di c c 【0 ，o 。) 通过从新定义t l ，不妨令c = 0 最后，有了上面的基础便可以证明： s u p l ( ，幻) 一西( ，) i ，0 t - ( 4 2 2 ) 卫 由引理二可知，对任意的e 0 ，都可取3 c 02o 充分大，使得 仁r i m 一+等e一i(423w=(y)ldy 2 3 ) 一 + 等e 一“言 ) j 知一矗p z 西北大学硕士学位论文 其中袁，肠和p 由引理二绘出根据( 4 2 1 ) q z j o n 充分大，有 s u pl t ，( z ，) 一面( 毛) f 寻( 4 2 4 ) o _ z z o 对任意的霉x o 可以推出 l t ，( z ，) 一面( z ，t j o ) i i 口( 知，) 一西( 知，) i + k ( 口，) 一t ( 掣) i 曲 ；+ f 铲圳协 再由引理二，对任意z o ，t 0 k ( ，吩一蛾( $ ) i l m 一( z ) i + 廊e ” s i m w f ( x 一盂) + 厨0 叩i 所以便有： m 地缈；+ 【j m _ 毗一r ) l d y + 府( e ”却 ；+ 仁壳1 m - 毗) l d y + 等产 己 综上所述，实际上得出了 s u p i 。( ，) 一面( ，) lse 由极大值原理可得对任意t2 ： s u p i z ( ，力一面( ，) i 定理证完 西北大学硕士学位论文 4 3 定理三的证明 令v 是初边值问题( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的解，其中的系数函数满足定理兰中的假设。同 样的可以将口延拓到整个空间r ( 0 ，o o ) ，令； t ，( 一写，t ) = 口0 ，t )霉0 ，t 0 设) 翻是任意一个序列，“一o o ，忌- + o o 定义函数： v k ( z ，t ) ：= 7 v ( t k x ，t k t ) 0 ，t ) r ( 0 ，o o ) 通过简单的计算，是下述问题的解： 仇= ，( v 晡) 瑰，掰+ g ( v k ，)r ( 0 ，o o ) 由( 4 3 ) 和( 4 4 ) ，可以得到下面关于班的估计： s u pi 仇# l ms u pi 饥j l 慨( 4 2 5 ) 地本身对于( z ，t ) ( - r ，r ) x ( o ，t ) 满足下面的估计： l v k ( x ，d l i 巩0 ，o ) l + 71 t ( 而s ) l d s 去l 蛳( 。) l + 1 v o c t k z ) 一t i ；o ( 。) i + 舰t 扣0 ) i + 三t kj o 毗黼+ 蝇r l 蜘( 0 ) i + r s u pi t b ，i + m t - c ( r ，研 结合a r z e k a o h 定理和对角化原理可以推出，存在子序列( ) j n 和函数哥 c o ( x f 0 ，o o ) ) ，对任意的兄，哺下面的一致收敛： 一i ，j o of - r ，兄】l o ，明r ，z ( 4 2 6 ) 迸一步，由h 锄m t o n - j a c o b i 方程粘性解的理论可以得出0 是下面方程的粘性解 ( 参考文献【l o 】) 竺2g ( 训。r ( o ，(4 烈* - - ，h ，i 一_ _ 0 m | z | 、。 西北大学硕士学位论文 这里初始值由m h 给定实际上由条件( a 2 ) 可以得到对于z 0 - ，一僦l 1 i ( 锄) 一( o ) 一m 茁l + 毒 铷( o ) 老r 妣，一m i + 扣叫 昙o ，j 。o o 由此，蚕( 2 ，0 ) = m 霉，0 同理可证z o 的情形 接下来就要证明在rx ( o ，0 0 ) 3 ：，0 = t p ( ) ，这l p m ( 3 9 ) 给定而且已经通过定 义，当口 o 时有p ( o ) = p ( 一日) ，将p i g 拓到整个空间r 注意到p c 1 ( r ) 而 且在r 上满足方程p ( p ) 一口p ( p ) = 9 ( p ( p ) ) 那么函数西p ，) ：= t 尸( ) 满足西 c 1 ( rx ( 0 ，o o ) ) 和下面的初值问题： 砚2 譬( 也) r ( 0 , o o ) f 4 2 8 ) 西( z ，0 ) = m l = i z r 、。 这里。初始条件可以由p 的具体形式推出如果知道方程( 4 2 7 ) 的粘性解是唯一的 那么就有0 = 西，定理也就证完但是粘性解的唯一性理论要求解是全局有界的 ( 参考文献 l o 】) ，这里的情形不满足这个条件。所以首先证明函数i = i 一西在 区域r 【0 ，7 1 ，t o 和函数 ， t l _ ，k a ( x ，母：= 丸，( 罩一v ) c k v ，t ) d p 这里暾( 。) = 毋( ：) ，维标准的软化子 容易得出，在r 【0 ，刀的任意紧子集上有一致收敛t 一西，j 一而且对j 有 下面的一致估计： r 嚣( 1 一1 + l 一1 + 去i t 一1 ) 。 ( 4 2 9 ) 通过计算可得锄= 一