（应用数学专业论文）几类常见定常边值问题的新型边界积分方程及其数值解法.pdf

几类常见定常边值问题的 新型边界积分方程及其数值解法 张新红( 应用数学) 指导教师：同登科教授 摘要 本文的研究主要分为三个方面，包括三维h e l m h o l t z 方程n e u m a n n 边值问题的新型边界积分微分方程及其边界元解法，三维s i g n o r i n i 问题 的边界元方法和以守恒积分为工具推导出的三维常见偏微分方程如定常 对流扩散方程等的新型边界积分方程。首先，对于三维h e l m h o l t z 方程 n e u m a n n 边值问题，用双层位势表示解，要导致求解超强奇异性积分方 程，本文将通过法向导数与切向导数间的联系，采用分部积分，把对奇 异积分核的导数转化为对积分方程中待定函数的导数，得出用弱奇异积 分核表示的n e u m a n n 问题的解的新型边界积分微分方程；基于此方程， 导出与新型边界积分方程等价的变分方程，并讨论解的存在唯一性；用 g a l e r k i n 边界元方法求解变分方程，给出数值解的误差估计。再次，导 出三维s i g n o r i n i 问题的新型边界变分不等式，讨论其解的存在唯一性； 用g a l e r k i n 边界元方法求解变分方程，给出数值解的误差估计。最后， 利用格林公式，分别得出几种常见三维偏微分方程豹单场守恒积分和双 场守恒积分公式，基于守恒积分公式推导出他们的新型边界积分方程， 再采用双方程方法求解。 关键词：边界元法。边界积分方程，变分方程，误差估计，双方程方法 n e w t y p e so fb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sf o rs e v e r a l f a m i l i a rs t a t i o n a r yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n d n u m e r i c a lm e t h o d s z h a n g x i n - h o n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rt o l l gd e n g - k e a b s t r a c t i nt h i s t h e w s ，t h em a i nr e s e a r c hi n c l u d e st h r e ea s p e c t s t h e ya r e b o u n d a r yi n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n db o u n a a r ye l e m e n tm e t h o df o r n e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fh e l m h o r ze q u a t i o ni nt h r e e d i m e n s i o n s , ab o u n d a r yd e m e n tm e t h o df o rs i g n o r i n ip r o b l e mi nt h r e e d i m e n s i o n s ，a n dt h en e wt y p e so fb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sf o rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss u c ha ss t a t i o n a r yc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o ni n t h r e ed i m e n s i o n s f i r s t l y ，t h es o l u t i o no fn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o ft h r e e d i m e n s i o n a lh e l m h o l t ze q u a t i o nw i l ll e a dt os o l v eh y p e rs i n g u l a r i n t e g r a le q u a t i o n , w h e nd o u b l el a y e rp o t e n t i a ld i s t r i b u t i o nf o r m u l a t i o ni s u s e d i nt h ep r e s e n tw o r k , t h er e l a t i o nb e t w e e nn o r m a ld e r i v a t i v ea n d t a g e n t i a ld e r i v a t i v e si s & r i v e d , a n dt h ep a r t i a ld e r i v a t i v eo fs i n g u l a rk e r n e li s s h i f t e dt ot h eb r t k n o w nf u n c t i o ni nt h ei n t e g r a le q u a t i o nb yp e r f o r m i n g i n t e g r a t i o nb yp a r t s s o t h en e wt y p eo fb o u n d a r yi n t e g r a l - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni sg o t t e n b a s e do nt h i se q u a t i o n , b o u n d a r yv a r i a t i o n a lf o r m u l a e q u i v a l e n tt oi ta n dg a l e r k i nb e me o o r e s p o n d e dw i t l ii ta r ee s t a b l i s h e d a n d t h ec i r o re s t i m a t e si nt h es e n s eo fv a r i o u s1 1 0 1 1 1 1 5a r ea n a l y z e d s e c o n d l y ，a i “ s i g n o r i n ip r o b l e mi nt h r e ed i m e n s i o n si sr e d u c e dt oav a r i a t i o n a li n e q u a l i t y o nt h e b o u n d a r y ，a n dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sa r ee s t a b l i s h e d f u r t h e r m o r e ，e r r o re s t i m a t e sf o r t h e a p p r o x i m a t es o l u t i o no fs i g n o r i n i p r o b l e ma r eg i v e n f i n a l l y ，s t a r t i n gf r o mg r e e nf o r m u l a s ，s i n g l ef i e l d c o n s e r v a t i o ni n t e g r a lf o r m u l a sa n dd o u b l ef i e l dc o n s e r v a t i o n i n t e g r a l f o r m u l a sh a v eb e e ne s t a b l i s h e d f o rs e v e r a lf a m i l i a r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si nt h r e ed i m e n s i o n s ，b ym e a n so ft h e s ef o r m u l a s ，s e v e r a l e w t y p e so f b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sa r ed e r i v e d ，a n dt h es o l u t i o n sa r eg o t t e n b yd o u b l e e q u a t i o nm e t h o d k e yw o r d s ：b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b o u n d a r y i n t e g r a le q u a t i o n ， v a r i a t i o n a le q u a t i o n ，e r r o re s t i m a t e s ，d o u b l e - e q u a t i o nm e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 弘归7 年，月膨日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 加7 年r 月“日 列哑年f 其，bb 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 1 1 课题来源、提出背景及其研究意义 本课题来源于山东省自然科学基金资助项目。 数学物理问题，如油、气藏的勘探与开发、大型结构工程、航天 器的设计及天气预报、反应堆等涉及到传热、传质、渗流等问题的计算， 无不归结为求解大型偏微分方程。而且计算区域往往是高维的、大范围 的、其形状也可能极不规则，给计算带来很大困难，这样求问题的解析 解是很困难的，所以数值计算成为求解此类问题的有效方法。由此产生 了各种数值计算方法，例如 f 偏微分方程的边值问题一有限差分法 拒! 域上的变分问题一有限元法 f 边界上的积分方程一边界元法 这些数学形式理论上等价，实践上不等效。 边界元法是在经典的边界积分方程法的基础上吸取了有限元离散技 术而发展起来的一种偏微分方程的数值计算法。它把微分方程的边值问 题归化为边界上的积分方程然后利用各种离散化技术求解。它的主要优 点是可将空间的维数降低一维，且只要求出边界上定义在所谓节点上一 定的值( 虚拟密度、位势和流量、位移和面力等) ，就可计算区域内所需要 的任意指定点的物理量，避免了不必要的计算，使数据准备工作量和计 算工作量减少。还由于只对边界进行离散，离散化误差仅仅来源于边界， 区域内有关物理量是用解析公式计算的，从而提高了结果的计算精度。 因此它日益广泛应用于弹性力学、断裂力学、流体力学、电磁场和热传 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 导等领域的科学研究和工程技术的数值计算。由于边界元方法中基本解 的性质能恰当的反映出无穷远边界条件，使得用它研究无限区域的问题 具有其它数值方法所不能具有的一些独特的优点。近十年来，边界元法 在研究非线性和各向异性问题方面取得了很大进展，使得边界元在工程 中很受青睐。但是在数值计算方面，由于积分核的奇异性和离散化后得 到的线性代数方程组的系数阵的非稀疏性和非对称性也增加了一些困 难。本课题就是在这些情况下提出的。一方面，采用分部积分，把对超 强奇异积分核的导数转化为对积分方程中待定函数的导数，从而降低积 分的奇异性。另一方面，由第二类f r e d h o l m 积分方程得来的联立方程， 它的对角优势较强，较便于数值计算，因此对混合边值问题，采用双方 程方法，在每一部分边界上都采用第二类积分方程，以此提高边界元方 法的精度。 1 2 研究现状评述 近年来，国内外许多领域的专家研究用边界元法解由实际工程或物 理问题得到的数学模型，并取得了丰硕的成果。边界元法基础在于边界 归化，如果边界归化的途径不同，可以从同一边值问题得到几种不同形 式的边界积分方程，一般说来这些积分方程是奇异的，或者是对数奇异 的，或者是c a u c h y 主值型奇异的，也可能是h a d a m a r d 有限部分型奇异 的。边界归化途径不同将导致不同的边界元方法。目前边界归化一般有 以下几种方法：采用g r e e n 公式归化的直接边界元法；采用位势理论归 化的间接边界元法；还有用g r e e n 函数代替基本解的自然边界归化，称 为自然边界元法i ”。 间接边界归化是从基本解及位势理论出发得到f r e d h o l m 积分方程。 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 其中的未知函数是边界上分布的虚拟源的密度函数，而所希望求得的物 理量是间接地通过这些密度函数求得的。经典的方法是用导致第二类 f r e d h o l m 积分方程的位势积分来表示边值问题的解。也就是说解第一类 边值问题用双层位势，解第二类边值问题用单层位势。然而这种方法失 去了原问题的自伴性等有用的性质，或是保持自伴性但出现不可积强奇 性积分核，上述两种情形均导致数值计算上的复杂性。基于此，韩厚德、 羊丹平8 叫从n e u m a n n 初边值问题出发，用双层位势来表示n e u m a n n 问 题的解，采用分部积分，将原始问题化为边界积分一微分方程，基于此 方程，导出一类新的边界变分方程与边界元方法，它们既保持了原始问 题的自伴性，同时又仅具有可积弱奇性积分核。但目前大部分问题都是 关于二维问题进行讨论，本文第一部分就是将这一思想从二维平面推广 到三维空间。 直接边界归化法是从基本解和广义g r e e n 公式出发，将微分方程的 边值问题转化为边界上的积分方程。积分方程中的未知函数正是所求的 物理量在边界上的值。由于直接边界元方法没有引入新的变量，在工程 使用中比较方便，而且易于理解，因此该方法倍受工程师的青睐。从数 值计算来看，边界积分方程通常只能在用边界单元法化为联立方程后才 能得到近似的数值解。由第二类积分方程得来的联立方程，它的对角优 势较强，较便于数值计算。因此用双方程方法( 无论在d i r i c h l e t 边界还 是在n e u m a n n 边界上都用第二类积分方程) 求解初边值问题也能提高边 界元法的计算精度。在这方面胡海昌【6 】、榻启沃、吴兹潜7 - 9 1 等作了一些 研究。例如，弹性力学中的直接变量的边界积分方程，依据的是把弹性 体中某点的位移用边界上的位移和面力表达出来的一个积分公式。 r i z z o t l o l 积分方程，在已知位移的边界上是第一类积分方程，在己知外力 的边界上是第二类积分方程。我们也可以把弹性体中某点的应力用边界 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 上的位移和面力表达出来，建立一类新的边界积分方程，在已知外力的 边界上是第一类积分方程，在已知位移的边界上是第二类积分方程。这 样新型积分方程与r i z z o 积分方程，在积分方程类型上正好互相补充。 因此，我们在已知外力的边界上采用r i z z o 型积分方程，在已知位移的 边界上用新型积分方程来计算。同样，目前这些研究也仅对于二维问题， 本文第三部分把双方程方法推广到三维空间问题。 另外还有一种称为自然边界元法。其基本思想是利用g r e e n 函数从 g r e e n 公式出发，将偏微分方程的边值问题转化为边界上的含有发散积 分的有限部分的积分方程。处理这种转化得到的含强奇异积分的数值方 法称为正则边界元法，后来称为自然边界元法。这种方法与有限元方法 的耦合开辟了处理实际问题的前景并弥补了单独用有限元法处理无限域 问题的缺陷。 根据边界归化的方式不同，得到的边界积分方程也有不同的特点， 因而也使得解这些方程的方法有所不同。目前常用的方法有【1 1 】：直接离 散边界积分方程的配点法，又称配置法：把边界积分方程转化为等价的 变分方程，然后通过离散变分方程求解的g a l c r k i n 边界元方法；此外还 有最小二乘法等其它离散方法。配置法对于边界积分方程的情形，首先 需要把边界剖分成单元，在每个单元上确定一定数目的节点，然后在节 点上配置。最后还要把整个边界上的积分离散为每个单元上的积分，从 而得到一个以节点处的有关物理量为未知量的线性代数方程组，解线性 方程组得到全部边界节点上的有关物理量，将其代入解的边界积分表达 式的离散公式中，就可以直接计算我们所需要求的区域内任意点的值， 配置法方便易行且实用，但不便于从理论上作渐近收敛性质的讨论和进 行误差估计；g a l e r k i n 边界元方法与配点法相比，虽然复杂，计算量大， 但是它也有自身的优点，比如利于进行误差分析，收敛性分析等等。 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 自1 9 7 8 年第一届国际边界元法会议召开以来，每年都要召开次， 边界元法的专著也大量出版。总之，边界元法作为一种独立的计算方法 在工程计算中得到了广泛应用，理论和实践都得到了较快发展，在未来 的研究工作中边界元方法主要是针对以下几个方面进行： 1 1 扩大边界元方法的应用范围，特别是用于非线性和带时间变量的 问题； 2 ) 建立对工程技术界适用而经济的程序包； 3 ) 在数值计算上，改进奇异积分的计算，寻求解具有满的、非对称 系数的线性方程组的有效而迅速的解法，处理带有体积分的技巧以及各 种提高精度的算法等； 4 1 关于边界元法的基本理论，包括对基本解、各种边界归化下的收 敛性和误差分析的研究； 5 1 与有限元方法以及其他数值方法取长补短，如耦合法、区域分解 法等，形成更为有效的数值分析工具。 1 3 主要研究内容和研究方法 本课题主要分三部分进行研究。 第一部分主要讨论三维h e l m h o l t z 方程的n e u m a n n 边值问题的边界 元方法。经典的方法是用单层位势解n e u m a n n 边值问题以得到第二类 f r e d h o l m 积分方程。然而这种方式失去了原问题的自伴性等有用的性质， 或是保持自伴性但出现不可积强奇性积分核，上述两种情形均导致数值 计算上的复杂性。本文用双层位势求解n e u m a n n 内、外边值问题，要导 致求解超强奇异积分，通过引入二阶法向求导与切向求导之间的联系， 采用广义函数意义下的分部积分，把对奇异积分核的导数转化为对积分 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 方程中待定函数的导数，得出用弱奇异积分核表示的n e u m a r m 问题的解 的新型边界积分微分方程。然后推导出与新型边界积分方程等价的变分 方程，用g a l e r k i n 边界元方法求解。g a l e r k i n 方法是基于变分原理基础 上的一种把微分或积分方程转化为等价的变分方程，然后离散变分方程 求原方程数值解的方法。由于在边界元方法中，边界积分方程的近似计 算及其相应的分析一般都基于边界积分方程的弱形式或变分公式，因此， 用g a l e r k i n 方法比用配置点法更便于进行理论分析，比如解的存在唯一 性、近似解的收敛性及误差估计等。 第二部分，我们进一步讨论了三维s i g n o r i n i 问题的边界变分不等式， 得出了解的存在唯一性，并进行了误差估计。 第三部分主要是把双方程方法推广到三维问题。经典的边界积分方 程关于未知位势是第二类积分方程，关于未知位势导数是第一类积分方 程。本文以守恒积分为工具，推导出类型与经典的边界积分方程相反的 新型边界积分方程，新型积分方程关于未知位势是第一类积分方程，关 于未知位势导数是第二类积分方程。适当的利用这种类型上的互补性， 可能在一定程度上改变边界元离散系统的结构。利用双方程方法，在未 知位势边界段上取配置点时用经典的边界积分方程，在未知位势导数边 界段上取配置点时用新型边界积分方程，这样对全体配置点上都用第二 类方程。经验表明第二类积分方程离散化后得到的代数方程组有较强的 对角优势，因此有助于提高边界元的精度。本文利用此方法来求解几种 常见三维定常偏微分方程的边值问题。 本文的主要工作有： ( 1 ) 由双层位势求解三维h e l m h o l t z 方程的n e u m a n n 内、外边值问题， 通过引入二阶法向求导与切向求导之间的联系，采用广义函数意义下的 分部积分，把对奇异积分核的导数转化为对积分方程中待定函数的导数， 6 中国石油大学( 华东) 硕七论文第1 章前言 得出用弱奇异积分核表示的n e u m a n n 问题的解的新型边界积分微分方 程；导出与新型边界积分方程等价的变分方程，并讨论解的存在唯一性： 用g a l e r k i n 边界元方法求解变分方程，给出数值解的误差估计。 ( 2 ) 导出三维s i g n o r i n i 问题的边界变分不等式，讨论其解的存在唯一 性；用g a l e r k i n 边界元方法求解变分方程，给出数值解的误差估计。 ( 3 ) 以守恒积分为工具，分别得出三维h e l m h o l t z 方程、对流扩散方 程、重调和方程的新型边界积分方程，采用双方程方法求解。 本文将按照上面叙述的具体实现的内容和目标，来详细地论述得到 的相应的研究结果。 本文具体内容共分为六章。第1 章为本文的前言部分，阐述了论文 课题的主要研究内容、目标和国内外研究现状，简单的介绍了论文的研 究背景；第2 章简单介绍了本文需要的记号，概念和基本定理；第3 章 是针对三维h e l m h o l t z 方程n e u m a n n 边值问题的边界元法进行讨论；第 4 章是用边界元方法讨论三维s i g n o r i n i 问题；第5 章讨论几种常见三维 偏微分方程边值问题的双方程方法；第6 章是全文的结论部分，是对论 文的整体内容进行的概括和总结。 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章预备知识 第2 章预备知识 本章主要介绍本文需要用到的基本记号、概念和基本定理。具体可 参考【1 2 】。 2 1 问题的提出 下面给出几个常用的记号。 设q r 4 ( d 维欧式空间) 为一有界开域，我们规定： 丑( q ) ：q 上的完全七次多项式空间； c ( n ) ：f 2 上的全体连续函数的集合； c ( n ) ：q 的闭包上的全体连续函数的集合，它按范数 i i u i i c 2 2 罂x l u ( x ) l x e l , ! 构成一个b a n a c h 空间； c ”( q ) ：q 上直到i n 次导数连续的函数的集合； c 。( 囝：q 上无限次可微的函数的集合； c 芋( q ) = p c 。( f f 2 ) ：s u p p 甜在q 中紧) ，其中 s u p p u = x q ：“( x ) 0 ； c ”( 两：q 的闭包上直到m 次导数连续的函数的集合，它按范数 i i 甜i i c - 2 曷翳嘴l d ( 力l 构成一个b a n a e h 空间； l q n ) o p o o ) ：q 上全体p 次绝对可积的l e b e s g u e 可测函数的集 s 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章预备知识 合，它按范数 构成一个b a n a c h 空间； l b 皿= ( j 1 “( x ) 1 9 出) i n r ( q ) ：q 上全体本性有界的可测函数的集合，它按范数 i l u 皿2 。蕊屯s u 。p ) l 构成一个b a n a c h 空间。 下面是与导数有关的几个记号及其他记号： ( 1 ) u ( x ) 的k 阶偏导数： 甓“( 功= 塞，x = ( _ ，恐，劫) ，七为非负整数。 ( 2 ) “ ) 的口阶分布导数： 。( z ) = 雨再a l a t u 两= 卵鹫蟛4 “( 工) 其中x = ( 墨，x 2 ，x d ，口= 瓴，吃，) 为重指标，i a i - q + + 嘞。 ( 3 ) 扩= 矸垮一聍：x = ( x i ，x 2 ，劫) r a , 口= ( q ，a d ) 为重指标。 ( 4 ) 用c 表示与s o b o l e v 空间中的函数、剖分的单元及网格大小h 均无关 的正常数。在不同的地方代表不同的值。 下面我们在给出s o b o l e v 空间的一些基本知识。 w “9 ( ( 的表示通常的s o b o l e v 空间，且 矿”( q ) = v ：d 。v f ( q ) ，i 口阵脚 其中研o 为正整数，口= ( a l ，) 为重指标，f 口卜q + 吃+ 。嘞， 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章预备知识 d 4 v 为v 的分布导数，1 p c o 。这个空间依范数 v 皿= ( 渺v 1 9 出) 9 ，l _ p o o i a l 盘n i l ”，* 皿2 甾娶嚣。，s 。u p 。i d 4 ”( x ) i ，p 2 。 构成一个b a n a c h 空间。此外，对于这个空间，还有下面的半范： 儿棚2 ( 荟m j ，1 p a o ”k n 2 m 悱a 。x 。蕊屯s u 。p 渺( x ) i ，p 2 。 c ；( o ) 按范数i 。皿的闭包记为“”( q ) ，显然 “9 ( q ) c 矽“9 ( q ) 另外，我们还简记 h “( q ) = 肜”，2 ( q ) ， i i 皿刊i ，2 皿 h o ”( q ) = 邢( q ) ， h 皿= b n 显然h ”( q ) 和h o “( q ) 依范数i m 构成h i l b e r t 空间。 风”( q ) 的对偶空间记为日”( q ) ，其范数可按泛函范数来定义 陋n - 旷嚣，鼯 蝴( n 1 y 1 1 “ 商空间矿“9 ( q ) 最( q ) 中的元素“表示一个与甜w ”( q ) 等价的函 数类，其意义为 ：= v 矿”，( q ) ：( v 一) 最( q ) 矿”，( q ) 最( q ) 赋以这个空间的范数与半范数分别为 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章预备知识 显然 “i i m “n 。i n 。f 4 i i u + a ，n “b 皿2 i n 。丘fl u + 局b 。 u i 。，皿爿“i 。，皿 2 2 基本定理 定理2 2 1 ( s o b o l e v 嵌入定理) 对所有的m o 和所有的p 【1 ，o 。) ，有 ”( q ) c ( q ) ，7 1 = i 1 一号，如唧 j ； w ”( q ) c - f ( 卿，v q 【1 ，叫，如m p = d ； ”(q)圭口(q)，vlgp+，歹1=万1w 一- 署5 - ，如，印 d ； 鸭，( q ) c 口( q ) ， v l g 0 ，使得 i a ( u ，| 0 ，使得 a ( v ，v ) 口i i v n v v v ( 3 ) 线性型厂是连续的。 则抽象变分问题：找一个元“v ，使得 a ( u ，v ) = ，( ，v v v 有且仅有一个解，并且有以下估计式 i l u l l ! i i f i 口 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章预备知识 其中f 是y 的对偶空间矿的范数。 设圪是空间y 的有限元子空间，满足离散问题： v 巧，a ( u ，v ) = f ( v h ) 则有下面的定理： 定理2 2 5 ( c e a 引理) 存在一个与子空间圪无关的常数c 0 使得 i l u i i _ o ， j = o i ，m 一1 ，使下面不等式成立 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章预备知识 2 3 小结 l i 洳。嗡，吲。 本章给出了本文用到的基本记号、概念和基本定理。本章是以下各 章的理论基础。 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章三维h e l m h o l t z 方程的边界元方法 3 1 引言 第3 章三维h e l m h o l t z 方程的边界元方法 边界元方法是求解数学物理方程的一种数值方法呷1 4 】，其主要优点 是将原始问题的维数降低一维。由于只对边界进行离散，故可节省数据 准备工作和计算量。古典的边界积分方程方法是对d i r i c h l e t 问题使用双 层位势，对n e u m a m a 问题使用单层位势以导出与原始边值问题等价的第 二类f r e d h o l m 积分方程并求其近似解。但是在一般情况下原始问题的自 伴性不能保持；或是保持自伴性但出现不可积强奇性积分核【1 5 l 。尤其是 对于n e u m a n n 问题，已有的方法总是有上述问题之一。为了解决上述问 题，韩厚德 2 1 、羊丹平【3 d 1 等用双层位势表示n e u m a n n 问题的解，从而将 原始问题归化为边界积分微分方程，基于此方程，导出一类新的边界变 分方程与边界元方法，它们既保持了原始问题的自伴性，同时又仅具有 可积弱奇性积分核。但大部分工作是二维问题，本章以三维h e l m h o l t z 方程为例，利用上述方法，讨论它的新型边界积分微分方程，给出新的 边界元解法以及近似解的收敛性，同时给出最优能量模估计和内部最大 模超收敛估计，从而将此方法推广到三维空间。 设r 是三维空间r 3 中有界光滑闭曲面，q 和q 分别表示以r 为边界 的有界内区域和无界外区域， 表示边界r 处的单位外法向量，是r 3 中 任意一点到原点的距离。考虑下列h e l m h o l t z 方程的n e u m a n n 边值问题： - a u + u = o x q u q + o u = x r a n 2 9 x i ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章三维h e l m h o l t z 方程的边界元趟 ，( 娑+ 甜) = 0 ，r - o o ( 3 1 3 ) 部 其中g h j ( r ) 是已知函数，h 5 ( g ) 表示点集g 上的s o b o l e v 空间堋，s 是实数。f 司n ( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) g 唯- - i # 1 7 1 。 3 2 新的边界归化方法和边界积分- 微分方程 将边僵n n ( 3 1 1 ) 一( 3 i 3 ) 阴膦表厩双层位封阴彤甄 ”( x ) ：协( 力鲨孥2 咳炉x q u q ( 3 2 1 ) ；o n 。 其d on y ( n y i , y 2 t n y 3 ) 为点y r 处的单位外法向量，尹( j ，) 为待定的密度 函数，琊一j ，d = 砺1 网e 扛- t 为方程( 3 1 1 ) 的基本解1 1 8 】，且k ( ，) 满足 d 2 k f ( r ) + 兰垡塑一x ( r ) ：o ，r o ( 3 2 2 ) d r 2rd r 、 。 若伊( j ，) c o ( r ) ，则根据双层位势的跳跃性质1 9 1 ，矿 ) 应满足下列第二 类f r e d h o l m 积分方程 一扣+ 堂避产呜可x 硫r z 丢+ 堂避篆韭嘶“蛾x 硼 ( 3 2 4 ) 又因为娑l r = g ，由双层位势法向导数的连续性，有 o n 如) = f 9 挚，搬r ( 3 2 5 ) ( 3 2 5 ) 式右端积分具有不可积强奇性，通常理解为广义函数意义下发 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章三维h e l m h o l t z 方程的边界元方法 散积分的主部。为了，避免友散积分主部的复杂计算，有f 向的重要定理： 定理3 1 对任意的x ，y f ，x y ，令 乇= ( ，1 ，o ) ，以= ( 旌，0 ，一月：) ，吃= ( o ，一3 ，吃) 乏2 白，瓦2 白，瓦2 白舻w ( 3 2 1 0 i ，瓦，- 秩为2 ，均位于口r = 马力处的切平面上。 2 0 下面的重要等式成立： 铲吨i m 罨铲训州等铲 + l 败l l q l 旦：考i 告警】- k ( 1 x - y f ) c o s ( 毽，嘭) ( 3 2 7 ) 证明：结论1 0 显然。下面证明结论2 0 。 绎讨一些计算得 o 2 k ( i x - y 1 ) ： 勰钆 一鱼二苎! ：d z k ( r ) 一! 兰= 丝2 ：! 兰二苎! d k ( r ) ，2咖2，毋 翌墨g 兰二! 坠= 一! 兰二丝! ：d 2 k ( r ) 一( 圣二苎z ! 羔= 苎业 氟2 0 y 2 r 2d r 2，3d r 翌茎g 兰二羔q ：一垫二丝! = 生塑一! 兰i 二丛! = ! 兰= 匕! = 型 钆 r 2 d r 2r 3d r a 2 足( i x - y 1 ) 一 o x , 妣 a 2 k ( 1 x - y 1 ) 一 锄锄 a 2 k ( i x y 1 ) o x 2 坝 a 2 k ( 1 工一y i ) o x 筘y 2 由方程( 3 2 2 ) ，我们有 1 7 翌丝业二! l ! ： 钒砒 扩k ( 1 x y f ) d x 3 砂l 生望互鎏奎兰! 兰查! 堡主笙塞 笙! 童三丝坐旦些些生堑里盟望墨型 翌塑! 二业+ 挑朝 o ：k ( i x - y 1 ) + 锄 a 2 k ( 1 x y i ) 一 钆 一k ( ix y 1 ) ( 3 2 8 ) 堡垒蚴=掣硅玎，1，n+ 帮”；+ 掣砖 x d n 。 舐t 锄 矾 饿3 吼 + 掣硅司+ 掣杉+ 掣砖 碣铫 “2 叫2 3 2 十紫以彬+ 翌掣o x 2 u y 3 霉+ 掣t 砖铂毗 3 w 3 圳。l 等铲圳以l 丝篆业删q i 笔篙产 = 掣席：靠；一紫以嘭一紫砖 + 掣t 砖+ 紫嘭一掣t 碍 一掣疋彬+ 掣砖砖+ 掣砖 一掣霉一掣砖+ 紫琅母( 3 2 1 0 由( 3 2 8 ) ，( 3 2 9 ) 和( 3 2 1 0 ) 式可得定理结论。 证毕 将( 3 2 7 ) 式代入( 3 2 5 ) 式，关于j ，分部积分并利用边值条件，即得 i r o 矿a o 驯删州刚儿i 参f 剖以悃叫呐， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章三维h e l m h o l t z 方程的边界元方法 + i 吱i 去去( m 到嘁一p 到卅| ) c o s ( ， = g ( 力 ，z r ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 1 ) 式是广义函数意义下一类新型边界积分微分方程，它保持了 原始问题的自伴性，且积分核具有可积弱奇性。 3 3 边界变分公式及边界元解法 定义双线性形式 以仍。h 毒犯 毒4 。i 力+ 旁蚓力参以i 力 + 熹q q i 矿) 妄4 q l 力 k ( i x yi ) d s j d s ， d 够；d ， + j i f ，( x ) 矿( ) ，) k ( i x y 1 ) c o s ( n x ，b ) 反。矗墨 ( 缈，) = 矿( x ) y ( x ) 啦 6 ( 妒，) = 妒( x ) 矿( y ) k ( i 工- y1 ) d s y d s ， 对于任给的g h ：口) ，问题( 3 2 1 1 ) 等价于下面的变分问题： 对于双线性形式b ( f a ，妒) ，n ( p ，) ，【1 9 2 1 1 给出了如下结果 ( 3 3 ，1 ) l i 引理3 26 ( p ，) 是定义于日1 ( r ) h 一2 ( 1 - ) 的有界椭圆双线性形式， 1 9 ，砸 使 甜 b 泖 甜神撕州m 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章三维h e l m h o l t z 方程的边界元方法 即存在常数| j l 毛 0 ， 0 ，使 1 1 6 ( 仍缈) i 彳。l l 妒l i 。 ( r ) l l 】l f ，扎 ( r ) ，v 妒，y h j ( r ) 1 b ( e ，妒) 芝2 。，v 妒h i ( r ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 引理3 3d ( 仍) 是定义于h 2 旷) 日2 ( r ) 的有界椭圆双线性形式， 即存在常数m 0 ，口 0 ，使 l i 口( 伊，洲m 矿a ( r ) i i i 丽i ( ，) ，v 妒，y 币( r ) ( 3 3 4 ) 4 ( 妒，力口i i 伊1 1 2 ；( r ) ，v 伊h j ( r ) ( 3 3 5 ) 引理3 4 对于给定的g 日_ 三( r ) ，一( g ，矿) 是定义在曰j ( r ) 上的线 性连续泛函，即 l l - ( g ，妒) i q l g l l 0 少 ! ，v h 2 ( r ) ( 3 3 6 ) 圩1 ( r ) h2 u ) 由l a x - m i l g r a m 引理，我们得到： l 定理3 5 对于任给的g 日1 ( r ) ，变分问题( 3 3 1 ) 存在唯一的解 ! 妒h 2 ( d ，且 ( r 1 ) 吉 ( r ) ( 3 3 7 ) 为寻求变分问题( 3 3 1 ) 的近似解，我们在精确边界上采用有限元离 散。设r 被剖分为n e 个单元，不妨设这些单元都是三角形的，三角形 总数为n e 。r = u 兰l ，r 。= o 西，这里m 是仿射变换，否是二维标 l 准单元。在r 上定义h 2 ( r ) 的有限维函数空间 v 6 = 矿c ( r ) ；矿i t 只( r 。) ，e = l ，2 ，e ) ，只是次数不超过m 的多项 式空间。显然v 6c - h 1 ( r ) 。 堂垦互油大学( 华东) 硕士论文第3 章三维h e l m h o l t z 方程的边界元方法 变分问题( 3 3 1 ) 的近似问题可以表示如下： i 求sv h * r - - 使 i 口( 矿，y 一) = _ ( 创一) ，v 1 0 hev h 。3 8 由l a x m i l g r a m 引理和c e a 引理，可以得到 定理3 6 变分问题( 3 3 8 ) 存在唯一解矿v 6 ，并有下面的抽象误差 估计 怖一矿0 ；_ c 以i n f 一一矿i i ! ( 3 3 9 ) 片2 ( r ) r 9 z ( r 1 其中妒是变分问题( 3 3 i ) 的解。 3 4 误差估计 先引入几个引理： 引理3 7 【1 9 j ：谚t v 6 为正规的边界有限元空间，下面的逆不等式成立： 1 1 妒6 r ) c h “5 i l 矿r ) ，v ( a h v 6 ( 3 4 1 ) t s ，i ，i , is 喀 引理3 8 【1 9 l ：设，为口( r ) 到正规的边界元空间的正交投影算子，则 l | 矿一j 6 伊i i 1 = r ，( r ) c h 5 - fi l 妒l | 日，( r ) ( 3 4 2 ) - ( m + 1 ) t s m + l ，t s , 0 s m + l 设有限元空间具有逼近性质：对某个j ，i 1 ，任给 i 妒eh ”1 ( r ) n 2 0 3 ，存在常数c ，有 j