（基础数学专业论文）复射影空间的kaehler全测地完备子流形.pdf

碛士学位论文 m a s t e 芟8t h e g l s 摘要 利用了k a e h l e r 完备子流形与全测地子流形的相关结论在引入常数仃后得到了 复射影空间中k a e h l e r 完备子流形是全测地子流形的条件。 关键词：复射影空间；k a e l l l e r 子流形；完备；全测地 a b s t r a c t 1 1 1t h i s p a p c r i l e tc o n s t a i l t仃a n d舶mp r o p o s i t i o no fc o m p l e t ek a e h l e r s u b m a n i f o l d s 锄dt o t a l l yg e o d e s i cs u b m a i 】j f o l d sh a v et h e o r e ma b o u tc o m p l e t ek a e h l e r s u b m a l l i f o l d si 1 1 凹”i st o t a l l yg e o d e s i cs u b m a i l i f o l d s k 叩v o r d s ：c 尸”；k a e h l e rs u b m a n i f o l d s ；c o m p l e t e ；t o t a l l yg e o d e s i c 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：日期：孵年岁月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：杀曲眩 日期：倨年，月7 日 衲糨7 邵磷 日期： 口a 年月工夕日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回意诠塞握变后溢卮! 旦圭生；旦= 生；旦三生筮查! 作者签名：爿南裁 日期：o 艿年争月 ，日 1 引言 复流形的理论是微分几何中很有趣的部分。如果( m ，办) 是n 维h e r m i t e 流形， ，是它的典型复结构。则( m ，厅) 既可以看作是刀维复流形，也可以看作是2 ，l 维光滑 流形。因此，( 竹，办) 的切丛有双重身份，既是秩为胛的复向量丛，又是秩为2 甩的实 向量丛。当h e r m i t e 流形的k a e h l e r 形式是闭微分式时( m ，办) 就是k a e h l e r 流形。 对于n 维是h e r m i t e 流形( m ，办) 来说，若g = r e ( h ) ，则( m ，五) 的h e 珊i t e 联络d 是 黎曼流形( m ，办) 的黎曼联络当且仅当它的扰率为零。而n 维h e r m i t e 流形( m ，办) 的h e r m i t e 联络d 的扰率为零当且仅当( m ，办) 是k a e h l e r 流形 1 2 ，那么k a e h l e r 流形( m ，办) 的h e 珈i t e 联络和黎曼联络就是同一个联络。由此可见，k a e h l e r 流形 是一类特殊的黎曼流形，它具有丰富的几何性质。而复射影空间c 尸”就是一个典型 的k a e h l e r 流形。 设( n ，h ) 是k a e l l l e r 流形，m 是复流形，：m n 是全纯侵入。因为g = r e ( 办) 是n 上的j - 不变黎曼度量。由映射的全纯性可知，z 。j = ，。z 。所以厂g 是m 上的j 一不变黎曼度量，因而厂办是m 上的一个h e 姗i t e 结构。利用等式d 。厂= 厂。d 又可以说明厂厅所对应的k a e l l l e r 形式是闭微分式，所以( m ，办) 也是k a e h l e r 流形，它称为( n ，h ) 的l 沁l l l e r 子流形，我们可以证明( m ，厂办) 是( n ，h ) 的极小子流形【1 2 】。 1 9 7 4 年，o g i u ek 开始了复射影空间c p ”中k a e l l l e r 子流形的研究 1 】，他给出 了“k a e h l e r 子流形是复子流形上给出了k a e l l l e r 结构”等k a e b l e r 子流形的基本理 论。1 9 8 1 年h na i t o h 开创了c p “中的全实平行子流形 2 】的分类研究，1 9 8 2 年n e j i r i 得到i i ，i i i 类的特征【3 】，1 9 8 8 年吴报强进一步深入研究【5 】，1 9 9 4 年李安民完成这一方 1 向最出色的工作 7 】，1 9 9 5 年瞿成勤继续研究 1 0 】，2 0 0 3 年在吴报强教授指导下，孟君完 成了c 中全实极小k a e h l e r 子流形的杰出论文 9 】2 0 0 5 年宋晓新得到了凹5 + p 中 k a e l l l e r 完备子流形是全测地子流形的一些条件【1 1 】。本文研究c p 科p ( 疗5 ) 中 k a e l l l e r 完备子流形是全测地子流形的条件。 2 2 准备 n 维复向量空间c ”是有序的n 个复数组成的数组的全体构成的复向量空间， 其元素记为z = ( z 1 ，矿) 。令 = 彬o d z i 则乃是c ”上的h e 册i t e 度量，它的实部是 g = ( 凼 出+ 砂。咖) ， ( 1 ) ( 2 ) 其中7 = 一+ = 面。可见，c ”作为黎曼流形等同于通常的欧氏空间月h ，因而 是完备平坦的，c ”上的k a e h i e r 形式是 b 孚哆= 一p 删 显然蹴= o ，因而c ”是一个k a e h l e r 流形。因为c ”是平坦的，故c ”的全纯截 面曲率恒为零，硒c c i 形式也是零。 设c 肘1 是行+ 1 维复向量空间，定义a = c 肿1 o ) ，其中。是c ”1 中零向量。 c ”1 的标准h e n i l i t e 内积是 + l 一 ( z ，”= 严w 。 ( 4 ) 口= l 其中z = ( z 1 ，z 肿1 ) ，w = ( ，w 树) c 。在a “中引入等价关系u 如下： 忱，w a 州，z 口w 当且仅当存在一个非零复数见，使得w = a z 。用【z 】表示z 的等 价类，令 c p ”= a “口= 【z 】；z g + 1 ， 3 ( 5 ) 并用7 r ：c 肘1 专c p 表示自然投影，则c p “相当于c 肿1 中一维复子空间的全体所 构成的集合。对于任意的z = ( z 1 ，z 叶1 ) a ”，有石( z ) = 【z 】对于c 斛1 中的由非零向 量z 所确定的维复子空间，设y 是c 尸”上的商拓扑则c p ”关于y 构成一个拓扑空 间。由于对角线集 s = ( z ，w ) c ? + 1 ；z 口w ( 6 ) 是a + 1 掣1 的闭子集，凹”是h a u s d o 艚空间【1 】。 对于每个a = l ，2 ，玎+ l ，定义c p ”的子集 使得 虬= 【( z 1 ，z 肿1 ) 】c 尸”；z 8 o ( 7 ) 显然， ；1 口刀+ 1 ) 是c p ”的开复盖。对于每一个口，定义映射纥：专c ” 其中 优( 【( z 1 ，z 肿1 ) 】) = ( 茛，) ( 8 ) ( 9 ) 容易看出，与虬中元素的代表元的选取无关，并且是虬到c ”上的一一对应， 其逆映射虻1 ：c ”专吮由 伊一1 ( 孝1 ，孝”) = 【( 孝1 ，孝口一，l ，孝4 ，善”) 】( v 孝= ( 孝1 ，孝”) c ”) ( 1 0 ) 给出。由商拓扑的定义还可看出，每个映射吃都是同胚。 对于任意的口，必有虬n a ，并且 纬。蛾1 ( ，嚣) = ( 易，彩)( v ( 芝，器) 纯( 虬n ) ( 1 1 ) 4 寸 时 吁 z 撕 锨 鱼 沦 1鱼 八i 当 当 一，一矿 1 1 莨 其中( 不妨设口 ) 影= r ， 啬，当i 口或i 肘 ，口 去，当i ：口时 二卢一l 。1 ”4 ，口 f l 告，当口 + g ( 4 ，x ) g ( 4 ，n( 5 0 ) 一g ( 4 】，】，) 一g ( 4 x ，】，) 2 ) h 降鬻= 1 - 2 均| 1 2 = 1 - 2 g ( 躺，x ) 2 ( 5 1 ) 令磕为嘭的共变导数，定义如下： 磙= 嘲一磁衅一硝+ 硝 ( 5 2 ) 则有： 颀= 磅= 椎( 磕关于f ，歹，后对称) ( 5 3 ) 令确为椎的共变导数，定义如下： l o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i 容 确= 璐一砀4 一碾蟛一壤4 + 橼 则有： 确一磕= 砝+ 令磅的l a p l a c i a i l 为： 磅如谢一蟛扩 明= 磕 由( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 6 ) 和m 的极小性得 磁劈= 劈嘭蜀驴+ 嘭研一嘭缁心班 l l ( 5 4 ) ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 5 7 ) 3 引理 设m 为c p 肿p ( 1 ) 的n 维k a e h l e r 子流形，则有引理1 、2 、3 、4 、5 如下： 引理t 设以= c 嘭，；以= c 坛，；群= c 吆a 即以= ( 耄羞) ，则有 i = 护( 4 4 4 4 ) 2 = 一8 碰砟= 一8 i i ( 5 8 ) 其中彳为w e i n g 甜e n 变换，其余同前，i i 见下： i i 叫名) 2 钧仃1 1 2 其中 艿= 纛5 ) ( 删 引理3 ( 5 9 ) ( 6 0 ) 扫盯1 1 2 = l 刚1 2 + i 一打( 4 以) 2 + 孚2 或圭忙1 1 2 = i i v 仃| 1 2 8 i i 一驴( 以以) 2 + 竺笋忙1 1 2 ( 6 1 ) 引理4 4 】 m 是吼的n 维完备k a e h l e r 子流形，若h 圭且p 为常数则m 是舫的全测地子流形。 引理5 ( 蒯2 4 ) 2 是几何不变量，它与气，绵选取无关 下证引理1 、2 、3 、5 因为，呜以= 鸭鸣所以 1 2 驴( 4 以一4 4 ) 2 = 州( 4 4 ) 2 4 4 2 4 一以彳4 + ( 4 4 ) 2 】2 2 护 ( 以2 鬈一( 以4 ) 2 】 = 一2 护【( 以2 鬈一( 以穆) 2 】+ 护【( 以2 鬈一( 以4 ) 】+ 州( 4 2 砟一( 4 以) 2 】 + 护 ( 以2 群一( 以钐) 2 】) = 一2 州彳彳一( 以以) 2 】+ 2 驴 彳鬈一( 以钐) 2 】+ 三纠彳名一( 以以) 2 】 + 2 护 鬈一( 以以) 2 】) = 一4 ，厂【彳名一( 以如) 2 】+ 打【鬈鬈一( 以厶) 2 】+ 玎【一( 以以) 2 】) = = 一4 f r 【鬈一( 以厶) 2 】+ 护【彳名一( 以砟) 2 】+ 2 州) = 一8 喇鬈+ 叫) = 一8 删：名= 8 i i 口口 引理1 得证 由 1 】知当日 l 一万时有 由此得 引理2 得征 叫彳害叫 护( 鬈) 2 = r 噬名譬川= 等2 由【1 得 圭例1 2 = p 盯1 1 2 + 护( 以以一4 4 ) 2 一护( 4 4 ) 2 + 孚矧1 2 由引理1 、2 知引理3 成立。 ( 6 2 ) 最后证明引理5 设人= ( 鸭4 ) 。则人是关于e i ，p 卢；白+ e 卢+ 的( 2 p ，2 p ) 对称矩阵同样的可设 人生( 喇以) 是，略；略的对应矩阵。定义满足吒= 气的酉矩阵 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s u = ( u 知) 则人= u 7 人u 于是 ( 蒯工以) 2 = 护人2 = f ，( u 7 人u ) 2 = 护人“= ( 俐卫以) 2 ( 枷a 以) 2 是几何不变量。 进一步，在适当选取坐标系气，咋；q ，p 卢后有 因此有 人= u 7 人u = o t r a ： 0 ( 删a 4 ) 2 = 2 ( 噬2 ) 2 1 4 ( 6 3 ) ( 6 4 ) 4 主要结果 定理：m 是c p ”p ( 1 ) 的n 维k a e l l l e r 完备子流形。5 ) 。若h 1 一面篆号历则 m 是c p 肘p ( 1 ) 的全测地完备子流形。 证：由引理2 知如果h l 一万有。 i i = 护( ) 2 等2 另一方面，由引理5 知( 刎z 以) 2 是几何不变量，与白，勺选取无关。又由 于对于任意的( 2 n ，2 n ) 矩阵a 有 ( 蒯2 ) 2 2 ，2 蒯4成立 ( 6 5 ) 于是由( 6 4 ) ( 6 5 ) 得 ( 蒯工4 ) 2 = 2 ( 噬2 ) 2 4 乃卅 ( 6 6 ) 其中 以= ( 虼) ；4 = ( 嘭) ( 6 7 ) 再由( 6 2 ) 得 ( 蒯工以) 2 2 ，z f 叫群玎万喇铆刚仃 由引理3 和( 5 9 ) ( 6 8 ) 式得 扣盯阳孚咱伽) 万) 2 因此，当万= 面砉笔时，由e h o p f 定理 1 2 】知忙0 2 和p 都是常数。 勇b 么当 日 一万= 一五石箸妄主茄吉 南引弹4 知m 县c p 肘吖1 、的伞涮地完各子流形。 1 5 ( 6 8 ) ( 6 9 ) ( 7 0 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 推论：m 是c p 肘1 ( 1 ) 的完备超曲面，若h 1 2 则m 是c p 叶1 ( 1 ) 的全测地完备子 流形。 1 6 硕士学位论文 m a s t e r 8t h e 裔l s 参考文献 【l 】 o g i u ek di 任e r e nt i a lg e o me t uo fk a e m e rs l l b m a 痂- f 0 l d s 。ad v ma n l ，l9 7 4 ， 1 3 ：7 3 1 1 4 脚 na i t o hh t ot a l l yr e a lp a r a l l e ls u b m a l l i f o l d sm 印”t o k y oj ma t l l 1 9 8 l ，4 ： 2 7 9 3 0 6 【3 】 e j i r in ，t bt a l l yr e a l mi nm ia ls u b m a m f o l d si nac o mp1 e x p r o j e c t i v es p a c e p r o c a me r ma m s o c 19 8 2 ，8 6 ：4 9 6 4 9 7 【4 】 t s u k 锄o t oy o nc o m p a c tk a e h l e rm a n i f o l d sw i t hp o s i t i v eh o l o m o 啦i c c u r v a t u r e p r o c j a p a i la c a d 19 5 7 ，3 3 ：3 3 3 3 3 5 5 】 wub a o q i a n g ，s o n gh o n g z a o o nnd m i e n s i o n a “o t a l l ym i r l i l l i a ls u b m a n i f o l d si n 印”a d v ma t h c hi 2 n a ，1 9 8 8 ，1 7 ：1 7 3 1 7 8 【6 】s o n gh o n g z a o ，w uba o q i a l l g p o s i t i v e l yc u r v e dm i n m i a ls u b m a n i f o l d si i l 印”c hi n q j ma t l l ，19 8 9 ，4 ：7 3 7 7 7 】 l ia m ，z h a og t b t a l l yr e a lm i 衄i a ls u b m a n i f o l d si n 印”ar c hma t l l ，l9 9 4 ， 6 2 ：5 6 2 5 6 8 【8 】 r 0 sa k a e h l e rs u b m 撕f o l d si nt h ec o m p l e xp r o j e c t i v es p a c e l e c t u r en o t e si n m a t l l ，1 9 8 5 ，1 2 0 9 ：2 5 9 2 7 4 9 】 m e n gju 1 1 t o 例1 yr e a 】mi ni ma la 1 1 dk a e h l e rs u b m a l l i f 0 1 dsi n 印” j x u 吐o l l i l o 加a luni v ，2 0 0 5 ，1 【l o 】quc h e n q i n g k a e h l e rs u b m a i l i f o l d si n 印”j m a t l l s t l l d y ，19 9 5 ，4 ：7 2 7 4 【l1 】s o n 瞽i a o x i i l h u c o n g e ，c o m p l e t e k a e 址e r s u b m a l l i f o l d s i n 印”j m a t h s t u d y 2 0 0 5 ，2 2 ：2 1 4 - 2 2 0 1 2 】陈维恒，李兴校著，黎曼几何下册，北京：北京大学出版社，2 0 0 4 【1 3 】白正国，沈一兵著，黎曼几何初步，北京：高等教育出版社，1 9 9 2 14 】h o u l lcs t 0 t a l l yr e a js u b m a 芏l i f o l d si nab c h n e rk a 制e rm a i l i f o l d 【j 】t e n s o rn s ，19 7 8 ，3 2 ：2 9 3 2 9 6 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 15 】“am ，l ijm a ni n e q u a l i t ) r 内rm a t r i c e sa n di t sa p p l i c a t i o n si i ld i 您：r e n t i a l g e o m e t 巧 j 】a d vm a t h ，19 91 ，2 0 ( 3 ) ：3 7 5 【1 6 】c h e nbyo g