（基础数学专业论文）子群的条件置换性与有限群的结构.pdf

摘要 为通过子群的性质来研究有限群的结构，郭文彬曾引入了条件置换子群和 完全条件置换子群的概念，并研究了这些子群的某些性质对有限群结构的影响 我们继续这方面的研究。得到了超可解群和幂零群的一些充分条件 首先，我们利用某些子群( 如极大子群，f i t t i n g 子群的素数幂阶循环子群) 的条件置换性给出了有限群为超可解群的一些充分条件例如，我们证明了t 1 设g 为可解群如果f ( g ) 的任意s y l o w 子群的循环子群均在g 中条件 置换，则g 超可解 2 设p 为一个素数，g 为p 可解群，又设是g 的正规子群使得g n 为p 超可解群如果的极大子群均在g 中条件置换，则g 为p 超可解群 其次，通过对极小子群( 当p = 2 时附加4 阶循环子群) 的完全条件置换 性进行研究，我们得出了有限群为超可解群和幂零群的一些充分条件例如， 1 如果有限群g 的极小子群均在g 中完全条件置换，且g 的每一个截断 与四元数群不同构，则g 超可解 2 如果有限群g 的极小子群都包含在g 的超中心z 。( g ) 中，且4 阶循环 子群均在g 中完全条件置换，则g 为幂零群 从而推广了许多已知的相关结果并且在群系的框架中讨论了s y l o w 子群以及 s y l o w 子群的极大子群对有限群结构的影响，在利用子群的性质研究有限群的 结构上具有一定的意义 关键词：条件置换子群，完全条件置换子群，s - 条件置换子群，幂零群，超 可解群 a b s t r a c t i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h es 幻m c t u r e so ff i n i t eg r o u p sb yt h ep r o p e r t i e so f t h es u b g r o u p s ，g u ow e n b i ni n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fc o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l e s u b g r o u pa n dc o m p l e t e l yc o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l es u b g r o u p ，a n di n v e s t i g a t e d h o ws o m ep r o p e r t i e so ft h e s es u b g r o u p si n f l u e n c e dt h e8 t n l c t u r 鹤o ff i n i t eg r o u p s w ec o n t i n u et h e s ei n v e s t i g a t i o n sa n do b t a i ns o m es u f 丑c i e n tc o n d i t i o n sa b o u ts u - p e r s o l u b l eg r o u p sa n dn i l p o t e n tg r o u p s f i r s to fa l l ，w eg i v e8 0 m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u ts u p e r s o l u b l eg r o u p sb y c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l ep r o p e r t i e so f s o m es u b g r o u p s ( f o re x a m p l e , t h em a x i m a l s u b g r o u p sa n dc y c l i cs u b g r o u p so ff i t t i n gs u b g r o u p sw i t hp r i m ep o w e ro r d e r ) f o re x a m p l e ，w eh a v ep r o v e d ： 1 l e tgb e8s o l u b l eg r o u p i fe v e r yc y c l i cs u b g r o u po fs y l o ws u b g r o u p so f f ( g ) i sc o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l ei ng ，t h e ng i sas u p e r s o l u b l eg r o u p 2 l e tgb eap - s o l u b l eg r o u p ，a n dnb ean o r m a ls u b g r o u po fgs u c ht h a t g ni sas u p e r s o l u b l eg r o u p i ft h em a x i m a ls u b g r o u p so fn a r ea l lc o n d i t i o n a l l y p e r m u t a b l ei ng t h e ng i sap - s u p e r s o l u b l eg r o u p s e c o n d l y , w eh a v eo b t a i n e ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u ts u p e r s o l u b l e g r o u p sa n dn i l p o t e n tg r o u p sb yi n v e s t i g a t i n gt h ec o m p l e t e l yc o n d i t i o n a l l yp e r - m u t a b l e p r o p e r t i e so ft h em i n i m a lg r o u p s o fc o u r s e ，w h e np = 2 ，w et a k ea c c o u n t o ft h ec y c l i cs u b g r o u p sw i t h4o r d e r f o re x a m p l e ： 1 i fe v e r ym i n i m a ls u b g r o u po ff i n i t eg r o u pgi sc o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l e i ga n de v e r ys e c t i o no fg i sn o ti s o m o r p h i ct 0t h eq u a t e m i o ng r o u p t h e ngi s as u p e r s o l u b l eg r o u p 2 i fe v e r ym i n i m a ls u b g r o u po ff i n i t eg r o u pgi sc o n t a i n e di nt h eh y p e r - c e n t e rz ( g ) o fg ，a n dt h ec y c l i cs u b g r o u p sw i t h4o r d e ra r ea l lc o m p l e t e l y c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l ei ng ，t h e ng i san i i p o t e n tg r o u p s o m ek n o w nr e s u l t sa r eg e n e r a l i z e d w ea l s od i s c u s sh o wt h es y l o ws u b g r o u p s i i a n dt h em a x i m a lm l b 刚p so fs y l o ws u b g r o u p si n f l u e n c et h es t r u c t u r e so ff i n i t e 孕o u p bi nt h ef o r m a t i o n ，w h i c hi ss i g n i f i c a n ti ns t u d y i n gt h es t r u c t u r eo ff i n i t e g r o u pb yt h ep r o p e r g i e so fs u b g r o u p s k e y w o r d s ：c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l es u b g r o u p ，c o m p l e t e b n d i t m n a l l yp e r - m u t a b l es u b g r o u p ，s - c o n d i t i o n a l l yp e r m u t a b l es u b g r o u p ，n i l p o t e n tg r o u p ，s u p e r - s o l u b l eg r o u p i l l 本文所用的符号 g 有限群 l g l 有限群g 的阶 口g d 属于有限群g o ( d 的阶 e x p ( c ) 有限群g 的方次数 a n t ( a ) 有限群g 的自同构群 7 r 【g ) i g i 的全体素因子组成的集合 i g l 1 g l 中的7 r - 因子，其中丌为一素数集合 p i i g i p 为i g i 的一个索因子 h g 日为有限群g 的子群 日 g 。= 1 使得每一主因子g j 一1 q0 = 1 ，2 ，8 ) 或为p 阶循环群或为p ，一群，则称g 为p 一超可解群 如果对于l g j 的每个察因子p ，有限群g 都是矿超可解群，则称g 为超可 解群 定义2 1 3 【3 9 】设g 是一个有限群，称群列 g = 甄( 2 冠+ 1 = l 为g 的中心群列，如果【尬，g 】sk + l ，i = l ，8 这时称8 为这个中心群列 的长度存在中心群列的群叫做幂零群 定义2 1 4 群的子群链 1 = g t g t l g 1 g o = go ) 称为有限群g 的一个极大链，如果g l g l “= l ，班g 的子群肘称 为g 的n 一极大子群( 或n 次极大子群) ，如果存在g 的一个极大链( ) 使得 m = g n 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 8 2 。2 部分引理及其证明 本节我们将给出一些在本文中起重要作用的基本事实，用引理的形式给出， 其中有些事实本身也具有独立的意义 引理2 2 1 【1 4 ，推论2 2 1 设g 为有限群，k 为g 的正规子拜，h 为g 的子群，则 1 ) 如果日在g 中条件置换，则h k k 在c k 中条件置换 2 ) 如果日在g 中条件置换，则对于任意z g ，h 2 也在g 中条件置换 引理2 2 2 【1 4 ，引理2 1 】设g 为有限群，k 为g 的正规子群，h 为 g 的子群，则 1 ) 如果耳在g 中完全条件置换，则h k k 在c k 中完全条件置换 2 ) 如果日在g 中完全条件置换，则对于任意z g ，h 。也在g 中完全 条件置换 3 ) 如果t m g ，t 是g 中的完全条件置换子群，则t 也是肘中的 完全条件置换子群 引理2 2 3 设g 为有限群，耳为g 的正规子群，日为g 的子群，则 1 ) 如果日在g 中3 一条件置换，则h k k 在a k 中5 一条件置换 2 ) 如果在g 中8 条件置换，则对于任意o g ，日。也在g 中s 一条件 置换 证明1 ) 由日在g 中争条件置换知，对g 的任意s y l o w 子群p ，存在2 g ， 使碍日p = p 。耳从而 h k k p 4 k k = h p 4 k k = p “h k k = p “k f k h k k 所以h k k 在c k 中争条件置换 2 ) h 在g 中s 一条件置换，故对于g 的任意s y l o w 子群p ，存在y g ，使 得日p = p l ，日，则h * p v 2 = p r = h 。令g = y x ，于是对于g 的任意s y l o w 子 群p ，存在g g 使得日。p 成群，故王产在g 中争条件置换口 引理2 2 4 设g 为有限群，日为g 的子群，为g 的正规子群如 果s n t f n s y l p ( h n n ) 。贼存茌r s y t p t h 、，p 1 r ，使祷t n = r n n ，s i n = p i n n 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 9 证明z 设p s u l p ( h ) 因为日n n 璺日，故 p n ( 日n n ) = p n n s y ( 日n i v ) 从而 阻n n l = i p o | | 置n b ， 故 h n | n ：p n | n 、= 、h n ：p n 1 日f i p n i 1 日n j i p l = - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ 。：_ - _ _ _ _ _ 。_ _ - _ - _ 。一 l p 耳 矿j 尸n l l p l l p n i | h n n i 1 日i 1 日n b 为数另一方面，i p ，l 为p 数，故 p n f n s 如( u l v l v ) 由$ y l o w 定理知，存在 = n h n h = h n 使 t n = l p n 丫i v = p “n n ， 而 p s h 6 = h ， 令r = p h 。则 r s w t 文h 、，且t i n = n n n 设s n 叫n = r n ，r s y p ( 日) 由模律可知， s = s o r n = ( s n n ) i v ， 计算阶得 p = l n n n ：s i = i r n ：s i = i r n ：( s n n ) u i ：= 业! 墨q 璺! 型! ：盟 i r n i 。l r n s n li r n s i 故月n s 为冗的极大子群令p l = r n s ，则有 s l v = ( r n 研u l v 口 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 0 引理2 2 5 设工为有限群g 的子拜，为g 的正规子拜如果三的桩大 子群均在g 中条件置换，则l n n 的租大子群在g n 中条件置换 证明设m n 是l n n 的任意极大子群，则 m l n 且m = m n l n = ( m n l ) n 设厶l 工且m n l l 1 ，则 工n n = m n l n n l l n n ， 故 工n n = l 1 n n ， 比较阶得 l l i 由g 为极小阶反例知垂( g ) = i 由于g 可解，故为初等交换p 群，且n = f ( g ) 取p 为g 的s y l o w p 予群，由文【3 9 】第1 v 章定理3 4 知， 垡西( p ) ， 所以存在马p ，使得垡岛所以 恳= p ，l n ：n n 岛l = i p ：p 2 = p ， 故n b 为的极大予群由题设知，尼与g 的任意s y l o w 子群争条件置 换，即对于i g l 的任意素因子q ，存在q s y l 。( g ) ，使得p 2 q 成群而 n b = n n i 2 q g p 2 0 ， 所以 q ( n p 2 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 2 又n 马粤p ，所以n 恳璺g ，由的极小正规性知，n 2 = i ，所以 为p 阶循环群，矛盾所以极小阶反倒不存在，g 为超可解群口 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 第三章条件置换子群对有限群的结构的影响 3 1s 条件置换子群 在这一节中，我们利用争条件置换子群来研究有限群的p 超可解性，得 到了p 超可解群的一个充分条件 定理3 1 1 设p 为一个素数，g 为p 一可解群，又设k 是g 的正规子群使 得g k 为p 超可解群如果k 的循环p 子群均在g 中争条件置棱，则g 为p 超可解群 证明设为g 的含于的极小正规子群，则k n 旦g n ， ( g n ) ( k n ) 兰g k 为p 超可解群显然对k n 的循环p 子群叫，一定存在r 的循环p - 子群 z ) ，使得t = ( 动n 由题设及引理2 2 3 知，引= ( z ) n n 在g n 中 条件 置换，从而a n 对于正规子群k n 满足定理的假设条件由归纳法知，g 为p - 超可解群 由g 为p 可解群知，为，一群或初等交换p 群如果为前者，即得 g 为p 超可解群如果为后者，下证为p 阶循环群 设g p 为g 的s y l o w p - 子群，则n g p ，设( 功为g ；的含于的极小正 规子群，取l gj 的任意不等于p 的素因子q 由假设存在g 的某个s y l o wq - 子 群q ，使得q ( x ) 成群又由伽) = 往) q n 里忙) q 知，q b ( ( 茁) ) ，故( z ) 璺g 由的极小性知，n = ( z ) 为p 阶循环群，所以g 为p 超可解群口 推论3 1 1 设为有限可解群g 的正规子群使得g n 超可解如果 的每个素数幂阶循环子群在g 中s 一条件置换，则g 超可解 推论3 1 2 如果有限可解群g 的每个素数幂阶循环子群在g 中8 - 条件 置换。则g 超可解 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 3 。2 条件置换子群 超可解群是一类重要的可解群，p 超可解群是超可解群的推广，国内外很 多群论学家都从事过这方面的研究在这一节中，我们利用条件置换子群来研 究有限群的超可解性和p 超可解性，得到了超可解群和p 超可解群的一些充 分条件 定理3 2 1 设p 为一个素数，g 为p 一可解群，又设是g 的正规子群 使得g n 为p 一超可解群如果n 的极大予拜均在g 中条件置换，则g 为p 一 超可解群 证明假设定理不真，而设g 为极小阶反例， 设x 为g 的任意非平凡正规子群，则g k 为p 可解群，且 ( g i k ) ( n k k ) 鲁g n k 垒( g n ) i ( n k n ) 为p 超可解群由引理2 2 5 知，n k k 的极大子群在g k 中条件置换由g 为极小阶反例知，g k 为p 超可解群，故g 为p 可解的外p 超可解群由引 理2 2 6 知 g = m l ， 其中m g ，m n l = 1 ，l 为g 的唯一极小正规子群且i l l = 矿，q 1 由工 的唯一性知，l n 如果l = n ，则 g = m ，m n n = 1 ，i n i = 矿，n 1 设l n ，由题设知，存在2 g ，使得 m 2 n l = g 或m z 如果m 2 1 = g ，由g = m = n 且舻n n = 1 知。 1 = n ， 矛盾 如果m 。l = 胗，则 1s m 2 n n = 1 ， 所以 i nj = p ， 矛盾， 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 5 如果三 ，则 n = g o n = m l n n = l ( m n i v ) 设1 使得m n n n 1 ，则 n 1 = n n 1 = ( l ( m n ) ) n l = ( l n n l ) ( m n ) 由题设知，l 在g 中条件置换，故存在z g ，使得1 m 2 成群又肘。g ， 故 1 m 。= g 或m 。 如果1 m 2 = g 。由引理2 2 7 可知 g = l m ， l n m = ( l o 1 ) ( m n n ) n m = ( m n ) 陋n n i n m ) = m n n 由g = l m = m 比较阶得，j 也= n ，矛盾 如果n i m z = m 2 此时 工n n i l s m 由l m 4 = g 且工n m 。= 1 知， l n l = 1 ， 故 1 = m n n n 取l l l ，则存在g ，使得研( m n n ) 成群因为研l ，所以 m n n 硝( m n n ) n ， 又m n ，故 研( m n n ) = n 或m n ， 如果l i ( 掰n ) = n ，则由n = l ( m n n ) 以及己n m = 1 知， 研= l ， 矛盾 如果研( m n n ) = m n n ，则 l i m n n ，日l n m o n = 1 ， 故 l l l = p ， 矛盾所以极小阶反例不存在，g 为p 超可解群口 推论3 2 1 设为可解群g 的正规子群使得( v 超可解如果的极 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 6 大子芹均在g 中条件置换。则g 超可解 推论3 2 2 如果可解群g 的极大子拜均在g 中条件置换。则g 为超可解 群 定理3 2 2 设日为可解群g 的正规子拜使得a h 超可解如果f ( h ) 的任一8 y l o w 子群的循环子群均在g 中条件置换，则g 超可解 证明如果垂( g ) 1 设p 为i 西( g ) l 的素因子，取p 为西( g ) 的s y l o wp - 子 群，由于pc h a r 垂( g ) 里g ，故p 里g ，由题设 ( g p ) ( h p p ) 型g h p 竺( g h ) ( h p h ) 超可解由引理2 2 8 及文献【3 9 】第章定理3 7 知， f ( h p p ) = f ( 日p ) p = f c h ) p p ， 由引理2 2 ，4 知，f ( 日p p ) = f ( 豆) 彰p 的s y l o wq - 子群可写为q 1 彰p ，其中 q l s y l 口( f ( 日) ) ，故f ( u p p ) = f ( 日) p p 的s y l o wq - 子群的循环子群可写 为( z ) p p ，其中z q - 由题设及引理2 2 1 ，和) 尸p 在c p 中条件置换，故 c p 满足题设条件由归纳假设知a l p 超可解，而ps 圣( g ) ，故g 超可解 如果垂( g ) = 1 由g 可解知 f ( a ) = r 1 见， 其中局o = 1 ，一，8 ) 为g 的极小正规子群，由于h 璺g ，故 f ( h ) f ( g ) 由引理2 2 9 知，f ( h ) 是g 的某些包含在日中的极小正规子群的直积，不妨 假设 f ( h ) = r 1 冠，其中ss 因圣( g ) = 1 ，故存在m g ，使得r igm ，则g = m r l 因r 1n m 塑m 且 r l 为交换群，所以m n r z = 1 任取1 z r l ，o ( x ) = p ，p 是l f ( 日) l 的素因 子因( 。) 在g 中条件置换，故存在g g ，使得m 9 ( x ) 成群由m g g 知， m g ( x ) = 脾或g 如果m g ( x ) = m g ，则 扛) ，“m ， 这与m n r l = 1 矛盾，故 m 9 ( 。) = g 由m g r z = g 且 扣n r l = 1 知，r l = ( z ) 为p 阶循环群同理可知毋o = 1 ，t ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 7 均为索阶循环群，考虑群列 1 = 雪( 日) r x r i 岛sr lx 忍= f ( 日) ， 由引理2 2 1 0 知，日超可解 如果t = s ，则f ( g ) = f ( 日) 。再次利用引理2 2 1 0 即得g 超可解所以可 假设t 8 ，并令 f ( h r i r ) = l r “= t + 1 ，s ) ， 由见的极小性知， r n h = r i n f ( 日) = 1 又由日超可解得，目的导群日幂零。从而日7 r 鼠幂零，故 抒f sl f 从而日7sl 有 l f h l s h f h = h h x 墩h | h t 又h h 7 与尼日为交换群，故l h 为交换群，从而 l = l ( 冠n f ) s l 足xl h 为幂零群又因为l 粤h r ，故l 璺f ( h 皿) ，从而工见f ( h 尼) 足另一方 面，显然 f ( h p h ) 届工r ， 故 f ( h r ) r = l 尾， 而由引理2 2 8 得 f ( 日r ) = f ( h ) 足， 故 l = f t h 、r & 由引理2 2 4 及引理2 2 1 知，l 忍= f ( 日) h i 冠的s y l o w 子群的循环子群在 g i 冠中条件置换，而 ( g r ) ( h i l l 风) 型g h r 矣( g h ) ( h 忍h ) 超可解，故g 忍满足题设条件由归纳法可知g 尼超可解，又g h 超可解， 故g = g ( h n r ) 焉g hx g r 超可解口 推论3 2 3 设g 为可解群如果f ( g ) 的任意s y l o w 子群的循环子群均在 g 中条件置换，则g 超可解 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 3 完全条件置换子群 完全条件置换子群自2 0 0 5 年由郭文彬提出后，为许多群论学家所研究本 节尝试用子群的完全条件置换性来研究有限群的超可锯性和幂零性获得了一 些关于超可解群和幂零群的结果 定义3 3 1 【4 2 】设g 为有限群，u ( c ) = 塑g l 对于g 的任意超可解 子群耳，都有k 超可解 显然u ( g ) 不为空集令u ( g ) = ( n i n t i ( g ) ) ， 则v ( c 1c h a r g 事实上，设n “( g ) 。k g 且k 超可解，口a u t ( g ) ，则。k = ( n k 。- * ) n 显然n k a