（机械制造及其自动化专业论文）基于vc的非圆齿轮设计、制造及其应用的研究.pdf

湖北工业大学硕士学位论文 摘要 非圆齿轮是用来传递两轴间非匀速运动的。由于其传动比不是常量，当输入 转速为常量的情况下，得到的输出转速是一个随时间变化的函数。同时，它还具 有可按要求的运动关系精确地设计和制造，结构紧凑、刚性好、传动比平稳和容 易实现动平衡等特点。由于非圆齿轮传动在运动学、几何学方面的特有的传动特 点，使其逐渐在各种机械中得到日益广泛的应用。 论文以v c 为开发平台，以o b j e c t a r x 为开发工具，在a u t o c a d 环境下结合 齿轮啮合的基本原理和非圆齿轮c a d c a m 方面的研究成果，并以椭圆齿轮为例， 从设计、制造和应用三个方面展开讨论： 1 在设计方面，总结了非圆齿轮节曲线设计的一般方法，研究了构造三次 样条曲线设计节曲线的一般方法，并建立节曲线的通用求解模型。齿形设计上， 研究了通过齿轮啮合原理求解出非圆齿轮真实齿形的数学模型，据此在计算机中 建立相应的实体模型，及通过仿真加工过程直接获得非圆齿轮实体模型的方法； 2 在制造方面，通过建立数控加工的数学模型，开发出数控插齿和数控滚 齿两种加工模块。并在a u t o c a d 中完成加工模拟，获得相应的数控加工代码； 3 在应用方面，以典型非圆齿轮机构一椭圆齿轮曲柄滑块机构为例，对其 进行了运动学分析，并使用m a t l a b 优化工具箱对机构参数进行了优化设计，最 后通过o b j e c t a r x 编程，在a u t o c a d 中进行了机构的运动仿真和齿轮副的啮合仿 真，直观的验证了设计结果的正确性。从而，为非圆齿轮机构的设计提供了一般 的解决方法，也便于机构的选型与校验。 关键词：非圆齿轮，v c ，c a d c a m ，仿真 湖北工业大学硕士学位论文 t 目目4 目4 t 目目e 口目自留神蠕j ；日b 呻k 奠日g 穗目d ，匮目k 目h 2 n t 毫t 醒o 目哥眄日瞄自眦耻，目自_ a b s t r a c t n o n c i r c u l a rg e a ri su s e dt ot r a n s m i tn o n u n i f o 珊m o t i o nb e t w e e nt w 0a x l e s b e c a u s ei t sd r i v ei a t i oi sn o tc o n s t a n t ，w h e ni n p u t t e dac o n s t a n tr o t a t i o nr a t e ，t h e r o t a t i o nr a t eo fo u t p u to b t a i n e di saf u n c t i o nc h a n 2 i n gw i t ht i m e m e a n w h i l e ，i tc a n a l s 0b ed e s i 2 皿e da n dm a n u f a c t u r e da c c u r a t e l va c c o r d i n gt ot h em o v e m e n tr e l a t i o no n r e q u e s t ，w i t ht h ec h a r a c t e r i s t i c so fc o m p a c ts t m c t u r e ，f i n er i g i d i t v ，s t e a d vd r i v ef a t i o a n dr e a l i z i n gd y n a m i ce q u i l i b r i u me a s i ly t h ep e c u l i a rt r a n s m i s s i o ni nl 【i n e m a t i c s ， g e o m e t r yo ft h en o n - c i r c u l a rg e a rm a k e si ti n c r e a s i n g l yg e t t i n ga p p l i e di nv a r i o u s k i n d so fm a c h i n e r y t a k i n gv ca st h ed e v e l o p i n gp l a t f b n n ，o b j e c t a r xa st h ed e v e l o p i n gt o o lu n d e r a u t o c a d ，t h et h e s i sc o m b i n e sb a s i ct h e o r 、，o f2 e a rm e s h i n gw i t hr e s e a r c hr e s u l t so f c ai ( ：amo fn o n c i r c u l a rg e a r a n dt a k e se l l i p t i c a lg e a r sa s 柚e x a m p l e ，行o mt h r e e r e s p e c t s 旬e s i g n m a n u f a c t u r ea n da p p l i c a t i o n - t ou n f o l dd i s c u s s i o n ： 1 i l ld e s i g n ，i ts u m m a f i z e st h e2 e n e r a lm e t h o d so fd e s i 2 l l i n gp i t c hc u r v e so f n o n c i r c u l a rg e a r s ，s t u d i e st h eg e n e r a lm e t h o do fd e s i 王乏n i n gp i t c hc u r v e sb v c o n s t r u c t i n gc u b i cs p l i n ec u r v e ，a n ds e t su pt h ec o m m o nm o d e lo fp i t c hc u e s s o l v i n g o nl o o t hs h a p e ，i ts t u d i e st w om e t h o d s ：o n ei st oo b t a i nt h em a t h e m a t i c s m o d e la b o u tt h er e a lt e e c ho fn o n c i r c u l a rg e a r st h r o u 曲g e a rm e s h i n gt h e o r y ，a n d t h e ng e tt h ec o r f e s p o n d i n ge n t i t vm o d e li nt h ec o m p u t e ri nv i e w0 ft h ea b o v e t h e 0 t h e ri st og e tt h ee n t i t ym o d e ld i f e c t l vb vs i m u l a t i n gp r o c e s s i n gc o u r s e ： 2 h lm a n u f a c t u r e ，b vs e t t i n gu pt h em a t h e m a t i c sm o d e l0 fn u m e r i c a lc o n t r o l p r o c e s s ，i td e v e l o p st w ok i n d so fp f o c e s s i n gm o d u l e n cg e a rs h a p i n ga n dn cg e a r h o b b i n g舢dp r o c e s ss i m u l a t i n gi sa i s oi m p l e m e n t e du n d e ra u t o c a d ， a n d c o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lc o d e sa r eo b t a i n e d ； 3 i i la p p l i c a t i o n ，t a k i n gat y p i c a ln o n c i r c u l a rg e a rm e c h a n i s n 卜- e l l i p t i c a lg e a r s l i d e c r a n km e c h a n i s ma sa ne x a m p l e ，k i n e m a t i ca n a l v s i si sc a r r i e do u t o d t i m u m d e s i g no ft h ep a r a m e t e r sf o r t h em e c h a n i s mi sa l s of i n i s h e db vm a t l a b o p t i m i z a t i o nt o o l b o x f i n a l l y k i n e m a t i cs i m u l a t i o no ft h em e c h a n i s ma n dm e s h i n g s i m u l a t i o no fap a i ro fg e a r sa r ec o n d u c t e dt h r o u g l lo b i e c t a r xp r o 掣a m m i n gu n d e r a u t o c a d ，v i s u a u y p r o v i n 2t h ee x a c t n e s so ft h er e s u l t t h i st h e s i sp r o v i d e sa c o m m o ns o l u t i o nt ot h ed e s i g no fn o n 。c i r c u l a rg e a rm e c h a n i s ma n dm a k e si t c o n v e n i e n tt oc h o o s ea n dv e r i f yt h em e c h a n i s mt y p e s k e y w o r d s ：n o n c i r c u l a rg e a r s ，v c ，c a d c a m ，s i m u l a t i o n 湖北二繁火謦 学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其它个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：起易 日期：励年7 月侈日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权湖北工业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：起易 日期：加；：睁f 月膨日 湖北工业大学硕士学位论文 第1 章引言 非圆齿轮( n o n c i r c u l a rg e a r s 或n o n c i r c u l a rg e a r s ) 是一种变传动比的齿轮机 构，而目前应用最多的圆形齿轮则是实现定传动比的齿轮机构。当某些机械( 特 别是自动机械，如曲柄压力机、摆线式运输机等) 要求变传动比传动时，单一的 圆形齿轮就难以满足这种要求了。 非圆齿轮是用来传递两轴间非匀速运动的。它的节曲线形状是按运动要求专 门设计的，和其他能得到非匀速比传动的机构( 如凸轮、连杆等) 相比，具有明显 的特点，如非圆齿轮副可以精确地按要求的运动关系设计和制造，运动精度高； 节曲线封闭的非圆齿轮副可以单向连续地转动，获得周期性的变速比运动；齿轮 副的结构紧凑、刚性好、传动比较平稳，容易实现动平衡等【1 j 。 但在实际中，应用最多的变传动比机构是凸轮机构和其它一些连杆机构组成 的组合机构，其中最主要的原因是非圆齿轮的设计复杂，制造困难，因而限制了 它的应用。而近年来随着计算机技术及数控技术的日益发展，非圆齿轮的设计和 制造已不再是一个难题，非圆齿轮也逐步在各种机械中得到日益广泛的应用。但 非圆齿轮在节曲线设计、齿形设计及数控加工等方面仍存在一些不足，因此对非 圆齿轮进行深入研究具有一定的理论和实践意义。 1 1 非圆齿轮技术的发展及研究现状 非圆齿轮的啮合理论是在圆形齿轮啮合理论的基础上发展起来的，根据基本 啮合定理( w i l l i s 定理) ，确定了非圆齿轮齿形啮合的几何条件。经过许多学者 的研究，在2 0 世纪初就已经解决了非圆齿轮的基本啮合理论和基本设计方法等 许多问题。在1 9 1 0 年，d u n k e r l v 就在其著作m e c h a n i s m 一书中描述了用椭 圆齿轮和卵形齿轮做成的油泵，这是一部较早提及非圆齿轮的著作1 2 j 。 到6 0 年代时，非圆齿轮传动技术的研究已形成了比较完整的理论体系。其 中有代表性的著作是原苏联学者李特文编著的非圆齿轮一书，该书就当时的 技术水平对非圆齿轮作了较系统和完善的论述，反映了当时非圆齿轮的研究水 平。同一时期，日本、美国、印度、加拿大等国的学者也对非圆齿轮进行了大量 的研究，并取得了一定的成果，推动了非圆齿轮技术的发展。但由于这段时期加 工非圆齿轮一般使用靠模法、分度近似切齿法或断续展成法，使得生产效率和加 工精度都很低，通用性差，成本高，限制了非圆齿轮的推广和应用。 2 0 世纪8 0 年代以来，随着计算机技术及数控技术的迅猛发展，各国学者从 湖北工业大学硕士学位论文 非圆齿轮的设计、加工、应用等方面进行了更加深入的研究1 3 培j ，并研制了相应 的设计、加工软件包，如德国学者研制的用于计算和模拟的非圆齿轮的软件包， 日本学者研制的非圆齿轮q c 蝴系统等，都取得了令人瞩目的成就，使非 圆齿轮传动技术更加成熟和实用。如以太田浩和香取英男等为代表的日本学者研 制的非圆齿轮c a d c 蝴系统包括自动设计过程、自动检测过程和自动生成数 控磁带的过程，实现了从设计到加工的自动化。这一时期非圆齿轮加工多采用数 控插齿，连续展成的方法，加工效率和精度显著提高。 国内对非圆齿轮传动的研究始于1 9 7 5 年。我国学者李福生等人编译了李特 文编著的非圆齿轮一书，该书是国内最早介绍非圆齿轮的著作。在此基础上， 李福生等人又于1 9 8 1 年编著了非圆齿轮与特种齿轮传动设计一书，为我国 非圆齿轮技术的发展做出了很大的贡献。2 0 世纪8 0 年代到9 0 年代，我国的不 少学者从不同侧面对非圆齿轮进行了研究，并取得了一定的研究成果。如国内学 者田立俭【9 1 、刘生林【1 0 1 、谭伟明【1 1 _ 1 2 1 、崔希烈1 3 1 4 1 、徐晓俊【1 5 1 、洪贵学【1 6 1 、李建 生【1 7 j 等人，分别从非圆齿轮的节曲线设计、齿廓曲线数学模型建立、齿廓分析、 重合度计算、测绘方法及具体应用等不同角度对非圆齿轮传动技术进行了深入的 研究；随着计算机技术的发展，胡恩楚【1 8 】、孙文磊f 1 9 】、谭伟明【冽等学者利用计 算机技术，进行了非圆齿轮传动的计算机辅助设计、动态模拟及仿真等方面的研 究。1 9 9 6 年，吴序堂、王贵海编著的非圆齿轮及非匀速比传动一书是在总 结国内外先进经验和技术的基础上而成的非圆齿轮专著，它全面反映了近年来非 圆齿轮的研究成果，广泛介绍了非圆齿轮的各种实际应用，标志着我国在非圆齿 轮传动理论，尤其是在应用方面迈上了一个新台阶。 从最近几年研究生的学位论文来看，也是各自从不同角度对非圆齿轮进行了 研究，取得了一定的研究成果。具体如下： ( 1 ) 2 0 0 3 年湘潭大学的研究生郭承志在其学位论文非圆齿轮节曲线的设 计方法、c a d 及应用研究一文中1 2 ，主要从非圆齿轮节曲线的设计方法、计 算机辅助设计以及非圆齿轮的应用等三个方面进行了研究。提出了设计非圆齿轮 节曲线的两种方法，即通过初始节曲线的向径函数设计一对相同非圆齿轮的节曲 线和通过传动比函数构造非圆齿轮节曲线，并在压力机和四轮输送车转向机构中 给出了具体的应用。 ( 2 ) 2 0 0 4 年合肥工业大学的研究生王淑杰在学位论文非圆齿轮传动的快 速优化设计中【2 2 1 ，将优化设计引入非圆齿轮传动设计中，在给定传动比变化规 律的前提下，选取一组几何参数，在保证齿轮正确啮合、连续传动的约束下，尽可 能逼近给定的传动比变化规律。提高了非圆齿轮设计的效率和一次成功率，改善 了设计质量。 2 湖北工业大学硕士学位论文 同年，苏州大学的赵礼刚在非圆齿轮c a d 、c a m 及仿真设计的研究一文 中p j ，主要研究了非圆齿轮中的椭圆齿轮、高阶椭圆齿轮节曲线和齿廓曲线的设 计，及将齿廓曲线转化成3 b 指令格式，并通过接口程序将3 b 指令传输到线切割 机床进行加工。最后对非圆齿轮的啮合进行了运动仿真。 ( 3 ) 2 0 0 5 年湘潭大学的研究生杨世平在学位论文基于v b 的非圆齿轮 c a d c a m 系统研究与开发中【川，基于v i s u a lb a s i c 语言，采用非圆齿轮在计 算机辅助设计和制造中的最新研究成果，开发非圆齿轮的c a d c a m 专用系统。 应用了v b 的各种高级绘图功能开发了非圆齿轮节曲线设计模块，并在此基础上， 开发了数控插齿和滚齿的数控程序生成模块。并使用v b a 仿真加工过程的原理， 开发了椭圆齿轮实体造型的模块。 尽管计算机技术和数控技术的发展使得非圆齿轮在设计、制造中的难题逐步 得到解决，但非圆齿轮在节曲线设计、齿形设计及数控加工等方面存在的一些不 足尚未得到根本克服，具体表现在： ( 1 ) 在设计方面，对于非圆齿轮节曲线的形状还未能寻找出一种有效的控 制方法。因为并非任意形状的曲线都能用作非圆齿轮节曲线，实用的非圆齿轮节 曲线形状受到许多限制，比如要满足啮合压力角范围及根切限制条件的要求等， 因而仅用几种常规的标准解析型函数来调整非圆齿轮节曲线的形状，具有很大 局限性。虽然不少学者在此方面做了不少研究，如丁国富等提出的基于b 样条 函数的非圆齿轮节曲线设计，刘生林等提出用h e r m i t e 三次样条进行非圆齿轮 节曲线设计等，但尚需进一步完善。在齿廓曲线设计上，因为每个齿左右两边齿 廓曲线及过渡曲线方程都不一样，用解析法求解齿廓方程时未能按啮合原理推导 出真实齿廓的方程，往往忽略掉齿根过渡曲线部分，因此所建的齿轮模型不准确。 而成形加工、轮齿弯曲强度计算、虚拟装配、干涉检验等都要求建立真实齿廓曲 线的数学模型。 ( 2 ) 在制造方面，目前我国规定数控机床都采用i s o 代码来设定用户编程指 令。虽然各类机床对于i s o 的“不指定代码的使用有所不同，但加工指令都 是一致的，一般只有g o l 、g 0 2 、g 0 3 ，它们分别为直线插补指令、顺圆插补指令 和逆圆插补指令。对绝大多数数控机床而言，它们不具备直接加工非圆曲线轮廓 的插补功能。因此，要在数控铣床上加工非圆曲线轮廓，只得利用数控机床加工的 直线或圆弧去逼近它们。非圆曲线轮廓的近似加工方法有：等间距直线逼近法、 等弦长直线逼近法、等误差直线逼近法和圆弧逼近法等。当采用这些方法时，需 在精度允许的条件下，按一定规则确定用于逼近非圆曲线的直线或圆弧的端点、 圆心等参数，既需求出非圆曲线的节点坐标等。而为保证非圆齿轮的加工精度， 要求用于逼近非圆曲线的直线段或圆弧段足够小，这将导致程序长度特别长；而 3 湖北工业大学硕士学位论文 且由于在精插补的每段程序内系统都要进行升降速控制，这将导致刀具运动速度 的波动，致使速度无法升上去，直接影响到齿轮的加工精度和加工效率【2 5 1 。 另外，非圆齿轮还存在没有统一的国家标准，无法精密测量等问题。这些都 影响了它的精度和广泛应用【2 6 】。 1 2 本文的研究内容及创新之处 1 2 1 本文的研究内容 图1 1 本论文研究内容的结构简图 本论文基于v i s u a lc + + 的开发平台，采用o b j e c t a r x 作为开发工具，在 a u t o c a d 环境下结合齿轮啮合的基本原理和非圆齿轮计算机辅助设计与制造方面 的研究成果，重点在非圆齿轮节曲线设计的新方法( 利用离散点拟合设计节曲 线) 、真实齿形数学模型及实体模型的建立方法、非圆齿轮数控加工与仿真、典 型非圆齿轮机构的应用等方面进行的研究。本论文研究内容的结构简图如图1 1 所示。论文建立了非圆齿轮啮合运动及刀具的数学模型，并根据齿轮啮合原理推 导出非圆齿轮真实齿形的数学模型；根据非圆齿轮的加工运动关系，建立了数控 加工的数学模型，据此在a u t o c a d 环境下通过仿真加工过程获得了非圆齿轮的实 体模型和相应的数控加工代码；对典型的非圆齿轮机构进行了运动学分析，建立 了机构优化设计的数学模型，并输出最优的设计参数。所有的研究工作，最后均 通过v c + + 编程，在a u t o c a d 环境下进行了数字化仿真验证，证实了设计结果的 正确性。 4 湖北工业大学硕士学位论文 嘧疆置强矗目如包轧嗣啦霸崔盥口碍盏陬 涝翟墨翟曼叼矗4 啵弓珊麓皇= 薅豫粕审啦僦西羁矗塌算瘫妊话敖 1 2 2 创新之处 ( 1 ) 本论文中所绘图形及运动、加工仿真的验证工作均是采用v c + + 与m a t c o m 混合编程，在a u t o c a d 环境下实现的。这样既保持了m a t l a b 的优良算法，又保 持了c + + 高的执行效率。 其中，v i s u a lc + + 是当前主流的应用程序开发环境之一，开发环境强大，开 发的程序执行速度快。但在科学计算的函数库方面显得不够丰富，读取、显示数 据图形不方便。m a t l a b 是一款将数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示结 合在一起，包含大量高度集成的函数可供调用，适合科学研究、工程设计等众多 学科领域的一种简洁、高效的编程工具。而m a t c o m 是m a t h t 0 0 1 s 公司推出的世 界上第一个由m a t l a b 到c + + 的编译开发软件平台，提供对m a t l a b 程序文件( m 文 件) 的解释执行和开发环境支持。它可将m a t l a b 的源代码译成同等功能的c + + 源 代码，因而可实现高效的编程【2 7 瑚】。因此论文的编程采取混合编程的方法。 ( 2 ) 研究了通过构造三次样条曲线进行非圆齿轮节曲线设计的一般方法， 建立节曲线求解的通用数学模型。对标准的解析式和列表曲线提供了统一的数学 描述，因此有利于工程数据的管理、开发和应用。 ( 3 ) 基于齿轮啮合原理求解共轭齿廓的运动学解法【拉3 们，分别建立了求解 齿条型刀具和齿轮型刀具加工非圆齿轮形成齿廓曲线方程的一般数学模型，为获 得非圆齿轮真实齿廓的实体模型和数控加工编程提供了数学依据。 ( 4 ) 通过o b j e c t a r x 编程，在a u t o c a d 环境中，按仿真齿轮加工过程的原 理，对非圆齿轮进行加工模拟，同时，开发出生成数控插齿和数控滚齿c a m 加工 模块，在加工仿真获得非圆齿轮实体模型的同时，得到相应的数控加工代码。 其中，0 b j e c t a r x 是a u t o c a d 系统的第三代开发工具之一，它支持面向对象 编程方法并集成到v i s u a lc + + 中，这样用户可以采用c + + 语言，方便地开发a r x 应用程序。a r x 程序实际上是一个动态链接库( d l l ) ，当a u t o c a d 调用它时在运 行中加载。它独立于a u t o c a d ，却与a u t o c a d 共享同一地址空间，并可直接利用 a u t o c a d 的内核代码，访问a u t o c a d 的数据库、图形系统和几何造型核心，在运 行期间实时扩展a u t o c a d 具有的类及其功能，建立与a u t o c a d 本身的固有的命令 操作方式相同的新命令【3 卜3 2 1 。 ( 5 ) 对典型的非圆齿轮机构( 椭圆齿轮曲柄滑块机构) 进行了运动学分析 和尺寸参数的优化设计。并在a u t o c a d 环境下，完成机构的运动学仿真和齿轮副 的啮合仿真，给出了分析和解决该类问题的一般方法。同时，直观地验证了设计 结果的正确性，便于机构的选型和校验。 第2 章非圆齿轮的节曲线设计 齿轮的节曲线是齿轮传动时的滚动曲线【”】。齿轮传动时，两个相滚动曲线接 触点上的相对速度等于零，故接触点就是两齿轮的瞬时回转中心。因此，齿轮的 节曲线又称为瞬心线。在整个非圆齿轮的设计过程中，节曲线的设计是第一步， 也是至关重要的一步。在一对非圆齿轮的啮合过程中，其传动比的变化规律是由 两轮节曲线向径的变化规律决定的。节曲线设计的合理与否直接关系到齿轮副传 动的运动情况。 2 1 节曲线设计的基本方法【一1 为便于以后讨论，现将基本的关系式和相关参数表示如下： ( 1 ) 设主动轮转角为蚜时，对应从动轮转角为仍。称两转角之间的关系为非圆 齿轮传动的位置函数，表示为 仍一，( 砚) ( 2 1 ) ( 2 ) 设主动轮的瞬时角速度为q ，从动轮的瞬时角速度为哆，则两齿轮的传动 比函数可表示为 铲胞，一薏一糍一象一志 c 2 叫 由上式，位置函数可进一步表示为 仍叫咖r 誓= r 焉 ( 2 3 ) ( 3 ) 设主动轮的节曲线向径为，对应从动轮节曲线向径为厂2 ，两齿轮副中心 距为彳。则：彳一厂2 。式中，+ 号用于外啮合传动，一号用于内啮合传动，并假 定，2 _ 。以后各式中均按此规定，不再予以说明。 又传动比函数：。厂( 竹) ；垒：盟，由此可解出主动轮的节曲线向径为 湖北工业大学硕士学位论文 彳彳 2 再2 丽 ( 2 4 ) 从动轮的节曲线向径，2 为 乞卅 彳告卅器 c2 吲 2 1 1 按给定的传动比函数和两轮的中心距设计节曲线 设齿轮副的中心距为彳和传动比函数为f 1 ：一厂( 纺) 。由式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 和( 2 5 ) 知：主从动轮的节曲线方程分别为 主动齿轮：鑫- 志 在吼的变化范围内，传动比函数，( ) 应该是有限正值光滑函数1 。 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 当已知中心距彳= 1 0 0 ，传动比函数厂( 吼) 一乇一七吼，竹【o 。，3 0 0 。】且当红一o 时，厂( 竹) 一1 5 ；当鲲- 3 0 0 时，( 红) 一o 8 。则节曲线的设计结果如图2 1 所示。 图2 1 按传动比函数和中心距设计节曲线 1 一主动齿轮节曲线2 一从动齿轮节曲线 一1、_ 、一+ i 逝 4 一) l 翰一够 鱼触 一屯r 4 t l q一：p 挚k 千 竹， 钾r 吃 眈 轮齿动从 湖北工业大学硕士学位论文 a 嘲i 日浑臻 c 毫= 出，隹叮嚣q 目口：王，r 一学t l 刚嘴：喇；o 气 月= # a b ：k m 珏_ 二西 断二碡q g ! 璁杞：a ，a # a t = n r s 岛 2 1 2 按欲再现函数和两轮的中心距设计节曲线 设欲再现函数为y 一，o ) ，x 在【_ ，z ：】内连续可微。令主动轮1 的转角铭与 自变量x 成正比，从动轮2 的转角仍与厂 ) 成正比，即： 菱二麓】) c 2 刊 仍一七：【， ) 一，( 五) 】i 式中，毛，七：为比例系数。 由式( 2 _ 2 ) 传动比函数可表魏小地) 鬻一糕 由式( 2 8 ) 求出d 纺出和d 讫出，代入上式后得 f 1 2i ，瓴) | 南 _ 9 ) 将式( 2 9 ) 代入( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式，得外啮合主动轮的节曲线方程为 魄一向o 一) 1 p 垡也! 2 一l o ) 1 毛+ 七：，o ) i 从动轮的节曲线方程为 仍七：【厂o ) 一厂“) 】1 乞一蠢 q 叫。 p 石蔚丽 i 为了有利于力的传递并保证给定函数有较高的再现精度，七：应取较大的比 例系数，其最大值由下列条件决定： 屯；兰盘坚- ( 2 一1 2 ) 吃一 七。里幽l( 2 1 3 ) 。厂 ：) 一厂“) 式中，魄一和。分别为主动和从动齿轮的最大回转角。在大多数情况下， 用来再现函数的非圆齿轮副的节曲线是不封闭的。对于这种齿轮，根据切齿条件， 允许。，= 3 0 0 3 3 0 。 8 湖北工业大学硕士学位论文 当要求再现函数为y = 2 5 1 0 “z 2 ，x 2 0 0 ，1 0 0 0 】，中心距彳= 5 0 ，主动轮最大 转角取为2 8 0 。，从动轮最大转角取3 0 0 。时，节曲线的设计结果如图2 2 所示。 2 图2 2 按欲再现函数和中心距设计节曲线 1 一主动齿轮节曲线2 一从动齿轮节曲线 2 1 3 按主动轮的节曲线和两轮的中心距设计节曲线 当给定条件是主动轮l 的节曲线方程一( 竹) 及两轮的中心距彳。由式( 2 5 ) ，则从动轮2 的币曲线万栏为 r 2 ( 吼) l 彳千吒( ) 1 仍一r 器一r 躲r 淼d 竹 q 1 4 以主动轮1 是一阶椭圆齿轮为例，其方程为吒。_ 上，其中p 。口( 1 一p z ) 。 且从动轮2 回转一圈时，其向径，2 周期变化刀：次。欲求从动轮2 的封闭节曲线方程， 首先由式( 2 1 4 ) 第二式( 位置函数) ，求出使得主动轮1 和从动轮2 都封闭的两 齿轮的中心距彳= 厂o ：) 和竹与仍问的转角关系，即 彳；m ：) ；讲1 + 属乏而】【3 3 】 ( 2 1 5 ) t a n 业；尘世t a n 堕 ( 2 1 6 ) 2 、么一p 一彳e 2 将上两式代入( 2 1 4 ) 第一式中，整理后得 p 以蚴2 再蚕丢面丽 他叫7 ) 9 = 舅2 蕾鼙j 日口日e 弘 湖北工业大学硕士学位论文 铲目q 目暖目日r 自己皤置麓函铆 ； ，叠再= 辨：。摊苷# 啊啦硅二毽j o b ：矾档挪，? 瘴a s 。犍 按上式，分别取，l ：= 1 、2 、3 、4 和5 ，做出从动轮2 的封闭节曲线的图形，如 图2 3 所示。 图2 3 按主动轮的节曲线和两轮中心距设计节曲线 卜玎：= 1 时的节曲线2 一刀2 = 2 时的节曲线3 一刀：= 3 时的节曲线 4 一万：= 4 时的节曲线5 一聆：= 5 时的节曲线 6 一主动轮1 的节曲线 2 1 4 按再现连杆机构设计节曲线 平面连杆机构的原动件和从动件之间必须有起传动作用的连杆连接，因而加 长了机构的传递路线。将机构的输入与输出构件之问的运动用相应的瞬心线机构 来代替，它们之间的纯滚动规律可以代替原来机构的运动特性，使机构具有结构 紧凑、传递扭矩大、传动平稳等优点。 、 、， 图2 4 按再现连杆机构设计节曲线 1 0 湖北工业 如图2 4 所示的逆平行四边形机构彳b c d 中，彳曰：，彳d ：b c 。可知输 入构件彳d 和输出构件b c 的速度瞬心p 为4 b 与c d 的交点。随着主动件彳d 的 转动，瞬心p 在机架4 b 上变动。因为鲋b d 皇仙c d ，所以删d ；凹c d 。又 因鲋肋皇御c ，所以p d 一朋。则有 p a + p d t p a + p bia bic o n s t ；p c + p b | p c + p d | c d a b c o n s t 即由一点到两定点的距离之和为常数，可知p 点相对与杆彳d 和杆b c 的运动 轨迹均为椭圆。彳、d 和b 、c 分别为椭圆的焦点。也就是说，四杆机构彳b c d 的输入构件和输出构件之间的运动关系可用两个椭圆的高副接触来实现。 2 2 利用离散点拟合设计节曲线的方法【t 0 3 7 】 利用上节所述的节曲线设计的4 种基本方法虽然可以很方便的进行节曲线设 计，但由于节曲线方程采用的都是标准解析型函数，当这些解析型函数一旦确定， 节曲线的形状也随之确定，使得非圆齿轮副的形状和输出的运动特性固定不变 了。而实用的非圆齿轮节曲线形状要受到许多限制比如要满足啮合压力角范围 及根切限制条件的要求等，并非任何形状的曲线都能用作非圆齿轮节曲线；同时， 实际齿轮副输出的运动特性又是复杂多变的，因而仅用几种常规的标准解析型函 数来设计非圆齿轮节曲线具有很大的局限性。而使用离散点拟合来设计非圆齿轮 节曲线是解决其形状控制的最有效的途径。而且拟合后的方程只有一种形式，所 有的计算公式都一样，只是系数不同，这样就会使得非圆齿轮加工数据计算可以 通用，大大简化了非圆齿轮的计算。同时，由于曲线的阶次愈高，愈易产生振荡 现象，而不易控制，且计算上将更加复杂，三阶曲线是较常应用的曲线阶次，通 常能满足大部分的应用要求【3 引。为此，下面采用了三次样条曲线拟合进行节曲 线的设计。 2 2 1 三次样条曲线的一般表达式 设要求的非圆齿轮节曲线， ) 通过刀+ 1 个离散的型值点只( ，够) ，其中， f 一0 ，1 ，2 ，刀。当选极角妒为参数时，为计算方便，取中间变量为h 。 1 在区间“【o ，1 】上三次曲线表达式。 当已知两端点昂和置处的位置矢量分别为咒和只及两端点处的切线矢量分 别为乙和瓦。据此可在两端点之间构造一段三次曲线，设该曲线的方程用矢函 湖北工业大学硕士学位 w = 蒜，譬臻掰女5 喾b 龆2 j 髫错三 噶二：x r e 墨e 祀，型 鼢 ，e ! 胥喀蜀f o f z 盐i = 论文 数表示为 ，( “) 一c o + g “+ c 2 比2 + c 3 “3 ，“【o ，1 】 其中，c o ，c 1 ，c ：，c ，为矢量系数。将上式对h 求导得 ，7 ) 一q + 2 c 2 l l + 3 c 2 由已知条件， ，( o ) = 只一g ，( 1 ) = 置= c o + c ，+ c 2 + c 3 厂( 0 ) 一毛一c l ，( 1 ) 一乃= g + 2 c 2 + 3 c 3 可解出方程的四个系数c 。，c l ，c ：，c ，为 则有 令 c 0 一咒 c 1 一瓦 c 2 3 置- 3 b - 2 乃乃 c 3 2 己- 2 己+ 瓦+ l ， ) 一只( 勘3 一知2 + 1 ) + 置( 一2 1 1 3 + 知2 ) + 乙 3 一锄2 + “) + 乃 3 一“2 ) 磊 ) 一勉3 3 l 2 + 1 e ) i 一? 3 + ? 2 ，则上述曲线方程变为 g o ) 一m 3 2 2 1 2 + “一 g 1 ) 一“3 一“2 ， ) 。r 冗 ) + 置曩 ) + 瓦g 。 ) + 乃g l ) ( 2 1 8 ) 其中，r ) ，互 ) ，g 0 ) ，g 1 ) 称为h e 珈i t e 基函数或三次混合函数。且昂 ) ，互 ) 专门控制端点的函数值对曲线形状的影响，而与端点的导数值无关；g o ) ，g 1 ) 则专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的影响，而与端点的函数值无关【3 9 】。 2 在区间妒【够小够】g 一1 2 ，1 ) 上三次曲线表达式 在区间【够掣够】上，设两端点只一。点和只点处的位置矢量分别为 只一，= “一。( 够一。) c o s 够一。，一。( 够一1 ) s i n 够一。) 和只= “( 够) c o s 仍，( 够) s i n 够) 。只一。点和只 点处的切线矢量分别为i ，和i 。 1 2 学硕士学位论文 # 朝丐啊盈a 日l ”_ 奢鞴二日瞎懈院警卫辫寝i 蓝周口d o 谨! n 崤热i o 翟嗒毫曩翟嘲譬鸭e ，5 口 令“= 磐= 车粤。其中，“【0 ，1 】，吩。够一仍一。g ：1 ，2 ，棚) 仍一够一1 因互，和乃为只一。和对驴的导矢，则e 一，和对m 的导矢分别为霉，或- i ，红 和l 死= l 红。仿( 2 一1 8 ) 式，写出第i 段曲线的表达式： ( 驴) 一置一，r ) + 互 ) + 红霉。g 。 ) + 红霉g 1 ) ，“【o ，1 】 ( 2 1 9 ) 3 连续性条件 在构造样条函数时，通常只知道型值点处的位置矢量，其切线矢量未知。为 计算型值点处的切线矢量霉o 一0 ，1 ，1 ) ，可以利用前后两端曲线在型值点处的 二阶导数连续的条件，即 ”( 仍) 一+ 。”( 仍) ( f 一1 ，2 ，刀一1 ) 将( 2 1 9 ) 式对妒求导两次，得 b m 毒+ 啊 ) 毒峨 ) 丢+ 孵 嗜 ( 2 _ 2 。) 又 瓦” ) ；1 2 l l 一6 e ”( “) 一一1 2 “+ 6 g 0 ” ) 一缸一4 g 1 ” ) 一缸一2 对第f 段曲线的末端点 一1 ) ，有 m 睾一喀幔- 和暑 对第i + 1 段曲线的始端点0 ；o ) ，有 k 卜e 寺峨毒一i 寺以- 去 由式( 2 2 1 ) 和式( 2 2 2 ) 的右边相等，并经计算整理得 丧巩亿i + 丧巩= 3 上l 丝+ 绣+ 红+ 。红 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 丧。等 红+ 红+ ，红+ 。 i 铷惫矗m 。焘_ 3 卜竽+ 毒警卜上式 湖北工业大学 变为 a i ，+ 2 乃+ 戋霉+ j = e ，( f ；l2 ，l 一1 ) ( 2 2 3 ) 称上式为三次样条曲线的连续性方程。可见该式是包含瓦瓦共疗+ 1 个未知 量的线性方程组，而方程个数仅有刀一1 个，为唯一确定霉( f 一0 ，1 ，刀) ，必须添 加两个边界条件。 4 边界条件 因大部分非圆齿轮节曲线都是封闭的，即节曲线上第l 点昂和最后的第n + 1 点只为同一点，所以在该点处的一阶导数和二阶导数相等，即 f ( 驴) l 。一+ ，( 驴) l 。， 【。( 驴) f 。一，：+ ，”( 驴) i 。 结合( 2 2 0 ) 式，求解上式得 f 乙= 已 t 丢乃+ 丢互+ 丢+ 丢已一毒只+ 毒e 一嘉+ 毒只一e - 2 4 5 1o 一0 ，1 ，以) 方程组求解 由式( 2 2 3 ) 连续性方程及边界条件( 2 2 4 ) 式联立得方程组，写成矩阵 形式为 瓦 己 乃 ： l 。 l b l b 2 b 3 ： b 。1 b 。 ( 2 2 5 ) 上式的系数矩阵为比三对角矩阵多两个元素的严格对角占优矩阵，因此方程 的解存在唯一，可用追赶法求解，而且数值稳定【加1 。 在求出所有的霉o = 0 ，1 ，以) 后，为了能够通过改变各切线矢量的模长来调整 节曲线的形状，在( 2 1 9 ) 式各i 前乘以一个权系数q ( f = 0 ，1 ，门) 。则整条三 次样条曲线的表达式为 1 4 a 缸矿 2 一 2 胁 岛k 岛2 缶2 九 2 九 他 湖北工业大学硕士学位论文 ( 驴) = 只一。死 ) + 只e ) + q ，红互。g 0 ) + q 以l g l ) ，o = 1 ，2 ，以) ( 2 2 6 ) 2 2 2 三次样条曲线设计椭圆型节曲线 1 设计思路 设椭圆曲线的参数方程为 z4 ：竺s ，( os 吼s 幼) ，表示成矢量形式为 i y d s l n 蛾 一 口c o s 觋，6 s i n 砚) ，其切线矢量为 7 一 一口s i n 竹，6 c o s 吼 ( 2 2 7 ) 为简化计算，仅取椭圆长轴两端点和短轴两端点作为型值点，分别为昂，置， 只，b ，如图2 5 所示。则各点处的位置矢量分别是 只一 口，吣，置一 0 ，6 ) ，罡一 一口，0 ) ，只一 o ，一6 ) 因椭圆方程已知，各点处的切线矢量的计算可直接利用 无需通过解( 2 2 5 ) 式方程组进行求解。即 乙= 0 6 ) ，乃= 一口，吣，瓦= o ，埘，乃= 口，o ) 又由魄- 仍一够一。o 一1 ，2 ，3 ，4 ) ，得 啊一 2 一也一j 1 4 一刀2 ( 2 2 8 ) ( 2 2 7 ) 式求得， ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 由于椭圆是关于坐标轴对称的图形，因此可以只考察吼【o ，巧2 】，即咒一只 段的曲线。设昂，只点处的权系数分别为，q ，将式( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) 代入( 2 2 6 ) 式，即可求出己只段连续的三次曲线方程，即 c ，2 阱叫扣，+ 雒卜+ 等阱 ，c 2 叫， 在实际节曲线的设计中，当齿轮的齿数z 、模数肌确定后，齿轮节曲线的周 长石，彪也因此确定。为保证拟合后三次曲线的周长与齿轮节曲线的周长刀，膨相 等，咒一只段的三次曲线的长度应与齿轮节曲线的1 4 段相等。 记( 锻) = _ ( “) ，y 。( “) ) ，贝u 有 湖北工业大学硕士学位 4 h 酗j 目t = 摊群j “4 k r 凇z 抟* b