（工程力学专业论文）压电复合材料的有效性能分析.pdf

摘要 由于压电复合材料力、电特性的可设计性，能够克服单一压电材料脆性易断的缺 点，因此在自适应结构中有着广泛的应用。本文应用均匀化方法，预测了压电复合 材料的有效性能，分析了细观参数对压电复合材料有效性能的影响。 本文主要研究工作为： ( 1 ) 介绍了预测多相复合材料有效性能的均匀化方法，即二尺度展开法。然后 利用变分原理，得到有限元求解形式。数值例题建立了基于细观力学的复合材料理 论的人体左心室心肌层的细观力学模型，采用均匀化方法对心肌层的宏观有效性能 进行了预测。 ( 2 ) 将二尺度展开法推广到力电耦合问题，并得到它们的有限元形式，编写了 有限元程序。预测了含缺陷压电材料的有效性能，分析了缺陷含量与形状对有效性 能的影响。 ( 3 ) 分析了1 3 型压电复合材料的有效性能，通过改变其基体相和夹杂相的材 料以及夹杂相的形状，模拟计算了压电复合材料的宏观性能。 本文利用二尺度展开法分析了压电复合材料的力一电耦合性能。研究了细观结构 参数对压电复合材料有效性能的影响。研究表明，二尺度展开法可有效地应用于压 电复合材料的有效性能预测。 关键词：压电复合材料；均匀化方法； 力电耦合；有限元法 a b s t r a c t p i e z o c o m p o s i t c sh a v e b e e nw i d d y 印p h e di a d 印吐v es n u c t u r e s ，d l l e t om e i re x c e l l e n t m e c h a n i c a la i l de l e c 仃i c a lp r 叩e n i e s i nt h i sd i s s e r t a t o 玛曲eh o m o g e n 五d o nm 劬0 di sa p p l i e dt o p r e d i c t 也ee 曲v ep r o p e r t i e so fp i e z o c o m p o s i t ea n da l l a l y z em i c r o g 咖c 乱l r a le m c to n t l l ee n b c 廿v e p m p e n l e s t h en i a j hc o m e n t sa r ea sf 0 1 l o w s ： ( 1 ) h o m o g e n i z 撕锄m e t l l o dt 0p r e d i c tt l l e e 丑b c t i v ep m p e r t i e so fc o m p o s i t ei sr e “e w e d ，a sa n u m e r i c a le x 锄p l e ， am i c r o m e c h a l l i c a lm o d e lo fl e f tv e n t r i c u l a rm y o c a r d i u mw a sc o n 咖c t e db 笛e d o n 血em i c r o m e c h a l l i c a lt h e o r yo fc o m p o s i t e t h ee 丘b c t i v ep r o p 训e so ft h em y o c a r d i u ma r c p r e d i c t e db y 似。一s c a l ee x p a i l s i o nm e t h o d ( 2 ) t 、v o s c a l ee x p 蛆s i o nm e 伯o dh 船b e e ne 】( t e n d e dt ot h ee l e c n 砌e c h a i l j c a lc o u p l m gp r o b l e m ， t h ef ep r o g r 锄i sc o d e d 锄dm ee 酰t i v ep r o p e i _ t i e s0 fp i e z o e l 。c m cm a t e r i a l s 、i t l ld e 诧c t s 甜e p r e d i c t e d 1 1 l ei n n u e n c eo f 也ec o m e n ta n ds h a p e0 f m ed e 觚t so nm ee 位c t i v ep r o p e n i e si sa n a l y z e d ( 3 ) 1 1 1 ee 旋c t v ep r o p e m e so f1 - 3p i e z o c o m p o s ba r e 锄a l y 聆d ，锄dm ee 疵商v ep r o p 州e so f p i e z o c o m p o s i t ea r ec a c i l l 曲甜f b rd i 丘b r 蚰tm a 廿i xa n di l l c l l l s i o n i nt 1 1 ep r c s e md i s s e r t a t i o i l ，t w o - s c a l ee ) 叩a n s i o nm e m o di s 印p l i e dt 0a i l a l y z et h ee 丘b c t i v e p r o p 枷e so fp i e z o c o m p o s i t e t h ei l l f l u e n c e0 fm i c r o s c 叩i cp a r a m e t e r so n 廿l ee f f b c 右v ep r o p e n i e so f p i e z o c o m p o s i t ei ss t l 】d i e d t h er e s l l | 协s h o wn l a tt w o - s c a l ee ( p a n s i o nm e t h o dc a nb ee 馈c t i v e l ya p p l i e d i np r e d i c 廿n gt h ce 位c t i v ep r o p e r t i e so fp i e z o c o m p o s 谁s k e y w o r d sp i e z o c o m p o s n e ；h o m o g e n i z 撕0 n ；e l e c 订0 m e c h a n i c a lc o u p h n g n n he 1 锄e mm e t l l o d i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 签名：刁耖劳迎日期：纠7 2 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：立趑导师签名：型鱼查塾日期：2 生芝! ： 1 1 引言 第1 章绪论 复合材料，是一种细观结构材料，具有复杂的微结构和多种增强相混杂的优点， 在很多领域得到了广泛的应用。复台材料有效性能的研究一直是一个重在很多领域 得到了广泛的应用。复合材料有效性能的研究一直是一个重要的研究课题，前人已 经开展了很多工作，发展了多种预测方法【1 “，但主要是集中在弹性力学行为。 随着科学技术的发展，涌现出了许多新型的复合材料，如：压电复合材料、生物 材料、铁电材料，形状记忆合金材料等等。由于它们的结构和所处的工作环境都很 复杂，往往涉及到多场耦合，多场耦合是由两个或两个以上的场通过交互作用而形 成的物理现象【6 l ，它在客观世界和工程应用中广泛存在。随着制造工、世对热能和机械 能的应用量级不断突破自己的极限，电磁能、微波、化学能和生物能等超越传统领 域的能量形式相继引入工业过程聊，多场耦合现象表现得越来越显著，因此也引起了 越来越多研究者的关注口】。其本身就表现出多场耦台性能，这样就带来一个耦合参数 和有效性能的问题。 耦合性能就是场与场之间的相互作用所表现出来的性能。如压电效应反映了晶体 的弹性性能和介电性能之间的耦合。如果多相材料的工作环境还有磁场、温度场等， 则弹性场与磁场之间的作用就会有压磁的性能；温度场与电场之间的相互作用表现 出热电性能，其他还有诸如磁电、热磁、介电等耦台性能。 由于近些年信息工业的飞速发展和智能材料和智能结构的不断涌现，对力电耦 合问题的研究也日显重要，该项研究已成为力学与材料科学交叉领域中的前沿课题 之一，由于应用上的重要性、广泛性与研究的简单性，人们将注意力更多集中于压电 复合材料有效力电模量的分析与预测方面。这种分析与预测一般是建立在细观力学 基础之上。 本文的工作是建立压电复合材料的细观力学模型，将弹性问题的均匀化理论， 推广到计算压电复合材料的有效性能。 1 2 研究现状 细观力学是一门通过研究材料在细观尺度上的结构、组成、分布等材料的构成 来分析材料的物理、力学等材料性质的方法。有限元法与细观力学及材料科学相结 合产生了计算细观力学，它主要研究组分材料间力的相互作用和定量描述细观结构 与材料性能之间的关系。 应用细观力学理论研究压电复合材料有效耦台性能主要经历了几个阶段，即复 合材料宏观有效弹性模量；含缺陷压电材料的有效耦合行为以及压电复合材料的力- 合材料宏观有效弹性模量；含缺陷压电材料的有效耦合行为以及压电复合材料的力- 北京工业大学工学硕士学位论文 电耦合行为。 1 2 1 复合材料有效弹性模量 从复合材料细观结构及组分相力学性能预测复合材料有效性能，通常有两种方 法，即解析法和有限元法。早期多采用解析法，无限大弹性基体中的弹性椭球夹杂 问题首先由e s h e l b y 【3 l 在1 9 5 7 年提出，建立了等效夹杂理论并求解特征应变，这个理 论没有运用场量的平均，而是根据体分比和夹杂的几何尺寸及组分性能来推导有效 性能。1 9 6 5 年，h i l l 建立了自洽模型1 4 】，他假设一个夹杂物埋入到承受均匀应变的无 限大的均匀介质内，求复合材料的有效应变。1 9 7 3 年，m 耐和a k a 发表了关于 计算平均应力的论文口j ，解决了在有限体分比下使用e s h e l b y 等效夹杂原理的基本理 论问题。其后，在m o r i - t a n a k a 平均应力概念下的等效夹杂原理被广泛应用于各种 复合材料的有效性能预测。解析法是基于组分相中应力应变场的假设来预测宏观平 均性能，其不足之处在于预测精度有限，且当遇到十分复杂的细观结构时则无能为 力。 然而，在真实材料中经常遇到的任一种细观结构形态是不能用这些模型预测的。 各组相的本构反应也受到某种程度的限制，而且那些大型不匹配的性能预测也极为 不可靠。另外，由于细观应力应变缺少一个正确的表示法，他们得不到细观非均匀 性的结果。近期则多采用有限元法p 1 2 l ，有限元法则能解决上述解析法的难题，方法 通常是将有限元法用到复合材料细观结构上的r v e 上，通过对r 、，e 的应力应变响应 的有限元计算，得出宏观有效性能。 m u r a 【1 3 】提出了间接均匀化方法和应用于复合材料有效性能的预测，均匀化方法 的应用对象主要是，在细观尺度上的呈周期性分布的非均匀材料。一方面要求该材 料具有细观结构上的周期性，即可以用一种单胞来描述细观结构的所有特点；另一 方面也要求该材料具有非均匀性，即有两种或两种以上的材料复合而成，其材料特 性在从一种组相过渡到另一种组相时会有突变，正是由于此种材料的非均匀突变性 常规的解法才无能为力，也才显示了均匀化方法的优势之所在。 不同于直接和间接均匀化方法，1 9 6 2 年，h 鹤h i 和s 蛐a n ( “】提出第三种方法 变分法，这是一种能求得弹性模量的上、下界的方法。这个方法给出了早期上、 下界条件i l 习的改进结果。 二尺度扩展法是一个比较新的方法，它是基于位移场的二尺度扩展，最初是分 析包含两个或多个长度尺度的物理系统【1 6 1 。这个方法很适合分析多相材料，因为多 相材料的自然尺度是细观结构和宏观结构性尺度，位移场在细观与宏观尺度中展开， 然后按照直接平均法可求出有效刚度系数。具体的几种均匀化方法可见n e m a t 和 h o r i ( 1 9 9 3 ) 的综述【”j 。而最近h o b e 和b e c k c r ( 2 0 0 2 ) 写的文献1 1 8 j 阐述了不同的均匀化 第l 苹绪论 方法及其在蜂窝夹层结构中的应用。庄守兵昃长春【19 】把均匀化理论与有限元法相结 合，应用于多孔材料的弹性本构数值模拟，利用位移渐进展开建立了均匀化有限元 列式。通过对正方形孔洞蜂窝材料有效模量的计算比较，可得到较准确的有效模量； 同时还考察了蜂窝壁固体相的力学性能参数对宏观力学性能的影响，得到了与一些 理论公式相同的结论。 以上研究主要是集中在力学的弹性性能，对于有效耦合性能的研究是近些年才 开展起来的。 1 2 2 含缺陷压电材料的有效耦合行为 上述求解复合材料有效弹性模量的一系列方法在最近的电、磁复合材料细观力学 的研究中得到了推广和发展。压电材料的力电耦合分析，其首要问题是确定含夹杂 ( 如裂纹、孔洞和其它二相颗粒等) 压电材料在力电载荷作用下的弹性场和电场。 在含夹杂压电材料耦合场的研究工作中，w 抽g 【2 0 】应用g r e e n 函数法研究了无限 大压电基体中含一椭球压电夹杂的力。电耦合问题，给出了夹杂和基体中弹性场和电 场的解析解，并得到了远场均匀力电载荷作用下夹杂内部的弹性场和电场亦是均匀 的重要理结论。同时，d u 和w 幻g 【2 l 】分析了含缺陷压电材料的耦合问题。c h e n 2 2 对 压电介质的界面不连续问题、压电基体中刚性椭球夹杂的转动和平动问题进行了研 究，其中“刚性”的物理意义为夹杂的弹性常数和介电常数趋于无穷大，此外，c h e n 【2 2 】 还建立了压电夹杂问题的几个精确关系。 基于d e e g 【”l 的工作，d 啪和1 匆a 【2 3 】分析了椭球压电夹杂的应力和电场集中问 题，计算了球形孔洞的应力集中系数，结果表明压电材料力电耦合效应的强弱和各 向异性的程度对应力集中有很大的影响。 对于含缺陷压电材料的二维问题，1 9 9 5 年，秦庆华和余寿文【2 4 用稀释法、自治 法、m t 法、细观力学微分理论研究微孔一弱压电板的有效力电模型。可以求出含不 同形状微孔的二维压电板的扰动热强度、应变和电场的结果。接着用这个结果建立 上述四个细观力学模型。这些模型可以广泛应用于各种形状微孔，如：椭圆形、圆 形、三角形矩形和五边形。并提出一些数值结果说明这些模型的适用性 对于横观各向同性压电材料的平面问题，s o s a 脚】推广i 础h n i t s 贼方法导出了力电 变量的解析解，并具体给出了椭圆孔口的应力集中阅题。计算结果表明应力集中系 数由于考虑压电效应而变大，它和应力集中系数弹性解的差别岁椭圆度增大而增加。 基于s o s a 【2 6 】的工作，侯密山1 27 】分析了含椭圆刚性介电夹杂的应力和电场集中问题。 1 2 3 压电复合材料的力电耦合行为 压电复合材料是由压电相夹杂和非压电相基体所组成。对压电复合材料的研究 最重要的一个方面是预测其有效力电性能，由于在压电复合材料的讨论中是不考虑 极化方向的变化的，因此压电复合材料的有效性能的预测实质上是一个线性的力电 耦合问题。 自2 0 世纪7 0 年代n e w i l h a m 掣2 8 疑出压电复合材料的概念后，人们就开始了对 压电复合材料的压电性能的理论和实验工作。9 0 年代初，对压电复合材料有效性能 进行较为严格的研究工作仅限于1 3 型压电复合材料。例如，g r e k o v 等【2 9 j 基于同心 圆柱模型预测了1 3 型压电复合材料的有效力电性质。对0 3 型压电复合材料的分析， f u n 】k s w a 等【3 0 通过压电相与基体相是各向同性材料，可以由单一的弹性、介电与压 电系数表征的假设，得到了0 3 型压电复合材料的压电系数。 1 3 型是一类形式较为简单的且常用的压电复合材料，由于聚合物材料的介电系 数较低，使得压电复合材料的整体介电系数减小，而聚合物基体比陶瓷柔软，应力 在陶瓷相中得到了放大，两方面的共同作用的结果可以实现压电常数的增加，但由 于聚合物的泊松比很大，这使得在复合材料中产生内应力，从而减小了陶瓷中的应 力放大系数，故复合材料的压电系数并不像预测的那样高，为减小泊松比的影响， 增强1 3 型压电复合材料的压电性能，可以通过在聚合物中加入发泡剂或玻璃球以在 基体内引入气孔，制成新的复合材料( 1 3 o 型，其中0 指第三相的连通性) 。方岱 宁口1 】对此做了详细的研究，得到了具有非压电相夹杂的压电复合材料有效力电模量 的封闭解。秦庆华口2 l 在压电复合材料中应用边界元法结合均匀化方法求材料的有效 性能。所考虑的复合材料包含夹杂和基体相，研究了非均匀复合材料的均匀化模型 并引入边界元公式求两相复合材料的宏观材料常数。 h e i n z f 3 3 】对具有周期性分布的含纤维复合材料建立了一个在任意载荷下的有限 元单胞模型。特别强调边界条件的公式，它可以模拟力、电载荷的任意组合引起的 宏观变形的所有模式。这个单胞模型应用于压电复合材料，并求出有效弹性、介电 和压电模量。对弹性平面内剪切载荷，所得到的结果也与压电复合材料的实验研究 结果非常接近。 1 3 存在问题 压电复合材料的细观力学研究是目前比较新的研究课题，国外对这方面的研究 发展比较迅速，无论从实验还是理论都进行了很多的研究，对于压电复合材料的有 效耦合性能问题的研究，进展也非常快。而国内对压电复合材料的有效耦合性能的 研究基本上局限于对其研究方法的探讨以及它们的应用。目前存在的问题主要有： ( 1 )国内外许多学者针对压电复合材料建立了许多模型，但是大部分只是从 理论上探讨，有效耦合性能计算的例子却很少。 ( 2 ) 现有的细观力学模型都很简单，如：a b o u d i l 3 4 】提出的矩形夹杂模型，秦 第l 章绪论 庆华口5 1 提出的圆形夹杂模型，其它较复杂的模型比较少。 ( 3 )目前用有限元研究压电复合材料有效耦合性能问题特别少。 1 4 本文的研究内容 由于压电复合材料有效性能分析是一个比较新的课题，需要新的理论和算法， 目前通用有限元商业软件无法计算。本文将推导出压电复合材料耦合方程，在此基 础上编制有限元程序，主要内容如下： ( 1 ) 介绍预测多相复合材料有效性能的均匀化方法，即二尺度展开法。然后利 用变分原理，得到有限元求解形式。数值例题建立一个基于细观力学的复合材料理 论的人体左心室心肌层的微结构模型，采用均匀化方法对心肌层的宏观有效性能进 行预测。 ( 2 ) 将二尺度展开法推广到力电耦合问题，并得到它们的有限元形式，编写有 限元程序。并预测含缺陷压电材料的有效性能，分析缺陷含量与形状对有效性能的 影响。 ( 3 ) 分析1 3 型压电复合材料的有效性能，通过改变其基体相和夹杂相的材料 以及夹杂相的形状，模拟计算压电复合材料的宏观性能。 1 5 课题的意义 本课题北京市优秀人才专项经费资助“智能与生物材料的基础应用研究”的一 部分。本文推导多相复合材料的均匀化理论和压电复合材料的力电耦合理论，并进 行有限元程序编写，实现压电复合材料性能预测，利用有限元数值模拟方法建立压 电复合材料的力电藕合模型，分析压电复合材料力电耦合的性能和机理，为材料的 制造和应用提供数值参考。 北京工业大学工学硕士学位论文 第2 章预测有效性能的均匀化基本理论 2 1 引言 复合材料，是周期性细观单胞或者是r v e 的集合体，如图2 一l 所示。它们整体 的特征长度远大于细观结构的特征长度，如果只需求出在宏观尺度上的场量，有效 的分析方法是将细观结构均匀化。 夕 。 图2 1细观结构材料和尺寸放大示意图 一般有两种均匀化方法，即直接均匀化法和间接均匀化法。直接均匀化法是基 于场量的表面或体积平均，如应力和应变，那么，根据宏观应力和应变二者之间的 关系，可求得宏观有效性能，局部场量的直接平均化可以通过一个数值方法来计算 具有任意几何尺寸与材料性能的细观结构，有限元计算就是其中一种数值法。 间接均匀化法是沿用e s h e l b 产1 等效夹杂法的思想，基于单一夹杂嵌入无限大的基 体中求解特征应变，此法没有用场量的平均，而是根据夹杂的体分比和几何尺寸及 组分性能来推导出有效性能。自洽法【4 l ，广义自洽法【3 5 】，微分法【3 6 】和m t 法【5 都是根 据这个方法发展而来的，它们广泛应用于求解各种复合材料的有效性能。 与直接和间接均匀化方法不同，变分法【1 4 是一种能求得弹性模量的上、下界的 方法。相对于以上的这些方法，二尺度扩展法是一个比较新颖的方法，主要是基于 位移场的二尺度扩展的数值均匀化，起源于分析含两个或更多个长度尺度的物理系 统。它适用于多相材料，其中自然尺度是以内部非均匀性为特征的细观尺度和以结 构整体尺寸为特征的宏观尺度。 2 2 二尺度展开法 假定一个弹性体是周期细观r v e 的集合体，宏观坐标x 与细观坐标y 的关系为 y = z 占( 2 1 ) d 是一个非常小的正数，表示一个单胞与整个结构体的大小之比当结构在宏观 上受到力和位移等载荷时，衍生变量( 如变形和应力) 会随着宏观坐标x 的改变而变 第2 章预测有效性能的均匀化基本理论 化。因此，细观结构极不均匀性使得这些变量在宏观点x 的一个很小的邻域万内快速 地变化。在目前的均匀化理论中：都是假定细观结构关于宏观位置x 具有周期重复 性，因此，场函数与y = z 占周期性相关，这个特征经常被称为v 周期，这里y 对 应的是一个r v e 。 二尺度展开法包含如下几个主要步骤【37 】 2 2 1 位移场的展开 位移场可以渐进展开成如下级数形式 “，= 矿( x ) = “? ( x ，y ) + 氟；( x ，y ) + 占2 “；( x ，y ) 十 指数占表示这个函数与两个长度的联系。注意到 鲨：l 兰：塑：鲨! 三! 立+ 三望! ! ：塑 瓠j瓠j 6 匆j 式中：f 是一个一般函数，对于应变张量，有 铲圭譬+ = 丢s ，( 训) + g 鼽卅& 沁力+ 如炉辑+ 割 如朋= 三( 筹+ 等 + 圭( 筹+ 等 蜘，力= 三 筹+ 等) + 圭( 筹十等 弹性系数是一个与6 有关、以x 为周期的函数， d 品= ( x = d 州( y ) ( 2 - 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 a ) ( 2 5 ” ( 2 5 c ) ( 2 6 ) o ；= d ；q h = 丢f 托卅s 溉力+ 睇批加 ( 2 - 7 ) = 丢盯i 1 ( w ) + 盯鹣y ) + 厨瓢) ，) + 应力一应变的关系可表示为 。善( x ，y ) = d 盘s ：( z ，y ) ，n = 一1 ，o ，l ( 2 8 ) 由方程( 2 5 ) 和( 2 8 ) ，得到： 疗= 崛等 ( 2 - 9 a ) 瞄= c 筹+ c z 蜘， 砖= 礞玺+ 2 2 2 建立弹陛细观结构基本方程 周期细观结构的弹性问题可描述为 ，+ ，= oi n q ( 2 - 1 0 a ) = z o nr ， ( 2 - 1 0 b ) “? = 甄 o nr 。 ( 2 1 0 c ) 把方程( 2 7 ) 代入( 2 - 1 0 ) 中，并使占相等，可得 掣：o( 2 1 1 a ) 掣+ 擎：o( 2 m b ) 瓠i却i 、4 譬+ 婺十，：o ( 2 - 1 1 c ) 呜饥“ 、 要求出方程组( 2 1 1 ) ，这里必须引入一个重要结果，对一个周期为y 的函数 垂= 垂( ”，) ，方程 一驰力期= f p 功 有唯一解，如果f 的平均值定义如下 f = 吉j 肋= o ( 2 - 1 3 ) 式中：y 是单胞体积，把它应用到方程( 2 1 1 a ) ，得 啄1 = 0 ( 2 1 4 ) 那么从方程( 2 8 ) 和( 2 - 5 a ) ，可得到 “? ( 墨y ) = “? )( 2 - 1 5 ) 这表明材? 只是宏观坐标x 的函数。 于是，位移场的方程可重写成 ”，= ? ( x ) = ? ( x ) + 氟j ( x ，y ) + 占2 材? ( x ，_ y ) + - - -( 2 1 6 ) 我们可认为卵是宏观位移，而甜；，“? ，是细观位移，方程( 2 1 6 ) 的物理意义是： 由于细观结构的非均匀性，真实位移虬在平均位移“? 周围快速振荡，“；，“? ，是细观 结构的扰动位移。 把方程( 2 - 1 4 ) 代入方程( 2 11 b ) ，我们可得到平衡方程 挚：o 证q( 2 _ 1 7 ) 叫 把方程( 2 1 l c ) 在q 中取平均值，并对其第二项掣运用情况( 2 1 3 ) ，得到宏观平衡 卯 方程 荸+ z 二嘶q( 2 - 1 8 ) i 式中：司是宏观应力。 2 。2 3 求细观结构介质的有效性能 为计算应力醒，我们必须先求出群和”；，假设位移场“? 和“；的关系可表示为 一：叫，( x ，力磐( 2 - 1 9 ) f 把方程( 2 1 9 ) 代入到( 2 - 9 b ) 得 瞄= 一。筹 筹 c z 珈， 然后在r v e 上积分，得到一个弹性介质等效应力应变关系 艿= 瓦等 ( 2 - 2 1 ) 式中 司= 吉司( w ) d y ( 2 2 2 ) 磊= 圳“钳y 瓦是均匀的弹性系数，由方程( 2 2 3 ) 可以看出，函数( x ，y ) 必须在求解均匀性能之 前计算出来，一般都用有限元方法求y ( x ，y ) 。 2 2 4 变分形式 上向提剑的方程的燹分形式司结合有限兀方法来建立。方程( 2 1 1 a ) 的变分形式 是 l 挚悃= 。陋刮，a 啪陆。 p z 4 ， 式中：6 “；可看作是任意虚位移，对一个周期为y 的函数妒( y ) ，我们定义一个平均算 子如下 娥l ，妒( 言) d q = 古l ( y ) d 飚q ( 2 。2 5 ) 因为均匀化方法是在占趋于o 的条件下，求方程( 2 1 1 a ) 一2 - 1 1 c ) 的解的极限，对方程 ( 2 - 2 4 ) 有 锄l b 筹 。s 群岫= 古l 卜等卜? d 瑚= 。 c z 粕， 在方程( 2 - 2 6 ) 上应用散度定理得 划赴“?， = 扎4 筹叩籼 那么 丝：o f 2 2 8 1 这又表明“? 只是x 的函数。把方程( 2 9 b ) 代入( 2 1 1 b ) 的变分形式得 l ；挚岫叫碥c 筹+ 豺s 蜘 ：。， 娥尝餮耐：。 p 珊 = 古l l 【筹+ 筹j ，s “1 a y a q = 。 部分积分，注意到在r v e 的边界上的虚位移6 o 以及“? 只是x 的函数。于是有 l 斟挚卜 b ，、 + j n l 筹筹= 。 筹等肌l 筹d y p s ：， f 0 筹筹筹 亿，、 + l 工筹筹一= 。 l 4 酬筹等捌q 亿，们 + 重“：等出牡o i ；，? ：( n 拶。赏：( n i l | 霄? 旺：、j ? mq 。砖 北京工业大学工学硕士学位论文 掣：( 即巧 ( 2 - 3 6 ) c v ， 掣：，y ) ? 攀 ( 2 - 3 7 ) 叫c 7 式中：置是形函数对m 的导数，注意函数“? 与_ y 无关。 ( p 7 加d y ) y “= p 7 d “d 】， ( 2 - 3 8 ) 中取材( 盯= 1 1 ，2 2 ，3 3 ，2 3 ，3 1 ，1 2 ) 的向量，y “是与射有关的特征位移向量，对不同的应 变状态需要解六个方程，用一个普通的有限元就可计算出方程( 2 3 8 ) 因此，由方程( 2 3 3 ) 定义的有效弹性常数可表示成 西= 古d ( j 一五y ) d 】， ( 2 _ 3 9 ) y = ( y “，妒，y 船，】| f ，甜y 力，y 口)( 2 4 0 ) 总之，在方程( 2 3 8 ) 用有限元方法计算出y “，然后从方程( 2 - 3 9 ) 中计算出有效性能。 2 3 二维问题的详细公式 在这节，将给出二尺度展开法中二维问题详细的有限元公式。对此，有三种变 形模式y “( 肼= 1 1 ，2 2 ，1 2 ) ，即y = ( 妒”妒”y ”) 要计算。 刨藩驯封 渊， c l m 2 去= c 2 2 n2 昔 ( 2 - 4 2 a ) 2 壶，c 1 2 萨壶 ( 2 4 z b ) 第2 章预测有效性能的均匀化基本理论 其中 f q l ld 1 。 吒： - j 如，。 l 吼：jl o d l l 2 2 占岛2 2 0 0 o d 1 2 1 2 d 1 1 1 2 巧鑫瓦，- d z ：。- ( 2 4 3 ) - 尝蔓1 _ ( 2 - 4 4 a ) 1 一成与：置。 、7 z2 巧鑫面，d 1 2 l ：q 2 ( 2 4 4 b ) 式中蜀。，e ：是杨氏模量，h ：是泊松比，g 。：是剪切模量，对于各向同性弹性体 e n2 e n2 ，m ：2 ，g l z2 g 2 面善面，并且，柔度阵和刚度阵可写成如下形式 和 ic 1 。 c = ic 2 ：。 o c 1 1 2 2 c 2 2 2 2 o d 1 1 2 2 口岛2 2 o 1 1 oo 0 o 1 一“ ( 2 - 4 5 ) ( 2 4 6 ) 均匀化方法可以改成如下形式 d 蚋筹筹肌筹抒 陪4 ， 瓦= 古 一。筹 d y c z 瑚， 分别在下列三种情况下求解方程，盯= l l ，材= 2 2 和船= 1 2 ，并结合有限元方法 对这三种情况给出详细的解答过程。 2 - 3 1 魁= 1 1 方程( 2 - 6 5 ) 对矩阵中的元素展开，得 1 3 一 、，、rj 印勖脚 ”i i n i 儿 胁 o o + 珥 o0 。l 一e = 1j o o 1，llll，j 专 = lli玎 o o o r叫【 d 北京工业大学工学硕士学位论文 。筹篆) 象 如：筹愧筹瓷 = 。鲁象 a y 式中v 。= 6 “j ，为了简化，方程( 2 4 8 ) 中的有效性能变成 砜= 坝嘧，筹 吉l 卜吨。筹吨： 把方程( 2 - 4 9 ) 写成矩阵形式如下 现在我们引入应变符号， 式中 s ( 妒) = 垒。垒 砂：钆 o ；1 c y l a 皑 砂2 a 纠1 ，a 皑 饥 砂。 y = 脚鼢 用一个紧密形式写出刚度阵为 丝 d 】， 砂：j 丝 d y 砂：j ( v ) ( 2 - 4 9 ) f o r j ! = 1 1( 2 5 0 ) f o r 驴= 2 2( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) y 沣 堕饥 + 舢瓦 v 0 几丝锄丝饥r文 + 筹筹鬻 盟 恐 毗o o r“ii“q 魄一姚 + 籼瓦 lhj n 盟 肌踟o riuiil 毗瓦 盟饥堕饥地一 盟饥盟饥绁岫 a 一句 、l，j u 也 ，、l = p d = kd 2 d ，】 ( 2 5 4 ) d 。= 京：) ，d ：= 舅；： ，或= 耋，： c z s s ， p 9 ) d s ( 妒) d y = 7p ) d r ( 2 5 6 ) 缈= ? y ? = 。妒。 ( 2 5 7 ) 三 翟二2 芝纯r c ：一s s ， = 办仍丸纯j 1 。 。= ；：】，j = ：； ， c z s ， 这里，( f _ l ，n ) 是单元形函数。 把方程( 2 5 7 ) 代入方程( 2 - 5 3 ) 中的第一项，可得到应变， s ( ) = 三沙= l 。= b 。沙。 式中：曰。= 工。是单元应变矩阵，还有 工= a 锄 o a 饥 0 a 砂2 a 钆 ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) 是线性微分算子阵，它连接平面问题中应变与位移的关系。 同样，函数v 被看作是任意虚位移，也可得到形式完全相同的有限元公式。那么， 从方程( 2 5 6 ) 可以得到有限元公式 脚= f( 2 6 2 ) 式中 置= 五。，f = ，。 ( 2 6 3 ) 置8 = l 。曰。d b 。d q ，f 8 = l 。丑”而d q ( 2 6 4 ) 力向量f 有一个物理意义，峨是由一个具体的初应变。引起的应力， d - 2 丑嘧。2 兹：簪。! 。 曼 = 言i ： c 2 一e s ， 吐= 眈o = 1d l 。d ：。 o i 占墨 = d 。 ( 2 6 5 ) o0 d 。1 j 2 醴i101 这意味着r v e 的任意点都作用着相同的初应变。 占。褂科 陋s s ，占o = 占墨 = o ( 2 - 6 6 ) 【2 s 墨j( 0 | 那么，为了求出位移驴和应变( 妒) ，应求解方程( 2 6 2 ) ，还有用方程( 2 5 0 ) 和( 2 5 1 ) 计算有效性能，它们的矩阵形式是 瓦m = 古 d 1 m d i s ( 妒) d y ( 2 6 7 a ) 砭z - = 吉【d 2 m d ；8 ( 咿) 】d 】， ( 2 6 7 b ) 对棚个有限单元，积分可用单元的求和代替， 瓦m = 古喜l 【d l m 砰曰。谚。】曲 ( 2 6 8 a ) 瓦- - = 古喜l d 2 ：t 。一丑。矿。】 ( 2 6 8 b ) 而在一个单元内的积分可用一个数值积分法计算，如g a u s s l e g e n d r e 法，很容易把 这些公式加到标准有限元程序中。 2 _ 3 2 肼= 2 2 对于肼= 2 2 ，可以用前述完全相同的方法推导出有限元公式，控制方程蛮成， 第2 章预测有效性能的均匀化基本理论 l ，筹饿。筹) 嚣 + 卜筹峨：筹 豪l砂l砂2j 砂2 篱+ 等倍+ 豺yl 砂2明八砂2 蜴l = 卜豪射y ( 2 6 9 ) 复合材料的有效性能是 珏吉( 等如筹 d 】，r o r 卿： 珏吉卜筹也。筹 d y ，r o t t 方程( 2 - 6 9 ) 的矩阵形式是 s 7 ( v ) 眈( y ) d 】，= 8 ( v ) d ：d y 有效性能方程的矩阵形式是 k = 吉f b 。一s ) 】d r 式中 有限元方程是 式中 v = ：! ) k = 古n d 。一咖) 置= 置，f = f 。 e 1 1 f = l 强国= f 置= f 五”弛。d q ，f e ：f 丑”d ，d q j 阱 j 硝 在这种情况中，力向量f 的物理意义是相同的初应变引起的节点力。 1 7 - ( 2 7 0 b ) ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 a ) ( 2 7 2 b ) ( 2 7 3 ) ( 2 - 7 4 ) ( 2 7 5 ) 、【rj 庐p ，、l 蓦 、，j 篮，丑2y 妒 ，、【 = 缈 儿刖爵 s ， 扩。2 讨 p 7 6 ) 瓦n 2 古善l 巩：z 一彰四8 谚8 m ( 2 - 7 7 a ) 瓦：2 古喜l l d 1 。叫跏n ( 2 7 7 b ) 陋。筹蛾。筹 鲁 + m 等嗡筹 象 ( 豢+ 鞘甜y = 陲+ 豺y 瓦：2 古( 1 l 筹筹卜衙心： 8 ( v 冲( 妒) d 】，= s 7 ( v ) 如d y 巨m = 古工【d l 。一d ；。( 缈) 】d 】， 舯妒= 斟 有限元方程是 x 国= f 其中 置= 窆置8 ，f ：宝f 。 置。2l 。占”d 口。d q ， ，。= l 。四”吒d q 一1 8 ( 2 7 8 ) ( 2 7 9 ) ( 2 - 8 0 ) ( 2 8 1 ) ( 2 - 8 2 ) ( 2 - 8 3 ) ( 2 - 8 4 ) 第2 章预测有效性能的均匀化基本理论 如馐h 卦 p s s ， o = 墨 - o ( 2 8 5 ) 2 s 3 i【1j 瓦：= 古喜l 胆：- z 叫脚q ( 2 8 6 ) 例l ：建立人体左心室的细观力学模型和并求解其有效性能。 左心室的心壁由心内膜、心肌层和心外膜组成。心肌层是心壁的主要部分，位 于心外膜和心内膜之间，由许多肌纤维束重叠而成。心肌纤维是规则定位的：在心 外膜上，肌束从顶到底沿经向排列；从心外膜向内深入，肌束取向连续变化，到心 壁中间平面处，肌束取向平行于基底，即纬向排列；而后继续旋转，直到心内膜处 又沿经向排列。研究表明，从心内膜到心外膜的纤维方向与水平方向的夹角大约从 6 0 。到6 0 0 的连续变化，形成了不同方向心肌纤维的复合现象1 3 引。心肌是生物界高 度优化的复合材料，是长期演变和进化的产物，具有复杂的细观结构和复合机理， 具备复合材料的全部特点，采用一般的有限元分析方法很难描述其力学特性，于是 我们借鉴复合材料的方法和理论来对其进行分析，这样可将宏观和细观力学特性有 机地联系起来。 由上所述，我们借助于细观力学上的均匀化理论，建立一个人体左心室心肌的 细观力学模型，心肌看成是不可压缩的固体和可膨胀的冠状微血管组成的非均匀复 合材料。如图2 2 所示，嵌入的微血管相对于肌纤维在材料中的任意点有一个优先的 定位方向，而这些微血管与固体有同样的长度，当肌纤维伸长时它们同样改变长度。 心肌的代表体元由肌纤维、血管和血液组成，假定心肌内的冠状微血管分布是均匀 的且呈周期性。 y ( a )( b ) 图2 2 ( a ) 心肌的三维模型( b ) 心肌的二维代表体元 对于周期性微结构，可以取出一个代表体元进行分析，如图2 3 ( a ) 所示。对代表 体元施加周期性边界条件以反映微结构及其变形的周期性。当代表体元具有几何对 称性时，周期性边界条件可以用通常的约束条件代替。例如，考虑代表体元的法向 变形时，其周期性和对称性使上下两边和左右两边的法向位移为零，可以得到如图 2 3 ( b ) 所示的约束形式。考虑代表体元的纯剪切变形时，其周期性和反对称变形模式 使边界上的切向位移为零，如图2 3 f c ) 所示 4ezzh ioi爿o # o l 一吨1 1 对如卜h 图2 - 3 ( a ) 心肌r 、，e ( b ) 法向变形的边界约束( c ) 纯剪切变形的边界约束 参考有关文献 3 岬) ，我们确定心肌各组分的材料参数分别为：肌纤维的弹性模 量e = 6 0 k p a ，泊松比v = o 4 9 ，血管e = 4 5 0 k p a ，v = o 4 9 ；血液e = o 0 0 0 1p a ， v = 0 1 。这里考虑的是平面应变问题，假设代表体元是各向同性的( 实际上是具有 相同主轴性能的正交各向异性材料) ，弹性模量和泊松比用下面公式计算： 忙彘 嘲 d 1 l + d 1 2 、。 e ：呈! ! ! 丛二型 ( 1 一y ) ( 2 - 8 8 ) 用直接平均法和二尺度展开法可直接求出结果完全相等的有效刚度系数万，其 分量瓦，= 4 2 2 1 8 3 p a ，瓦：= 3 6 1 2 3 9 p a 由公式( 2 8 7 ) 可以求出左心室心肌的宏观 第2 章预测有效性能的均匀化基本理论 弹性模量和泊松比如下：e = 8 9 0 4 j 4 p a ，v = o 4 6 1 。 2 5 本章小结 在本章中，主要介绍了预测非均匀材料有效性能的均匀化基本理论，即二尺度 展开法。 二尺度展开法是在细观力学的尺度上，通过分析周期性复合材料代表体元的细 观结构，建立弹性细观结构的基本方程，然后利用变分原理，主要针对二维平面问 题进行方程的有限元求解。 本章算例发展了一种生物材料细观力学模型，基于复合材料的均匀化方法，预 测具有复杂结构和各组分性能都不相同的心肌的宏观有效材料性能。 3 1 概述 第3 章含缺陷压电材料的有效性畿 压电学的发展已经经历了一百多年的历史。早在1 8 8 0 年，p c u r i e 和j c u r i e 兄 弟就发现压电效应，所谓压电效应，就是指材料在外力作用下发生极化而在材料两 端的表面上出现电位差的效应，具有压电性质的材料称为压电材料。人们对压电材 料的理论与应用研究取得了长足的进步，并广泛应用于电子、激光、超声、水声、 微声、红外、导航、生物等各个技术领域，己在影响和促进新技术的发展。反过来， 这些新技术的发展又推动了压电学的发展，它们互相促进，共同发展。近几年来， 压电材料力电耦合问题的研究引起了许多力学工作者的重视和关注，压电材料的力 电耦合效应表现为：在力场的作用下产生电场和在电场作用下发生机械变形，前者 称为正压电效应，后者称为逆压电效应，材料是否具有压电性通常取决于其晶体的 结构形式，一般说来有对称中心的晶体不可能有压电性，而无对称中心的晶体都具 有压电性，即压电材料本质上是个相异性的。这些都使得力电耦合问题成为力学与 材料科学交叉领域中的前沿课题之一，这一方面是由于压电材料的力电耦合问题蕴 藏十分丰