数学建模SARS传播的研究_(3)

第 2 o 卷 第 7 期 工 程 数 学 学 报 。 。 。 年 月 J OURNAL OF E NGI NEE RI NG MATHE MA TI C S V o 1 2 0 NO 7 De C 2 0 0 3 文章编号： 1 0 0 5 3 0 8 5 ( 2 0 0 3 ) 0 7 0 0 2 0 0 9 考虑自愈的 S A R S的传播模型 李 贝， 徐海臻， 郭佳佳 ( 大连理工大学， 大连 1 1 6 0 2 4 ) 编者按： 本文根据 S A R S的传播规律， 将人群分成易感染者、 潜伏期病人、 未发现的病人、 已发现的病人及 治愈( 或死亡) 而具有免疫力的人五类。考虑自愈和控制( 用参数表示) 建立了微分方程模型和模 拟模型， 研究了疫情随各参数( 包括自愈率) 变化的规律， 为控制疫情提供了具有一定参考价值的 意见， 作者如能通过对前期数据的分析去确定参数， 则模型还能发挥一定的后期预测功能。本刊 已发表文章的主要部分。 摘 要： 本文根据对 S A R S 传播的分析， 把人群分为 5 类： 易感类、 潜伏期类、 患病未被发现类、 患病已被发 现类和治愈及死亡组成的免疫类， 并考虑自愈因素， 提出了两个模型： 微分方程模型和基于 S ma l l - wo r l d N e t w o r k的模拟模型。对微分方程模型， 以香港为例讨论了自愈的影响， 在一定意义下说明 自愈现象在 S A R S 传播中是普遍存在的。模拟模型利用 S ma l l Wo r l d N e t w o r k 模拟现实中人们 之间的接触； 借鉴 S z n a j d 模型 观念传播的基本思想“ 考察区域内每个成员如何影响与其有联系 的其他成员” ， 用影响类比传染， 从患病者去传染与其有接触的健康人的角度， 模拟 S A R S的传播 过程； 然后吸收元胞自动机模型 同步更新的思想， 最终建立了一个患病者传染邻居， 且一个成 员同时受所有邻居影响的基于S m a l 1 Wo r l d N e t w o r k 的模拟模型。对此模型， 我们讨论了一些主要 参数及接种疫苗的影响， 最后拟合北京数据， 讨论了提前或推迟 5 天采取措施的影响。 关键词： S A R S ； 自愈 ； 微分方程； S m a l 1 Wo r l d N e t w o r k ； S z n a j d 模型 ； 元胞 自动机模型 ； 模拟 分类号： A MS ( 2 0 0 0 ) 3 4 B 0 8 中图分类号 ： O 2 4 1 8 1 文献标识码 ： A 1 基本假设与符号 1 1 基本假设 ( 1 ) 假设 S A R S的传播方式为接触性传播， 不与患病者接触就不会被感染； ( 2 ) 假设人们被感染后需先进入潜伏期， 在潜伏期内不具备传染性； ( 3 )假设 S A R S患者被发现后就立即被隔离， 被隔离者不具备传染性， S A R S患者只在 被发现前可以传染他人； ( 4 ) 假设 S AR S康复者不会被再次感染， 并且不具备传染性； ( 5 )不考虑在 S A R S 传播期间人口的自然出生和自然死亡； ( 6 )所研究地区的人 口总量一定 ， 不考虑该段时间内人 口的迁入迁出； 1 2 符号说明 维普资讯 第 7 期 考虑自愈的S A R S的传播模型 2 1 N我们所研究区域的人 口总数； S 易感类， 该类成员没有染上 S A R S ， 也没有免疫能力， 可以被传染上 S A R S ； E 潜伏期类 ， 该类成员已经感染了 S A R S病毒， 但尚处于潜伏期 ， 还不是 S A R S患 者 ， 不能把病毒传染给 S类成员 ； ， 患病未被发现类， 该类成员已经成为真正的 S A R S患者， 能够把病毒传染给 S 类成员； 患病已被发现类 ， 该类成员虽然是 S A R S患者 ， 但 由于发现后立即被严格隔离， 不能传染给 S类成员； R免疫类， 该类成员为 S A R S康复者或因患 S A R S死亡， 已经具 有免疫力 ， 不再对其它成员产生任何影响； H潜伏期天数； L 传染期天数； P S wN模型中每条连接边“ 断键重连” 的概率； -厂 S wN模型中每个节点被选中进行再次“ 断键重连” 的选中概率； QS类成员接触， 类成员后被感染S A R S的概率； 2 微分方程模型 2 1 模型建立 我们把一个封闭区域内的人群完备的分成 5 类： S类、 E类、 类、 类和R类， 设第 天时 五类成 员 的人数 分 别为 S( ) 、 E ( t ) 、 ( t ) 、 ( ) 、 R( ) ， 该地区总人 口 为 N。考虑 自愈 因素， 则各类成员之间 的流动情况如下图所示 ： 其中： 是患病人群每天接触并传染 易感人群的比例系数； g是 S A R S 感染者的日 发病率， 是 S A R S感染者的 日自愈率 ； z是患病人群每天被隔离的 比率 ， C 是免疫率 ； 借鉴以往微分方程建立传染病模型的思想【 4 - 6 ， 我们得到如下的关于 S A R S传播的 S E I R微分方程模型： s 一 = S I s + E+ I +I + R= N E s g E 一 ,u E i s 0 ， E 0 ， 0 ， 0 ， R 0 g Ez I 其中， 1 ， ， ： 一 I g 十 tz I c I 再 = 一 i H R =c + E t O M， 则该节点转变成 R类； 4 )在此遍历过程中， S 、 E、 J 类节点均以概率 被选中， 选中的节点以概率 P断键重连； 5 )当前时刻 t 变成t +1 ； 6 )回到第三步， 或结束程序； 3 2 结果及分析 3 2 1 对参数 Q、 L的讨论 1 0 Q 时该传染病才 会在该区域内开始流行， 否则该传染病就不能流行。如图， 在 L：1 0时， 我们得到 Q = 0 0 4。 从图3 ( 2 ) 可以看出， 当 Q一定的时候， 随着 L的增加， 患病人数的峰值缓慢增大。也 就是说， S A R S患者传染期 L的增加将加剧 S A R S的传播。我们发现 L也有一个阀值L ， 如果 LL ， 则 S A R S将大规模流行 ， 否则就不能流行 。如图， 当 Q：0 1时， L =7 。 综上可得： 、 患病人数的峰值随着 Q的增大而迅速增大， 而随着 L的增大， 患病人数峰值并没有 非常明显的改变。也就是说， 患病人数峰值对 Q的改变比对L的改变更加敏感； Q的减小将使高峰期推迟， 而 L对高峰期影响不大； Q、 L都存在一个阀值， 当其值小于阀值时， S A R S不会大范围传播， 当大于阀值时将 大规模流行 ； ( 2 )在迭代过程中 Q、 L变化对结果的影响 时间 ( 天 J ( 1 )Q改变 L不变 时间 天 ) ( 2 )L改变 Q不变 图 4 一段时间后采取措施对疫情的影响 初期人们对 S AR S并没有任何防范， Q和L的值都很大， 一段时间后采取措施使得 Q 和L减小。Q和L的值减小的越多， 代表相应的措施力度越大。我们仍取 J=0 ， V=0 ： 取 L=1 2 ， 分别取0 0 9 、 0 1 1 、 0 1 3 、 0 1 5 ， 保留=0 2的曲线作为对比， 不同的对应的曲线见 图4 ( 1 ) ； 取 Q=0 2 ， ， 分别取 3 6 7 8 、 1 0 ， 保留=1 2的曲线作为对比， 不同的对应的曲线见 图 4 ( 2 ) ； 从图 4 ( 1 ) 中可以看出， L不变Q减小时， 在 Q =0 1 附近 出现突变 ： Q 0 1时患病人数在采取措施 后仍然继续增加， 只是上升的速度有所减缓， 患病人数峰值有所减小， 且高峰期推迟出现。 从图4 ( 2 ) 中可以看出， Q不变L减小时， 在 L =5附近出现突变， L 5时采取相应措施 能使患病人数峰值有所减小， 但对高峰期影响不大。 维普资讯 2 6 工程数学学报 第 2 O 卷 3 2 2 对参数 ，的讨论 ( 1 )参数 ， 对结果的影响 取 Q= 0 1 ， L ：1 2 ， V= 0 ， 改变J的值， 得到如图 5 结果。可以看出， 区域内人口流动 性越强， 病毒蔓延得越快， 传染的人越多， 疫情越严重。 ( 2 ) 在迭代过程中改变 J对结果的影响 - d 参考文献 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 Wa t t s ， D J a n d S t r o g a t z ， S H， C o l l e c t i v e d y n a mi c s o f ” s m a l 1 w o r l d ” n e t w o r k s J ， N a t u r e 3 9 3 ( 1 9 9 8 ) ， 4 4 0 4 4 2 D i e t r i c h S t a u f f e r S o c i o p h 3 rs i c s ： t h e S z n a j d m o d e l a n d i t s a p p l i c a t i o n s J ， C o mp u t e r P h y s i c s ( _ m mu n i c a t i o n s 1 4 6 ( 2 0 0 2) 9 3 9 8 GCh S i r a k o u l i s I Ka r a f 3 rl l i d i s ATh a n a i l a k i s A c e l l u l a r a u t o ma t i o n mo d e l f o r t h e e f f e c t s o f p o p u l a t i o n m o v e m e n t a n d v a c c i n a t i o n o n e p i d e m i c p r o p a g a t i o n J ， E c o l o g i c a l Mo d e l i n g ，1 3 3 ( 2 0 0 0 ) ， 2 0 9 2 2 3 唐焕文 贺明峰， 数学模型引论( 第二版) M 北京： 高等教育出版社， 2 0 0 1 姜启源 数学模型( 第二版) M ， 北京： 高等教育出版社， 1 9 9 3 J a n Me d l o c k ， Ma r k K o t ， S p r e a d i n g d i s e a s e ： i n t e g r o _ d I f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o l d a n d n e w J ， Ma t h e m a t i c a l B i o s c i e n c e s ， 1 8 4 ( 2 0 0 3 ) ， 2 0 1 2 2 2 h t t p ： n e w s s i n a c o m c n o 2 0 0 3 0 9 1 4 1 2 0 0 7 4 8 7 6 5 s s h t ml E B O L F r a n c e s c C o m e l l a s Mi c h a e l S a mp e l s ，D e t e r m i n i s t i c s m a l 1 w o r l d n e t w o r k s J ，P h y s i c a A 3 0 9 ( 2 0 0 2 ) ， 2 31 2 3 5 2 0 0 2 B a r r a t a n d We i g t ，O n t h e p r o p e r t i e s o f s m a l 1 w o r l d n e t w o r k m o d e l s J ，E u r o p h y s i c s J o u r n a l B ，1 3 ( 2 0 0 0 ) ，5 4 7 5 6 0， LA NAma r a 1 AS c a l aM B a r t h e l e mya n d HES t a n l e y Cl a s s e s o f s ma l 1 wo r l d n e t wo r k s J ， P N A S ， v o 1 9 7 n o 2 l ( 2 0 0 0 ) ， 1 1 1 4 9 1 1 1 5 2 ME J N e w m a n a n d D J Wa t t s ， S c a l i n g a n d p e r c o l a t i o n i n t h e s ma l l - w o r l d n e t w o r k m o d e l J ， P h y s Re v E 6 0 ( 1 9 9 9 ) ，7 3 3 2 7 3 4 2 J o n a t h a n MR e a d Ma t t J K e e l i n g ，D i s e a s e e v o l u t i o n o n n e t w o r k s ： t h e r o l e o f c o n t a c t s t r u c t u r e J ， P r o c R S o c L o n d B ， 2 7 0 ( 2 0 0 3 ) ， 6 9 9 7 0 8 H A n d e r ss o n ， T B r i t t o n ， E p i d e m i c s ： S t o c h a s t i c m o d e l s a n d t h e i r s t a t i s t i c a l a n a l y s i s J ， S p r i n g e r L e c - t u r e N o t e s i n S t a t i s t i c s ，Vo 1 1 5 1 ( 2 0 0 0 ) ，S p r i n g e r ，Ne w Y o r k D a mi a n H Z a n e t t e *， Ma r c e l o K u p e r m a n ， E f f e c t s o f i m mu n i z a t i o n i n s m a l l w o r l d e p i d e m i c s J ， P h y s i c a A 3 0 9 ( 2 0 0 2 ) ， 4 4 5 4 5 2 Oc t a v i o Mi r a mo n t e s ，Ba r t o l o L u q u e ，Dy n a mi c a l s ma l l wo r l d b e h a v i o r i n a n e p i d e mi c a l mo d e l o f mo b i l e i n - d i v i d u a l s J ， P h y s i c a D， 1 6 8 1 6 9 ( 2 0 0 2 ) ： 3 7 9 3 8 5 R o mu a l d o P a s t o r S a t o r r a s a n d A l e s s a n d r o V e s p i g n a n i ， E p i d e mi c S p r e a d i n g i n S c a l e F r e e N e t w o r k s J ， P h y s i c a l R e v i e w E ， 8 6 ( 2 0 0 1 ) ， 3 2 0 0 3 2 0 3 ( 下转 4 4页) 1 ： ；1 J n 1 j 维普资讯 工程数学学报 第 2 0 卷 参考文献： 姜启源 数学模型 M 北京 ： 高等教育出版社 ， 1 9 9 3 赵达纲 ， 朱迎善 应用随机过程 M 北京： 机械工业出版社 ， 1 9 9 3 闻新等 Ma t l a b 神经网络应用设计 M ， 北京 ： 科学出版社 ， 2 0 0 0 S h i Y a o l i n S t o c h a s t i c d y n a mi c m o d e l o f S A R S s p r e a d i n g J W W W s c i e n c e c o m， 2 0 0 3 ； 9 Th e S t u d y o f t h e S pr e a d o f S ARS XI AO H o n g ， j i a n g wU T o n g ， L I Mi n g k e Ad v i s o r ：HE Z u g u o ( B e i j i n g Un i v e r s i t y o f P o s t s a n d T e l e c o mm u n i c a t i o n s ， B e i j i n g 1 0 0 8 7 6 ) Ab s t r a c t ：Th i s a r t i c l e c o mp a r e s t h e mo d e l i n t h e a t t a c h me n t 1， a n d e x a ms i t s me t h o d c a l l e d” Ha l f I mi t a t i o n C i r c u l a t i o nca l c u l a t i o n ” Th e a d v a n t a g e o f t h e mo d e l i s i t s e a s e， i t s h i g h p r e c i s i o n i n t h e a s p e c t o f i mi t a t i o n ， a n d i t s r e a s o n a b l e c h a n g e o f t h e v a l u e o f” K” At t h e s a me t i me ， we p o i n t o u t t h a t i t s ma i n d r a wb a c k i s t h a t i t d e p e n d s o n t h e d a t a e x c e s s i x r e l y a n d i s n o t a b l e t o p r e d i c t t h e s i t u a t i o n f o r l o n g e r t i me I n t he s e c o n d q u e s t io n， we b r i n g u D f o u r m o d e l s w h i c h a r e b a s e d o n f o u r d i f f e r e n t c o r e m e t h o d s ： ( 1 ) t h e m ode l b a s e d o n d i f f e r e n t i a l a n d d i f f e r e n c e e q u a t i o n ； ( 2 ) t h e c o n t r o l i n g m o d e l b a s e d o n f i l t e r ； ( 3 ) t h e m o d e l o f n e u r a l n e t w o r k ； ( 4 ) t h e s i n ml a t i o n mo d e l b a s e d o n B r a n c h i n g P r o c e s s I n Mo d e l 2 ， we c o n c l u d e t h a t S AR S wi l l l a s t 9 9 d a y s i n B e ij i n g ； t h e e a r l i e r i t i s c o n t r o l l e d t h e b e t t e r i t wi l l b e c o me ； a n d S ARS wi l l n o t b r e a k o u t p r e o d i c a l l y I n t h e t h i r d q u est i o n， we a r e e n ， l i g h t e d b y t h e c o nse q u e n s e f u n c t i o n ”i n e c o n o mi c s s o we b r i n g i n t h r e e d i f f e r e n t i n f l u e n t i a l f u n c t i o n s t o d r a w o u t ” a n i n f l u e n t i a l mo d e l o f t h e f o r e i g n v i s i t o r s” h e n we d r a w a c o n c l u s i o n t h a t t h e c i t y o f B e r i n g wi l l l o s e 1 ， 3 8 2 ， 1 1 0 f o r e i g n v i s i t o r s d u e t o S ARS Fi n a l l y，we g i v e a s h o r t c o mp o s i t i o n t o b e p r i n t e d o n t h e lo c a l n e ws p a p e r s Ke y wo r d s ：f i l t e r ；n e u r a l n e t wo r k；b r a n c h i n g p r o c e s s ( 上接 2 8 页 ) M o d e l i ng t h e S ARS Ep i d e mi c Co n s i d e r i n g S e l f - c u r e L I B e i ， X U H a i x u a n ， G U O J i a j i a ( D a l i a n Un i v e r s i t y o f T e c h n o lo g y ， D a l i a n 1 1 6 0 2 4 ， C h i n a) A b s t r a c t ： I n t h i s p a p e r ， a S E I u I i R( s u s c e p t i b l e ， e x p o s e d ，u n i sol a t e d i n f e c t i o u s ， i sol a t e d i n f e c t i o u s ， r e c o v e r e d ) mo d e l wi t h s e l f c u r e i s b u i l t t o mo d e l t h e S ARS e p i d e mi c Th e p