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f o c k 空间的拟不变子空间 摘要 本文研究f o c k 空间的拟不变子空间及其在相似与酉等价意义下的分类问 题，并对复平面上一般的解析h i l b e r t 空间讨论类似问题。主要内容如下：第一章 主要研究f o c k 空间拟不变子空间的b e u r l i n g 型定理我们证明了经典的b e u r l i n g 型定理对f o c k 空间l 。2 ( c ) 的拟不变子空间不再成立，并对有限余维的拟不变子 空间给出了b e u r l i n g 型定理成立的充要条件此外，建立了f o c k 空间渐进有限 余维拟不变子空间的余维数计算公式，并且给出了余维数公式的一些应用第二 章研究f o c k 空间的拟不变子空间在相似与酉等价意义下的分类问题我们首先 给出整函数环上一个偏序关系的完全刻画，并证明了f o c k 空间具有这种偏序结 构。利用这种偏序结构，我们对由带主项的多项式生成的拟不变子空间在相似和 酉等价的意义下进行完全分类第三章讨论复平面上解析h i | b e r t 空间的拟不变 子空间在相似和酉等价的意义下给出了有限余维的拟不变子空间的完全分类。 关键词：f 0 “、置间，解析h “6 e n 空间，拟专誊子空间。吵酉亍价 7 ” q u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e so ft h ef o c ks p a c e a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n c e r n sw i t ht h eq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e so ft h ef o c ks p a c ei nt h e f i r s tc h a p t e r 】w es h o wt h a tt h ec l a s s i c a lb e u r l i n g t y p et h e o r e mi sn o tt r u ef o rt h eq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c e so ft h ef o c ks p a c e ；i nt h ec a n et h a tmh a sf i n i t ec o d i m e n s i o n a l ，w e g i v e an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt oi n d i c a t ew h e nt h eb e u r l i n g t y p et h e o r e m h o l d sl e tnh eaq u a s i - i n v a r i a n ts u b s p a c ea n dmh ea na p p r o x i m a t e l yf i n i t ec o d i - m e n s i o n a lq u a s i i n v a r i a n ts u b s p a c eo ft h ep o c ks p a c e w ee s t a b l i s haf o r m u l af w i t h s o n l ea p p l i c a t i o n s lt oc a l c u l a t et h ed i m e n s i o no ft h es p a c em nw h e nd i m m n 1 ) 的拟不变子空间不成立的例子。 1 1f o c k 空间上的b e u r l i n g 型定理 1 1 1 引言和准备 在本文中，我们将用d 表示复平面c 上的开单位圆盘，t 表示复平面c 上 的单位圆周h a r d y 空间日2 ( d ) 是由在开单位圆盘d 上解析的满足下列条件 刷弘晒s u 。p ，j ，( r 炉驯m ) 。o 的所有函数，组成的h i l b e r t 空间如果j v 是h a r d y 空间日2 ( d ) 的闭子空间且 关于乘法算子a 疋是不变的，即： 死v ，则称为h a r d y 空间日2 ( d ) 的 不变子空间我们称包含集合s ( sch 2 ( d ) ) 的最小不变子空间为s 生成的不 变子空间，记为嘲设日2 ( d ) ，如果】j 珥。lj ( r e 坩) = 1 在t 上几乎处处 成立，则称西是内函数我们将用m e n 表示m 与1 的交下述定理被称为 b e u r l i n g 定理，是由a b e u r l i n g 给出的 b e u 】： b e u r l i n g 定理如果n 0 是h a r d y 空间日2 ( d ) 的不变子空间，那么 n ez n 是由内函数曲生成的一维子空间，并且 n = 纠= ( n oz n 其中n ez n = n n ( z n ) 1 经典的b e u r l i n g 定理给出h a r d y 空间甘2 ( d ) 的不变子空间的完全分类，它 在算子论、函数论以及它们的交叉领域起着重要作用然而，对于其它一些经典 的h i l b e r t 空间，如d i r i c h l e t 空间、b e r g m a n 空间，直到最近才发现这些空间的 不变子空间也成立b e u r l i n g 型定理r i c h t e r 在文f r i c 2 1 中证明了d i r i c h l e t 空间 的b e u r l i n g 型定理成立，即： 3 如果m 是d i r i c h i e t 空问的不变子空间，那么m 是由m ez m 生成的，且 d i m mez m = l 。 b e r g m a n 空间三：( 口) 是由在开单位圆盘d 上解析的满足下列条件的函数，组成 的h i l b e r t 空间： i ：= | ，( z ) 1 2 _ d a _ ( z ) o 。 j = l 1 “ 众所周知，b e r g m a n 空间的不变子空间格非常复杂。事实上，如果是b e r g m a n 空间的不变子空间，那么noz n 的维数可以是任意正整数或。【h e d 。于是人 们自然把注意力集中到研究nez 是否生成上，也就是b e r g m a n 空间上是 否成立b e u r l i n g 型定理1 9 9 6 年，a a l e m a n 、s r i c h t e r 和cs u n d b e r g 【a r s 证明了b e r g m a n 空间上的b e u r l i n g 型定理成立，即： 设是b e r g m a ns p a c e 空间l ：( d ) 的不变子空间，则n = n ez n 。 这一结果被誉为九十年代b e r g m a n 空间不变子空间理论研究的最高成就之一。 由于h a r d y 空间、d i r i c h l e t 空间和b e r g m a n 空间都是单位圆盘上具有再生核的 解析h i l b e r t 空间，而不变子空间的结构和所在区域的关系十分密切因此考察 其它区域上具有再生核的h i l b e r t 空间上是否成立类似的b e u r l i n g 型定理很有必 要。而f o c k 空间l i ( c r ) 是复平面c 上最重要的具有再生核的h i l b e r t 空间因 此，在这一节中，我们将讨论在f o c k 空间磋( g ) 中是否成立b e u r l i n g 型定理 我们首先给出f o c k 空间的定义： 定义1 1 1 f o c k 空间是由c “上高斯测度可积的整函数全体组成的h i l b e r t 空间，这里高斯测度d p ( z ) = e - * 平d u ( z ) ( 2 r c ) _ 。，d u ( z ) 是l e b e s g u e 测度，记为 珑( 伊) f o c k 空间也被称为f i s c h e r 空间、s i g a l - b a r g m a n n 空间或全空间伊上的 b e r g m a n 空间，是一类非常重要的具有再生核的h i l b e r t 空间容易验证，醒( g “) 是 l 2 ( 伊1 的闭子空间，它具有再生核函数虬( z ) = j , z 2 ，这里a c 、a z = ( a ，z ) l ：( 伊) 的标准正交基是 在本节中，f o c k 空间专指复平面c 上的f o c k 空间l 2 a ( c ) 与h a r d y 空间、b e r g m a n 空间和有界区域上的解析h i l b e r t 空间不同，f o c k 空间上的乘法算子m 。没有非平凡的不变子空间 g z h 其主要原因在于：存在 i ( c ) ，但z l ：( g ) 例如，取= 墨oi 孑赫，则i i 1 1 2 = 巽。嘉 0 都有器。( 南小卞1 0 使得，( z ) l r 0 成立， 我们称整函数，具有有限阶我们称a = i n f a ：i ，( z ) i 0 孺 易他) = 扣毗e 这样，对每一个非负整数j ( osj 1 存在几厶 0 使得对任给的 i z l m 都有 l ( z ) j = l p o ( z ) + p i ( z ) e 1 1 。+ + p 1 ( z ) e “m2 i 1 ) ，且( 0 ，0 ， ，0 ) z ( r ) 。令 c o = p l p ( o ，0 ，0 ) = 0 ，p c ) 则 j e c 0 1 不能生成 引 证明：由定理i 21 ，矾m ( 旧e c o z l ) = 1 因为是有限余维的，故 r a n k i 1 因此 i 】e c 0 1 不能生成 卅 设h 耀。是复平面g 上的点列如果存在，层( g ) 使得，( 吼) = 0 ，那么 我们称 a o ；o l 为f o c k 空间的零序列我们称此零序列对应的空i f f j 目 j ： a = ( f i r l ：( 口) ；f ( a 。) = 0 为f 0 c k 空间的零基子空间显然a 是拟不变子空间因此我们称a 是零基拟不 变子空间 我们知道，在b e r g m a n 空间中有类似的零基不变子空间的概念在 r i c 2 中， s r i c h t e r 证明了任一零基不变子空间具有余维数1 性质，即d i ma z = 1 而 这类空间在构造具有任意余维数的不变子空间中起着重要作用f h e d 。在f o c k 空 间三：( g ) 中，我们定义拟不变子空间吖的余维数如下： i n d m = d i m m z 。m 记a 。= f l ：( c ) l f ( a i ) = 0 ，i = 1 ，2 ，n ) ，由于 a = n 器l a n 因此每个零基拟不变子空间都是渐进有限余维的，作为余维数公式的另一应用， 我们有下面的命题： 命题1 2 3若 是零基拟不变子空间，则d i ma z 。a = l ，即，任一零 基拟不变子空间具有余维数1 性质 1 4 第二章f o c k 空间的拟不变子空间的分类 本章我们在相似和酉等价的意义下完全分类带主项的多项式生成的拟不变 子空间第一节给出整函数环上的一个偏序关系的完全刻画第二节则证明了 f o c k 空间具有这种偏序结构第三节对带主项的多项式生成的拟不变子空间在 相似( 酉等价) 的意义下进行分类，我们证明了带主项多项式生成的拟不变子空 间相似( 酉等价) 当且仅当生成它们的多项式有相同的主项( 相等) 最后一节 计算了一个简单的无主项的齐次多项式生成的拟不变子空间的相似轨道 2 0 引言及准备 在第一章中，我们主要关注f o c k 空间的拟不变子空间m 和其有限余维拟不 变子空间( 特别是和。om ) 的关系在这一章中，我们主要研究拟不变子空间 m 和其它拟不变子空间的关系 经典的b e u r l i n g 定理表明，h a r d y 空间铲( d ) 的任一非零不变子空间都是 一个内函数与俨( d ) 的乘积【b e u 这一结果给出h a r d y 空间h 2 ( d ) 不变子空 间的完全刻画然而，人们很快发现，这一结果对单位圆盘_ d 上的其它再生核 h i l b e r t 空间( 如b e r g m a n 空间) 不再成立对高维的情形，尽管二维h a r d y 空间 h 2 ( d 2 ) 中也存在内函数，但k + w 一1 不能表示成q 俨( d 2 ) 的形式，其中q 是 内函数f h a s t i 。于是，人们的注意力就转移到在适当的意义下对子不变空间进行 分类像众所周知的，分类问题一直是解析h i l b e r t 空间的核心问题。特别是对 多项式生成的不变子空间，对它们的分类直接相关于代数几何等数学分支正如 r g d o u g l a s 等人在文d p y l 中所说，“分类问题，总的来说，是非常困难的” ( t h ee q u i v a l e n c ep r o b l e mi s ，i ng e n e r a l ，q u i t ed i f f i c u l t ) 由于区域的几何特征和多 复变中的h a r t o g s 现象，高维区域上的解析h i l b e r t 空间的结构非常复杂，并且不 变子空间一般不再同构因此在同构意义下分类解析h i l b e r t 空间的不变子空间 是多变数算子论、多复变函数论及代数几何交叉点上的共同困难在1 9 8 6 年， a g r a w a l ，c l a r k 以及r g d o u g l a s 分类了多重圆盘上h a r d y 模( 子空间) 的有限 余维子摸( 不变子空间) 1 9 9 0 年，rd o u g l a s 和k y a n 分类了重圆盘上h a r d y 模的齐次子摸1 9 9 2 年，x c h e n 和r d o u g l a s 对单位球上的齐次h a r d y 子摸 完全分类他们的结果表明不变子空间的结构强烈依赖区域的几何性质在1 9 9 5 年，d o u g l a s 等人提出一种代数约化方法，把不变子空间的分类约化为代数曲线 和曲面的研究他们证明了在n 维复空间两个不变子空间的零簇的h a u s d o r f f 维 数小于2 n 一2 时，同构必然导致相等2 0 0 0 年，k g u o 利用他所建立的解析 h i l b e r t 模的特征空间理论，彻底解决了多重圆盘( 和单位球) 上由多项式生成的 h a r d y 子模( h a r d y 空间的不变子空间) 的分类问题这是高维h a r d y 空间的不变 子空间分类方面的一个重大进展 由第一章的结果可知，经典的b e u r l i n g 型定理对f o c k 空间的拟不变子空间 不再成立。于是一个自然的问题就是：在适当的意义下，对f o c k 空间的拟不变 子空间进行分类下面我们首先给出一些定义： 定义21设m l 、m 2 是f o c k 空间上：( g “) 的拟不变子空间 1 若对于任意的多项式p 和任意的，m l ，有界线性算予a ：m l _ m 2 满足 条件a ( p f ) = p a ( i ) ，则称a 是一个拟模映射。 2 如果存在一个酉拟模映射a ：舰- m 2 ( 即a 是酉算子) 使得a - 1 ：m 2 _ 肼i 也是一个拟模映射，则称m l 、m s 是酉等价的 3 如果存在一个可逆拟模映射a ：m t 叶m 2 ( 即a 是可逆算子) 使得a _ 1 ： 吖2 _ m a 也是一个拟模映射，则称m l 、m s 是相似的。 4 如果存在稠值域拟模映射a ：m l _ m s 和b ：m 2 _ m l ，则称m 1 、m 2 是 拟相似的 容易验证，酉等价、相似和拟相似是等价关系 与有界区域上的解析h i l b e r t 空间不同，在f o c k 空间考虑分类问题时，首先 遇到的就是验证多项式理想的闭包是否是拟不变的一般来说，要验证一个子空 间是否是拟不变子空间是比较困难的即便是对多项式理想的闭包的拟不变性 目前还没有完全解决在 g z h 中，ko u o 和d z h e n g 利用“特征空间理论” 证明了任一有限余维的理想的闭包都是拟不变的并在相似和酉等价的意义下 完全分类了f o c k 空间的有限余维拟不变子空间他们证明了：对一维f o c k 空 间l ：( g ) ，两个有限余维拟不变子空间相似当且仅当生成它们的多项式的次数相 等，两个有限余维拟不变子空间酉等价当且仅当这两个拟不变子空间相等；而对 高维f o c k 空间三：( g n ) ，两个有限余维拟不变子空间相似当且仅当这两个拟不变 子空间相等在高维f o c k 空间分类方面的另一个重要结果是：任一齐次理想的 闭包是拟不变子空间，两个齐次理想生成的拟不变子空间相似当且仅当它们是相 等的 g u 0 5 。 在本章中，我们继续研究多项式理想的闭包的分类问题我们注意到在整函 数环h o l ( c n ) 上存在一个自然的偏序关系，即： 设f ，g h o l ( c ”) ，如果存在r 0 使得当 r 时， 对任意的i = 1 ，2 ，n 成立，则称f ! g 我们在第一节给出这一偏序关系的完全刻画 1 6 在第二节，我们证明了f o c k 空间具有这一偏序结构，也就是： 若f ，g h o l ( c ”) 、g 厶：( g “) ，若，! g ，则，三：( g “) 。 f o c k 空间的这一偏序结构在f o c k 空间的研究中是非常有用和方便的。除了用来 研究多项式理想的闭包的分类问题外，我们将在第二节中给出其它一些简单的应 用。 在第三节，我们利用f o c k 空间的这一偏序结构，证明了带主项的多项式生 成的主理想的闭包是拟不变子空间，并在拟相似、相似和酉等价的意义下对这类 拟不变子空间给出完全分类。我们证明了带主项的多项式生成的拟不变子空间， 拟相似( 相似) 当且仅当生成它们的多项式有相同的主项；酉等价当且仅当它们 相等。 最后，我们讨论一个由无主项的齐次多项式生成的拟不变子空间的相似轨 道我们证明了 z 十w 的相似轨道是p + 叫+ 刈，其中a 是任意复数结合 g u 0 5 】 中的结果，从这一例子可以看出f o c k 空间结构的复杂性 2 1整函数环的偏序关系 用h o l ( c “) 表示整函数环，在h o l ( c “) 上存在一个自然的偏序关系： 设，9eh o l ( c “) ，如果存在r 0 、m 0 使得当1 z i l r 时， l ，( z i ，z 2 ，) l m i g ( z t ，z 2 ，) l 对任意的i = 1 ，2 ，n 成立，则称，- _ g 在本节中我们将完全刻画这一偏序关系首先考虑n = 1 情形 命题2 11 设，和g 属于h o l ( c ) 。则，! g 当且仅当存在满足条件d e gp 茎 d e gq 的多项式p 和q 使得 = 里 gq 。 这里“d e g ”表示多项式的次数。 证明：“# ”显然 tc 号，不妨设，和g 没有公共零点由于，5 g ，故存在常数r m 0 使得 当i z l r 时删m 。因而函数，( z ) 加( z ) 在区域( z c ：川 r ) 上解析。 用a ，a 。表示g 在 z c ：i z lsr ) 中的零点，我们设这些零点的对应重 数分别为k ，k 。那么( z ) = ( z a 1 ) 一( z k ) k n f ( z ) g ( z ) 是复平面c 上 的整函数。 7 而当【z 1 r 时，我们有 l 咖( z ) l 曼m i ( z a 1 ) “( = 一a 。) 2 n 令。：k 1 + + k 。那么存在正数r 7 和m 7 ，使得当 r 时 丛型 l 时，h o l ( c “) 偏序“! ”的完全刻画我们需要 g u 0 2 】中的 两个结果： 引理21 2 g u 0 2 设，= p q 是有理函数并且p 、q 没有公因子若，在 n ( cg “) 上解析，则z ( q ) nn = 0 。 引理2 1 3 g u 0 2 】 若，是多圆盘d ”上的n e v a n l i n n a 类函数并且，的切 片函数f s l i c ef u n c t i o n s ) 丸( 一元函数) 对于几乎所有的w t “是有理函数，则f ( 多元函数) 是有理函数 1 8 对于任意的0 0 使得p 在皿中 没有零点，即， z 扫) n q ，= 0 证明：为书写方便，我们仅就n = 2 的情形给出证明设 z m ；j s “ 有非零主项a m n z “w ”那么 p ( z ，w ) = z m w “( o m n + i ，j ) ( m ，“ 因此存在正数r 使得p 在n ，中没有零点 反之，设d e g ：p = m 、d e g 。p = n 则p ( z ，w ) 可以表示为： mn v ( z ，w ) = m ( w ) z 一= p w ”2 k = ol = o 由于z ( p ) n g = 0 ，故存在r o ( r ) 0 使得当l z l r o 、川r o 时 p o ( w ) 0p ：( z ) 0 在( w ：= r o ) 上，若取r ( r o ) 充分大，则 l p o ( 叫) r m + m ( w ) r m 一1 + 一+ p m ( 叫) 一p o ( t u ) r m l 7 、f w f r 时有 i f ( z ，w ) l i g ( z ，) ls m 取( 。o ，w o ) c 2 且9 ( z o ，w 0 ) 0 。则存在r o 0 使得g ( z ，w ) 在区域 珊= “z ，山) ：f z z 0 f 2 t o ，f 叫w 0 fs2 t o 上无零点 令 ，0 ( # ，叫) = ，( r 0 二+ z o ，相彬+ u 0 ) 卯( z ，甜) = g ( r o z + 询，r o w + f f o ) 那么o g o 令f = 1 0 9 0 ，则f 在包含d 2 的一个区域上解析，因此f 是d 2 上的n e v a n l i n n a 类函数对固定的( z ，) t 2 ，当 壁幽t o 丑鲥时， if ( ) ( a ) i = i ，o ( 地， ) l 舳o ( a = ， ) i m 由命题2 1 1 ，存在一元多项式 l ， 2 使得 = 糕 据引理2 1 3 ，存在互质的多项式p o ( z ，”) 和q 0 ( z ，”) 使得 f ( z ，) = f o ( z ，w ) g o ( z ，t f j ) = p o ( z ，w ) q o ( z ，) 因此存在互质的多项式p ( z ，w ) 和q ( z ，w ) 使得 ( z ，w ) p ( z ，”) 丽2 雨而 由p 5 口和命题2 1 1 ，容易验证 d e g ：p ( z ，w ) d e g ：q ( z ， ) ，d e g w p ( z ，w ) d e 9 q ( z ，) 2 n 下面我们只需证明q ( z ，u ) 有非零主项即可。我们断言 事实上，当( z ，w ) q ，时 z ( q 1n n ，= 0 因此韶普在q ，上解析 k k i 由引理2 1 2 ，断言正确，即 z ( q 1n q ，= 0 再由命题2l4 ，q 有非零主项 “# ”假设q = 。! 。j ! 。a i j 具有非零主项o m n z r n w “，且p5 t ! m ，j ! n b i j z 。 由于 t m ， 0 ，使得当 r 时，( z ) i m i g ( z ) 。因此 i f ( z ) 1 2 咖 j c f ，( z ) l d p + i ( z ) 1 2 d p ! 凡j i z l r i f ( z ) l d p + i g ( z ) 1 2 舡 r 也就是9 l ：( g ) 、f ! g 蕴涵f l ：( g ) 即一维f o c k 空间具有一种偏序结 构然而高维f o c k 空间是否具有这种偏序结构并不显然这一节我们首先证明 高维f o 。k 空问也具有这种偏序结构，最后就一维f o c k 的序结构给出一些简单应 用 定理2 2l 设，g 是c “上的整函数如果f ! g 且g l ：( 伊) ，那么 f ：( e “) 证明；为书写方便，我们仅就n = 2 的情形给出定理的证明。事实上，定理 对所有的n 都成立 由，! g 知存在正常数r 和m 使得在区域 上有l f lsm l g f 。因此 令 珥= ( z ，w ) ： r ，j w l r i ，( z ，”) 1 2 咖 r ) 以及孵= ( ( z ，”) ： n l i r 那么，显然有 i ，( g ，) 2 如 + 。 j n ! 下面我们验证 丘丘 + 舡胪 盟 山z ，j 2 r 厶 设，的幂级数展式为y ( z ，w ) = 。a m n z w “，那么我们可得下列等式 和 因为 f ，w ) f 2 如 j n ， ：f 。，。f 。+ 。r ? m + ，e r 。s f r 。n + 。r 2 ，n + e r ；。打。 2 三2 ”i 一2 厶扩e 1 如k 此。如 = i 1 薹f 2 ( m + n + 2 ) 【1 2 ”t m e - r 2 t 2 d t ，”儿一啦此( 2 9 = t 2 t 2 ) l ( z ，”) 1 2 如 j n l 2 三l 1 2 小叫e 叫- 严e 叫2 d r z 2 萎2 ”叫o m n - 2z x m e - z d x 厶x n e - z d x = ，1 ，e 。r 2 ( m + n - l - 2 ) f n m n i 2 ：1 t ”e 1 2 2 d t + 。t “e r 2 t 2 a t ，( x = r 2 t 。) 詹几。2 d t j ：“p q ? 2 d t 詹e - r 2 t 2 d t s “e - r 2 t | 2 d t e r2 2 1 所以 i f ( z ， ) 1 2 d p ( 矿2 2 1 ) 1 ，( z ，w ) 1 2 d t t + ” n !j m 类似可得 1 ，( z ，) 1 2 咖 d e g 。p ，所以存在正整数s ( f ) 使得q 。0 由等式 可得 因为对任意自然数有 和 i i z 2 q 。旷 2 = 0 z 5 吼l i 2 l l a l l 2 i i z + p 。f j 2 i = 0 z k + s q 。1 1 2 = f i z m i l 2 i l q 。jj 2 = 2 k + s ( k + s ) 。1 1 2 z k + i p ；1 1 2 = 2 k + i ( 女+ ) ! l i p 。忾i = o ，1 ，2 ，l 所以，q 。= o 矛盾! 类似可证d e g 。q d e g 。p 。从而结论成立 由引理2 34 ，立即可得如下推论 推论2 35设m 是f 0 c l 【空间的拟不变子空间如果存在一个具有稠值 域的拟模映射a ： z r n w “ _ m ，那么q = a z ”w ”为满足条件d e g 。q