（基础数学专业论文）量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示.pdf

摘要 量子环面上的导子李代数在李代数的表示的研究中起着很重要的应用。量子 环面包含了多变量的罗朗多项式环为其特例，且其导子李代数还包含了一些特殊 的j o r d a n 代数的导子李代数为其子代数。此外，t o r o i d a l 李代数和以量子环面为坐标代 数的扩张仿射李代数上的可积模的分类问题可转化为其坐标代数上的导子李代数的模 的分类。量子环面的导子李代数的结构和表示已经被广泛的研究。本论文集中研究 秩2 的量子环面上的斜导子李代数的结构和表示。全文分三章：在第一章，我们先引入 斜导子李代数的概念。第二章中我们引入一类无穷维s 如模和函子露。最后，在第三章 中，我们研究这类s z 2 一模在这个函子碍下得到的像模的结构，从而得到了一类具有无限 维权空间的斜导子李代数的表示。 关键词：表示；李代数；斜导子。 a b s tr a c t t h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r a so fq u a n t u mt o r n sh a v em a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nt h e s t u d yo ft h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fl i ea l g e b r a s t h eq u a n t u mt o m sc o n t a i n st h el 越1 r e n tp o l y n o m i a lr i n ga si t ss p e c i a lc a s e ，a n dt h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao ft h eq u a n t u m t o m sc o n t a i n st h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao fc e r t a i nj o r d a na l g e b r a s 勰i t ss u b a l g e b r a s m o r e o v e r ，i ti sp r o v e dt h a tt h ec l a s s i f i c a t i o n so ft h ei n t e g r a b l em o d u l e so v e rt h et o r o i d a l l i ea l g e b r a sa n ds o m ee x t e n d e da f f i n el i ea l g e b r a sc a nb er e d u c e dt ot h ec l a s s i f i c a t i o no f t h em o d u l e so v e rt h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r a so ft h ec o o r d i n a t ea l g e b r a s t h es t r u c t u r e a n dt h er e p r e s e n t a t i o n so fd e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao fq u a n t u mt o r u sh a v eb e e ns t u d i e d e x t e n s i v e l y i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so ns t u d y i n gt h er e p r e s e n t a t i o n so ft h es k e wd e r i v a - t i o nl i ea l g e b r ao v e rt h er a n kt w oq u a n t u mt o m s w ed e s c r i b et h er e s u l t sa sf o l l o w s ：i n c h a p t e ro n e ，w er e c a l lt h en o t i o no fs k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a i nc h a p t e rt w o ，w ei n - t r o d u c eac l a s so fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls 1 2 一m o d u l e sa n dt h ef u n c t o r 瑶f i n a l l yi nc h a p t e r t h r e e ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo ft h ei m a g em o d u l e s ，u n d e rt h ef u n c t o r 碍，o ft h ei n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls 1 2 - m o d u l e s t h e nw eg e tac l a s so fr e p r e s e n t a t i o n so ft h es k e wd e r i v a t i o n l i ea l g e b r a sw i t hi n f i n i t e - d i m e n s i o n a lw e i g h ts p a c e s k e yw o r d s ：r e p r e s e n t a t i o n ；l i ea l g e b r a ；s k e wd e r i v a t i o n 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在 论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标 明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：余姗 y ，瞬否月1 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有 权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有 权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被 查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 不保密 ( 请在以上相应括号内打4 ”) 作者签名：余i 忽百玳日期：w 珲6 月1 e t 导师签名：夕等和f ，重、日期：加。牌f 月日 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 引言 李代数最先是由s o p h u sl i e 在研究李群时作为代数结构引入的。一个李群在单位元 处的切空间有一个自然的李代数结构，l i e 称之为无穷小群。但李代数本身也是令人感 兴趣的，人们发现了有限维单李代数在数学和数学物理上都具有很多应用，李代数现 在已经发展成为数学的一个经典分支。 1 8 9 0 - 1 9 0 0 年间，w i l h e l mk i l l i n g 最先给出了复数域上的单李代数的分类【k i l ，e l i e c a r t a n 进一步研究了复半单李代数的结构 c a l l ，并给出了它们的有限维不可约表示的 分类f c a 2 1 。h w e y l 发展t k i l l i n g - o a r t a n 的理论，得到了这些表示的特征标公式与完 全可约性定理，同时，他提出了研究紧半单李群的某种包含c a r t a n 分类中所有表示的 无穷维表示。 1 9 6 7 年，v g k a c 和r v m o o d y 在前人工作的基础上，开始研究有限维单李代 数的无穷维推广( f k a l 】，【m o 】) 。他们分别独立地引入了现在被称为k a c m o o d y 代数的李 代数。后来，m a c d o n a l d 发现了一些类似于仿射根系的w e y l 等式。这些等式指出了单 李代数的结构与模形式理论之间的深刻关系( m a l 。事实上，m a c d o n a l d 的等式中最简单 的一个早就包含在j a c o b i 的经典著作f j l 中。d a y s o n 也独立地发现了一些m a c d o n a l d 等 式，但由于数学家与物理学家缺少交流而使他错失了发现模形式与李代数问更深刻的 联系的机会f d l 。k a c 在1 9 7 4 年得到k a c m o o d y 代数的最高权可积模的类似于w e y l 特 征标公式的公式f k a 2 1 ，他的结果澄清了m a c d o n a l d 等式的本质特征。这些公式应该到 仿射k a c - m o o d y 代数及它们的扭代数得到的式子可以用模函数来表示。后来人们还发 现这些公式在某些特殊情形下可以化为非常简单的形式。 j l e p o w s k y 与r l w i l s o n 通过一些具有无穷多个变量的微分算子构造了最简 单的仿射代数s 2 的基本表示f l 、m ，并且后来推广到所有s i m p l y - l a c e 仿射代数及它们 的d y n k i n 图诱导出的扭代数的基本表示 k k l w 。g a r l a n d 注意到这些微分算子与物 理学在“d u a lr e s o n a n c et h e o r y 丹中用到的“顶点算子 有相似之处。后来，在k a c 与f r e n k e l f k l 构造出s i m p b - i a c e d 仿射李代数的基本表示的齐次顶点算予实现s e g a l f s e l 也独立地给出了上述顶点算了的实现。从而证实了“顶点算子 与“微分算了 是完全一致的。事实上，s j t i 的非扭顶点算子构造正是物理学家一直希望找到的一种 模型。后来人们证实了岛在s t r i i l g 理论中具有重要的应用。同时，非扭顶点算子表示 使人们可以以一种新的角度看有限维单李代数，即将之视为保持某种自然分次的仿 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 2 射李代数的子代数。这种构造的可积结构对c h e v a l l e y 的关于李型的有限群理论，以 及s t e i n b e r g 对c h e v a l l e y t 作的推广都起了关键的作用f s t l k a c - m o o d y 代数被引入后便迅速的发展。有限维单李代数是k a c - m o o d y 代数的例 子，但k a c - m o o d y 代数的理论范围更广，它包含了许多无穷维的例子k a c - m o o d y 代 数在数学的许多领域，包括群论组合，模形式，微分方程和不变理论等具有重要的应 用。此外，它在数学物理中的统计物理，保型场论等也具有重要的应用。 v i r a s o r o 代数是无穷维李代数中一类非常重要的代数，它实际上是一维环面上的 导子李代数的泛中心扩张。v i r a s o r o 代数可以通过s a g a w a r a - 算子作用在仿射李代数的 任何( 除了水平等于对偶c o x e t e r 数的相反数) 高权模上。由于f o c k 空间可以作为仿射 李代数的表示空间，从而可以作为v i r a s o r o 代数的表示空间。因此，仿射李代数与具 有常中心的v i r a s o r o 李代数的半直积在数学和物理上都是一种很重要的李代数，且这 类表示在构造仿射李代数的表示和分析其结构起着重要的作用。v i r a s o r o 代数在物理 学的许多分支中都扮演着极其重要的角色 r s l 。v i r a s o r o 代数的表示在顶点算子代数理 论以及对m o n s t e rg r o u p 的研究中也扮演着极其重要的角色( 【d l 】，【f l m ，f l l 】) ，它在理 论物理中的d u a lr e s o n a n c em o d e l 共形声理论中也有许多重要应用。由于v i r a s o r o 代数 在数学和物理上的广泛应用，人们自然试图对它进行推广。单变量的罗朗多项式的导 子李代数被称为w i t t 代数。d 维环面a 上的导子全体所成的李代数d e r a 是w i t t 代数的 最为自然的推广。对d e r a 的结构及其不可约模的构造和分类问题的研究具有重要的 意义。例如，r a o 和m o o d y 在研究t o m i d a l 李代数的表示时，推广t s u g a w a r a 构造法从 面得到d e r a 的算子，进而构造也t t o r o i d a l 李代数的一大类顶点表示l r m 】在量子群研 究工作的带动下，人们也对量子环面c 口及其导子李代数d e r ( c q ) j 拄行了研究。人们发 弼9 a d e r ( c o ) 与扩张仿射李代数的结构和表示也产生了深刻的联系。b e r m a n ，郜云等人 构造出以c 口为坐标代数的扩张仿射李代数的主表示和齐次表示( 【b j 】，【g i ，【c 2 1 ) 在他 们的构造方法中也可看出d e ，( c 口) 模的重要性。此外，r a o 和姜翠波等人对t o r o i d a l 李 代数的可积模进行分类时发现这些模的分类可以归结为t o r o i d a i 李代数的坐标代数上的 导子李代数的模的分类【r j 】由此可见，研究d e r ( c q ) 的结构和表示具有重要的理论价 值，因而人们对d e r ( c 口) 的结构和表示进行了广泛的研究。 设a 为具有交换变量的罗朗多项式环，d e ，( a ) 为a 的导子李代数。l a r s s o nl l 】构造 了一个从o l a - 模到d e r ( a ) 模的函子p ，这些d e r ( a ) 模实际上是沈光宇构造的模的特 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 3 例 s h l r a o 【r a 2 】研究了有限维g l d 模在这个函子f a 下的像模的结构。林卫强和谭绍 滨 l t l 】推广- j a 肋的结果，他们构造了一类从g l d - 模至u d e r ( c 口) 一模的函子露，并完全 的刻划了当量子环面矩阵g 的元素是单位根的情$ t d e r ( c q ) 模的结构。注意到秩2 的量 子环面上的斜导子李代数包含t v i r a s o r o - l i k e 2 乏其口类似的特殊情形。在 l t 2 】中，作者 给出了秩2 的量子环面上的斜导子李代数具有有限维权空间的不可约表示。受到他们的 工作的启发，这篇论文中我们集中研究量子环面上的斜导子李代数的一类具有无限维 权空间的表示。 在第一章中，我们先回顾关于量子环面上的斜导子李代数l 的一些事实。第二章 中，我们引入一类无穷维5 如一模以及函子露最后，在第三章中，我们研究口( y ) 的结 构，从而给出一类具有无限维权空间的厶模。 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 4 1 第一章量子环面上的斜导子李代数 1 1 量子环面 首先我们记一些符号，取定复数域上一个有e l ，e 2 为基元的向量空间“令( ，) 为 “上的一个标准双线性型，e p ( e i ，吩) = 盈j ，1 i ，j 2 记r = z e a + z e 2 ， 我们用m ，n ，r ，s 来表示r 中的元素。设u l ，u 2 ，u k 为向量空间中的元素，我们 用( u l ，u 2 ，u k ) 来表示它们在c 上的线性张成。 固定口c ：c o ) 秩为2 的量子环面c q 是指c 上具有生成元茁 1 ，磅1 的一个非交 换结合代数，且生成元满足下列关系式： x 2 x l = q x l x 2 ，孙1 = 1 x k = 1 ，1 七2 对任意n ：n l e l + n 2 e 2 r ，我们记z n = 石? 1 z 2 定义呸：r r _ c 如下： o ( m ，n ) = q m 2 m ，f ( m ，n ) = 口m 2 m 一1 他 其中m = m l e l + m 2 e 2 ，n = 冗1 e l + n 2 e 2 r 则我们有 。m z n = 仃( m ，n ) x m + n ，z m z n = ( m ，n ) x n z m 定义 r a d ( f ) = m r l ( m ，n ) = l ，v n r 则r o d ( ，) 显然是r 的一个子群。若口不是单位根，则r 以( ，) = o ) ；若口是一个p 次本原单 位根，则 r n d ( ，) = k l p e x + k 2 p e 2 l k l ，z ) = p f 由于c 口是r - 分次的，我们有度导子d l ，d 2 满足： 攻( z n ) = 死七z n ( 1 七2 ) ，v n = n l e l + n 2 e 2 r c 口的内导子满足： a d x n ( z m ) = ( 盯( n ，m ) 一( m ，n ) ) 矿+ m 如果n t a d ( f ) ，则d 如n = 0 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 记d e r ( c 口) 为c 口上的导子集合。对n r ，我们记d e r ( c q ) n 为c 口的竹次齐次导子集 合，则我们有以下结果【b g 】： 引理1 1 1 ： d e r ( c 口) = o n r d e r ( c 口) n 其中 d e r ( c a ) a = 。猷c a d x m n , ，：器父 d e r ( c 口) 是一个李代数且具有如下李结构： ( 1 ) v s ，s 7 碧r a d ( f ) ，【a d x ，a d x 1 = 仃( s ，s ) ( 1 一( s ，s 7 ) ) o d 矿+ 一； ( 2 ) 垤聋r a d ( f ) ，r r n d ( ，) ，u 搿，( n 五矿，o ( u ，r ) l = - ( u ，s ) 仃( r ，s ) a d x r + ； ( 3 ) v r ，l ，r a d ( f ) ，u ，u 7 酣，【o ( u ，r ) ，n ( u 7 ，r ，) 】= d ( w ，r + i ，) ， 其中w = 盯( r ，r ，) ( ( u ，r tu 7 一( t l ，r ) u ) 1 2 斜导子李代数己 定义1 2 1 对r r a d ( f ) ，u = u l e l + u 2 e 3 “，我们记 d ( u ，r ) = 矿( u l d l + u 2 d 2 ) 己竺( d ( u ，r ) l ( u ，r ) = 0 ，r r a d ( f ) ，u 甜) $ a d x n i n r ) 我们称为量子环面上的斜导子的集合。 对仇r ，我们记 脚，= x m ( 7 1 1 , 2 出一l 蛾冀主爻 则我们有下列结果： 引理1 2 2l 是d e r ( c 口) 的一个李子代数，具有下列基元： d ( m ) l m r o ) u d l ，d 2 l 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 6 且基元满足如下李关系： 【d ( m ) ，d ( n ) 】= g ( m ，n ) d ( m + n ) ， 【如，d ( m ) 】= 一【d ( m ) ，d k 】= m 七d ( m ) ，1 七2 d l ，d 2 】= 0 其中m = m l e l + m 2 e 2 ，n = n l e l + n 2 e 2 r ，且 9 c m ，n ，= iq m 2 m _ _ q m l 2 , 冀：n 甓r 口d ( ，) 注1 2 3 ( 1 ) 当q = 1 时，l 是v i r a s o r o - l i k e 代数；当g 不是单位根时，l 是v i r a s o r o - l i k e 代数 的q 类似 k p s 从而我们这里研究的秩为2 的量子环面上的斜导子李代数实际上包含 了v i r a s o r o - l i k e 及其口类似为特殊情形。 ( 2 ) v i r a s o r o - l i k e 代数j b l v i r a s o r o - l i k e 代数的g - 类似_ t ：的h a r i s h c h a n d r a 模的分类在3 迂： l t 4 】， 【l t 5 1 中已经被刻划。 ( 3 ) 己的中心扩张，导子，自同构群在 c x l ，【l t 3 i 中已经得到。 2 第二章s 1 2 一模与函子露 2 1 一类无穷维s j 2 。模 首先，我们引入一类无穷维5 2 2 模。设z ，y ，7 l 为李代数s 1 2 的c h e v a l l e y 基，即： 【h ，z 】= 2 x ，【h ，y 】= - 2 y ，p ，胡= h 对任意入c ，我们设z ( a ) 为一个具有可数基( 铷，仇，啦，) 的向量空间，则下列公式 在z ( 入) 上定义了一个s 1 2 一模结构( 令u 一1 芝o ) ： ( a )九奶= ( a 一2 0 - , ； ( b )y v i = ( 1 + 1 ) + l ； ( c ) z = ( a i + 1 ) 一l ( t o ) 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 7 注2 1 1z n ) 实际上是s 2 2 的以入为最高权的v 宅r m a 模。 下面我们看z ( a ) 的一些性质： 引理2 1 2 当入+ 1 不是一个正整数时，z q ) 是一个不可约的s z 2 一模。 证明：r e ( c ) 易证得。 口 引理2 1 3 当a + l 是某个正整数时，s 1 2 模z ( 入) 有一个以为极大向量的不可约子 模s = ( ，地+ l ，) 此外，z ( a ) 厣是一个有限维的不可约s 1 2 一模。 证明：由( c ) 可得。 口 2 2 函子f 莒 现在我们来引入一族以“中的向量口和函数9 为参数的从s 如一模到己一模的函子霹 引理2 2 1i l t 2 设函数9 ：f _ c + 满足任意n ，n l f ，s r a d ( f ) 有： g ( n ) g ( m ) = g ( n + m ) ，g ( s ) = 1 则我们有： ( 1 ) 若q o 不是一个单位根，则存在口，b c 使g ( n ) = a n l 扩2 ( 2 ) 若q o 是一个p 次单位根，则存在p l ，脚z 使g ( n ) = g p l n l + p 2 加 证明：( 1 ) 对慨= 他l e l + 九2 e 2 i ，我们有g ( n ) = 9 ( n l e l + 他e 2 ) = ( 9 ( e 1 ) ) 露1 ( 9 ( e 2 ) ) 勉， 令口= 9 ( e 1 ) ，b = 夕( e 2 ) 即得 ( 2 ) 此时，r a d ( f ) = h p e l + 如妒2 i 七1 ，如z ) ，记9 ( e i ) = 口，9 ( e 2 ) = b ，则由g 1 ) 一 n p ：l 可知口是p 次单位根，从而存在久z ，使得口= 矿同理，存在弘z ，使b 墨矿因 此g ( n ) = q h l 忡他 口 现在我们构造一个从s 易模到厶模的函子。 定义2 2 2 任给q “和一个满足对任意n ，m r ，s r 口以，) ，有g ( n ) g ( m ) = g ( n + m ) 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 且g ( s ) = 1 的函数夕：r _ c ，定义一个映射 碍：s 1 2 模叫l 模， y 一露( y ) = v c 口= o n e r y ( n ) ， 其q a v ( n ) = voz n ，v n r ，且l 在霹( y ) 上的作用如下定义： ( 1 ) a d x s v ( n ) = 矿( s ，n ) 0 ( s ) 一f ( n ，s ) ) t ，( n + s ) ， ( 2 ) d ( u ，r ) v ( n ) = ( u ，n + q ) ”( n + r ) + a ( u ，r ) v ( n + r ) 其中s 簪r a d ( f ) ，r r a d ( f ) ，u 甜，v ( n ) ：= t ，o z n y ( n ) ，a ( u ，r ) = r l u 2 x + r 2 u l y + r l u l h 易验证映射g ( y ) 的定义是合理的，即对任一s z 2 一模，向量空间譬( y ) 在上述定义 规定作用下确实是一个厶模。 注2 2 3 ( 1 ) 对任给的s f 2 一模，k 和h h o r n 。b ( ，k ) ，令霹( 1 ) ：露( ) _ 譬( ) ， 移1 ( n ) h 危( 饥) ( n ) ，n r ，则易知霉g y l s 6 一模到l 模的一个函子。 ( 2 ) 碍( y ) 是一个关于c a r t a n 子代数_ d ( u ，o ) l u 酎) 的权模，且权空间的维数等于y 的 维数，从而f g ( z ( a ) ) 是具有无穷维权空间的l 一模。 ( 3 ) 设为g ( y ) 的一个子模，则w 也是一个权模，即我们有：w = o n r ( n ) ，其 中( n ) 为w 的权空间。 3 第三章曰( y ) 的结构 3 1r 上的等价关系 这节中，我们先回顾在【l t l 】中定义的r 上的等价关系，我们将利用这些等价关系来 研究露( y ) 的结构。对n i 、，令 咒= s 聋r a d ( f ) l ( n ，s ) 9 ( s ) ) r 三= s 聋r a d ( f ) l f ( n ，s ) = 9 ( s ) 且对某个r 譬r 口d ( ，) ，( n ，i t ) g c r ) ，( n + s ，r ) 9 ( r ) ) r 主= s 暮r a d ( f ) l f ( n ，8 ) = 9 ( s ) 且对任意r 甓r a d ( f ) ，如果( n ，r ) 9 ( r ) ，贝l j ( n + s ，r ) 箱9 ( r ) r n 掌r 三ur 三ur a d ( ) 定义3 1 1 对n ，m r ，定义 “ n m 兮n + r n = m + f m 显然是r 上一个等价关系。令r = r 一，并用吾表示s f 所对应的等价类， 则= s + r - ，r = o i r 注3 1 2 由定义可知对所有n r 下列结果成立： - ( 1 ) r n = r ：出r 三r a d ( f ) ，r = r n 出r 主，r a d ( ) + r n = r n ，r a d ( f ) + i 未= r 暑 ( 2 ) s r n 兮西= n + s 引理3 1 3 对霹( y ) 的任意子模w 及n r ，t ，v ，我们有： ( i ) 如果u ( n ) w ( n ) 且s r 三uf 暑，贝i j 移( n + s ) w ( n + s ) ( 2 ) 对所有m r n 及s 簪t a d ( f ) ，如果m + s 圮，则d 如8 v ( n + m ) = 0 证明：( 1 ) 我们根据s 的不同情形分两种情况来证明。 ( i ) 若s r ：，基l ：i f ( n ，s ) 9 ( s ) ，贝i j 由 口d z j v ( n ) = 盯( s ，n ) 0 ( s ) 一( n ，s ) ) v ( n + s ) w ( n + s ) 司得v ( n4 - s ) w ( a4 - s ) ( i i ) 若s 瑶，即，( n ，s ) = 9 ( s ) 且对某个m 聋t a d ( f ) ，有，( n ，m ) g ( m ) l e l f ( n + s ，m ) 9 ( m ) 从而，( n ，m4 - s ) g ( m + s ) 由( i ) 可得v ( n + m4 - s ) w ( n + m + s ) 又 因为f ( n4 - m4 - s ，一m ) = ( n + 8 ，一m ) 9 ( 一m ) ，再由( i ) 可得u ( n + m + 8 一m ) = v ( n4 - s ) w ( n + s ) ( 2 ) 我们给出一个较i l t l 】的引理2 6 更为简洁的证明。由 a d x 8 ”( n4 - m ) = 盯( s ，n + m ) ( 9 ( s ) 一( n + m ，s ) ) ( n 十i n + s ) w ( n + m + $ ) 可知我们只需证明对任意m r n ，s 甓r a d ( f ) ，如果m + s 咒，则，( n + m ，s ) ；9 ( s ) 事实上，对i n + s 聪，我们有 g ( m + s ) = ( n ，m + s ) 且对任意r 管r a d ( f ) ，如果，( n ，r ) 9 ( r ) ，则 ( n + m + 8 ，r ) 2g ( r ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 现在我们根据m 的不同选取来证明。首先，如果m t a d ( f ) ，则 f ( n + m ，s ) = f ( - ，s ) = 夕( s ) 其次，如果m 耻，贝l j f ( n ，m ) 9 ( m ) ，上式与( 3 1 1 ) 可得，( n ，s ) 9 ( s ) 再利 用( 3 1 2 ) ，我们得到f ( - + m + s ，s ) = 9 ( s ) ，即 ，( n + m ，s ) = 夕( s ) 最后，如果m 聪，即，( n ，m ) = 9 ( m ) ，且对某个b 聋t a d ( f ) ， f ( n ，b ) 夕( b ) ，f ( n + m ，b ) g ( b ) n m ( 3 1 2 ) 可得 f ( - + m + s ，b ) = 9 ( b ) 由 ( - ，b ) 夕( b ) ，f ( - ，h i ) = g ( m ) 可得f ( - ，m + b ) g ( m + b ) 从而 ，( n + m + s ，m + b ) = g ( m + b ) ，( - + m + s ，m ) = 夕( m ) 这样，我们可以得n f ( s ，m ) = 1 注意到由 g ( m + s ) = ，( n ，m + s ) ，( - ，m ) = g ( m ) 可得f ( - ，s ) = 9 ( s ) 因此我们得到f ( - + m ，s ) = 夕( s ) 口 引理3 1 4 ( 1 ) 如果对任意肛1 ，砌z ，g ( m ) 矿，m t + p 2 舶，则r = 6 ( 2 ) 如果存在j l l l ，助z ，使得g ( m ) = 矿1 m ”j 2 r n 2 ，令w = - - p z e l + # 1 e 2 ，则： ( i ) 如果q l ，则存在n r ，使得 r = 雷出j j l 其中 雷= w + r a d ( ，) ，r ：谚， 矗= w + r l r 聋r n d ( ，) ) ( i i ) 如果q = 1 ，则 r = 需= r n d ( ，) 证明：由引理3 2 1 及定理3 1 1 易得。 口 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 3 2 l - 模f ；( y ) 的子模的性质 在3 1 中已经引入了r 上的等价关系，并研究了这个等价关系的一些性质现在我 们利用它们来研究由函子霉定义的这些厶模的性质。 在这节中，我们记y = z ( a ) ，并设q 是一个p 次本原单位根。此时，我们有： r a d ( ) = k l p e l + 岛2 p e 2l k t ，k 2 z 引理3 2 1 设彬为譬( y ) 的一个l 子模，且t ，( n ) ( n ) ，则w ( n ) 包含下列向量： ( v 1 ) ( 护钞) ( n ) ，( 沪t ，) ( n ) ； ( v 2 ) ( ( h x + z ) 秒) ( n ) ，( ( + ) ) ( n ) ； ( v 3 ) ( ( 2 一z 彭一掣z ) 移) ( n ) 证明：得用定义2 2 2 中外导子作用的性质可得( 详见【l t 2 】引理3 2 ) 口 引理3 2 2 设为碍( y ) 的一个厶子模，且( n ) 0 如果入+ 1 不是一个正整数，则对 任意r r a d ( f ) ，w ( n + r ) = v ( n + r ) 证明：我们分三步来证明。 ( 1 ) 首先我们证明铷( n ) 彤( n ) 设 j ”= 劬。w , o r t o o ，吒o ，( v 1 s t z ) s = l 若n 为偶数，令p = 警，由引理3 2 1 ，我们有 x 2 v ( n ) = ( 入一n + 1 ) ( a n + 2 ) ( a 九+ 2 ，1 ) 咖( n ) w ( n ) 从而v o ( n ) ( n ) 若n 为奇数r 令p = r 1 2 - 1 ，再由引理3 2 2 ，我们有 ( 妇+ x h ) x 2 i v ( n ) = ( 入一n + 1 ) ( a n + 2 1 * ) a r 。2 a ( a 一1 ) v o ( n ) w ( n ) 因此，珈( n ) ( n ) ( 2 ) 接下来我们证聊q w ( n ) = y ( n ) 我们需证明对所有歹0 ，吩( n ) 彤( n ) 成 立。由( 1 ) 我们有珈( n ) ( n ) ，从而只需证对任意歹之0 ，如果仇( n ) w ( n ) 对所 有0 j 成立，则t j ，+ 1 ( n ) w ( n ) 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 1 2 由引理3 2 1 ，我们有 ( ( a y + y h ) v 1 ) ( n ) = 2 0 + 1 ) ( a 一2 万一1 ) v j + l ( n ) w ( n ) 由入+ 1 不是一个正整数可知入一勿一l 0 从而吻+ 1 ( n ) ( n ) ( 3 ) 最后。我们证明对所有r t a d ( f ) ，w ( n + r ) = v ( n + r ) 成立。由于 r a d ( f ) = k l p e , + k ：p e 2 1 k , ，k 2 z ) 我们只要证对所有k 1 z ， w ( n + k l p e l ) 0 ，w ( n + k l p e 2 ) 0 事实上，对七1 0 ，我们有 d ( e 2 ，k l p e l ) v ( n ) = ( e 2 ，n + a ) v ( n + k l p e l ) + 七1 p ( z u ) ( n + k l p e l ) w ( i + k l p e l ) 在( 2 ) 中我们已得到对所有t ，v ，v ( n ) w ( n ) 令 u = 城剖嚣。 则可得 v o ( n + k l p e , ) w ( n + k p e , ) 从而w ( n + k l p e l ) 0 类似地，我们可以证明w ( n + k l p e 2 ) 0 引理3 2 3 i f ( v ) = o 玩 矗r 其中= r nv ( n + r ) 是露( y ) 的一个三子模 证明：详见f l t l 】 口 口 引理3 2 4 若g 是一个p 次本原单位根，且入+ 1 不是一个正整数，令= o r r ny ( n + r ) ， 则对任意n r ，碥是譬( y ) 的一个不可约厶子模。 证明：由引理3 2 2 ，只需证明玩的不可约性。假设有某个非零子模丁，则存在 某r r n ，使t ( n + r ) 0 由引理3 2 2 ，对任意m r a d c l ) ， t ( n + r + m ) = v ( n + r + m ) 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 1 3 从而对所有秒v ，有u ( n + r ) t ( n + r ) 由引理3 1 3 ，对所有s r n l + rur 三+ r 有 从而对所有s r n + r ， v ( n + r + s ) t ( n + r + s ) t ( n + r + s ) = v ( n + r + s ) 因此，+ rct 注意到r r n ，由注3 1 2 ，f i = 雨从而，+ r = ，t = 口 引理3 2 5 若入+ l = i 是正整数，令品= o r r 。s ( n + r ) ，其中s = 批，虢+ l ，) ， 则& 是玩的l 子模。此外，如果g 是一个p 次本原单位根，则对所有n f n ，是玩的一 个不可约厶子模，其中= o ，r 。v ( n + r ) 证明：由s 型z ( 入一2 t ) 及引理3 2 3 ，晶是碍( y ) 的一个l 子模，又& c ，因 此& 是的一个厶子模。注意到5 = z ( 一 一1 ) 且一 不是正整数，由引理2 1 2 及引 理3 2 4 可得& 的不可约性。 口 3 3 主要定理 有了前面的关于露( y ) 的l 子模的性质的一些引理，这节中，我们将给出本论文的 主要结论。首先，我们记一些符号，令 = o v ( n - i - r ) r e f 。 s = ( 仇，v i + l ，) ，= 目s ( n + r ) r 矗 w ( n ) = ( ( n + q ) ( n ) ) ，w n = ow ( n + r ) n e f 4 w l 口= v v _ aoy ( 一口) ，q f 定理3 3 1 令y = z ( 入) ，当g 是一个p 次本原单位根且a + 1 不是一个正整数时，露( y ) 完 全可约且 霹( y ) = “7o 甜坩 其中甜7 ，“为不可约厶模。 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示 1 4 证明：由引理3 2 3 ，3 2 4 ，我们有 碍( y ) = o 矗r 其中为不可约厶模。由于口是一个p 次单位根，由引理2 2 1 及引理3 1 4 ，若q l ，则 其中 此时，令 r = 雷出j i l 贾= w + ，口d ( ，) ，j i i = w + r l r 茌r 口d ( ，) ) ，w = - - p 1 2 e l + p l e 2 当g = 1 时，令 则可得到定理结论。 = 曰by ( r ) ，“= 臼兮y ( r ) 甜7 = o y ( r ) ，甜= 0 r 1 甬 定理3 3 2 令v = z ( 入) ，当口是一个p 次本原单位根且a + 1 - = - i 是正整数时， g ( y ) = 甜7o “ 口 其中甜7 ，“为歹? ( v ) t o l 一子模，且“7 ，“分别有不可约子模s ，5 秒此外， ( i ) 若a 2 ，则“7 s , ，u , , s 打为不可约的厶模。 ( i i ) 若a = l ，则甜 是不可约的，“7 有一个不可约子模w ，且 ( a ) 若o t + w 叠r a d ( f ) ，则w 是“7 s 唯一的非平凡子模，其中w = 一# 2 e 1 + p l e l r ( b ) 若o t + w 他d ( ，) ，则“7 8 有唯一极大子模谛，上t f v r v 是一个平凡模。 ( i i i ) 如果a = 0 ，则翻y 是不可约的，且 ( 8 ) 若a + w 簪r 以( ，) ，则蹦7 s 是一个不可约模。 ( b ) 若a + w r n d ( ，) ，则s = ( v s ) ( 一q ) ow ，其中( 叫s ) ( 一口) 与w 是不可约厶模。 证明由引理3 2 3 ，我们有 露( y ) = 0 量子环面上的斜导子李代数的一类无穷维表示1 5 其中是留( y ) 的厶子模。g 是一仰次本原单位根，由引理2 2 1 及引理3 1 4 ，若q 1 ， 则 其中 此时，令 r = 雷出五 雷= w + t a d ( f ) ，j 6 i = w + r l r 簪r 口d ( ，) ) ，w = - - # 2 e 1 + p i e 2 “= oy ( r ) ，= oy ( r ) r r e 五 5 7 = 日s ( r ) ，s = os ( r ) 若q = 1 ，令 甜= oy ( r ) ，s 7 = s ( r ) ，“= = 0 r 膏r i p 则由引理3 2 5 ，5 ”分别为，的不可约子模，注意到作为厶模， 1 2 s 7 盐o ( 叫s ) ( r ) ，甜 s 兰o ( 叫s ) ( r ) r 哥r e 矗 由引理2 1 3 ，v s