（概率论与数理统计专业论文）讨厌参数方法及数据分析.pdf

摘 要 都 是 某 种 特 定 分 布 函 数 下 的 局 部 最 大功 效 检 验 检 验( lo c a l ly t e a t s ) . 此方 法的 优点 在于可 以 灵活 运用 到任 何 有 关位 置， 布函 数未知的非 参数检验问 题中， 普遍适用性 广泛. m o a t p o w e r f u l 尺度参数的 分 最后本文还举 例说明了 如何具 体运用 这 些方 法， 以 及 它们 在流行病 学， 生存分析等生物统计领域中的广泛应用价值. 关键词: 假设检 验; 讨厌参 数; 条件分布函 数 学 科分类 号: 0 2 1 2 .6 ab s t r a c t h y p o t h e s is t e s t is o n e im p o r t a n t p r o b l e m i nin f e r e n c e . t h e 吻 o t h - e s i s h o i s c a ll e d t h e n u ll h y p o t h e s is o r s o m e t i m e s t h e h y p o t h e s i s u n d e r t e s t ; i t i s s a id t o b e s i m p le if it c o m p le t e ly s p e c ifi e s t h e d e n s ity f y (y ) a n d o t h e r w is e c o m - p o s i t s . c o m p o s it e m il l h y p o t h e s i s i s t h e m o s t c o m m o n s i t u a t io n a n d e x a m p l e s a r e w i d e s p r e a d in a p p li e d s t a t is t i c s . t h e d iffi c u l t y o f d o in g c o m p o s i t e n u ll h y p o t h e s i s li e s in t h a t t h e n u ll d i s t r ib u t i o n i s n o t u n i q u e a n d h e n c e t y p e o n e e r r o r c a n n o t b e c o m p u t e d . t h is p a p e r l i s ts t o w d a t a r a n a l y s is m e t h o d s o f d e a l i n g w i t h n u is a n c e p a r a m - e t e r s : c o n d it io n i n g m e t h o d a n d n o n - p a r a m e t r ic m e t h o d . c o n d it i o n in g m e t h o d is s u i t a b l e f o r t h e f i n i t e d im e n s i o n a l n u is a n c e p a r a m e t er s i n m o s t w h er e a s n o r , p a r a m e t r i c m e t h o d is s u it a b l e f o r p a r a m e t e r s o f in fi n it e d i m e n s io n s . t h e a d v a n t a g e s o f t h e c o n d i t i o n i n g m e t h o d l ies i n it s u n i fo r m f o r m a n d g e n e r a li t y , 。 c o m in g t h e d i ff ic u l t y o f n o t u n i q u e n u ll d i s t r ib u t i o n . l o t s o f c o m m o n s t a t is t i c a l i n f er e n c e p r o b l e m s a r e s p e c i a l c a m o f t h i s r e s u lt . f o r in s t a n c e , t w o- s a m p l e n o r - m a l d i s t r ib u t io n t - t e s t , t h e t e s t o f t h e in d e p e n d e n c e o f f a c t o r s in c a t e g o r i c a l t w o 勿 t w o t a b l e , t h e t e s t o f p a r a m e t e r s i n t h e l i n e a r m o d e l w i t h u n l m o w n v a r i a n c e ; n o n - p a r a m e t r i c m e t h o d o f t w o- s a m p l e l o c a t io n p a r a m e t e r t e s t i ll u s t r a t e s t h e o r ig in o f s o m e n o n - p a r a m e t r i c t e s t s t a t i s t ic s . t h e a d v a n t a g e o f t h i s m e t h o d l ie s in t h a t 抽fl e x i b i l i勺a n d g e n e r a te 勿i n m o s t f o r in s t a n c e , f a m o u s wi l c o x o n t e s t c a m o f l o c a t io n a n d s c a l e n o n - p a r a m e t r i c t e s t . b g - r a n k t e s te t c . , a r e 场e o p t i m a l l o c a ll y m o s t p o w e r f u l t e s t s u n d e r c e r t a in d is tr i b u t io n s . f i n a ll y , t h er e a r e e x a m p l e s i ll u s t r a t e d h o w t o a p p ly t w o m e t h o d s i n p r a c t i c e a n d t h e ir p r a c t i c a l v a l u e s in t h e fi e ld s o f e p i d e m i o l o g y a n d s u r v i v a l a n a l y s is o f b i o- i 直 ab s t r a c ti v s t a t i s t i c s . k e y wo r d s : c o m p o s it e n u llc o n d i t i o n i n g ; n u is a n c e a ms 2 0 0 0 s u b j e c t c l a s s ifi c a t i o n s : p r im a r y 6 2 k 1 5 ; s e c o n d a ry 6 2 k 0 5 . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、 保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 扬i t ， 加 了 年丁月21日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 杨恤 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限 及书写格式规定如下: 内 部 5 年 ( 最长5 年， 可少于5 年) 秘密1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年 ( 最长2 0 : 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已 经注明引 用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。 对本论文所涉及的 研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 杨寸 凡 ) o 7年 s月2 1日 chapte r 1 i n t r o d u c t i o n h y p o t h e s is t e s t i s o f t e n c o n s i d e r e d i n m a t h e m a t ic a l s t a t is t i c s . t h e r e a r e t w o k in d s o f n u ll 咖 o t h e s i s , s im p l e n u ll a n d c o m p o s it e m il l h y p o t h e s i s . a s im p le n u ll h y p o t h e s i s is t h a t g iv e n t h ek n o w n u n d e r t h e h y p o t h e s i s , t h e u n d e r ly i n g o f y is c o m p l e t e ly s p e c i fi e d a n d u n i q u e . a n y s u g g e s t e d t e s t s t a t i s t i c s h a s a k n o w n u n d e r h o a n d t h u s t h e t y p e o n e e r r o r i s a t t a in e d . i n h o w e v e r , in a ll b u t t h e s i m p l e s t p r o b l e m s , n u ll h y p o t h e s e s a r e c o m p o s it e , i .e ., d o n o t s p e c i f y t h eo f y c o m p l e t e l y . i f t h e n u ll i s n o t u n i q u e , h o w c a n w e d e f e n d t h e t y p e o n e e r r o r ? i n t h ew e m a i n l y d i s c u s s t w o m e t h o d s , c o n d it i o n in g a n d n o u p a r a m e t r ic m e t h o 氏o f g e t t i n g r i d o f n u i s a n c e p a r a m e te r s . i n t h e fir s t . o f a s in g l e p a r a m e t r i c fa m ily o f d e n s it ie s f (y ; b ) , t h e p a r a m e te r s p a c e 二 b e p a r t i t i o n e d in t o c o m p o n e n ts t h e ta =伽 ， 习 . t h a t is , a n y v a l u e o f 叻c a n o c c u r i n c o m b in a t i o n w it h a n y v a l u e o f a . u n d e r b o t h n u ll a n d a l t e r n a t iv e h y p o t h e s e s , a t a k e s u n s p e c ifi e d v a l u e s in 几. 玩t h e s e c o n d c a s e , t h e s p a c e o f n u i s a n c e p a r a m e t e r s a r e i n fi n it e . s o w e m a k e u s e o f s e m i- p a r a m e t r ic o r me t h o d . t h e r e a r e a l s o s o me i n p r a c t i c e i ll u s t r a t e d h o w t o a p p ly t h e m i n t o d a t a a n a ly s is . chap te r 2 me t h o d o l o g y 2 . 1 c o n d i t i o n i n g me t h o d p u t 恤t e r m s o f c r i t i c a l r e g i o n s o f a g iv e n s i z e a , t h e ce n t r a l r e q u ir e m e n t is t h a t t h e p r o b a b i li t y o f f a l l i n g in t h e c r it i c a l r e g io n s h a ll e q u a l t h e r e q u i r e d v a lu e a f o r a ll v a lu e s o f t h e n u is a n c e p a r a m e t e r , w h e n t h e n u ll h y p o t h e s is is t r u e . t h a t 斌w e r e q u ir e t h a t f o r a l l a e f l a , p ( y c. ; 咖 , a ) = a .( 2 .1 ) s u p p o s e t h a t g iv e n 叻 = 咖， 凡i s s u ffi c ie n t f o r t h e n u is a n ce p a r a m e t e r a . t h e n t h e c o n d it i o n a l d is t r i b u t i o n o f y g i v e n 凡=s d o e s n o t d e p e n d o n a w h e n h s i s t r u e , a n d t h e r e f o r e a n y r e g io n w h i c h h a s t h e r e q u ir e d s iz e in t h is c o n d i t io n a l d is t r ib u t i o n fo r a ll 。 h a s t h e r e q u ir e d p r o p e r t y ( 2 .1 ) . t h a t is p ( y e c. iv b ; s a = s ) = a . w e c a ll s u c h a c r i t i c a l r e g io n c a a r e g io n o f n e y m a n s t r u c t u r e a n d s u c h t e s t t h e s i m i la r t e s t . t o fi n d t h e m a x i m u m p o w e r o f t h e s i m i la r t e s t f o r a a l t e r n a t iv e h y p o t h e s i s 叻=叭， a =从 ， ， a p p l y t h e n e y m a n - p e a r s o n l e m m a t o t h e c o n d it i o n a l d e n s i t ie s u n d e r h o a n d t h e a lt e r n a t iv e , t h e r e b y c r i t ic a l r e g io n o f a p a r t i c u l a r s i z e a a s t h e b e s t ya ls,(yi s; o0 l)jyis,(yi s; 4 ) ， c. . 2 m e t h o d o l o g y i f t h is r e g i o n a p p li e s t o a ll a l t e r n a t iv es b e in g c o n t e m p l a t e d , i .e . t o a ll 叻 ; a n d从， t h e n w e c a l l t h e r e g io n u n if o r m l y m o s t p o w e r f u l s im i la r . n o t e t h a t t h e c o n d it i o n a l d e n s it y f y ls a ( y ls a ; 0 , a ) w ill n o t in g e n e r a l b e in d e p e n d e n t o f a w h e n 0 * - 2 . 2 n o n p a r a me t r i c me t h o d w h e n t h e n u i s a n c e p a r a m e t e r i s in fi n i t e 妙d im e n s i o n a l , w e m a k e u s e r a n k t e s t . f o r in s t a n c e , t h e r e a r e t w o in d e p e n d e n t s a m p le s fr o m f ( y ) a n d f ( y 一 b ) . w h a t w e a r e in t e r e s t e d i n is w h e t h e r 0 =0 . s u c h a p r o b l e m i s a l w a y s c a ll e d l o c a t i o n s h i f t t e s t w it h h o : b =o h a : b j40 . n o w f o r g e n e r a l v a l u e s o f 0 t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e r a n k s i s 弓山几j.lj n声曰峥召叮 f a (r ;0 ) 一 1 lr l ,9 (、 一 。 )i .,., ,g (y,)d y . i 协，( , j ) w r ite x , , = y ( j = 1 ， 二 ， n ) ; t h e n ( 2 ) b e c o m e s 1_， 、 _. 9 ( x , 、 一 夕 ) ， fs (r ; o ) = 瓜 .、= i9 (x )irk-_ 1猛 拓 d x . b e c a u s e n !ii j , g ( x , , ) is t h e p .d .f o f x (1 ) , . ., x ( ) w h e n x l , ., 瓜a r e i .i .d . d e n s ity 或 习 ， w e h a v e t h a t f x 仓 ; b ) =n ! 班 -i i 9(y, ) 一 ) 9 ( y ( ) ); 0 r o m ( 2 .4 ) .c a n o b t a in t h e o p t im a l r a n k t e s t f o r a n y s p e c i fi e d a h e r n a t ( 2 .4 ) i v e 0切 c a lc u l a t i n g t h e l ik e l ih o o d r a t i o . i n g e n e r 城t h e r e i s n o u n i f o r m l y m o s t p o w e r f u l t e s t a n d o n e p o s s i b i li t y is t h e r e f o r e t o u s e t h e lo c a ll y m o s t p o w e r f u l p r o c e d u r e ; t h u s t h e c r i t ic a l r e g i o n a r e f o r m e d fr o m l a r g e v a l u e s o f r 肠全 因1 l 一丽 , f = u . ( z . 5 ) 2 me t h o d o l o g y t h i s l e a d s t o t h e s t a t i s t i c t ( r ) =一 票j e g ( x (e ; ) ) . g ( x ( ) ) =梁l w , ( r k ) , w - u ) ， - e g l y u ) ) . g ( y u ) ) 0 ( j = 1 , ., n )( 2 .6 ) a c o n v e n ie n t a p p r o x i m a t i o n t o ( 2 .6 ) i s o b t a in e d f o r m t h e f a c t t h a t f o r l a r g e n , v a r g ( 珠 ) ) ; 0 ) = o ( n z ) ; t h is le a d s t o ， ， 臼 ) “ -;n(7)= - g g - m (1 ) g g - m ( n + l ) ( 2 .乃 w h i c h i s o f t e n m o r e e a s i ly c a lc u l a t e d t h a n ( 2 .6 ) . t h e n u ll d o e s n o t d e p e n d o n t h ed e n s 勿o f t h e o b s e r v a t io n s ; t h e p u r p o s e o f g ( .) i s t o d e t e r - m i ne as u i t a b l e t e a t s t a t i s t i c s . i t i s t h e r e f o r e o f i n t e r e s t t o p x wn i n p h o w a 耐备 t ( r ) b e h a v e s f o r d iff e r e n t s u c h a s t h e n o r m a l , c a u c h y , d o u b le e x p o n e n t ia l . f o r in s ta n c e , w h e n 殉卜石 w(m u e ) , ， g e t w (,. ) (7 ) l o g i s t i c s =-1+ i t i s t h e wi lc o x o n t e a t s t a t is t ic s . i f y h a s a n e x p o n e n t i a l d is t r ib u t i o n s , w e c a n g e t w (, ) (j ) = 1n + +n - i +1 +w h i c h i s t h e t w o s a m p le l o g - r a n k t e s t s t a t is t i c s . chap t e r 3 da t a a n a l y s i s e x a m p l e 1 . t w o s a m p l e p o i s s o n s u p p o s e 二h a v e t w o i n d e p e n d e n t l y t h e h y p o t h e s is t e s t is h e : a l =a 2 h , : s a m p le s x i a n d x 2 fr o m p ( a 1 ) a n d p ( a 2 ) . a l 9 入 2 . t h e l i k e l i h o o d f u n c t i o n i s p ( x , = x 1 , 兀= x 2 ) 1, e a l 122y e-a7 x1 :丢 2 - 1 (alx 11x2! t ，二!“ “ ” 一 。一“ g iv e n 叻 = m is kn o w n , o n l y r e la x e s t o 砂 a f t e r ( x i + x 2 ) is s u ffi c ie n t s t a t is t ic s . t h u s t h e l ik e lih o o d fu n c t io n c o n d it io n in g b y ( x l + x 2 ) . t h e c - l if in n a l l i k e l ih o o d f u n c t i o n i s p ( x , 二二 1 , x 2 = 2 :2 1x 1 + x 2 = 二 : + : : ) e 一 : 3a z 2 2 22 :e - x /艺 用干 -z7十 . 2 i e - a, a 2 e - a2 (a 2 ) 1 典 / x1 : 不2 巴 e m十 + - z i 斗 二 ， ( 1 1 m 工 三 、 入 2 尹m! n ! 片-习，al b (二 ， + 二 : ，劫 ) 、.产 /了.、 -一 u n d e r h o : a l =a 2 , p ( x 1 =x b x 2 = x 2 1x 1 + x 2 =: : + y 2 ) t h e r e fo r e t h e c r it ic a l r e g i o n is : : g 2 ( a ) - x 1 +工 2 2 ; 1 e x a m p l e 2 . t w o s a m p l e b in o m i a l d is t r i b u t i o n s u p p o s e x l a n d x 2 a r e i n d e p e n d e n t l y s a m p le s fr o m b ( n l , p 1 ) a n d b ( n 2 , p 2 ) . t h e h y p o t h e s is t e s t is h a : p i = p 2 h , : p i j p 2 3 da t a t h e l i k e l iho o d f u n c t i o n i s x 1 , x 2 = : 2 ) p p ( 1 一 p 2 ) n 2 - z 2 、l 飞叱 矛矛了.、 p i t ( 1 一 p 1 ) n i - s t (pim - pi)p2/(l - p2)一 “ 一 ，1，一 ， 一 ， ，、 )2,+s2.)n2 (1 p2 、.了了 御甸 /了1.、 g i v e n 叻=p ! / ( 1 - p s )is k n o w n , ( x i + x 2 ) i s s u ff i c ie n t s t a t i s t i c s . s o p ( x i = x i , x 2 = 叫x 1 + x 2 =: 、 + s 2 ) s h o u ld b e o n ly r e la t e d w it h 7/r , g e t t in g ri d o f p a r a m e t e r . . 们. ， ， 朋 召 t r ,e t h e c o n d i i - n 司l i k a i ; h n o d f u n c t i o n i s p ( x , = y 1 , x 2 = x 2 1 x 1 + x 2 二 : : + x 2 ) 吸i p ,. . ( 一 。 ) n 1- y ,p 2 2 ( 1 一 p 2 ) n 2 - x2 钩.伯. e k l + h t + s 2 l a l x 2 / pkk, 一 ，1)一 ( k i 12h (1 一 ， )、 一 ， n ， 1 a s c r k i+ l% = z 1+ z 2 1 k i i 、 k 2 u n d e r h o : 0 =1 , p ( x i , x 2 a+ x 2 ) 、h y p o g e o m e t r i c d is t r ib u t i o n . t h e c r it i c a l r e g io n c a n b e c o n s t ru c t e d u n d e r t h e d is t r i b u t io n a c c o r d i n g t o 加e o n e e r r o r . o n e a p p l ic a t i o n o f t h is m o d e l i s t h e co h o r t s t u d y in e p id e m i o l o g y . i n t h e c o h o r t s t u d y , w h a t w e c a r e i s t h a t w h e t h e r t h e p e o p l e w h o a r e e x p o s e d h a v e m o r e r i s k o f d is e a s e t h a n t h o s e w h o a r e n o t e x p o s e d . f o r in s t a n c e , d o p e o p l e w h o s m o k e ( e x p o s u r e ) h a v e m o r e r is k o f lu n g c a n c e r ( d is e a s e ) t h a n p e o p le w h o d o n o t s m o k e ? i f w e h a v e a s a m p l e o f n 1 p e o p le w h o s m o k e a n d n 2 w h o d o n o t s m o 城 a m o n g w h o s m o k e t h e r e a x e x 1 w h o s u f f e r fr o m l u n g c a n c e r a n d a m o n g t h o s e w h o d o n o t s m o k e t h e r e a r e x 2 s u f fe r fr o m d is e a s e . s u p p o s e t h a t p 1 a n d p 2 a r e r e s p e c t i v e ly p r o b a b i lit i e s 3 d a t a a n a ly s is o f h a v in g h an g c a n c e r in t w o g r o u p p e o p l e . t h e n w e h a v e a t w o 勿t w o t a b l e a s f o l l o w s : o u r i n t e r e s t i s t o t e s t t h a t w h e t h e r t h e e x p o s u r e a n d t h e d i s e a s e i s in d e p e n d e n t , w h ic h m e a n s w h e t h e r s m o k in g is r e l a t e d t o l u n g c a n e r . i t is e q u iv a le n t t o h y p o t h e s i s t e s t w it h n u ll p r =p a . t h e n w e m a k e u s e o f t h e m o d e l o f t w o- s a m p l e b in o m ia l d i s t r i b u t i o n in e x a m p l e t w o . m o r e d e e p l y , in e p id e m i o l o g y , . a r e a ls o i n t e r e s te d i n p o in t e s t im a t i o n o f r e la tiv e r is k ( r r = 黝a n d its c o n fi d e n c e in t e r v a l. 、 o f r e la t iv e r is k is t h a t p e o p l e w h o a r e e x p o s e d h a v e r 丑t i m e s r is k o f d is e a s e t h a n t h o s e w h o a r e n o t ， 来 “ a c o n s iste n t “o f r r , c o n v e rg in g t o t r u e r r in p r o b a b ili t y 衍t h e l a w o f l a r g e m m rb e r t h e o ry . e x a m p l e 3 . o n e - o n e m a t c h m a n t e l - h a z e l t e s t l ik e p a ir e d t - t e s t , e x p e r i m e n t s a x e o f t e n c o n d u c t e d i n d iff e r e n t p e o p l e , w h o h a v e d i ff e r e n t b a s e l in e c o n d i t io n s . w e c o n s t r u c t t h e l o g is t i c m o d e l a s fo l l o w s : l o g i t p ( y j = 1 ) = a ; + ,3 x ij , 0，1 ti住口 了.、 w h e r e x i r =1 m e a n s t h e p a t ie n t i s e x p o s e d a n d x ;2 =0 m e ans u n e x p o s e d . i =1 , 2 ， 二 ， n and j =1 , 2 . d is e a s e d , n o n d i s e a s e d , f.、. 一一 均 i t is a o n e - o n e m a t c h m o d e l . b u t i f j =3 , t h e n i t is a o n e - t w o m a t c h m o d e l . i f j = 4 , i t is a o n e - t h r e e m a t c h m o d e l , e t c . 3 d a t a a n 心ads a ; i s t h e b a s e lin e p a r a m e t e r , d e p e n d in g o n d i ff e r e n t p e r s o n s . a ; i s t h e w e d o n o t c a r e . 口 i s t h e p a r a m e t e r o f i n t e r e s t , r e p r e s e n t in g t h e 碗o d d s r a t i o , w h ic h o f t e n m e a n s t h e e ff e c t i v e n e s s o f a d r u g o r a t h e r a p y . 1094(y,=1 ) 一 l o g i t p ( 蛛= 1 ) = 庆 p 1 ， 介、 w9 1 , 一，了 l , - 一 _ 1 = n, i一p3 1一 p 2 t h e h y p o t h e s i s t e s t is h e : p = o 凡 : 9 3 4 0 . f o u r p o s s i b i l it i e s b l a s t a s f o l l o w s : h o w e v e r 。 吻 l a s t t w o t a b l e s a r e u s e f u l f o r o u t d a t a a n a l y s is . s u p p o s e t h a t 。 h a v e n s u c h t a b le s a s l a s t t w o p a t t e r n s . t h e n h o w c a n w e e s t im a t e o d d s r a t i o 风 t h e p a r a m e t e r w e a r e in t e r e s t e d i n ? w e c a n s t i ll u s e c o n d i t i o n in g m e t h o d t o g e t r i d o f n u is a n c e p a r a m e t e r o ; . d e n o t e p 1 = p ( y : 二 1 ) a n d p 2 = p ( y 2 = 1 ) . f o r t h e i t h p e r s o n , t h e c o n d it i o n in g l i k e li h o o d f u n c t io n o n ( y 1 + 场) i s 3 d a t a a n a ly s i s m i l =y n , 场 m i l = y u , 玲 v +2 1y 1 + y a = 1 ) y i2 ) k 1 +玲 =1 p y l ( 1p i 一 p : ) ， -m ip m0 1 2 ( 1 一 p 2 ) 1 - p 1 4一 p 2 ) + p 2 ( i 一 p i ) ory i i 1 +o r w h ich o n ly r e la t es t o ,b , w h e r e o r = 念 朱 黔一 e e . t h u s th e l i k e l i h o o d f u n c t i o n i s 切 七 o l a c o n d i t i o n a l l 伊 iy 1 + y 2 = 1 , i = 1 1 ., 动= o r e = 1 n 1 ( 1 + o r ) a lao r 二0 im p li e s t h e m l e o f o r i s o r=10 或) . s o ，g e t q =l o g ( o r ) l o g ( n - f_ 几 , 鱿 : ) . w e r e fu s e h o w i t h 皿 1 y i1 c 1 wi o r 皿 1 y a c i mi . e x a mp l e 4 . p a r t ia l l ik e l ih o o d m e t h o d in s e m i- p a r a m e t r ic p r o b le m i n s u r v iv a l a n a l y s i s , c o x p r o p o