2012年高考理科数学 全国一卷 真题.pdf

第 1 页 共 17 页 2012012 2 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷（全国卷） 理科数学理科数学 第第 I I 卷卷 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 （1 1）已知集合已知集合1,2,3,4,5A ，( , )|,Bx yxA yA xyA，则则B中所含元中所含元 素的个数为素的个数为( () ) （A）3（B）6（C） 8（D） 10 （2 2）将）将 2 2 名教师，名教师，4 4 名学生分成名学生分成 2 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实 践活动践活动，每个小组有每个小组有 1 1 名教师和名教师和 2 2 名学生组成名学生组成，不同的安排方案共有不同的安排方案共有( () ) （A） 12 种（B） 10 种（C） 9 种（D）8 种 （3 3）下面是关于复数）下面是关于复数 2 1 z i 的四个命题的四个命题 1 p：| 2z 2 p: : 2 2zi 3 p: :z的共轭复数为的共轭复数为1 i 4 p：z的虚部为的虚部为1 其中真命题为其中真命题为( () ) (A ) 2 p, 3 p（B） 1 p, 2 p（C） 2 p， 4 p（D） 3 p, 4 p （4 4）设）设 12 ,F F是椭圆是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，的左、右焦点，P为直线为直线 3 2 a x 上上 的一点，的一点， 21 F PF是底角为是底角为30的等腰三角形，则的等腰三角形，则E的离心率为的离心率为( () ) (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 4 (D) 4 5 （5 5）已知）已知 n a为等比数列，为等比数列， 47 2aa， 56 8a a ，则，则 110 aa( () ) (A)(A)7(B)(B)5(C)(C)5(D)(D)7 （6 6）如果执行右边的程序图，输入正整数）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)N N 第 2 页 共 17 页 和实数和实数 12 ,., N a aa输入输入,A B, ,则则( () ) (A)AB为 12 ,., N a aa的和 （B） 2 AB 为 12 ,., N a aa的算式平均数 （C）A和B分别是 12 ,., N a aa中最大的数和最小的数 （D）A和B分别是 12 ,., N a aa中最小的数和最大的数 （7 7）如图，网格纸上小正方形的边长为）如图，网格纸上小正方形的边长为 1 1，粗线画出的是某几何体的三视图，粗线画出的是某几何体的三视图， 则此几何体的体积为则此几何体的体积为( () ) （A）6 (B)9 （C）12 （D）18 （8 8）等轴双曲线）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在的中心在原点，焦点在x轴上，轴上，C与抛物线与抛物线 2 16yx的准线的准线 交于交于,A B两点，两点，| 4 3AB ，则，则C的实轴长为的实轴长为( () ) （A）2（B）2 2（C）4（D）8 第 3 页 共 17 页 （9 9）已知）已知0，函数，函数( )sin() 4 f xx 在在, 2 单调递减，则单调递减，则的取值范围的取值范围 ( () ) (A) 1 5 , 2 4 (B) 1 3 , 2 4 (C) 1 (0, 2 (D)(0,2 （1010）已知函数）已知函数 1 ( ) ln(1) f x xx ，则，则( )yf x的图像大致为的图像大致为( () ) （1111）已知三棱锥）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球的所有顶点都在球O的球面上，的球面上，ABC是边长为是边长为1的的 正三角形，正三角形，SC为为O的直径，且的直径，且2SC ，则此棱锥的体积为，则此棱锥的体积为( () ) (A) 2 6 (B) 3 6 (C) 2 3 (D) 2 2 （1212）设点）设点P在曲线在曲线 1 2 x ye上，点上，点Q在曲线在曲线ln(2 )yx上，则上，则|PQ的最小值为的最小值为 ( () ) (A)1 ln2(B)2(1 ln2)(C)1ln2(D)2(1 ln2) 第 4 页 共 17 页 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分。第第 1313 题题 第第 2121 题为必考题题为必考题，每个试题考生都每个试题考生都 必须作答。第必须作答。第 2222 题题 第第 2424 题为选考题，考试依据要求作答。题为选考题，考试依据要求作答。 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分。分。 （13）已知向量, a b 夹角为 45，且| 1,|2|10aab ，则b _. （14）设, x y满足约束条件 1, 3, 0, 0, xy xy x y 则2zxy的取值范围为_. （15） 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成， 元件 1 或元件 2 正常工作， 且元件正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时） 均服从正态分布 2 (1000,50 )N，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件 的使用寿命超过 1000 小时的概率为_. (16)数列 n a满足 1 ( 1)21 n nn aan ，则 n a的前 60 项和为_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 已知, ,a b c分别为ABC的三个内角, ,A B C的对边，cos3 sin0aCaCbc. （）求）求A；（）若）若2a ，ABC的面积为的面积为3，求，求, b c. . 第 5 页 共 17 页 （18） （本小题满分 12 分） 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价 格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. （）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需 求量n（单位：枝，nN）的函数解析式; （）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ，整理得下表： 日需求量 n 14151617181920 频数10201616151310 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （）若花店一天购进）若花店一天购进 1616 枝玫瑰花，枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元表示当天的利润（单位：元） ，求，求X的的 分布列、数学期望及方差；分布列、数学期望及方差； （）若花店计划一天购进）若花店计划一天购进 1616 枝或枝或 1717 枝玫瑰花，你认为应购进枝玫瑰花，你认为应购进 1616 枝还是枝还是 1 17 7 枝？请说明理由枝？请说明理由. . 第 6 页 共 17 页 （19） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 111 ABCABC中， 1 1 2 ACBCAA，D是棱 1 AA的中点， 1 DCBD。 （1 1） 证明：证明： 1 DCBC； （2 2） 求二面角求二面角 11 ABDC的大小的大小. . 第 7 页 共 17 页 （20） （本小题满分 12 分） 设抛物线 2 2(0)Cxpy p：的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为 圆心，FA为半径的圆F交l于,B D两点. （1 1） 若若90BFD ，ABD的面积为的面积为4 2，求，求p的值及圆的值及圆F的方程；的方程； （2 2） 若若, ,A B F三点在同一直线三点在同一直线m上上，直线直线n与与m平行平行，且且n与与C之有一个公共之有一个公共 点，求坐标原点到点，求坐标原点到,m n距离的比值距离的比值. . 第 8 页 共 17 页 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数( )f x满足 12 1 ( )(1)(0) 2 x f xfefxx . （1 1） 求求( )f x的解析式及单调区间；的解析式及单调区间； （2 2） 若若 2 1 ( ) 2 f xxaxb，求，求(1)ab的最大值的最大值. . 请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答，如果多做，则 按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 （22） （本小题满分 10 分）选修 41；几何证明选讲 如图，,D E分别为ABC边,AB AC的中点，直线DE交 ABC的外接圆于,F G两点，若/ /CFAB，证明： （）CDBC； （）BCDGBD 第 9 页 共 17 页 （23） （本小题满分 10 分）选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线 1 C的参数方程式 2cos 3sin x y （为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立坐标系，曲线 2 C的极坐标方程式2.正方形ABCD的顶点 都在 2 C上，且, ,A B C D依逆时针次序排列，点的极坐标为2, 2 . （）求点）求点, ,A B C D的直角坐标；的直角坐标； （）设）设P为为 1 C上任意一点，求上任意一点，求 2222 |PAPBPCPD的取值范围的取值范围. . 第 10 页 共 17 页 （24） （本小题满分 10 分）选修 45；不等式选讲 已知函数( ) |2|f xxax （）当）当3a 时，求不等式时，求不等式( )3f x 的解集；的解集； （2 2）若）若( ) |4|f xx的解集包含的解集包含1,2求求a的取值范围的取值范围. . 第 11 页 共 17 页 2012012 2 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷（全国卷） 理科数学理科数学参考答案参考答案 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）选D 5,1,2,3,4xy，4,1,2,3xy，3,1,2xy，2,1xy共 10 个 （2）选A 甲地由1名教师和2名学生： 12 24 12C C 种 （3）选C 22( 1) 1 1( 1)( 1) i zi iii 1: 2pz ， 2 2: 2pzi， 3: pz的共轭复数为1 i ， 4: pz的虚部为1 （4）选C 21 F PF是底角为30的等腰三角形 221 33 2()2 24 c PFF Facce a （5）选D 47 2aa， 564747 84,2a aa aaa 或 47 2,4aa 47110110 4,28,17aaaaaa 47101110 2,48,17aaaaaa （6）选C （7）选B 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为 11 6 3 39 32 V （8）选C 第 12 页 共 17 页 设 222 :(0)C xyaa交xy16 2 的准线:4l x 于( 4,2 3)A ( 4, 2 3)B 得： 222 ( 4)(2 3)4224aaa （9）选A 59 2(), 444 x 不合题意 排除()D 35 1(), 444 x 合题意 排除( )( )B C 另：()2 2 ， 3 (), 424422 x 得： 315 , 2424224 （10）选B ( )ln(1)( ) 1 ( )010,( )00( )(0)0 x g xxxg x x g xxg xxg xg 得：0 x 或10 x 均有( )0f x 排除,A C D （11）选A ABC的外接圆的半径 3 3 r ，点O到面ABC的距离 22 6 3 dRr SC为球O的直径点S到面ABC的距离为 2 6 2 3 d 此棱锥的体积为 1132 62 2 33436 ABC VSd 另： 13 2 36 ABC VSR 排除,B C D （12）选A 函数 1 2 x ye与函数ln(2 )yx互为反函数，图象关于yx对称 函数 1 2 x ye上的点 1 ( ,) 2 x P xe到直线yx的距离为 1 2 2 x ex d 设函数 第 13 页 共 17 页 minmin 111 ln2 ( )( )1( )1 ln2 222 xx g xexg xeg xd 由图象关于yx对称得：PQ最小值为 min 22(1 ln2)d 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）_b 3 2 2 2 210(2)1044cos45103 2ababbbb (14)2zxy的取值范围为 3,3 约束条件对应四边形OABC边际及内的区域： (0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC 则2 3,3zxy （15）使用寿命超过 1000 小时的概率为 3 8 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 (1000,50 )N 得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2 1 3 1 (1) 4 Pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 21 3 8 ppp （16） n a的前60项和为1830 可证明： 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 1123415 15 14 1010 15161830 2 baaaaS 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （1）由正弦定理得： cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC 第 14 页 共 17 页 sincos3sinsinsin()sin 1 3sincos1sin(30 ) 2 303060 ACACaCC AAA AA （2） 1 sin34 2 SbcAbc 222 2cos4abcbcAbc 解得：2bc（l fx lby） 18.（1）当16n 时，16 (105)80y 当15n 时，55(16)1080ynnn 得： 1080(15) () 80(16) nn ynN n （2） （i）X可取60，70，80 (60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P XP XP X X的分布列为 X607080 P0.10.20.7 60 0.1 70 0.280 0.776EX 222 160.160.240.744DX （ii）购进 17 枝时，当天的利润为 (14 53 5) 0.1(15 52 5) 0.2(16 5 1 5) 0.16 17 5 0.5476.4y 76.476得：应购进 17 枝 （19） （1）在Rt DAC中，ADAC 得：45ADC 同理： 111 4590ADCCDC 得： 111 ,DCDC DCBDDC面 1 BCDDCBC 第 15 页 共 17 页 （2） 11 ,DCBC CCBCBC面 11 ACC ABCAC 取 11 AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接 11 ,C O C H 1111111 ACBCC OAB，面 111 ABC 面 1 ABD 1 C O面 1 ABD 1 OHBDC HBD得：点H与点D重合 且 1 C DO是二面角 11 CBDA的平面角 设ACa，则 1 2 2 a C O ， 111 2230C DaCOC DO 既二面角 11 CBDA的大小为30 （20） （1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边2BDp 点A到准线l的距离2dFAFBp 1 4 24 22 2 ABD SBDdp 圆F的方程为 22 (1)8xy （2）由对称性设 2 0 00 (,)(0) 2 x A xx p ，则(0,) 2 p F 点,A B关于点F对称得： 22 22 00 00 (,)3 222 xxp Bxppxp pp 得： 3 ( 3 ,) 2 p Ap，直线 3 3 22 :30 223 pp pp m yxxy p 2 2 33 2 233 xx xpyyyxp pp 切点 3 (,) 36 p p P 直线 333 :()30 6336 pp n yxxyp 坐标原点到,m n距离的比值为 33 :3 26 pp 。 （21）（1） 121 1 ( )(1)(0)( )(1)(0) 2 xx f xfefxxfxfefx 第 16 页 共 17 页 令1x 得：(0)1f 121 1 ( )(1)(0)(1)1(1) 2 x f xfexxffefe 得： 2 1 ( )( )( )1 2 xx f xexxg xfxex ( )10( ) x g xeyg x 在xR上单调递增 ( )0(0)0,( )0(0)0fxfxfxfx 得：( )f x的解析式为 2 1 ( ) 2 x f xexx 且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0) （2） 2 1 ( )( )(1)0