（航空宇航推进理论与工程专业论文）基于主成分分析的航空发动机单元体性能辨识.pdf

捅要民航发动机是飞机的动力系统，相当于飞机的心脏。随着航空技术的发展，航空发动机的状态监控与故障诊断已经成为一个重要课题，受到众多专家学者的关注。发动机的状念监控是先进航空维修的必要手段和前提条件，自从有了状态监控技术的发展，视情维修就成为现代维修的主导方式。但是，目前的监控技术还停留在整机性能的趋势分析上。如果通过整机的性能参数分析，检测到发动机有故障，一般会采取整机送修的维修方式。这样无论大小故障都采取整机送修将是一种浪费。人们一直在追求将故障隔离到单元体及其子系统。本文就是基于这个理念，用多元统计的主成分分析法将表征同个单元体的多个性能指标化为一个综合指标，从而通过对单个综合指标的趋势分析实现单元体的性能辨识，即达到单元体的性能监控，实现单元体的视情维修。在手段上采用先进的人工智能技术人工神经网络技术中的b p 网络。但是b p 网络自身存在收敛速度慢，容易陷入局部极小等弱点，文章由就网络性能的改进引入了遗传算法优化b p 网络权值，形成收敛速度快的g a b p 网络。总的说来，本文主要完成以下几项工作：l 、主成分分析法将单元体的1 2 个故障因子压缩为5 个综合故障因子，对应5 个气路部件。2 、通过5 个综合故障因子分析单元体的性能趋势。3 、运用神经网络实现附件的故障诊断和单元体的状态辨识。4 、b p 算法结合遗传算法优化b p 网络性能。第一点和第二点是本文的创新点，代表着一种新的维修概念，其前景是不可限量的。后面两点是新方法在本的论文中的应用。关键词b p 网络；遗传算法；主成分分析：故障诊断中国民用航空学院硕士学位论文a b s t r a c ta e r o e n g i n ei st h ep o w e ro fa na i r p l a n e ，s oi ti sa l lv e r yi m p o r t a n tp a r to fa l la i r p l a n e e n g i n em o n i t o r i n ga n dd i a g n o s i sh a sb e c o m ea r ti m p o r t a n ti s s u ei nt h ef i e l do fa v i a t i o n e n g i n em o n i t o r i n ga n dd i a g n o s i si san e c e s s a r yw a ya n dp r e c o n d i t i o nf o ra d v a n c e da v i a t i o nm a i n t e n a n c e w i t ht e c h n o l o g y ，c o n d i t i o n b a s e dm a i n t e n a n c ea v i a t i o nm a i n t e n a n c e t h ed e v e l o p m e n to fe n g i n em o n i t o r i n gb e c o m e sad o m i n a n tw a yi nt h ef i e l do ft h ep e r f o r m a n c eo fe n g i n ei sa n a l y s e db yf o u rm e a s u r ep a r a m e t e r s 一一n i ，n 2 ，e g t , f f i fa ne n g i n eh a sas c r e wl o o s e ，i tw o u l db es e n tt om a i n t e n a n c es t a t i o n sa n db em a i n t a i n e da st h ew h o l e s os o m eg o o dc o m p o n e n t sw o u l db et a k e nd o w na n de x a m i n e d a sar e s u l t ，s o m ee x c e s sc o s te x p e n d e d a tl a s t ，i ti se x p e c t e dt h a ta l lf a i l u r ew o u l db ei n s u l a t e dt oc o m p o n e n t s n o w , p r i n c i p a lc o m p o n e n t sa n a l y s i si su s e dt od e d u c et h en u m b e ro ff a i l u r eg e n e ，t h e r e f o r e ，t h e1 2f a i l u r eg e n e sa r ed e d u c et o5s y n t h e s i z e df a i l u r eg e n e s ，m a t c h i n g5c o m p o n e n t s s o ，t h ep e r f o r m a n c eo fe v e r yc o m p o n e n ti sa n a l y s e db yt h e5f a i l u r eg e n e s a saw a y , o n ek i n do fa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，b pn e t ，i su s e dt or e a l i z et h ei n t e n t i o nh e r e b e c a u s eb pn e th a ss o m ed i s a d v a n t a g e ss u c ha ss l o ws p e e d ，g e n e u ca l g o r i t h mi su s e dt oo p t i m i z en e u r a ln e t w o r k ，a n dg a - b pn e tc o m ei n t ob e i n gi nt h ea l l ，t h ef o l l o w i n gt a s k sh a v ef i n i s h e di nt h i sa r t i c l e ：1 t h e1 2f a i l u r eg e n e sa r es y n t h e s i z e dt o5o n e sb yp r i n c i p a lc o m p o n e n t sa n a l y s i s 2 t h ep e r f o r m a n c eo fe v e r yc o m p o n e n ti sa n a l y s e db yt h e5f a i l u r eg e n e s ，3 b pn e ta r eu s et od i a g n o s et h ea c c e s s o r i e sa n dt od i f f e r e n t i a t ea n da n a l y s et h es t a t eo f t h e5c o m p o n e n t s 4 g e n e t i ca l g o r i t h mi su s e dt oo p t i m i z en e u r a ln e t w o r k t h ep o i n to n ea n dt w oa r ei n n o v a t e db yt h ea u t h o rh e r e a n da st h el a s tt w op o i n t s i ti st h ea p p l i c a t i o no fa d v a n c e dm e a s u r 它k e y w o r d s ：b pn e t w o r k ；g e n e t i ca l g o r i t h m ；p r i n c i p a lc o m p o n e n t sa n a l y s i s ；f a u l td i a g n o s i s玎中国民用航空学院学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国弛j = 航空学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名：磕豳噬函日期：堡垒2 ，；f中国民用航空学院学位论文使用授权声明中国民用航空学院、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被商阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权中国民用航空学院研究生部办理。研究生签名：缓之四女i 亘l 导师签名中国民用航空学院硕j 卜学位论文引口发动机状态监控是指借助一定的有效的方式对与发动机各部件工作状态紧密相关的多种参数实施监测，根据所监测的数据，对各部件工作状态的发展趋向做出有价值的判断，即对所发生的故障作出诊断结论，或预报即将发生的故障，及时提出视情维修的具体技术内容，以达到保证飞行安全，提高维修经济效益的目的。发动机状态监控技术最初在欧美被提出，根据热力方程通过测量参数求解故障因子的值，从而确定故障类型和故障严重程度，主要用于军用飞机的维修。这种方法简单易懂，但是其前提条件是：方程组的方程个数大于或等于故障因子的个数，即测量参数的个数不能小于故障因子的个数。我们都知道发动机可能的故障类型是多种多样的，使徂故障因子个数远大于测量参数个数。这样通过热力学求解方程组就无法求出理想的解来。总的来说，利用热力方程求解故障因子对实现发动机的状态监控做出了重要的贡献。随着监控技术的发展，民用飞机也引入了这项技术，实现了由定时维修到视情维修的转变。同时产生了多种监控软件，其中有本文提到的s a g e 软件。这些监控软件，基本都是通过对n 1 、n 2 、e g t 、f f 四个测量参数的分析，综合地评定整台发动机的运行状态，判断整机的故障状况。其结果是不管哪个部件发生了故障，只要判断出有故障，就要对发动机进行整机送修。这样虽然较定时维修减少了许多的盲目性，但是，容易出现由于小部件的故障而引起整机翻修，浪费财力物力，也会影响飞机的j 下常应运，造成大的经济损失。所以人们希望实现通过常规的测量参数将故障隔离到具体故障部位，找出故障的源泉，针对故障部位采取合理的维修措施。2 0 世纪9 0 年代，范作民教授从优化的角度出发，将主因子模型引入故障诊断，提出了组合优化算法。主因子模型是对所有可能的故障因子组合进行搜索，利用一定的故障相关性准则，找出最能反映真实故障的故障因子组合。主因子模型的提出为航空发动机故障诊断开辟了新的领域。故障诊断是个亚定问题，要求出故障因子的整体解，必须增加约束条件。基于此范作民教授提出了分布函数模型、随机搜索模型。后来又从故障因子的个数入手，应用经典的多元统计方法主成分分析的方案实现故障因子的降维，通过原来的多个故障因子的综合指标简化诊断的复杂性，同时减少故障因子的多重共线性问题。本文要讨论的是单元体的性能辨识。从整体进行状态诊断。般概念下，发动机分为风扇( f a n ) 、低压压气机( l p c ) 、高压压气机( h p c ) 、高压涡轮( h p t ) 、低压涡轮( l p t ) 五大气路部件。每个部件包括多个性能参数( 自变量) ，如低压压气机( l p c ) 包括低压压气机效率( l p te f f i c i e n c y ) 和低压压气机流通能中国民用航空学院硕士学位论文力( l p cf l o wc a p a c i t y ) 两个参数，文中称之为故障因子。五大部件共有1 2 个故障因子，在进行单元体的性能分析时，同时分析几个参数，是比较困难的，于是我们设想通过多元统计的主成分分析法，减少故障因子个数，同时又不丢失参数的主要信息，本文的做法是将每个单元体的多个故障因子经过主成分分析得到一个具有代表性的综合故障因子来表征单元体的性能特征。最后在合理的范围内，本文得到5 个故障因子，即每个单元体的性能都由各自的综合故障因子表征。这样一方面为单元体的性能辨识创造了条件，也降低了诊断问题的难度。但是，要通过4 个测量参数来诊断5 个故障因子，按常规的方法还是行不通。于是本文考虑了目前应用广泛，技术较为成熟的人工神经网络b p 网络，最终解决了用少输入诊断多输出的问题。人工神经网络技术发展至今已经颇具应用价值，尤其是b p 网络技术。但是由于标准b p 网络应用的是b p 学习算法，使之无法摆脱收敛速度慢，容易陷入局部极小等缺点。为了加快网络收敛速度，本文引入另一种人工智能技术遗传算法。通过遗传算法与b p 算法的结合，相辅相成，构成收敛速度快的g a - b p网络。中国民用航空学院碳、亡学位论文第一章绪论1 1 课题来源以及问题的提出本课题源于对国航天津分公司现行使用的状态监控软件s a g e 的研究。s a g e软件利用机载记录器采集的测量参数的飞行数据，作为软件的数据输入，然后对这些测量参数的数据进行各种统计或变换处理，得到各种趋势图和表等。再由系统工程师依据经验和维修手册判断发动机健康状况，所以此软件对人员素质要求高，同时人为因素的影响也很大。本文针对这些不足，从单元体的性能辨识入手，结合当前先进的诊断思想，实现状态监控与故障诊断一体化处理。1 2 课题意义套完备可靠的状态监控与故障诊断系统对于飞机的正常营运有着至关重要的意义。民航发动机因其结构复杂及高温高速的恶劣工作环境，时刻都可能发生故障，作为飞机的心脏，发动机的健康状况将直接影响飞行的安全。据国际民航组织的统计，1 9 8 8 1 9 9 3 年的6 年间，因机械故障原因造成事故的比例在2 5 一3 0 。在造成各类飞行事故的诸机械因素中，发动机是关键，是影响飞行安全的主要因素，6 年间由于发动机起火、叶片故障、发动机脱离机翼等原因而发生的飞行事故达3 4 起。从经济上看，发动机的直接使用费用在全寿命期成本中占很大比例。由此可见，发动机安全可靠的运行和故障预防是保障飞行安全的关键，也是政府、制造商、航空公司和有关研究机构共同关心的重要问题。对航空发动机进行状态监测与故障诊断是保证飞行安全的根本途径。经验证明：发动机状态监视和故障诊断系统能显著提高发动机运行可靠性，并可从保证发动机性能、缩短维修时间、减少备件等方面获得显著经济效益。发动机状态监测与故障诊断的重要意义在于：方面，它可以迅速而准确地确定故障的部位及故障严重程度，有利于确保飞行安全以及减人力少维修物力的投入，缩短飞机的停飞时间，提高飞机的利率：另方面，它又是实现先进的维修思想( 从“预防为主”的维修思想转变为“以可靠性为中心”的维修思想) 和维修方式( 从单纯的定时方式转向定时维修、视情维修和状态监控三种方式) 的必要手段与前提条件。随着航空技术的发展，发动机状态监控与故障诊断技术日益成熟，在实现了发动机的整机性能监控的基础上，以视情维修为主导的维修技术得到广泛应用，改变了过去盲目定时维修带来的多余维修开支。但是我们都知道飞机发动机气路是由几大单元体组合在一起的，这些单元体就是分别加工的。可以说单元体之间存在一定的独立性，如各个单元体的寿命，单元体的效率等在使用过程中都要遵循自身的某些规律。所以当发动机这个整体发生故障时，可能只是某个单元体发中国民用航空学院硕士学位论文生异常状况，而其它单元体依然可以使用。如果按现在的维修理念就是发动机整体送修，对每个部件进行检查。这样就会出现多余的维修费用，即健康部件的检查和拆装费用。本文就这一问题提出单元体的性能监控，实现由整机的视情维修到单元体的视情维修的转化。这个转化对维修费用的节约是非常可观的，下面我们举个例子来说明这种思想的实际意义。按常规状态计算，整机送修的费用大约是台1 5 0 万美金，发动机的送修时唰大约为1 2 0 0 0 小时，一架波音7 3 7 飞机装有两台发动机如果一个航空公司拥有2 0 0 架波音7 3 7 。那么一年的维修费用是5 亿美金。实现单元体的视情维修，只送修单元体，在费用上可以节省整机送修1 4 到1 3 ，即每年节约维修费用1 2 5 0 1 6 6 7 万美金。这样一笔费用的节省对航空公司来说是相当可观的。1 3 国内外研究动向十几年的经验己经证明发动机的状态监视与故障诊断对军用和民用等各型飞机的飞行安全，发动机工作可靠性和运行成本有重大影响，因此，状念监视与故障诊断技术近些年来发展十分迅速。此技术的一个重要关键是发展一个准确、快速的诊断方法。近2 0 年来，国内外发动机制造厂和航空公司都发展和应用了适合于自己机群的，不同水平的发动机监视和故障诊断系统。这些系统的功能可分为两个水平等级：第1 级为有限监视系统，用于监视发动机健康状况，如普惠公司发展的e c m i i 和通用电气公司发展的a d e p t 系统，我国民航己使用这两种软件系统。第2 级为扩展的监视系统，增加了故障诊断能力，可将故障准确地隔离到发动机部件和子系统，定量分析部件和发动机性能的衰退程度，如普惠公司的t e a m i i i 、通用电气公司的g e m 和罗罗公司的c o mp a s s 系统”1 。1 4 状态监控与故障诊断方法发动机常用的故障监控和诊断技术有三类：性能状态监视、机械状念监视和无损探伤。性能监视主要根据湿度、压力、转速等参数的变化，评估发动机气路部件和相关子系统的性能，从而确定可能发生的故障类型和故障位置。机械状态监视主要是根据振动参数、滑油参数等分析发动机转子系统和传动系统的状态。无损探伤用于地面检查、包括孔探检查、超声波检测等。其中气路参数分析技术具有重要地位。目前大多数航空公司都采用的气路参数分析方法进行状态监控。传统的做法是根据巡航状态所记录的n 1 、n 2 、e g t 、f f 等气动参数随时间的变化趋势，结合发动机厂家提供的故障指印图和发动机工作原理，由专业人员分析可能发生的故障。该方法简单、实用，但人员素质要求高，故障诊断精度较低，而且只能定性诊断，所以一般只适合于单故障的诊断，对情况复杂的多故障诊断基本派不上用场。在多故障诊断方面，范作民教授提出的主因子模型做出了重要贡献。主因子模型是对所有可能的故障因子组合进行搜索，利用一定的故障相关中国民用航空学院硕士学位论文性准则，找出最能反映真实故障的故障因子组合。1 5 系统构思本文的构思大致分以下两个步骤来进行：1 ) 发动机附件的故障诊断本文以p w 4 0 0 0 为例，给出了1 4 个附件故障参数。附件的故障多以单故障类型出现，而且是两状态的。本文以o 一1 状态来判别它们的故障状态。2 ) 发动机部件的状态诊断发动机有五个部件：风扇、低压压气机、高压压气机、低压涡轮、高压涡轮。本文的最终目的是通过实现对每个单元体的性能分析，判别发动机单元体的健康状况。1 6 文章安排第一章绪论作为文章的开头部分，主要对课题的来源作了简要的介绍。中国国际航空公司现在用到的监控软件s a g e 软件是本文的出发点。经过分析s a g e 软件不太完善的地方提出了一些新的，也正是现在航空界专家讨论较多的，有关智能化监控与诊断相结合的思想。本章概述了航空发动机状态监控与故障诊断的历史和发展现状。表明了文章的目的和方案。第二章单元体故障因子的主成分分析【3 】【4 l 【5 】【6 】航空发动机是个结构复杂，可靠性要求又高的器械，故障模式多样而复杂。为了保证它的健康运行，需要诊断的参数( 后面提出的故障因子) 很多，换句话说，未知参数太多，使问题变得复杂，另一方面这些参数之间还存在不同程度的相关性，给准确的诊断带来麻烦。随着航空技术的发展，整机的视情维修成为目前航空维修的主要形式。整机视情维修容易出现小故障大维修的情况，浪费维修费用。基于以上的考虑，这一章考虑从单元体的性能辨识出发，实现单元体的视情维修。基本思想是：对于发动机的每个单元体的多个性能参数进行主成分分析，得到一个综合性能参数来表征单元体的性能特征。再由综合参数的趋势分析识别单元体的性能状态。具体算法第二章介绍得很详细。单元体的性能辨识为实现单元体的视情维修提供了理论依据。第三章人工神经网络航空发动机是个技术复杂的产品，使用中出现的故障是多种多样的。故障诊断问题是一个多解的，非线性化的复杂问题。由于飞机发动机结构的复杂性以及使用环境的多变性，使得发动机的故障诊断成为一个难以解决的技术问题。而人工神经网络在解决这类问题上有独道的优势”“州9 ”1 。中国民用航窀学院坝i j 学位论文人工神经网络是由大量的神经处理单元广泛地相互连接而形成的复杂网络，它是人脑神经的简化、抽象和模拟。人工神经网络具有人脑功能的基本特征即学习、记忆和归纳，可以实现任意复杂函数的逼近实现向量从任意n 维空间到任意m 维空间的非线性映射，具有处理复杂多模式及进行联想、推测和记忆的功能，利用人工神经网络技术可以解决发动机测量参数个数与故障类型个数之间的矛盾，减少对发动机模型的依赖程度。第四章遗传算法改进神经网络遗传算法是根据自然规律中的物种进化原理抽象出来的一种智能搜索方法。解个体( 染色体) 通过模仿进化论的选择、交叉、变异操作，逐渐淘汰性能较差的个体，较好的个体进一步优化，直到产生出合理的最优解。所以遗传算法是一种全局搜索法，它遵循的是概率统计的转换原则，完全与搜索问题的性质无关，也与所求问题的内部关系无关。在b p 网络中训练的作用是找出一种最优的权值”“州“州”“”“4 “2 ，使得权值的组合能够反映一个系统的内部关系，快速建立一种反映输入输出映射的网络。利用单一的b p 算法容易使网络陷入局部极小，且收敛速度慢。本章结合遗传算法和b p 算法的优点，应用了遗传算法改进神经网络的性能。第五章软件介绍本软件全面采用了面向对象的v i s u mc + 十进行编写“，包括两个人机对话界面：故障诊断主界面( 附件诊断界面) 、部件诊断结果、部件网络训练和附件网络训练4 个界面。整个操作是由数据库调用有关数据进行诊断。因为本文数据来源于根据实际关系理论产生的随机数据。所以运用了最为流行好用的数值处理语言m a t l a b ”2 “2 。产生数据，大大简化了其中复杂的运算过程。最后对全文作了一个总结，概括性地描述了本文的内容，并对其中的不足给出自身的评定，进一步对未来有所展望。6中国民用航空学院硕士学位论文第二章单元体故障因子的主成分分析2 1 发动机气路故障的描述发动机故障诊断的一种重要方法是基于如下线性故障方程的诊断方法y = a x + e( 2 1 1 )其中x 为故障因子偏差向量；_ y 为测量参数偏差向量；8 为测量误差向量；a为影响系数矩阵。在小偏差范围内，如果发动机气路部件和子系统发生故障，就会将导致测量参数向量y 按式2 1 1 变化。故障的气路分析技术就是已知y ，求解特征参数向量工，z 值的大小反映了故障的严重程度。发动机的五个单元体共有1 2 个参数( 故障因子) 来表征它们的性能( 如表2 1 所示) 。即个单元体至少由两个参数来表征。例如，4 号( 低压压气机效率)和5 号( 低压压气机流通能力) 故障因子共同反映了低压压气机的性能。在分析低压压气机时要同时考虑两个参数的偏差，不方便分析，造成问题的复杂性。能否通过某种方法使发动机的每个单元体由一个性能参数( 故障因子) 来表示，这一个参数又能代替原来的多个参数，准确地反映本单元体的性能昵? 如果可以的话，只需知道这个故障因子的偏差程度就能得出单元体的健康状况。多元统计分析中的主成分分析替我们解决了这一问题。下面就主成分理论进行简要的论述。表2 - ij t 9 d 一7 r 4 发动机的故障系数( 注：征兆量的测量误差的标准差为盯= 【0 4 ，0 4 ，7 0 ，2 0 】7 )序号故障因子征兆量偏差名称偏差偏筹n 1n 2e g tf f单位方向”lf a n+ 1 02 50 0 51 0 0一o 2 5e f f i c i e n c y2f a nf l o w+ 1 0 8 s+ o 0 5+ 4 5 0+ 0 8 0c a p a c l t y3f a nd i c t+ 1 + o 2 0+ o 0 51 0 00 1 0a r e a4l p c+ 1 + 0 1 00 1 52 0 0o 1 5e f f i c i e n c y5l p cf l o w+ l o 2 00 0 52 o o0 4 0c a p a c i t y6h p c+ l o 1 0+ 0 1 07 0 0o 8 5中国民用航拿学院碗_ 上学位论文e f f l c i e n t y7h p cf l o w+ l 0 0 00 2 5o0 50 1 0c a p a c i e n c y8h p t+ 1 一0 1 0+ o 2 08 5 01 0 5e f f i c ! n c y91s tn g v+ 1 + 0 0 50 1 5+ 2 5 0+ 0 3 5a r e a1 0l p t+ 1 + o 4 50 0 04 5 0o0 0e f f i c i e n t y1 13 r dn g v+ l +0 3 0+ 0 i o2 5 0一0 6 0a r e a1 2p r jn o z+ 1 + o 5 5+ o 15+ 1 5 0+ 1 0 0a r e a2 2 主成分分析2 2 1 主成分的基本概念多元统计分析是数理统计学中近三四十年来迅速发展的一个分支，多元统计的方法已经广泛应用于各个领域。在国内外，从自然科学到社会科学的许多方面的实际应用都证实了多元分析方法是一种很有用的数据处理方法，而且取得了很大的成绩，受n - ；普遍赞誉，多元主成分分析是多元统计分析中的个重要组成部分。在处理多元样本数据时，首先遇到的问题是观测数据很多。例如有订个样本数据，每个样本存在p 个指标，总共就有p n 个数据，这样多的数据，我们要如何从中抓住主要规律来分析样本或总体的主要性质昵? 如果p 个指标是相互独立的，则可以把问韪化为p 个单指标来处理，这是简单而罕见的情况，因为任何个系统个部件之间都存在一定的联系。一般情况下，p 个指标即p 个随机变量之间存在相关差系，使数据分析复杂化。另一方面，往往存在这样的情况，p个指标的大部分变量能由k ( 比p 小得多) 个所谓“综合指标”( 特殊的线性组合) 来概括。并且包括在这k 个“综合指标”中的信息与原来p 个指标中的几乎一样多，于是可以用这k 个“综合指标”代替原p 个指标。这样来，由p 个指标的n 次观测组成的数据就简化为k 个“综台指标”的, r 次观测数据。主成分分析就是中把原来多个指标化为少数几个相互独立的综合指标的一种统计方法。2 2 2 主成分的构造如何来构造“综合指标”呢? 先从样本点的几何解释出发考虑。在p 维总体中国民用航空学院硕士学位论文中抽取n 个样品，就得到p 维欧氏空f 刚中n 个点，我们希望弄清楚这n 个点之间的关系。在高维空间中点之间的关系很不直观，如果能把这些点“近似地”在低维空间中表示出来，无疑对各种研究都有好处。如何达到这个目的呢? 先用一个简单情况来说明思路。) ，一匆锣一图2 一l 二维主成分分析设在二维总体肖= ( x l ，x 2 ) 中，测定了h 个样本x ，= ( x 。x i 2 ) ，i = l ，n 。在直角坐标系( x 。，x ：) 中把这 个点展成一个图。如果总体是二维难念分布，则这些点大致分布在个椭圆内( 见图2 一1 ) ，我们将坐标系转至( y ，y ：) 位置，使y ，指向椭圆长轴方向，如指向短轴方向。如果这个椭圆很扁，则总的来说点之间的差异主要在y l 轴方向上，或者说点之间的全部方差主要表现在y j 方向上。因此，全部点在y 坐标系中的第一坐标基本上代表了这些点的分布情况。于是就可以选y ，为一个综合指标，即) ，j 为第一主成分，如为第二主成分。注意到以上的y l , y 2 是x l ，x 2 的线性组合而得。一般，对于p 个变量情况，考虑它们的线性组合为综合指标。对于总体= ( ，x 。) 我们给出x 的综合指标y 一，y 女( ksp ) 的确定原则：1 ) m 是x 的线性函数，即要求”= l ，x ，l ，是p x l 维待定的常数向量，要求d 6 尽可能大，即m 能充分反映x 的变化情况，i = 1 , 2 ，k ；2 ) 要求y l ，y 2 ，y 互不相关，即c o v ( y ，y ，) = o ，i j 。这样的y 。，y ：，_ y 。均称为x 的主成分。以上三条就是构造主成分的基本思想a2 2 3 主成分的数学求法9中国民用航空学院硕士学位论文设总体x = ( 。i 一，x ，) 是p 维随机变量，d ( x c ) = y ，y 20 。记v 的特征根为 ，旯。，且满足 2 0 ，2 + l = = 。= 0其中k = 女( ”。孙，是v 的特征根，五对应的标准正交向量，则有r v foo( 2 2 1 )其中r = ( y l ，一，。) 。根据综合指标的确定原则1 ) 3 ) ，考虑线性函数y = l x = 和1 + + f p x p( 2 2 2 )其中l = ( z l ，。) 是r 中待定的常数向量。显然d ( y ) = 三v l ，满足条件1 ) ，要找l 使d ( y ) 达到最大，即使三v l 达最大。对于任给常数c o ，有d ( c 三呵) = c 2 v l( 2 2 3 )因此，给一个限制令l 为单位长度，即令l l ：l( 2 2 4 )这样问题归为在条件l l = 1 下求使v l 达最大的l 。用数学式子来描述就是：找k ( 厶l o ) = 1 使m a x r v l = l ov l o( 2 ，2 5 )l t l。只需取l 。= n 就可达到目的，即m = ，l x( 2 2 6 )这y ，就是要找的x 的第一综合指标，y l 为x 的第一个主成分。若y = ，、x 还不能充分反映工则应求工的第二个综合指标姐。由综合指标的确定原则应满足c o v ( y 2 ，y 1 ) = 0( 2 ，2 7 )因为c o v ( y 2 ，y 。) = 工吁。，而，是v 的特征根 对应的特征向量，故1 0中国民用航空学院硕士学位论义v r l = r l ，0 。于是有工y l = 0( 2 2 8 )因此，与确定y ，类似求得y 2 = 托x( 2 2 9 )这就是要找的x 的第二个综合指标，称为第二主成分。同理还可以求其它的主成分。最终得到所需的k 个主成分。综上所述可把主成分问题化为了求的协方差矩阵v 的特征根和标准f 交向量的问题，归纳起来有以下几个步骤：1 ) 求x 的协方差矩阵矿的特征根，记为 旯2 0 ，五一一丑，= 0 ；2 ) 求 对应的单位特征向量 ，f _ l ，k ，且要求正交；3 ) 得到第i 个主成分y = 一x ，i = 1 ，k 。2 2 4 贡献率及主成分的意义前面已经指出，主成分分析的目的是用尽可能少的综合指标来代替原来的多个相关指标，且能描述原指标的统计特性。那么究竟要取多少个主成分才合理呢? 下面讨论主成分个数的选取问题。设总体x = ( 五，x 。) 的斜方差矩阵v = ( v 。) ，。，r k ( v ) = ( 2 2 1 0 )v 的特征根和特征向量为 ， ，y ，r ，。有式子：d ( y 1 ) + + d ( y ) = + + 丸= + + 。= t r ( v )( 2 2 1 t )= v l l + 。+ v 卯= d ( x 1 ) + + d ( x ，)上式说明x 的“总方差”之和d ( x ，) + + d ( x 。) 可表示成k 个不相关的随机变量m ，y i 的方差之和d ( y 1 ) + + d ( y ) = + + 。而其中y l 具有最大的方差 ，以后各项依次递减。这样y l 一，y 。依次集中了x 的各分量变化的主要部分，y ，的方差五，的大小刻画了y 。反映x 的能力大小，为此，称中国民用航空学院硕i ：学位论文 t r ( v )为第i 个主成分的贡献率，而称 ，( 2 2 1 2 )为前m 个( 所蔓) 主成分的累计贡献率。这就是说，贡献率越大，则对应的主成分反映x 的能力越强，反之则弱。因此，在实用中常略去那些贡献率超过8 5 就足够了。这样，就可以用m 个不相关的主成分y ，y ，的变化来刻画x n p 个相关分量。2 3 发动机单元体故障因子的主成分分析2 3 1 标准化故障因子从前文中可知，随机向量x = ( 而，x ，) l 的主成分是由其分量的特殊线性组合而得。如果各分量的单位( 即量纲) 不同，那么这种线性组合其意义是比较模糊的，很难给出合理解释。如几度和几分钟的线性组合而形成的主成分，其意义是很难解释的。而且当某一个变量改变计量单位后，协方羞矩阵就会发生改变，自然相应的协方差的特征根和特征向量也跟着发生变化，最后导致主成分发生改变。为了克服这一点不足，通常先对随机向量= ( x l ，一，z 。) 进行标准化。设x = ( z - ，x ，) 标准化后为x = ( x i ，x ；) ，则有儿“，一卜l 等，喾j。其中= e ( x ) = ( l ，卢，) ，v = d ( y ) = ( v ，) p 。对于故障系数表1 - 1 进行标准化也就是加权故障系数，已知了i ，= 仃= f o 4 ，0 4 ，7 0 ，2 ，o 】，= e ( x ) = ( ，。，。) = 0以第一个故障因子( f a ne f f i f i e n c y ) 的系数向量片= - o 2 5 ，一0 0 5 ，一1 0 0 ，一0 2 5 1 为例，则得标准化向量：妲丢p儿( 川- 0 2 5 ，百- 0 0 5 ，等，百- 0 2 5 圳( - o2 5 ，_ o 阱o 1 4 2 8 6 ，_ 0 1 2 5 )爿2lo 4 。，石：百一，：i ：百一，j ! ：石一j26 2 5 一o 1 2 5 ，一o 。，一o 1 2 5 j同理标准化所有系数向量，就得到表2 - 2 ：表2 - 2 等方差化后的j t 9 d 一7 r 4 发动机的故障系数序故障囡子征兆量偏筹号名称偏差偏差n 1n 2e g tf f单位方向1f a n+ l 0 6 2 5- o 1 2 50 1 4 2 8 6一o 1 2 5e f f i c l e n c y2f 气nf l o w+ 】2 】2 5+ o ，1 2 5+ 0 6 4 2 8 6+ o 4c a p a c i t y3f a nd l c t+ 1 + o 5 0+ 0 1 2 50 1 4 2 8 60 0 5a r e a4l p c+ l + o 2 50 3 7 50 2 8 5 7 10 0 7 5e f f i c l e n c y5l p cf l o w+ 1 0 ，5o 】2 5- 0 2 8 5 7 】o 2 0c a p a c i t y6h p c+ 1 02 5+ 0 2 5一1 0 004 2 5e f f l c i e n t y7h p cf l o w+ 1 o0 0- 0 6 2 5o 0 0 7 1 4 2 90 0 5c a p a c i e n c y8h p t+ 1 o 2 5+ 0 5- 1 1 50 5 2 5e f f i c i e n c y91 5 1 n g v a r e a+ 1 上+ o 1 2 50 3 7 5+ 0 3 5 7 1 4+ 0 1 7 51 0l p t+ l + 1 1 2 50 0 06 4 2 8 60 0 0e f f i c i e n t y1 13 8 0 n g v a r e a+ 1 +o 7 s+ o 2 5- 0 3 5 7 1 4o 3 01 2p r in o z a r e a十1 + 1 3 7 5+ o 3 7 5+ o 2 1 4 2 9+ o 5式2 1 1 是个异方差系统，这里我们讲一下异方差等方差化问题。设异方差系统为：y = a x + e( 2 3 2 )式中随机误差向量e 的各分量e ，的方差为d e = ( 盯) 2 ，将上式通除以盯。，则可得z = a x + 占( 2 3 3 )式中z = 【k c r 一，y 卅t r 。】7 ，b = ( 6 。c r ，) ，= 【p 1 吼，e ，t r 。】。中国民用航空学院硕七学位论文式中误差向量式等方差的，并且s 的各分量s 的方差都等于1 ，即上) s = 1 ，i = 1 一m上面提到“标准化随机向量”，“故障系数加权”，“异方差等方差化”，在这里是等价的，目的是消除不同量纲带来的影响。2 3 2 主成分分析实例表1 2 中序号1 、2 、3 故障因子表征了风扇的性能变化，序号4 、5 表征了低压压气机的性能变化，序号6 、7 代表了高压压气机的，序号8 、9 表示了高压涡轮的性能变化，序号l o 、1 1 、1 2 表征了低压涡轮的。现在我就对同部件的各参数进行主成分分析。以风扇为例，风扇包含三个参数向量，即：a = ( 口1 ，口2 ，口3 ) =0 6 2 5o 1 2 50 1 4 2 8 60 1 2 50 1 2 50 1 2 50 6 4 2 8 60 4o 5 00 1 2 50 1 4 2 8 6一o 0 510 0 6 1 0 9 10 0 6 2 0 1 10 6 6 3 8 3 4lc o y ( a ) = l0 0 6 2 0 1l0 1 1 0 8 80 0 9 0 4 6110 6 6 3 8 3 40 0 9 0 4 60 0 8 0 6 1 6i斜方差的特征根为：五= 1 7 6 0 t ，五2 = 0 0 0 6 6 1 3 6 , 2 3 = 0 0 0 0 1 4 8 6 8 。则对应的特征向量为：y = 0 1 8 2 6 ，0 9 6 0 8 9 ，0 2 0 8 2 1 。y 2 = - o 5 9 1 4 6 ，一0 0 6 1 8 0 1 ，0 8 0 3 9 6 扎= 卜o 7 8 5 3 9 ，0 2 6 9 9 4 ，- 0 5 5 7 0 4 】计算得第一主成分的贡献率为9 9 6 2 ，第二主成分的贡献率为o 3 7 ，第三主成分的贡献率为0 0 1 。显然，第一主成分的贡献率接近1 0 0 ，也就是说，第一主成分对原参数的反映程度足以使其代替原来的三个变量来表征风扇的性能特征。同理，可以得到其他4 个部件的参数分析。表2 3 列出了分析结果。通过表2 3 很明显的看出每个单元体都可以由一个综合变量来表征它的性能，这样要诊断的故障因子就变成了5 个，同时又表达原来的1 2 个故障因子代表的信息。再按等式23 4 ，计算出主成分分析后的新的故障系数，取各单元体第一主中国民用航空学院硕士学位论文成分b ，= a i 构成表2 4 ( 具体计算从略)a = ( 日? ，口：，d ；) = a + ( y ，y2 , y 3 )表2 - 3 主成分分析结果( 2 34 )序号单元协方差特征特征向量贡献率体值l风扇l ，7 6 0 19 9 6 2y l = o 18 2 6 ，0 9 6 0 8 9 ，0 2 0 8 2 20 ，0 0 6 6 1 3 60 3 7y 2 = 【- 0 5 9 1 4 6 ，- 0 0 6 1 8 0 1 ，0 8 0 3 9 6 1 。30 0 0 0 1 4 8 6 8o 0 1n = 【- 0 ，7 8 5 3 9 ，0 2 6 9 9 4 ，- 0 5 5 7 0 4 4低压o 0 9 8 0 8 7 0，l = 卜0 8 7 9 8 4 , 0 4 7 5 2 6 8 8 5 0压气机50 0 0 5 31 i 4 3，2 = 一0 4 7 5 2 6 ，- 0 8 7 9 8 4 6高压03 3 0 2 20 0 7压气n = 【_ 0 8 8 7 3 8 ，0 4 6 1 0 5 7机0 0 2 8 19 2 1 6y 2 = - o 4 6 1 0 5 ，- 0 8 8 7 3 8 8高压0 5 6 0 3 20 9 7涡轮y l 【- 0 9 12 8 6 ，- 0 4 0 8 6 8 90 0 0 5 59 9 0 3r 2 = 【o 4 0 8 6 8 ，一0 9 1 2 6 8 】0低压0 8 6 6 5n = - o 7 7 6 1 ，0 2 9 6 2 ，0 5 5 6 7 1 1 1 3 7涡轮1 10 1 1 1 9o 5 6，2 = 【0 4 0 2 2 ，一0 9 12 5 ，0 0 7 5 2 1 8 80 71 200 0 0 7y 3 = 【o 4 8 5 7 ，0 ，2 8 2 3 ，0 8 2 7 3 1 表2 - 4 综合故障因子故障系数表序号故障因子征兆量偏差名称l2占g rb f fl风扇2 2 6 0 10 0 7 1 3- 0 6 2 1 3 70 3 7 1 9 42低压压气0 4 5 7 5 90 2 7 0 5 3- o 1 1 5 5 90 0 2 9 0 6 4机3高压压气o 2 2 1 8 40 5 10 8 8 4 0 8- 0 3 5 4 0 8机4高乐涡轮0 2 7 9 2 50 6 0 9 5 91 0 9 5 50 5 5 0 6 7中国民用航空学院硕士学位论文2 4 单元体的性能分析通过主成分分析，我们得到发动机每个单元体的综合参数，用综合参数的趋势变化来表示单元体的性能趋势变化。发动机在使用过程中，每个单元体的寿命是有限的，即单元体在使用过程中性能成衰退变化，而且衰退过程是循序渐进的，连续的，可以用一个衰减函数来描述。如果能够得到单元体的性能变化函数，那么就可以实现由发动机整机视情维修送修到单元体视情维修的转化，本身我们对各部件的各个性能参数进行分析诊断的目的就是希望能够准确地判断具体的故障位置，从而采取正确的而无多余的维修措施，从经济上来讲可以节约大笔的维修开支，也可节省大量的人力物力。当参数表征的单元体的性能趋势已知后，我们就可以根据性能曲线准确地做出故障的判断。最终实现由发动机的送修到单元体的送修。从机队管理手册上可以查得各单元体的软时限( 设计寿命) 为下表：表2 - 5 单元体设计寿命表单元体风扇( f a n )低压压气机高压压气机高压涡轮低压涡轮( 循环数)( l p c ) ( 循环( h