（科学技术史专业论文）欧拉的级数理论研究.pdf

西北大学硕士学位论文 欧拉的级数理论研究 摘要 无穷级数的真正发展是从微积分诞生后开始的。1 8 世纪，无穷级数方面的 工作，形式化的观点占统治地位。随着级数理论的发展，原始的级数概念在解释 某些新的级数时已经不再适用，例如渐近级数、循环级数、连分数、无穷乘积等 等。这使得许多数学家们采用更加形式化的方法来解决级数的问题，欧拉就是其 中最具代表性的一位。欧拉的级数工作非常广泛，他把无穷级数由一般的运算工 具转变为一个重要的研究科目，将无穷级数的应用和发展提升到了一个新的高 度，为后来无穷级数理论的发展奠定了坚实的基础。 本文围绕欧拉的级数理论展开讨论，次第讨论了欧拉在调和级数、b 船e l 问 题、z e 纨函数、发散级数求和、数值逼近、解微分方程、三角级数、连分数等方 面的工作，具体分析了欧拉研究这些问题的方法，展示了欧拉的许多精妙思想。 通过对以上工作的讨论，本文褥出如下结论：形式化是欧拉级数理论采用的手段， 级数求和是欧拉级数理论构建的核心。 关键词：欧拉无穷级数形式化级数求和 西北大学硕士学位论文 s t u d yo ne u l e r st h e o r yo ft h es e r i e s a b s t r a c t i n f i m t es e r i e sh a ss u b s 伽t i v ed e v e l o p e ds i n c et h ec r e a t i o no ft h ec a l c u l u s h l l e 18 廿lc e n t u 巧，t h ef o n n a l i z e dv i e wt o o kad o m i n a t cp l a c ei i lt l l et h e o r ) ，o fi n f i i l i t e s e r i e s d u r i n g 廿l i sp e r i o d ， s o r n es p e c i a lt ) ，p e so fs e r i e se m e r g e d ，s u c ha st l l e a s y r n p t o t i cs e r i e s ， t l l er e c u r r e n ts e r i e s ，t h ec o n t i m l e d 劬c t i o n sa i l ds oo n t h en e w t ) ，p e so fs e r i e s 、e r eb e y o n dt l l eo r i g i n a lm e o 哆a 1 1 dl e a dm em 劬e m a t i c i 锄sam o r c f 0 m l a l i z e dt r e a t n l e n to ft h e m e u l e r ，弱ar e p r e s e n t i t i v eo fm e m ，g e n a r a l i z e d 圮e a r l y s e r i e st l l e o 巧b ym ef o r m a l i z a t i o n 印p r o a c hf 如mm a n y 嬲p e c t s e u l e rd e v e l o p e da m o r ef o m l a l 印p r o a c hw m c h 萨n e r a l i z e dm ee a r l yt l l e o r y h e 艄l s f o n l l e dt l l ei i 1 1 i t e s e r i e s 矗d mao r d i l l a 巧c a l c u l a t i o nt o o li n t 0 觚i m p o n a i l ts 州e c t 锄dd e e p e n e dt l l e 印p l i c a t i o no fs e r i e st 0an e wl e v e l ，w 1 1 i c hl a i d m ef 0 l d a t i o nf o rt h e 矗m 鹏 d e v e l o p m e n to f t h es e r i e st h e 0 巧 删sp 印e rd i s c u s s e se u l e r so r i g i n a lw o r k so nm e o r ) r0 fm es e r i e s ，i e m e h a n n o n i cs e r i e s ，t ：h eb 嬲e lp r o b l e m ，t l l ez e t a 如n c t i o n ，t l l es u m m a t i o no fd i v e 唱e n t s e r i e s ，t l l en 硼【l e r i c a la p p r o x i m a t i o n ，t l l es o l u t i o n o fd i 腩r e n t i a le q u a t i o n s ，m e t r i g o n o m e t r i cs e r i e s 锄dt h ec o n t i n u e df a c t i o n s b a s e do nt h ec a r e 如la 1 1 dm o r o u g l l s t u d yo fe u l e r sb r i l l i a n tm e m o d sa n di d e 镐，t h ep 印e rc o n c l u d e st l 雠e u l e r sk e y m e m o d 、_ h e nd e a l i n gw i t i lt i l es e r i e st h e o r yi sf o 咖a l i z a t i o n 觚dt l l a tt h ec o r eo f e u l e r sw h o l e 、v o r ki nt l l i sf i e l di st h e 翻h n m a t i o no f l es e r i e s k e yw o r d s ：e u l e r ；i r i f i i l i t es e r i e s ；f o r m a l i z a t i o n ；s u i 姗a t i o no f s e r i e s i l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 ! 学校有权保胃f 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 小人允许论文被务阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 篡黧雾堑堑雠：监 厂刀i 奎相i 1 学位论文作者签名：鸳垒鱼篁指导教师签名：燮整燮 p 孑年月汐日年 月 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明。所呈交的学位论文是本人盔导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位成证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 学位论文作者签名：令缸百 。譬年 只f d 日 西北大学硕士学位论文 引言 无穷级数是微积分中一个不可缺少的部分。 无穷级数的历史可以追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级 数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。伴随着微积分的发展， 许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的形式化结合，得到了一些初等函 数的幂级数展开式，级数在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力 工具。利用无穷级数还可以将一些复杂的代数函数和超越函数展成简单形式，然 后对其进行逐项微分或积分，这已成为研究复杂函数性质的主要方法。随着分析 的严密化，无穷级数理论逐渐形成并推动了数学的进一步发展。 早期数学家仅凭直觉就认为级数是可以收敛的，并将级数从有限项自然的拓 展为无限项使用，这导致了有限法则的无限拓展的产生。1 8 世纪，形式化观点 在级数理论中占统治地位，并产生了大量结果。欧拉( l e o n h a r d e u l e r ，1 7 0 7 1 7 8 3 ) 在数学研究中也认识到无穷级数的作用，并广泛地应用其作为计算工具来解决问 题，将无穷级数发展成一门独立的学科来研究。由于欧拉在无穷级数方面的工作 为无穷级数的理论打开了新的局面，因此，他的研究对于整个级数理论的发展来 说是一个重要的里程碑。所以，要掌握级数理论思想的整体发展过程，对欧拉工 作的研究是十分必要的。 针对欧拉的级数工作，已经有不少的中外学者进行过研究。据作者已掌握的 资料情况，主要有以下一些： m o 玎i sk l i n e 在古今数学思想一书中，综述了1 8 世纪数学家在级数方面 的工作，提供了研究欧拉级数历史的线索。 v s v 蹦l d a j a i l 的“欧拉的无穷级数研究”，是一篇研究欧拉级数工作较为详 实的历史研究文献。文章分别从z e t a 值，发散级数，求和公式这几个方面研究 欧拉的级数工作，具体分析欧拉研究这些问题所采用的方法，而且与现代的数学 理论相结合给出了这些问题的进展。 w i l l i 锄d u n h 锄在欧拉：我们大家的老师一书中主要详细讨论了欧拉 是如何解决著名的b 2 l s e l 问题的。 g i o v a n l l if e 仃a r o 的“17 3 0 年到l8 51 年级数理论的收敛和形式化处理，是一 西北大学硕士学位论文 篇系统的研究1 8 世纪和1 9 世纪的级数形式化处理的历史研究文献。通过研读这 篇文章，本文作者受到了很大的启发。 另外，王辉的硕士学位论文“无穷级数的发展演化”系统介绍了级数由建立到 完善的发展过程，尽管没有对欧拉的工作进行系统的研究，但有助于本文整体的 把握欧拉级数工作的历史意义。 总之，前人的相关研究，大体上都是在个别方面介绍了欧拉的级数工作，重 现了欧拉对一些级数的处理方法，展示了欧拉精妙的数学思想。但这些论述基本 上只是罗列了欧拉的部分级数工作，没有从整体出发对欧拉的级数思想进行提炼 和总结。本文拟采用数学史比较研究和文献分析的研究方法，来讨论形式化观点 下欧拉的级数工作。 本文共分为三部分，第一部分是无穷级数的早期历史，介绍了1 8 世纪之前 的级数发展状况。第二部分是欧拉的级数理论，从1 0 个方面讨论了欧拉的级数 工作，展现了欧拉的级数思想。第三部分阐述了欧拉级数工作的特点、影响和级 数理论的发展。 西北大学硕士学位论文 第一章无穷级数理论前史 数学史上级数出现的很早，在两千多年前人们就有了粗糙的级数思想。古希 腊时期，亚里士多德( 碰s t o t l e ，公元前3 8 仁公元前3 2 2 ) 就知道公比小于1 ( 大 于零) 的几何级数可以求出和数。芝诺( z e n o ，公元前4 9 0 约公元前4 2 5 ) 的二分法 涉及到把1 分解成无穷级数三+ 古+ 古+ 古+ 。阿基米德( 觚l l i m e d e s ，公 元前2 8 7 一公元前2 1 2 ) 在抛物线图形求积法一书中，使用几何级数去求抛物 线弓形面积，并且得出了级数l + 丢+ 古+ 吉+ + = 詈的和。中国古代庄子天 下中的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出 来也是无穷级数。 到了中世纪，由于数学家和哲学家对一些涉及到无穷思想的悖论展开了激烈 的争论，使得关于无穷级数的研究开展起来。最具代表的是法国数学家奥雷姆 ( n i c o l 勰o r e s m e ，1 3 2 3 1 3 8 2 ) 用最初等的方法证明了调和级数 1 + ! + 三+ 三+ ! + + ! + 2345七 的和为无穷，用现在的形式可表示为 + c 吉，+ c ；+ 丢，+ c 当+ 丢+ 专+ 丢，+ + c 吾，+ c 丢+ 丢，+ c 丢+ 丢+ 丢+ 丢，+ = 1 + 三+ 昙+ 三+ 。【1 1 222 。 中世纪的级数理论，从本质上看没有突破性进展，它的主要贡献并不在于所 得到的具体结果，而是在于促使人们接受一种新的观点，即在数学中可以自由的 承认无限过程。【2 】这对后来理解无穷过程做了铺垫，为形式化处理级数奠定了 思想基础。 早期数学家仅凭直觉就认为级数是可以收敛的，并将级数从有限项自然的 拓展为无限项使用，这导致了有限法则无限拓展的产生。1 7 世纪，伴随着微积分 的产生，许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的形式化结合，得到了一 西北大学硕士学位论文 些初等函数的幂级数展开式，并且级数在解析运算中被普遍用来代表函数而成为 微积分的有力工具，这就使得无穷级数成为微积分不可缺少的部分。 1 6 6 9 年，牛顿( i s a a cn e 叭o n ，1 6 4 3 1 7 2 7 ) 在他的用无限多项方程的分析 学中，用级数反演法给出了s i n x ，c o s x 的幂级数，黜s i n x ，a r c t a n x 和p 。的 级数展开。格雷戈里( j a i i l e s 骶g o r y ，1 6 3 8 - 1 6 7 5 ) 得到了t a l l x ，s e c x 等函数的 级数，莱布尼茨( g o t t 衔e dw i l h e l ml e i b n i z ，1 6 4 6 1 7 1 6 ) 也在1 6 7 3 年独立地得到 了s i n x ，c o s x 和a r c t 觚戈等函数的无穷级数展开式，以及圆面积和双曲线面积的 具体展开式。在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相 当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效。因此，无穷级 数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分。有时使用无穷 级数是为了计算一些特殊的量，如万和p 以及求隐函数的显式解。 1 7 世纪后期和1 8 世纪，为了适应航海、天文学和地理学的发展，摆在数学 家们面前的问题之一是函数表的插值。由于对函数表的精确度要求较高，数学家 们开始寻求较好的插值方法，牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式 ，皇仁一1 ) 厂( 口+ 厅) = 厂( 口) + 兰厂( 口) + 兰二# 毛- 一? 厂( 口) + 。 1 7 1 5 年泰勒( b r o o k1 a y l o r 1 6 8 5 - 1 7 3 1 ) 发表了增量方法及其逆( 拖砌d 跏 加盯p 所p 力幻，z ，朋d 抛c 幻甜加1 ，p 坶，奠定了有限差分法的基础。1 7 世纪，牛顿、 莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题，泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法 ( 如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等) 过渡到了一般的方法。这 本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式，即泰勒级数 m 州= m ) + 八啪+ 八口) 等+ 八口) 鲁3 + 泰勒是第一个发表此级数的人，但他不是第一个发现此级数的数学家。在他 之前格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰伯努利( j o l l i lb e m o u l l i ，1 6 6 7 1 7 4 8 ) 和棣莫 弗( a b r a l l 锄d em o i v r e ，1 6 6 7 1 7 5 4 ) 等数学家都研究过此级数。例1 7 1 7 年泰勒运用 这个级数求解方程，取得了很好的结果，但是他的证明是不严格的而且没有考虑 收敛问题，在当时影响并不太大。直到1 7 5 5 年，欧拉在微分学中将泰勒级数推广 西北大学硕士学位论文 应用到多元函数，增大了泰勒级数的影响力，随后拉格朗日用带余项的泰勒级数 作为函数论的基础，才正式确立了泰勒级数的重要性。后来麦克劳林( m a c l a u r i n c o l m ，1 6 9 8 1 7 4 6 ) 重新得到泰勒公式在口= 0 时的特殊情况，现代微积分教材中 一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。 詹姆斯f 白努利( j 锄e sb e m o u l l i ，1 6 5 4 一1 7 0 5 ) 与约翰1 白努利在级数方面做了 大量的工作。詹姆斯f 白努利在1 6 8 9 1 7 0 4 年间撰写了5 篇关于无穷级数的论文，成 为当时这一领域的权威，这些论文的主题是关于函数的级数表示及其求函数的微 分与积分，求曲线下面积和曲线长等方面的应用，所有这些级数的应用是对微积 分的重大贡献。 西北大学硕士学位论文 第二章欧拉的级数工作 随着级数理论的发展，原始的级数思想已经不能解释一些级数，例如渐近 rj 1 级数，循环级数，连分数等等。p 这使得许多数学家们采用更加形式化的方法 来解决级数的问题，欧拉就是其中一位。欧拉的工作非常广泛，他把无穷级数由 一般的运算工具转变为一个重要的研究科目，使得无穷级数的应用和发展到了另 一个高度，为后来无穷级数理论的发展奠定了坚实的基础，并为我们展示了许多 精妙的思想，留下了深刻的启示。下面从几个方面讨论欧拉的级数思想。 2 1 欧拉对级数收敛和发散的认识 形式化观点在1 8 世纪无穷级数的工作中占统治地位，级数被看成是无穷的 多项式，并且被当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题没有深入研究。欧拉 多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它们 进行计算时产生的困难。欧拉将收敛级数定义为，“级数的项不断的减小，当级 数的项数趋于无穷时，它的项完全消失，这样的级数被称为收敛级数”。p 1 “发 散级数则就是那些不是收敛级数的级数，即级数项为某个不为零的有限量或趋于 无穷的级数。”p 1 在级数理论研究中，欧拉还运用了一个原则：若级数的部分和 是无穷小的，则级数是收敛的。这个原则看起来像柯西准则的非标准版，但却是 以一种现代的方式来发现收敛级数与发散级数的差别。欧拉关于收敛级数的定义 是不能令人满意的，欧拉也认识到这一点。因为欧拉曾研究过一些级数，级数的 项越来越接近于o ，但和却趋于无穷，如调和级数，欧拉关于这类级数也进行了 研究。 2 2 调和级数 在1 8 世纪，伴随着级数理论不断发展，各种初等函数的级数展开陆续得到， 并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。但对于级数理论 本身而言，其中最具启发性的工作是关于调和级数和为无穷的证明。调和级数的 讨论引起了学者们对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果。 西北大学硕士学位论文 欧拉研究了调和级数 l + ! + ! + ! + ! + + 三+ 2345七 并能够用对数函数求调和级数的有限项的和。 欧拉是从 出发，于是 嘁+ 争 一专+ 专一专+ xxz x 。j x q x 带入z = 1 ，强，n 就得出 三札g 掣，+ 击一专+ 专xxz x j x q x 。 ! = l 0 9 2 + 三一三+ 三一三+ 1 9 2345 1 = l o g 三+ 上一上+ 上一上+ j 刮o g i + 瓦一弧+ 丽一两扣”2 9 22 43 84 1 65 3 2 1 4l11 l 一= 1 0 9 一+ 一+ 一+ 3。32 93 2 74 8 15 2 4 3 1 玎+ 1l1l i 刮o g 了+ 百一万+ 砑拧 。 刀2 刀23 刀4 刀4 各式相加，并注意到每一个对数项是两个对数之差，就得到 l + ! + ! + ! + ! + + 1 234 5万 或 堋川，+ 扣* + 扣+ 一喜c + 丢+ 寺+ + 专，+ 丢c + 去+ 击+ + 专，+ 7 西北大学硕士学位论文 1 + 妻+ 寻+ + 昙+ + 三：i 。g ( 甩+ 1 ) + c l + 一+ 一+ 一+ 一+ + 一= i o g i 甩+ 1 ) + c 2345刀 一 7 其中c 表示无穷多个有限算术的和，欧拉近似的计算过c 的值，并得到 c = o 5 7 7 2 1 5 6 6 4 9 0 1 5 3 2 8 6 0 6 0 6 5 1 2 0 9 这个c 现在通称的欧拉常数，用7 表 示。这是继万、口之后的又一个重要的数。7 的一个更精确的表示，今天是如下 得到的。 从( 1 ) 式的两边减去l o 印得 l 。g ( 以+ 1 ) 一l 。g ，2 ：l 。g ( 1 + 三) 以 当刀一时它趋于0 。 因此 y = 熙拱+ 挂+ + 扣g 甩， 得到了这个关于y 的最简单的表达形式，到目前为止，关于y 的无理性和有理性 还没有弄清。【6 】 2 3b a s e l 问题 欧拉在数学领域获得的第一个令人注目的成绩就是在1 7 3 5 年解决了b a s e l 问 题。b a s e l 问题是指求整数倒数的平方和问题，即 + h + 去+ 争+ 争一491 62 5七2 b a s e l 问题：是由法国数学家门戈利( p i e t r 0m e n g o l i ，1 6 2 5 - 1 6 8 6 ) 在1 6 4 4 年提出 的，后来这个问题被雅各布f 白努利( j a l ( o bb e m o u l l i ，1 6 5 4 1 7 0 5 ) 于1 6 8 9 收录在 一本名为没有结论的无穷级数的书中，并引起了数学家们的广泛关注。【7 】 关于级数 西北大学硕士学位论文 1 + 三+ ! + 土+ 上+ + 占+ 4 9 1 6 2 5七z 的和，许多数学家都进行过探讨，虽然大家试图考察这类级数的收敛性，但都没 有给出级数和的精确值，均以失败告终，其中包括奥雷姆、莱布尼茨、彼得罗门 戈利、雅各布f 白努利和约翰f 白努利。 1 7 3 1 年，2 4 岁的欧拉从他的老师约翰f 白努利那里听说了这个难题，经过一 年的反复研究，发现了解开这个谜的钥匙，他兴奋的写道：“完全意想不到， 我发现了基于刀的一个绝妙公式。，【8 】 欧拉一共用四种不同的方法来解决b 硒e l 问题，最著名的是第三种方法。 欧拉解决这个难题的两个重要环节是：利用正弦函数的泰勒展开，把正弦函 数表达为无穷多项式；研究一般的代数有限多项式的性质，将其推广应用到无穷 多项式，即将其形式化处理。 首先欧拉给出一个玎阶多项式p ( x ) ，这个多项式满足有刀个非零根 口l ，口2 ，口3 ，口。且p ( o ) = 1 ，即有 欧拉令 p ( x ) ：( 1 一三) ( 1 一三) ( 1 一三) ( 1 一三) 口i口2口3 口h p c x ，= 一鲁+ 普一鲁+ 蔷 再将正弦函数s i i l x 进行泰勒展开 有 x 3x 5x 7x 9 3 15 17 1 9 1 则得到 妒( x ) = s i l lx 当x o 时， 9 西北大学硕士学位论文 p ( x ) = x x 3x 5x 7x 9 ： 翌墨12 1垡 x s i n 工 = 一 x 所以p ( x ) = o ( x o ) 的解等价于s i i l x = 0 的解，为x = 七万，七= 1 ，2 ， 则 争抄= k i ，一斟一嘉工，一斟 即有 贴寺蔷寺扣= 愕 1 - 斟一甜告 成立。欧拉得到的这个等式非常重要，是解决这个问题的关键。 接着，欧拉将这个等式的右端展开，得到 一睁专专+ 嘉+ 卜( 肛 再根据系数相等，得到 壶= ( 砉专砖+ 击+ )酉2 【+ 万+ 万+ 丽扣一j 即 生：1 + 三+ 三+ 上+ 【9 】 6491 6 在这个过程中，很明显能够看出欧拉处理级数的形式化方案，通过这两个重 要环节相结合使用，欧拉发现了其他数学家几十年未能发现的结论。 + 丢+ 吉+ 去+ 去+ + 古+ 一譬491 62 5七2 6 l o 西北大学硕士学位论文 并将级数的和与万联系起来，结果所展现的数学之芙及其简洁性令人惊叹。他巧 妙的证明方法使其在整个数学的历史长河中堪称经典。约翰f 白努利听到这个消 息后极为兴奋，他说“要是我的哥哥活着，这使他最热望的心愿得以满足”。 当欧拉将自己的证明公布于众，引来了许多疑问。这些疑问，主要集中在几 个方面。 ( 1 ) l s i nx 是否还有其他的解。 ( 2 ) 如果这个方法是对任意的函数厂( x ) 都成立，那么对于厂( x ) 和p 5 厂( x ) 有相 同的解，但它们导致了不同的公式。【1 0 】 欧拉在使用这个方法的时候也注意到这些问题，但欧拉相信自己的结论，并 用了将近十年的时间来解开人们心中的疑问，且在研究过程中得到了著名的 s i n x 乘法赋半= 垂”嘉) 在1 7 4 1 年，他用法语写了解决b a s e l 问题的第四种方法。欧拉只使用了初 等计算工具、泰勒级数和分步积分法便求得了结果。【1 l 】 眺令垆s i 们所咖堋s i 舭一= 南 对s 进行积分，得到 弘惰 接着考虑 妣志佶 等式左边从。到l 进行积分得到丢。 接下来，欧拉开始讨论等式右边。首先，欧拉用推广了的二项式定理。在 聊= 一丢时，展开s ，得到了 r 出 1 1 1 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 l ；= = = x + x 。+ x 。+ x 。+ x + o l x 2 2 32 4 52 4 6 7 2 4 6 8 9 西北大学硕士学位论文 上式两边同时乘以 得到 拈击 、，l x 。 ，出1，威1。出1 3 5，出 s 出= x ；= = = + x 。；= = = = + x 。- 声= = = = + x 。；= = = = 1 一x 2 2 3 l x 2 2 4 5 l x 2 2 4 6 7 1 一x 2 1 3 5 7 + 2 4 6 - 8 9，毒+ 采用分步积分法，得到 b = 是倍一兰届 欧拉这里是从0 到1 进行积分的，所以得到 rz ”+ 2 出 以+ 1rx ”出 、孓jn 乞) 遗函 这样欧拉可以利用上式计算积分值。 卜5 南= 詈卜3 南= 筹 卜7 南2 涉南2 鬻 r1 3 - 5出7 + i 一芦= = x + 0 2 4 6 7 l x 2 这样就得到 1 2 瓜南 一 x 卜 卜 南南 卜 p 南 l _ d砖 南 上 击 l r = 括 iu，到小 箩f删等 s 对 西北大学硕士学位论文 生= 1 + 上+ 上+ 上+ - 8 3 3 5 57 7 欧拉在他的第一种方法中给出了偶数平方的倒数之和，与上面的结论相加， 得到了 生：1 + ! + 三+ 土+ 6491 6 欧拉解决完这个伟大的问题后并没有停止前进。 他利用 1l111万2 l + _ + ：+ + + + + = 一 491 62 5七26 的方法解开了很多级数之谜。例如，他将上述整数二次方的倒数和问题推广到四 次方、六次方等更高的偶次方级数，得到了 1l1l万4 l + + 一+ + + + = 1 68 l2 5 6七49 0 l + 上+ 上+ 上+ + 三+ 一生 1 1 l1 3 l5 8 6 2 万 【7 】 1 + 三万+ 尹+ 叶万+ 一而瓦石面丽菇丙两一 欧拉的工作非常重要，特别是关于整数乘方倒数与万之间的巧妙关系，是人 类认识的一大进步， 2 4z e t a 函数及z e t a 函数值 2 4 1z e t a 函数 z e t a 函数是由德国数学黎曼( b e m h a r dr i e m a i 1 ，1 8 2 6 - 1 8 6 6 ) 定义的，黎曼也 是第一个将s 自变量作为复变量使用的数学家。其实，在黎曼之前一百年，欧 拉也处理过当自变量为实数时的z e t a 函数，并给出了一些精确的z e t a 值。 西北大学硕士学位论文 欧拉的z e t a 函数可以表示为 c s ，= + 古+ 当+ 专+ 古+ 5 为大于1 的实数。 欧拉对z e t a 函数的研究是从调和级数 l + 三+ ! + 土+ ! + 2345 出发的。因为知道这个级数没有和，所以欧拉试着考虑“素调和级数”( 由素数 的倒数构成的级数) 是否有和存在。 分成 1 + 三+ 三+ 三+ 三+ 2357 欧拉没有按常规思路将调和级数 l + 土+ 三+ 三+ ! + 2345 丑+ * 川娟+ 长+ 去+ 扣- 这两部分来讨论，而是找了一个级数 c s ，= + 专+ ；+ 古+ ；+ 来代替调和级数，其中s 为大于l 的实数。 1 4 西北大学硕士学位论文 因为 ( j ) 的和是有限的，所以可以把( s ) 分成两部分， f c j ，= c + 古+ ；+ 古+ 古，+ c 古+ 古+ 古+ ， 接着，欧拉由 出发， 令弘古，则得到 士：1 + x + x 2 + x 3 + ( o x 1 ) 1 一x 、 圭小古+ 专+ 邶， p s 其中，p 是任意的素数，j 是大于1 的实数。欧拉把所有的素数以上式的形式展 开，相乘并整理后得恒等式 如，= 喜寺= 譬”耖 n 表示对所有的素数求积。 | 口 欧拉利用调和级数的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里 得定理。通过等式右边的无穷乘积公式展示了 0 级数都是收敛的。 将b 在y = o 时进行泰勒展开，得到 南= 静y t 是实数) 彳( ( 1 ”，一2 ”，3 ”，一4 ”，) ) = l i m l ”p y 一2 ”p _ 2 y + 3 ”p - 3 ，一4 ”p _ 4 y + j - + 0 + 1 6 西北大学硕士学位论文 = 脚( _ 1 ) ”参( 南) 2 ( _ 1 ) 铡 一方面，欧拉考虑了函数石t 锄( 等) ，当z = 2 肌一1 时，这个函数变得很 大。但是，从初等微积分的观点出发，我们知道 这样 l i m ( z 一2 m 一1 ) 沙t a i l ( 寻) = - 2 = - + ( 2 肿一1 ) 二 万劬c 争一2 薹c 面+ 击 在对上式进行，z 次微分，得到 参c 砌c 争一2 c 妒薹c 两嘉矿+ 击 因为 利用 得到 砌c 争南， 击= 厶y t p y + 1 怠“ 刀t a n ( 詈) = 等( 1 2 芝口i ( 一疵) 。z ) zl 压 ( 2 ) 西北大学硕士学位论文 将( 1 ) 和( 2 ) 结合，令z = 0 ，我们得到，对于奇数刀有 又因为 1 2 瓦土两= 口。( 一疵) 肿1 怠( 2 聊一1 ) 肘1 孙 7 2 c 。川+ 击+ 击川= 2 薹面c 卅州， 另一方面，因为 所以得到 ( 3 ) ( 1 2 2 ”) f ( 一刀) = 彳( ( 1 一，一2 疗，3 坩，4 刀，) ) = ( 一1 ) 一刀! 口刀 = 警 由于当y o 时，口：。= 0 ，所以上式包括了f ( - 2 七) = 0 这个结论。 将( 3 ) 与( 4 ) 结合，可以得到 2 蟛( 川) = ( 2 矿c o s ( 刀孚) 卅”) ( 4 ) 筹 糟 功 d 、栅， 圳 ，l 舒 到 “ 有 混 比 西北大学硕士学位论文 或者用玎替换玎一1 ，得到 们叫- 2 ( 2 矿s ( 等砌_ 1 ) ! 似) 其中刀为整数。 欧拉用r ( ，1 ) 来代替( 刀一1 ) ! ，则得到 f ( 1 一哟= 2 ( 2 万) 。s 予r ( 刀) f ( 刀) 欧拉猜测对所有的复数j 上式仍然成立，但是没有对这个问题做出讨论，这 个猜测被后来的黎曼所证实。1 8 5 9 年，黎曼发表著名论文论小于已知数的素 n 御 数的个数，r 叫该文刊登在1 8 5 9 年1 1 月柏林科学院的月报上。在这篇论文中， 黎曼重新发现并建立了这个函数方程，第一个成功定义了z e t a 函数，并把z e t a 函数作为复变数的函数加以研究。1 9 世纪和2 0 世纪，z e t a 函数已成为解析数论 最重要的工具之一，尤其在狄利克雷( d i r i c l l l e t ，1 8 0 5 1 8 5 9 ) 、切比雪夫( p a m u t ) ， l v o v i c hc h e b y s h e v ，1 8 2 l - 1 8 9 4 ) 、黎曼、阿达马( j a c q u e ss a l o m o nh a d 锄a r d ， 1 8 6 5 1 9 6 3 ) 等人关于素数分布的研究中更是如此。 欧拉研究了由z e t a 函数得到的方程 其中j 7 ( j ) 满足 椰) = ( 1 1 ) = 1 一古+ ；一( s o ) 掣：一筹手耶，【1 4 】 7 7 ( s ) 2 ”1 1 万5 、7 欧拉用研代替s ，可得到 1 9 西北大学硕士学位论文 2 4 2z e t a 函数值 ! 二丛二：兰竺生! 竺兰 1 2 。”+ ( 2 ”一1 ) 刀” 欧拉所定义的z e t a 函数 啦 一 u ，i2，r f ( 2 ，1 ) = f ( 3 ) 2 f ( 旯一l ，1 ) = ( 见一l ，1 ) f ( 旯) 一f ( 兄一g ) f ( g ) 1 川 2 s g s 丑一2 欧拉还讨论了于；( x ) 有关的交错级数的和 加，= 薹器= 署 邢，= 薹器= 鲁 邱，= 薹器= 志 印川，= 薹器= 半筹 其中e 被称之为欧拉常数 = l ，e 2 = 一1 ，巨= 5 ，瓦= 一6 l ，局= 1 3 8 5 ，五= b = 乜= = o ， 西北大学硕士学位论文 岛疗+ ( 主力 e ：斛：+ ( 三刀 e ：一+ 。+ + 凰= 。，以= ，2 ，3 2 5 发散级数求和 1 8 世纪人们对发散级数的使用是有争议的，许多数学家排斥使用发散级 数，虽然当时发散级数的理论并不可靠，但是在许多运算中却很有用，并且是发 现新事物的一种有效工具，特别是在天文学研究中，因为这种级数开始的很少几 项就能给函数以有用的数值逼近，尽管从整体上看级数是发散的。不仅如此，发 散级数还可以在运算上代表函数以及求解微分方程。反对使用发散级数的呼声越 来越弱，因为反对者们不能完全拒绝形式化处理级数的方法，这动及整个数学基 础，再加之几乎所有有名的数学家如欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等都在大量的使 用发散级数，所以反对的呼声在1 8 世纪最终被淹没了。 1 8 世纪，使用发散级数遭到人们的质疑，考虑把一个发散级数与一个量联 系起来，听起来更是件荒谬的事，但是发散级数求和问题确实与许多实际问题相 联系，例如天文研究和求解析函数数论中的所谓边值问题等。所以，仍有许多数 学家投入到对发散级数求和问题的讨论。 形式观点在1 8 世纪无穷级数的工作中占统治地位。级数被看成是无穷的多 项式，并且就当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题是不太认真对待的。欧 拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它 们进行计算时产生的困难。为了寻求收敛的一般理论，欧拉确信且着手进行建立 发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作。为此，他对级数的和这一概念 丌御 提出了新的更广泛的定义，还提出两种求和方法。r 1 欧拉很早就开始探讨发散级数和的问题。早在1 7 4 5 年8 月7 日，欧拉写给哥德 巴赫( g o l d b a c h ，1 6 9 0 一1 7 6 4 ) 的信中，他就讨论了级数1 11 + 2 1 3 “。在信中，欧 拉指出每一个级数都有一个确定的值，但这个值并不是指和，因为和是指真正的 加法。欧拉对级数的“和”这一概念提出了新的更广泛的定义，欧拉认为：任何级 数，不管是收敛级数还是发散级数，都有一个确定的值。 欧拉在1 7 5 5 年的微分学原理中，重述了上面的观点：“任何无穷级数的 西北大学硕士学位论文 和是这样一个有限表达式，这个级数是通过展开它而产生的。在这个意义下，无 1 穷级数的和1 一x + 石2 一x 3 + 将是石，因为只要我们用数代到x 的位置上去， 这个级数就来自分式的展开，如果同意这一点，那么和这个词的新定义，当级数 收敛时，同它原来所指是一致的；而就和这个词的本来意义说，发散级数没有和， 因此，用这个词也不会产生什么不便。最后，借助于这个定义，我们能够保留发 散级数的功用，并对所有反对意见给它们的用处作辩护”。 一1 一 n - 关于欧拉对发散级数的观点，我们可以从欧拉在1 7 6 0 年发散级数( “d e s e r i e b u sd i v e 玛e n 佑u s ，) 论文中更清楚的看到。【5 】 “应注意到，围绕级数l l + l l + l l + 的争论，莱布尼兹给出了级数的和 是圭，但是都遭到了大家的反对。到现在为止，没有人给出其它值，所以这个问 题转化为这类的级数是否存在和的问题。要理解这个问题，就要理解和这个概念。 当和的这个概念被理解成为当级数的项越来越多时逼近级数的某个数值，那么这 个概念只对收敛级数有意义的，在处理发散级数和的问题时应放弃这个观点。因 而，要是有人找不到某个级数的和则不应被人指责。另一方面，因为级数在分析 中来自分数的部分展开或无理量甚至是超越量，这些量仍然可以在计算时代替级 数。由于这个原因，我们可以使用这样的和的定义，即级数的和就是产生这个级 数的量，这样所有关于发散级数的顾虑都会消失，并且不会再有争论产生，因为 这个定义对发散级数和收敛级数都实用。相应的，莱布尼茨毫不犹豫的得到级数 l l + 1 1 + 1 1 + 的和是去，它是从公式的展开得到的，对于级数 zl t - l 11 1 2 + 3 4 + 5 6 + 的和为它是从公式熹的展开得到的。在类似情况 4 l l 十1 ) 。 下，对于发散级数的结论，当来自于级数展开的公式都被研究的情况下能够成立。 尽管如此，常常发生的情况是这个公式本身很难找到。像这里，我给出了一个特 例，发散级数卜1 + 2 6 + 2 4 一1 2 0 + 7 2 0 一5 0 4 0 + ，是沃利斯的超几何级数，这个级 数的符号是交替变化的；无论得到这个级数最初的公式是什么，不管这个公式是 多么的有效，这个级数只有用更深奥的分析学来研究”。 欧拉的级数求和思想的提出，即能解释过去的级数观点，也能为他新得到 西北大学硕士学位论文 结果提供理论纂础。这种观点启发了人们，对一个级数，甚至它是发散的，仍可 以考虑它在广义意义下豹和。欧授意义下酌级数求和，我们可以这样说甥：如果 ( 曲的展开式是啊x ，则厂( x ) 是产a ，x ，的和。在这个观点下，蕴含着以下结 _o l ：蝮，| = o 论： ( 1 ) 每个级数都有一个函数与之相对应，且是自这个函数产生的。 ( 2 ) 函数的存在与否不依赖于它展开的级数，级数只是一种变换形式。因 诧，不笺霜级数来定义骚数。 ( 3 ) 级数是函数的表达式。 在这个意义上，级数求和就是指在寻找产生邑知缀数的有隈表达式( 初等涡 数) ，在欧拉思想的影响下，寻找这样的初等函数，就成为1 8 世纪中期数学家们 研究的热点闯题之一。这对1 9 世纪末2 0 避纪初发数级数理论中昀两个主题，即 渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。 2 。5 。l 阿煲尔求和 欧拉用许多不同的方法来处理关于发散级数求和的问题，其中最著名的是现 在我们所说静阿贝象求和”。 若收敛于单位圆域，有 敝撬，一锚荐；s o x l 善畸l 一篇” 成立，则我们称露嚣阿贝尔可和乎毒 例如，欧拉在他的论文论发散级数第二节中，用阿贝尔求和计算了级数 l 一2 3 4 + 5 一 首先，欧拉刹用了展开式 o 富l 一2 x + 3 并2 4 x + 5 x 4 。 ( 1 一x ) 2 然后令舅墨l ，得到 l 一2 + 3 4 + 5 一= 土 4 西北大学硕士学位论文 2 5 2 欧拉麦克劳林求和公式 处理级数求和问题的最有效工具之一是利用现在称之为欧拉麦克劳林求和 公式。它的现代非对称表达式为：【1 2 】 喜巾) = r 似) 出+ 争m ) 川。) 】+ 奢八妒厂( o ) 】 + 鲁旷r ( 0 ) 】+ + 南 严l 】( 矿尸) ( 0 ) m 其中， = 州c 出= 丢+ 焉+ 志+ + 鲁 欧拉本人非常喜欢计算，欧拉麦克劳林求和公式，是欧拉在进行数值计算 时常用的工具。欧拉麦克劳林求和公式是有限差演算的最重要的公式之一。有 限差演算方法是由泰勒和斯特灵奠基的。欧拉的微分学原理是有限差演算的 第一部论著，他第一个引进差分算子。借助这个求和公式，1 7 3 5 年，欧拉把，欧 拉常数的值计算到小数点后第1 6 位，y = 0 5 7 7 2 1 5 6 6 。欧拉还利用欧拉麦克 劳林求和公式求得了具有很多项小数的z e t a 函数值以及阶乘级数的和等。 这个公式正如它名字所暗示的，是由欧拉和麦克劳林独立发现的。欧拉的这 篇论文写于1