（一般力学与力学基础专业论文）非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究.pdf

硕士学位论文 摘 要 本文主要研究了胞映射方法在非光滑动力系统中的应用，以及多自由度非光 滑系统中出现的粘滞现象，并就一些典型的非光滑动力系统作了全局分析。 在光滑非线性动力系统的全局分析中，胞映射方法是较为常用的工具。本文 首先介绍了胞映射方法的相关概念和基本理论。然后针对非光滑动力系统特点， 使用拉回积分等辅助手段，将胞映射法成功应用到非光滑动力系统上来，使之较 好地兼顾计算速度和求解精度的要求。以一类碰振系统和一类分段系统为例验证 了该方法的正确性和通用性，而且还发现了该碰振系统中吸引子和吸引域对阻尼 十分敏感这一特性。 随后本文介绍了现代动力学分析的重要工具poincar 映射的基本思想， 这也是非光滑分析中不可缺少的理论工具。基于该映射方法，本文从理论上分析 了一类对称约束碰振系统 poincar 映射的建立、运动稳定性等情况。接着用非光 滑动力系统胞映射方法研究了该系统的共存吸引子、吸引域随参数变化的规律， 并将这些吸引域图与 poincar 映射分岔图进行对照，发现了吸引域的变化和系统 分岔图中出现跳跃现象之间的联系。 粘滞运动广泛存在于多自由度碰振系统中，特别是在碰撞恢复系数较小的情 况下。本文分析了一类双自由度系统非粘滞与粘滞两种运动状态，以粘滞结束面 为 poincar 截面， 建立了 poincar 映射在单粘周期 1 运动不动点处的 jacobi 矩阵。 经过细致的计算，得到了该运动失稳点的解析解。借助数值模拟验证了上述解析 解的正确性，并给出了粘滞运动时间占系统整个周期运动时间的比例随参数变化 的情况。最后，我们以约束面为 poincar 截面，用数值方法展示了系统出现的隆 起现象，并给出了理论上的解释。 关键词：非光滑动力系统；胞映射算法；共存吸引子；吸引域；poincar 映射； 粘滞运动 i 非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究 abstract this thesis aims at the application of cell-mapping method in nonsmooth dynamic systems, as well as the sticking phenomenon in multi-degree of freedom nonsmooth systems. the global analyses of some typical nonsmooth systems are carried out. on the global analyses of general smooth nonlinear dynamic systems, cell-mapping method is a commonly used tool. in chapter two, the cell-mapping method and some relative conceptions are introduced at first. then the means of pullback integral is introduced into the impact process base on the cell-mapping method, and satisfy the requirement of both velocity and precise of calculation, in view of the characteristics of non-smooth dynamic systems. whereafter, a vibro-impact system and a piecewise smooth system are served as examples to validate the cell-mapping method of nonsmooth systems, and the sensitivity with damper of domains of attraction in this vibro-impact system is also found. subsequently in chapter three, the basic ideology of poincar map, which is a dispensable theory tool for analyzing nonsmooth dynamic systems, is introduced. the stability of a one-degree of freedom system with two-sided amplitude constraints is considered by setting up poincar map. furthermore, the multi-solutions coexistence and domain of attraction variate with parameter are researched by using cell-mapping method of nonsmooth systems, and it is found that this variation has relation to the leap phenomenon after comparing with poincar map figures. sticking motion can be found in multi-degree-of-freedom vibro-impact systems, especially when coefficient of restitution is relatively small. through analyzing two movement states, sticking and non-sticking, the poincar mapping of 1-sticking-period-1 motions is set up by using the end of sticking plane as poincar section, and the analytical expressions of jacobi matrix are determined at the corresponding fix points of the poincar mapping. therefore, the eigenvalue analyses for the stability of 1-sticking period-1 motions can be discussed based on the jacobi matrix. it is shown that our method is valid through the numerical simulation, from which, the max proportion of sticking motions in one period is found as well. finally, the rising phenomenon of this system are given by using the constrained plane as poincar section, and the condition expression of sticking motion can be use to ii 硕士学位论文 explain this phenomenon. key words: nonsmooth dynamic system; cell-mapping method; coexistent attractors; domain of attraction; poincar map; sticking motion iii 湖湖 南南 大大 学学 学位论文原创性声明学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1、保密，在_年解密后适用本授权书。 2、不保密。 （请在以上相应方框内打“” ） 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 硕士学位论文 第 1 章 绪论 1.1 非光滑动力系统简述 非光滑动力系统广泛存在于许多实际工程和应用科学领域中，例如通信系统 和交通系统中流的模型 1,2、电力电子系统中的dc/dc变换器3、控制工程中的继 电器控制系统 4。我们在机械工程中经常遇到的的含间隙系统、受周期激励的碰 振系统 5、碰撞减振器6等利用周期力加载产生碰撞的机械工具，高速旋转机械 中转子与定子之间的碰摩问题 7,8，具有后座特性的枪炮、船舶的系留机构、铁路 轮轨之间 9等具有运动约束的机械系统， 也都是非光滑动力系统的典型工程实例。 深入研究该动力学问题对分析全局机械系统的性能、寿命等因素具有十分重要的 意义，因此近年来引起了很多学者的关注，也成为了非线性动力学研究中的新兴 方向。接下来将简要介绍非光滑动力系统的数学模型。 我们通常可以将线性或非线性系统的相空间划分为有限个开集，在各个区 域内系统运动轨线由相应的足够光滑（所谓光滑，是指轨线处处连续可微）的 微分（差分）方程组描述。但是在不同区域的分界面上，这些微分(差分)方程组 不再保持光滑，使得系统运动轨线出现跳跃或尖峰。因此，从全局来说运动轨线 是非光滑的，我们将产生该类运动的系统称为非光滑系统。 is is 定义：对于动力系统 ( , ), , np rr= ? x f x x n (1.1) 其中 ( , )( , ), , 1,2, n iisri= =?f x f x x if是足够光滑的函数。 设为该系统的流，t为时间变量。 向量场或流在ij（区 域和的边界，可认为是光滑 ( )tx isjs(1n)维流形）上不连续，或连续但不可微，则系 统(1.1)为非光滑动力系统。 非光滑动力系统一般可分为向量场分段光滑系统和约束微分系统两大类。向 量场分段光滑系统是指向量场由分段光滑的函数描述的系统。这类系统的流通常 是连续的，但在不光滑处不具有二阶可微性。约束微分系统是指带有刚性约束的 微分动力系统，该系统的流在相空间中由于约束面的分割而不连续。碰振系统即 为典型的约束微分系统。 目前研究表明，非光滑系统是一类很容易产生各种分岔和混沌现象的复杂动 力学系统。例如，看似简单的线性碰撞系统就能和某些非线性动力系统一样，存 在着倍周期分岔和复杂的混沌碰撞运动现象 10。但是过去人们对非线性动力学的 - 1 - 非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究 研究主要是针对全局光滑系统，而对非光滑系统则涉足较少，其中的一个重要原 因就在于非光滑系统的动力响应比光滑系统更复杂，例如它存在由稳态周期运动 直接进入混沌运动的现象等。而且非光滑系统中某些现象的产生机理也与一般非 线性系统大不相同，因此研究起来相对困难。不过随着非线性动力学理论的发展 以及对非光滑动力学的重视，国内外的学者们研究了许多新的理论和方法来分析 和解决非光滑系统中的问题，并取得了丰硕的成果。 1.2 非光滑动力学研究进展 对非光滑动力系统的研究起源于对单自由度分段线性振子和冲击振子的研 究。klotter11和maezawa12发现分段线性系统存在振幅跃迁和超谐响应等非线性 动力学行为，并分别用fourier级数法和galerkin法对这些现象进行了研究。 thompson10和holmes等 13在八十年代初期的工作中，通过数值模拟发现冲击振 子和弹跳小球模型中存在倍周期分岔瀑布与马蹄现象，揭示了碰撞系统中存在混 沌，但尚未就周期运动稳定性问题进行深入的讨论。同一时期，kim等 14在分段 线性振子系统中也发现了类似的非线性现象。这些在分段线性系统和约束线性系 统中首次被发现的现象立即引起了许多学者 15,16的研究兴趣。 其中具有开创性意义的是shaw和 holmes17-20对非光滑系统做的一系列理论 分析和实验研究工作。他们将现代动力学理论引入到研究分段线性振子和冲击振 子中，用poincar映射理论分析了周期运动稳定性以及倍周期分岔，用同宿相截 条件分析了混沌运动。而且他们还发现在这类非光滑系统中，稳态周期运动可以 直接转变为混沌运动，这是光滑非线性系统没有出现过的现象。nordmark21,22 通过在擦边轨道附近建立反映冲击振子碰撞运动的poincar-nordmark局部映射， 较详细地从理论上研究了擦边碰撞(grazing impact)问题，发现它是振子由周期运 动直接进入混沌运动的主要原因。所谓擦边现象是指在相空间中，轨线以零速度 与碰撞面接触时导致运动出现不确定性的现象。振子的这种分岔行为被称为擦边 分岔，显然光滑动力系统中不会存在该分岔现象。以上这些工作奠定了现代动力 学理论在非光滑系统研究中的重要地位。此后，许多学者沿用这种基于几何观点 的方法来研究非光滑动力学问题。 胡海岩 23,24研究了非光滑向量场对系统poincar映射可微性的影响，以及由 此产生的擦边行为等，发现当系统的周期运动接近鞍结分岔和相应退化分岔， 或 当周期轨道与切换面擦边时， 系统状态二阶可微性的丧失会导致系统产生奇异性， 并出现用光滑动力学理论难以解释的现象。nusse等 25研究了一类更具广泛意义 的非光滑系统， 用边界碰撞分岔(border-collision bifurcation)解释了擦边分岔这一 非光滑分岔行为。chin等 26,27对poincar-nordmark映射做单参数开折后详细研究 了它的性质，发现该映射具有十分丰富的动力学行为，如存在擦边分岔，反向周 - 2 - 硕士学位论文 期递增分岔，多周期解共存等现象，并从一类简单碰振系统中总结出了振子处于 擦边分岔附近时的各种行为。 近十几年来学者们对非光滑动力学问题研究的角度日益丰富，并提出了不少 新的计算理论。peterka28给出了一类典型碰撞振子擦边分岔、倍周期分岔、鞍结 分岔之间的转迁现象，进而分析了相应的转迁区域。ivanov29,30研究了如何使周 期解在擦边前后保持稳定。为了将具有不连续流的冲击振子问题转化为连续（但 不可微）的问题，他采用附加变量的方法，找到了方程的基解矩阵，利用线性稳 定性理论对解的稳定性进行了讨论。czolczynski31研究了一类碰振系统周期稳态 运动的存在性和存在区域，通过进一步的分析得到了共存周期运动的存在范围。 lamba等 32研究发现，非光滑系统发生擦边分岔时其最大lyapunov指数也会随参 数发生跳跃。金俐等 33利用nordmark局部映射理论和poincar映射理论，得到了 非光滑动力系统中lyapunov指数谱的通用计算方法。 okolewska等 34讨论了碰撞和干摩擦系统中的各类共存吸引子。实验结果显 示，微小扰动就会促使轨线由吸引域面积小的吸引子跳跃至吸引域较大的吸引子 上。souza等 35研究了一类受非理想能量源(non-ideal energy sources)激励的带刚 性约束的杜芬振子，确定系统存在共存吸引子并求得了对应的吸引域。通过与无 约束状态下杜芬振子的全局行为进行比较，发现约束的存在会改变某些原有吸引 子的拓扑结构，使系统失去混沌吸引子或产生新的周期吸引子。此外，该系统还 会出现吸引子基本不变，而对应吸引域拓扑结构发生畸变的情况。 在多自由度非光滑系统方面，由于其具有更复杂的动力学特性，所以研究上 还是以定性和数值方法为主。fredriksson和nordmark36,37将以前的工作推广到多 自由度系统中，通过引入不连续拉回映射(discontinuity bypass mapping)建立起了 多自由度冲击振子的局部poincar映射，并提出了该映射的规范型计算方法，这 为研究高维不光滑系统提供了重要的理论工具。舒仲周等 38,39通过对双质体和多 质体系统隔振与稳定性研究，推广了自治动力学系统的拓扑理论，提出了振动和 稳定性的统一分析方法。罗冠炜 40-42等详细研究了双自由度碰振系统的hopf分岔 现象，发现hopf分岔广泛存在于双自由度系统中。sung43用数值方法研究了基础 受简谐力激励的两自由度冲击振动系统，证实了其经倍周期瀑布通向混沌。 cusumano44介绍了 10 个自由度碰撞振子的数值仿真研究，根据碰撞poincar映 射获得了分岔结果。张思进等 45-48将非光滑动力学理论应用到转子系统的碰摩分 析中，通过建立poincar-nordmark映射，研究了转子系统随转速、偏移量、定子 刚度等因素变化的分岔行为，周期解的稳定性以及解的吸引域变化等，并发现了 该系统存在擦边分岔、非严格周期增加分岔、拟周期吸引子碎化以及由周期 3 运 动直接进入混沌运动等新现象。 在 多 自 由 度 碰 振 系 统 中 还 很 容 易 出 现 粘 滞 (sticking)（ 电 学 中 称 为 滑 移 - 3 - 非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究 (sliding)）现象，即其中一个振子与约束面接触或者几个振子相互接触时产生运动 停止的现象，这会导致系统产生更复杂的运动状态。toulemonde等 49考虑了多自 由度系统中的周期粘滞行为，展示了一类两自由度系统中的隆起分岔(rising bifurcation)情况。valente等 50使用数学定理证明了粘滞运动在一类双自由度无阻 尼系统中的存在性，介绍了怎样通过修改数学模型保证解在所有时刻的存在性和 唯一性，并从理论上描述了系统的 2 相周期混合轨道。wagg51研究了受双边对 称约束的双自由度系统的周期粘滞运动，详细分析了该系统表现出的三种隆起分 岔行为。bernardo等 52,53为一般多维分段光滑动力学系统找到了统一的建立范式 映射的方法，该方法的主要思想是：在擦边轨道或滑移轨道附近引入zdm映射， 通过分段流的局部展开法，并利用各段的切换条件，建立起分段映射，最终组装 成全局映射。 虽然人们对非光滑动力系统的研究时间不长，理论也不十分成熟，但国外已 经出现了一些专著。fillippov54专门研究了具有不连续向量场的微分方程问题， 导出了十分重要的计算局部映射jacobi矩阵的公式。moreau 等 55出版的专著首次 使用了非光滑力学(nonsmooth mechanics)的概念，并将各自在分析力学方面涉及 接触问题的多篇论文收录其中。brogliato56在他的专著中包含了许多学者在非光 滑力学方面的研究成果，详细的介绍了非光滑力学的模型建立、动力响应和控制 等问题，具有重要的参考价值。所有这些表明，非光滑动力系统是一个引起广大 学者关注的新兴研究方向。不过目前用于处理非光滑系统的通用理论和方法都还 比较缺乏，这也是有待于今后加以解决的问题。 1.3 胞映射法的特点与发展概况 胞映射（cell-mapping）方法 57是对非线性动力系统进行全局性质分析的有 力数值方法。其特点是能够较完整地描述和解析高维、强非线性动力学系统的时 间序列，并得到系统演化的过程和长期演化的最终结果，从而深刻揭示系统隐藏 的内在运动机制。因此胞映射方法的建立对非线性动力系统全局形态的研究，具 有极其重要的意义。 胞映射法的理论基础是 poincar 点映射原理、马尔科夫链理论和相空间重构 原理，基本思想是将连续相空间离散化为胞状态空间，作为未知函数的状态变量 变为整序标识的胞状态变量，使得非线性动力系统离散化为胞映射动力系统。这 样可免去对每条相轨线数值积分到稳态的要求，将全局分析的工作量降低 2 至 3 个数量级。该方法在当前的计算机硬件条件下，可以更有效地解决高维非线性动 力学系统的复杂问题，定量地描述非线性系统中的全局动态特征。 胞映射法自 1980 年提出来后，经过了 20 多年的发展，已形成了一套较完整 的理论体系，并由学者们提出了许多新的改进方法，如插值胞映射法 58、多次插 - 4 - 硕士学位论文 值胞映射法、混合胞映射法 59、修正插值胞映射法60等。该方法的应用领域涉及 许多自然学科和工程理论，如josephson结，控制和最优控制，同步电机非线性振 荡，动力系统一般问题，混沌，动态分岔，模糊动力系统，随机问题，噪声与混 沌化学等，表现了胞映射法处理非线性动力系统的全局问题、强非线性问题、随 机问题等所具有的优势和潜力 61-64。 非光滑动力系统表现出的混沌、分形吸引域边界、激变和全局分岔等都是大 范围的全局动力学行为， 如果我们将能处理非线性全局问题的胞映射法成功引入， 并针对非光滑系统的特点进行改进，提高运算速度与结果精度，这对更深入地研 究非光滑动力学系统将具有重要的实际意义。 1.4 本文创新点和主要工作 本文的创新点在于将胞映射理论应用到非光滑动力系统中，并且分析了多自 由度系统可能出现的粘滞运动，具有较新颖的视角。本文的主要工作是： (1) 针对非光滑动力系统向量场不连续（或连续但不可微） 、初态敏感性等特 点，为了使光滑系统中的胞映射法适用于非光滑系统，我们引入拉回积分等辅助 手段对胞映射法进行改进，控制其计算过程的进行。实例分析结果表明，改进的 胞映射法能有效地应用于非光滑系统，而且具有较高的求解精度与计算速度。 (2) 以定相位面为 poincar 截面，分析了一类对称约束碰振系统周期运动稳 定性问题。然后将非光滑系统中的胞映射方法应用于此碰振系统，分析了系统吸 引域的变化情况，以及该变化和分岔图中可能出现的跳跃现象之间的联系。 (3) 研究了一类双自由度振子的粘滞行为，以粘滞结束面为 poincar 截面， 从理论上分析了单粘周期 1 运动的稳定性问题，通过数值模拟证实了该方法的有 效性，之后还发现了系统存在的隆起现象，并做出了适当的理论解释。 1.5 论文结构 本文主要包括以下 4 个章节： 第 1 章：绪论。介绍了本文背景，对非光滑动力系统和胞映射方法的研究现 状进行了概述，说明了本文所作的主要工作。 第 2 章：非光滑动力系统胞映射计算方法。首先介绍了非线性动力学全局分 析的常用工具胞映射法的相关概念和基本理论，然后基于胞映射基本理论， 使用拉回积分、点映射法计算吸引子、胞映射法求解吸引域等策略，将胞映射法 应用到非光滑动力系统上来，并使之兼顾计算速度和求解精度的要求。最后以碰 振系统和分段光滑系统为例验证了该方法的正确性和通用性，而且还发现了吸引 域对阻尼十分敏感这一特性。 - 5 - 非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究 第 3 章：一类对称约束碰振系统周期运动稳定性与吸引域分析。介绍了现代 动力学分析的重要方法poincar 映射的基本思想。并从理论上分析了一类对 称约束碰振系统 poincar 映射的建立、运动稳定性等情况。接着用胞映射方法研 究了该系统的共存吸引子、吸引域随参数变化的规律。将吸引域图与 poincar 映 射分岔图进行对照后，发现了吸引域变化和系统出现跳跃现象之间的联系。 第 4 章：一类双自由度碰振系统周期粘滞运动分析。在本章的前半部分，分 析了系统非粘滞与粘滞两种运动状态，建立了 poincar 映射在单粘周期 1 运动不 动点处的 jacobi 矩阵，经过细致的计算，得到了该运动失稳点的解析解。在后半 部分，我们借助数值模拟验证了上述解析解的正确性，并给出了粘滞运动时间占 系统整个周期运动时间的比例随参数变化的情况。最后，还发现该系统出现的隆 起现象，并给出了理论上的解释。 最后，总结全文，提出下一步的工作展望。 - 6 - 硕士学位论文 第 2 章 非光滑动力系统胞映射计算方法 2.1 前言 有限维非线性（包括非光滑）动力系统的全局特性分析主要研究初始状态对 系统长时间历程动力学行为的影响。对这一问题进行理论研究的难度很大，目前 仅在一般的非线性二维自治系统上获得了比较完整的研究结果。对于较高维非线 性系统的全局分析，大部分都是从数值计算角度来研究的，其中学者们常用的是 胞映射方法。 利用胞映射法可以快速地求得相平面上的不动点，还可将分析域中所有的周 期胞组和它们的吸引胞求解出来，全部的吸引胞组成了该周期胞组的吸引域。利 用胞映射法可以得到系统各个周期运动的吸引子，并可进一步绘制各吸引子的吸 引域，然后根据每个吸引域的面积大小来判断相应周期运动稳定性的好坏。吸引 域面积越大，表明从某个初始点出发，经过若干次映射后，进入对应周期运动的 概率越高，这样的系统其周期运动的稳定性也就越高；如果吸引域面积很小，表 明系统从初始点出发，进入对应周期运动的概率较小，这样的周期运动稳定性就 较差。因此，绘制系统各周期运动吸引域的图形是进行胞映射分析的主要目的。 自从shaw和 holmes17-20 用现代动力学理论对简谐激励下的非光滑振子进 行研究分析以来，不少学者沿用他们的观点和方法研究了非光滑系统动力学，并 不断加以充实完善，成果显著。其中常用的分析工具是poincar映射方法和从中 发展起来的poincar-nordmark映射法等。不过这些方法大多为局部分析方法，对 于全局分析方法的研究还比较少。胞映射法就是研究动力系统全局特性的方法之 一，如果能将其引入到非光滑系统中来，将具有重要意义。virgin等 65曾对一类 特定碰撞系统，分别用直接数值求解和胞映射方法得到了该系统在一定区间内的 吸引域，并将这两种方法得到的结果进行了比较。但由于积分精度等原因，得到 的吸引域边界比较粗糙，而且不少本应收敛到吸引域中的胞在计算时却成为了陷 胞，这说明胞映射方法还得针对非光滑系统的特点进行某些改进。 本章首先对文中用于全局分析的胞映射方法作了简要介绍。然后用胞映射法 对非光滑动力系统的共存吸引子和吸引域做了深入的研究，并结合非光滑系统向 量场不连续、初态敏感性等特点对胞映射法进行了改进，使用了拉回积分等方法， 提高了胞映射方法计算非光滑系统吸引域的效率和精度。最后，利用上述胞映射 方法得到了一类碰振系统和一类分段光滑动力系统的吸引子与吸引域，并验证了 本章所提出的改进的胞映射方法在分析刚性约束系统和弹性约束系统上的有效 - 7 - 非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究 性。 2.2 胞映射方法 胞映射数值计算方法是由美国学者hsu.c.s57提出的，这种方法把相空间中 的研究区域划分为许多相胞，用相胞中的特征点近似代替整个相胞，通过对特征 点进行连续的poincar映射，完成对所研究区域的全局分析。由于其算法相对简 单，计算速度快，现已被成功应用于研究一些光滑非线性动力系统。本节将简要 介绍胞映射方法的基本思想以及几个非线性动力学中的相关概念 66,67。 2.2.1 吸引子和吸引域 任一非自治系统(， ,)，可写为维自治系统的 形式 ( , ) t=xf x? n trr + x(1)n+ 1 ( , ) n r s = = xf xx? (2.1) 对于系统(2.1)，若相空间中闭集a满足：以a中的点为初始条件的相轨迹仍在a 内，且以对a的某个邻域u中的任一点为初始条件的相轨迹经过足够长时间后充 分趋近a，则称集合a为吸引集。一般情况下，吸引集并非具有吸引性的最基本 而不可分解的集合。不能进一步分解的吸引集成为吸引子。在系统演化过程中， 吸引子上的任意点逐渐趋近该吸引子上的其他点。吸引子最常见的例子是渐进稳 定的平衡点。 吸引集是局部的概念，在实际问题中，常需要确定吸引范围。全局吸引性可 以保证吸引范围为整个相空间，但在许多情况下，仅需要研究特定扰动范围内未 扰运动的吸引性。 为此， 引入吸引域的概念。 若相空间 n r 中点使得当时， 从出发的相轨迹趋于吸引集 0 xt + 0 xa，则点的全体成为吸引集0 xa的吸引域，也称吸 引盆。即吸引域是相轨迹从中出发可渐进趋近于该吸引集的点集。根据微分方程 解对初值的连续依赖性，可以证明吸引集的吸引域是非空开集。根据给定初值的 微分方程解的唯一性，可以证明不同吸引集的吸引域不相交。 借助李雅普诺夫函数，可以估计甚至在一定条件下确定吸引域。对于低维系 统，也可以用数值方法确定吸引域。 2.2.2 胞映射基本思想 如图2.1矩形区域所示。 将 2 1212 , ,a ab br =离散为个小矩形， 依次记为，称作第个胞， 1nnn=2 nkk1,2,k =?。此外，将以外的区域 2 r 定义为 陷胞，记作。 0 - 8 - 硕士学位论文 n j 图 2.1 胞的定义 如果系统在时刻的状态mt( )mtix，引入离散状态变量来表征这一 事件。图2.1中自出发的相轨线在 ( )z mi= ( )mtxi1mt+时刻落入，则将该事 件记作。由此可定义两种映射 1()mt+xj (1)z mj+= 1 def 1()( ( )( )( , ) ,1,2, m m t mmm t tttt dt m + +=+= xp xxf x? (2.2) 和 ( ), 1,2,jp ii=? (2.3) 图 2.2 典型的胞映射 前者是由相空间中点到点， 故称作点映射。 后一映射是由第i胞到第 胞的，故称作胞映射。当胞的尺寸非常小时，可以想象胞映射与点映射很接近。 但两者有所不同。例如，由图2.2可见，式(2.3)并不意味着 ( )mtx1(mt+x)j 121n 0i 1b 2b 1a2a o 1x 2x x2 o i ()ip j k1k+ 1j+ x1 - 9 - 非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究 (), 1,2,iii =p? (2.4) 采用胞映射的主要目的是仅对胞中有代表性的点做点映射，然后用胞映射分 析其后继动力学行为，即映射序列的行为。 2.2.3 简单胞映射法 由于式(2.4)不能普遍成立， 在胞映射中必须引入一些假设方可完成后继映射， 构造映射序列。简单胞映射引入的两个基本假设是： a. 胞的尺寸足够小，从而以胞i中的特征点代表i中的全部点，即认为 ( )(), 1,2,ijp iji= = =?p (2.5) b. 一旦某个胞的特征点被映入陷胞0，则不再关心其后继行为，即约定对 任意的 ，有 i 0( )0()ip i= = p 且(0)0p= (2.6) 基于这样假设的方法自然很粗糙， 但它体现了hsu的最初思想。 根据规则(2.5) 和(2.6)，可以对中的胞进行如下分类： a. 周期胞：若有正整数使得 k ()( ( )( k z mkpz mz m+=) + (2.7) 则称胞构成一周期胞集。当时，它是一个胞集，当1,mmmk+ ?k1k是 poincar截面上的区域时，周期胞集是周期k不动点的近似。因此，称周期 胞集上的离散变量为周期运动，记作 kk k(1), (2),?, ( )zzz k或z。 b. 平衡胞：它是周期胞在1k=时的特例。当任意时，它是平衡点的近似。 此外由式(2.6)知，陷胞也是平衡胞。 mt 0 c. 吸引域：若有某一整数关系1ik 使 ( ( )( ) r pz jz i= (2.8) 则称胞j与周期运动kz相隔步。与周期运动rkz相距不超过步的胞集称作 其步吸引域，记作 r r( )ra z。周期运动kz的吸引域定义为胞集( )r r u a z + = 。 由于被离散为有限多个胞，在简单胞映射下，中所有胞的映射序列（即 长期动力学行为）可分类为： a. 陷胞的吸引域； 0 b. 某一周期运动kz； c. 周期运动kz的吸引域。 当然，周期运动可能有多个，相应的吸引域也有多个。 总结上述分析的结果，可列出简单胞映射的主要算法流程：先用数值积分方 法对中个胞的特征点作一次点映射，用二元整数组记录其映射关系 n ( ), 1,2,jp iin=? (2.9) - 10 - 硕士学位论文 然后对依次检查映射序列，其结果不外乎两 类： 1,2,i =?n 2 ( )( )ip ip i? a. 存在整数使，即0r ( )0 r h i=i是陷胞0的吸引域，结束检查； b. 存在整数使，即0r ( )( ) k rr hih i + =i是周期k运动的吸引域，结束检查。 文献68给出了实现简单胞映射的具体算法。 2.2.4 插值胞映射法 为了兼顾计算精度和效率，tongue等 58从插值角度对简单胞映射进行了改 造， 学者根据插值思想提出的一种改进方法如下。 称中第 行第ij列胞为胞， 将其特征点的一次点映射记作 ( , )i j 0 ij x 0 def 100 1 0 ()( , ) , 1,2, 1,2, t ijijij t dtinjn=+= xp xxf x?2? ? (2.10) 为了分析映射点的后继演化序列，采用与相邻的三个 胞特征点的首次点映射建立对进行点映射的线性逼近，即插值映射。 1 ij x 231 , mm ijijijij + xxxx? m ij x m ij x 具体计算时， 不妨设落入了由 m ij x 00 (1) , rsr s+ xx和三个胞特征点组成的三角 形中，并且与的距离最小。用它们的点映射 0 (1)rs+ x 0 rs x 11 (1) , rsr s+ xx和构造的下一 次近似映射 1 (1)rs+ x m ij x 10 ()() mm rsrsrsrs + =+xp xxdp x0x (2.11) 其中 1111 1 (1)(1)00 212 () , rsrsr srsm rsijrs + = xxxxx dp xxxx xxx = (2.12) 这一插值方案可以适应发生很大畸变的恶劣情况。 ()ip 值得注意的是，使用插值胞映射时，能否正确判定不动点是一关键。首先， 不动点的判据要随胞尺寸作调整。过粗会导致虚假不动点，过细会导致虚假的无 周期点。其次，映射次数要根据系统阻尼的大小而定，对小阻尼系统需多次迭代 使瞬态运动衰减到足够程度。 2.2.5 分形维数 由于很多非线性系统的吸引域具有比较复杂的分形边界，下面将介绍一下分 形维数的概念。 - 11 - 非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究 在线性代数中，空间的维数是指张成该空间所需独立向量的数目。例如：点 的维数为0，直线的维数为1，平面的维数为2，等等。但这种维数概念难以描述 数学研究中某些似点又似线的几何结构，如著名的康托(g.cantor)集合。取1单位 长度线段，等分为3段，截去中段，得到2个长度为1/3的线段；再将这两个长 度为1/3的线段等分为3段，截去中段，得到4个长度为1/9的线段；如图2.3所 示。如此进行下去，得到个长度为32n n 的线段，令所得到的集合称为康托 集合。康托集合是无穷多但又无穷稀疏的点集，其维数介于0和1之间，上述维 数概念不再适用。理论分析和数值计算都表明存在非常规的几何形体，其维数不 是整数。 n 一般地，对于维几何体，若一个空间方向上几何尺寸增加倍，则体积增 加倍。因而可将维数定义为 dk d mk= ln ln m d k = (2.13) 0 0 0 01 1 1 1 1/3 1/32/3 2/3 1/92/97/98/9 图 2.3 康托集合示意图 按以上定义的维数不再局限于整数。这种维数为非整数的几何体称为分形。 进一步考察分形这类几何形体时，在不同的层次上，亦即在愈来愈小的范围 内，可发现同等程度的不规则性和复杂性。因此，这类几何形体的局部形态可与 整体形态类似，即在不同的放大级别上，几何形体的形态是相似的。几何形体的 这种性质，称为自相似性。具有自相似性的集合体维数往往也不是整数。 2.3 胞映射法在非光滑动力系统中的应用 典型的非光滑系统有向量场分段光滑系统和约束微分系统两大类。向量场分 段光滑系统是指向量场由分段光滑的函数描述的系统。这类系统的流一般是连续 的，但运动轨线会出现跳跃或尖峰。约束微分系统是指带有刚性约束的微分动力 系统，该系统的流在相空间中由于约束面的分割而不连续。本节将分别研究胞映 - 12 - 硕士学位论文 射方法在这两类非光滑系统中的应用。 2.3.1 刚性约束动力系统胞映射计算方法 对于有刚性约束的系统，设系统(2.14)在( , )0h x=处有一刚性约束 1 ( , ) n r s = = xf xx? (2.14) 由于刚性约束的存在，使得系统的轨线在与刚性约束面接触时不连续，相轨线会 发生跳跃，用近似积分其相轨线时在此处会出现中断，所以光滑动力系统的胞映 射方法不能直接应用到有刚性约束的系统之上。下面我们借助一些辅助手段，使 胞映射方法能够适用于有刚性约束的动力系统。 在进行积分计算刚性约束动力系统相轨迹时，我们考虑到，当轨线到达约束 面时，根据刚性碰撞假定，系统碰撞前后状态关系应满足转换式：。 其中 vv + = 为恢复系数， 、分别表示碰撞前后振子的速度。由于数值积分为近 似积分，计算所得到的轨线与约束面的距离一般不会恰好为零，而是在未碰或超 过约束面时就使用了状态关系转换式。 因为非光滑动力系统对初值的敏感性很强， 所以对计算精度要求很高。虽然我们可以通过将积分步长缩小的方法来达到要求 的精度，但若精度要求过高，步长取得太小，计算量会很大。我们考虑在轨线未 越过约束面时使用大步长，假设轨线在t时刻越过约束面，便将其拉回到碰撞的 前一时刻，重新积分，并同时将步长缩短至所要求精度。然后当轨线即将再 次穿过约束面时，对其使用碰撞转换关系式，再继续积分至t时刻，恢复为大步 长，并以此时刻的坐标值作为后续积分运算的初始值。这样既可以保证精度， 又能提高效率（图2.4） 。 vv+ h th h 在计算不动点时，我们使用点映射的方法求系统(2.14)的不动点。即先将区间 粗分为比较少的胞，以每个胞的中心点为初始点进行积分计算。经过一定周期 运动后，它如果稳定为poincar截面上的有限个点，记录下这些有限点，并取距 离原点最近的点为该不动点的表征点（对于周期n运动在poincar截面上有n个 点，表征点是其中的一个） ，即可得不动点的周期（有限点的个数）和坐标。求得 各初始点对应的不动点后，将不动点进行比较，可得到该区域内的所有不动点与 周期。使用这种方法的好处在于，即使在处理坐标十分接近的多吸引子，或者由 于分析区域选择不当而导致一个或更多的不动点 “跑”到分析域之外时，仍可以 得到比较理想的结果。 - 13 - 非光滑动力系统胞映射计算方法和粘滞运动研究 ,x v+ ( )x t ()x th+ ()x th , xv v x 刚性约束面 图 2.4 刚性约束动力系统拉回积分图 大、小点分别表示大步长和小步长积分点，实心和空心点分别表示碰撞前与碰撞后的点 求得不动点及表征点后，再将区间细分，计算每个胞中心点经过一次点映 射后在poincar截面上的映射点。如果映射后的点仍在所研究的区域内，则计 算映射后的点所属的胞，进而建立起胞与胞之间的映射关系：。然后对 依次检查映射序列在有限迭代次数内， 收敛于其中一个不动点的表征点所在的胞，即 ( )c kl= 1,2,l=n。若 2 ( )( )lc lclr ( ) r c ll是对应不动点的收敛域。 继续计算下一个胞，直到所有胞计算完毕。最后经过对映射序列结果的分析就可 得到吸引域的范围。 2.3.2 弹性约束动力系统胞映射计算方法 上节中考虑的刚性约束微分模型实质上是向量场分段光滑模型的特例。由此 我们也可以将胞映射法推广到分段光滑模型中来。设系统(2.14)在( , )0h x=处有 一弹性约束，即系统的向量场关于x是分段光滑的，此时在碰撞与非碰撞阶段之 间，相空间的流虽然连续但还是非光滑的，用近似积分计算相轨线时在该处仍会 出现突变，所以我们还是使用拉回积分的办法提高精度。不过值得注意的是，使 用小步长穿过切换面后，就得立刻对另一段的向量场积分。其它过程与刚性约束 非光滑动力系统胞映射计算方法基本相同。 2.4 刚性约束模型算例 如图2.5，考虑一单自由度碰振系统 cosxxft+=? (2.15) - 14 - 硕士学位论文 当位移条件满足 * ( )x t= (2.16) cosft x k m 图 2.5 单由度碰振系统 时，发生碰撞。我们称由该方程确定的平面为系统碰撞面。假定碰撞是瞬间完 成的，只有速度分量发生变化，其中vx + =?与vx =?分