（计算数学专业论文）发展型stokes方程变网格各向异性元分析及poisson方程五参数元高精度分析.pdf

摘要 本文的主要内容是讨论发展型s t o k e s 方程变网格各向异性非协调有限元分析和p o i s s o n 方程非协调有限元的超逼近性质和整体超收敛性质。 对发展型s t o k e s 方程，由于边界层或区域的拐角处需考虑物质的各向异性特征。此 时对空间区域q 的剖分不再满足正则性或拟一致性，而需用各向异性网格剖分，才能更 贴切地描述其真实情形常用c r o u z e i x r a v i a r t 元和旋转q 4 元由于不能满足备向异性 插值特征丽失去效用雨其它许多单元或是不满足各向异性插值特征或是尚不能直接应 用于s t o k e s 方程变网格有限元经本文证明由韩厚德教授提出的五节点单元很好地解决 了这一矛盾，这些结论以前是没有人作过的另一方面利用五节点单元的特殊性质，并 应用变网格有限元技术，我们在第三章研究了发展型s t o k e s 方程的备向异性误差估计。 通过s t o k e s 投影技术导出了全离散五节点单元近似解的l 2 模和能量模误差估计。 对于d i r i c h l e t 边界p o i s s o n 方程，本文第四章运用五参数非协调矩形元的的特殊构 造方法和性质，并利用新的误差估计技巧，直接给出了该类单元的超逼近性质和整体超 收敛性质。该方法比w i l s o n 非协调元超逼近性质的研究方法简单得多。 关键词：发展型s t o k e s 方程；备向异性有限元；变网格；超逼近；整体超收敛 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h em a i nc o n t e n t sa r et h ea n i s o t r o p i cn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e - m e r i tm e t h o d sw i t h m o v i n gg r i df o rn o n s t a t i o n a r y s t o k e sp r o b l e ma n dt h eh i g ha c c u r a c y a n a l y s i so fn o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rp o i s s o ne q u a t i o n s f o rn o n s t a t i o n a r ys t o k e sp r o b l e m 。m a t e r i a l s a n i s o t r o p i c 馥a r a c t e rs h o u l db ec o n s i d - e r e di na b o u n d a r yl a y e ro r n e a rt h ea n g u l a ro ft h ed o m a i nq a tt h i st i m e t h es u b d i v i s i o n t or e g i o nqi sn o to fr e g u l a r i t yo rq u a s i - u n i f o r ma n ds h o u l db ea n i s o t r o p i cg r i d w h i c h c a nd e s c r i b l et h ef a c t se x a c t l y c r o u z e i x - r a v i a r te l e m e n ta n d r o t a r yq 4e l e m e n ta r ef a i l e d i na n i s o t r o p i c 蟛蠢a n d m a n y o t h e r se i t h e rc a n ts 瞧s f yt h ea n i s o t r o p i cp r o p e r t yo rc a n t b eu s e dt ot h em o v i n g 炳df i n i t ee l e m e n tm e t h o d i t sp r o v e dt h a tf i v en o d a l se l e m e n t p r e s e n t e db yp r o f e s s o rh o u d eh a nc a no v e r c o m et h i ss h o r t c o m i n g 。i nt h et h i r dc h a p - t e r ，b yu s i n gt h ef i v en o d a l se l e m e n t 8s p e c i a lp r o p e r t ya n dc o m b i n i n gt h em o v i n g 鲥d t e c h n i q u e s ，n o n s t a t i o n a r ys t o k e sp r o b l e ma r es t u d i e d ，a tt h es a m et i m e , b yu s i n gt h e s t o k e sp r o j e c t i o n t h ee r r o re s t i m a t e so f 工2 一n o r ma n de n e r g yn o r mo ft h ef i v en o d a l s a n i s o t r o p i ce l e m e n ta p p r o x i m a t es h c e m ea r eg i v e n i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，f o rt h ep o i s s o ne q u a t i o n sw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m ，b yu s i n gt h es p e c i a lp r o p e r t yo ft h ef i v ep a r a m e t e r sn o n c o n f o r m i n gr e c t a g u l a re l e - m e n ta n dn e we r r o re s t i m a t es k i l l s ，t h es u p e r c l o s ea n dt h eg l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c eo fi t a r ep r e s e n t e dd i r e c t l y , t h em e t h o d sp r o p o s e dh e r ea r em u c he a s i e rt h a nt h e s eo fw i l s o n n o n c o n f o r m i n g e l e m e n t k e y w o r d s ：s t o k e sp r o b l e m s ； m o v i n g 酾df e m ；a n i s o t r o p i c ； s u p e r c l o s e g l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c e 2 第一章引言 自6 0 年代有限元方法发展以来，该方法已成为解决物理、工程和科学计算的重要工 具。用这种工具求解的问题呈多样性，诸如二阶椭圆问题，四解椭圆问题，抛物问题，双 曲问题，流体中n a v i e r s t o k e s 的问题等等 用有限元求解依赖于时间的偏微分方程问题，通常的做法是：对空间区域采用有限元 方法，而对时间轴采用差分方法。由于实际计算的需要，有时要对不同的时间空间区域 采用不同的有限元网格刚开始的时候，可能由于解的光滑性较差，因而易采用较低阶 的插值函数和较密的网格，过一段时间后，解的光滑性变好，则可采用较高的插值函数 和较粗网格剖分，这就是变网格有限元 目前关于变网格有限元已有部分研究，文献f 1 3 1 1 4 1 中对抛物型方程和发展型s t o k e s 方程进行了研究但他们的研究都是基于研究对象在任何时刻任何区域均为各向同性的。 事实上，对于边界层或某些区域的拐角处，许多研究对象不再具有各向同性，而是呈现 各向异性的。因此对区域的剖分该用向异性剖分网格，这就违背了传统有限元区域剖分 的正则性或拟一致性 对于发展型s t o k e s 方程，由于l b b 条件的限制，用非协调元格式求解速度一压力 型s t o k e s 问题具有构造简单、计算经济和误差阶匹配等优点，而在实际中常被采用。比 较常见的非协调元有c r o u z e i x r a v i a r y 元、，旋转q 4 元1 7 1 等。但这两个单元虽可应 用s t o k e s 问题于变网格有限元，却不具备各向异性插值特征【3 】由宋士仓博士构造的 q 2 一一p 0 【3 】协调元虽具备各向异性插值特征，但不满足本文中重要引理341 ，因而不能 应用s t o k e s 问题于变网格有限元在 3 】中提出对五节点单元进行双参数法f 1 8 离散， 得到四节点单元。但此时这种四节点单元正好是旋转q 4 元，不满足各向异性插值特征。 韩厚德教授4 1 提出了一种五节点矩形元，但仅研究了正则网格下定常s t o k e s 方程的误， 差估计，本文第三章首先验证了该单元具备各向异性特征。进一步以五节点矩形元为基 础，运用变网格思想，研究了发展型s t o k e s 问题的各向异性误差分析。通过s t o k e s 投影 技巧，导出了全离散五节点元近似解的l 2 模和能量模误差估计 为了提高有限元求解效率和精度，目前已产生了如高精度方法8 1 ，多重网格，区域 分解方法等新兴研究方法。由林群院士发起的高精度方法在f 8 1 8 中，利用积分恒等式技 3 巧，给出了许多协讽元的趱逼近性旗租整体超收敛性质。如双线性元，双二次元，双p 次 元， a d i n i 元，双三次h e r m i t 元，应丽予s t o k e s 闯题酌b e r n a d i w r a u g e i 元，一蜀 元，r a v i a r t t h o m a s 元等。到舅翦为止，关于非协调元的高精发分析并不多见，仅有 w i l s o n 元【1 5 j ，g a r y 元1 8 i ，稀有元，蔫于重调和方程的a d i n i 元等少数凡个。分析非 蜘调元的离精度非常困难，究其原因是出它的非协调项引起的，疆兹还没蠢一个缝一的 模式。 1 5 l 中用非常复杂的方法，芾j 用积分恒等式的进一舻推导，得到了w i l s o n 元的超 遥近性质，进一步利曩摇悠后处理箨子，褥到它的整体超收敛性质【6 1 1 1 0 t 11 对乎五参 数单元律了众多分析，它照对【2 0 j 中所提出单元的改进形式，其优点是非协调项与协调 矮能量燕交及提容误差比援毽误憋离一除。徨悫予它懿嚣协调瑗醴不再是二次多矮式， f 8 】和f 1 5 j 中方法已不再遗用。本文第四章分析了五参数菲协调元的高精蕨情况，运用了 它的线蠡，竞e 受了! l 鞋中方法的笈杂性，嚣接绘出了该攀元的超避近性质，运爱1 8 ；中懿 方法构旋插值后处理算予，得到它的整体超收敛憾，丰富了高精度分析酌理论研究。 4 第二章预备知识 2 1有限冤方法中的一些寇理 微分方程求解的有限嚣方法烂将微分方程转化为与其等价的变分形式。设v 必h i l b e r t 嶷褥，x 幸- v 嚣般翡接象盎分颡磁 o ( 嗨* - 3 ) = ( ，口) ，妇v 有限元求解懿方法为t 给定鲢域q 憋个豫1 分矗，般戈墨惫形竣四边形，v k 矗，邋敏为攀冤k 的 赢径，船为k 的最大湖接球解，h 川m a x 。h k 如聚襻在常数c ，使剡分旗五，( 0 0 使 n 0 ，u ) n 0 口i l 移，v z 其中z = t v t b ( ，咖) = 0 ，v 毋m ) ( 2 ) 6 ( - ，) 在v m 上满足l b b 条件，即存在常数p 0 使 黜槲冽kv 眦 则混合变分问题有唯一解( u ，妒) v m 设，螈为v 和m 的有限元逼近空间，若k y 且螈m 则称为协调元空间， 否则称为非协调元空间 6 瓣予貉溅愆，漫会变努黧题赘寓教形裳势 薅乏( u h ，魄) v h 螈，瀵是 la ( u a ，强) 十溉，呶) = 法蝣。魄强 l ( t 瓴，多 ) = = ( 箩，牵b ) ，v 簪& 磊蠡 ( 2 2 。2 ) 蕊零觅矮2 淹藩双线性戮堪屯“- ) 游艇 岱“，) 在致k 灏是滏觏缝，净存在啦 0 捷 嚣( 强，强l 讯v ，v v hg 琵。 ( 醑，) 避该) ( 1 ；舷七潞戆l b b 条僚，群存农声 0 使 蕊鬻猢嘲k 撬媳， 瓣离散格式簟。2 。2 密稳解( t 瓴，呶) v h 童露。势纛毒连续交努澎袭( 2 , 2 1 ) 靛解之 舞错误蓬估计 l | 龆一溉胁l l 母魄| | 掰g 。缓e 硪( 黔一黔+ 1 1 妒一如耐) 糟案聚纛空怒为嚣资清静，繇狐耋k 五甄篓m 楚步寄个不藏藏。穰设对我鞠骧夫 懿爨闺x 张y 使樽x o 砭x 强，y ) m ，y 3 确；鬻对袋寂，潋教擞线豫慧8 “* y - 餍潮x x ，醑，) 可落延掭懿xxy 蹙一般簸，糖陵泛醋( 五) ，积) 毽w 璐避符糯皮 豹懿延耀，延魁蓐建窝限竞密阕上黪双辘性登记敬鲰 ) ，) 等她辩离数辫式为 l ( 锚轴v h ) + 隔，呶) = 辑搬k 渤 嘏。 如鲰；垂砖一，焱k v 颤毳。 2 ，2 ，棼 鏊举定璃3 蠲黎澈缓瞧激8 ，t ) 醵，) 满戆 ( 1 ) 磊( i 在该该淹尾辩黼径，薜毒盔挫0 僚 溉溉，) 8 | | i l 舅，v v a 强， ( 酝“- ) 在垓a 矗上游避l b b 条件，群存程露 0 链 溅掣矧胁，诋瓶 7 计 则离散格式( 2 2 3 ) 有唯一解( 1 i b ，讥) m h 并且与连( 2 2 1 ) 的解之间有误差估 i l u - - u h l l x + 1 1 妒一妒h i i y c 矗舞 “( 1 i u 一 1 1 x + 1 1 妒一日【| y + 饥 + 眈 + l z h + 饥 ) 其中 尬_sup，一ah(u,vh)+bh(vh,妒)-(f,vh)h，尬：sup监噜掣 ” u l i v h l i x k1 1 忆 m 3 h = 绯s u 地p 铲，= 帐s u 地p 世涮掣 注t m 3 h ，m 4 h 般为数值积分所致，如不考虑数值积分则该两项为0 另外有些情况 下，混合元中个是协调的，一个是非协调的，这时尬 与m 矗中有个为0 后面考虑 的s t o k e s 问题就属于这种类型 2 3 各向异性插值定理 设詹是参考元，户是霞上的个维数为i n 的多项式空间称为形函数空间，户是户 的共轭空间，协，赢) 户和 啊，厩) 冬户，是户和，的一对共轭基，满足 疵渤) = 岛1 i ，j m 称 聩，成) 为单元自由度 设_ ：日( 霞) p 是有限元插值算子，满足 疵( _ o ) = 疵( o ) ，i = 1 m v o h 。( 詹) 显然 且 勘= 疵( o ) 癜 t = 1 j 0 = 0 怕p 8 ( 2 3 1 ) 设a = ( d - ，0 f z ，a 。) 是一多重指标，则d n 户也是霞上多项式空间，设维数 d i m d 。p 寻r ， 。r ；l 是d a 户的一组基，则 d 。( j o ) = 厩 ) d 。a = b ( o ) 白 i = 1 5 = 1 显然白是 d 印i ) 的线性组合而b 是 瓤( o ) ) 坠。的线性组合设 6 j ( o ) = g 厩( o ) i = 1 则由( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 可得 b ( o ) = q 旭 ) = c 瓤( 南) = b ( j o ) i = l i = 1 引理2 1 【1 】 存在常数g ( 霞) ，使得啪w l + 1 巾( 詹) ，1 m 1 + 1 ，有 d ；、归+ 玑舻，它g ( 霞) i oh ，p ，j 声毋( 石) 州 。 ”t 。一p 这里角( 霞) 是膏上次数不超过f 的多项式空间 定理2 2 【3 】 在上述表达下，如果( o ) 能表示成 6 j ( o ) = 乃( d 。o ) ，1 j r 其中乃( 驴( 膏) ) ，1 j r ，1 s 同时局( 詹) cd 。p ，l s 一1 则j g ( 詹) 满足： | i d 。 一i e ) i i t ，膏g ( 霞) i d 8 砬i l + l ，膏，0 t 1 + 1 ，h i n l + i + 1 ( 詹) 9 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ， 第三章s t o k e s 问题变网格各向异性非协调有限元 53 1五节点单元的构造及各向异性特征 设k = 一1 ，1 ；一1 ，1 是参考元，顶点坐标为( 一1 ，一1 ) ，( 1 ，一1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 一1 ，1 ) ，依次 记为矗，南，五，也记f l = 丽，f 2 = 丽，f 3 ：蕊，f 4 ：丽在参考元詹上定义有限元 ( k ，p ，) 如下 宝= 0 1 ，0 2 ，0 3 ，仉，伲) 户= s p a n 1 ，7 7 ，妒( ) ，妒( 叼) ) 共甲妒【纠2i 【6 扩一3 t - ) 引理3 1 1 4 1 h 1 ( 霞) ，唯一存在n ：h 1 ( 立) _ p 使 佤1 l 托f i 。d 2 击石。d ，i - = 1 , 2 , 3 , 4 面1l ，露f i 。必却= 高厶。d 蛳 证高正淌，待1 1 2 ，s ，4 傀= 高厶赋咖 并且 血。= 伲+ ；( 晚一讥) + ；( 。s 一。) 叩+ ；( 赴+ 砒一2 魄) l p 任) + ；( 。+ 。一2 。) 妒( 叩) 引理3 1 2 n 是具有各向异性的插值算子，即对二重指标a = ( a l ，劬) ，：1 ，有 j i 西8 一n 。) l l o 膏g i d 8 。1 1 1 其中c 与h ，笼无关，以下均同，不同的地方可以不同 证明t 对于a = ( 1 ，0 ) 枷。= 等= ；( 仍呐) + ；池+ 9 4 - 2 咖k ) 由于r = d i m d 。p = 2 显然 1 ，妒( ) ) 为d a p 的一组基从而记 d 叮玢= 岛+ 屁妒( ) 其中卢l = 5 ( 0 2 一0 4 ) ，尼= ( 0 2 - - 0 4 2 0 5 ) 展= 妄( o z 一。4 ) = ；( 五。( 1 ，7 ) 咖一 = 2 k f j 8 ； 阮= ；( 。+ 讥一2 。s ) = ；( 厶。( 1 ，叩) 咖+ = 去厶e 赛必咖 2 i 厶砸8 f 咖 五。( _ 1 ，叩) 咖) 厶。( - 1 ，叩) 咖一2 f k 。( e ，叩) d 咖) 乃，j = 1 ，2 作为h 1 ( 霞) 上的算子，令v 西h 1 ( 詹) f l ( t 白) = 去厶西必咖 岛( 西) = 去厶而西d 叩 显然乃( 日1 ( 霞) ) ，j = 1 ，2 同理可证，当。= ( o ，1 ) 时，也有类似结果由基本定 理3 可知1 i 具有各向异性特征 对于剖分族 ，v k ，记k 的中心点为( 。b ，弧) ，z ，y 方向的边长分别为2 h 。，2 h ， 取：露_ k 定义为 津：嚣 3 2定常s t o k e s 问题各向异性误差估计 首先考虑定常s t o k e s 问题t 求u , p 满足 i nq i nn o ba q 1 1 ( 3 2 1 ) 唧 ， 暑 其中为“= l ，2 ) 流滤p 为压力， 0 为粘性系数，一( ，如) 是已知外力密 发受| | ( 3 怠，1 ) 翡等赞交分形式搀； 求( 砧，p ) vxm 满足 | 8 口) + b ( v ，p ) 一( 五) ， 矿 l 6 ( 牡，q ) = 0 ，v q m ( 3 2 。2 ) 其中v = ( 硪( ) 2 ，m ； g 驴( q ) ，n qd x d y = o ) 8 ( 链，口) 一是v v u v v d x d y ，b ( v ，q ) = j 鑫gd i v vd x d y ，v u ，k g m f ( v ) = 尼如d z d y v v k 壶麓螽，交努嚣鬈( 3 2 ，2 ) 淡是泼下条终t ( 1 ) n ( ，- ) 在v v 止满足强制性，即 a ( v ，口) p 川i 口咖v ( 2 ) b “) 在v m 上满足l b b 条件【2 】，邵 s 。u v pb ( m v , q ) * - 声i i 训。，n 定义 e h = 翰l 弼辩海露速酌乎垮遭跨过草褥连续，藏 o = l 拦。f k p ，暇 ) k = e h 玩，螈一 q h l q h l k 为常数) 显然，空间v h 是非协调的， 靠是协调的 在礁上定义t n = ( j ) 搿矗 孽i 疆3 2 i 潮 | h 为v h 上的范数 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 2 ) 在k ，m h 上的离散形试为； 枣0 疆，瓠) 该m h ，瀵是 la h ( u h ，v h ) + b h ( v a ，p h ) = ( f ，) ， v v h y h 1 酝0 瓴，甄) ；0 ， v q u 鑫龟( 3 2 5 ) 其中a h ( “h ，) = k u v u a v v h d x d y ，v u l , ，v h n 0 b l , ( v l , ，奶2 菇& 弼d i v v h 斑d y ，铷h 秭m h m ) = 善& ，d x d y ，讹h y h t o h 嚣然，a h ( ，) 拳v h v h 上潢迳捺裁缝，事实上 a h ( 口 ，v h ) p i 1 2 v v x ( 3 2 6 ) k 令为v 在有限元空问y h 诱导_ 出的摇俊函数 雩l 魏3 2 2 n 对播值算自糯有 l 口一n 矗口k a 吣辩协磷( q ) 。 ( 3 2 7 ) l n h v c i v l l _ 。n 注t 上萼l 理锋对髓函数，对予向量函数一撵或建。君嚣戆一些缨沦的试嗳是楚爨形式。 引理3 2 3k 螈上的双线性型h ( ，) 满足l b b 条件，即存在芦 0 使 溉訾矧幽，螈- 涵2 固 证明；对于插值算子i i ，有 事实上 b h ( n h v ，效) = 酝0 ，毂) ，v t 矿 b h ( 一跏，蝴2 荟厶虮d i ( w 一脚) d g d y j r 2荟q,kdi口(口一即)d。dytfe j 5 善魏五鬣p 娟a 。) 融 耳 。 1 3 ( 3 2 。9 ) ， 注惹到( 一h h v ) 行只涉及到某个积分量在边上的平均僵，由循值函数在边上的平均值 相等，正反方向各一次，以及外边界函数值和平均值都为0 得 h 0 一n 删，q h ) = 0 从而( 3 2 9 ) 成立 利用( 3 2 9 ) 和连续条件( 3 2 4 ) 成立，有 吣s u p h 掣s 洲u p 嚆 s 洲u p 粼 专s v 酱e 掣 l y i 口】y = 口i 咖j ” 即( 3 2 8 ) 得证 由( 3 2 6 ) 和( 3 2 8 ) ，利用混合元理论知识，离散问题( 3 2 5 ) 有唯一解( ，肌) v h 蚴。，并且与变边分翘题( 3 2 2 ) 的解( 珏，力v m 之间有如下估计 u u h ”p p l m d 眯i n h fj 钍一般i p - q h m + 眯s u p 丛丛篙v hh 捌) ( 3 2 1 0 )if 、 。 若( u ，p ) ( h 2 ( q ) ) 2 h 1 ( q ) ，贝4 对于逼近误差有 。i 哦i 珏一u h l ns l u - - r i h u l h - ( 3 2 11 ) 利用插值算子n 对一次多项式精确成立，并具有各向异性特征( 引理3 1 2 ) 州i2 磊厶【( 等掣) 2 + ( 等产) 2 】蚍 = 盖k 似2 ( 亟与芋) 2 + 妒( 笺粤) 2 】鹰却 = 毛( 急l 学时c 等f 笺产瞌童) 1 4 g 轰( 急缸它+ 巧h = 研o 吐2 它) c 最 笔厶( ( 静+ ( 簇) 2 ) 蚴+ 等厶( ( 等) 2 + ( 簇) 2 ) 酬 = c 毛瓦h y k l ，姒4 瓦0 2 u i ) 2 。2 。2l 石0 ；2 巧u j 2 ) ( k ) 一1 如句 + 等厶碍( 雾) 2 + 磋 ：( 器) 2 ) ( 岫) - l d x d y g 毛吲爰聃川h 2 , 啪o 扩1 2 ，t + 利2 丽0 h 2 h 钏2 1 俨o u 扩1 2 ，t 】 代入( 3 2 1 1 ) 得 蠢酿卜j 一l u - - n h = l h c h u j ：，o 对 口 i n 地f i p q h m i p p o p m 其中p o p k = - 专f kp d x d y 在变换f k 下对应参考元上的插值为： 劫= i 1 屉倒咖 由于这这种插值对0 次多项式精确成立，有 l p 一肋j 乞= 磊厶( p 一蜀p ) 2 如幻 磊k 札厶( p 一硒) 2 蟛却 k 忪一嵇幢露 k e j c 也也剧1 詹 k e g 磊蛐v 厶毋+ ( 翻蚴 = c 最k h 厶啤( 塞) 2 + 九；( 舅) 2 ( k 一1 出由 1 5 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) k n 州幔 2 2 h g g 一 0 是粘性系数，u = ( u - ，让：) 是流速，p 是压力，= ( ，1 ，2 ) 是给定外力 令 y = ( 硪( q ) ) 2 ，m = l ：( q ) = 口工2 ( q ) i 上g 出= o ) 。( u ，u ) = v 上v “v 如= ( v t ，v ”) 2 1 一 一 = ( ，- ) 表示铲( q ) 或2 ( 啊) 2 中的内积刚( 3 3 i ) 的速度一压力裂变分形式为 妻( 珏簿v m ，t ( o ，司挺得 ( 警，移) + 嚣，”一匦如封) _ 辑”) ， ( 口，d i t j 曲= 0 ， | 珏| 考= 8 = 铲， 不熔设q 为鼹多舞澎区壤，裁分浚 磊 h 楚q 羔酶矮形妻l 努，可以不潢是菠粼性条 件空阅v 和m 的逼近空间分别为魄和慨，双线性型口( ，) 的通避形式，j i 的 跫义形式舞3 , 2 节器取记弘l l 。表示q 上醵舻摸，拶箨蛩上懿模滋淹努，对予 “： 0 ，t j ”炉( q ) ，( m 为非负整数，1 p 。o ) ，令 露 | 洳| | 驴( 拦唧= 主 p 国# 轰珊 捌超题f 3 3 ，2 ) 懿离毂形式势 求( ，p h ) h u h ，使得 ( 警，”) 十a h ( 珏h ， ) 一( 鳓，d i v h ) z ( 口) ， 帆1 瞻 ，d i v v ) = o ，v 蟓 f 担o = 瓤2 ， 妇q ( 3 3 ，3 ) 这里谁是铲的个适灞逼近 瑗在靛磐，3 3 ) 添魏入变随槎恿怒，建立交戆格五节煮裔限元橙蕊蹿时离鞋嚣闲1 0 ，靼 分成n 段，0 一t o t l 0 使得 州。 s 删s u p ，鲑蛾 ( 3 3 4 ) 对于在每一时刻t n = 0 ，l ，2 一，川，记k ；0 ( 盘，如) i 钞y ) ，螈= q 岛) | 垡岂 掰) 。邃撵选取( 碡，鸯翡避叛解空阗s z ：薄簿一器雩亥l ，在盔霜区域上定义懿上秘霄 棼 3 破m q 铷妊 限元空间谐和懈，s 空间上的函数u h ( 。，t ) 以+ 1 个有限元插值函数u h ( 石，t n ) 噌 隽1 葶熹国= 0 ，l ，2 ，) 黪带点篷，在对阕鬻添如 t 冬十l 癌，驴( g ，棼敬 为t 的线性函数，通过线性连接相邻两节点铲( 茹，k ) 和札“( 。，t 。+ 1 ) 而得到z 空间上的 丞数( g ，t ) 类供予( 茹，吉) 懿嶷义。 在这种情形下，用下两的变网格五节点矩形非协调元格式求出近似解就“( z ，砖鞠矿( 卫，t ) 豹各节慧藩穰一毋( 霸铀，蘸一矿( 茹，氛) 溆= 1 ，2 购 罐一缱，# ) 一o ，魄堙， ( 砬3 一“o ，口) = 0 ，v v ， ( 落+ l 一端，# ) + 8 ( 稚+ l ，v ) a t , 一蜮+ 1 ，赢该苛) 知 一( ，n + l ，w )坳v 盘l ( g ，d i v h 碡+ 1 ) = = om h + l ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 其孛矗= f ( x ，) 。 由( 3 3 5 ) 式不难看如，当第n 层与第孙+ 1 层限觉空间相同时( 即曙= 哦，) 有 键= 堍( 3 3 鼙式可毽_ 解为t 当两堪网格或插谯函数不桶同时，对初值( 群前一潲的l 2 投影修改格式，( 3 3 7 ) 式则可理解为通常的矩形差分格式邋过( 3 3 5 ) 式由钍：求破 ，再逶过3 3 7 ) 式由姥求珏乳l ，每一步解一个( 正怠矩阵) 线性方程组，近似解显然 存在唯一 83 4 非定常s t o k e s 问题变网格各廉异性聂节点骞限元误差估计 出( 3 3 。5 ) 、( 3 3 。7 ) 嚣式算褥翡近缎勰u u ( x ，1 ) 与翼解e ( x ；幻的误蓑是妥爨纛部分缝， 成t 有限元插值误差，对时间轴t 的差分误差以及网格( 包括播值函数) 的变动误差 首先证翳下述引理 引璎3 4 1 v 咖k ，有f i v d o f k 涯骧； l 魄瞧= 莓五溉) 2 玉砖 莓厶( 讥) 2 k 武咖 莓加v h 2 5 + ( ；( “。一饥t ) ) 2 2 + ( 和1 s 一酬2 ，7 2 + ( ；( 。 2 + 。 4 2 。舾) ) 2 妒2 ( ) + ( 1 ( 0 h 3 + 。h z - 2 讥5 ) ) z 妒。( q ) l h 。鹰d 7 7 2 事k h 闻礁+ 讧1 一。ka o h d 2 厶2 d 咖+ 、l k lj ，f j 9 咖0 h d d , 2 厶叩2 蟛咖 + 面1i ，j 9 必。h 。d 扩厶妒2 ( 。嘶咖+ ( 高厶叩筹必咖) 2 厶妒2 ( 7 7 ) 蜓酬( 3 a 而l 詹j 堍= i 詹i ( 高厶。一武咖) 2 厶味蝤咖= 慨| j ：，宜 由p o i n c a r e 不等式 5 饥旧霞c i o 置宜+ ( z 它讥凼) 2 】 = 绷讥艮- t - ( 如d ) 2 】 = g j 钆置它+ 4 ( o l + 锄2 一。船一“4 ) 2 = g 嘲矿4 ( 厶( 篑一筹酬2 c ：宜 = g 厶 ( 繁) 2 + ( 酉0 9 h ) 2 d d y ( 3 4 i 由( 3 4 1 ) 一( 3 4 3 ) 得 引理得证 叫忆g ；厶【( 簧) 2 + ( 鬻) 2 】蚴 =g p 厶 ( 警) 2 蟛2 + ( 哿) “。2 h 也) _ 1 蛐 c h 2 v h l ： g f 2 对于差分误差，有如下引理 ， 引理3 4 2 记u 。= u ( z ，t n ) ，p 。= p ( z ，如) ，v 口嘛l 则下述关系式成立 ( 让n + 1 一“n ， ) + o ( u 。+ 1 ， ) 一( p 。+ 1 ，d i v h v ) a t 。= ( 厶+ 1 ，v ) z x t 。+ e 。( 口) ( 3 4 5 ) 其中i 晶( 刮g ( f ”1l i 苦幅出) + ( j j 裳惦d t ) + ( ，| j o h 2 d t ( 叱 + c h t n m ( 3 4 6 ) 证明：由( 3 3 1 ) 式可得，v v 咯1 有 ( 象， ) + ( u ，口) ( p ，d i v h v ) = ( ， ) + r ，p ，u ) ( 3 4 7 ) 其中n ( u ，p u ) 2 丢k ( y 器一p + n ) ”d s ，且由( 3 2 2 s ) ，( 3 2 3 2 ) 可得 r h ( u ，p ，u ) i c h l v l h 其中用到( 3 3 1 ) 解的正则性川2 ，n - 4 - 吲1 n c l l f l l o 由( 3 4 7 ) 两边对t 。t t 。+ 1 积分得 ( 3 4 8 ) ( u 州飞，卅州，u 帅) 一( ，珧渤删 = ( 地+ f t l “+ 1 r h ( u , p ，v ) 出 ( 3 4 9 ) 比较( 3 4 9 ) 与( 3 4 5 ) 可得 玩( 。) = ( ( ”1 ( ，一厶+ z ) 出，”) + ( ”1 ( p - p = + i ) d r , d i v h v ) 嘞( ，u - - u n + 1 ) 如) + ，晰p 川砒 ( 3 4 1 0 ) 利用s c h w a r z 不等式及引理( 3 4 1 ) 易知 ( e “( ，- “) 如) i 蚓，嘲护_ ( 叱 2 5 l ；e w 国一鲰+ t ) 蕊，蘸冁# ) l 秽( z ”1l l 塞l 套- ( a t n i ”t a牮# 讯 o | 锨e “( u - u o + ：) 鼬) | 。r 国弦懒1 i 。 l r 酾刺) d t l c h 馘侧1 a 。 撼上麓足武筏人( 3 童l 鬻霉3 毒+ 稀，爵l 麓箨谣 下藤零l 滋懿v m 静s t o k e s 投影( 臻熵碣赫g 噌艇妻，蕊一0 1 2 。) 镄患魏下 l 觏( 铭一魏珏，# ) 嵇一嚣谨，d i v v y ) ；p h ( u ，p ，备) ，锄琶堙 1 溉d i v h ( u 一瓿缸) ) = 0 ，v q 矗蹬。 潜令p = - t ，a u + 肇，粼耪辩臻毪蕊国堙靛妻濑蕊魏下祷羧阕簇 la h e 魂掣) 一f 弱旗d i v a v ；( ，+ ，管) ，v v 毫谨 乳蘸鲰蔼；祜) = 0 嘞囊棼 ( 3 ，莲王王) ( 3 4 。1 2 ) 鄹撬毽稿西堙搿，蔻池痨v xm 翡一能黻蠢逶谶。 滋在掰露对璃披爵来俄诗融一螺黏| | 壮* ( 点& 如一糯锃) 2 幽妇) 。令饼，p l 为下 n n 瑟努程辩解 卜驴船手勖，一铭一鼢，识q d i v w 一毽 l 住q 。 i 础一0 ， o n 勰 瓣除一遐嚣| | 瓠一冬- r u ，嚣一魄嚣) 一隆鼹蕾蛙l y a w + v r , l 隐k 一( 珏一臻；，一掣剞) + ( 嚣一嚣r 嚣，) 。溉融一酗妨叫聂互巧妇一酬挚鞋0 k ” ” 一是f o k p - ( 珏一飘让) f f d s + 聂厶p 1 蜘一鲰u ) d 茹咖 一a h ( u 一盈甜，w 一玩甜) + a h ( u 一编钟，羁钾) 一p 聂厶罄一繇砖警幽一点厶撬墨一磁罄) 勰 + 厶搬d i v ( u p h u ) d x d y 敞矗一 = a h ( u 一鼠珏，w 一 ) + 一r p ，d i v h p w ) 十r a ( u ，p ，吼州) 一扩聂点x 江一酬筹施一磊厶魏肇一磁妨+ 蟊蠡 + ，娥d i v ( u p u ) d x d y 斌矗一 = a h ( u r n w j 伽) + 娼治一脚，冠n 鲫) 十f h ( u ，p ，j k ) 一线溆罄一磊锯) 一逐溉，链一甄嚣) + 嚣溉，珏一磁嚣) 其孛 羁溆嘲一。量& 军d i v v a d x d y 鞫鬣冁磙 联九 一 注意列p o d 一峨t ) ， = 1 ，2 ，3 ，4 在单澈边界上的连续性，从璇擞似予( 3 。2 。2 8 ) ，( 3 2 3 2 ) 骢涯臻方法有 陬洳，龆一魏珏) c h j u 一懿赳阳研b | 舄( 热，珏一置n 铭) l e 毳| 龆一嚣。珏| 矗l 尹l l l 基 令趣一姜骚套t 如魏。 羹溆扩嚣h 卜盖厶蹦移知一哟姗 2 点太溆一魏藤蛰每一魄) 斑鼯 l l 0 f l l o 。l 札一让 l ，k k j k = l 叠l 一口t t o , 靠( ，k ) 1 珏一缸 i 1 。k 胤 s 乏二g 瀛；，露p b 岛) | 珏一毯& | ，嚣 = 磊g ( 厶 ( 箦) 2 + ( 釉酬m 州址i 呲i ，耳 = 磊g ( 厶 ( 碧耀2 + ( 嚣m 。h 也p 蛐声( h x h u ) l u - - u h h c h | p i l l ，k | 珏一搬| l ，k k e 九 c h l p l l l 。n i 珏一珏 k 。 嚣l 一薅蕊冀浏) | = | 每一磁热d i v h p 址w ) | = 1 0 一r 舻，d i v h ( w r 训) l = t 0 一r n p ) d i v ( w r 。w ) d x d y i = i ( p r , , p ) t l o ，k t w 一臻叫l l ，k = i 侈一p 4 , p l l o , 府( 。h 。) ；i 叫一编叫i z ，彤 k e 矗 s 9 1 纠l 。膏( 危。h f ) 训一j k 卸1 1 ，耳 k e = 聂。( 厶k 篓) 2 + ( 荔) 2 】渤) 硝| 一瓿韶k 茁 = 磊g ( 厶爱耋) 2 麓+ ( 赛) 2 骘】蛐以如鳓嘞l 材一恁铝k 耳 c h 如l l ，耳i 叫一j k 刨l l ，耳 k e 矗 g 九陋1 1 ，1 w r 。叫i a h ( u 一嚣n 珏，i d 一显。蹬) l 珏一冀。娃| 矗| 馨一墨；镏 c h ：m 2 , q l 留1 2 及瑟 i i u 一冗n 钍| 1 0 ，h g i 钍一只，j se 舻( i u k n + i p i l ，n ) 定瑾3 2 。4 4 谈( 钍，鸯，( 取珏，蜀两分裂涛s t o k e s 蘑题交分形式( 3 。2 2 ) 辩s t o k e s 授影 ( 3 4 1 1 ) ( 3 4 1 2 ) 的解，若( u ，p ) ( h 2 ( n ) ) 2 日1 ( q ) ，则无论矩形剖分是否满足雁则条 佟。罄蠢 i i 珏j k 钍i i o ，h g 舻( 1 训。，n + l p l , ，n ) 由定理( 3 2 4 ) 和( 3 2 铲) 有下面估计式 i 一1 l i “一r 。u 】j o + i 乱一冗。钍1 c h uj 2 ，n l p 一轴| o c h l p l l p 其中c 是全文中均表示与h ，警饕无关懿常数 令 e 0 20 l e n = h 一磁， 氏= 设一取+ l ， s 。= 砖一胁。， p 0 2 0 p n = 就n r n 弘 ，扎= 1 ，2 ， 氏= a n 一墨+ 1 u n ，孙= 0 ，1 2 ， = p n 一懿孙，珏= 1 ，2 引理3 4 3v o 1 有下面估计式 其中 ( 3 4 1 3 ) ( 3 4 1 4 ) ( 1 一“) i | e 。+ 1 1 1 3 一l | e 。j 1 3 + ( 1 一a ) 。 ( e 。+ l ，e 。+ 1 ) k s 洳磊一p , , i i i - - 9 , ( 3 点1 5 ) 如i 曼g e ( 1 |