（计算数学专业论文）一类两点边值问题系数的反演计算.pdf

摘要 本文主要运用拼接定理、b a n a c h 定理和p i c a r d 迭代的压缩映 射性质，讨论两点边值问题的系数反演问题的数值方法我们首先 用p i c a r d 迭代思想构造出两点边值问题的一个迭代算子，证明此 算子是压缩的；然后运用拼接定理和b a n a c h 定理，将原反问题的 优化条件d r ( y ，歹) 转化为d r ( y ，t y ) 的优化问题；最后进行数值计算 在文中我们将详细介绍拼接定理，在基本算法的基础上推导出 适用于上述反问题的新算法并且，利用分片逼近的思想对算法进 行改进最后，给出一些数值例子 关键词：拼接定理反问题b a n a c h 定理压缩映射分片 浙江人学硕一 j 学位论文 a b s t r a c t i nt h ep a p e rw eu s ec o l l a g et h e o r e m ，b a n a c ht h e o r e ma n dp i c a r d c o n t r a c t i o nm a pt os o l v eo n ek i n do fi n v e r s ep r o b l e m s - - i n v e r s e t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f i r s t ，w e c o n s t r u c tap i c a r d i t e r a t eo p e r a t o ro ft w o b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dp r o v et h a tt h e o p e r a t o ri sc o n t r a c t i v e t h e n ，w ec a nr e p l a c et h eo p t i m a lc o n d i t i o n d r ( y ，歹) w i t ht h ec o n d i t o nd r ( y ，砂) b yc o ll a g et h e o r e ma n db a n a c h t h e o r e m f i n a l l y , w ec o m p u t e t h ei n v e r s ep r o b l e m s i nt h ep a p e rw ew i l li n t r o d u c et h ec o l l a g et h e o r e mi nd e t a i l w e d e d u c ean e wa l g o r i t h mw h i c ha d mi t sa b o v ei n v e r s ep r o b l e mf r o m t h eb a s e d a l g o r i t h m a n d w e i m p r o v e t h e a l g o r i t h m w i t ht h e f r a c t a l b a s e d a p p r o x i m a t i o nm e t h o d s f i n a l l y , s e v e r a le x a m p l e sa r e c o n s i d e r e d k e y w o r d ：c o l l a g et h e o r e m ；i n v e r s ep r o b l e m s ；b a n a c ht h e o r e m ； c o n t r a c t i o nm a p s ；f r a c t a l b a s e d h 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝姿盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：谐瞄钛签字日期：支呷年月& 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝姿盘堂 有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝姿盘堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 稀粥扰 签字嗍岬年多月姗 翩躲红吨厶 签字日期：函彳年f 月c i 口日签字日期：洲年f 月吱口日 浙江人学倾i 二学位论文 第一章介绍 1 1 反问题的背景和意义 反问题( i v p ) 的研究起源于数理方程，因此也称为数理方程反问题或者数学物 理中的反问题虽然起源于数理方程，但是反问题的应用领域却极为广泛主要有 地球物理科学、生命科学、金融工程、材料化学、地质与环境科学、信息与控制 等领域反问题与人类生产、生活密切相关，是从各个领域、各个学科的实际需求 中提出的，因此反问题的研究是一门交叉性学科作为数学中新兴的一门学科，反 问题的研究具有十分广阔而实际的前景 从数学的角度，微分方程反问题可以分为以下四类： ( i ) 待定微分方程中的未知参数的反问题，即算子识别问题这是指待定微分算子参 数或者方程中右端项这类反问题这类反问题在实际中最常见 ( i i ) 待定初始条件的反问题，即逆时间过程问题 ( i i i ) 待定未知边界条件的反问题，即边界控制问题 ( i v ) 待定边界形状的反问题，即几何反问题 1 2 系数反演问题 本文研究的系数反演问题，属于上述提到的第( i ) 问题具体问题如下：我们考虑 如下的两点边值问题( b v p ) 鲁( x ) ：( 训( x ) ，宰( x ) ) ，爿 石 0 ，有西( 多，y ) 0 ，寻 找t c o n ( y ) ，使得巩( 矽，y ) 艿这个具有重大的意义因为前一个极小化目标函 数4 ( 少，力不可操作( 歹未知) ，而西( 弘砂) 具有很好的可操作性，在下面的算法推导 中可以清楚的看到这一点 浙江人学硕+ i ：学位论文 i i ) 若巩( t y ，y ) s ，不一定有以( 少，y ) 0 e c ( z ) ( c 1 ( ，) ) 上定义无 浙江人学硕i j 学位论文 穷范数： 记i ： 定义二范数： 以( z f ，v ) = s u p l 一vi + fu 一vi ) ，v “，v c 1 ( ，) x e l c 1 ( ，) = 甜c 1 ( 驯。m ) ， d = ( x ，甜，z f ) ixe ，。m ) ， 吐( 州) = ( r ( 1 “一v - - v i ) 2 d x ) 1 1 2v u , ve e 1 ( 班 假定厂满足： i ) 厂在。上有界：( 砌m ，。a x i f(x，材，)f历了m)ed丽， ( j ，“ i d + i l d ( 7 ) ( 8 ) i i ) 厂在d 上满足l i p s c h i t z 条件：对于d 中的( x ，甜，z ，) 和( x ，v ，v ) ，存在实数 k 1 ，k 2 0 ，使得： i f ( x ，甜，甜) - f ( x ，v ，。) i klz f v i + kl 甜一v i 0 0 ) 由上述的假定，我们可知形如( 5 ) 的映射丁：e 1 ( j ) he 1 ( ，) 因为对于甜c i ( ，) ，我们 有： t u1 2 lr ( x j ) 邢，甜( j ) ，面d u ( s ) ) d s 亲冬i x x - - s i d s 万( 万+ 1 ) m铲 = 一一 万( 万+ 1 ) 2 m 记i - i ( i ) 为形如( 5 ) 式且满足上述i ) ，i i ) 条件的p i c a r d 映射的集合 定理3 对任意p i c a r d 映射t l - i ( ) ，当万足够小，丁在无穷范数( 6 ) 和二范数( 9 ) 的意 义下为压缩映射 i i e n ：x 寸于v u ，e 1 ( ，) ，由定义我们有： t u ( x ) = r ( 工一s ) 邢，“( s ) ，五d u ( s ) ) 丞， 浙江人学硕l ：学位论文 撇) = r ( h 吣) ，罢溉 警= 胁州吐五d u 溉 警= 胁，吣) ，忑d v 于是： 以( 砌，n ) = s u p it u ( x ) 一z v ( x ) l + l _ d t u ( x ) 一望军! ( x ) i ) j e l a x c 2粤(x一5)(邝，刚)一，)dsj)(邢，刚)一f(s,v,vt-x t x ) ) 弧 ) 掣r ( i x s | + 1 ) i 们，删。) 一f ( s , v , v ) ld s s ，u 。p ， 上( 万+ 1 ) ( k l u-v i + k 2l 吖一vi ) a s = s 州u p ( 6 + 嶙m v 防+ k z r i - - v 防】) ( 万+ 1 ) k 万s u p ih vl + i 甜一vi ) j e = 5 ( 8 + o k a 。( u ，1 ，) 其中k = m a x ( k l ，k z ) 当万足够小，有勺= 6 ( 6 + 1 ) k 0 ，存在，。门阳映射五1 3 ( i ) ，使得在l l 有以( 甜，巧z f ) 0 ，使 得，l = 【a ，a + 4 1 ，由w e i e r s t r a s s 逼近定理可知，存在一个多项式p ( x ，甜，甜) ，使得 在厶有办( 厂，尸) 0 足够小，使得 c ，= 4 ( 4 + 1 ) 砗 1 _ 4 2 2 4 ( k p 的定义如定理3 中的k ) 由定理3 ，映射五( 由 p ( x ，u ，甜) 定义，相应的u o = “：= o ) 在e ( ) 是压缩映射( 在无穷范数的意义下) ，压 缩系数为c j 记( x ) 为其不动点由定理5 ，在上我们有： 丸( 。f ，正m ) 以( z f ，甜1 ) + 吨( “。，五“) = 以( 甜，甜1 ) + 以( 石甜l ，互“) ( 1 + q ) 丸( ”，) 2 比( 甜，u 1 ) 再2 列孚圳如( ) 】 证毕 注5 ：i ) 由定理6 可以看出，当区间长度足够小的时候，我们可以用由多项式定义的 压缩映射逼近原来的压缩映射换句话说，如果我们研究的反问题中f ( x ，甜，甜。) 类 型不是多项式，也可以用多项式p ( x ，z ，u 。) 进行逼近所以下面算法中我们用多项 式逼近是可行的还有，可以再次看到，区间长度是一个很重要的因素，不但关系到 定义的映射是否是压缩映射，而且也是算法改进的一个方向 i i ) 另外一个影响压缩系数的是k p ，与尸( 石，甜，”) 的系数和次数有关次数越高，一般 砗会越大另一方面，又要求如( ，p ) s ，为了提高精度，自然要求尸( x ，u ，u ) 的次 浙江人学硕l ：学位论文 数提高所以，这就有了算法改进的另一个思路，用分段的多项式e ( x ，甜，b l ) 逼近 f ( x ，甜，u ) 第三章算法 这一章主要给出算法实现我们从初值问题出发，推导出基本算法之后针对我 们所要研究的反问题，给出实际算法 3 1 基本算法 在区间【彳，例上，我们考虑下面初值问题： 箬叫x ，1 1 7 1 1 ) = 一p ( x ) u q ( x ) u ，a x 0 ，吕( x ) = 甜( x ) x - u ( a ) a 。一f p 一甜( 5 ) d s 2 ) 限制边界条件，即u 一，u j 给定 这个只要稍作修改就可以了把( 1 4 ) 式的方程组的前两个方程去掉( 因为，u j 给定) ，再把余下的方程中关于钆，甜j 的项移到右端项就可以 3 2 实际算法 考虑我们所研究的边值问题： d 万2 u ：，t 4 ( x ，甜，“。) = ir ”扰l 出2 。“矿7 = 一p ( x ) u q ( x ) u ，a x b q “( 彳) + a 2 - 妾( a ) ：口 u 岛甜( b ) + 6 2 d - u ( b ) ： 姒 1 ) 限制边界条件，即口l ，a 2 ，岛，b z o t ，给定 用下面两个式子近似( 1 6 ) ，0 7 ) 式 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 浙江人学硕j j 学位论文 整理，可得： q t u ( a ) + a 2 _ d t u ( 彳) ：口， d x 岛7 k ( b ) + 也d _ t u ( 召) ： “x a i d a + a 2 甜一= 口， ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 18 ) n n b l u 月+ ( b l s + b 2 ) u ：4 一( 6 lg j ( b ) + 包蜀( b ) ) p l 一( 6 1 ( b ) + 吃曩( b ) ) q ，= ( 1 9 ) t = o1 = 0 用上两式( 1 8 ) ，( 1 9 ) 代替( 1 4 ) 式方程组的前两个方程，就可以得到我们所要的算法 注7 这种情况是这类反问题的典型情况，也是比较难处理的情况因为给出的边 界条件的好坏，对数值结果有很大的影响 2 ) 自由边界条件，即q ，a 2 ，口中有一个未知，岛，6 2 ，办然 那么先按照基本算法中自由边界条件的情况j 得到u a g a 。，b ，q ，的值再按照 ( 1 6 ) ，( 1 7 ) 式算出相应的未知参数的值 第四章算法改进 算法改进的思想，在第二、三章中基本都提到了这一章给出具体的实现主要 有三种改进的方法 4 1 提高复杂度 这是一种最自然、最直接的方法，提高p ( x ) ，q ( x ) 的复杂度，即增大值由注5 之i i ) 的分析可知，提高p ( x ) ，q ( x ) 的复杂度，会使相应的压缩系数增大这无疑会降 低结果的精度所以就有了下面的两种比较好的改进方法 4 2 分片逼近 将区间【彳，明分成 等分，汜而= 彳，五，乇巾矗= b 为节点h = ( b - a ) n 为小 区间长度记= 【，k 。】，在上，令 p ( x ) = ， k = o ( 2 0 ) 浙江人学硕l ：学位论文 ( 2 1 ) 这里可以要求p ( x ) ，q ( x ) 在整个区间上保持连续，也可以允许在节点l h j 断斗目应 的砌( x ) 表达式为： i ) x i o ， 脚) = u a - i - u j x 一( 一) ( 舌nm “+ i i ) x ，1 i y l - - 1 ， p ( x j ) ( n 办s 甜( s ) + o k = o + ( 一) ( 荟n ”+ 相应的掣的表达式为： 印渡 i ) x ，j = o 1 一i 一1 ， i i ) x ， i i i ) x ，j = i + 1 ，卅一1 ， 同理，垡兰盟的表达式为： 0 q i k i ) x l ，j = o 1 一1 ， _ a r _ u ( 一x ) ：o ； o p 渡 掣一肛咖甜凼； o t u ( x )一r ( x s ) s 甜( s ) a s 1 4 ( 2 2 ) ( 2 3 ) x g 脚 l i 、i ， x ，j g 凼 ” 甜妒 叶 g 脚 凼 ”o 甜 妒 g 脚 h 脚 r - l x d 甜+ 爿 = 、， x j 砌 1 j 凼 ” 甜妒 g 脚 浙江人学硕l ：! 学位论文 i i ) x l | ， i i i ) x ij ，j - - - i + 1 ，n 一1 ， o r _ u ( 一x ) ：o ； g q l k 百o t u ( x ) = 一r ( h ) j 甜( s ) 办； 百o r u ( x ) = 一弘州”( s ) 凼 有了上面的准备工作，联立下面的方程： 筹= 胁垆砌h 一掣肛。； 丝o u a = 胁小死) ( 一掣肛。； 丝0 p , k = 胁矿删十掣胁o ，o 姚川，0 川； 篆= 拗矿删( - 掣肛o ，o 姚，0 o ) ，并非所求需要运用( 2 4 ) ，( 2 5 ) 式，将其用 叱，“j ，鲰，q 砖，o j i - 1 表示，以便统一求解 注8 这个算法与4 2 的算法相比较，有优点也有缺点优点就是如果在整个区间 【a ，例上，映射厂不是压缩的；那么经过分段处理之后，只要小区间的长度足够的小， 这套算法还是起作, n n ( t 在小区问上压缩) n - - , , n 是这一整套算法的精髓所 在缺点就是对于拼接距离2 来说，这个算法是局部极小化( 先极小化：，在这个基 础上极d , ga ；依次类推) ，而不像4 2 的算法是全局的 第五章数值例子 浙江人学烦 j 学位论文 这一章我们给出一些数值例子，包括上面的各种算法最后还会考虑有扰动的 情况 例1 先给出一个自由边界的例子目标函数甜( x ) = 矿+ x 2 ，区间为【o ，1 】( t i s ) 考虑 下面的初值问题： z f 。= - p ( x ) u - q ( x ) u ，甜( 0 ) = 口，“( o ) = 取n = 0 ，得到结果：p ( x ) = - 1 5 5 3 3 ，g ( x ) = 0 2 6 5 1 ，口= 0 9 6 8 9 ，= 1 3 5 2 9 而拼接 距离a 2 = 1 11 9 6 x 1 0 ，实际的误差e r r o r = 0 0 0 1 9 如图5 1 ： 图5 1 其中，”代表u ( x ) ，一代表u ( x ) ，下同 例2 考虑限制边界条件的情况目标函数u ( x ) = x e 。，考虑边值问题： u = 一p ( x ) u q ( x ) u ，4 u ( 0 ) 一1 , ( 0 ) = - 1 ，2 u ( 1 ) - u ( 1 ) = 0 取n = 0 ，l ，2 ，3 ，可得到相应的结果如表5 1 所示 浙江人学硕l ：学位论文 表5 1 次数( n ) 2 e r r o r n = 0 1 4 2 3 9 x 1 0 1 07 9 1 0 。 n = 1 5 6 5 7 1 0 1 1 2 7 x 1 0 2 n = 2 4 9 4 0 x 1 0 一1 2 3 1 0 2 n = 3 5 1 9 1 1 0 11 1 8 x 1 0 2 对应的解如下( 图5 2 一图5 5 ) n = o ，”爿= 1 1 0 3 5 x1 0 5 ，甜j = 1 ，p ( x ) = - 1 9 9 9 4 ，g ( x ) = 0 9 9 8 2 ； n = 1 ，甜爿= 一1 7 3 4 5 x 1 0 “，u a = l ，p ( x ) = - 1 9 9 9 9 + 0 4 9 6 7 x ，g ( x ) = 0 5 0 2 8 0 4 9 6 3 x = 2 ，u 爿= 一1 3 8 6 8 x 1 0 巧，u j = 1 ，p ( x ) = - 1 9 9 9 8 + 0 4 5 8 7 x 一0 0 0 1 4 x 2 ， g ( 功= 0 5 3 9 9 0 4 5 5 0 x + 0 x 2 ，o n = 3 ，u _ = 一1 5 8 3 8 x 1 0 ，”j = 1 ，p ( 工) = 一1 9 9 9 9 + 0 9 1 8 9 x 一1 3 0 2 3 x 2 + o 6 5 9 4 x 3 ， g ( x ) = 0 0 8 0 5 + 0 3 8 4 4 x + 0 6 4 1l x 2 0 6 5 8 7 x 3 图5 2 1 8 浙i r 人学硕l ：学位论文 图5 3 图5 4 1 9 浙江人学硕l j 学位论文 图5 5 从这个例子可以看出，正如我们在前文中指出的一样，提高复杂度( 算法4 1 ) ，不见 得一定有效 例3 我们考虑如下问题：目标函数u ( x ) = e “+ p “，边值f 口t n ： 甜= - p ( x ) u q ( x ) u ，”( 0 ) + ”( 0 ) = 5 ，u 0 ) + “( 1 ) = 5 e 4 这个例子采用算法4 2 进行计算( 见图5 6 一图5 8 ) 当疗= 1 时，a 2 = 1 3 3 9 8 x 1 0 一，p 舢，= 3 6 4 6 5 7 6 x 1 0 2 ， p ( x ) = 一3 0 0 0 3 ，g ( x ) = 一3 9 9 8 6 ； 当力= 2 时，a 2 = 2 0 9 6 7 x 1 0 一，阳，= 9 0 9 2 3 8 x 1 0 1 ， ，、i - 3 0 0 4 0 ，0 _ c o ，、f - 3 9 8 8 8 ，0 x o 5 p ( x ) 2 1 3 0 0 5 9 ，o 5 x 1 ，g ( x ) 21 3 9 7 6 7 ，0 5 x 1 ； 当玎= 4 时，2 = 5 8 3 0 7 x 1 0 - 7 ，p 舢，= 1 0 8 3 x 1 0 ， f 一3 2 7 7 3 ，0 x 1 4f 一3 3 9 7 4 ，0 x l 4 、l 一3 1 6 8 6 ，l 4 x 1 2，、i 一3 4 2 3 3 ，1 4 x 1 2 p ( x ) 2 1 3 0 5 9 1 , 1 2 x 3 4 q ( x ) 2 1 3 7 7 4 2 , 1 2 x 3 4 + 【- 3 0 3 1 4 ，3 4 x 1【一3 8 7 6 0 ，3 4 x 1 2 0 浙江人学硕 ：学位论文 图5 6 图5 7 2 1 浙江人学硕j j 学位论文 图5 8 例4 下面的例子采用算法4 3 进行计算可以看出，效果不错目标函数 甜( z ) = s i n ( n x ) ，边值问题如下： z ，。= 一p ( x ) u 一q ( x ) u ，2 u ( 0 ) + u ( 0 ) = 3 ，“( 1 ) 一u ( 1 ) = 4 结果如下( 见图5 9 图5 11 ) 当刀= 1 时，a 2 = 1 9 7 x 1 0 - 2 , p 肿厂= 1 3 6 x 1 0 ， p ( x ) = - 7 0 4 6 x 1 0 1 ，q ( x ) = 1 2 2 1 9 8 x 1 0 1 ； 当刀= 2 时，a 2 = 4 9 10 7 1 0 - 4 ，p 舢，= 1 3 x 1 0 - 3 ， m ，= 心93 3 伽7 x 1 0 ，。- 1 5 0 x ，0 5 x ) = 1 4 篡麓三：黑n 5 ； 当，z = 4 时，a 2 = 4 9 4 3 9 x 1 0 ，p 舢，= 1 2 4 7 0 x 1 0 - 4 ， f - 1 0 0 5 9 ，0 x i 4f 1 7 6 8 9 5 x 1 0 1 ，0 x 1 4 m 唯- 3 舢8 0 2 1 2 9 川, 1 2 4 x 3 1 2 如) = 1 5 笼糍冀黔 【一5 4 1 6 8 ，3 4 x li 一2 7 1 4 7 8 x 1 0 i , 3 4 z 1 2 2 浙江人学硕i ：学位论义 图5 9 图5 1 0 2 3 - 浙江人学坝l ：学位论义 图5 1 l 例5 下面给出有扰动的情况同例4 取n = 0 ，采用算法4 3 结果如表5 2 表 5 5 ( s = 5 的情况见图5 1 2 图5 1 4 ) ： 表5 2 s = 0 5 2 e r r o f 刀= 1 1 9 8 x 1 0 21 3 7 1 0 。2 刀= 2 4 9 0 4 2 1 0 一41 4 1 0 一3 ，2 = 4 5 0 6 7 1 1 0 59 6 1 8 4 x 1 0 5 表5 3 s = 1 2 e r r o r ，? = 1 1 9 7 1 0 21 3 7 1 0 2 刀= 2 4 9 9 3 2 x 1 0 - 41 0 1 0 。3 刀= 4 7 5 0 0 8 1 0 58 2 4 11 l o 一5 2 4 浙江人学烦i j 学位论文 表5 4 g = 2 2 e r r o r v = l 1 9 6 x 1 0 21 3 6 x 1 0 2 刀= 2 6 0 3 5 0 x10 41 1 x 1 0 3 刀= 4 1 0 9 4 1 x 1 0 。42 5 6 3 4 x 1 0 4 表5 5 s = 5 2 e r r o r ，2 = l 2 1 7 1 0 21 5 2 1 0 2 刀= 2 1 1 1 0 - j 3 3 x 1 0 3 刀= 4 5 5 4 1 2 1 0 49 1 8 8 3 1 0 一 图5 1 2 ( e = 5 ， = 1 ) 2 5 浙江人学硕i j 学位论文 图5 1 3 ( s = 5 ，l = 2 ) 图5 1 4 ( e = 5 ，刀= 4 ) 2 6 浙江人学硕l j 学位论义 例6 另一个扰动的例子同例3 取n = 0 ，采用算法4 2 ：结果如表5 6 表5 7 ( e = 0 0 5 的情况见图5 1 5 5 1 7 ) ： 表5 6 s = 2 2 e r r o r 刀= 1 1 4 7 0 1 0 14 1 3 4 1 0 一 刀= 2 6 8 7 1 0 22 8 8 9 x 1 0 1 刀= 4 1 4 2 6 2 1 0 0 2 5 6 3 4 1 0 1 表5 7 占= 5 2 e f r o r 刀= l 3 2 9 9 1 0 16 8 8 2 l o 一1 刀= 2 2 9 3 3 1 0 17 6 9 4 1 0 1 刀= 4 1 4 9 0 5 l o o5 3 3 6 1 0 1 图5 1 5 ( e = 5 ，刀= 1 ) 2 7 - 浙江人学颐l 。学位论文 图5 1 6 ( o c = 5 ，刀= 2 ) 图5 1 7 ( e = 5 ，疗= 4 ) 2 8 浙江大学硕j j 学位论文 第六章总结 总的来说，拼接定理为我们解决反问题提供了一个比较严谨的框架它与压缩 映射的知识相结合，将反问题转化成一个比较容易求解的问题这一点是拼接定理 最主要的作用另外，由后面的两个例子( 例5 和例6 ) 可以看出，基于拼接定理的这 套算法是稳定的，在有扰动的情况下，还是有比较好的效果 当然，这套理论也有一定的缺点首先，不能很好的控制实际误差这个跟压缩 系数有关系，因为压缩系数不能被先验估计这个问题也导致在处理实际问题中， 不能先验判断算法是否成立其次，算法中的系数矩阵是满的( 没有非零元素) 这个 在求解大规模问题时，是一件处理起来比较困难的事情最后，这个算法比较依赖 于所给的边界条件如果给出的边界条件比较差的话，效果不是很理想 浙江大学硕i 二学位论文 致谢 首先真诚的感谢程晓良老师! 本文是在程老师的悉心指导下完成两年来j 我 在程老师的指导下，学习、成长，收获不少不但在学习上丌阔了眼界，而且在思想上 生活上，也明白了很多道理特别是讨论班上的学习交流，更是受益匪浅在即将毕 业之际，祝程老师工作顺利，生活美满! 感谢师兄师姐、师弟师妹! 我们就像一个大家庭，和睦相处，互相帮助他们让 我感觉到集体的温暖，在学习上也给予我无私的帮助祝愿他们学业有成! 最后，感谢我的