（电磁场与微波技术专业论文）介质材料介电参数开口波导测量方法研究.pdf

摘要 在微波电路的设计与制造过程中，预先掌握相关介质材料的复介电常数是保 证电路具有良好性能的前提。传统的测量复介电常数方法通常会对待测材料造成 损坏，本文主要研究复介电常数的无损测量方法一开口波导法：将介质材料外贴 于波导探头的终端开口处，通过测量反射系数，即可计算得到介质材料的复介电 常数。 基于开口波导终端辐射导纳的变分表达式，应用波导理论和边界条件，推导 出波导开口处的场分布，进而得到终端导纳与反射系数、终端导纳与复介电常数 之间的函数关系式；由该函数关系式出发，应用高斯勒让德积分原理，黄金分割 法和二次插值法等优化技术实现了反演算法，并结合实测反射系数，逆推得到复 介电常数，从而构建出开口波导法完整的数学模型。利用a n s o 衄f s s 对模型进行 仿真，仿真结果与理论值较好的吻合初步验证了模型的正确性与开口波导法的可 行性。同时通过改变工作频率、材料厚度、介电常数、损耗角正切以及法兰大小 全面分析各种因素的影响，讨论了开口波导法的适用范围。结果表明：本文所采 用的开口波导测量算法对于一般损耗，大介电常数介质材料有着较好的精度。以 此为依据，对某些材料迸行了实际测量，试验结果表明：开口波导法设备简单， 具有实时测量以及无损检测的优点。 关键词：无损检测，开口波导法，复介电常数 a b s t r a c t am i c r o w a v en o n d e s t m c t i v ed e t e c t i o na n de v a l u a t i o n ( n d e ) t e c h n i q u eu s e dt o m e a s u r ec o m p l e xp e m l i t t i v i t yo fi s o t r o p i cm a t e r i a l sh a sb e e nd e v e l o p e di nt h i sp a p e rb y e m p l o y i n gan a l l g e d0 p e n e n d e dr e c t a j l g u l a rw a v e g u i d ep r o b eo v c ra 行e q u e n c yf a n g e o f8 1 2 g h z b a s e do naf o u r i e rt r a n s f o mb o u n d a r y m a t c h i n gt e d m i q u ea n dw a v e g u i d et h e o r y ， t 、) l ，oc o u p l e di n t e 伊a le q u a t i o n sf o ft h ea p e r t u r ee l e c t r i cf i e l dw h i c hi sc o u p l e dw i t ha s t a t i o n a r yf b 皿o ft h et e m i n a t i n ga p e r t u r ea d l n i t t a n c eo ft h ew a v e g u i d ea r ef o 衄u l a t e d ， a n dt h e n ，t h em o d e ld e s c r i b i n gt h ee q u a t i o nb e t w e e nt h et e m i n a t i n ga d m i t t a n c ew h i c h c 柚b em e a s u r e d 锄dt h ea p e n u r ee - f i e l dw h i c hc o n t a i n st h ei n f b 姗a t i o no fp e 衄i t t i v i t y i sc o n s t n j c t e db a s e do nt 1 1 ev a r i a t i o ne x p f e s s i o nf o rt h et e m i n a t i n ga p e r t u r ca d i i l i t t a i l c e t h eu n k n o w np e m i t t i v i t yw i l lb ed e r i v e di nt h ei n v e r s ep r o b l e mu s i n go p t i m i z i n g a 1 9 0 r i t l l i n c o n s i d e r i n gt h e i n n u e n c eo fd i 跣r e n tf a c t o r ss u c ha s 仃e q u e n c y ，c o m p l e x p e n n i t t i v i t ya 1 1 dt h i c k n e s so ft h em a t e r i a l s ，as e r i e sm o d e l sh a v eb e e ns t i m u l a t e di n a n s o 蝴f s s ，t h es t i m u l a t i n gr e s u l t sc e n i f i c a t et h ev a l i d i t yo ft h em o d e l s f u n h e 珊o r e ， t l l er e s u l t sh a v ea l s 0b e e nc o m p a r e dw i t hs o m ee x p e r i m e n t s ；g o o da 孕e e m e n tw i t he a c h o t h e rp r 0 v e dt h a tt h em e t h o do f0 p e n e n d e dw a v e g u i d em e a s u r e m e n t sh a ss u 伍c i e n t a c c u r a c ya i l di ta l s oa b l et ob ea p p l i e di nn o n d e s t m c t i v eo n t h e - w o r k s i t et e s t i n g 1 【e yw o r d s ：n o n d e s 劬c t i v ed e t e c t i o na n de v a l u a t i o n ( n d e ) ，o p e n - e n d e dw a v e g u i d e ， c o m p l e xp e m i t t i v i t y i i 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即；研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：监 驴0 年j 月以日 f 指导教师签名 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：。装 州年”p 日 f 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 ，介质材料电磁参数的测量在国防、工业、农业以及材料学和生物医学等领域 均发挥着重要的作用，其中尤其是在国防领域。无论是对于微波通信还是其他应 用领域都需要精确知道相关介质材料的电磁特性，如应用于微波集成电路基片、 微带天线基片以及天线罩的各种介质材料；应用于谐振器、隔离器、环形器、滤 波器的各种介质材料，总之，介质材料的电磁性能直接影响到这些器件的性能、 指标，因此预先掌握介质材料的电磁参数至关重要。介质材料电磁参数主要包括 复介电常数和复磁导率，对于未知材料的电磁参数只能通过测量手段获得，本文 主要讨论复介电常数的测量方法。 1 1 复介电常数定义【l l 一种给定的均匀材料，为了在电磁方面应用，一般的描述方法是用复介电常 数张量和复磁导率张量表示。当材料为各向同性时，可用简单的复数表示。而不 用张量。在一个填充均匀各向同性的区域中，麦克斯韦方程可写为， v 。豆一竺 甜 v 。膏竺+ 撕 a l 随时问做简谐振动，则时间因子为e 埘，再带入如下关系式， 有， 式中为复磁导率，s 为介电常数。 把式( 1 3 ) 写成， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) v 膏i ，n ，( s 一，虽) 应- ，s 雪 ( 1 4 ) 西北1 二业大学硕士学位论文第一章绪论 式中定义为复介电常数，即， s 。( 叫罢) 。岛 ，盖卜e 廿。) s ， 式中：称为相对复介电常数的实部，表示储存电能的能力，”称为介质的损耗 因子，表示产生的介质损耗，气- ( 3 6 石1 0 9 ) 一f m 为真空中的介电常数。 实际应用中，常用相对复介电常数f ，表示，即本文所涉及到的复介电常数的 测量均指相对复介电常数，即， 一 ，一气- 一，f 一f ( 1 一t a n 6 ) ( 1 6 ) 式中6 定义为损耗角，t a n 6 定义为损耗角正切，复介电常数实部7 简称为介电常 数。 同理，按照复介电常数的定义方法，涉及到磁导率的符号与定义，也规定为， - ，0 以- ，d ( p 一，p ) ( 1 - 7 ) 盹- 轨1 0 1 7 日辨为真空中的磁导率。本文主要讨论的测试原理和方法，并认为 一。 复介电常数受下列因素的影响：l 与频率的关系，f 在相当小的频谱范围内 不变，在相当宽的频谱范围变化足够缓慢，以至可以认为不变；但在宽到厘米波 段与毫米波段之差，则不能认为不变。f 随频率的变化，从表达式( 1 - 5 ) 看出， 显然与频率有关，其百分比变化永远大于s7 。所以应在所用频率附近测量；2 在 很多情况下f 还随温度有可以察觉的变化，在测量时应尽量保持温度恒定：3 某 些材料的复介电常数还受环境湿度的影响，因此必须尽量保持环境湿度不变。 1 2 复介电常数的测量方法 复介电常数的测量属于间接测量。它以某种函数关系式包含在可直接测量量 内，因此复介电常数的测量原理是建立在传输线理论，特性阻抗和传输常数的基 础之上，并与可直接测量量之间存在着函数关系。复介电常数的测量方法很多， 常见的有：传输线法、谐振腔法和准光法等，这些方法各有特点与适用范围。传 2 西北工业大学硕七学位论文第一章绪论 输线法简便易行，不需要特殊的仪表设备，但当材料的损耗角正切很小时不易准 确测量；谐振腔法当采用高q 腔体时，可测量小损耗的介质材料，但需要对待测 介质样品进行加工处理；准光法主要用在毫米波段。下面对各种方法作简要介绍： ( 1 ) 波导法【l 】：波导法是传输线法的一种， 其实质是网络参数法，即通过介质样品对网络 参数的反应来测定其复介电常数。如图1 1 所 示，将长度为岛的介质样品装入直波导，设波 导传输单一模式h 模，介质填充波导时的特性 阻抗设为z 。，空气填充时，- 1 ，则有， 令， 消去a ，可求出，型 8 。璃 r l 叫子l 图1 1 波导法模型 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 而复介电常数与s 参数的关系为， p 罐倦 m 综上所述通过s 参数的测量，最终求得复介电常数。在实际应用中，波导法常有 终端短路法和终端开路法两种方式。 ( 2 ) 谐振腔法【l l l 将介质样品放入一个 由理想导体构成的空腔谐振器，如图1 2 所 示，其体积为v c ，当腔内充以空气时，其场 为e o 和h o ，谐振频率为f o ，固有品质因数 为q o 。现将体积为v s 的介质引入腔中。腔 内各变量为e 1 、h 1 、n 和q 1 ，根据放入介 质前后其谐振频率和q 值的变化来测量复介电 3 甲二日 图1 _ 2 谐振腔法模型 西北丁业大学硕士学位论文第一章绪论 常数。常用的谐振腔有：1h 。模圆形腔适合于圆盘型介质样品；2e 0 。模圆形 谐振腔适合于杆型样品；3 其它模式，如矩形腔场用于测量小介质样品；4 准光 腔和干涉仪法，主要用于毫米波段的介质测量。对于小介质样品，也可以用微扰 法( 基于谐振腔原理) 测量。 上述的几种经典测量方法随着技术的发展越来越成熟，但需要对待测样品进 行特别加工，对样品造成了破坏，且测量设备复杂，不适合于现场测量。为了满 足对某些材料如加工好的天线罩，高频电路的介质基片等的无损测量，出现了开 口同轴法，开口波导法等无损测薰方法。从本质上说，这两种方法都属于传输线 法，都是利用传输线的传输特性参数和阻抗特性来求解复介电常数，下面作简要 介绍： ( 1 ) 开口同轴澍2 】：其模型如图l - 3 所示， 开口同轴法首先由s s s t u c h l y 提出1 3 】，后该技 术被改进用来测量有限厚度材料，文献【4 】用全 波分析法分析了开口同轴口附近的表面波和径 向导波对测量结果的影响，论述了在4 g h z 以 下该影响可以忽略，故该法在s 波段测量材料 时，仍可采用开口同轴的准静态模型来计算材 料的电磁参数。后又有作者提出了基于时域有 捌 签 图1 - 3 开口同轴法模型 限差分法( 舳) 建模的开口同轴测量技术，该技术同时可适用于高低损耗材料 的测量，而且测试频率不限于4 g i k 以下。对于高损耗介质，由于表面波和径向导 波传播不远，对测量影响不大，对于低损耗介质，运用f d t d 法建模即使不外加 法兰，也能正确计算，因此对法兰没有限制。在实际测量时，所加激励使得同轴 线工作于1 e m 模，考虑到同轴线传感器结构良好，故在开口处仅激励1 m 模，从 而利用有限差分法将计算空间的场分量离散化得到二维圆柱坐标系下的氏 皿1 1 m 法迭代方程。通过与z 轴垂直的截面内的轴向电场和磁场计算出开口处的反 射系数，根据反射系数与复介电常数的函数关系，得到复介电常数。 ( 2 ) 开口波导法【5 l 【6 】：其模型如图1 - 4 所示， 根据波导理论，波导腔内的横向场分量可用赫兹 矢量位分别表示，而波导腔内的赫兹矢量位可用 波导本征函数的级数表示，由此经过处理可得出 由关于横向电场的横向磁场函数，同理由分层介 质中的位函数l7 】可得到波导口外侧关于横向电场 的横向磁场函数的表达式。由波导口切向磁场的 4 蛾 盅 坦 图1 - 4 开口波导法模型 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 边界条件可得到耦合方程，利用矩量法、g a l e 血m 法解出切向电场，再利用切向电 场、反射系数与复介电常数之间的函数关系最终得到复介电常数。 1 3 开口波导法的发展与现状 随着微波通信应用和非通信应用的发展，对介质材料电磁参数的测量技术也 提出了更高的要求。计算机技术和电磁学的发展也有力地推动了介质材料电磁参 数测量技术的迅速发展。介质材料测量技术的发展有以下几个趋势：1 测量的频 率将由低频向高频发展；2 对于不同特性介质材料，都要准确地测量；3 无损测 量；4 自动化、宽频带通过比较分析发现，经典的测量方法如传输线法，谐振 腔法等虽然成熟，但测量设备复杂，且对待测介质造成破坏，无法满足无损测量 和实时测量；丽开口波导法作为无损测量法，由于测量设备简单且对待测介质无 很高要求，在无损测量和现场测量方面能较好地满足要求，从而代表了技术的发 展趋势，本文将对利用开口波导法测量复介电常数作深入研究。 有关开口矩形波导辐射问题的研究早在6 0 年代就已开始。早期的研究侧重等 离子体覆盖的小孔天线问题，如文献【8 j 所述，给出了矩形小孔天线的辐射模型， 讨论了外贴不同介质以及其它因素对模型精度的影响；文献【9 】给出了开口波导的 辐射模型，详细地讨论了开口波导的终端导纳与开口处的场分布，介质材料的厚 度，电磁特性，及工作频率的关系，并初步探讨了：1 法兰的大小对计算终端导 纳的影响；2 低耗甚至无耗材料在计算终端导纳时，表面波的影响，及“奇点”问题 的处理；3 开口波导口径处激励的高次模对结果的影响。这些理论为了后人研究 开口波导法测量复介屯常数提供了依据和理论基础。 7 0 年代以后，这方面的研究开始转向于应用开口矩形波导来测量材料的厚度、 电磁参数及生物组织特性1 1 0 j f l l j 。文献f 1 2 】给出了利用开口波导测量单层有耗介质厚 度的模型，文章中假设：1 波导中仅存在主模t e l 0 模；2 有限大法兰( 介于l 2 倍介质波长) 可以近似为无限大。通过引用g a l c j s 和c 伽1 p t 咖所推导的终端导纳 的变分公式1 1 3 】【1 4 1 ，结合波导理论与边界理论，推导出可直接测量量反射系数与工 作频率、介质样品厚度及介质样品的复介电常数之问的函数关系，当频率和样品 的复介电常数为已知时，则可求出样品厚度，实验证明，对于特定厚度的介质， 根据其电磁特性选择合适的工作频率，其理论值与实测值能较好吻合，而高次模 的影响可以忽略，该方法可以轻易满足现场测量，实时测量，但对低耗及无耗介 质误差很大，该模型后来被应用于测量单层一般损耗介质的复介电常数。 5 西北工业大学硕十学位论文第一章绪论 9 0 年代后s 勰觚b a l 【i l t i a r i ，n 鹬s c rq a d d o 啪i 等人将单层介质复介电常数的测 量模型扩展到多层i ”】，文章中引入了终端导纳的变分表达式，结合边界条件与口 径切向场的傅立叶变换式，推导出多层介质模型，试验证明选择合适的工作频率 与波导探头会得到更加精确的结果，并且由于该模型计算量较小，适用于实时测 量。但是，由于只考虑了波导主模的存在，有时误差比较大，因此该模型仅适用 于一般损耗介质。文献【5 】引入波导本征函数并考虑了高次模的影响，通过矩量法、 g a l e r l 【i n 法解出切向电场，再利用切向电场、反射系数与介电常数之间的函数关系 最终得到复介电常数，该方法对于一般损耗介质其精度有所提高，但是同样不能 测量低耗及无耗介质，而且算法较为复杂，计算量大。 综上所述，开口波导法在实际应用中存在诸多的局限性，很多因素对测量结 果会产生重要的影响，而众多文献在这方面缺乏全面细致的分析，其适用范围也 没有明确地描述，本文正是基于这一点出发，全面分析诸如工作频率、介质厚度、 介电常数、损耗角以及法兰大小等各因素对开口波导法的影响，讨论开口波导法 的适用范围，同时结合误差分析，提高模型精度，尽量拓展开口波导法的适用性。 1 4 本文结构安排 本文主要研究复介电常数的无损测量方法一开口波导法，开口波导法作为无 损测量法，由于测量设备简单且对待测介质无很高要求，在无损测量和实时测量 方面能较好地满足要求，从而代表了技术的发展趋势，因此对它的研究有着重要 的意义与价值。在内容上本文准备从三个部分对其进行讨论：1 开口波导法原理 的阐述，其内容包括：描述待测未知量复介电常数与可测量量反射系数之间函数 关系的数学模型的建立和由上述数学模型逆推复介电常数的反演算法的设计；2 测量系统的实现；3 仿真分析与实验的验证。 具体安排如下； 第一章绪论，主要介绍开口波导法相关预备知识与背景，阐述了开口波导法 的发展、现状以及优缺点，明确了本文的研究目的与主要内容。 第二章详细说明了开口波导法原理，提出两个基本假设和三个核心内容。基 于开口波导终端导纳的变分表达式，应用波导理论和边界条件，推导出波导内、 外的场分布，进而构建了多种情形下完整的开口波导法数学模型，该模型将成为 后续章节的理论依据，也是全文的工作中心。 第三章主要叙述了测量系统的实现，介绍了利用六端口反射计测量技术测量 6 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 复介电常数的相关原理与方法。 第四章利用m 7 s s 对理论模型进行了仿真，在全面分析各种因素对开口波导法 的影响后，验证了模型的正确性与可行性，并讨论了开口波导法的适用范围。 第五章通过实验分析再次验证了开口波导法的可行性。 第六章对全文做出总结，对后续工作提出规划。 7 西北工业大学硕士学位论文第二章开口波导法原理 第二章开口波导法原理 2 1 开口波导法主要内容 开口波导法通常由一段带有法兰的开口波导组成，如图2 1 所示。待测材料直 接外贴于开口波导探头处，辐射场在近场区与待测材料相互作用，反射场携带了 待测材料的电磁参数信息。因此由此测得的反射系数就可推导出介质材料的复介 电常数。开口波导法的主要内容有： 待测介质 带法兰的 开口波导 短路板 图2 1 开口波导法一般模型 ( 1 ) 建立合适的数学模型。材料的复介电常数是不能够直接测量的，只能通 过与复介电常数相关的能直接测量的物理参数间接求出。根据电磁场理论建立复 介电常数与可直接测量的反射系数之间关系的精确的数学模型是开口波导法测量 技术的核心问题之一。 ( 2 ) 测量系统的实现。精确地测量反射系数是推导出复介电常数的基础。如 何设计合理的测量系统，使得测量误差尽量减小，测量值最大可能逼近真值是开 口波导法测量技术的核心问题之二。因此在测量中要尽可能考虑到各种因素对测 量结果的影响，减小测量误差。 ( 3 ) 反演算法的设计。由测量得到的反射系数逆推可得到待测材料的复介电 常数。其中涉及到多重积分的计算，最小值的求解和优化问题，因此选择合理的 8 西北工业大学硕士学位论文第二章开口波导法原理 算法对于快速而准确地逆推出复介电常数是开口波导法测量技术的核心问题之 三。本章主要论述开口波导法数学模型的建立与反演算法的设计，对于测量系统 的实现将在后续章节中予以阐述。 2 2 开口波导法数学模型的建立 2 2 1 终端导纳的计算 开口波导法测量技术的核心问题之一是数学模型的建立。如图2 1 所示，对于 该波导模型，假设：1 其法兰为无限大；2 在该波导中只存在主模t e l 0 波( 本文 以下讨论均以这两个假设为基础) ，则该波导的终端辐射导纳( 即从波导开口处向 外看去的导纳) 的变分表达式可由切向矢量模函数及其正交特性推导得出【1 6 j 【1 7 1 【埘， 一堑避! 竺型! ：竺 。 i 矩艇径豇列0 k o 胁i 其中谚( 训) - 膏( 础，o ) + 荟瞩( 训) 矩题径意( 叩蔫o ) 乏( 叩 孝) 删；，蠢( x y ，o ) ， | 鼋( 薯y ，o ) 表示口径处的场分布，乏和瓦表示n 次矢量模函数，l ：表示n 次模的特 性导纳。 如前所述，介质材料的复介电常数的测量是通过与其相关的能直接测量的物 理参数间接求出，这个物理参数通常是反射系数r 。根据相关理论有， y - k 渊 泣2 ) 因此通过实测反射系数r 可求出终端辐射导纳；同时，终端导纳的理论值可由式 ( 2 1 ) 确定，通过分析可知理论值是工作频率、介质材料厚度、复介电常数的函 数，如果工作频率，介质材料厚度为已知，则可以通过下式， 坛嚣( s ) 一k ；i ；酬一k 论( s ，) ( 2 - 3 ) 9 西北丁业大学硕十学位论文 第二章开口波导法原理 进行反演推算得出待测复介电常数。 考虑到e ( x ，y ，o ) 与膏( z ，y ，o ) 的相互联系，终端导纳可由电场唯一确定因此， 精确地给出开口波导口径处的电场分布巨( x ，y ，o ) 即可确定终端导纳，缸( f ，) ，进而 推算出复介电常数。为此，本文首先通过推导波导内、外的场分布，确定开口波 导口径处的电场分布。 ( 1 ) 波导内的场 纵向场法【1 9 】：波导中的电磁场在无源场存在时所遵循的麦克斯韦方程组为， v 雷，掣膏 ( 2 - 4 ) v 膏。，豆 ( 2 - 5 ) v 营- o ( 2 - 6 ) v 沂0 ( 2 - 7 ) 为了求解波导中的场，首先得到它所遵循的导波方程，对( 2 4 ) 取旋度，并将式 ( 2 5 ) 代入得， v ( v 云) - 2 e p 营 ( 2 8 ) 由式( 2 1 1 4 ) ，并考虑式( 2 - 6 ) ，则得， v 2 豆+ k 2 豆o ( 2 9 ) 同理可得， v 2 膏+ k 2 詹一0 ( 2 1 0 ) 式中，k 2 一2 掣 ( 2 1 1 ) 式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 是电磁场的波动方程式，它是齐次亥姆霍兹方程。 对于柱形波导中的波，设波导的轴向为z ，电磁波沿z 向传播，其传播常数为 y ，则有， 豆一面o ，y 弘p ( 2 - 1 2 ) 膏一膏o ，) ，弦 ( 2 - 1 3 ) v 2 一v ；+ 壶一v ；+ r 2 ( 2 - 1 4 ) u 式中x ，y 为横向坐标，v ；为横向拉普拉斯算子。将上述关系式代入式( 2 8 ) 和( 2 - 9 ) ， 西北工业大学硕士学位论文 第二苹开口坡导法原理 波动方程就变为， v 霍+ k 锤一o ( 2 1 5 ) v 汪+ k 2 膏- o ( 2 1 6 ) 式中，k 2 一k 2 + y 2 - 珊2 掣+ y 2 ( 2 - 1 7 ) 方程( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 就称为导波方程，它是将波动方程首先对波导轴向z 进行 分离变量的结果，其中场量量和膏现在仅是横向坐标的函数。 导波方程是矢量方程，它需要化为六个标量方程后再求解，这将是很繁琐的。 但是，由于云和厅各分量间由麦克斯韦方程两个旋度方程相联系，因此可以把两 个纵向分量e ：和日：选作独立分量，其余场的横向分量都可以用纵向分量来表示 纵向场法即通过求解纵向场分量，根据横向场分量与纵向场分量的关系，再求出 横向场分量。 由导波方程可得纵向场的导波方程为， v ；t + k 毽o ( 2 - 1 8 ) v ；也+ k 2 见- o ( 2 1 9 ) 利用分离变量法求出其通解，然后根据具体的波导边界条件就可求出特解。 为了得到场的横向分量与纵向分量之间的关系，我们把旋度运算和矢量都分 解成横向与纵向分量，则有， v 彳一( v r + r ) ( 4 + 4 ) - v r 4 + x 4 + v ：x 4 ( 2 - 2 0 ) 由麦克斯韦方程的两个旋度方程得， 一，掣坼一最+ e 乓 ( 2 2 1 ) j 钟乓- v r 也+ e 坼 ( 2 - 2 2 ) 将式( 2 - 2 1 ) 乘以j ，并将( 2 2 2 ) 代入可得， k 2 砬一j 珊刃，x 豆+ l v ，厦+ v ：e 露 ( 2 2 3 ) 对于沿z 轴方向传输的波v ；一乏老一一，因此上式可化为， k 2 戽一j 押，丘一，覆一r 2 戽 ( 2 2 4 ) 西北工业大字坝士学位论文第二草开口波导祛原理 同理可求， k 2 露，n 硼i 丘一，丘一r 2 毒 ( 2 2 5 ) 由式( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 可求得， 露一去( 一，叩b 盈一刃r 丘) ( 2 - 2 6 ) 职- 走( ，珊押r 丘一r 豆) ( 2 - 2 7 ) 矩形波导中不能传输1 e m 波，只能传输t e 波和1 m 波，下面利用纵向场法 对其进行讨论。在直角坐标系中，设波导中充满参数为、口的理想介质，波导壁 为理想导体( 盯* ) 。 对于1 臣波，丘- o ，豆一o ，它的纵向场的导波方程为， 孕+ 要+ 啦o ( 2 _ 2 8 ) 芹+ 了产“z 。0 忆。2 由分离变量法求解，令覆o ，y ) - 工( x ) y ( ) ) ，代入上式可得， 导鍪+ 昙妾一霹 ( 2 - 2 9 ) x 舻xy 扩v 要使上式成立，则要求， 鲁+ 率，。 ( 2 铷) 舅+ 舻一。 c 2 卸 且式中， 霹+ 霹- 霹 ( 2 3 2 ) 方程( 2 3 0 ) 和( 2 - 3 1 ) 的通解为， x ( 功一彳s i n 墨并+ 曰c o s 墨z ( 2 3 3 ) y ( ) ，) - c s i i l 墨_ ) ，+ d c o s k ，) ， ( 2 - 3 4 ) 所以， 皿一o s i i l 鼯+ 占s 鼬) ( c s i n 巧y + d c o s k ，_ ) ，弘“纠 ( 2 - 3 5 ) 其中a 、b 、c 、d 、k 和k 由边界条件确定。 西北工业大学硕十学位论文 第二章开口波导法原理 最终可得t e 波纵向场为， 豆= 风s ( 等力c o s 学y 弘“剥 ( 2 - 3 6 ) 式中风= b d 为常数，表示波的振幅大小，由激励决定。而截至波数可表示为， 即丽 ( 2 3 7 ) 由纵向场表示式( 2 - 3 6 ) 和横向场与纵向场关系式( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 可得矩形波 导中各场分量的表示式。对于t e l o 波，其各场分量的表示式为， 重，一! ! 丝日os i n ( 至z ) e 婶加 ( 2 - 3 8 ) 只。丝风s i i i p 石弘似刊 ( 2 - 3 9 ) 豆- 风嘲仁x 弘7 加 ( 2 枷) e - e 一日，o ( 2 - 4 1 ) 当图中的坐标系的原点位移到波导截面中心时，对式( 2 3 8 ) 进行化简，可得， 驰埘。讹) ，) 肟s ) 波导横截面内 ( 2 4 2 ) l o ，0 ，y ) 岳波导横截面内 且 e o ，y ，o ) - 0 ( 2 4 3 ) 至此，波导内的场分布求解完毕，下面将介绍波导外介质中的场分布。 ( 2 ) 波导外的场 为了推算的方便，引入了标量位和矢量位例，首先给出一般麦克斯韦方程组， v x 膏- 7 + 。 ( 2 埘) v 西一口 ( 2 - 4 5 ) v 置+ 8 - o ( 2 - 4 6 ) ，o i v 云o( 2 1 7 ) 电磁场理论的主要问题是求满足某些预给边界条件的麦克斯韦方程组的解。 在简单情况下这一方程是容易解出来的。在讨论己知源产生的特定场时，如像天 线问题，波导和腔体的耦合问题等等，可引入辅助位函数，使这些问题大大简化。 西北工业大学硕十学位论文第二章开口波导法原理 因为百是无源的，即v 五0 ，故把百表示成矢量j 的旋度， 曰一v 彳( 2 4 8 ) 于是法拉第电磁感应定律( 2 4 6 ) 可写为， v 口+ 8 ) 一o ( 2 4 9 ) 可见v 啦+ 哆磊) 是无旋的，可用标量函数u 表示为， 云- 一a 一v u ( 2 5 0 ) ，u j 和u 分别称为矢量位和标量位。因为秀是由式( 2 4 8 ) 中的j 来定义的，所以矢 量位可以任意地加上某个标量函数i ，的梯度。因此，有， a 一4 一v 掣 ( 2 5 1 ) 上式取旋度能得到的相同的百值。此时，为了给出相同的雷值，标量位必须同时 作如下变换， u o u + ( 2 - 5 2 ) 由此看出，用式( 2 5 1 ) 和( 2 - 5 2 ) 变换后表示式( 2 4 8 ) 和( 2 5 0 ) 不变。通常 把场在这样变换下的不变性称为规范不变性。在利用j 和u 来描述电磁场时，就 可以选择适当的规范使处理简化。 利用方程( 2 “) 和( 2 4 5 ) 来求出加于j 和【，的条件，需要首先知道6 和营， 百和膏的关系。假定场存在于线性、均匀、各向同性媒质中，则有， 西豆( 2 - 5 3 ) 画一j j 于( 2 5 4 ) 故满足方程( 2 4 4 ) 和( 2 4 5 ) 的条件为， 彤a 一v 2 u p 脂 ( 2 - 5 5 ) 和 丢v v j 叫8 + v 8 ) 一歹 ( 2 5 6 ) o 在式( 2 5 6 ) 中，可利用恒等式， 两北工业大学硕士学位论文第二章开口波导法原理 v v j 。v v 历一v 2 ( 2 5 7 ) 式中， v 2 j - t v 4 + 毛v + t v 2 4 ( 2 5 8 ) 且t 、t 和匠是直角坐标系的单位矢量，而4 、4 和4 是j 在各坐标轴上的分 量。引入式( 2 5 7 ) 后，式( 2 5 6 ) 变成， - v 2 j + g 。+ v ( v 历+ 肛。) - ( 2 1 5 9 ) 如前面所指出的，j 和( 厂有较大的任意性。现选择j 和【，满足方程， - 嘶+ 肛8 一o ( 2 - 6 0 ) 式( 2 6 0 ) 称为洛伦茨规范。现在j 和v 满足， v 2 u 一一一加 ( 2 - 6 1 ) v 2 j 唯8 - 一 ( 2 6 2 ) 上式的构成方法表明，任意已知电磁场能表示成式( 2 - 4 8 ) 和( 2 - 5 0 ) 的形式，并 满足式( 2 6 0 ) ；方程( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 可以认为是维持这个已知场所要求的电 荷和电流密度。反之，当已知电荷和电流密度时，场应当是可求的。该方法表明， 场可以写作式( 2 4 8 ) 和( 2 5 0 ) ，并满足( 2 6 0 ) ，而五和( ，应当是满足某个预给 条件的式( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 的解。 由此可见，电磁场可以用求标量位和矢量位的方法来确定。由于他们是以式 ( 2 6 0 ) 相联系的，可以推测只需要求出三个标量函数就可以确定了。赫兹仅利用 一个矢量函数就表示了电磁场。现在考虑线性、均匀、各向同性的媒质。首先利 用连续性方程把式( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 右边的源以一个新的量来表示。假定有一新 矢量声满足如下关系， - 了 ( 2 - 6 3 ) 当f o 时，p 风对应的声- 磊是与时间无关的矢量。我们取， 芦- 霞+ 融 ( 2 “) 矗 上式两边取散度，得， 璺! ! 王些查兰堡十学位论文 第二章开口波导法原理 _ _ - 日_ l _ _ i l i - _ i _ - l - _ _ - _ _ _ 一l v 声v 厩+ 广施一v 皈一_ r 一v 口+ 风一p ( 2 6 5 ) o 砸 并取v 昂- 一p o ，得，v 声- 一p( 2 6 6 ) 矢量声称为单位体积的电偶极矩。利用声可将方程( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 写为， v w 一a 2 - 詈v 泸 ( 2 6 7 ) ，口lf v 巧一肛铲- 一肛 ( 2 6 8 ) 为了便于计算，我们不取五而引入一个赫兹矢量孑作为计算矢量。在式( 2 6 0 ) 中， 令， j 一膨8 ， ，一v 厨 ( 2 6 9 ) 则有， v 磕一f 8 j 磊- 一声 ( 2 7 0 ) 利用式( 2 5 7 ) 有v v 瓷- v 2 v 菥，故( 2 6 0 ) ，( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 均能得到满足。 这就证明了矢量孑能确定电磁场，但它并不表明可利用矢量孑来表示已知的电磁 场。为了做到这一点，还应当证明已知j 和【，可以确定面，因为已知电磁场总是 可以利用恰当的j 和u 来表示的。 设u 7 是f - o 时的u 值，且。是与时间无关的任一矢量，则有v 也可。 故得， 矗，面。+ 丢扣出 ( 2 7 1 ) p f 石 显然 詈v 痘- - u ( 2 7 2 ) 又根据式( 2 - 5 9 ) 和( 2 6 0 ) ，有， v ( v 砸一a 2 矽幺) - 詈研声 ( 2 7 3 ) 昙( v 砸一胪扩多磊) 詈户 ( z 7 4 ) 所以， v 2 n 一2 1 珞+ 詈声- 审， ( 2 7 5 ) 式中于式与时间无关的量，令， 西北工业大学硕士学位论文第二章开口波导法原理 7 。+ v 蚕 ( 2 - 7 6 ) 式中享也与时间无关，并有v 2 季一于，故矗满足式( 2 6 2 ) 。 v 丘，阢丘旦型塑( 2 7 7 ) 。砸却 说明式( 2 6 4 ) 满足式( 2 6 1 ) 。于是证明了已知电磁场时，可以求得赫兹矢量丘， 即， 豆i v v 舡 ( 2 - 7 8 ) 雪。卿x 塑( 2 7 9 ) a f 式中 v 2 脚s 8 肌 ( 2 _ ) 至此，标量位与矢量位相关理论介绍完毕，下面将应用此理论对波导外介质 材料中的场分布做出解答。 首先给出开口波导法测量复介电常数的两种通用模犁如图2 - 2 ，2 - 3 所示： 部旷 a 郐b 图2 - 2 带短路板n 层介质模型图2 - 3 不带短路板n 层介质模型 图2 2 为带短路板n 层介质模型，图2 3 为不带短路板n 层介质模型。电磁波在介 质中传播时，可看作户一0 即在无源场中的传播，此时引入赫兹磁矢量疗。，可由 ( 2 8 0 ) 得到， 其中假设， v 2 丘+ 砰疗。一o n ：一m 。瓦+ _ i i ，。毛 1 7 ( 2 8 1 ) ( 2 8 2 ) 西北工业大学硕十学位论文 第二章开口波导法原理 此时， 豆“似y ，z ) - _ v x 或 厅4 ，) ，z ) - 孵n ：+ v v 丘：) k - 正：百为电磁波在第n 层介质中的复传播常数。 场分量可解得【1 2 1 ， 铲彤卜盖弘卟扩2 矿2 卜 呐 ( 2 8 3 ) ( 2 8 4 ) * 爸 埘- 毒厶& 志 卜。两】| i ：= r 一。+ c 砝广。1 撕 ：= r 一2 + c 爱广2 1 蜥一，与一+ ”矗矗 ( 2 8 6 ) 式中k 一止i 砑，且吒i 叫j i - ，i h 】l ，七。为第n 层介质中的传播常数。 由式 彤脚q 6 闸以看出式中仅惫 和惫 为未知参数求解出 未知参数则波导外介质中的场分布即可确定。 在求解系数惫 和c ： 之前首先引入两种情形下的边界条纠2 q 和多重积 分傅立叶变换的相关原理。 1 ) 理想介质与理想介质 如图2 - 4 所示，如果介质1 与介质2 均为理想介质，在无源情况下，根据电磁 场原理可得其边界条件为， 介质l 图2 - 4 理想介质与理想介质 元( d i d ：) - o 元( 日一也) 一0 石x ( e 一易) 一0 石( 而i 日2 ) - 0 西北工业大学硕士学位论文第二章开口波导法原理 2 ) 理想介质与理想导体 如图2 5 所示，如果介质1 为理想介质，导体2 为理想导体，根据电磁场原理 可得其边界条件为， 介质1 图2 5 理想介质与理想导体 易- d j 一日2 - 见一o 巩一见 屯一o 瓦- 0 h h j i 3 ) 傅立叶变换及其定义i 纠 傅立叶积分定理：若函数，( f ) 在( 一。，* ) 上满足下列条件；( 1 ) 厂( f ) 在任一有 限区问上满足狄氏条件；( 2 ) ，( f ) 在无限区间( 一* ，m ) 上绝对可积( 即积分 i ，( f ) 眇收敛) ，则有， ，( f ) i 去e k 几) 扩叶 ( 2 8 9 ) 成立，而左端的，( f ) 在它的间断点t 处，应以上生坚尝掣来代替。 若函数，( f ) 满足傅立叶积分定理中的条件，则式( 2 - 8 9 ) 成立，从该式出发， 设， f ( ) - 仁巾p 咖出( 2 9 0 ) 则， ，( f ) 一拄f ( n ，) 。埘如 ( 2 - 9 1 ) 从上面两式可以看出，( f ) 和f ( ) 通过指定的积分运算可以相互表达，式( 2 - 9 0 ) 称为，( f ) 的傅立叶变换式，而式( 2 9 1 ) 称为傅立叶逆变换式。 推广到二重积分，若函数，( x ，y ) 满足傅立叶积分定理中的条件，设， 1 9 朗北工业大字坝士掌位论文第二苹开口波导法原理 f ( k ，巧) 一肛，( 训p 一鼬e 却蚴， ( 2 9 2 ) ，( 五y ) 。( 去) f 仁f ( k ，巧) e 焉7 崛蚂( 2 - 9 3 ) 为了计算需要首先引入各归一化参数，乙一4 ，口7 。如，6 ，- 蛐， 一砉面，g - 钎，墨，一等，蚝一等一止- 砑其中n ，2 3 n ， 吐为第i 层介质厚度，4 ，6 分别表示波导口径的长与宽，k 为自由空间的传播常 数，s 。为第n 层介质的复介电常数，下标i 表示矢量位的妒，妒分量，其余各量分 未知系数毫 和c = ：) 。 一 ( 2 - 9 4 ) - 簧屉睾崭掣协粥， 鼽 眠一蓐黼。 吣。2 铀 q 母6 西北工业大学硕士学位论文 第二章开口波导法原理 r 觑一 丹。等【屯厂一t e 】 协卯， 卜一 ) 厂一瓜+ 厂瓜】一( 疋巧) 厂一坞+ e 肌】 。卜一嘞) 【融 e 一+ 融厂】趣巧) r 瓜“+ 七广 其中，m = 1 ，2 ，o “1 ) 表示层数。至此，由式( 2 - 9 4 ) 一( 2 - 粥) 组成的4 n 方程 组可黜舯未知系数铂和 。 2 ) 不带短路板的多层介质的模型建立 如图2 3 所示，对于不带短路板的模型，其区别主要在于第n 层介质为无限 大半空间因此无反向传输波此时对于引2 彤聊q 确岿m _ m 时 为零。至此，由式( 2 9 4 ) 、( 2 9 5 ) 、( 2 9 7 ) 及( 2 9 8 ) 组成的4 n 2 方程组可解出 4 n 。2 个未知系数c l ：= 和c 砝 。 至此，波导内外的场分布均可确定，从而可得出波导开口处的场分布，并由 此推导出波导终端辐射导纳的数学模型。对终端导纳的变分表达式应用帕