（理论物理专业论文）量子信息处理的原理和光学实现的研究.pdf

o 1 中文摘要 随着信息技术和量子力学的发展，以量子力学为基本规律的量 子信：怠学逐渐形成。由于量子力学的叠加原理大幅度的提高了计算 效率，而且量子力学的非经典相关使得真正的保密通讯( 永远不会 被破译1 成为可能，量子信息学倍受关注，并成为当今学术界非常关 心的热门领域。量子信息的核心旨在巧妙地利用量子相干性( 对多 粒子系统表现为量子纠缠) 对信息的新型载体量子比特进行操 纵控制，以非常规的方式进行信息的编码、存储和传递。如今理论上 埘量子信息处理的探讨进行得如火如荼，为了证明在信息操纵和信 息传输 ：量子力学具有着非常巨大的潜力，人们也急切的寻找着能 实现造f 信息处理的物理系统。过去几十年中，由于光学系统在量 子r 程上的深厚基础以及光学探测技术的发展，光学系统早已成为 检验量子力学基本原理的重要系统，如今又自然的成为了实现量子 信息处理的首选系统。 本文研究典型纠缠态的产生与制备、纠缠的量度和纠缠的传送， 以及以纠缠为基础的几个典型量子信息处理过程f 包括量子隐形传 态、量子搏弈和量子无错鉴别) 的光学实现。本文的主要创新结果如 下： 1 、利用阜= 子比特的单光子表示，提出了实现包括e i n s t e i n p o d o l s k y - rc w m ( e p r ) 态在内的两个量子比特的任意纠缠态的量子隐形传态的 伞线性光学实现方案。我们使用的线性光学元件分别是分束器、相 移器和波片。这种全线性光学实现方案是基于单光子路径和极化都 可以表示量子比特。该方案中我们总共使用了五个量子比特，其中 口q 个是单光子的路径最子比特，一个是单光子的极化量子比特。 2 、通过非线性光学元件与线性光学元件的组合，首次提出了一种 i 实现两个参与者的量子囚徒困境博弈的非线性光学实现方案，在此 方案的基础卜进一步提出了量子博弈的全线性光学实现的新方案。 两个参与者的量子囚徒困境博弈由量子对策操作和量子纠缠操作两 类幺正操做组成。在非线性光学实现方案中，我们用两个分束器和 四个相移器实现量子对策操作，利用交叉k e r r 介质、相移器和分束 器的组合实现量子纠缠操作。在全线性光学实现的方案中，我们用 分束器和相移器实现实现量子对策操作，量子纠缠操作通过1 4 波 片和半波片的组合实现。 3 、对于线性独立但非正交态的鉴别问题，我们提出在直积空间 利用偏振分束器、波片、偏振片和单光子探测器来实现最佳无错鉴 别的光学方案。鉴别方案中所需的两个空间由单个光子的两类自由 度提供，光子的空间自由度构成线性独立非正交态张成的空间，光 子的偏振自由度构成辅助空间，用处于不同空间模叠加的单个光子 来表示信源产生的量子态。 4 、通过引入一种非线性相移器压缩相移器，提出了一种生成 纠缠胝缩真窄态的光学实现方案，给出产生最大压缩纠缠态的条件， 利h j 这力案口r 牛成与压缩真空态相关的四个具有连续变量的准贝 尔态。讨论了实现压缩相移器的可能性。 5 、提出了计算两粒子高维纠缠相干态的量子纠缠的计算方法。 通过引入一组线性独立的相干态集把连续变量的高维纠缠相干态变 换成离散变量的纠缠态，从而把连续变量的高维纠缠相干态的量子 纠缠问题转化为计算离散变量的纠缠态的量子纠缠问题。发现两粒 子高维纠缠相干态的量子纠缠随维数的增加而增大，并且在大相干 振幅条件下，纠缠度仅由维数决定。随后提出了较多粒子系统连续 变量的高维纠缠相干态实现较少粒子系统连续变量高维纠缠相干态 的龟子隐彤传态光学实现方案。 关键词：量子纠缠，量子博弈，量子隐形传态，量子态鉴别，压 缩态，市目干态，分柬器，波片，k e r r 介质 o 2 英文摘要 a b s t r a c t w i thth ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o nt e c h n i q u ea n dq u a n t u mm e c h a n i c s ， af l e ws u b j e c tb a s e do lt h el a wo fq u a n t u mm e c h a n i c s - - q u a n t u mi n f o r m a t i o n t h e o r yc o m e si n t ob e i n g b e c a u s eo ft h el a r g ei m p r o v e m e n t si nc o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c ya n dc o m m n n i c a t i o r ks e c u r i t yb ye x p l o i t i n gt h es u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e a n dt h en o n c l a s s i c a lc o r r e l a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c s ，q u a n t u mi n f o r m a t i o n t h c o r ys o o na t t r a c t sm u c ha t t e n t i o na n db e c o m e st h eh o t t e s ta r e a so fm o d e r n a c a d e m e i ti st h eq u a n t u mc o h e r e n c ew h i c hl i e sa tt h eh e a r to fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h a tm a k e st h em a n i p u l a t i o no fi n f o r m a l i o n c a r r i e rq u b i t sp o s s i b l e ， a n dt h eo c c u r r e n c eo ft h ei n f o r m a t i o nc o d i n g ，s t o r i n ga n dt r a n s f e r r i n gi na f i l l ( o n v e n t i o n a l i t yw a y n o w a d a y st h ep r o c e s s i n go fq u a n t u mi n f o r m a t i o ni s t h e o r e t i c a l l yu n d e ri n t e n s ei n v e s t i g a t i o n ，p e o p l ea r ee a g e r l yt o f i n dp h y s i c a l s 3 7 s t e i nt ot e s t i 母p o t e n t i a li m p r o v e m e n t so f f e r e db yq u a n t u mm e c h a n i c st ot h e m a n i p u l a t i o na n dt h et r a n s m i s s i o no fi n f o r m a t i o n b a s e do nt h es u b s t a n t i a l d e v e l o p m e n ti nq u a n t u me n g i n e e r i n ga n dm e a s u r e m e n to fl i g h ti nt h ep a s t d e c a d e s ，q u a n t u l no p t i c a ls y s t e m sa r ei d e a lf o rt h ee x p e r i m e n t a lt e s to ft h e f o u n d a ti o no fq u a n t u mm e c h a n i c s8 sw e l la sf o rt h ee x p e r i m e n t a li m p l e m e n t a - t i o no fq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g t h i st h e s i si n v e s t i g a t e st h eg e n e r a t i o na n dp r e p a r a t i o no fs e v e r a lt y p i c a l e n t a n g l e ds t a t e s ，t h em e a s u r e m e n ta n dt r a n s m i s s i o no fe n t a n g l e m e n t a sw e l l a sth et y p i c a li n f o r m a ti o np r o c e s s i n gb a s e do ne n t a n g l e m e n tw h i c hi n c l u d e s q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，q u a n t u mg a m ea n de r r o r f l e ed i s c r i m i n a t i o n so fq u a n t u r ns t a t e so u rm a i n l yw o r ki sa sf o l l o w ： i v ( 1 ) b a s e do nt h er e p r e s e n t a t i o no fm u l t i p l eq u b i t sb ys i n g l ep h o t o n ，w e p l 【、s f 、u tal i n e a ro p t i c a li m p l e m e n t a t i o nf o rq u a n t u mt e l e p o r t a t i o no fa nu n k n o w nt w o q u b i te n t a n g l e ds t a t eb yu s i n gl i n e a ro p t i c a le l e m e n t s t h eo p t i c a l ( 1 k 1 1 1 6 1 i l l su s e dh e r ea r eb e a ms p l i t t e r s p h a s es h i f t e r sa n dw a v ep l a t e s i nt h i s o p t k a lp l o p o s a l ) f i v eq u b i t sa r ei n v o l v e d ，o n eo f t h e ma r eb u i l tb yt h ep o l a r i z a t i o no fs i n g l ep h o t o n ，w h i c hi sc a l l e dt h ep o l a r i z a t i o nq u b i t ，a n dt h eo t h e r s a r ec o n s t r u c t e db yt h ep a t h sw h e r et h es i n g l ep h o t o nt a k e s ，w h i c hi sc a l l e dt h e l o c a t i o nq u b i t ( 2 ) p r e s e n tap i 。o p o s a lf o ro p t i c a l l yi m p l e m e n t i n gt h eq u a n t u mg a m eo f th e 、t w o p l a y e rq u a n t u mp r i s o n e r sd i l e m m ab yu s i n gs o m el i n e a ra n dn o n l i n e a r o p t i c a le l e m e n t s f u r t h e rw ep r e s e n taf e a s i b l es c h e m eb yo n l yu s i n gl i n e a r o p t i c a le l e m e n t s t h el n o s ti m p o r t a n tp a r to fq u a n t u mp r i s o n e r sd i l e m m ai s p l a y e r ss t i a t e g i e sa n dt h eg a t ew h i c hi n t r o d u c e se n t a n g l e m e n t t h es t r a t e g i e s o fe a c hp l a y e ra r em a d eu po ft w ob e a ms p l i t t e r sa n df o u rp h a s es h i f t e r s la n d t h ee n t a n g l i n gg a t ei sc o n s i s to fb e a ms p l i t t e r s ，p h a s es h i f t e r sa n da d d i t i o n a l c r o s sk e r rm e d i u m i nt h ef u r t h e rs c h e m eo fq u a n t u mp r i s o n e r sd i l e m m a ， i na d d i t i o nt ob e a ms p l i t t e r sa n dp h a s es h i f t e r s ，t h eq u a r t e r w a v ep l a t e sa n d h a l f w a v ep l a t e sa r eu s e dt or e a l i z et h es t r a t e g i e sa n dt h ee n t a n g l i n gg a t e ( 3 ) g i v ea no p t i c a lm e t h o df o ro p t i m a le r r o r f r e ed i s c r i m i n a t i o no fs o m e l i m 、a rh t d e p e n d e n ts t a t e sb yt h e ( ：o u p l i n go ft h e o r i g i n a lp a r t i c l et oa na n c i l l a r y s y s t e m t h et w os y s t e m sa r er e p i 。e s e n t e db yd i f f e r e n td e g r e e so ff r e e d o mo fa s i n g l ep h o t o n ，o n ei st h ep h o t o n sp o l a r i z a t i o n ，a n dt h eo t h e ri st h ep h o t o n s t l 。a v e l l i n gp a t h s t h ea p p a r a t u s w eu s e dh e r ea r ep o l a r i z e db e a ms p l i t t e r s ， w s v ep l a t e sa n ds i n g l ep h o t o nd e t e c t o r s ( 4 ) p r o p o s eam e t h o df o ro p t i c a l l yc r e a t i n ge n t a n g l e ds q u e e z e dv a c u u m s t a t c s ( s v s s ) b yi n t r o d u c i n gas v s p h a s es h i f t e rw h o s ep o s s i b l er e a l i z a t i o ni s v d i s c u s s e di nd e t a i l ，a n da l s og i v et h ec o n d i t i o no i lg e n e r a t i n gt h em a x i m a l l y e n t a n g l e ds l a t e s ，a n ds h o wt h ef o u rq u a s i - b e l ls t a t e sw i t hc o n t i n u o u sv a r i a b l e s ( a nb ep r o d u c e dt h r o u g ht h i sm e t h o d ( 5 ) p r e s e n tam e t h o dt oc a l c u l a t et h ee n t a n g l e m e n to fh i g h d i m e n s i o n t w o 。s y s t e me n t a n g l e ds t a t ew i t hc o n t i n u o u sv a r i a b l e s b yi n t r o d u c i n gas e to f l i n e a r l yi n d e p e n d e n ts y m l n e t r i cs t a t e s ，t h eh i g h d i m e n s i o nc o h e r e n te n t a n g l e d s t a t ei sc o n v e r t e di n t oad i s c r e t ee n t a n g l e ds t a t e ，s ot h ep r o b l e mt u r n st o c a l c u l a t et h ee n t a n g l e m e n to ft h ed i s c r e t ee n t a n g l e ds t a t e i ti sf o u n dt h a t t h ee n t a n g l e m e n to ft h et w o s y s t e mh i g h d i m e n s i o nc o h e r e n te n t a n g l e ds t a t e i u c r e a s ea st h ed i m e n s i o ng r o wu p ，a n dt h ee n t a n g l e m e n ti sd e c i d e db yt h e d i m e n s i o nt u l d e i t h ec o n d i t i o no fl a r g ec o h e r e n ta m p l i t u d e a tl a s t ，w eg i v ea $ 1 o p t i c a lp r o p o s a lf o rt e l e p o r t i n gl e s s - p a r t i c l eh i g h - d i m e n s i o nc o h e r e n te n t a n g l e d s t a t e sw i t hm u l t i - p a r t i c l eh i g h d i m e n s i o nc o h e r e n te n t a n g l e ds t a t e s k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，q u a n t u mg a m e ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，q u a l l t u l ns t a t ed i s c r i m i n a t i o n ，s q u e e z e ds t a t e ，c o h e r e n ts t a t e ，b e a m s p l i t t e r ，w a v ep l a t e ik e r rm e d i u m v i 第一章绪论 “没有物质的世界是虚无的，没有能量的世界是死寂的，没有信 息的世界是混乱的”人们用这样的话来描述信息、物质和能量对社 会的重要性，他们三者在一起构成整个社会生存和发展的基础。为 了史加充分的掌握和利用它们，聪明的人类构建了完整的理论体系， 物理学用以描述物质和能量，然而研究信息产生、传输、存储等等问 题的学科一信息沦却是在1 9 4 8 年由美国科学家s h a n n o n 发表了一 篇题为“通信的数学理论”的学术论文后才宣告诞生的。 信息论作为一门理论学科，它通过信息处理工具对人类社会产 牛了深远的影响。电话、广播、计算机等信息处理工具的出现甚至改 变了整个人类的生存状态，特别是计算机技术的飞速发展更奠定了 信息科学在当今社会的重要性。信息学与物理学是密不可分的，信 息的产生、存储、传输等等都离不开承载它的物质以及维持其存在 的能量。信息的一切过程都要通过物理的方法来实现，因此它必须 遵守物理规律。然而，物理学在二十世纪也发生了两大观念性的革 命，它们动摇了由g a l i l e o 和n e w t o n 深埋在人们脑海中的传统观点， 并形成了现代物理学的两大支柱。第一大支柱是e i n s t e i n 创立的相 对论，这套理论通常用来描述宇宙等宏观大物体的行为。第二大支 柱是探讨微观世界，描述原子尺度量级粒子行为的量子物理学，尽 管e i n s t e i n 和s c h r 6 d i n g e r 曾用量子纠缠和量子纠缠态对量子物理学 提山过质疑f 1 ，2 1 ，然而大量的实验现象都成功地证明了量子物理学 足f r 确的，同时量子物理学也在他们的质疑中得到了发展，量子纠 缠成为量子物理学的焦点，也成为量子物理学奇特之处。 随着信息技术的不断发展，承载信息的物质越来越小，逐渐逼 近小尺度物质( 如原子) 。这样势必会突破经典物理学规律所适用的 范附，触及到量子物理学所描述的体系。信息的载体变成了物质的 量f 态，而剥信息的操作则必须利用到量子物理学的现象和规律：不 止变的量子念、量子力学的叠加原理、以及量子纠缠等等。这必然 导致信息科学观念和模式的重大变革，为信息科学的发展开创了新 的原理和方法。量子信息学是信息科学与量子物理学相结合的产物， 过去的几十年正见证了这个新兴领域的来临，这个领域包含了量子 通讯与量子计算等一些相关学科。量子通讯是基于量子力学原理的 通讯协议的统称| 3 1 它包括量子加密 4 ，5 、量子隐形传态 6 、纠缠 交换f 7 、密集编码8 1 、纠缠纯化f 9 9 和量子网络 1 0 】等等。虽然一个 完全可升级的量子计算机还未建成，但是人们已经建造了一系列优 于经典算法的量子算法，例如s h o r 的大数因子化法【1 1 、g r o v e r 搜索 算法【1 2 ，1 3 】和d e u t s c h - j o z s a 算法【1 4 等等。同时量子纠错【1 5 ，1 6 】的 口，行性史为量子计算的实际应用奠定了坚实的基础。 现今进行量子信息处理的系统主要有：离子阱系统f 1 7 ，1 8 1 、核 磁) t 振 1 92 2 系统、微腔 2 3 、囚禁的中性原子、光格中的超冷原 子f 2 5 ，2 6 】、微囚禁离子阵列【2 7 、固态仪器【2 8 ，2 9 1 和光学系统【3 0 1 。其 r f l 光学系统更是实现量子信息处理的首要系统。自从可用分束器和 相移器实现任意离散有限维幺正变换的观点提出f 3 1 后，量予信息的 许多力案都在光学实验上实现。在量子通讯方面，奥地利的z e i l i n g e r 研究组率先利用线性光学元件实现了光子的量子隐形传态f 3 2 1 ，随 后又实现了终端开放的量子隐形传态3 3 1 ，最近中国科技大学研究 组已成功地在五粒子纠缠态基础上实现了终端开放的量子态的隐形 传输 3 4 o 而纠缠交换和纠缠纯化也分别由z e i l i n g e r 研究组【3 5 3 7 1 和 中国科大研究组f 3 8 用光学器件在实验上实现。对于量子加密的实 验研究早在1 9 8 9 年b e n n e t t 等人就进行了实验验证并于1 9 9 2 年公开 发表 3 9 ，随后许多小组都进行了这方面的实验【4 1 4 5 1 。对于连续变 量的鼍子信息，l1 1 西大学彭望墀研究组首先利用振幅分量反关联与 相位分量正关联的明亮e p r 光束实验上实现了连续变量的量子密集 编码，及连续变量量子隐形传态的实验f 4 6 ，4 7 1 ，又首次用实验证明 了连续变量的三量子系统的纠缠，并实现了连续变量的控制密集编 码f 4 8 ，4 9 】，以及连续变量的纠缠交换【5 0 】。在量子计算方面，m i l b u r n 等人伍理论上证明只用分束器、相移器等线性光学元件、及光子探 测器和单光子源就能进行有效的量子计算f 5 1 1 ，z e i l i n g e r 研究组用实 验实现了m i l b u r n 等人在文献 5 1 中使用的重要操作一非线性符 号相移( n o n l i n e a rs i g ns h i r ) 变换 5 2 ，随后中国科大研究组实现了 p i t t m a n 等人f 5 3 1 提出的非破坏控制非门( n o n d e s t r u c t i v ec o n t r 0 1 1 e d n o t 舭1 一) 【5 4 1 ，同时m o h s e n i 等人以d e u t s c h j o z s a 算法为例子，在实验上 2 研究了征相位噪声影响下无消相干子空间( d e c o h e r e n c e f r e es u b s p a c e ) 编码的作用f 5 5 1 。 自从量子信息科学诞生后，量子纠缠这种复合量子系统的非局 域关联就成为了许多量子信息处理过程中的必需品。由于量子纠缠 可以在信息处理过程中被转移，同时携带纠缠特性的量子态在信息 处理过程中还n ，能被损耗，凶此量子纠缠是一种物理资源。从信息 科学的角度来研究量子纠缠就是对这种物理资源的分类、量化和应 用。剥于现今已有的各种纠缠态，我们探讨了两体高维纠缠相干态 的度量。革子纠缠在量子信息科学中的一个典型应用是量子隐形传 念，量子隐彤传态所传送的是量子信息，这个方案最早由b e n n e t t 等 人提6 。他们的基本思路是：将原有系统的信息分成经典信息和 阜子信息两部分，它们分别由经典通道和量子通道传送给接收者。 经典信息是发送者对原有系统进行某种测量而获得的，而量子信息 足发送者在测量中未提取的其它信息：接收者在获得这两种信息后， 就可以制备出与原有量子态完全相同的复制品。随后各种传送方案， 各种态的传输相继出现5 65 8 。而且量子隐形传态也已在光学实验 实现f 3 23 4 1 。本文在量子纠缠的应用方面，既研究了离散变量的 量子隐形传态的光学实现，又研究了两体高维纠缠相干态的量子隐 形传态。 随着量子信息学的发展，一个新的学科交叉点量子博弈也 逐渐卅现在人们面前。量子博弈是量子信息学与博弈论相结合的产 物。量子信息学中的许多问题都可以看成博弈过程。例如，量子密码 通信巾，窃听过程可以认为是窃听者与信息发送者之间的博弈，量 r 兜隆u 以认为足物理学家与自然界的一一个两人博弈，而量子算法 则可看作是量子玩家与经典玩家之间的博弈 6 3 】等等，所以博弈论 的量子化有助于量子信息的研究。量子博弈的起源可追索到w i e s n e r 的量子钱币j 、口j 题f 5 9 1 ，接着c h b e n n e t t 为解释量子密钥分布的b b 8 4 方案f 4 采用了量子抛硬币博弈。1 9 9 5 年m a s s a r 为研究从有限量子 系练巾最多能够获得多少信息引入了量子博弈一词6 0 1 ，并给量子 博弈。洲打上了引号。这个时期的量子博弈都是作为阐述研究的问 题l 而引入的比喻性描述，然而真正将量子物理学固有特性( 例如态 的棒加性和量子纠缠等) 引入到经典博弈中，并将经典博弈模型量 3 子化的量子博弈论则开始于m e y e r 和e i s e r t ，m e ”r 首先发现将零和 便士博弈( p q 博弈) 中参与人的策略空间拓展到量子范围，可使得 参与人获得更多的利益6 1 1 ，e i s e r t 则做了进一步的推广，将量子纠 缠引入到囚徒困境中，发现困境不复存在，接着多参与人非合作量 子博弈【6 3 ，6 4 、多参与人合作量子博弈 6 5 ，6 6 都相继被推出，同时 量子博弈已经在核磁共振计算机上实现 6 7 ，量子博弈在生命学 6 8 和经济学6 9 ，7 0 上的可能应用也开始有所探讨。 本文是一篇利用光学系统进行量子信息处理的理论性文章，主 要研究光子纠缠态的产生与制备、纠缠的量度和纠缠的传送，以及 以纠缠为基础的几个典型量子信息处理过程( 包括量子隐形传态、量 子博弈和量子无错鉴别) 的光学实现。结构和章节安排如下： 第一章简单介缁了量子信息学所包含的内容和现今的发展，以 及量子博弈论的发展状况。第二章介绍了量子信息学的基本知识和 量子信息处理的基本原理。第三章介绍了几种简单的、常用来做量 子信息处理的线性光学元件。从第四章开始，每一章中都有我们的工 作。其中第四章到第六章是离散变量的量子信息处理。第四章在介 绍完g o r b a c h e v 等人利用三粒子g r e e n b e r g e r h o r n e z e i l i n g e rf g h z ) 态 传送术知e p r 纠缠态的理论方案后，我们利用量子比特的单光子表 示，提出了实现包括e i n s t e i n p o d o l s k y - r o s e n ( e p r ) 态在内的两个量子 比特任意纠缠态的量子隐形传态的全线性光学实现方案。第五章，首 先介绍了m e y e r 的零和便士博弈( 又称p q 博弈) 和e i s e r t 等人的量 子囚徒困境博弈，随后通过非线性光学元件与一些线性光学元件的 组合，我们给出了两种量子博弈的光学实现方案。第六章，首先介绍 了非正交量子态无错鉴别方法，然后讲述了空间直和扩张的最佳无 错鉴别方法，以及光学实现，最后基于空间的直积扩张，我们提出了 用光子的两类自由度对任意数目的非正交线性独立态进行最佳无错 鉴别的线性光学实现方案。第七章到第九章讲述的是连续变量的量 子信息处理。第七章，首先介绍了压缩真空态，后通过利用线性光 学元件、非线性k e r i ，介质以及引入的一种非线性相移器( 压缩相移 器) ，我们提出了一种生成纠缠压缩真空态的光学实现方案。并讨论 了实现j f i 缩相移器的可能性。第八章，在介绍完现今常用的四种纠 绵度嚣与式和线性独立对称态的定义后，我们研究了两体高维纠缠 4 相十态的纠缠度，并提出了计算其纠缠度的计算方法。第九章，我们 提i 利用分束器、相移器和光子探测器来进行一类连续变量系统构 成的多体未知纠缠态的量子隐形传态方案。第十章总结全文，并对 未来t 作提出展望。 5 第二章 量子信息的基本原理 信息是当前社会最热门的词语之一，它代表着某一抽象的有待 传送、交换、存储以及提取的内容。信息是物理的，它反映了物理实 在的客观本质，信息必须编码在某一物理系统的特定状态上才能被 识别和处理，而信息的识别和处理也是由某一真实的物理实现装置 来执行的。 2 1 量子位 经典信息基元是比特，它有两个取值 0 ，1 ，同样在经典计算中， 每个数据要么是o ，要么是1 ，经典计算机中的每一个二进制数据位 的0 和1 由电平的高低决定，从物理角度讲，比特是个两态系统，它 制备在两个可识别状态“是”或“非”、“真”或“假”、“0 ”或“1 ”中 的一个上。相应的，量子信息的基本单位称为量子比特，它是一个两 态量子系统。量子比特的两个态1 0 ) 和1 1 ) 分别对应于经典比特的0 和l ，它们是两个独立可区分的态。与经典比特不同，量子比特不仅 几j - 以处于i o ) 或j 1 ) 态，还可以是j 0 ) 和1 1 ) 的叠加态。 q 、 掣) = 口l o + 口1 1 ) = i ；) ( 2 1 ) 其r f ln 和声是复数，且川。+ 蚓。= l 。从另一个角度看，量子比特 足定义在二维h i l b e r t 空间的一个单位矢量，该空间由正交基矢 0 ) 和 1 ) 张成。这两个基可以是光子相互正交的两个偏振方向，如水平 线偏振j h ) 和垂直线偏振j y ) ，也可以是电子或原子核的自旋向上态 t ) 和自旋向下态l1 ) ，还可以是两能级系统的基态和激发态，而且 也可以是任何量子系统的空间模式，等等。由于量子比特的归一性， 忽略整体相因子，方程( 2 1 ) 可以写成 沪c o s 扣+ e 4 ps i l l 扣 ( 2 2 ) 对应于三维空间单位球面上的一点，这个球称为b l o c h 球，实数 日和乒描叙这个点的位置。虽然b 1 0 c h 球面上的点有无穷多个，但一 7 个量子位j0 能编码一个经典的位，换句话说，即使日和妒可以连续 变化，但是一个量子位和一个经典位所包含的信息量是一样的。因 为只有通过测量才能读取包含在量子位中的信息，而测量一个量子 何时，茸= 子位的叠加态会以1 1 ：的概率塌缩为1 0 ) ，以吲2 的概率塌 缩为1 1 ) 。如果量子比特的叠加系数未知，通过一次测量无法决定o l 和；的驳值，然而可以肯定测量后的量子比特制备在已知的量子态 上。量子位信息的提取就象在经典计算机中一样都只有两个可能的 结果，出此可见经典比特是量子比特的特例。 2 2 量子逻辑门 经典计算线路包含线路和逻辑门，线路承载信息，逻辑门操纵 信息，使线路承载的信息发生演变。与此类似，线路和量子逻辑门组 成量子计算线路，由于量子系统的演化遵从薛定谔方程，因此量子 逻辑fj 都是幺正的。量子逻辑门按其作用的量子位数目，可分为一 位fj 、二位门、三位门等。p a u t i 算符是作用于单量子位的量子逻辑 门算符，住计算基矢1 0 ) 、1 1 ) 中p a u l i 算符的定义为： y i 口，三 ( 。1 ( ： ；) ，= ( ；。1 ) 苫)s 三( ：三) ， 皿。， 不难发现p a u l i 算符是幺正算符，其中p a u l i 算符x 称为量子非门，因 为它反转计算基矢：x l o ) = 1 1 ) ，x 1 1 ) = 1 0 ) ，类似于经典的非门：p a u l i 贸：符z 称为相位反转门，它使计算基矢1 0 ) 和1 1 ) 的相对相位相差 ”：是恒等门，即不做任何操作。另外两个七匕较重要的单量子位逻 辑门是h a d a m a r d 门和相移门，它们的定义分别如下： ，、 h ；，1f 11 1 ，s 三f 1 u 1( 2 4 ) 、2 、l l 。、0 e ”“4 h a d a m a - d 门也被认为是非门的平方根，因为它将1 0 ) 态和1 1 ) 态分别 演化为1 0 ) 到1 1 ) 的中间状态去( i o ) + 1 1 ) ) 、去( l o ) 一1 1 ) ) ，但h 2 并不 是非门，简单计算可知h 。= ，也就是说，使用h a d a m a r d 门两次 8 等j i 什么都没做。注意到s 4 ：z ，h z h ：x 以及z x = i y ，因此 h d 1 b i t l d 门和相移门的组合可以产生任意p a u l i 算符。 作用在多量子位的逻辑门中，最重要的是对两个量子位进行操 作的控制非门，记为瓯。它的表示如下： o n o f = 00 l0 0 0 0l 0 0 ) 一1 0 0 ) 0 1 ) 一1 0 1 ) 1 0 ) 一1 1 0 ) 1 1 ) 一1 1 0 ) ( 2 5 ) 第一个量子位在控制非门的作用前后保持不变，称为控制量子位。第 二个量子位称为目标量子位，它的改变依赖于第一个量子位的状态， 若控制位为1 1 ) ，该门对目标位做非操作，否则目标位保持不变。显 然，( g 。) 2 = ，0 任意多量子位逻辑门都可由单量子位旋转门和控制非门组成【1 1 4 ， i n j 任意单量子位旋转门均可由h a d a m a r d 门和相移门的组合实现，因 此控制非门，h a d a m a r d 门和相移门构成普适门。 2 3 量子不可克隆( n o c l o n i n g ) 定理 克隆是指保持原有物体不变，而复制出一个与之完全相同的另 4 物体。我们都知道经典计算机中的数据可以被重复使用和拷贝，即 b o o l 态是能够被克隆的，而在量子计算中经典的b o o l 态对应着相互 止交的汁算基矢i o ) 和1 1 ) ，这也就是说：相互正交的量子态能够被 克隆。例如，存在这样的幺正操作仉 叽：m m _ i o ) a m 1 1 ) 一1 0 8 一1 1 ) a 1 ) 8 ( 2 , 6 ) 尤论第个量子位处：l o ) 还是1 1 ) ，它都能将这个量子位的态拷贝 钊第二二个量子位中。但如果第一个量子位处于1 0 ) 和1 1 ) 的某一叠加 态= a t 0 ) + 6 1 1 ) 则在上述幺正操作巩作用下，l 砂) 将演化为 u i ：( 。j o ) a + b1 ) h ) i o ) 口一a 1 0 ) a 1 0 ) b + b 1 1 ) a 1 1 ) 8 ， ( 2 7 ) 而这个态并不是l 砂) 。i 砂) 8 ，即第二个量子位未形成第一个量子位的 9 拷贝。由此得出结论：一个未知的量子态不可能被完全精确复制。 考虑两个不同且不正交的量子态l 妒) 和i 妒) ，假设存在这样的量 子克隆机器，它能够作出j 妒) 和l 妒) 的完全拷贝，即存在操作u 完成 下面变换 u ：1 怖。 f 2 8 1 i f ) “i o ) 日一i f ) 一f f ) e ， 、 根据量子力学的幺正性有 ( 0 1 f ) a = ( 妒i 妒) 一b ( 妒 妒) b ， 由于i 砂) 和i 妒) 是非正交的，因此只有 ( 2 9 ) ( 妒i 妒) = 1 ，( 2 1 0 ) 也就意味着i 妒) 和i 妒) 是相同的态。这表明：若i 妒) 和i 妒) 是两个不 同且非正交态，则不存在一个这样的幺正量子机器，能够作出l 妒) 和 l # ) 两者的完伞拷贝。 以上的结论就称为量子不可克隆定理，它是由量子力学的态叠 加原理，以及系统态的演化须遵从幺正变换这两个基本原理所导致 的。这个定理是量子信息与经典信息的另一重要区别，同时量子不 口j 克隆定理也是确保量子通讯安全的基础。 2 4 量子纠缠 1 9 2 7 年在s o l v a y 物理学会议上，以e i n s t e i n 和s c h r s d i n g e r 为代 表的方与以b o r h 和h e i s e n b e r g 为代表的c o p e n h a g e n 学派开始了 关十量子力学基本问题的论战，引发了一系列关于量子物理思想观 念的深入探讨。纠缠态的概念最早由s c h r s d i n g e r 和e i n s t e i n 等人提 出，s c h r 6 d i n g e r 对波函数的统计诠释提出置疑时，在其假象的实验1 1 中给出一个宏观系统与离散系统的二体纠缠态；e i n s t e i n ，p o d o l s k v 和 r o s e n 为证明量子力学是不完备的，在假想的e p r 关联实验中提出 连续变量的二体纠缠态，后人称之为e p r 对f 2 1 。纠缠态是多粒子体 系的种不能表示为直积形式的叠加态。 1 0 设双电子体系，处在自旋单态上，其波函数为 山) = 击( 1 ) 2 叫川嘁 ( 2 1 1 ) 其中1 0 ) 和1 1 ) 是z 方向自旋算符本征态。显然l 皿一) 不能写成电子1 态! 妒) 。和电子2 态l 吵) 。的直积形式i 砂) ， i 砂) 。当测量电子1 或电 子2 的。方向白旋时，将以1 2 的概率得到自旋向上的态0 ) ，以1 2 的概率得到自旋向下的态1 1 ) 。若在某次测量后，发现电子1 的自旋 沿：的止方向，这时再测量电子2 的自旋，根据波包塌缩原理，得 到的结果必定是电子2 沿z 的负方向。这个态是b o h m 为简单明了 地表述e p r 佯谬而给出的双电子体系的e p r 态，e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和r o s e n 早已指出，e p r 态一旦制备出来，无论两个粒子相隔多远， 这种关联依然存在。然而沿z 轴方向的测量并不能完全说明量子关 联，因为以5 0 分布于1 0 1 ) 和1 1 0 ) 的两个粒子，构成的系统处于态 】0 1 ) ( 【) l i 十i 1 1 1 0 ) ( 1 0 i ，在沿z 轴方向进行测量时，若测得其中一个粒子 以5 0 的几率处于1 0 ) ( 1 1 ) ) ，则另一个粒子必定处于1 1 ) ( i o ) ) 态，但当 我们沿z 轴方向进行测量时，由于基矢变换，这个混合态的密度矩 1 5 年