（应用数学专业论文）可列m重非齐次马氏链的强大数定律.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 马氏链作为描述一类实际问题的数学模型，在经济学、生命科学、 随机服务系统、计算科学、随机分形等邻域中取得了极为丰硕的成果 近几十年来，人们对非齐次马氏链的极限定理和遍历性开展了大量研 究多重马氏链的概念是一般马氏链概念的自然推广，多重马尔可夫 信源是一类很重要的信源，如语声、电视信号故对多重马氏链理论方 面的研究具有很大的研究意义 本文的目的是研究可列m 重非齐次马氏链的遍历性及强大数定 律第一章主要介绍马氏链的相关研究及进展。第二章介绍马氏链的 基础理论知识第三章在第二章的基础上给出可列肌重非齐次马氏链 的定义及相关定义与性质第四章研究可列所重非齐次马氏链的强大 数定律首先利用鞅论中的结果与遍历系数相结合的方法得到了可列 所重非齐次马氏链关于m + l 元函数的一个强大数定律；其次在已有结 论的基础上，对数列h ，片m 加以限制，得到可列加重非齐次马氏链 泛函的一个强大数定律，并推广刘国欣等人关于可列非齐次马氏链强 大数定律中的一些结果第五章首先引用杨卫国对马氏链绝对平均强 遍历的概念，利用转移概率的形式给出可列肌重非齐次马氏链绝对平 均强遍历的概念，并给出其充分条件，最后讨论其在马氏决策过程和 信息论中的应用 关键词：非齐次马氏链，遍历，强大数定律，转移概率 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t m a r k o vc h a i ni s am a t h e m a t i cm o d e l d e s c r i b i n gp r a c t i c a l p r o b l e m s ，i t h a s g o t r i c h p r o g r e s s i n m a n y a r e a ss u c h a s e c o n o m i c s ，b i o l o g y , s t o c h a s t i c s e r v i c e s y s t e m ，c o m p u t e r s c i e n c e t h e r e s e a r c ha b o u tl i m i tt h e o r e m sa n de r g o d i cp r o p e r t i e sh a sb e e nr e s e a r c h i n g i nr e c e n ty e a r s t h ed e f i n i t i o no fm t h o r d e rn o n h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i ni sa ne x t e n s i o no ft h ed e f i n i t i o no fm a r k o vc h a i n m t h - o r d e r m a r k o vi n f o r m a t i o ns o u r c ei sa l li m p o r t a n ti n f o r m a t i o ns o u r c e s ot h e r e s e a r c ha b o u tt h et h e o r yo fm t h o r d e rm a r k o vc h a i ni sv e r yi m p o r t a n t t h ea r t i c l ei sg o i n gt os t u d yt h ee r g o d i cp r o p e r t i e sa n ds t r o n gl a wo f l a r g e n u m b e r sa b o u tm t h o r d e rc o u n t a b l e n o n h o m o g e o u sm a r k o v c h a i n s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c ha n d p r o g r e s s e sa b o u t m a r k o vc h a i n s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r yw h i c h n e e d st ou s ei ns u b s e q u e n tc h a p t e r s i nt h et h i r dc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h e d e f i n i t i o no f m t h - o r d e rc o u n t a b l en o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n so nt h e b a s i so ft h es e c o n dc h a p t e r i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es t u d yt h es t r o n gl a w o fl a r g en u m b e r sf o rm t h - o r d e rc o u n t a b l en o n h o m o g e n e o u sm a r k o v c h a i n s f i r s t l y , w eg e tas t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r so ft h ef u n c t i o n so f m + l t hv a r i a b l e so f m t h o r d e rc o u n t a b l en o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s b y m e a n so fm a r t i n g a b l em e t h o da n dt h ee r g o d i cc o e f f i c i e n t t h e n c o n s t r a i n i n gn u m b e rs e q u e n c e a n ，所 ，w eo b t a i nas t r o n gl a wo fl a r g e 江苏大学硕士学位论文 n u m b e r sf o rf u n c t i o n a l so fc o u n t a b l en o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s b a s e do no b t a i n e dr e s u l t s i ti sa l le x t e n s i o no fl i ug u o x i n sr e s u l t i nt h e f i f t hc h a p t e r , f i r s t l yw eq u o t et h ec o n c e p to fa b s o l u t ea v e r a g es t r o n g e r g o d i cw h i c hy a n gw e i g u oh a si n t r o d u c e d ，t h e nw ei n t r o d u c et h ec o n c e p t o fa b s o l u t ea v e r a g es t r o n ge r g o d i ci nt h ef o r mo ft r a n s i t i o np r o b a b i l i t y a n dg i v ei t ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n f i n a l l y , w ed i s c u s si t sa p p l i c a t i o ni n m a r k o vf u n c t i o ns y s t e ma n di n f o r m a t i o nt h e o r y k e yw o r d s ：n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s ，e r g o d i c ，s t r o n gl a wo f l a r g en u m b e r s ，t r a n s i t i o np r o b a b i l i t y i i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密日。 学位论文作者签名：手秀 加6 年月r 日 指导教师签名： 荆 鲁6 年j ) - 其l 譬b 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：芬氇 日期：乒神；年多月r 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 马尔科夫链的简单定义及例子 马尔科夫过程是随机过程中历史最悠久且充满活力的一类随机过程这一类 随机过程的特点是，当过程在时刻“所处的状态已知，则过程在t 。以后所处状态 与过程在气以前所处状态无关，这个特性叫无后效性，也叫做马尔科夫性通俗地 说，就是“已知现在，将来和过去无关”若马尔科夫过程 z ( f ) ，t t ) 的状态空 间s 为r 中的可列集，则称 z ( f ) ，r t ) 为马尔科夫链若r 为可列离散集，则称 彳( f ) ，r t ) 为离散参数马尔科夫链；若r 为连续的，则称 x ( f ) ，t t ) 为连续参 数马尔科夫链本文主要研究离散参数马尔科夫链，其严格数学定义将在下一章 给出 自1 9 0 7 年苏联数学家a a m a p k o b 引出马尔科夫链概念以来，人们对马尔科 夫链的研究可以说盛久不衰如研究有限或可数马尔科夫链【。2 1 ，研究马尔科夫链 及随机稳定性【3 】，研究马尔科夫链的基础及应用1 5 1 ，以及对马尔科夫链基础知识 的研究1 为了更加形象的了解马尔科夫链，我们在此举一个马尔科夫链的例子 ( 水库贮水模型)某水库所在地区每年的降雨量为独立同分布的随机变量 令e 表示第，z 年降雨使水库增加的贮水量，而以表示第疗年开始时水库的贮水 量，假定水库容量是k 个单位，又每年放水都按如下规定执行：若水库内存水量超 过膨( 是相互独立的随机变量序列，因此以+ 。完 江苏大学硕士学位论文 全由置所决定，并且以+ 。与( x l ，以一。) 独立无关，故 以，疗= 1 ，2 ，) 是状态空间 为 0 ，1 ，k 一肘 的马氏链为求此链的一步转移概率，对j = o ，l ，及”= 1 ，2 ， 令 p = p ( k = _ ，) ：g ，= p k = p ( k ，) t ；0 由式( 1 1 1 ) ，在咒= 0 的条件下要使“= 0 应要求m ，故对任何 ”= 1 , 2 ，有 。= 尸( 以+ l = o i 以= o ) = p ( e m ) = 瓯 仍由式( 1 1 1 ) ，在瓦= l 的条件下要使以+ 。= k m 一1 ，即要求1 1 1 i n ( k ，l + e ) 一m i n ( m ，1 + k ) = k m l ，于是有k = k 一2 ，故。p i 弘m i = p ( 五+ i = k m 1 1 咒= 1 ) = p ( k = k 一2 ) = p k 一：，n 1 再由式( 1 1 1 ) ，在以= m 的条件下， 要使以+ i = k m ，即m i n ( k ，膨+ k ) 一m i n ( m ，m + ) = k m ，即要求 匕k m ，故 。p m t r 一肼= j p ( 爿j + i = k m m ) = p ( k k m ) = 爿_ 一m l ，挖1 其它的。p , ，f ， o ，1 ，k m ) 类似地可求出从而得到一步转移概率矩阵为 o 1 。岛】= m m 十l k m o 1j 【一肘一1k m g mpmnpxhk g 0 一lp m p x 一2 巩一l g 0 o p 1 乳 p r h l p x 一“一2 h k w h k 一l 0 0 p m i ，即l 由式( 1 1 2 ) 知【。p , a 实际上与圩无关，故此马氏链还是齐次的 2 p = 芷p 。啡 = 江苏大学硕士学位论文 1 2 马尔科夫链收敛问题的研究进展 在实践中所遇到的马尔科夫随机系统，它的转移概率矩阵常常是随时间而异 的，为了更加如实的描述客观现象，获得更逼真的结果，必然导致非齐次情形的 研究，这便大大地增加了研究对象的复杂程度与解决问题的难度，因此与齐次马 氏链已取得的丰硕且深刻的成果相比，显得相当不足，故非齐次马氏链至今仍是 有待深入研究的重要论题 关于可列非齐次马氏链的强大数定律已有不少研究朱成熹、刘国欣等人研 究了可列非齐次马氏链一元函数的强大数定律 6 - s 九十年代初，刘文、杨卫国 研究了可列非齐次马氏链状态和状态序偶出现频率的强大数定律 9 - 1 0 然而初始 分布和转移概率矩阵列决定了非齐次马氏链，而初始分布是于变万化不可控制 的，则研究马氏链的转移概率矩阵的各种收敛性，亦即马氏链的各种遍历性是极 其重要的d i s a a c s o n ，r m a d s e n 等人在二十世纪七十年代提出的马氏链的弱遍 历性、强遍历性、c e s a r o 平均收敛( 又称c 强遍历) 就是转移概率矩阵列以各 种形式收敛【l ”随后，对于非齐次马氏链转移概率矩阵列的各种收敛性质， d i s a a c s o n ，b b o w e r m a n ，h t d a v i d ，b e t h o a d e s 等人相继作了一些深入研 究1 9 7 6 年，c h e n g c h ih u a n g ，d i s a a c s o n 和b v i n a g r a d e 等人首先研究并论证 了一齐次马氏链的转移概率矩阵尸强遍历，随后又研究了转移概率矩阵列 只，珂1 ) 收敛于一强遍历转移概率矩阵的非齐次马氏链的性质m 1 1 9 7 7 年， b b o w e r m a n ，h t d a v i d 和d i s a a c s o n 等人提出了周期强遍历随机矩阵的概念， 并论证了一非齐次马氏链转移概率矩阵列收敛于一周期强遍历矩阵，该马氏链的 c e s a r o 平均收敛性1 9 7 9 年，b e r h o a d e s 也讨论了转移概率矩阵列收敛于周 期强遍历矩阵的非齐次马氏链，论证了该马氏链比c e s a r o 平均收敛更强的结论 f 1 3 随后，陈永义等人于1 9 9 6 年利用两个非齐次马尔科夫链的转移概率矩阵列 的比较，讨论了两个遍历性的关系，得到一个非齐次马尔科夫链是强遍历的一些 充分条件且分析了非齐次马尔科夫链的一致强、弱遍历的关系，得到一个非齐 次马尔科夫链是一致强遍历的一些充分条件i 4 1 但是，对于非齐次马氏链转移矩 3 江苏大学硕士学位论文 阵列收敛尤其是收敛于周期强遍历矩阵性质的研究很少有人做直到九十年代 末，杨卫国在前人研究的基础上，进一步减弱条件，研究一类更广泛的非齐次马 氏链，得到该马氏链c e s a r o 平均收敛，推广了b o w e r m a n 的一个结论【1 5 】，并应用 到马氏决策过程和信息论中 1 6 1 、【2 “另外，杨卫国于1 9 9 4 年提出马尔科夫链绝对 平均强遍历的概念，并给出非齐次马尔科夫链满足这种强遍历的充分条件，得到 非齐次马尔科夫链熵率存在的一个定理 1 8 - 1 9 1 本文首先研究可列聊重非齐次马氏链的强大数定律；其次引用杨卫国教授提 出的绝对平均强遍历的概念，给出可列重非齐次马氏链绝对平均强遍历的概念， 并给出其绝对平均强遍历的充分条件，并讨论其在马氏决策过程和信息论中的应 用 4 江苏大学硕士学位论文 2 1 马氏链的定义 第二章预备知识 相对于一随机试验，设q 是所有样本点 构成的样本空间，厂是q 上的所 有随机事件构成的事件集合称为盯一代数，尸是定义在厂上的概率测度称定义 在概率空间( q ，厂，p ) 上的随机变量族x = 置( ) ，t ) 为一随机过程，其中r 为 一参数集若丁是一个含有可列多个元素的无限集，例如 以( ) ，1 7 0 ) 称为离散 参数的随机过程一个随机过程所有可能取值的集合称为该过程的状态空间，记 作s ，如果s 是可列集或有限集，则称此过程为链在这些知识的基础上，我们给 出马氏链的定义 定义2 1 1 设x = 以，珂o ) 是定义在概率空间( q ，尸，p ) 上离散参数的随 机过程，状态空间s 为可列集或有限集，如果石具有由下式定义的马尔科夫性( 简 称马氏性) ：即对任意的非负整数n 及任意的状态f o ，。s ，只要 p ( x o = i o , 五= ，以= ) 0 ，总有 p ( 以+ 。= + 。i x o = i o , 五= ，以= i o ) = p ( 以+ t = + li 瓦= ) ( 2 1 1 ) 成立，则称z 为离散参数的马尔科夫链。若s 为可列集或有限集，则称z 分别 依次为离散参数的马尔科夫链和有限马尔科夫链。本文仅研究离散参数的马尔科 夫链，以后简称为马氏链 下面我们给出马氏链的等价性质捌： 定理2 1 1 设z = 以，月0 ) 是定义在概率空间( q ，厂，p ) 上的随机序列， z 的状态空间s 是可列集或有限集，则下列陈述互相等价： ( i )x 是离散参数的马氏链，即式( 2 1 1 ) 成立 ( i i ) 对任何正整数撑，任何非负整数列：0 t o t l 0 ，以后不再一一声明。 ( i i i ) 对任何正整数n ，任何非负整数列：0 “ ，i ，。以及任何 i o ，+ l s ，恒有 p ( 饩= i o , 五= 1 1 ，k2 + t ) = p ( 五= f o ) p ( 五= l 五= 毛) 尸( 屯= + “五= ) ( 2 1 3 ) = p ( 函= f ) p ( 五= f oi = d p ( = 0 t | = ) ( 2 1 4 ) 瞧s ( i v )对任何正整数疗、m ，任何非负整数列：0 乇 t l + i + 。以 及任何i o ，i 。，+ l + 。s ，恒有 p ( x t 。= i n “，x f ，= h + m x h 2 曳，x k 2 i n ) = 尸( h = 。，k = + ，f 气= ) ( 2 1 5 ) ( v )对任何正整数丹、m ，任何非负整数列：o _ t o t i 厶 + i + ，以 及任何f o ，i ”i 。，f 。+ l ，i 。+ 。s ，恒有 p ( 五= o ，o - , 屯；o = 厶一，k 。+ ，l 2 ) = p ( 五= f o ，盖0 = 一t f 爿i2 ) x p ( x 0 = 。，一，x 0 = + ，i x i = 0 ) ( 2 l 6 ) ( v i ) 对任何正整数疗、所，任何非负整数列：0 t o f l 厶+ i + 。以 及任0 7 i o ，+ l ，+ 。s ，恒有 p ( 爿- f 。= i o , - - - , 爿0 = 一t l j _ 2 ，义02 “，x t 。2 + m ) = p ( 五= f 0 ，= 一。l 五= ) ( 2 1 7 ) ( v i i ) 对任何正整数疗以及任何i s ，记厂 五，0 k h 一1 ) 是由x o ，以一。生 江苏大学硕士学位论文 成的最小仃一代数，即包含q 及一切形如 缈：五( c o ) = n0 k n ，s 的 6 0 集，并对取余及可列并运算封闭的最小集类，又记厂( 五，k 一+ 1 ) 是由 以。以。生成的最小盯一代数，则对任何a 厂( 五，0 兰k s n - 1 ) ， b 厂( x k ，k 聆+ 1 ) ，恒有 e ( b l a ，以= i ) = p ( 8 l 以= f ) ( 2 1 8 ) ( v i i i ) 对任何正整数n ，任何i s ，以及任何a 厂( 五，0 k n - 1 ) ，b 厂 ( 爿：，k n + 1 ) ，恒有 p ( a b i 置= i ) = p ( a 瓦= i ) p ( b i 以= i ) ( 2 1 9 ) ( x ) 对任何正整数n ，任何i s ，以及任何a 厂( 丘，0 k 玎一1 ) ，b ，( 五， k 疗+ 1 ) ，恒有 p ( a l 咒= f ，b ) = e ( a i 以= i ) ( 2 1 1 0 ) 注2 1 1由马氏链定义及等价定义的( i i ) ，( v ) ，( v i i i ) 知，在已知x 。= i 的条件下，系统过去的历史与它的下一步是独立的，及对它的将来的任何转移都 是独立的 注2 1 2 由等价定义的( v i i ) ，( x ) 知如果随机序列 x o ，z l ，以，以。) 是马氏链，勇g z , ，以。_ 0 ，x 。，x o 仍是马氏链 注2 1 3 除性质( i i i ) 之外，其它定义形式都是通过条件概率来刻画马氏 性的 定义2 1 3 设 以，n 0 ) 是马氏链，其状态空间s 不妨取为 1 ，2 ，) 或 1 ，2 ， ，x 在时刻行处于状态i 的条件下，经过m 步转移，在时刻n + m 到达状 态，的条件概率p ( e + 卅= j i 咒= 0 称为x 的m 步转移概率，记为 岛( 阼，盯+ 用) 或 。矽 。p 伽= ( 。疗) 称为x 的脚步转移概率矩阵列 7 江苏大学硕士学位论文 当m = 1 时。硝、。尸“分别记为p o ( i ，- ，) 、只则称 见( f ) ，甩1 ) 为马氏链 以，n o 的一步转移概率，简称转移概率；若随着胆的变化只也变化，则称 以，r 0 为非齐次马氏链， 只，疗1 为其一步转移概率矩阵列，简称转移概率 矩阵列；若随着即的变化只不变化恒为p ，则称 x 。，盯0 为齐次马氏链，p 为其 一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵 定理2 1 2 对任何正整数m ，及非负整数n ，马氏链的转移概率矩阵 。尸8 “，。p f ，。+ 。p 。满足下列方程： p “l 。p p o ( 2 1 1 1 ) 称式( 2 1 1 1 ) 或( 2 1 1 2 ) 为切普曼一柯尔莫哥洛夫方程，简称为c k 方程 2 2 相关足义及性质 定义2 2 1 设厂= ( f i ，以，石，) 为一行向量，定义，的范数洲如下 = l ：i j 4 l 设g = ( 蜀，g ：，占，一。是一列向量，定义g 的范数如下 = s u p f g ，i 设4 = ( 口。) 是研珂阶实数矩阵，m 和疗可以是无穷大，定义4 的范数如下： l i a i l = s u p hl = l 易知这样定义的范数满足范数三个公理，并且还有以下性质1 性质2 2 1 对任何矩阵4 与b 有 i i a b i i a i i 8 挖lqs 硝 m肿彬n m = 西 即 江苏大学硕士学位论文 由此司以得出： 性质2 2 2 对任何矩阵4 ，任何行向量厂及任何列向量g 有 恻i - v l l f l a i l ，f l a i l l - l 纯( x ) ，以o 是一列定义在r 上的非负偶函数，使当h 增加时，纯o ) 肛个， 江苏大学硕士学位论文 纯( 工) z 2 山， 以，聍o 是一列单增的正实数列，且吒个0 0 - o o ) ，如果 争生匕呸致。( 2 3 1 ) 智纯( 瓯) 那么对于任意的m i ，有 ! 鳃专喜 鼍一研以i 臣一。】) = 。 a s ( 2 3 2 ) 引理2 32 2 0 1 设 ，”1 ) 是一数列，a 为一实数，如果 熙i i 萎n 旷口i = 。 ( 2 3 - 3 ) 则( i ) 对任正整数m 有 ! 现i i 荟nh 一口i = 。 ( 2 3 4 ) ( i i ) 存在 ，咒1 的一个子列 ，七l ，使 烛。口 ( 2 3 5 ) 引理2 3 3 目( j e n s e n 不等式) 设g 是r 上连续凸函数，f 是概率空间 ( q ，厂，p ) 上的可测函数使得对于厂的子盯域1 9 ，e ( 孝l 口) 和e ( g ( f ) 1 1 9 ) 均有定义 则 g ( e ( 善i | 9 ) ) e g ( f ) | 9 】 a s ( 2 3 6 ) 下面给出两个马氏链的周期强遍历矩阵的性质定理【2 0 】 引理2 3 4 设 以，z o ) 是一个非齐次马氏链，其转移矩阵列为 只，甩1 ) ， 设p 是一周期强遍历的随机矩阵，周期为d ，y i = ( 万。，石：，) 是p 的左特征向量， 并且是方程舻= 石和手乃2 1 的唯一解，设q 是一常定矩阵，其中q 的各行均为万 如果 一l i m l 门面 p t p i i = 。 ( 2 3 7 ) 江苏大学硕士学位论文 则对任何正整数m 有 l i m i i - - e e l , m 一+ 一9 1 1 ：o h n k = l ( 2 3 8 ) 引理2 4 5 设尸是一个周期强遍历的矩阵，周期为d ，7 9 = ( 7 l ，丌2 ，) 是p 的 左特征向量，并且是方程才= 石和手窟，= 1 的唯一解，则 1月 l i m l l 二p 一q l | = 0 ( 2 3 9 ) 。，zk = l 江苏大学硕士学位论文 第三章可列m 重非齐次马氏链的定义与性质定理 3 1 可列m 重非齐次马氏链的定义 定义3 1 1 ( 3 1 设s = 1 2 ) ，x = 五，n o ) 是定义在( q ，毋尸) 上在s 上取值 的随机序列，如果存在正整数埘，对任意的整数疗m 及任意的f o ，s ，如 果p ( 托= j 0 ，以。= 一。) 0 ，总有 p ( 以= l 凰= 乇，以一。= 一。) = p ( 以= i 五一。= 厶。，以- = 一。) ( 3 1 1 ) 成立，且上述条件( 3 1 1 ) 与r l 有关，则称此x 为可列m 重非齐次马氏链 定义3 1 2 记 p ( j l i “) = p ( 以= _ ，i 以一，= ，以4 = ) ( 3 1 2 ) 则称 岛( ，p ) ，2 脚) 为马氏链 以, i t o 的一步转移概率，简称转移概率 记 只= ( 见( ，i ，) ) ( 3 i 3 ) 则僻，以2m 为其转移概率矩阵列 记其，步转移概率为 。( 巾”) = 尸( 以。= ，i 瓦一。= ，以一t = ) ( 3 1 4 ) 若马氏链是齐次的，则其r 步转移概率记为p ( ，i ，) 易知 。( 巾4 ) = e p ( r l i “) 。p “( j i r , i 2 ，i ，) ( 3 1 5 ) 记其t 步转移矩阵列为 。_ p = ( 。p ”( j i g ，f m ) ) ( 3 1 6 ) 由可列所重非齐次马氏链的定义可得到如下性质： 1 4 江苏大学硕士学位论文 定理3 1 1 设 以，甩o ) 是定义在( q ，匠尸) 在s = 1 ，2 ，) 上取值的可列m 重非齐次马氏链，则 i ) v t 1 ，v 以+ l ，4 + ，s 有 p ( 兄+ ，4 。，z + 。a + i x ”= 矿) = p ( 瓦+ ，4 。，托+ 。4 + t l 磙一= x ：- 一) ( 3 1 7 ) 特别地有 尸( 瓦+ ，= x n + ，l x ”= r ) = p ( 瓦+ ，= 。1 j o 。+ 。= x n + - ) ( 3 1 8 ) 证明甚易故从略 i i ) 皿五( 砟。) l x “】= 耳工( 磉。) 陋：= ! - 。+ 。】t 1 ( 3 1 9 ) 证明利用i ) 当t s m 时 目工( j o 。) 1 x “】= z ( 弼n 一- 。t ，矗+ 。) 尸( 垛。= 臻。i x “) = ( x 三，。+ 。) p ( 砟。= x ：+ ，l x 曼。+ 。) “ = 研z ( 碌i x 一 - 】 当t m 时由于 e 眈( 器。) l x ”】 = z ( 碓。) p ( 爿乙= 谁。l z ”) = z l ( x 一。) p ( 爿乙一- - “。t l 一，i z ：。“) = 研z ( 砟。) l z 。】 即i i ) 得证 3 2 相关定义及性质 定义3 2 1 1 8 1 设 p = ( p ( j l i ”) ) 是一聊阶转移矩阵，定义一m 维转移矩阵如下： f = ( 歹( ，”l i ”) ) j s i 4 s “ ( 3 2 i ) f m j “s ” ( 3 2 2 ) 江苏大学硕士学位论文 刚叶个，罐1 吲，2 朋- l z s ， 称为由肌阶转移矩阵p 所确定的历维转移矩阵 定义3 2 2 记 死( “i “) = p ( x 2 1 = ，“i 工孑= ，) ( 3 2 4 ) 其中 彬j i m ) = 卜1 ”嚣一- 1 ，2 ，舻1 z s ， 则 只2 ( 死( - ，”p ) ) ( 3 2 6 ) 为由m 阶转移矩阵只+ 。确定的m 维转移矩阵 定义3 2 3 令 f ”= 乏+ l e + ， ( 3 2 7 ) 易知 哥”( _ ，”l i ”) 一- - rl n 。n + + ，t + ”q = ，”i 工：一1 = j “) ( 3 2 8 ) 且 万( ，”j i ”) = p a r “l i “万“川( ，”l r m ) ( 3 2 9 ) 称 f ”州= ( f ”( ”l i ”) ) ( 3 2 i 0 ) 为 瓦，胆0 的肌维f 步转移矩阵列 定义3 2 4 五，玎0 为定义在s = 1 ，2 ，) 上的可列肌重非齐次马氏链， 如果存在分布 石u ) ，s ，使对w s ，v i ”s ” 熙i 1 善n 恶孙以外下刮= 。 1 6 ( 3 2 1 1 ) 江苏大学硕士学位论文 则称 以，聆0 ) 为绝对平均强遍历的，也称只为绝对平均强遍历的 定义3 2 5 以，刀0 ) 为定义在s = 1 2 j 上的可列研重非齐次马氏链 如果存在朋维分布伽( _ ，”) ，j “s 4 ，使对v j ”，- ，“s ” 魄击喜恶，善妙f ) ( 巾m 扩) 一 z 1 2 ) 则称乏为绝对平均强遍历的 1 7 江苏大学硕士学位论文 第四章关于可列m 重非齐次马氏链的强大数定律 4 1 关于可列m 重非齐次马氏链的一个强大数定律 多重马尔可夫链的概念是一般马尔可夫链概念的自然推广，随着马尔可夫链 理论的不断发展和应用，人们对多重马尔可夫链的理论和应用越来越感兴趣，如 信息论中的多重马尔可夫信源是一种很重要的信源关于非齐次马氏链的强大数 定律在文献 1 2 、 1 9 、 2 0 、 2 1 中已有不少研究，方法不同，结果也各异 本文主要是利用文献 2 2 中的结果及遍历系数证明了可列m 重非齐次马氏链的 一个强大数定律，并推广 1 1 和 1 9 中的一些结果，使其能应用到语声、电视信 号等多重马尔可夫信源的研究中 设x = j 0 ，n 0 ) 是定义在完备概率空间( q ，霉d 上的可列m 重非齐次马氏 链，伍，弗l 是f 的自然盯域流，即曩= o - ( 五，以) ，约定写= m ，研其m 维 初始分布和m 阶转移矩阵列分别为 式中 q ( i o ，一i )乇，一i s ( 4 1 1 ) 只= ( 见( _ ，k ，) )，j e s ”所 ( 4 1 2 ) q ( i o ，一。) = p ( ：c o = i o ，k i = 一。) p o ( j l ，) = p ( 瓦= _ ，l 以一。= ，k 一，= ) ，甩所 易知其有限维分布为 p ( 函= ，以= 矗) = q ( x o ，一。) l - i p ( 黾i 一。，稚一i ) ( 4 1 3 ) k = m 4 1 2 主要结果 引理4 1 1 设 以，珂0 是具有m 维初始分布( 4 1 1 ) 和m 阶转移矩阵 江苏大学硕士学位论文 ( 4 1 2 ) 的可列肌重非齐次马氏链，f oc x | l ，x m + 1 ) 玎肌是定义在s ”1 上的m + l 元函数， 巳，胛研) 是一列单增趋于无穷大的实数列， 纯( x ) ，甩0 ) 如定理2 3 1 ， 如果 争墨! 丝( 厶! 墨。2 丝 - 0 ) 是可列m 重非齐次马氏链，故 z ( 疋。) ，墨，咒m 是 随机适应序列 由定理3 1 1 有 e 阮( 碌。) k 】- 皿工( 砟。) j 冠。 于是由定理2 3 1 可知( 4 1 5 ) 式成立 推论4 1 1 【1 1 1 设 瓦，r o ) 是具有分布( 4 1 3 ) 的非齐次脚阶马氏信源， z ( 咒，+ ) m ) 是定义在s m + l 上的m + l 元函数，设 吒，玎1 ) 是一列单增趋 于无穷大的数列，如果 砰骈( 砰。) o o ( 4 1 6 ) 则有 舰。荟瓴( 砭m ) 一( 硭m ) l x k 一- i 】 = o a s 4 1 7 证明引理4 1 1 中取纯( x ) = x 2 ，r = 1 即得 定理4 1 1 设 以，挖0 是具有m 维初始分布( 4 1 1 ) 和m 阶转移矩阵列 ( 4 1 2 ) 的可列i l l 重非齐次马氏链，设阮( ，) l m ， ，以历 为一列单增的实 数列，且听一：d ( ! ) ，若s u p 口( f i ( k - m + l j - + t ) ) 斗1 ( t - - 0 0 ) ，则 nk ， 1 9 江苏大学硕士学位论文 。l i r a a n “荟 五( 硅m ) 一e 眈( 砭m ) 】) = o 证明由已知1 = 。( ，有薹2 。 于是 哿彰( x l 。) m 2 2 1 时 ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) h p s 印t 挚s 叩1 一1 荟n 队( s k ) i 以k + - t 。 一e g ( x l 。) i = 。a s l i m s u p l i m s 印卜1 荟n - t e 允( x k + t 。) l x ：l 。 一职。( 捌k + + t 。) 炉。a s 五+ ，( 弼k + 4 t ，) i x k + 。 一职+ ，( 捌k + + t 。) i 三茎苎- ! ，_ 墨主堂堡堡查 = f i 硭m + i ) 一五+ f ( 一妒( k 一+ t - 。! = - 五。锄 f = l 互，c p c 霹2 = 一鼍。= ，j 跣。一p c 或嚣= 一五。= ，珑只。f 膨思，互。l p ( 墨k ”+ t 。- i = 只五+ t = ij s k k - 。= 广) p ( 雹k + * t - 。i = 六五+ ，：叫 = m 器，荟。，p ( 瓦w = f | 碟：f ) ( 户f x k + 一t - i 甜j 如+ i - 门 x k + 一t - t 卅) ) l 肘器磊f p ( 捌i t + ，一+ t - 。i = ，f 砼一= 广) 一p ( 以k 。+ t 一- 。i = 门j 一 s u n p 善伊“细州o “- p ( 耀k + t - 。! 刮 又 肘怒磊伊”耻一f ) ( ，p ( 碟k + t 。- i 刮 洲等乏i ，善p ( 砭一叫喇“m ( ，一z k + t - i ，吒硭。f 洲s u p 磊i 互p ( 砭一卵矿”“卢”砸”一磊p ( 砭。妒“m 川 m 思，暮p ( 如+ 1 = l m ) ，s u 。p p ，善j f m + l 扣。( j “i ”) 一f “毗q 州l 尸) | 一，嚣磊伊“h 州一f “小气叩) j - m s ：f 2 2 ( z ( f f 一m + 。m + 。) 由町，：d 正) 得 n l i 严s u p l i n m s u p i b i 罗= 。f t 研屯( 戤k ) i 戤一一现。( 璎。) ) | 刘萼n s u p 争