均值不等式专题20道-带答案.doc

均值不等式专题3学校:_姓名：_班级：_考号：_一、填空题1若log4(a+4b)=log22ab, 则a+b的最小值是_2若a,bR,且a2b2=1, 则|a|+1b 的最大值为_.3已知a,bR，且a+3b2=0，则2a+8b的最小值为_4已知正数x,y满足x+y=1，则4x+1+9y+2的最小值是_.5若直线2ax-by+2=0（a0，b0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则1a+1b的最小值是_6设正实数m,n满足m12,n1，则4m2n1+n22m1的最小值为_7已知a,bR，且2a3b=1，则9a+127b 的最小值是_ 8已知正实数x，y满足x+y=1，则1x4yy+1的最小值是_9已知a2b(a,bR)，函数f(x)=ax2+x+2b的值域为0，+，则a2+4b2a2b的最小值为_10已知x0，y0，且1x+2y=1，则xy+x+y的最小值为_11若正数x，y满足x+5y=3xy，则5x+y的最小值是_12已知正实数x，y满足x+y4=1，则1x+4y-2xy的最小值为_13若x0，y0，2x+y-xy=0，则x+2y的最小值为_14若a+b0，则a2+b2+1a+b2的最小值为_.15已知a，b都是正数，满足2a+b=3，则a+2bab的最小值为_16已知a0，b1且a+b=2，则a2+3a+b2+2b-1的最小值为_17已知点P(x,y)在圆x2+y2=2上运动，则11+x2+11+y2的最小值为_18若函数f(x)=mx2+(n1)x+2(m0,n0)的单调递增区间为12,+)，则1m+1n的最小值为_19已知正实数x，y满足x+2y=4，则2x(y+1)的最大值为_.20已知x0，y0，则x2+3y2xy+y2的最小值为_试卷第1页，总2页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案194【解析】【分析】根据对数相等得到14b+1a=1，利用基本不等式求解a+b14b+1a的最小值得到所求结果.【详解】log4a+4b=log22a+4b=12log2a+4b=log2a+4b=log22ab则a+4b=2ab，即a+4b=4ab 14b+1a=1a+b=a+b14b+1a=a4b+ba+1+14由题意知ab0，则a4b0，ba0则a+b=a4b+ba+542a4bba+54=94当且仅当a4b=ba，即a=2b时取等号本题正确结果：94【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到14b+1a=1的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.22【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当a=0时，b2=1，|a|+1b=1，所以|a|+1b最大值为1，当a0时，因为(a+1b)2=a2+2a+1b2=1+2aa2+11+2a2a=2，当且仅当a=1时取等号，所以-2a+1b2，即|a|+1b最大值为2，综上|a|+1b 的最大值为2.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.34.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果【详解】a+3b-2=0，a+3b=2，2a+8b22a+3b=222=4，当且仅当a=1，b=13时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型4254【解析】【分析】由题得x+1+y+2=4，所以4x+1+9y+2=14(4x+1+9y+2)(x+1)+(y+2)，再根据基本不等式即可求出答案【详解】正数x，y满足x+y=1，则x+1+y+2=4，则4x+1+9y+2=14(4x+1+9y+2)(x+1)+(y+2)=14(4+9+4(y+2)x+1+9(x+1)y+2)14(13+12)=254，当且仅当4(y+2)x+1=9(x+1)y+2时，即x=35，y=25时取等号，故答案为：254【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题54【解析】【分析】由题意可得2axby+2=0(a0,b0)经过圆心，可得a+b=1，再对1a+1b变形后利用基本不等式求得它的最小值【详解】圆x2+y2+2x4y+1=0，即(x+1)2+(y2)2=4，表示以(1,2)为圆心、半径等于2的圆再根据弦长为4，可得2axby+2=0(a0,b0)经过圆心，故有2a2b+2=0，求得a+b=1，则1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab4，当且仅当a=b=12时，取等号，故则1a+1b的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题68【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令x=n1,y=2m1，则x0,y0,4m2n1+n22m1=(y+1)2x+(x+1)2y=(y2x+x2y)+2(yx+xy)+(1x+1y)2y2xx2y+22yxxy+21x1y=4+2xy+2xy4+22xy2xy=8当且仅当x=y=1时取等号.即4m2n-1+n22m-1的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.723【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为9a+127b29a127b=232a3b=23,当且仅当9a=127b，2a=3b=12时取等号，所以9a+127b 的最小值是23.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.812【解析】【分析】由已知分离1x-4yy+1=1x-4y+4-4y+1=1x+4y+1-4，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解【详解】正实数x，y满足x+y=1，则1x-4yy+1=1x-4y+4-4y+1=1x+4y+1-4=12(1x+4y+1)x+(y+1)-4=12(5+y+1x+4xy+1)-412(5+4)-4=12当且仅当y+1x=4xy+1且x+y=1即y=13，x=23时取得最小值是12故答案为：12【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.92【解析】【分析】由函数fx=ax2+x+2b的值域为0，+，可得8ab=1，a2+4b2a2b化为a2b+12a2b，利用基本不等式可得结果.【详解】fx=ax2+x+2b的值域为0，+，a01242ab=0,8ab=1，a2+4b2a2b=a2b2+4aba2b=a2b+12a2b，a2b,a2b0，a2b+12a2b2a2b12a2b=2，当a2b=12a2b，即a2b=22是等号成立，所以a2+4b2a2b的最小值为2，故答案为2.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.107+43【解析】【分析】由已知将xy+x+y化为一次式，运用 “1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为1x+2y=1，所以xy=y+2x，xy+x+y=3x+2y=(3x+2y)(1x+2y)=7+2yx+6xy7+43（当且仅当y=3x，即x=1+233，y=2+3时取等号），所以xy+x+y的最小值为7+43，故答案为7+43.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.1112【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出【详解】正数x，y满足x+5y=3xy，则1y+5x=3，5x+y=13(5x+y)(1y+5x)=13(25+1+5xy+5yx)13(26+25xy5yx)=12，当且仅当x=y=2时取等号，故5x+y的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用.属基础题122【解析】【分析】利用“1”的代换，求1x+4y得最值，再对x+y4=1直接利用基本不等式求xy得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足x+y4=1，1=x+y42xy4=xy，1x+4y-2xy=(1x+4y)(x+y4)-2xy=1+4xy+y4x+1-2xy2+2-2=2，当且仅当y=4x4xy=y4x，即y=2，x=12时，取等号，1x+4y-2xy的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题139【解析】【分析】由条件可得1x+2y=1，即有x+2y=x+2y1x+2y=1+4+2yx+2xy，由基本不等式可得所求最小值【详解】若x0，y0，2x+yxy=0，即1x+2y=1，则x+2y=x+2y1x+2y=1+4+2yx+2xy5+22yx2xy=9，当且仅当x=y=3取得最小值9，故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题142【解析】【分析】由基本不等式，可得到a2+b2=(a2+b2)+(a2+b2)2a2+b2+2ab2=(a+b)22，然后利用a2+b2+1(a+b)2(a+b)22+1(a+b)2212，可得到最小值，要注意等号取得的条件。【详解】由题意，a2+b2=(a2+b2)+(a2+b2)2a2+b2+2ab2=(a+b)22，当且仅当a=b时等号成立，所以a2+b2+1(a+b)2(a+b)22+1(a+b)2212=2，当且仅当(a+b)22=1(a+b)2时取等号，所以当a=b=234时，a2+b2+1(a+b)2取得最小值2【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；等号取得的条件。153【解析】【分析】由已知可知，a+2bab=1b+2a=13(2a+b)(2a+1b)，整理结合基本不等式可求.【详解】解：a，b都是正数，满足2a+b=3，则a+2bab=1b+2a=13(2a+b)(2a+1b)=13(5+2ba+2ab)13(5+4)=3，当且仅当2ba=2ab且2a+b=3，即a=b=1时，a+2bab取得最小值3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题.1615【解析】【分析】对a2+3a+b2+2b-1变形可得原式=3+(3a+3b-1)，由a+b-1=1，利用3+(3a+3b-1)=3+(3a+3b-1)a+(b-1)=3+3+3(b-1)a+3ab-1+3，利用基本不等式求最值即可。【详解】解：a0，b1且a+b=2，a+b-1=1，故a2+3a+b2+2b-1=a+3a+b-1+2+3b-1=3+3a+3b-1=3+(3a+3b-1)a+(b-1)=3+3+3(b-1)a+3ab-1+39+23(b-1)a3ab-1=9+6=15（当且仅当3(b-1)a=3ab-1时取“=”）.故答案为：15【点睛】本题考查了求代数式的最值问题，利用基本不等式是解决本题的一个常见方法，考查了转化思想的应用，是一道中档题。171【解析】【分析】由题意可知，点P(x,y)在椭圆x2+y2=2上运动，得y2=2-x2，则11+x2+11+y2=11+x2+13-x2，构造基本不等式，即可求出结果.【详解】点P(x,y)在椭圆x2+y2=2上运动，x2+y2=2即y2=2-x2，则11+x2+11+y2=11+x2+13-x2=1411+x2+13-x21+x2+3-x2=14(2+3-x21+x2+1+x23-x2)14(2+23-x21+x21+x23-x2)=1，当且仅当x=1时，取等号，即所求的最小值为1.【点睛】本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了1=141+x2+3-x2的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即可求出结果.184【解析】【分析】利用二次函数的单调增区间求得m+n=1，再利用1m+1n=1m+1nm+n=2+nm+mn，利用基本不等式可求最小值【详解】fx的对称轴为x=n12m=12，故m+n=1，又1m+1n=1m+1nm+n=2+nm+mn2+2nmmn=4，当且仅当m=n=12时等号成立，从而1m+1n的最小值为4，填4【点睛】应用基