（计算数学专业论文）lorenz系统簇中一种基于信号联接的混沌同步方法的研究.pdf

摘要 自从p e c o r a 和c a r r o l l 提出两个恒等的混沌系统可以实现同步以来，人们发现 它在保密通信、生态系统、系统辩识等领域的潜在应用价值，便引起了人们的广泛 重视 在这篇论文中，我们继续研究这一热点课题。本文中我们分别针对经典的l o r e n z 系统、与l o r e n z 系统对偶的c h e n 系统、在l o r e n z 系统与c h e n 系统问过渡性的 l n 系统以及它们的统一混沌系统一l o r e n z 系统簇中的混沌同步和广义投影同步行 为进行研究 第一章，概述研究背景和本文的主要工作 第二章，概述混沌同步的基本概念、基本理论和混沌同步稳定性分析方法。 第三、第四、第五和第六章，分别在混沌的l o r e n z 系统、混沌c h e n 系统、 混沌l n 系统和它们的统一混沌系统中叙述这种同步和广义投影同步 关键词：混沌同步，广义同步，投影同步，广义投影同步，控制器，比例因子 ( 尺度化因子、常数比率) ，驱动系统、响应系统，“o n e - w a y ”同步。 a b s t r a c t s i n c ep e c o r aa n dc a r r o l ls h o w e dt h a ti t c h a o t i cs y s t e m s ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a s i sp o s s i b l et os y n c h r o n i z et w oi d e n t i c a l a t t r a c t e di n c r e a s i n ga t t e n t i o n7m a i n l y d u et oi t sp o t e n t i a la p p l i c a t i o ni ns e c u r ec o m m u n i c a t i o n ，e c o l o g i c a ls y s t e l n s ，s y s t 8 m i d e n t i f i c a t i o n ，e t c i n t h i st h e s i s ，w ef u r t h e rs t u d yt h i sh o tt o p i cw ef o c u so i lt h ec h a o ss y n c h i o n i z a t i o na n di t sg e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt h ef a m i l a rl o r e n z s v s t e m ，i t 8d u a lc h a o t i cs y s t e m s ，i e ，c h e ns y s t e m ，t h eb r i d g es y s t e r nb e t w e e n l o r e n za n dc h e ns y s t e m s ，i , e ，l i is y s t e ma n di t su n i f i e dc h a o t i cs y s t e m ，r e s p e c t i v e l y i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eo u t l i n et h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nt a s k so fo u rs t u d y i nt h es e c o n dc h a p t e r w ei n t r o d u c et h eb a s i ct e r m i n o l o g y ，t h ee l e m e n t a r yt i l e o r yo ft h ec h a o s8 v n c h r o n i z a t i o na n dt h es t a b i l i t yc r i t e r i o nf o rt h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o n inthet h i r d , t h eforth,thef i f t ha n dt h e s i x t hc h a p t e r s ，w e 。u t l i l l ct h e8 y n c h 。o 。 n i z a t i o na n dt h eg e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o no ft h ec h a o t i cl o r e n zs y s t e m ， c h e ns y s t e m ，l is y s t e ma n di t su n i f i e dc h a o t i cs y s t e m ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ，p r o j e c r i v es v n c h r o n i z a t i o n ，g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n ，c o n t r o l l m ，s c a l i n gf a c - t o r ( c o n s t a n tr a t i o ) ，d r i v e ( m a s t e r ) s y s t e m ，r e s p o n s e ( s l a v e ) s y s t e m s ，“o n e 。w a y ” s y n c h r o n i z a t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 签名 独年 本论文使用授权说明 日期t 知寸? i 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 獬致罕导胳名 嚣日期：硝_ 2 1 上海大学硕士学位论文 1 第一章绪论 1 1 混沌系统同步与控制的历史与现状 本文主要研究混沌系统的同步与控制这一节简述前人在混沌同步方面的有关 成果和本文在这一领域的工作 所谓混沌同步，就是对混沌系统施加控制，使该系统的轨道与另一混沌系统( 或 另一演化规律相同但初值不同的同类混沌系统) 的轨道渐近地趋向一致。由于混沌 系统对初值极其敏感 i 1 ，因而人们认为混沌同步是不可能的。直到1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 2 】提出了混沌同步的概念和方法，以及随后在实验中观察到了混沌同步 现象以后 3 - 5 1 ，人们才从根本上改变了这种看法 用周期信号驱动一个非线性系统或者同步化某装置中的信号是人们首先想到 的方法，用混沌信号驱动一个非线性系统的观点新颖但目前研究尚少一些迹象表 明，在应用中利用混沌信号作为驱动和同步化信号要比用周期信号更为优越，因而 引起了专家学者们的浓厚的兴趣 十多年来，随着混沌同步研究的不断深入，人们发现它在保密通信、振荡发生 器设计等领域有着巨大的应用前景，于是在许多领域引起了广泛的重视。混沌同步 现已成为混沌和控制领域的研究热点之一 6 - 1 2 】。 1 2 混沌系统同步与控制的已有工作 1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 首先提出了对非线性系统混沌轨道的同步化方法 ( p c 法) 2 1 ，这种方法强调了响应系统的条件l y a p u n o v 指数全为负是“驱动一 响应”系统混沌行为同步化的必要条件，并分析了影响同步化的一些因素。以后又 得到进一步的发展和完善 几十年来，同类驱动同步化混沌系统、有限时间步长对混沌轨道同步化的影响、 串联同步化混沌系统等方面的研究工作已经取得长足的进展，形成了一套系统的理 论与同步化方法其次，在外部控制的驱动下同步混沌系统的同步化方法也取得了 丰硕的成果，使用的方法象o g y 控制方法、调节外部驱动强度方法、线性反馈方 法、非线性反馈方法以及利用噪声达到混沌系统同步化的方法等还有，考虑到振 荡行为的位相因素，讨论在赝周期驱动下保持非线性动力系统拟周期行为的同相问 盘盍堂亟堂焦迨塞 ! 题( 相位同步化) 等等1 1 , t 3 - 1 6 总之，近三十年来，由于混沌同步的潜在价值和广阔的应用前景吸引了广大学 者专家们潜心研究而取得了长足的进步，使同步化的含义不仅限于两个相同的信号 序列，还包括两列信号之间有确定的函数关系，形成了广义同步化的概念 1 3 本文的主要工作 本文提出了一种简单而有效的同步方法，这种方法的主要思想是在设置驱动系 统与响应系统时采用信号联接，然后利用反馈控制技术设计一个合适的控制器以达 到同步这样设计的驱动、响应系统，将反馈方法与信号联接巧妙地结合起来，通 过构造合适的l y a p u n o v 函数来设计适当的控制器，从而确保误差系统的渐近稳定 性与已有的其他同步方法相比，可以弥补反馈方法要计算实实在在的l y a p u n o v 指数m 之不足，使之能够实现不稳定周期轨道以及混沌轨道之间的同步。从某种 意义上说，运用这种方法，对于某些特殊混沌系统，如l o r e n z 系统簇，我们用 驱动系统的一个分量就能够产生驱动吸引子 这种方法的提出得益于4o n e w a y ”同步方法| 1 9 1 ，可以看成是“o n e w a y 方法的一个推广同时，我们也通过应用这种推广的方法于其他系统，数值仿真结 果发现它们同步的效果很好 上海大学硕士学位论戈 3 第二章混沌同步基本理论与分析方法 同步是一个古老又年轻的课题，它最初的思想是使周期振荡的二个不同系统的 发生振荡频率非常接近其中一个最早研究同步的例子是1 6 6 5 年c h r i s t i a nh u y g e n s 对二个时钟摆进行的同步实验2 数百年来，大量的实验研究表明存在许许多多 类似这样的的系统可以展示丰富的同步现象，同步化思想及其替在的应用价值已经 被广泛应用在物 l 、化学、生物、光学、材料、电子和机械工程等各个领域 7 2 - 3 1 】 由于混沌系统对初值的极端敏感性，而现实中外界难免会对系统产生极小的随 机干扰或是引起参数的变化，因此，混沌系统的同步一直以来被认为是不可能的。 从局部或短期响应的角度来考虑，这也是事实，然而，如果从时间平均或是用渐近 发展的眼光来考虑，混沌同步的实现也是可能的1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 目提 出了混淹同步的概念和方法，并在随后的实验中观测到混沌同步现象，这才从根本 上改变了人们对混沌同步的看法 十多年来，随着研究的不断深入，由于它在保密通信和振荡发生器的设计等领 域展示的巨大应用前景及其潜在应用，引起了人们的广泛重视。目前混沌控制与同 步已成为人们的研究热点领域之一i a - l c 大量的文献i ”，1 p 刨报道了这方面的结 果本章主要介绍混沌同步的基本理论与分析的方法。 2 ，1 混沌同步的定义 首先，我们给出如下定义； 定义2 1 1 考虑微分系统 巨嬲1 仁， 其中，善甩【i “， g ：r “一r “均为连续函数假定。( f ，) 和( f 跏) 分 别是系统的两个方程的解，若它们满足下列条件 h l i r a 。i i x ( t ，x o ) u ( t ，蛳) i i 一0 一 则称z ( f ，。o ) 和y ( ，y o ) 是同步的这里，如果，= g ，则称是“两恒等系统间的同 步”( 或者“同类驱动”) ；如果f g ，我们称之为r 不恒等系统间的同步”( 或者 步”( 或者“同类驱动”) ；如果，g ，我们称之为不恒等系统间的同步”( 或者 上海大学硕士学位论文 3 第二章混沌同步基本理论与分析方法 同步是一个古老又年轻的课题，它最初的思想是使周期振荡的二个不同系统的 发生振荡频率非常接近，其中一个最早研究同步的例子是1 6 6 5 年c h r i s t i a nh u y g e n s 对二个时钟摆进行的同步实验1 2 0 数百年来，大量的实验研究表明存在许许多多 类似这样的的系统可以展示丰富的同步现象，同步化思想及其替在的应用价值已经 被广泛应用在物理、化学、生物、光学、材料、电子和机械工程等各个领域1 2 2 - 3 1 1 由于混沌系统对初值的极端敏感性，丽现实中外界难免会对系统产生极小的随 机干扰或是引起参数的变化，因此，混沌系统的同步一直以来被认为是不可能的。 从局部或短期响应的角度来考虑，这也是事实，然而，如果从时间平均或是用渐近 发展的眼光来考虑，混沌同步的实现也是可能的1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 2 提 出了混沌同步的概念和方法，并在随后的实验中观测到混沌同步现象，这才从根本 上改变了人们对混沌同步的看法 十多年来，随着研究的不断深入，由于它在保密通信和振荡发生器的设计等领 域展示的巨大应用前景及其潜在应用，引起了人们的广泛重视。目前混沌控制与同 步已成为人们的研究热点领域之一 3 - 1 0 】大量的文献 1 6 , 1 8 - 2 0 j 报道了这方面的结 果本章主要介绍混沌同步的基本理论与分析的方法。 2 1 混沌同步的定义 首先，我们给出如下定义； 定义2 1 1 考虑微分系统 i 圣= ，( z ) ， 1 雪= 9 ( y ) ， 其中，z r “，y r “，g ：彤一r “均为连续函数。 别是系统的两个方程的解，若它们满足下列条件 ( 2 1 1 ) 假定z ( f ，z o ) 和y ( t 、y o ) 分 规i i z ( t ，z o ) 一y ( t ，y o ) l l = 0 ， 则称z ( t ，e 0 ) 和y ( t ，y o ) 是同步的这里，如果，= g ，则称是“两恒等系统间的同 步”( 或者“同类驱动”) ；如果，g ，我们称之为环恒等系统间的同步，( 或者 土连盘堂亟堂焦迨塞 ! “异类驱动”) 1 6 1 根据( p c ) 同步的思想，广义混沌同步有如下定义，一般而言，出现“广义 同步”行为的二系统通常是单向耦合连接，它的表述如下： 定义2 1 2 考虑如下的耦合系统 膏。= ，( o 。) 9 。= 9 ( y 。，h 。( t 。) ) ，( 2 12 ) 这里的。r “，玑r ，f ：r “_ r 8 ，h ：舻一舻，和g ：r 2 “一形其中 “0 ，也就是说两个系统存在着某种耦合关系如果存在一个变换掣：g ，。一y 。 把驱动系统中的轨道渐近地映射到响应吸引子中轨道y s ( t ) = 妒( 。( ) ) 上去我们 称( 212 ) 中两混沌系统的轨道是“广义同步” 1 , 1 6 , 2 1j 的。这里的初始点可以位于 同步流形m = ( z 。，y ，) ：y 。= 妒( z 。) ) 中的任何位置上。 投影同步，常发生于偏线性系统， 吐= a ( z ) t t ，j = f ( u ，。) 这里i t 是时间t 的导数，矩阵a ( z ) 仅与变量z 有关，而。与u 有关通过把 偏线性部分复制，便可得如下系统， i 。= a ( z ) 。，z = ，( u 。，z ) ，i ，= a ( z ) 。 考虑这种通过变量z 耦合的二个恒等系统间投影同步行为 s 分别代表驱动系统和响应系统，可得如下定义， 定义2 1 3 如果存在一个常数( 0 ) n r 使得 ( 2 l3 ) 这里的下标 t d 和 2 窑| | a “m u s | | 20 ， 那么，我们称耦合系统( 2 1 3 ) 中1 c 。以一个比例因子( 尺度化因子、常数比率) n 与“，同步，我f 门称这种同步现象为搬影同步”【3 2 3 6 j 显然，投影同步具有很多拓扑不变量，如l y a p u n o v 指数，分形维等 由于投影同步仅是考虑偏线性系统问的同步行为我们发现这种同步现象亦可 发生在一般的非线性系统上，但与广义同步又有些不同我们不妨称为“广义投影 同步”下面我们给出这个的定义， 渔太堂塑堂焦迨塞 一 ! 定义2 1 4 考虑微分糸统 淫虢纠， 仁m ， 1 口一g ( g ，p ( 。，口) ) ， 、 其中，：尼一r “，“：r “一r “，“( o ，0 ) = 0 、g ：r “一胛g ( z u ( o o ) ) = ，( z ) ， 均为连续函数假定z ( t x o ) 和( ，y o ) 分别是系统的两个方程的解，若它们满足下 列条件 。l 。i m 。1 1 0 z o ，x o ) 一v ( t ，y o ) l t ：二0 ， 则称z ( t ，x o ) 和y ( t ，y o ) 实现了“广义投影同步” 注2 1 1 ( i ) 这个定义非常类似于广义同步，但又不是广义同步，因为找不到h 。使得p ( z ，g ) = 。( 。) 。 ( i i ) 驱动吸引子以一个比例因子( 常数) 8 与响应吸引子同步显然，系统的l y a p u n o v 指数和分形维仍然保持不变 ( i i i ) 从式( 2 1 4 ) 的后一个方程，可以被认为是一个反馈控制器( 或同步装置) ， 也就是说，类似于( 2 12 ) 和( 2 1 3 ) ，如果在响应系统中施加一个适当的反馈控制 器，那么可以得到预期的广义投影同步行为 2 2 混沌同步：驱动和响应的建立、响应系统的稳定性 众所周知，混沌动力系统的一个最基本的性质是高度敏感依赖于初始条件，也 就是说，二个恒等的混沌系统在相空间中即使起始于几乎相同初始条件的两条轨道 随着时间的推移变得毫无关联。 用一个系统去驱动另一个系统的含意是这两个系统是耦合的第二个系统的行 为取决于第一个系统的行为，而第一个系统的行为不受第二个系统行为的影响第 一个系统是驱动，第二个系统是响应实际上两个系统可以组合为耦合动力系统， 其中响应子系统取决于驱动子系统的变量，但是反之则不成立 将驱动子系统的变量划分为起驱动作用的变量和不起驱动作用的变量，这样将 原系统分成三个子系统的方法，使以后的分析更加容易，也为能够确切地分析我们 感兴趣的“驱动响应”情况提供了思路 壹盘堂亟堂焦鲨塞 ! 假定我们的复杂动力系统是可以分解的令n 为系统的总维数，用，n 维矢量 t 以) 表示驱动系统中起驱动作用的变量，它同时也是响应系统中的变量， k 维矢 量“( ) 表示驱动系统中不起驱动作用的变量，f 维矢量w ( t ) 表示响应系统中的变 量因此n = + + l ，而复合系统分成： 驱动部分： i 。( ) = ，( ”( ) ，t t ( ) ) i 也( ) = 夕( ( t ) ，u ( ) ) ( ”1 维) 眦5 1 ( 维) 、 响应部分； 曲( t ) = h ( ( t ) ， ( ) ) ( f 维)( 2 2 6 ) 对于这样构造的“驱动一响应”系统，首先要考虑的一个问题是稳定性问 题，而同步行为稳定性研究的中心问题是何时响应系统是稳定的“子系统”? 也就 是何时它的轨道w ( t ) 不受振动的影响? 只有这样才可以保证对一组固定的驱动初 始条件，我们就能知道不管w ( t ) 从何处出发，它总是收敛于同一轨道，而且在每一 时间点上总是在轨道的预定位置上，当然我们不考虑还有其他吸引域的情况 由此可引出一个运动的变分问题轨道w ( t ) 的初始条件为w ( o ) ，考虑从w ( o ) 的近旁w ( 0 ) 出发的轨道，对这两个响应系统，驱动系统是相同的，我们有 a e ( t ) = ( 口( ) ，( t ) ) 一 ( u ( t ) ，w ( t ) ) = d 。挖扣( ) ，t u ( t ) ) w ( t ) + o ( t u ( ) ， ( t ) )( 2 2 7 ) 式中d 。是响应矢量场中响应变量的j a c o b i 矩阵，。( ) 是高阶无穷小量，于是我 们有相应的线性化系统， a z b = 巩h ( v ，) w ，( 2 28 ) 由于这里我们是用混沌信号西t ) 驱动w ( t ) ，故不能象当w ( t ) 是常数( 不动点) 或 代表一个周期轨道时求d 。h ( v ，“，) 的本征值而确定w ( t ) 的稳定性。因此，一个常 用的解决办法是通过计算l y a p u n o v 指数 塑盘堂亟堂焦迨塞一! 引理2 2 11 1 , 1 6 , 1 s 考察非线性系统 z = a ( t ) x + o ( x ，t )( 2 2 ，9 ) 如果系统( 2 2 ，9 ) 满足下列条件； ( 1 ) l 尚霉。i l o ( x ，t ) l l l l l x l l = o 对时间 一致成立， ( 2 )a ( t ) 对所有的t 有界， ( 3 )线性系统圣= a ( t ) x 的零解是一致渐近稳定的， 则微分系统( 2 , 29 ) 的零解是一致渐近稳定的 一般而言，条件( 1 ) 和( 2 ) 对参数相同的大多数系统是成立的，条件( 3 ) 保 证了条件l y a p u n o v 指数全为负 在这里，我们主要利用渐近稳定性和l y a p u n o v 函数的有关知识进行讨论渐 近稳定性理论表明；无论初始条件如何，经过一个固定的( 足够长的) 时间后，由 渐近稳定性理论可以得出系统达到相同终态的条件特别是在线性系统中，例如线 性阻尼系统中，过渡过程消失后，在解中只保留下强迫振动部分，可以说系统忘记 了初始条件正是对初始条件的不敏感性导致了渐近稳定性由于混沌现象是对初 始条件的极端敏感性与其运动的有界性共存的结果，所以在混沌情况下，对整个混 沌系统几乎不可能定义渐近稳定性然而，混沌系统的一个子系统可以表现出渐近 稳定性。这个子系统可以起到响应系统的作用，基于这种思路，由此我们构造“驱 动 响应”系统实现同步化分析系统的渐近稳定性的直接方法便是寻找系统的 l y a p u n o v 函数。 考虑如下耦合混沌动力系统， 圣。= f ( x 。) 。= g ( x 。，z 。) ，( 2 2 1 0 ) 这里x 。，r “，f ，g ：r 2 “一舻是连续函数，下标m 和下标s 所代表的分别是 驱动和响应子系统。如果我们定义e ( ) = z 。一。，则可以得误差系统 显然，如果随着时间t 趋向于无穷，所得的误差向量趋向于零，那么必有同步 行为出现 逄盘堂亟堂焦迨塞 一鱼 引理2 2 2 ( l y a p u n o v 第二方法) 眦1 考虑非线性连续时间自治系统 其中 小， ( e 1 ，旬 e “ e n e ” ( 22 1 1 ) 假设f ( 0 ) = 0 ，且，( e ) 在某域9 ：1 a ( a 为正常数) ，由初始条件e ( t o ) = e o 所确定的解在原占、的某个邻域内存在且唯一令x + = 0 是自治系统( 21 1 1 ) 的一 个平衡点如果存在一个定义在域g ( 域够f p 包含原点) 上的l y a p u n o v 函数 v ( e ) 满足如下条件， 当( 8 l ，8 2 当缸1 ie 2 d 。) p 。) d = 0 当( e l ，e 2 ，一，e 。) o 当( e l ，e 2 ，一，e ，。) = 0 那么方程组( 221 1 ) 的零解( 系统的平衡点r ：+ = 0 ) 是渐近稳定的 易知，只要存在合适的l y a p u n o v 函数满足引理2 2 2 的条件，那么由( 221 0 ) 所定义的误差系统的零解是渐近稳定的，故，当时间t 趋于无穷时，误差向量e ( ) 趋向干零，耦合系统间出现同步现象。 2 3 混沌同步的控制方法 到目前为此，文献中已经提出了许多有效的混沌控制与同步的方法，在这里我 们主要介绍应用于l o r e n z 系统簇的一种特殊的广义同步方法在前面的讨论中如 果k = f 和g = h 的情形，称之为“同类驱动”，因为响应与那些不起驱动作用的部 分是相同的这就导致了混沌予系统间同步的概念对于g h 的一般情况，我们 称为“异类驱动”后者的一个简单的例子是：线性振子驱动非线性摆。 本文中主要考虑的是广义同步，从前面二节我i t t 解到，这种同步在建立“驱 动一响应”时刻求描述了驱动与响应之间的某种函数关系 、 眈 钆 忙 止 吼矾 o o = ；时，z ( t ) 趋于目标y ( t ) 注2 3 1 第一，引理2 3 1 表明了信号z ( t ) 和u ( t ) 可以同步，如果它们是混沌的，可 视为混沌同步现象，因而本方法提供了一条同步任意混沌系统的途径即通过设置 女使l y a p u n o v 指数为负值，确保u 的线性化方程的零解的渐近稳定性，或者通 过构造l y a p u n o v 函数设置，使误差动力学方程满足渐近稳定性条件 第二，引理2 ，3 1 提供了一个使嵌入在i = f ( x ) 的混沌吸引子中的不稳定周期 轨道稳定化方法 第三，这个方法可用于迁移控制许多由2 = ， ) 描述的系统有多个吸引域， 在每个吸引域里，动力学行为可以很不相同通过在不同的吸引域内设置目标吸引 子，利用( 2 3 ，1 2 ) 可在两个吸引子之间建立关系 土鲞盘堂亟堂焦堡塞 ! ! 2 3 2 不恒等混沌系统间的同步与控制 对于f g ，为了简单，我们假定对所有的t = 1 ，2 ，n ，a 。= k ，这里 的“是个待定的常数，在此情况下式( 2 31 2 ) 可以改写为 女= ，( z ) + k ( y z ) 1 分= 9 ( v )f ( 2 3 1 3 ) 引理2 3 2 1 , 1 6 】对干充分小的| z ( o ) + i ( o ) l 和= k ，存在一个t o ，使得 在全部t o t 。的闭子集上，当e 一0 + 时，z ( t ) 均匀收敛于( t ) 引理的证明可由t i h o n o v 定理推得矧为了更好地说明非恒等系统间的同 步，我们引进两个混沌吸引子等价的定义：假定系统士= ，( 。) 有一个混沌吸引子 白，而系统9 = 9 ( ) 有一个混沌吸引子岛，对于式( 2 , 3 1 3 ) 类型的动力系统， 对每个k 0 存在一个混沌吸引子，记为缸，以靠标记靠在子空间z 里的投影 丌r 声l 1 l l 、m ， 定义2 3 1 如果存在两个混沌吸引子靠和岛，且满足下列条件， ( 1 ) 存在一个同胚映射h 1 ：尼。一舻，使得h 1 ( 缸) = 岛， ( 2 ) 存在一个微分同胚 2 ：靠一6 使得任何轨道纯( 。，y ) c 氨，h 2 ( 兀( 慨( z ，) ) ) = 已( ) ( ) ，式中l i m 。1 2 产= 1 ，忱和矗分别是式( 2 3 ，1 3 ) 和9 = 9 扫) 的 流，则我们称这两个吸引子是等价的 定义中的第一个条件保证了混沌吸引子的拓扑性质等价，第二个条件保证 和，的l y a p u n o v 指数和维数相同 事实上，只有当e = k = 0 或者f = g ，k2k 心v i 时，才发生严格 的同步化这些条件是理想的，永远不会在实验中实现在实验中研究过的特殊的 f 9 的情况是：两个矢量场有相同的数学形式而参数失配的情况。在此实验中 同步不完全，但混沌吸引子类似于目标吸引子，且在上述定义下是等价的完全的 同步化在现实中不是必须的，能够得到混沌吸引子f ( ) 和目标吸引子。( ) 之间等 价就可以了 上海大学硕士学位论文 1 1 第三章l o r e n z 系统 3 1l o r e n z 系统的基本动力学行为 激光装置、磁流发电机及几个相关的对流问题，它的动力学方程1 1 1 , 3 8 , 3 9 为 巨差2 v ， 1 1 ， 一一 图3 1 1 ：l o r e n z 吸引子 图3 11 仅是一个数值仿真的结果，而数值仿真有时会产生假象，故理论上还 需论证，直到最近，人们才从数学上严格证明了l o r e n z 吸引子的存在性m 4 u 3 2l o r e n z 系统的同步 为了得到预期的混沌同步行为，我们在设计驱动响应的时候，有意识地让驱动 系统与响应系统中对应的第二个方程上共有一个驱动变量z 。这样，对于l o m z l z 土塑盔堂亟主堂焦监塞一堡 系统，驱动系统与响应系统就可以分别定义为t 驱动系统 响应系统 者m = 盯( 掣m z m ) ， 如= i x 。一。锄一y m ( 3 2 2 ) = o 。一嘛。， 其中参数a = 1 0 ，b = 8 3 ，y = 2 8 ，下标m 和s 分别表示驱动系统和响应系 统，口r 是一个设定的能使二耦合系统产生同步行为的控制参数令误差变量为 8 l = z s z 。，e 2 = y ，一，e 3 = 岛锄，则得到下列误差系统 l = a ( e 2 一e 1 ) ， 垂2 = ( 7 + l ) e l 一。m e 3 一钝，( 324 ) d 3 = 8 2 6 8 3 由此可得 定理3 ，1 对于驱动系统( 3 22 ) 和响应系统( 3 23 ) ，并在响应系统的第二个方 程上加控制函数肛( 一z 。) ，如果控制参数p 满足条件一2 , f 一( 口+ ，) “ 0 面d vk c l m ：o = 0 ， d v d t = 8 1 e l + 8 2 e 2 十e 3 8 3 = e l o ( e 2 一e 1 ) i + e 2 【( 1 + i f ) e l z m e 3 一e 2 + e 3 ( z ，。e 2 一b e 3 ) = 一盯e ；+ ( 仃+ 肛+ 7 ) e 1 印一e ；一b e ； = 一口e l - - ( 警) e 2 j 2 一( 1 一垒掣 e ；一6 e ； 若弘满足一2 、，石一p + 呐 p 2 v 佰一( 口+ 7 ) ，则上式右边第二项e ；的系数 小于0 ，且学k 。，。) o 0 ，因此，误差系统的零解是渐近稳定的，误差向量 岛( t ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 随着时间t 一。而逼近于零，即驱动系统( 3 22 ) 和响应系统 ( 3 2 3 ) 实现同步- 上述定理证明的分析表明，若条件满足，则耦合的二个恒等的l o t e n z 系统的 同步解是稳定的，也就是说，耦合的二个恒等的l o r e n z 系统实现了混沌同步。 篓 盗盘堂塑堂鱼量塞一望 下面，我们将以耦合的二个恒等的l o r e n z 系统为例进行数值仿真，我们取控 制参数肛= 一( r 丁十7 ) 来验证此同步方法 在下列的数值仿真中，应用四阶r u n g e k u t t a 法求解微分方程。步长h = o 0 0 1 ， 参数口= 1 0 ，b = 8 3 ，7 = 2 8 ，初值( 2 7 0 ，y 0 ，z 0 ) = ( r a n d 十1 + 5 ，r a n d 1 + 5 ，r a n d 十 3 9 2 ) ，如图3 ，2 2 所示图3 2 2 ( a ) 展示了控制后耦合系统的分量。：的时间 序列；图3 2 2 ( b ) 展示了控制后耦合系统的分量y 。，y 。的时间序列；图322 ( c ) 展 示了控制后耦台系统的分量z 。，南的时间序列；图322 ( d ) 展示了控制后误差函数 发展的时间序列这说明，两个耦合的l o r e n z 系统通过控制实现了同步 ( c ) ( b ) ll ：1 j ：虬 i y 一一一 ( d ) 图3 2 2 ：l o r e n z 系统间的同步，( a ) 耦合l o r e n z 系统控制后，x 。的时间序列； ( b ) 耦合l o r e n z 系统控制后y m ，y ，的时间序列；( c ) 耦合l o r e n z 系统控制后z 。，z 。 的时间序列；( d ) 耦合l o r e n z 系统控制后误差函数发展的时间序列 鲞盘堂亟圭堂焦迨塞里 3 3l o r e n z 系统的广义投影同步 前面我们研究了l o r e n z 系统中的同步现象，本节我们将研究l o r e n z 系统的广 义投影同步的问题 类似于前一节中的讨论，根据广义投影同步的定义，为使二耦合系统间出现期 望的的广义投影同步行为，我们同样采用信号联接。对于l o r e n z 系统，驱动系统 和响应系统分别构造如下： 驱动力系统为 响应系统为 窑仉= 盯( m z m ) ， y m = 7 z m z m z m y m z m = x m y m d 并n ， ( 3 3 5 ) 其中参数o - = 1 0 ，b = s 3 ，7 = 2 8 ，下标，n 和8 分别表示驱动系统和响应系统， 卢r 是一个设定的能使二耦合系统产生同步行为的控制参数，n r 是尺度化 因子，令误差变量为e l = z 。一n 。，p 2 = y 。一a y 。如= 知一“锄，则得到下列误 差系统 ia 1 = a ( e 2 一e 1 ) e 2 = n + p ) e 1 一z 。e 3 一e 2 、( 3 3 ，7 ) ie a = x m e 2 一b e 3 由此可得 定理3 2 对于驱动系统( 33 5 ) 和响应系统( 3 3 6 ) ，并响应系统的第二个方程上 加控制函数弘( z 。一“t ) ，如果控制参数弘r 满足条件一2 , z 一( 口+ ，) ， = 曲曲 e e 2 2 p e 忙r v 矿 ，、l 土壹盘堂塑堂笪亟塞 堕 和 ， j 矿( e l - e 2 ，e 3 ) 0 ，姗 ( 钆e 3 ) o ，f 3 39 ) iw ( e 1 ，e 2 ，e 3 ) 一0 ，如果( e l ，c 2 ，e 3 ) = 0 ， 那么误差系统的零解是渐近稳定的，由此可知误差随着时问趋向无穷而逼近于零， 因此出现设置的同步现象 显然，这里只要考虑( 3 3 9 ) 是否成立就行了。通过简单的计算，则有 d v 面= e 1 8 1 + e 2 e 2 + e 3 c 3 = e 1 o ( e 2 一e 1 ) + e 2 【( 7 + 肛) e 1 一z m e 3 = 一o - e i + ( 口+ 肛+ 7 ) e l e 2 一e i b e ； = 一a ( e ，一半e 。) 2 一【1 一i 三掣】e ! 一拒； 若p 满足一2 v 孑一( 口+ 7 ) 弘 2 孑一p + 7 ) ，则上式右边第二项e l 的系数小 于0 ，且石d v 0 ，而c h e n 系统却满足a 1 2 0 , 2 1 0 在这种意义下 它们是对偶的两个动力系统此外，c h e n 系统比l o r e n z 系统具有更复杂的拓扑 结构和动力学行为 4 7 , , 5 2 】，这使得它在信息加密和保密通信等领域有着更广阔的应 用前景 它的动力学方程为 当参数= 3 5 ，b = 3 ，c = 2 8 时，c h e n 系统有一个混沌吸引子，数值仿真的结果 如图4 1 1 所示 i 一一 图4 11 ：c h e n 吸引子 叫 篙一 鲞盘堂亟圭堂鱼堡塞一旦 4 2c h e n 系统的同步 类似于l o r e n z 系统的同步，对于c h e i l 系统，我们把驱动系统定义为 j 兰三墨! ! 1 2 一， 。， i = z 。帅一6 锄， 毒。= 。( 可。一z 。) ， 仉= ( c n ) z 。一z 。：。- - c y 。+ 弘( 。一g 。) ( 42 3 ) j 。= o 。y 。一6 南 其中参数8 = 3 5 ，b = 3 ，c = 2 8 ，下标m 和s 分别表示驱动系统和响应系统 “r 是一个设定的使二耦合系统产生同步行为的常参数令误差变量为e ， 掣。一z 丌e 2 = y 。一y 。铅= 南一锄，则得到下列误差系统 ( 42 4 1 由此可得 定理4 1 对于系统( 4 2 2 ) 和( 42 3 ) ，如果控制参数p 0 1v ( e 2 翩) ：o 如果 如果 ( e l ，。2 ，8 3 ) 0 ( 425 1 ( 8 l ，8 2 ，) = 0 、 如果( 8 l ，8 2 ，8 3 ) 0 f 4 26 1 如果( 8 1 ，e 2 ，e 3 ) = 0 ， 、 那么由此可知误差随着时n 习趋向无穷而逼近于零，因此设置的同步现象出现 即 墨恐i i x s z m i2 墨恐j i 玑一m i f2 墨恐j 1 一。m | | = 0 + 魄 嚣l 一 铅 q m 一 池 水 ，v z = = = q ，睨印 ，_-iji-，、ilii、 0 0 = 曲幻 e e 2 2 e e 托 矿矿 ，l，、 和 土鲞友堂亟主堂焦迨塞! 旦 显然，条件( 4 _ 2 5 ) 满足，这里只要考虑( 4 2 6 ) 是否成立就行了通过简单的 计算，不难得到 v = 一o g ；+ a e 2 e 1 十c a ) e l e 2 一z m e 3 e 2 + c e ；+ p e j + z m 也e 3 一b e ；= 一n e ；+ c e l c 2 + ( r - t - ”) p ； f 毫 由于o = 3 5 ，b = 3 ，c = 2 8 ，如果我们选取控制参数为p 一堑铲，就有一a e + c e l e 2 + ( c 十p ) e ； 0 ，因此，有矿( e 0 ) 0 ，此时，当时间趋向无穷的时候误 差向量向逼近于零，也就是说，出现同步现象- 类似于l o r e n z 系统，我们也通过数值仿真，验证控制方法的有效性，结果显 示，通过适当选取满足定理条件的控制参数，同步效果亦然很好，如图4 22 所示。 ( c ) 瓣 图4 22 ：c h e n 系统间的同步， ( a ) 耦合c h e n 系统控制后z 。，的时间序列；( b ) 耦合c h e n 系统控制后，挑的时间序列；( c ) 耦合c h e n 系统控制后。，的时间 序列；( d ) 耦合c h e n 系统控制后误差函数发展的时间序列 渔盘堂亟堂笪堡塞 垫 4 3c h e r t 系统的广义投影同步 类似于l o r e n z 系统，构造驱动系统与响应系统如下： l 童。= a ( y 。一。) ， 驱动系统： 雪m = 0 一n ) z 。一。+ c y 。， ( 4 37 ) l = x 。y 。一6 ， i 童。= n ( 乳一z 。) ， 响应系统： 轧= ( c o ) z 。一z 。知+ e y , 。十h ( 一口蚺。) ， ( 438 ) i 毛= _ 。y 。一b z 。 其中参数n = 3 5 ，b = 3 ，c = 2 8 ，下标m 和s 分别表示驱动系统和响应系统， “r 是一个设定的使二耦合系统产生同步行为的常数，。r 是尺度化因子令 误差变量为e 1 = 2 j d z 。，e 2 = y ，一o ，e 3 = 。一“，则得到下列误差系统 e l = a ( e 2 一e 1 ) ， e 2 = ( c 一口) e l a j 。+ ( c4 - p ) e 2 ， ( 4 39 ) 西= z m e 2 一b e 3 由此可得 定理4 2 女t - y 系统( 4 3 7 ) 和( 4 38 ) ，如果控制参数弘 0 ，k l _ 。：。8 ：o = k 。：。2 ：日：o = 0 ， 圻。，。) 0 o ) 0 ，则可以观测到广义投影同步现象显然，前三个条件满足，只要满 足最后一个条件就行了，通过简单的计算，不难得到v = 一a e 2 + a e 2 e 1 + ( c a ) e l e 2 一 搿m e 3 e 2 + c e ；+ 肛e ；- 4 - x m e 2 e 3 一b e ；= 一a e + c e l e 2 + ( c + p ) e ；一b e j 。由于a = 3 5 、6 = 3 ，c = 2 8 ，如果我们选取控制参数为芦 一生；# ，就有一a e ；+ c e l e 2 + ( c + 肛) e ； 0 ， 因此，有v ( e 0 ) 0 ，而 c h e n 系统却满足a l z a 2 1 0 。这榉一个感兴趣的问题是，是否存在一个临界混沌 系统满足a l z a 2