（基础数学专业论文）dirichlet+l函数零点分布问题中相关函数的构造及估值.pdf

摘要 1 7 4 2 年，g o l d b a c h 在写给e u l e r 的信中，提出三素数问题：每个不小于9 的 奇数可表示为三个奇素数的和 1 9 3 7 年，i m v i n o g r a d o v 利用圆法和线性素变 数三角和估计方法，证明了存在充分大奇数o ，当n n o 时，p 1 + 仡+ 船= n 可 解我们把0 称为v i n o g r a d o v 界为了得到尽可能小的v i n o g r a d o v 界，需要先 有关予厶函数零点界限的尽可能好的定量结果为此，必须构造出关于d i r i c h l e t 特征的辅助函数，并对其进行估值以得出定量结果在文献【1 】中，曾对二零点 和三零点辅助函数进行构造并估值本文首先将其推广到四零点辅助函数，并 在此基础上构造出关于任意个零点的辅助函数，而后利用数学归纳法，完全解 决其估值问题全文共分四章 第一章，简要地介绍了哥德巴赫问题的由来和发展及文献【1 】中对二零点和 三零点辅助函数进行构造并估值的情况在第二章中，简要地介绍了文献f 1 】中 对二零点和三零点辅助函数进行构造并估值时所需要的一些引理在第三章中， 给出了关于四零点辅助函数g ( x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) 的一个定量结果在第四章中，给出 了关于任意个零点辅助函数g ( x x ，x 2 ，x 。) ( n 4 ) 的一个定量结果 本文的主要结果是在已有结果的基础上更深入的研究，不仅得到了一些全 新的内容，将原有的结果做了推广，而且也统一了以前所知的有关结论，从而使 得我们对研究v i n o g r a d o v 界问题中需要的辅助函数有了完全的认识 关键词：d i r i c h l e t 特征，厶函数，四零点，n 个零点，估值，g o l d b a c h 问 题，v i n o g r a d o v 界 a b s t r a c t t h et e r n a r yg o l d b a c hc o n j e c t u r e ( t g c ) ，w h i c hw a sp o s e di n1 7 4 2i nal e t t e ro f g o l d b a c ht oe u l e r ，s t a t e st h a te v e r yo d di n t e g e r 9i sas l l 】皿o ft h r e eo d dp r i m e s t h e w e l l - k n o w ng o l d b a c h - v i n o g r a d o vt h e o r e m ( g v t ) ，w h i c hw a sp r o v e db yv i n o g r a d o vi n 1 9 3 7u s i n gt h eh a r d y - l i t t l e w o o dc i r c l em e t h o da n dh a sn o wb e c o m eo i l eo ft h em o s t f a m o u st h e o r e mi nn u m b e rt h e o r y , a s s e r t st h a tt h e r ee x i s t sas u f f i c i e n t l yl a r g ep o s i - t i v en u m b e rn os u c ht h a te v e r yo d di n t e g e rn n oi sas u n ：lo ft h r e ep r i m e s t h e n 0i sc a l l e dv i n o g r a d o v sb o u n d t oo b t a i nb e t t e rv i n o g r a d o v sb o u n d ，w es h o u l d c o n s t r u c ta n de v a l u a t ea s s i s t a n tf u n c t i o n sw i t hd i r i c h l e t sc h a r a c t e r s f o rt h i s ，a s - s i s t a n tf u n c t i o n sw i t ht w oo rt h r e ed i r i c h l e t sc h a r a c t e r sh a sb e e nc o n s t r u c t e da n d e v a l u a t e di n 【1 】f i r s t ，i nt h i sp a p e r ，w e l lc o n s t r u c ta n de v a l u a t ea s s i s t a n tf u n c t i o n g ( x z ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) w i t hf o u rz e r o s s e c o n d l y , w e i ic o n s t r u c ta n de v a l u a t ea s s i s t a n tf u n c - t i o ng ( x z ，x 2 ，x n ) ( n 4 ) w i t h 礼z e r o s i tc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h eg o l d b a c h c o n j e c t u r ea sw e l la st h eb a r k g r o u n do ft h ec o n s t r u c t i o na n de v a l u a t i o no fa s s i s t a n t f u n c t i o nw i t ht w oo rt h r e ez e r o si n 【1 】i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c ep r e l i m i n a r yl e m m a s u s e di n 1 】t oe v a l u a t et h ea s s i s t a n tf u n c t i o n si n ”i nc h a p t e r3 ，w e uc o n s t r u c t a n de v a l u a t ea s s i s t a n tf u n c t i o ng ( x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) w i t hf o u rz e r o s i nc h a p t e r4 ，w e i i c o n s t r u c ta n de v a l u a t ea s s i s t a n tf u n c t i o ng ( x 1 ，x 2 ，x n ) ( 佗4 ) w i t h 几z e r o s t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r eb a s e do nt h ep r i m a r yr e s u l t s ，t h e yn o to n l y e x t e n db u ta l s ou n i t et h e m s ow ec a nh a v eac o m p l e t er e a l i z a t i o na b o u tt h ea s s i s t a n t f u n c t i o ni nt h es t u d yo fv i n o g r a d o v sb o u n d k e yw o r d s ：d i r i c h l e t sc h a r a c t e r ，l - f u n c t i o n ，f o u rz e r o s ，礼z e r o s ，e v a l u a t i o n ， g o l d b a c h sp r o b l e m ，v i n o g r a d o v sb o u n d 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：李怡君垄梢屈 2 0 0 6 年3 月6 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明0 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：李怡君碴m 君 2 0 0 6 年3 月6 日 第一章二零点和三零点辅助函数的构造和估值 1 1哥德巴赫问题的由来和发展 数论作为数学科学的重要分支，自古至今一直以其精美的理论和广泛的应 用吸引着优秀数学家的强烈兴趣近年来，随着理论创新的不断进步，著名经 典问题( 如f e r m a t 定理) 的完全解决，以及应用范围的迅速扩展，数论学科得 到了快速的发展，成为数学中最具活力的分支之一借助于学科融合的动力， 解析数论作为数论学科的重要分支，也得到了较快发展一方面，在s a n a r k 和 1 w a n i e c 等一大批数学家们的带领下，在自守型和自守函数的研究方面进行了大 量创造性的工作；另一方面，w o o l e y 和h e a t h - b r o w n 等在经典问题( 如w a r i n g 问题等) 以及经典与现代方法的结合上，也开展了成效卓著的创造性工作在数 的超越性方面，n e s t e r e n k o 等做出了系统的开创性工作国内的数论研究取得 过举世瞩目的重大成就，众多中青年数论工作者在各自富有特色的研究中，也 都取得了十分丰硕的成果，受到国际数论界的广泛重视 1 7 4 2 年，德国数学家c h r i s t i a ng o l d b a c h ( 1 6 9 0 - 1 7 6 4 ) 在和他的好朋友、大 数学家l e o n h a r de u l e r ( 1 7 0 7 - 1 7 8 3 ) 的几次通信中，提出了关于正整数和素数之间 关系的两个推测，用现在确切的话来说，就是： ( a ) 每一个不小于6 的偶数都是两个奇素数之和； ( b ) 每一个不小于9 的奇数都是三个奇素数之和 这就是著名的g o l d b a e h 猜想我们把猜想( a ) 称为“关于偶数的猜想”，把 猜想( b ) 称为“关于奇数的猜想”欧拉在6 月3 0 日给他的回信中说，他相信这 个猜想是正确的，但他不能证明叙述如此简单的同题，连欧拉这样首屈一指的 数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意从提出这个猜想至 今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功当然曾经有人做了些具体 的验证工作，例如 m k s i a i s a l o c h e c k i n gt h eg o l d b a c hc o n j e c t u r eu pt o4 1 0 1 1 m a t h c o m p 6 1 ( 1 9 9 3 ) 9 3 1 9 3 4 【3 2 】 y s a o u t e r c h e c k i n gt h eo d dg o l d b a c hc o n j e c t u r eu pt o1 0 2 0 m a t h c o m p 6 7 ( 1 9 9 8 ) 8 6 3 - 8 6 6 【2 1 】 1 2 第一章二零点和三零点辅助函数的构造和估值 等等但严格的数学证明尚待数学家的努力 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意2 0 0 年 过去了，没有人证明它哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的 。明珠” 1 9 2 1 年，英国数学家g h h a r d y 在哥本哈根数学会做的一次讲演中 认为。g o l d b a c h 猜想可能是没有解决的数学问题中最困难的一个 到了2 0 世纪2 0 年代，才有人开始向它靠近 对于命题( a ) 。 1 筛法 1 9 2 0 年、挪威数学家布朗用一种古老的筛法证明得出了一个结论；每一个 比4 大的偶数都可以表示为( 9 + 9 ) 这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于 是从( 9 + 9 ) 开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里 都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想 关于偶数可表示为s 个质数的乘积与t 个质数的乘积之和( 简称“s + t ” 问题) 之进展情况如下； 、 1 9 2 0 年，挪威的布朗( b r u n ) 证明了“9 + 9 ” 1 9 2 4 年，德国的拉特马赫( r a d e m a c h e r ) 证明了。7 + 7 ” 1 9 3 2 年，英国的埃斯特曼( e s t e r m a n n ) 证明了“6 + 6 ” 1 9 3 7 年，意大利的雷西( r i c c i ) 先后证明了。5 + 7 ”，。4 + 9 ”， “3 + 1 5 ”和。2 + 3 6 6 ” 1 9 3 8 年，苏联的布赫夕太勃( b y x w r a o ) 证明了“5 + 5 ” 1 9 4 0 年，苏联的布赫夕太勃( b y x w r a o ) 证明了。4 + 4 ” 1 9 4 8 年，匈牙利的瑞尼( r e n y i ) 证明了。1 + c ”，其中c 是一很大的自 然数 1 9 5 6 年，中国的王元证明了。3 + 4 。 1 9 5 7 年，中国的王元先后证明了。3 + 3 ”和。2 + 3 ” 1 9 6 2 年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩( b a p o a i - i ) 证明了。1 + 5 ”， 中国的王元证明了。1 + 4 ” 1 9 6 5 年，苏联的布赫夕太勃( b y x w r a o ) 和小维诺格拉多夫( b h h o p a p p b ) ， 及意大利的朋比利( b o m b i e r i ) 证明了。1 + 3 。 1 1 哥德巴赫问题的由来和发展 3 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1 9 6 6 年证明的，称为陈氏定理( c h e n s t h e o r e m ) ：。任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是 两个质数的乘积。通常都简称这个结果为大偶数可表示为。1 + 2 的形式 虽然，表面上命题。1 + 2 。和命题。1 + 1 。一g o l d b a c h 猜想的基本解决 一仅。1 ”之差，但是，看来完成这最后的一步所要克服的困难可能并不比我 们已经走过的道路要来得容易 2 圆法 把可以表为二个奇素数之和的偶数称为g o l d b a c h 数，以e ( x ) 表示不超过x 且不能表为二个奇素数之和的偶数个数( 称为g o l d b a c h 数的例外集合) 。通过圆 法证明了。几乎所有的偶数都是g o l d b a c h 数，并逐步改进了对g o l d b a c h 数的例 外集合e ( x ) 的阶的估计 我们的目标是证明e ( x ) 的上界是x 的零次方，然而1 9 3 8 年e ( x ) 上界的世 界记录基本上是x 的1 次方，二者相差很远因此降低该上界中x 的方次将是 一件很重要的事 1 9 7 5 年，蒙哥马利( h 。l m o n t g o m e r y ) 与沃恩证明存在一个 小于1 的正数5 ，使得e ( x ) 的上界是x 的5 次方1 9 7 9 年，潘承洞与陈景润合 作，证明了这个5 可以取0 9 9 按照陈景润和潘承洞的思路，后来有很多人都改 进了5 的值目前最好的结果是李红泽教授2 0 0 0 年得到的，5 可以取o 9 2 在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了5 可取1 2 就是说，即使能 够证明广义黎曼猜想，我们也不能进而推出哥德巴赫猜想最近，刘建亚与叶扬 波合作，利用广义黎曼猜想和l 函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了 例外集合的上界，证明了e ( x ) 不超过l o g x 的平方 而对于命题( b ) ： 19 3 7 年，v i n o g r a d o v 著名的三素数定理断言；每一个不小于某个大常 数v = ( e x p ( e x p ( 1 6 0 3 8 ) ) ) 的奇数都可表为三个奇素数的和 4 1 我们把v 称为 v i n o g r a d o v 界 1 9 8 9 年，陈景润和王天泽证明了；每一个奇数n v = e x p ( e x p ( 1 1 5 0 3 ) ) 都能够表示成为三个奇素数之和 a 1 1 9 9 6 年，陈景润和王天泽证明了t 每一个奇数n v = e x p ( e x p ( 9 7 1 5 ) ) 都能够表示成为三个奇素数之和1 2 】 4 第一章二零点和三零点辅助函数的构造和估值 2 0 0 2 年，廖明哲和王天泽证明了t 每一个奇数n v = e x p ( 3 1 0 0 ) 都能 够表示成为三个奇素数之和【1 】 文献【1 】- 【2 1 】是关于v i n o g r a d o v 界问题的主要工作，文献 2 2 】【3 1 】是关于 g o l d b a c h 数例外集问题的主要工作，在本文的写作过程中也参阅了其他文献 1 - 2二零点辅助函数的构造和估值 设口 1 ，定义o r l ：= ( i + 斯刀) 2 设口1 是一个整数，对任意的实 数t 和d i r i c h l e t 特征x ( m o d 口) ，定义 加 x ) = 去铷枷，x ) 叫i t 川州 ( 1 2 1 ) 在本文中始终假定 1 g 。，( 1 2 2 ) 对任一d i r i c h l e t 特征x ( m o d 口) ，l ( s ，x ) 是其对应的上广函数注意到 一铷x ) _ o o 掣掣 ( 1 2 3 ) 由( 1 2 1 ) 和( 1 2 3 ) ，得t f ( o - , t , x ，= 薹& ( 警) 等( ，一赤) 2 q 定义1 2 1 n ( s ) ：= n l ( s ，x )( 1 2 5 ) x ( m d 口) 设乃= 岛+ i 竹( 1 歹2 ) ，岛1 2 是由( 1 2 5 ) 所定义函数的任意两个零 点，三( s ，菇) 是对应的厶函数，且菇( m d d 口) 由原特征x j ( m o d 劬) 诱导，劬l g 这样就有l ( p j ，x j ) = 0 ，1 j 2 定义1 2 2 62l 2xx忱 + 7 仃 ， + 竹 口 ， ：埘 + ” 1ddm ox 0盯 ， = 纯p 2 xxg 1 2 二零点辅助函数的构造和估值 5 其中 乃= 岛+ i ，l ( p j ，x j ) = 0 ， 1 2 由( 1 2 4 ) 和( 1 2 6 ) 式立得t 设 夕( x l ，x 2 ；p l ，诧) - t - g ( x l ，元2 ；p l ，庇) ) 1 + ( 掣) 心( 辔) + 毗( 端) 卅& ( 警) + ( 裂) + ( 删) ) = 2 薹警( ，一赤) 妻( 1 恤c 而x j ( n ) ，) 之。 k ：= ( 5 一以) 1 0 乃m ，风 对于1 j ks2 ； l m 9 a s x z 1 一岛) 矿一1 且1 盯 1 1 5 ； ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 口i 竹i z 当1sj 2且z 之8 x 1 0 9 ； 由文献【4 5 】可进一步假设 竹l 1 8 9 4 4 3 8 = ：a ，1 歹2 ( 1 2 9 ) 根据x 1 ，x 2 本身或者x 1 x 2 是否是主特征 1 】中分四种情况给出9 ( x l ，x 2 ；p l ，p 2 ) 的上界。 ( i ) ：x l = x 2 = x o ( m o d1 ) 根据1 7 1 + t 2 l 是否小于1 ，又分为两种情况： ( i a ) i 饥+ y 2 l 1 夕( x i , x 2 ；p l , p 2 ) - 两1 一妾去拙崦一勉9 8 m 2 加， ( i b ) i ，y 1 + 3 2 i 1 妣洲西1 一妾南蚀- 唱一舢， m 2 m ， ( i i ) ：x j ( 1sj 2 ) 中恰好有一个为主特征 赤 一 o 警 脚 = 6第一章二零点和三零点辅助函数的构造和估值 炽t 抛；，面1 一蚤2 去蚀脚。 m 2 加， ( i i i ) ：柏( 1 j 2 ) 都不是主特征，而x i x 2 是主特征 根据l 饥+ 饱i 是否小于1 ，又分为两种情况t ( i i i a ) 1 7 1 + 倪i 1 呶，川两1 一耋去诹，昭一舶7 7 2 ， ( i i i b ) i 7 1 + 优i 1 呶t - 洲五1 一嘉南拙脱2 。 2 m ， ( i v ) ：( 1 j 2 ) 及x 1 x 2 都不是主特征 妣矧两1 一嘉南蚀- o s m 8 2 2 ， 综合( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 5 ) 知：对于一切的x 1 ，x 2 ，x 1 ) ( 2 呶，洲土o - 1 一妻去拙，唱m 8 2 心o 总成立 注在后面的应用中，我们将简记0 0 1 8 2 为g ( c 2 ) 1 3三零点辅助函数的构造和估值 设乃= 岛+ i ? j ( 1 j 3 ) ，岛1 2 是由( 1 - 2 5 ) 所定义函数的任意三个零 点，二( s ，菇) 是对应的l - 函数，且菇( m 以g ) 由原特征x j ( m d d 劬) 诱导，劬l 口 这样就有l ( p j ，) = 0 ，15 歹3 1 3 三零点辅助函数的构造和估值 7 定义1 3 1 3 夕( x l ，x 2 ，x 3 ；p ，晚，舶) ：= f ( a ，0 ，x o ( m o d1 ) ) + ，( 盯，) j = l + ，( 盯，+ 弧，x j x k ) + ，( 盯，饥+ 仇+ ，x i x 2 x 3 ) 1 j 七3 其中 乃= 岛+ i ，l ( p j ? ) = 0 ， 1 j 3 由( 1 2 4 ) 和( 1 3 1 ) ，得 9 ( x 1 ，x 2 ，x 3 ；p l ，p 2 ，p s ) + 夕( x l ，戈2 ，x 3 ；以，庇，p s ) + g ( x x ，x 2 ，9 2 3 ；p 1 ，, 0 2 ，西) + g ( x 1 ，元2 ，戈3 ；p l ，愚，p 一3 ) ( ，一上v f s n a l - f f ) 4 + r e ( 而x l ( n ) + 辔+ 辔 ) ( 1 ( n ) 。元2 ( n ) x s ( n ) ，x 1 ( n ) 。x 2 ( n ) 。趸3 ( n ) 7 r t 几一1 1 2n 1 7 3n i 7 1n l 忱7 3 , - - 1 1 3 +趔+掣+型n-i33)+re(xlx2(n)tti,tn i 3 , 2i 3 , ai + 鞘 一 。i 。亿i ( + ) 。x 3 x ( 几) x l 更2 ( n ) 。 元2 x 3 ( 礼)x 3 x z ( n ) 。n i ( 1 3 + 1 )n i ( - n 一他)。n i ( 一3 - 2 + 3 3 )n i ( 船+ 7 1 ) 。x x x 2 ( n ) x 2 2 3 ( n ) 。元3 x 1 ( n ) 。x 1 ) ) ( 2 ( n ) n i ( - n + 他) 。n i ( 忱一1 3 ) 。n i ( 一1 3 + 饥) 。n i ( 3 , z 一 7 2 ) + 藉黠+ 嚣黠) + & ( 礼x l x 2 x s ( n ) i ( - n j 。n i ( 一1 2 一) n i ( 一加+ 7 1 ) 礼 + 他+ ) ( 1 3 1 ) +立粼+丽xlx2x3(n)ni(-n+立n端i(-n) 了之o ( 1 3 2 ) 一恤+ 1 3 ) 。和m 十7 2 1 3 ) 。 一一1 3 ) f 二。 p 訾 脚 = 8 第一章二零点和三零点辅助函数的构造和估值 假设乃p k ，厥 对于 1 j 七s3 ； q l t j l z z 8 1 0 9 ； l m 9 a s x j i 一岛) 盯一l 且1 仃 1 1 5 ； 假设 7 j l 1 8 9 4 4 3 8 = a ，1 js3 当1 js3 且 由文献【4 5 】可进一步 根据x 1 ，x 2 ，x 3 本身或者由它们相乘得到的特征是否是主特征， 八种情况给出9 ( x 1 ，x 2 ，x 3 ；p l ，p 2 ，p 3 ) 的上界t ( i ) ：x l = x 2 = x 3 = x o ( m o d1 ) ，分为以下四种情况： ( i a ) 1 7 1 + 他+ 7 3 i 1 1 3 ， g ( x h x 2 ，x 3 以脚朋) 击一三志+ 7 礼静- 5 3 4 1 4 ( i b )1 7 l + 加+ 1 且 l + 讯i 1 ， 1s j i 七53 ( 1 3 3 ) 文献【1 】中分 ( 1 3 4 ) 妣胁郴两1 一著3 南拙魄刚o s 伪 m 3 脚 ( i c )l 饥+ 7 2 + 7 3 l 1 且 恰有一个i + 饥i 1 ， 1sj 后3 呶蜮z 概郴五1 一蚤3 去啷一s 2 2 9 4 3 q ( i d )1 7 l + 能+ 加i 1 且 恰有两个f + 饥i 1 ， 1 j 七3 妣x 2 , x 3 ；p l , 觑础击一三去+ 7 d 哪- 1 0 5 4 6 3 ( 1 3 7 ) j 2 l 。 ( i e )1 1 l + 忱+ 铂j 1 且 i + 讥i 1 ， 1 j 七3 ，这种情况不可 能发生t 如果1 1 1 + 7 2 l l ，1 7 1 + 他i 1 ，那么 他一馏i 1 7 1 + 他一( 7 l + 船) l 1 7 1 + 他l + | 7 1 + l 2 1 3 三零点辅助函数的构造和估值 9 于是 2 仇i = l y 2 + 7 3 + 铌一铂l l r 2 + r 3 l + l r 2 7 3 l 3 与( 1 3 3 ) 矛盾 综合( 1 3 4 ) ( 1 3 7 ) 知：在条件( i ) 下，( 1 3 5 ) 总成立。 ( i i ) ：均( 1 j 3 ) 中恰好有两个为主特征不失一般性，我们可以假设除x 3 外，x 1 = x 2 = x o ( m o a1 ) ，分为以下两种情况： ( i i a ) i 饥+ 7 2 l 1 妣勉舢- ，再1 一薹3 去拙j 哪“哪6 3 固 ( i i b )1 7 1 + 7 2 i 1 妣地黼概础上a - - 1 一喜南+ 7 胁科2 8 4 ( 1 3 9 ) ，= j 。 综合( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) 知：在条件( i i ) 下，( 1 3 9 ) 总成立 ( i i i ) ：x j ( 1 j 3 ) 中恰好有一个为主特征不失一般性，我们可以假设) ( 1 = x o ( m o d1 ) ，x 2 和x 3 是非主特征，分为以下四种情况： ( i i i a ) x 2 x s x o 妣您黼胁船) s 西1 一善3 去帆l o g 川4 4 8 8 o s 1 0 ) ，= j 。 ( i i i b ) x 2 x s = x o ( m o dg ) 且 i 饥+ 能+ 他l 1 妣m 胁郴击一妾去孙一2 4 3 m ， ( i i i c ) x 2 x s = x o ( m o d 口) 且 i 饥+ 仡+ 讹i 芝1 ， l 他+ 7 3 i 1 南孙l o g 州3 2 3 8 ( 1 3 1 2 )l x 2 x 3 ；儿 两一萎南+ 7 d 。g 蚪1 3 2 3 8 ( l 3 j 2 ) j = j 。 第一章二零点和三零点辅助函数的构造和估值 ( i i i d ) x 2 x 3 = x o ( m o dq ) 且1 1 l + 偬+ 7 3 1 1 ，i 位+ 铂i 1 9 ( x 1 籼m 概郴石1 一薹3 去帆l o g 川0 6 3 7 ( 1 3 1 3 ) j = l 。 综合( 1 3 1 0 ) - ( 1 3 1 3 ) 知t 在条件( i i i ) 下，( 1 3 1 2 ) 总成立 ( i v ) ：x j ( 1sj 3 ) 及 x l x 2 ，x 2 x 3 ，x 3 x 1 和x i x 2 x 3 都不是主特征 航船舢，庇船) s 习1 一三3 再1 拙，o s z 把4 啷【1 4 ) ( v ) ：( 1 j 3 ) 都不是主特征，瓢( 1 j 七3 ) 中恰有一个是主特征 不失一般性，我们可以假设x 2 x 3 = x o ( m o d 口) ，分为以下两种情况； ( v a ) 1 7 2 + 3 l 1 舭地概船) 冬两1 一吾3 而1 怖- 昭z - o 咖2 ( 1 3 朋) ( v b ) l y 2 + 怕l 1 妣地胁船) s i 1 一薹3 而1 帆，o s z 化4 3 9 6 ( 1 3 耶) 综合( 1 3 1 5 ) ( 1 3 1 6 ) 知：在条件( v ) 下，( 1 3 1 6 ) 总成立 ( y i ) ：( 1 js3 ) 都不是主特征，肌( 1 j ks3 ) 中恰有两个是主 特征不失一般性，我们可以假设x l x 3 = x 2 x 3 = x o ( m o dq ) ，x l x 2 不是主特征 ( v i a )l ，y 1 + j 和l 他+ 3 3 i 都1 赧，s m 概郴五i 一著3 南慨b g 川9 4 3 胛， ( r i b )1 7 1 + 7 3 i 和i 他+ 7 3 l 都 1 妣地聊- ，r e , p 3 ) 雨i 一薹3 两1 慨l o g z 以5 抛( 1 3 瑚) 1 3 三零点辅助函数的构造和估值 ( v i c )i ，y l + 他l 和i 饱+ 铂i 中一个 1 ，一个1 妣x 2 ，x 3 m 脚棚) 再i 一喜去+ 7 k l o g 一0 0 6 6 4 ( 1 3 1 9 ) j = l 。 综合( 1 3 1 7 ) ( 1 3 1 9 ) 知：在条件( v i ) 下，( 1 3 1 7 ) 总成立 ( v i i ) ：x j ( 1 j 3 ) 都不是主特征，x j x k ( 1 歹 七3 ) 都是主特征 ( v i i a )所有的i + 弧l 1 ，1 j k 3 出嗽：，x s m 胁郇两1 一妾去帆b g m 9 2 m 3 加， ( v i i b ) 恰有两个j 竹+ 饥f l ， 1 j k 3 不失一般性，我们可以假设 ，y 1 + 3 2 l 和1 7 1 + 7 3 i 1 ，而1 7 2 + 7 3 l 1 妣地概船) 五1 一薹3 南帆l o g z - o 1 2 6 6 ( 1 3 2 1 ) ，= i 。 ( v i i c ) 恰有一个i 竹+ 饥l 芝1 ， 1 j 惫s3 不失一般性，我们可以假设 饥+ 仇i 1 ，而1 7 l + 7 3 l 和l 他+ 他l 1 一妻去拙l o g z _ 2 5 7 2 4 ( 1 3 2 2 ) 1 ，x 2 戌3 护l 肠川j 一萎去+ 7 “o g p 2 5 7 2 4 ( 1 3 ( v i i d )所有的j + 饥i 1 ，1 j 七3 9 ( x 1 , x 2 , x 3 ；p l , 蝴) 两1 一喜去+ 7 仡l o g x - 5 0 1 8 2 ( 1 3 2 3 ) j = j 。 综合( 1 3 2 0 ) 一( 1 3 2 3 ) 知t 在条件( v i i ) 下，( 1 3 2 0 ) 总成立 ( v i i i ) ：x a l 歹3 ) 都不是主特征，x j x k ( 1 j k 3 ) 都不是主特征， 第一章二零点和三零点辅助函数的构造和估值 而x i x 2 x 3 是主特征，分为以下两种情况t ( v i i i a ) 1 7 l + 他+ 7 3 l 1 妣尬胁郴上口- 1 一；3 南拙，唱山m 8 2 3 以， ( v i i i b ) l ，y l + 他+ 竹i 1 妣m 以小五1 一著3 去帆魄川躬9 6 3 尚， 综合( 1 3 2 4 ) 一( 1 3 2 5 ) 知。在条件( v i i i ) 下，( 1 3 2 5 ) 总成立 综合( 1 3 5 ) 、( 1 3 9 ) 、( 1 3 1 2 ) 、( 1 3 1 4 ) 、( 1 3 1 6 ) 、( 1 3 1 7 ) 、( 1 3 2 0 ) 、 ( 1 3 2 5 ) 知：对于一切的x 1 ，) ( 2 ，x 3 ，( 1 j k 3 ) ，x i x 2 x 3 妣确栅郴击一砉南昭州侧 3 川， 总成立 注 在后面的应用中，我们将简记2 4 9 9 8 为夕( c 3 ) ，并且类似定义9 ( c n ) 2 4 ) 其中 且 第二章对辅助函数进行估值时所需要的引理 2 1 对辅助函数进行估值时所需要的引理 引理2 1设x o 是模口的主特征，那么对于1 盯 1 ，口一，一一也是递减的所以对于口 1 和素数p ， 击一赤=n。=lpna一丽)=薹嘉(p呱以ql孺11 )矿一 瓶妒，一1 )由” 鲁矿以 5 薹( 专) 1 十向胆n ( ( 1 + v g ) 2 - i ) _ 去) = 薹( 专) 1 棚v 2 ( p ”c 怕_ 1 ) 2 一去) = 薹卜去( 圹痢2 ) = 两1 一孺1 邴1 而 0 7 8 4如果 0 4 0 9 1如果 0 2 1 4 3如果 o 1 4 6 7如果 i o p 一1 ) 如果 p = 2 ， p 2 3 ， p 。5 ， p = 7 ， p 1 1 1 4第二章对辅助函数进行估值时所需要的引理 这样 如，一k 昭口蔷1 百一丽1 志一k ) 她p ( 0 7 8 4 一，c ) l 0 9 2 + ( 0 4 0 9 1 一k ) l 0 9 3 0 4 9 7 7 至此，证明了引理中的第一个不等式而 s ( q ) 一0 1 l o g q ( 0 7 8 4 0 1 ) l o g2 + ( 0 4 0 9 1 0 1 ) l 0 9 3 + ( o 2 1 4 3 0 1 ) l o g5 + ( o 1 4 6 7 0 i ) l o g7 l 0 8 8 6 故引理中的第二个不等式成立 引理2 3设x o 是模口的主特征，t 是任意实数、那么对于1 口 1 1 5 有 ，cd，t，x。，rk。e。(ga-一1+尤。i。t)g-丌1+-。a31039，6ir+s0。0窖6，15z + 。s 口( ，q 。) ，一z 口，：i t l 1 时 = p qc 刊k 妻：l ( 专一赤) 2 ；陬纠( ；与一去万1 _ ) = s c 口， c 2 1 9 ， 二= 如击一扣1 + 擗吲2 删一莓南 这样，( 2 1 8 ) 右端前两项的和为 = 舭d 矗一去如i h ( 一击) ，o s 丌 + 互1 ( 掣+ 1 ) 一砺1t ；( 半+ ，) ) 一莩& 石击弓+ 击莩志( 2 1 1 0 ， 而对于任意的t ，( 2 1 1 0 ) 中，第一个大括号r e ( o r l + i t ) 由于1 仃 1 1 5 ， 由f 4 3 】中的引理1 和引理2 知，和第二个大括号的乘积 io 0 6 1 5 ，如果 1 l ，c l o g + o 3 3 1 6 ，如果 21 这样就完成了引理2 3 的证明 引理2 4 设) ( 是模q 的一个非主特征且1 口 i 时， 峨知，= 互1 - 哩昙+ 擗( 掣) 一莓舭南， 其中6 = ( 1 一) ( ( 一1 ) ) 2 由( 1 2 1 ) 加 加刖o g - 丌q + 剐；( 掣) 一去；( 鐾2 业) ) 叫州、信r j 。、。 7 ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) 用【4 3 中的引理1 和引理2 对( 2 1 1 5 ) 右端的鼬 ) 进行估计得到( 2 1 1 1 ) 注意到若x ( m o d 口) 由原特征x l ( , n o dq 1 ) 所诱导，由( 1 2 3 ) 得 每x ) + 铷x 1 ) = 薹划等趔 于是由( 1 2 1 ) 得 a ( 佗) ) ( 1 ( 佗) n 8 f ( a , t , x ，= r e 孺1 ( 铷撇，+ 耋墚掣) 一兰c 柚一霎掣) = f ( a , t , x t ，地善0 0 ( 墚掣一击掣) ( 2 1 1 6 ， 善端 一 = 2 1 对辅助函数进行估值时所需要的引理 ( 2 1 1 6 ) 后面对n 求和的绝对值 人( n ) x l ( n ) ，1 1 、 n 证 n 口、屑n 口1 s 霎撕) 1 i 一上4 9 n 盯, 1) s a ( 凡) i 一l ) = 驴p ) 墨k = 1 p i q 一两1 ) = 驰p ，( 寿一击志) 嘞 7 ， 用( 2 1 i i ) 来估计( 2 1 1 6 ) 中的，( 口，x 1 ) ，结合( 2 1 ：1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) 得到( 2 1 1 2 ) 引理2 5 聊翻卅，三r n + n ，r e 志一学n 仁8 ， 其中仇表示函数l ( 8 ，x ) 的满足条件剪= t ，劈1 2 的非平凡零点巧= 劈+ i 霄 的个数，而佗是仅满足劈1 2 且i t 一7 引1 的m 个零点以外的l ( s ，) ( ) 非平 凡零点的个数，且 l ( m ) = 0 当m = o ( 2 1 1 9 ) l ( m ) - 硒1 当m 1 ( 2 1 2 0 ) ll ， m 证明 见文献【l 】1 中的说明 推论 z ( 盯，t ，) ( ) 0( 2 1 2 1 ) 引理2 6 当跫笛 1 一岛) 盯一1 2 ) 且1 盯 1 1 5 时，有 船石一船赤一南s 。c 2 1 2 2 ， 其中1 i j n 证明 见文献【1 】中的说明 瓣 n 第三章四零点辅助函数的构造和估值 3 1 四零点辅助函数的构造 设乃：岛+ i 竹( 1 歹4 ) ，岛1 2 是由( 1 2 5 ) 所定义函数的任意四个零 点，工( s ，x ：) 是对应的l - 函数，且骂( m o d 口) 由原特征勋( m d d 口j ) 诱导，劬| 口 这样就有l ( p j ，均) = 0 ，1 歹4 定义3 1 1 4 9 ( x l , x g - , x 3 ，x 4 ；p 1 ，应，p a ，m ) ：= ，( 仃，0 ，x o ( m o d1 ) ) + ，( 吼竹，) + 。 j = l ，( 盯，协+ 饥，x j x k ) + ，( 以+ 饥+ m ，) ( 砖x 1 ) l 墨j 七s 4 l j 七 ( 3 1 2 ) 。l g 缸f 4n “”付训 j 证明：由( 1 2 4 ) 和( 3 1 1 ) 立得 注此后，我们将简记( 牛) 式为g ( x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) 定理3 1 39 ( x l ，x ，x 苟，