（基础数学专业论文）具有转移条件的奇异sturmliouville算子.pdf

s i n g u l a rs t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o r s w i t ht r a n s m i s s l 0 nc o n d i t i o n s s u p e r v i s o r ：p r o f s u nj i o n g c o l l e g eo fm a t h e m a t i c s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 ，p r c h i n a 3 0 ，m a r c h2 0 1 0 原创性声明 本人声明：所星交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文巾作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签笤呸刍倒!指导教师签名 日期：2 1 型芝：兰! 了j日 瓤攀 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有 权将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和 磁番l t ，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编 学位论文为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属予内蒙古大 学作者今后使用涉及在学期问主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期问 导师的同意：若用丁发表论文，版权巾住必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学能论文作者签彰氢邀 指导教师签名： 具有转移条件的奇异s t u r m - l i o u v i l l e 算子 摘要 本文围绕一类带有转移条件的奇异s t u r m - l i o u v i l l e ( s l ) 算子展开研 究为方便我们研究此类奇异s l 算子的自共轭性，首先我们对于已有的 具有转移条件正则s l 算子自共轭性的相关结果进行了综述，包括带有一 个不连续点和多个不连续点的正则s l 算子在此基础上，我们应用研究 奇异s l 算子经典的w e y l 圆套的办法，给出了带有转移条件的奇异孓l 算子的w e y l 圆的方程、圆心、半径以及m ( 入) 在圆内的充分必要条件，进 而得到了w e y l 圆套我们得到圆套q 在b _ 时的极限是圆或点与 我们所研究方程的解在空间日中平方可积的个数的关系，进而给出了带 有转移条件奇异s l 算子的极限点型与极限圆型的定义，并给出其亏指数 与点、圆型以及方程解的个数的等价关系为了研究算子的自共轭域，我 们给出了与带有转移条件的奇异s l 算子相关联的算子最大算子域和最 小算子域的刻画，结合著名的g k n 定理，分别在极限圆型与极限点型两 种不同的情况下，给出了具有转移条件的奇异s l 算子自共轭域的解析描 述 关键词：s t u r m - l i o u v i l l e 算子，转移条件，w e y l 圆，亏指数，自共轭域 s i n g u l a rs t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r sw i t h ，1 n j 、1o 上r a n s m i s s i o nu o n d i t i o n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yac l a s so fs i n g u l a rs t u r m - l i o u v i l l e ( s l ) o p e r a t o r sw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s i no r d e rt os t u d yt h es e l f - a d j o i n t n e s so ft h e s es i n g u l a rs lo p e r a t o r s ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c e dt h e s e l f - a d j o i n t n e s so fr e g u l a rs lo p e r a t o r sw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ， i n c l u d i n gt h eo p e r a t o r sw i t ho n ed i s c o n t i n u o u sp o i n to rf i n i t ed i s c o n - t i n u o u sp o i n t s o nt h i sb a s i s ，a p p l y i n gt h ec l a s s i c a lt h e o r yo fw e y l c i r c l es e t sc b ，w eg i v et h ee q u a t i o n ，c e n t e ra n dr a d i u so ft h ew e y lc i r c l e a n de s t a b l i s ht h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ef u n c t i o nm w h i c hi nt h e 、e y lc i r c l e a n do b t a i n e dt h es e to fw e y lc i r c l e w eg i v e t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m b e ro fs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n si n ha n dt h el i m i to fc bw h i c hi sac i r c l eo rap o i n tw h e nb _ w e g i v et h ed e f i n i t i o no ft h el i m i t p o i n ta n dl i m i t c i r c l eo ft h es i n g u l a rs - l o p e r a t o r sw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ，a n dg i v ee q u i v a l e n c er e l a t i o n s o ft h ed e f i c i e n c yi n d e x ，l i m i t p o i n t ( 1 i m i t c i r c l e ) ，a n dt h en u m b e ro ft h e s q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n si nh i no r d e rt os t u d yt h es e l f - a d j o i n t n e s s o ft h e s eo p e r a t o r s ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h em a x i m a la n dm i n i m a l d o m a i n sa s s o c i a t e dw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s c o m b i n i n go ft h e w c l l - k n o w ng k nt h e o r e m ，w eg i v ea n a l y t i cd e s c r i p t i o no fs e l f - a d j o i n d o m a i no fs i n g u l a rs t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o rw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i - t i o n si nt h ec a s e so ft h el i m i t c i r c l e ( 1 i m i t p o i n t ) r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：s t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r ，t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ， w e y lc i r c l e ，d e f i c i e n c yi n d e x ，s e l f - a d j o i n td o m a i n s 肽 c i m z 页 a t a v ( t ) r a l l k m d e tm j v ( t ) m l 1 ( j ，r ) a g o c ( ( o ，6 ) ，r ) l 2 ( j ，c ) 符号说明 实数域 复数域 复数z 的虚部 复数a 的共轭数 矩阵a 的转置 矩阵a 的复共轭转置 算子t 的定义域 矩阵m 的秩 矩阵m 的行列式 算子t 的零空间 m 礼阶矩阵m 在区间，上定义的l e b e s g u e o - - i 积实值函数全体 在a ，6 ) 的所有紧子区间绝对连续的实值函数全体 在区间j 上所有满足正i y c t ) 1 2 d t 0 ，( 2 1 4 ) 且 一o o a b 0 ，则自共轭算子t 的特征值序列a n ；n n 是 下有界的，即可以排列成： 入1 a 2 a n _ 8 内蒙古大学硕士学位论文 ( 2 ) 设 鲰( z ) ；7 , n ) 是自共轭算子t 的标准正交特征函数系，则 ( z ) ) 在日 中完备，即对任意的，h ，有，= 墨1 ( ，) 鲰若j r 口( t ) ，则 t ，= 入n ( ，“) 鲰 n = l 2 2区间内部有有限个不连续点的情形 对于在区间内部有限个点具有转移条件的孓l 问题，与在区间内部只有一个点 具有转移条件的讨论方法类似，我们相应的可以定义在空间日中的最大最小算子及 其与转移条件有关的最大最小算子，讨论最大最小算子的相关性质，并证明在区间内 部有限个点具有转移条件的孓l 算子的边界型定理和自伴边界条件的判别准则 我们可以考虑正则的孓l 方程 l y ：= 一( p ( z ) 秒7 ) + 口( z ) y = 入y ，z i ，a c 在这里 i = ( a ，c 1 ) u ( e l ，c 2 ) u u ( c m ，6 ) ， 一o 。 a 。 c 2 忍届， l 懈4 ii o t 3l 们i 篷眷f m - 虿m d x 2 搿：仁明，+ 鲁告仁。+ 瓮加缸一 9 内蒙古大学硕士学位论文 我们在h i l b e r t 空间h = ( l 2 ( ，) ，( ，) ) 中考虑问题( 2 2 1 ) 一( 2 2 6 ) 同样可以在日中定义由匆生成的最大算子l m 和最小算子l o 及与算子t 有 关的最大算子l m t 和最小算子l o t 并且有 l ocl o tctcl m tcl m ， 最小算子l o 是闭的稠定对称微分算子，且有瑞= l m ，l 玉= l o 由对称算子的 性质，我们可以得到 l ocl * m tcr cl 函cl m ( 2 2 8 ) 对任意的，g ：d ( l m t ) ，有 ( 玩，御) 一( 乱，幻) = 丧( t l ，州一w ( 印；口) ， ( 2 2 9 ) 成立其中( 让，雷；z ) = u ( z ) 雷【1 】( z ) 一乱【1 】( z ) 雷( z ) 因此，对任意的u d ( l o t ) 和 御：d ( l m t ) ，有 ( l o t u ，钐) = ( t ，l m t v ) ( 2 2 1 0 ) 显然有l m tcl 拓并且l o t 是一个稠定的对称算子 对于在区间内部具有有限个点满足转移条件的最大算子域中的元素也符合n a i m a r k 补缀定理： 定理2 2 1 【6 1 对任意的复数q 1 ，岛，口2 ，侥，总存在乱t ) ( l m t ) 使得 u ( 口) = q l ，u 【1 1 ( n ) = 伪，u ( b ) = o r 2 , 札【1 1 ( 6 ) = 仍 定理2 2 2 6 1 设， ) h 则方程l y = ，有解矽( z ) 7 ：) ( l o t ) 当且仅当s 正 交于方程l y = 0 属于z ) ( l m r ) 的所有解 由n a i m a r k 补缀定理和以上的一些分析，我们可以证明： 定理2 2 3 1 6 】与算子t 有关的最大最小算子l o t ，l m t 是互为共轭的，即有l 拓= l m t 和l m r = l o t 类似于区间内部只有一个点具有转移条件的研究方法，我们可以得到有限个点具 有转移条件的s _ l 算子的边界型定理和自伴边界条件的判别准则 定理2 2 4 【6 1 设t 为算子t 的共轭算子则口v ( t + ) 当且仅当 z ) ( l m r ) 并且 垡w ( 牡，移；6 ) 一w ( 仳，雷；。) ：0 ， 1 1 7 m 对任意的u v ( t 1 成立 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 定理2 2 5 【6 】算子t 为自共轭的当且仅当：d c t ) 满足 ( 1 ) v ( t ) cd ( l 胛) ( 2 ) 对任意的t i ，钉口( 丁) ，有等丧w ( t i ，面；6 ) 一伽( t ，面；q ) = 0 ( 3 ) 若u d ( l m t ) 且等式暑w ( t ，移；6 ) 一w o , ，面；n ) = 0 对任意的u d ( t ) 成 立，则必有口d ( t ) 定理2 2 6 6 1 设y t ( l m t ) ，v ( v ) = s v ( a ) + b y ( b ) 是二维边界型则算子 t 的边界条件u ( y ) = a y ( a ) + b y ( b ) = 0 和v ( v ) = 0 互为共轭当且仅当： 再1 a j _ z s = f 1 丙胪1 p t ，= 01 1 ) 定理2 2 7 【6 1 算子l 是自共轭的当且仅当： = ( 西如a j 一1 a = m b j 一1 b + ， 1 1 第三章奇型具转移条件s l 算子的极限点型与圆型 在本章中，我们首先使用讨论奇型孓l 算子的经典方法，利用我们所要讨论的奇 型具有转移条件s t u r m - l i o u v i l l e 算子满足一定初始条件的解构造了m 函数，进而得 到了w e y l 圆套在此基础上，我们在本章第二节中给出了此类算子极限点、极限圆 型的定义，并讨论了其亏指数与极限点、圆型的关系 3 1w e y l 圆套 本文考虑奇异的对称微分方程 l y ：= 一( p ( z ) ) + q ( x ) y = a y ，z j ，入c ( 3 1 1 ) 其中j = ( a ，c ) u ( c ，6 ) ，一。o a 0 ，d e td = ，y 0 ( 3 1 3 ) 在空间h = l 2 ( ，) ( l 2 ( ，) 表示在，= ( a ，c ) u ( c ，b ) 上平方可积的复值可测函数 全体1 上引入了一种依赖于转移条件的特殊内积： ，c，d ( ，9 ) = p 歹1 d x + ，y f 2 - 9 2 d x ，v f ，g l 2 ( ，) ， ( 3 1 4 ) ，n，c 其中 ， ，c z ，2 2 二；二茎 耋昌j c 3 1 5 ， 空间可看作一个加权的函数空间，其权函数为 秒( z ) ： p z ( 。，c ) ， i7 z 【c 6 ) 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 【圳加 ( ，)饫 ，c ) ， ( 3 1 6 ) i7 w ( 虿；z ) z ( c ，6 ) 其中w ( f ，蚕；z ) = f ( x ) g 1 j ( x ) 一产】( z ) 丽 假设妒( z ，入) 与o ( x ，入) 分别是下列c a u c h y 问题的解 f l y = 入可， fl y = a 秒， 秒( o ) = s i n a ， ! ，( 口) = c o s ， ( 3 1 7 ) 【3 ，【1 j ( a ) = p ( 口) 7 ( 口) = 一c o s c r ，【y 【1 j ( a ) = p ( o ) 秒7 ( n ) = s i n ， 其中0 q 7 r ，妒( z ，a ) 和p ( z ，入) 同时满足转移条件( 3 1 2 ) ，且 妒c z ，入，= 妒。0 2 1 ( ( z x , a a ；三茎 ：昌j 口c z ，入，= 0 1 ( x , a ；：茎：昌j c 3 1 8 ， 因为妒( 口，入) 和o ( a ，a ) 的w r o n s k i 行列式 w ( 妒，口；口) ：i8 1 她c ，a i ：1 o ( 3 1 9 所以妒( z ，入) 和o ( x ，入) 线性无关由l i o u v i l l e 公式，我们有对于任意z ( a ，c ) ， w ( 妒以z ) = ( 1 ，o l , 0 1 ；x ) = 躲( i ，o l , 0 1 ；a ) e e 苦d t = ( 妒以口1 ( 3 - 1 1 0 ) 类似地，对于z ( c ，我们有 w ( 妒以z ) = w ( q 0 2 ，6 1 2 ；z ) = 碧w ( 妒2 ，如；c ) e - i ：吾d t = w ( 垆，口；c + ) ( 3 1 1 1 ) 另外根据转移条件( 3 1 2 ) ，经计算可得 p ( 妒，p ；c 一) = ，y ( 妒，p ；c + ) ，( 3 1 1 2 ) 所以由( 3 1 1 0 ) ，( 3 1 1 1 ) ，( 3 1 1 2 ) 可知， ( 1 p ，p ；z ) = 号缈( 妒，p ；n ) - 号，z ( c ，6 ) 方程m y = a y 的解除0 外都可表示成可( z ，入) = 妒( z ，a ) + m o ( x ，入) 的倍数且满 1 3 内蒙古大学硕士学位论文 于是可在n 点满足边条件 c o s a y ( a ) + s i n a y 1 】( 口) = m 考虑方程的那些同时还在b ( c ，o o ) 满足边条件 c o s p y ( b ) + s i n p y 1 1 ( 6 ) = 0 ，0 p 7 r ， 的解，于是 岬卜筹器嚣禚粉 i 一渊， 卢= 0 ， 一j 口( 6 ，a j p 一 i一筹渊黜，0cot p ( 3 1 1 4 ) t y = l y ，y d ( t ) 则入是l o t ( i ) 的自共轭延拓t 的特征值，因而a 为实数只要i m 入o ，仇( a ) 就是确定的令 a = 妒( 6 ，a ) ，b = 妒【1 】( 6 ，入) ，c = o ( b ，a ) ，d = p 1 1 】( 6 ，入) 因为 i c a 牛毗以6 ) 2 。， ( 3 5 ) 所以 m 2 一c 厕d ， z + 7 是一个分式线性变换，它把z 平面上的直线与圆变成m 平面上的直线或圆当p 从 0 变到7 r 时，z = c o t 跑遍了实轴，这样这个分式线性变换将实轴变成了一个圆 定理3 1 1 如果i m 入0 ，实轴在分式线性变换 m 一等等， ( 3 6 ) 一虿万历， e 1 - o j 1 4 内蒙古大学硕士学位论文 卜嗣像是半向m 上的圆q 其中： ( 1 ) c b 的方程为 b ，! ，j ( 6 ) = 0 ， 或 舢+ 甜砰如= 等 ( 2 ) g 的圆心为 蛳一踹 ( 3 ) g 的半径为 11 r b2 r t2 下1 旧刎( 6 ) l 2 1 i m a ll p c1 0 1 1 2 d x + ，y e 2 d x i ( 4 ) m 在圆g 内的充要条件是 肛1 2 如+ 2 p 6 川2 如 啬 证明 。= p z 。( z 晚一a 0 1 ) 一0 1 d x + ，y 6 ( 2 如一a 0 2 ) 一e 2 d x = 一棚砑仨+ p c p l 鹾1 2 如十p z c ( g 一划州2 如 一仰瓦眨+ 7 厂6 p i 必1 2 d z + 7 r c ( g 一入) 1 0 2 1 2 d z j c j b p w ( o ，p ；c 一) = 1 w ( o ，口；c + ) ， 即 j d ( 以( z ) 丽一p ) 硐卜7 ( 眈( z ) 丽一砖( z ) 0 - 2 7 ) ) ， 也就是 p l m ( o p l ( z ) 万丽) = p i m ( 毋1 ( z ) 否丽) 从而 i m ( - p ( b ) 钙( b ，a ) 研两) = i m ( p 1 0 11 2 d x + ，y 1 0 2 1 2 如) 0 于是p ( 6 ，a ) = 0 2 ( b ，a ) 0 且 - m ( 一旦笔善) = z m ( 一旦鱼薯掣) 。， 1 5 内蒙古大学硕士学位论文 即一g 不是实数这样的分式线性变换 a z + b m 2 一刁i 历， 便把非实数的点= 一g 映成了m 平面的无穷远点，因此实轴的像是一个圆 ( 1 ) q 的方程 l2 a z + bd m + b z 2 一c m + a 对g r ，有 一一 d m + bd 雨+ b 一c m + a2 一u - m + - a ( 一c - m + a ) ( d m 十b ) = ( t r m + 百) ( c m + a ) ， ( - c d c 西) 俪+ ( b - c a - 万) m + ( - a d 一- 百c ) m + ( - a b a b ) = 0 这即为q 的方程显然 一c d d 西= p o ) o ( b ，a ) 丽一p ( b ) 歹丽了万o o ，a ) = 一w ( 响( 6 ) = 一扣， b u 一舾：一三【妒，刎( 6 ) ， ，y ” 才d 一百c = p o ) e o ，a ) v c b , a ) 一p ( 6 ) 歹丽两p ( 6 ，入) 故 即 或 一【p ，o o ) m m 一【妒，刎( 6 ) 丽一p ，纠( 6 ) m 一【妒，妒】( 6 ) = 0 ， 利用g r e e n 公式，有 即 【妒+ m o ，妒+ m o ( b ) = 0 ， 【y ，y 】( 6 ) = 0 p 知l y z - y 碲如+ 7 6 ( 0 - 2 l y 2 - y 2 目如扎驯 【可，可】( 6 ) = 【可，可】( n ) + ( a 一页) pz 。i 可，1 2 d z + ，yz 6i 眈1 2 如 1 6 、i ，p 纠矽 1 7 一 = p 万 纠 仍 k 一卜 一 一 = = 一ba ba 内蒙古大学硕士学位论文 而 b ，可】( a ) = 【妒+ m o ，妒+ m o ( a ) = 【妒，纠( 口) + m o ，纠( n ) + 丽【妒，卅( 口) + i 仇1 2 【p ，刎( a ) = m v w o ，_ 】( o ) + 却w 【妒，一o l ( a ) = 一p m + 厕= - 2 i p i m 1 故圆g 的方程为 f fl 种i 出+ 2 pz 6i 砰如= 尝 ( 2 ) 下面求砚的圆心 把g 的原始方程与圆的方程i m m 6 0 l = r b ，即( m 一, n b o ) ( m 一一m b 0 ) = 嵋作比较得 m b 02 a d b c cd cd 一- 1 1o ，妒】( 6 )【妒，刨( 6 ) 丽2 一丽 ( 3 ) c b 的半裣 z = 0 像在c b 上，即一昙c b 所以 iba d b ciia d b ci 2l d - c d - c - d l2l 历而i 因为 a d b c = w ( v ，p ) ( 6 ) = 1 ， 故 1 1 2 网c d c d2 厩0 网b l l| l ，p i ( ) l 由g r e e n 公式得 pz 。( 瓦l o l - - 0 1 一1 0 1 ) d x + 7 ，6 ( 碌如一0 2 1 0 2 ) 如= 限眺= 限小6 ) ， 而 于是 f c，- d p ( 一0 1 1 0 1 川丽) 如+ 7 ( n t 0 2 0 2 1 0 2 ) d x ，口 ，c = ( 入一页) pz 。i p 。1 2 d z + 7 6i 先1 2 d x 鲥m 入 p 小i1 2 如十7 2 6 i 哪id x 1 。2 l i m 币ap 而0 而1d x 鬲碉d x l1 ei1 2 + ，y j 2 i ( 4 ) m 在网g 内的充要条件圆gn ；b n y g 知1 2 ! p 6i 眈1 2 如= 器 1 7 内蒙古大学硕士学位论文 即 俪( 小+ ! p 小心z ) + m ( z 。矾出+ ! pz 6 礅如) + 而( z 。酾如+ 吾z 6 妒。) + ( 小，陋+ 掰甜出) = 警 对比i m m b o i = n 可知m 在圆c b 内当且仅当： 即 也就是 i m m b o i r b ， i m 一仇6 0 1 2 店， 仇丽一m m b o 一一m m b o + m 6 0 丽钿一程 o ) 组成了m 平面里的圆套 证明由 m 在吼当且仅当小陋+ 2 pz 6 蚓2 出 o ) 是一个圆套，半径r b 是b 严格下降函数( r b = r 土_ t ) ， 2 l i m a i p f ：i o l l 2 出竹c 叫 当b 0 0 时，它趋近于一个非负的极限这样便产生了两种情彤： ( i ) 极限值 0 ，圆套收缩成一个“圆”c 毛连同内部= n 6 o ( c b 连同内部) ； ( i i ) 极限值= 0 ，圆套收缩成一个点m 于是我们有如下定理： 定理3 2 1 设i m a 0 ，妒，0 是方程( 3 1 1 ) 的满足初始条件 妒( d a ) = s i n n ， p ( o ) 妒7 ( o ，a ) = 一c 0 8 q ， 口( a , a ，) - - 、c 、o s q , ( 3 2 1 ) lp ( a ) 0 7a ，a ) = s i nq ， 、 内蒙古大学硕士学位论文 且同时妒( z ，入) ，o ( x ，a ) 满足转移条件( 3 1 2 ) 的两个线性无关解，其e e o q 0 都有俞在q 内因此 小如+ 鲫如1 2 d x + 甜+ 俞删m ) 1 2 d x 。 所以 t o + 俞h = l 2 ( ，) ， 从而妒h = l 2 ( j ) 这样，方程l y = 知( z i ) 的一切解都在区间j 上平方可积 ( 2 ) 对第二种情形， 1 i r ar b = 0 ， o - - 0 0 所以 p z 。1 0 1 1 2 d x + 7 ”i 如1 2 出= 0 0 ，d，c 即口= l 2 i f ) ，由于m 在所有的圆q ( 6 0 ) 内，所以 妒+ m 。0 h = l 2 ( j r ) ， 于是方程l y = ( z i ) 的两个线性无关解中有一个属于h = l 2 ( ，) 而另一个不属 于h = l 2 ( ，) 注联系到亏指数的定义并结合定理3 2 1 ，这表示我们研究的对称微分算式的亏 指数为1 或2 ，不可能是0 定理3 2 2 如果对某个知，方程l y = a o y ( x i ) 的一切满足转移条件( 3 1 2 ) 的 解均属于h = l 2 ( ，) ，则对于任何a c ，l y = a y 的一切满足转移条件( 3 1 2 ) 的解 也都属于h = l 2 ( ，) 1 9 内蒙古大学硕士学位论文 证明设妒c z ，= ：譬；：三茎；：毒，口c 功= ：譬；：三茎 ：昌j 是方程冶= a o y ( x ，) 的满足转移条件( 3 1 2 ) 的两个线性无关的解，适当乘妒( z ) ，p ( z ) 以常数， 可以假定 w ( 妒，口；a ) = 1 如3 1 节所定义的，w ( 妒，p ；z ) = 妒( z ) 引1 1 ( z ) 一1 】( z ) 口( z ) 于是由所以由( 3 1 1 0 ) ， ( 3 1 1 1 ) ，( 3 1 1 2 ) 可知， ( 妒，p ；z ) = 形( 妒，p ；a ) = l ，。( a ，c ) ， w ( 妒，p ；z ) _ ，y p - w ，p ；口) = 号，z ( c ，6 ) 设口是l y = ( z j ) 的另一个满足转移条件( 3 1 2 ) 的解，将i v = 加改写成 i v = a o t ，= ( 入一入o ) ， 用常数变异法解此非齐次方程可得，令 ( z ) = e ( 茁) 妒( z ) + 危( z ) 口( z ) ， 其中 勘c z ，= 芝 三；：三茎 毒富? e c z ，= 三： 三；：主 昌： c z ，= ：芝 三；：三茎 昌j 解得 e c z ，= e l ( x ) - - - - - f ：( ) i - a o ) 0 1 ( t ：) 。v ，l 砚( t 。) 。d ，t + + e e 2 1 ，二茎 ：富： ) ：h , ( x ) = - f i ( ) , - a o ) v , ( t ) v l ( t ) d t + h i ，三主鼢 其- d p a i ( a ，c ) ，c l ( c ，6 ) ，e l ，e 2 ，h 1 ，k 为常数这样我们有 心，5 擀黝：蔽0 之默笃浆端端蒜，麓毒 记 删( z ) = 尬+ ，y ( i v ( t ) 1 2 a t ) m ， 其中m = p ( ei v ( t ) 1 2 ) m = m ，故我们仅需考虑 ( z ) = 7 ( | v ( t ) 1 2 d t ) m ， 内蒙古大学硕士学位论文 是否有限令 r zf 蕾 尥。= m a x ( i 妒2 ( 0 1 2 出) 1 2 ，( | 0 2 ( t ) 1 2 出) m ) ，c lj c l 如果右端点6 o o ，显然有v ( x ) h = l 2 ( ，) 若6 = o o ，则由于妒，口h = l 2 ( ，) ， 所以当0 1 _ c 时，舰，一0 ，当c 1 _ o o 时，腹。一o 于是可选择c 1 ( c ，d 充分 大，使得 ( 入一a o ) 吆 玄 ( 3 2 2 ) 由s c h w a r z 不等式，知对一切t z c 1 c ，有 ，t i ( 忱( z ) 6 1 2 ( 亡) 一5 i o i ( t ) 0 2 ( x ) ) v 2 ( t ) d t i 尬。( i 妒2 ( z ) i + 1 0 2 ( x ) i ) m 2 ( t ) 这样 ( z ) - y ( 1 e 2 i + i ，也1 ) 腹。+ 2 7 号i a a o l m 三m 2 ( t ) 结合( 3 2 2 ) ，我们有 如( t ) 2 7 ( i e 2 i + i 九2 i ) 磊。， 所以 l i v l l ( t ) = 尬+ m 2 ( t ) c o t 任意，所以 日= l 2 ( i ) 定义3 2 3 z ( v ) 称为在b 处是极限圆的，如果有a o c 使得方程l ( v ) = a y ( x j ) 满足转移条件( 3 1 2 ) 的一切解均属于h = l 2 ( ，) ，否则称z ( 可) 在b 处是极限点的 推论3 2 4 以下各条件等价： ( 1 ) l ( v ) 在6 处是极限圆的； ( 2 ) z ( v ) = 0 的一切解均属于日= l 2 ( n ( 3 ) z ( 可) 的亏指数为( 2 ，2 ) 推论3 2 5 以下各条件等价： ( 1 ) z ( v ) 在b 处是极限点的； ( 2 ) l ( v ) = 0 至少有一个解不属于h = l 2 ( n ( 3 ) z ( y ) 的亏指数为( 1 ，1 ) 2 1 第四章具有转移条件的奇型s l 算子的自共轭性 本章给出了具有转移条件的奇型孓l 算子，通过g k n 定理，在极限圆和极限点 两种不同的情形下自共轭域的解析描述 4 1 与算子t 相关的最大最小算子 对于具有转移条件的奇异l 算子，我们可以在空间h 中分别定义最大最小算 子及其与转移条件有关的最大最小算子，即： 定义4 1 1 由微分算式z 可在日中生成的最大算子z ，m 定义为： v ( l m ) = y h i y l ，可p a c , ( 口，c ) ，y 2 ，拷】a c , ( c ，6 ) l y h