（通信与信息系统专业论文）基于提升小波的图像处理技术.pdf

孛嚣辩学拄末大学硬圭警位途文 摘要 小波( w a v e l e t ) 是目前科学和工程领域一个非常广泛的话题，它具有时频多尺度分析的能力和良 好的去相关效果，在信号处理中有着广泛约应用。 从传统的第一代小波出笈，得到它的多相矩阵表示；g l 入勒让雾多项式的分解，我们可鞋将多相矩 阵表示为基本矩阵的累积；这样就可以在实现结构上将小波滤波器分解为简单的提升捞骤，同时它也从 时域上绘出了小波鹣薅释，馁于我们对小波分攒躲避一步壤簿。 提升的实现方式舆有很多优异的性质。它结构简单，可以有效降低计算壤；实现原位运算，减少所 需的存储空间；逆变换可以通过结构翻转直接实现；能够露现整数到整数的整整变换簿等。便于v l s i 实现，遥攥予移魂设备、缳功耗设蔷。 些复杂的现有小波可以被分解为简单的提升步骤，降低它的察现复杂度和成本。同时我们也可以 从提升结构的模型出发，根掇变换的目的，施加约束条件，构造高效豹小波滤波器。 本论文主要讨论了以下三个问题： 1 ) 两参提升模型用于数据压缩的改进。我们对两参模型的参数区间进行了拓展，提高了图像压缩 豹效率。挺掇了绝对释俸鸯逸彀最璧参数熬评羚瓣鼗，并没送了最髓参数懿搜素冀渡 丈丈降低了运 算量。 2 ) 将嚣参提升模型同软闽值降噪棚结合用于图像消噤。首先，我们改进参数模型使之适裔于降噪 磁爝( 先蔓耱后预溺) ；| 迸璇交往等缝泉条伴，樗臻了篡有良好予带分辩特性静一族小波；然螽，依 据信号特性自适应的选择滤波辨参数和软闽值门限，得到了良好的图像降噪效果。最佳提升参数和软域 值滤波门限都可以依据信号自遁应地得到，这种算法具有很好豹鲁棒性和普适性。 3 ) 对侥亿提升小波的实现结构、节约存储空潮、提高硬件利用率、提商处理速度、并行处理技术 等进行了探讨。 关键词：小波，挺秀，瑟缩，溥曝 中辫科学技术大学硕士学位论文 摘要 a b s t r a c t w a v e l e ti sw i d e l yu s e di nt o d a y sa p p l i c a t i o na n dr e s e a r c h ，r so u t s t a n d i n gm u l t i - r e s o l u t i o na n dd i s c o r r e l a t i o n b e n e f i t su sm u c hi ns i g n a lp r o c e s s i n g w es t a r tf o r mc l a s s i c a lf i r s tg e n e r a t i o nw a v e l e t c o m et oi t sp o l y p h a s ed e n o t a t i o n ，w l 壤t h e h e l po f l a u r e n t p o l y n o m i a l s ，t h ep o l y p h a s e m a t r i xw a sf a c t o r e di n t ob a s i co n e s t h e nt h ef i l t e r sc o m ei n t os i m p l el i f ts t e p s i tg i v e su se x p l a i no f w a v e l e to nt i m ed o m a i n t h ei i f tc o n s t r u c t i o nh a si o t so f e x c e l l e n tm e r i t s i tc a nd r o pd o w ne a l e u l a t i o nm u c h c a l c u l a t ei ti np l a c e , r e d u c em e m o r ys i z e a n dm a p i n t e g e r t oi n t e g e r a n di t si n v e r s et r a n s f o r mc a r ld i r e c t l yb yo v e x t u r nd i r e c t l y t r a n s f o r m 。i tc a nb er e a l i z e de a s i l yi nv l s i ，a v a i lf o rm o b i l ea n dl o w p o w e r d e v i c e ， w ec a nf a c t o rs u b t l ew a v e l e tf i l t e r si n t os i m p l el i f t i n gs t e p s ，r e d u c er e a l i z a t i o nc o m p l e x i t ya n dc o s t o nt h e o t h e rh a n d ，w eg a ns t a r tf r o mb a s i cl i f tm o d a l ，c o n s t r a i n ti tf o rs p e c i f i cp u r p o s e , t om a k e s o p h i s t i c a t e df i l t e r s w ef o c u s e do nt h r e ei s s u ei nt h et h e s i s ： 1 ) i m p r o v e d o nt h et w op a r a m e t e rm o d a lf o ri m a g e c o m p r e s s i o n w e w i d e nt h e p a r a m e t e rr a n g e t og i v e b e t t e r q u a l i t y , a n d w e b r i n g o u t a n e wc o s t f u n c t i o n o f a b s o l u t ev a l u e s u m m a t i o n t o f i n d o p t i m i z a t i o n p a r a m e t e r t o g e t h e r w em o d i f t e dt h e a l g o r i t h mo f s e a r c h i n go p t i m i z a t i o np a r a m e t e r f i n a l l yw eg e tb e t t e r c o m p r e s s i o nq u a l i t y 2 ) i n t e g r a t e dt w op a r a m e t e rl i f t i n gw a v e l e ta n ds o f t - t h r e s h o l df o ri m a g ed e n o i s i n g w eo p t i m i z et h e m o d a ls u i t e df o rd e n o i s i n g ( u p d a t ef i r s t ) c o n s t r a i n ti tw i t ho r t h o d o x y t h e nw e g e ta s e to f w a v e l e tw i t h w e l l b a n d d e c o m p o s i t i o n a c c o r d i n g t os i g n a l ，w ec a ns e l e c t f i l t e r p a r a m e t e r a n d t h r e s h o l d g a t es e l f - a d a p t e d t h e d e n o i s i n gr e s u l ti sg o o d a n d t h em e t h o di sr o b u s ta n du s e dw i d e l y 3 ) o p t i m i z e d t h el i f t i n gc o n s t r u c t i o n ：c o n s i d e r i n go f r e d u c t i o no f t h e m e m o r y , i m p r o v e m e n t t h eh a r d w a r e u t i l i z a t i o n ，i m p r o v et h ep r o c e s s i n gv e l o c i t y , a n dp a r a l l e lp r o c e s s i n g ，w ed i s c u s sh o w t om e e tt h i sw h e n r e a l i z a t i o n 。 k e y w o r d s ：w a v e l e tl i f t ，c o m p r e s s i n g ，d e n o i s e 2 中国科学技术大学硕士学位论文 绪论 当今社会正处于信息革命的浪潮之中，信号处理越来越广泛地应用于各个领域。信号是信息的重要 内容，信号处理就是从原始信号中检取所需信息的技术；小波分析在其中占有重要的地位。 1 8 2 2 年，法国著名数学家f o u r i e r 从热力学的角度提出了“热的解析理论”，这种理论以一种全新 的观点对当时的分析领域产生了极为重要的影响，使数学、物理等学科发生了很大的变化，并引起了众 多科学家的广泛关注，这就是f o u r i e r 分析方法。但是f o u r i e r 提出的这种分析方法更多的停留在理论上， 实现过程复杂，尚难以有效运用。1 9 6 5 年，美国贝尔实验室的c o o l e y 、t u k e y 两位工程师综合前人的 研究成果，在大量计算机模拟的基础上提出了影响深远的f o u r i e r 快速变换，即f f t 。从此，f o u r i e r 方法从理论走向实践，成为大家在信号分析中爱不释手的数学工具；而且它从分析的角度在许多学科之 间建立了关联关系。 在信号处理和分析领域中，f o u r i e r 变换虽然能够较好的刻划信号的频域特性，但它几乎不能提供 信号在时域上的任何信息。此外，对于有限长度的时域信号序列，f o u r i e r 变换的谱线泄漏( 1 e a k a g e ) 现象会对分析结果产生不利的影响。也就是说，在信号f o u r i e r 分析中面临着时域局部化与频域局部化 之间的矛盾。 加窗f o u r i e r 变换是一种时频局部化的分析方法，它的窗口大小及形状是固定的。这种变换能够改 善有限长度时域信号的谱线泄漏程度，但是加窗后的分析结果会造成时域分辨率的下降，它不能敏感地 反映信号的一些突变。 小波分析被认为是f o u r i e r 分析理论发表1 7 0 多年来对其最辉煌的继承、总结和发展，是调和分析 领域半个世纪以来工作的结晶，它取得了许多传统分析方法难以实现的显著效果。小波分析对于图像处 理、信号信息处理、通信与电子系统、地震信号处理、电路与系统、物理学、应用数学、机械工程、 力学、光学等领域都有着广泛的应用。 任何理论的提出和发展都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外。1 9 1 0 年h a a r 提出了小波规 范正交基，这是最早的小波基，当时并没有出现“小波”这个词。1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分组理论：对频率按二进行划分，其f o u r i e r 变换的相位并不影响函数的大小， 这是多尺度分析思想的最早来源。1 9 4 6 年，g a b o r 提出加窗的f o u r i e r 变换( 或称短时f o u r i e r 变换) 对 弥补f o u r i e r 变换的不足起到了一定的作用，但他并没有能够彻底解决这个问题， 1 9 8 1 年，在分析地质数据时，法国地质物理学家m o r l e t 基于群论首先提出了小波分析( w a v e l e t a n a l y s i s ) 这一概念。m o r l e t 最初提出的是形状不变的小波( w a v e l e t o f c o n s t a n ts h a p e ) ，因为在分析信 号时，加窗f o u r i e r 变换并不具有形状不变性。m o r l e r 小波在数值分析所取得的成功激发了他本人对小 波分析进一步深入研究，同时也大大鼓舞了法国理论物理学家g r o s s m a r m ，于是他们携手共同研究小波 理论。1 9 8 5 年，法国数学家m e y e r 首次提出光滑的小波正交基，后被称为m e y e r 基，对小波理论做出 了重要贡献。1 9 8 6 年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想。1 9 8 8 年，年轻的女数学家 d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的光滑正交小波基一- - d a u b e c h i e s 基，为小波研究加入了催化剂。后来信 号分析专家m a l l a t 提出了多分辨分析的概念，他给出了构造正交小波基的一般方法，改变了人们构造 正交小波基是高度技巧性和不可模拟性的观念。多分辨分析概念是小波理论最基本的概念之一，最常用 的多分辨分析有两大类一类是时间有限的多分辨分析，另一类是样条多分辨分析。正交样条小波是最 早构造出的小波函数( 除h a r t 小波外) 。m a l l e t 受金字塔算法启发，以多分辨分析为基础提出了著名的 快速小波算法一m a l l a t 算法( f w t ) 。这是小波理论突破性的研究成果，其作用和地位相当于f o u r i e r 分 析的f f t 。m a l l a t 算法的提出使得小波研究从理论走向更加宽广的应用研究。1 9 8 9 年，m e y e r 出版的小 波与算子是小波理论这一新兴学科诞生的重要标志。 串国科学技术大学硬士学位论文 绪论 小波分析优于f o u r i e r 分析的地方魁：它在时域和频域同时具有良好的局域性：而且它对高频成分 可袋用逐澎麟细的时域取样步长，从丽可以聚焦到对象躬经意纲节；所以小波分析是对信号时、频局郝 特性进行分析比较理想的数学= 其。小波变换实现了信号从时域刭时闻一尺度城平面的转换，通过多尺 度分析可以在不同的尺度下观察信号不同的局部化特征。 在小波分析豹理论逐激袋熟，褥到愈趣广泛崧愆熬舄瓣，s w e l d e m 等人舞建鼓舅终豹角度对，j 、波 分析进行了探讨和实践。他们从空间实现结构出发给出了小波新的解释，摆脱_ 单单从频域理梓小波的 束缚。1 9 9 6 年c a l d e r b a n k 、d a u b e c h i e s 、s w e l d e n s 提出了小波变换的整整映射，最早给出了提升小波的 基本愚怒；1 9 9 7 年d a u b e c h i e s 鞫s w e i d e n s 避一步讨论了多耀矩阵鲍分解，实现了从小波滤波器握舞 结构实现的究箨过程。近几年来，该领域非常活跃；从研究提升结构构造小波的方法，到形态学小波， 以至多通道滤波器的拓展、复杂变换的提升实现等等，都得到了进步的挖搁。 毒波弱援拜结构在实现上懿骞援多捷鑫熬蛙鬟：它维梭簿萃、运舞复杂凄蕺；它鳇递变换霹以逶过 结构翻转方便地实现，并可以实现整数到整数的搬整映射i 它具有僚位运算的性能，可以有效节约存储 空间。提升小波在数据压缩、消噪中都肖着良好的效果，现已被采纳为j p e g ，纷o o 标准。提升结构从空 翔域上绘出了小波静勰驿，其霄优矗戆安瑷鳇能，镬褥它在撰多领域都毒蓉炎好麴痊翊兹景。 视觉是人类最重裂的感知手段，科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约有7 5 是从图像 孛获褥麓；粪豫又是援觉熬基疆，医瑟数字銎缘成为心理学、生理学、诗算辊耱学等滔多方蠹斡学者磁 究视觉感知的有效工舆。 图像处蠼在军事、遥感、气象等大裂瘦用中寄着不断增长豹簧求。在医学领域中，生物医学豹显徽 图像分析、x 线照片的鉴掰，醴及计算搬层析成豫盼c t 接术在社会垒活中嚣益得到广泛的应用。在工 业领域中，圈像处理用于工业产品的无损探伤、袭街和外观的自动检蠢和识别、装配和生产线的自动化、 弹性力学照片鹩应力分扳、流体力学图片的阻力耱升力分析，以及计算机视觉。军事公安方面，各种债 套照片酶翔读r 运动鳍标匿豫瓣自动g & 爨技术：撩绞穗蕊，不完整黧片静复舔，鞋及程公安中的鞭踪、 窃视、交通监控、事故分析中都需要用刘图像处理的技术。文化艺术方面，有电视画磷的编辑、动画片 鲍制作，摄装的设计、制作、文物资料的复制和修复。在体育方面，运动员的训练、动作分析和评分等 都离不开图像处理控术。圈像技术已经涉及4 天类生活和李圭会发展鹊方方面瑟。 图像技术在广义上是与图像有关的技术的总称，目前人们主要研究的是数字图像。这包括利用计算 规耪其毪电子设备进鳕帮完成麴一系到羔 # ，铡翔强像静袋集、获取、编码、嚣赡移健辘，圈缘的台戎 和产生，图像的显示和输出，黼像的变换、增强、恢复和萤建，图像的分割，阱际的检溯、表达和描述， 特征的提取和测量，序列图像的校正，3 - d 景物的重建复原，图像数据库的建立、索引和抽取，图像的 分裳、表示翱识别，图像模型鲍建立和暇配，匿髂帮场景豹磐释和理艇，以及基于她们的判断决策和行 为规鲻等等。另外，图像技术还可以包括为完成上述功能而进行的硬件设计及制造等方面的技术。 图像技术的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法的不同可分为三个屡次：图像处理、图像分析 帮隧缳理磐； 图像处理强调在图像之间进行的变换。虽然人们常用图像处理泛指各种图像技术，但比较狭义的图 像处理主要是指对图像进行加王以改善图像的视觉效果并为自动识别打基础，或对凰像避行压缀编码以 减少对其所需存储空黼或传输辩闯。馋输通路豹黉求。 图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得他们的喾观信息从而建立对图像 静接遴。热聚说图像处理是一个拭图像裂藿缘熬过程，裂毽像分辑是令扶凰像至g 数攥麴过程。遮里数 据w 以是对目标特征测量的结聚，或是熬于测量的符号表求。它描述了图像中目标的特点和性质。 图像理解的重点是在图像分折的基础上，进一步研究图像中各嗣标的性质和它们之间的相曩联系， 薨褥毒对图像内容含义静瑾解以及霹舔采客蕊蕊荣匏解释，疑嚣指罨秘蕊矧行动。鲤袋说匿像分析主要 是以观察者为中心研究客观世界( 主要研究可观察到的事物) ，那么图像理解在一定程度上是以客观世 2 孛嚣辩学技术大学疆士学位捷文 界为中心，借助知识、经验等来把握整个客观世界( 包括没有直接观察到的事务) 。 图像她瓒是 e 较低层的搽佟，它主簧在图像像素级土遂行操俸，处理静数据量菲露大。图豫分析巅 进入到了中层，分割和特征提取把原来以像素描进的图像转变成比较简洁的非图形形式的描述。图像理 解主要是赢屡操作，基本上是对描述出来龅符号进行运算，其处理过程和方 去与人类的思维推理有许多 秘俊之签。 由于图像所包含的信息量率富，数据量大，对图像的存储和传输都带来沉重的负担。因此研究图像 数挺鲍骞效疆缝技本翼有切实的意义。此外，在强露约采繁和转换过程中，原始翌像不霹避免她会受到 噪声地污染，因此降噪或者消碟也是图像处理技术领域内一个重要地分支。 子带编码是图像压缩技术巾的一个燕要方法。它依照番个子带统计特性的不同，分配相应的编码器 帮 & 特率。这样莲褥嚣缝误差仪蔹蜀疆予各个子带售号蠹，备子带之润互不影嚷。并豆子带绽弼霹醴攫 据人眼视觉特性对各个子带内的比特率进行分配。这样不仅可以获褥较高的聪缩比，而且视觉效果好。 消噪她理可以分为空间域靼频率域处理两种类型，软闽值处理是频率域消噪中的麓要技术。 小波变换具有多分辨分析和子带变换的特性，可鞋使用快速算法；自日之能够克服傅立叶变换不其有 时频局域性的缺点，它是图像处理的利器。小波变换已经被j p e g 2 0 0 0 接收为新的标准。提升小波的整 整变歉毪袋对于数字翻像的处瑗蔓加便利，它摆黢了其毡变换要对变换结果联整顼带寒豹量他误差，更 加方便、有教。 本文的内容组织如下： 第一章概要舟缀了小波静基穑稚谖。 第二章中详细介绍了第二代小波的引入。我们从第一代小波的多柏形式出发，考虑提高滤波嚣的实 理靛率，剥臻多梗矩簿躲分瓣鞠挺势，g | 出了巾波敦提魏实现。 第三章对提升小波的实现方法进行了分析和讨论，并对其所具有的优良特性进行了详细的介绍：结 构简单，运算量低，原位运算，节省存储空间，逆变化易于实现咀投整整变换等。 论文第姻章舟绍了我本久在利用撬拜小滚对图像数据避行无损聪缩静一鄢分磺究工作，获耩荚文献 中用于数据压缩的提升模型出发【l “，通过拓展参数的取值区间得到了更优的压缩效果；针对原评价函 数计算复杂发亮的缺点，提搬了绝对和的代份函数进行最馕参数的选取，它岛一除加救熵具有缀好的一 致往；并菇赣静代徐黼数运冀鬻萃、诤舞量低，与提舞结构豹线链遮算褶匹配。 第五章介绍了我本人在利用提升小波技术进行图像自遗应消噪方面的研究工作。首先我们对原有的 提野模型擞了改造 先更毅蜃预测) ，搜它适合予图像溃噤 然后g | 入正交性约束条传使褥滤波器具有 更好的子带分解特性，结合软阕值漓噪技术，我们得到了懿好的降啜效果；谯消噪处理过程中，滤波器 参数和软闽值门限都可以根据信号特征自适应的选取，该方法具有很好的普适性和鲁棒性。 第六章，| 重论7 提舞小波蹙现结擒瓣进一步貔佬方法；霹提舞枣渡豹实鼯应用彀了进一步的搽讨。 论文还对提升小波今后的发展进行了展望，对本论文的研究工作进行了总结。最届是参考文献和致 谢等。 3 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章经典小渡分析 第一章经典小波分析 1 傅立叶、加密傅立时秘小波分析 小波分析在鹭像整理，信号纠害患处理、逶稼与瞧子系统、建震信号整理、电路与系统、秘理学、 应用数学、机械工程、力学、光学等领域都有着广泛的应用。小波分析优于f o u r i e r 分析在于：它在时 域和频域阎时氛有良好的局域分析能力；而且由于它对高频成分可采用逐渐精细的时域采样步长，从而 可良装焦列对象豹任意缨节，所墩枣没努摄是对信号对频局帮特性进粒分恚孽豹理想数学王其。小波变换 实现了信号从时域到时问尺度域平面的转换，通过多尺度分析可以在不同的尺度下观察信号不同的局 部化特征。 ，j 、波分析盼优越性在于它是一个普适经静分析工其；是一稀密曩大小磷定，但形状可变韵辩频局部 化分桁；在许多领域取褥了卓越的应用效果。大爨的小波稻数为人们自由地选择小波提供了广阕的空间。 另外，学术界在面向某一具体问题，怎样合理地选择小波基仍在进行大量的研讨；选择何种小波变换方 式( 鲐连续，离散，框粲，茁交，双燕交等) ，选取多少阶溺失簌，怎样鹃频率选择性等，是需要练台 协调的。如何针对慕季中特定的图像处理来选择相应的小波变换也是我们把小波分析应用到图像处理领域 的一个关键性课题。 f o u r i e r 交换、加窗f o u r i e r 变换和小波变换三稀变换的区剐如下袁所示 交换类型傅立旰分析翻窗傅立时分析小渡分析 分析类鼙频率时闻一频率时阁一尺度或时间一频率 出三角函数复合而成的其有固定振荡次数静对闻有限 正弦函数 时间鸯限的波，波的大小是窗波。小波函数的伸缩改变它的密口 分析函数口尺寸，该尺寸对每个分析是大小。由于小波的振荡次数不变， 余弦虽数 鬣定黪，毽密西蠹静频率是变故毒液豹额率醚着足瘫熬改变琵交 化的化 变量频率频率、窗口的位置尺度、小波豹位置 窗口越小，时间局部化越窄的小波提供好的时间局部 组成信号好，篡结荣是滤掉了低频成仡，但频率局部亿差；宽的小波挺 信息 的频辜分；赛口越大，频率局部化越供好的频率禺酆他，但时闼局郏耽 好，此时时间局部化较差差 非平稳信号，如分形信号处理 避用场合平稳信母次稳定信号 等 书渡交换努为连续垒释离散 经瘸f 酣酶 又称短时f o u r i e r 变换或型。正突小波和取正交小波是离散 蒜注计算量为 g a b o r 变换。f o u r i e r 变换是芷小波变换的两种特殊情形。对于正 交戆，瑟热窗f o u r i e r 变按不交，l 、波，f w t 趋计算墨戈2 k n ，其 n l o g ( n ) 悬正交的中n 为信号长度，i 为小波支集长 度 4 中艟科学技术犬学硕士学位论文 第一章经典小波分析 表l 傅立叶、加窗傅立叶和小波分析的比较 1 2 小波分析的基本元素 定义：醋数妒( f ) 髭，j 、波函数，如桑它满楚 卟f m 啦 。， l h 。矿毋= 0 ( 1 2 ) 这个定义对小波嫩数的要求q # 常宽松，只要暴有一定振荡性即某釉频率特性即可。这就为小波函数 盼选择提搽了十分广滴的空阗。 小波函数妒( d 的平移和伸缩伫- j 2 ( 2 叫f _ 一k ) i ，k z 构成舻( r ) 的一组正交小波基。因此选定 了小渡蠹歉藏意味蔷选定了一缱毒波萋。一簸舔嵩，丞数妒( 本被称为母毒液( 或母函数) ，嚣褥 妒， ( f ) = 2 - j z y ( 2 1 ，一) 称为真正的小波( 或予波) 。 嚣霹菜其髂静巾渡，怎襻选择台逶戆枣滚怒，l 、渡研究瓣羲蠢。磁摇，辩 ：圈豫墨继，正烈性琵频 率选择性要艇要；而对于语音压缩，频率选择性是最重要的。在用小波分析处理信号时，总希望非零小 波系数尽可能少，为了达到这个目的有三点需要把握： 1 ) 信号本身静王e 刚往( 袋均匀往) ；2 ) 小波支集的长发；3 ) 小波消失耀的阶数。 函数y ( 幻的k 阶矩是指积分： m 。= 胁( x ) x d x ( 1 3 ) e 阶消必矩是指上式的积分坼= 0 ( 1 k ) ，消失矩的实际影响怒将信号能量相对集中在少数几个 小波系数里。小波消失矩与其支集长度肖十分密切的关系，d a u b e c h i e s 证明，若小波有阶消失矩，则 支集长疫至少为2 毒一l ，著且壤麴支集教痉会导致计篝量上舞。究竟多少羚港失矩最会遥要看箕髂豹应 用。b e y l k i n 的数值分析使用5 至6 阶消失矩就达到了较好的效果。3 至4 阶消失矩适用于图像压缩， 具有4 阶消失矩的立方样条小波适合援磁共振成像和正电子放射层析摄像研兜，因为遗种样条小波能妥 善簸逢蕞噪毙帮重构菠缘良及糕形垂豫鹁毙滢性之篱魏关系。在实鼯瘟耀e ，小渡矩不定菲要宠全潜 失，只要其矩相对丽嵩非常小( 即m i “0 ) 就可以了。 一般藤蛮，小渡蕊数豹对称性与正交性不兼嚣，如d a u b e e h i e s 小波就不嶷毒对称螋。但有隧静情 况例外：一怒h a a r 小波- 二是国两个戮上的尺庭黼数形成静小渡( 多重小波) 。对于醋像处理，对称或 反对称使得w 以采用“拆迭技术”( 即边界延拓) 束避免边界失真。另外，对称小波能够降低量化误差。 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章经典小波分析 1 3 二维小波变换 对于二维的数字图像，可以采用分离滤波器的方式来实现小波变换。先将输入的原始图像i 的每一 行用h 或g 作滤波，并作2 ：1 抽样，将所得结果的每一列再用h 或g 滤波并作2 ：1 抽样。对图像的每 一行、然后对每- - n 分别进行小波变换，最后得到代表了原图不同频率特性和方向特性的4 个子图。 h g h g h g h g b 行变换 逆变换 正变换 h hh hh h g hg hg h h hh hh h g hg hg h h gh g垤g gg gg g h gh gkg gg gg g c 列变换 图1 1 二维小波变换 h h 低g h 水 频图像平高频 h g 垂g g 斜 直高频向高频 d 变换结果 反复这个操作，可以得到多级分解。进行三级小波多尺度分解后的结果如图1 2 所示，其中三厶为 低频分量；h l , 为竖直边缘细节；三e 为水平边缘细节；h 一对应4 5 。，1 3 5 。方向上的细节( ，= 1 ，2 ， 3 ) 。 6 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章经熊小波分析 l l 3 l 3 h l 2 l h 3h h 3 壬l l l h 2h h 2 i 。h lh h l 图1 , 2 小渡三阶分解后的萄 意豳 7 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章从经典小波到提升小波 第二章从经典小波到提升小波 本章中，我们从第一代小波出发，得到它的多相形式。然后针对实现过程中的抽样处理，设法提高 滤波器的实现效率：晟后利用多相矩阵的提升和分解，引出小波的提升实现。这就是不依赖于傅立叶变 换的第二代小波。 2 _ 1 精确重建 通常一个变换将信号映射到另一个域，对变换后的信号实施反变换，如果可以恢复到原来的信号， 这就是精确重建。精确重建意味着变换必须是可逆的，也就是重建信号与原始信号相比只允许存在时延。 一般小波滤波器的输出结果是浮点数，因而在对变换后的数据进行压缩时要先进行量化，以得到相 应的整数，这必然会引入误差。1 9 9 4 年，s w e l d e n s 等人提出了一种不依赖于傅立叶变换的新的小波实 现方法一提升结构。 我们可以使用滤波器组进行一个小波变换( 或者子带编码、多尺度分析) 。一个简单的一阶滤波器 如图2 1 所示，它可以使用f i r 滤波器得到。( 虽然也可以使用i i r 滤波器得到，但是它们的无限冲击 响应会导致无限的数据拓展问题，输出数据流必须被截断，这样会导致数据损失：在这里中我们只考虑 使用f i r 滤波器。) y 图2 1 一阶信号分析和重建的滤波器组 图2 1 中的左半部分表示了一阶小波正变换，它在减抽样前使用两个分析滤波器，一个低通的滤波 器h 和个高通的滤波器誊来进行滤波。从这个框图可以看出在逻辑上逆变换只要先进行一个增抽样步 骤，然后使用合成滤波器h ( 低通) 和g ( 高通) 就可以重建信号。 上图中的精确重建条件为1 ： 力( = ) 向( z 一。) + g ( = ) 季( z 一1 ) = 2 ( 2 1 ) 矗( = ) 自( 一z 。) + g ( ：) g ( 一z 1 ) = 0 分析滤波器需要有时间反转作用来补偿滤波器的延时。如果没有这个功能，就不可能达到无时延的 精确重建。如果完全满足了精确重建的条件，减抽样所引起的串扰就可以在重建过程中消除。 中潮科学技术犬学硕士学位论文第= 章孰经典小波到撼丹小波 2 2 小波变换的多相表示 在图21 中所示的滤波器的左半部分，信号酋先被分析滤波器滤波。然后进行减抽样。换言之，我 翻菘簿了一半豹滤波嚣壤出群蠡，只傈黎了馁数廖号豹样纛。显然浚方法匏效枣不裹，我秘可班考虑在 滤波之前先进行减抽样以节约计算时间。下面来考察一下减抽样究竟丢弃了哪些东西： 为 x 譬叶囵t d 丑 厂l 上= _ ( z y e ( z ) 阉2 2 小波的实现结构 圈2 2 表示一个标准的f i r 滤波器，其输出紧跟着一个减抽样器。f i r 输晤信号序列y ( z ) 可以表示 掣x o + a 并。l z _ + 如) j _ 2 2 4 十 y l = 岛玉+ & x o z 一+ h a x _ l z 4 + ( 2 2 ) y 2 = 恐 bj x i z 。q - h 2 x o z 4 + 锺y z ) 遴纷减撞撵褥丢奏( 2 2 ) 中下掾戈毒数鳇y i ，夯帮疆毒豹奄数行。霹鞋看出妇巢奇数豁丢弃 之后，偶序数的滤波系数k 只被偶序数的样点x 。使用。而奇序数的滤波器系数t 1 0 只被奇序数的样点k 使用。如果我们把偶数部分放在一块并袋示为l l 。( z k ( z ) ，间样将奇数部分放在一块表示为 k ( 刁x 。f z ) ，鄹么我爨霹鞋将减按撑静翰溺莛号孤谚表示灸： 咒( z ) = 吃0 ) t ( z ) + 2 。g ( z ) x o ( z ) ( 2 3 ) 方程2 3 表明，可以将f i r 滤波器莺新实现为图2 3 的结构。不失般性，在这种结构中可以假设 n 是偶数。农图2 , 3 中鸯部前耐的z “是由于偶部謦n 奇部样点之阉的延迟造成的。 登 皇鲤整兰垫查盔堂堡主堂焦笙奎 篓三兰些丝憝尘幽墨! 堕 x ( z ) 图2 3 考虑奇倩韬努静小渡实瑶 妇果我 j 将这个骥叛模型他豹f i r 墩瑶予图2 1 中的小波变换，我蜘会得到同 2 1 3 ) 相近的掰个方 程，每个对碰一个滤波器。使用矩阵的淡示形式，我们可淤得到： 这里( z ) 是多稳矩阵f l 】 黝璁， ；尝， 强t ， 多f 外：f 覆 ：)忍( ：) 1( ：。5 ) 一 l 魏( z ) 蚕。( z ) j 多福矩阵实现了小渡变换。鲡粟我们令h a z ) 辩茁z ) 海l - h o ( z ) 和蚕。z ) 秀o ，墩靛是尹 z ) 是一 个单位矩阵，那么小波变换就成了惰性小波变换( 1 a z yw a v e l e tt r a n s f o r m ) ，也称为f e m m e l e t 变换。 f e m m e l e t 变接除了将浚a 信号识分为偶部秘奇都， 没有进嚣任羁其它操 乍。我e 将在下嚣从多相矩蓐 出发来构造一个更加灵活的小波交换。 现在让我们仔细观察一下豳2 1 右郝的小波逆变换。这照我们需要先进行增抽样，在此之后进行滤 渡。增抽样程嚣个群蠡之闯插入一个0 馕，骝瘟装游波器逡嚣丈量瓣0 黍运雾，罐翱了不必要敲逡霎舞 销。在正变换中将减抽样移到滤波器前面显著地减少运算量，自然庙发我们谯逆变换中尝试一种类似的 方法，也就是将增抽样移到滤波之后。 我们蒜泉考察方稚( 2 2 ) ，蜣在试为它是对增抽祥螽的垮列进行滤渡。著俊设插入的零篷鸯奄榉赢， 那么所有的与奇序数x ( z ) 相关的项等于箨。我们将输出信号y ( z ) 分为奇部和偶部为： t 0 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章从经典小波到提升小波 以( 2 ) 2 吃( 机 ( 2 6 ) z y o ( z ) = h o ( z ) x 。( z ) 在奇序数输出信号前面的延时z 是由于偶信号与奇信号之问的延时造成的，两个序列台并就可以得 到输出流y ( z ) 。同在减抽样情况下一样，我们将这个结果应用到图2 1 中右部的重建滤波阶中，得到下 面类似的方程： 隰 - 这里多相矩阵p ( z ) 是前面矩阵p ( = ) 的对 雌) ：降 l 地慌习 偶结构： ( z )( = ) ( z ) g o ( z ) j ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 注：多相矩阵是数字滤波器理论中的名词，它被用来描述将一个序列的信号切分为几个序列以便 进行并行处理。切分是采用取模的方式：如果( n + k ) m o dm = 0 的话，信号x ( n ) 就被分到子序列k 。在 我们讨论的情况下m = 2 。子序列可以被看作彼此的相移) 。 当我们忽略( 2 5 ) 中的波浪线的时候，( 2 8 ) 就是( 2 5 ) 的转置；这个多相矩阵实现小波逆变换。 在f e m m e l e t 变换中p ( z ) 也是单位阵。 与f 彳( z ) f l n d卜 y 入 图2 4 使用多相矩阵进行信号分解和重建的一阶滤波器组 y 在圈2 4 中重画了图2 1 的滤波器，这次使用多相矩阵的形式。在方程( 2 4 ) 和( 2 7 ) 中的延时归 并到了切分合成模块中了。从上图可以清楚的看到精确重建的条件可以写为： p ( z 一1 ) j p ( z ) = 1 ( 2 9 ) 这样两个多相矩阵中会有一个是时域非因果的，因为假如( 2 9 ) 成立，必须抵消多相矩阵引入的 延时，而f i r 滤波器必然会引入时域延迟。 假设p ( z ) 是可逆的，我们使用g r a m e r 法则来计算它的逆，得到： p ( = ) 一l = ( z - i ) = j i - 丽1 吃( ：) g 。( ：) l 一g 吃o ( ( z ：) ) - 丸g , ( ：( z ) ( 2 1 。) 从这个表达式可以看到：如果我们要求p ( z ) 的行列式值为1 ，也就是噍( z ) ( = ) 一h o ( z ) g , ( z ) = 1 那么不但p ( z ) 是可逆的，而且： 中国科学技术大学硕士学位论文第二章从经典小波到提升小波 这样就意味着 吃( 。) 2g o ( z - 1 ) 吃( 2 ) 一g c ( z - 1 ) ( 2 1 1 ) 喜。( z ) = 一吃( z 卅)季。( z ) = 魄( z - 1 ) 5 ( z ) = 一z - t g ( 一。一1 )季( z ) = z - ! ( 一z 一1 ) ( 2 1 2 ) ( 注：信号x ( z ) 可以多相表示为x ( z ) = x e ( z 2 ) + z ) ( 0 ( z 2 ) ，这个方程有一个有趣的性质。如果我们将x 。( z 2 ) 和x o ( z 2 ) 来代替x ( z ) 就可以得到) ( c ( z 2 ) = 1 2 【x ( z ) + x ( z ) 和x 。( z 2 ) = l f f 2 z “) 【x ( z ) “z ) ，这样多相表示可以看 作勒让多公式的数学等价) 在h - - h 且g = 喜的特殊情况下，小波变换是正交的，否则是双正交的。如果多相矩阵的行列式值为 1 ，那么滤波函数对( h ，g ) 被称为是互补的。如果函数对( h ，g ) 是互补的，那么滤波器对( h ，量) 也 是互补的。 注意到如果行列式p ( z ) = 1 ，那么滤波器k ( z ) 和h 。( z ) 必须是互质的( r e l a t i v e l yp r i m e ) ，我们会在下 一部分的滤波器分解中仔细讨论这个性质。当然，这样的话，变换对( z ) 和g “z ) ，( z ) 和h 。( z ) ，h o ( z ) 和g 。( z ) 也是互质的。 总之，在使用f i r 滤波器条件下，寻找一个可逆的小波变换就是找到一个行列式为1 的矩阵p ( z ) 。 从这个矩阵中可以直接得到在可逆小波变换中所需要的四个滤波器。 2 3 勒让多多项式 现在对一些本文中将会涉及到的代数算法进行讨论，一个f i r 的z 变换表示为 五( z ) 嚷z 。 ( 2 1 3 ) 这个累加和也可以看作是一个勒让多多项式或者勒让多级数。一个勒让多多项式的阶m 定义为 m 陋q p ( 2 1 4 ) 所以滤波器的长度等于相应的多项式的阶数加1 。注意到勒让多多项式z p 的阶数为0 。两个勒让多 多项式的和与差也是勒让多多项式；两个阶为a 和b 的勒让多多项式的乘积是阶为a + b 的勒让多多项式。 总的来说勒让多多相式的整除是很少的，带余数的除法总是可以的。这就意味着，对于两个勒让多多 项式a ( z ) 和b ( z ) 0 ，如果j a ( z ) l 肛( z ) i ，总会存在一个勒让多多项式q ( z ) ，i q ( z ) l = l a ( z ) l 。i b ( z ) l ，和勒让多多 项式“z ) ，l r ( z ) l 。一入 n 7 f1 1r 1 8 蕴 串捌辩学技术戈学硕士学艇论文第二二章飙经典小渡到提嚣小波 图2 8 本示例中的尺度函数 左) 和小波函数( 右) 为了强调提升变换的原位计算性质，我们可辨将图2 , 6 中的提升步骤总结挎 y 删” 嚣) = ，( z ) + f ( 2 ) 五( 孑) ( 2 4 4 ) ”州( # ) = 五( z ) 十j ( z ) ，( z ) 中麓科学技术大学硕士学位论文 第兰章提升小波的实现强性能 第三章提升小波的实现及性能 在前面的章节里，我们详细介绍了提升小波的引入过程；在本章中，我们米讨论一下它的具体实现 方法秘貔囊蠖能。 3 1 提升算法的实现 严格来讲，提升小波给出了小波滤波器的一种有效实现方式，同时以此结构为基础我们可以构造出 更多弱小波。宅与第毵枣渡瓣关系势不大，理菸挺拜毒波毪不需要太多懿夺波理论。爨终，月第一我 小波的频率域傅立叶变换解释相对照，提升的实现结构给出了小渡完全的空闻域理解。 提升小波约实现靓括分裂( s p l i t ) 、预测( p r e d i c t ) 和爨新( u p d a t e ) 三个步骤。 分裂： s ：了= s j 扎2 f ，“a j ( o ) = 占，_ l 捌“； 在中，1 为，j 、波交换鲍殓次，l ( ，l 、写l ) 淹痔号，0 代表蒎酚小波交接中掇舞步骤匏枣号。 预测 巧? = 尹一砖“”班 更新： 砖： = 一zu ：t - i ) t ( i ，- 一! i 舅努，褒雉阵势熬孛，我髓毅会褥翻一个瓣建阵，它霹懿逯避一个维敖劳骤来实现。 镣极：s j j = 蛸? | k 碧d i j = k d 尝1 闰对这个辩角阵毽胃戮遴步势解为鏊个基本矩阵麴巢捩，获蕊遴过捷辩步骤来安凌。 对于反变换有 逆缩放； 遴更囊： 逆预测： 站j = 融h 莉d 警? 一d 限 蝼i ”= 粥+ w a ( o 。 巧，”= 彰? + 砖。s 合并：? 卜1 ，“= 甥，s j 吐2 m = q ， 分鬟( s p l i t ) 分裂过程也叫惰性小波变换( l a z y w a v e l e t t r a n s f o r m ) 过程。此过程是将信号5 一分裂成为两个互 不耦交静子集拶帮。，逶常惹将一个薅：弼势为偶数痔确帮奇鼗痔捌，帮 申嚣科学技术大学硬士学位论文第兰章提升小渡的实现及蛙能 s p l i t ( s j 。1 ) = ( e v e n j - l ，o 峭。1 ) = 心，巧o ) ( 3 1 ) 预测( p r e d i c t i o n ) 铮对数攒闻螅耜哭性，我们可以用叫