（岩土工程专业论文）表面波信号的频率一波数谱fk法分析.pdf

摘要浙江大学硕士学位论文 步也 摘要 的9 7 2 。 在岩工程勘测中，由于剪切波( s 波) 速度与土滕的：f = 程佼状参数间有 密切的关系，通过测试剪切波波速，可戬得到地基参数。在现场i 赘试中， 表瑟滚频谱分析法( s p e c t r a la n a l y s i so fs u r f a c ew a v e ，簏称s a s w 法) 测试以 瑞利波或乐夫波体为测试对象，测试技术简单易行，试验信号受环境干扰 等嘲素的影响较小，般情况下能满足波速原位测试要求；因此，采渭s a s w 法樽到瑞利波弥散曲线，进一步爱演主参数，具有极大的工程意义。 本文在藏人研究成果的基础上，对s a s w 法中育源法阄无源法的应用进 行对比分析，认为在有源法分析中。由于表面波传播方向酷知，采用有源 法中通过相位角- 频率曲线即妒一，曲线的分析得到瑞利波的弥散龉线的方法 旷 较为合适；而在地脉动信号的测试中，由于表面波传播方向未知，采用无 源法分析中的频率波数谱分析方法( f - k 法) 分析较为台遗。 阉黠，本文报摄f - k 法频谱分析理论，缨会编制的应用程序及现有试验 仪器设备条 牛，进行了多组现场测试。通过现场试验及对测试数据的程弹 分析，对上述理论进行验证。另外，本文结合f - k 法，对透过始脉动信号的 采集分析来爱演深屡参数进行了视步磷究。 垒! ! ! ! ! 壁 塑鋈奎堂堡主堂垡堡壅 a b s t r a c t i ng e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n ge x p l o r a t i o n ，w ec a nd e r i v ef o u n d a t i o ns o i l p a r a m e t e r f r o m t e s t i n g s h e a rw a v e v e l o c i t y b e c a u s eo ft h ec l o s e r e l a t i o n s h i p b e t w e e ns h e a rw a v ev e l o c i t ya n dt h e e n g i n e e r i n g n a t u r e p a r a m e t e ro fs o i l r e g a r d i n gr e y l e i g h w a v ea n dl o v ew a v ea sm a i n r e s e a r c ho b j e c ti nt h es p e c t r a la n a l y s i so fs u r f a c ew a v e ，w ec a nf i n di ti s e a s y t ot e s to nt h es p o ta n d t e s t i n gs i g n a li sl e s sa f f e c t e db ye n v i r o n m e n t a l i n t e r f e r e n c ee t c i ti ss u i t a b l ef o rt h es p o tt e s tr e q u i r e m e n to fw a v e v e l o c i t y o nc o m m o n c i r c u m s t a n c e s ，t h e r e f o r e i th a s g r e a ts i g n i f i c a t i o n t o c o u n t e r d e m o n s t r a t et h es o i l p a r a m e t e ru s i n gr e y l e i g hd i s p e r s i o nw a v e g a i n e dt h r o u g hs a s w i ne n g i n e e r i n g t h r o u g hc o n t r a s t i v ea n a l y s i so fa p p l i c a t i o nb e t w e e na c t i v e m e t h o d s a n dp a s s i v e - m e t h o d so nt h eb a s i so f t h e p r e c e d i n g r e s e a r c h a c c o m p l i s h m e n t s ，w eb e l i e v et h a ti ti ss u i t a b l et ou s et h ed i s p e r s i o nc u r v e o frw a v eo b t a i n i n gf r o mt h ea n a l y s i so fp h a s ea n g l e f r e q u e n c yw a v e ( 妒。一，w a v e ) ，b e c a u s et h ed i s p e r s i o nd i r e c t i o no fs u r f a c ew a v ec a nb e g o ti n a c t i v e - m e t h o d sa n a l y s i sa n dw ea l s ob e l i e v et h a ti t i ss u i t a b l et o u s ef km e t h o di n a n a l y s i so fp a s s i v e - m e t h o d s b e c a u s et h ed i s p e r s i o n d i r e c t i o no fs u r f a c ew a v ei su n k n o w ni nt e s t i n gm i c r o t r e m o r ss i g n a l a tt h es a m et i m e ，as e r i a lo fs p o tt e s tc o n c l u s i o n sh a v eb e e nw r i t t e n i nt h i s p a p e ra c c o r d i n g t of k m e t h o d ，a p p l i c a t i o np r o g r a m m e d a n d e x i s t i n gt e s ti n s t r u m e n tc o n d i t i o n w ea l s op r o v e dt h i st h e o r yt h r o u g hs p o t t e s ta n d p r o g r a m m ea n a l y s i s o ft e s t d a t a f u r t h e r m o r e w e m a d e p r e c e d i n g r e s e a r c ho n c o u n t e r d e m o n s t r a t i n gp a r a m e t e r o f d e e p s o i l t h r o u g hc o l l e c t i n ga n da n a l y z i n gm i c r o t r e m o r ss i g n a lw i t hf - km e t h o d i i 第一章绪论 浙江大学硬士学位论文 第一章蟹论 1 1 研究现状 1 1 1 面波法简介 无界弹性介质中存在两种体波压缩波( p 波) 和剪切波( s 波) 。1 8 8 7 年， 瑞利( r a y l e i g h ) 发现了半空间弹性介质中存在一种由压缩波和剪切波干涉产生 的表面波一瑞利波。他同时指出在均质各向同性弹性半空间中瑞利波波速度 v 。) 和振动频率无关，瑞利波在深度方向衰减较快，而在水平向衰减很慢， 即瑞利波主要沿半空间表面传播，也就是说瑞利波是一种面波。在各向同 性饱和土中，存在三种体波：压缩波p ，和p ：及剪切波s 。饱和土中的瑞利 波由这些体波干涉产生，各组成波所占比例随频率或泊松比而变，其中， 剪切模量( 剪切波速) 是影响瑞利波弥散曲线的主要因素，而泊松比的变化对 弥散曲线影响很小。天然沉积土( 一般可视为横观各向同性土) 具有五个 独立的弹性常数，两个剪切模量：竖直面上的剪切模量g 。和水平面上的剪 切模量g 。横观各向同性土中各弹性常数对瑞利波弥散特性的影响是不相 同的，其中竖直面上的剪切模量g 。对瑞利波波速的影响很大，起主导作用； 而水平面上的剪切模量g 对波速v 。影响不大。瑞利波测试中所获得的剪切 波速度主要以竖直向的剪切波速度的形式反映出来。 在成层半空间中，由于各层的弹性性质不一样，p 波和s v 波在分界层 多次反射及干涉也将产生一种广义瑞利波，但不同于半空间中的普通瑞利 波。这种广义瑞利波是频散的，即相速度大小与振动频率f 有关，即瑞利波 的弥散性。对于瑞利波弥散曲线的计算，许多学者进行了大量的研究。传 统的方法是解析法( k a s k e l l1 9 5 3 ；d u n k i n1 9 6 5 ；k a u s e l1 9 8 1 ) ，其原理是根据土 层之间的力和位移连续性关系来建立特征方程，计算对象大多是成层地基， 即剪切波速度随深度增大。对于工程中常遇到的一些复杂地质情况，如上 笙二兰堕堡 塑望查兰堕主兰垡堡茎 硬下软地基和软夹层地基，则解析法求解非常困难。解析法所建立的特征 方程，在波长短时会导致计算机溢值，从而影响计算精度。v r e t t o s ( 1 9 9 8 ，1 9 9 0 ) 曾将解析法推广到剪切波模量随深度指数增加地基的瑞利波面波计算，但 实用性不强。与解析法相比，有限差分法和有限单元法等数值方法是今年 发展起来的能够较好地解决上述困难的一种有效的数值计算方法。陈云敏 等( 1 9 9 1 ) 和夏唐代( 1 9 9 1 ) 利用有限单元法和半无限元法建立了地基中瑞利波的 弥散特征方程，夏唐代等( 1 9 9 3 ，1 9 9 4 ，1 9 9 6 ) 利用有限元法和解析法相结合 的方法建立各向同性成层地基、横观各向同性成层地基瑞利波的特征方程， 能够十分有效地分析复杂地基的瑞利波特性。 剪切波速v 。是影响瑞利波弥散曲线的主要方面，通过对瑞利波弥散曲 线的反演分析，可以得到不同土层的剪切波速v 。，而剪切波速是土动力学 和地震工程学中的一个重要参数，也是土静力学的一个重要参数。小应变 情况下所测的剪切波速能够反映静剪切模量g ，而土的抗剪强度与剪切模量 g 密切相关。一般，剪切波速度的原位测试方法大多采用体波( 压缩波或剪 切波) 作为试验信号，而把瑞利波作为干扰信号处理。由于瑞利波占表面振 源能量的主要部分，其在浅层土体中所产生的位移远比体波的大，这种不 合理性使得这些方法在浅层所测得的结果精度偏低。由于地基中主要以表 面波形式传播，因此在理论上可较精确地获得表面波弥散曲线，而弥散曲 线同土层的厚度、剪切波速度等密切相关，因此可由实测瑞利波弥散曲线 反演地基土层参数。 1 1 2 裹面波法测试的历史回曩 在岩土工程勘测中，由于剪切波( s 波) 速度与土层的工程性状参数间有 密切的关系，所以许多学者提出了多种测试剪切波速的方法，来得到地基 土参数。吴世明( 1 9 9 0 ) 曾较详细地介绍过利用跨孔法和下孔法测定地层中剪 切波波速的技术。在地震勘测中，也通过折射波法和反射波法来测定s 波 速度。跨孔法测试大多采用体波作为试验信号，而把瑞利波作为干扰信号 处理，在较深土层具有较高的准确性。在浅层土体的测试中，由于瑞利波 第一章绪论 浙江大学硕士学位论文 占表面振源能量的主要部分( m i l l e r1 9 5 5 ) ，其在浅层土体中产生的位移远比体 波的大，使得跨孔法在浅层土体测试时效果较差。折射波法和反射波法测 试不需钻孔，但在接受地层界面反射波或折射波时易受环境和瑞利波的干 扰。另外，折射波法要求待测地层中波的波速沿深度递增，对工程中主要 需要探明的软弱夹层难以进行分析。表面波法测试中以瑞利波或乐夫波作 为测试对象，测试技术简单易行，试验信号受环境干扰和地下水位等因素 的影响较小。一般情况下，表面波法能满足波速原位测试要求。 表面波法按测试方法，可分为稳态振动法和瞬态振动法。稳态振动法振 源采用一台稳态振动激振器提供的简谐激振力，通过改变激振频率，来得 到瑞利波弥散曲线，即k 一兄。关系曲线。其主要存在的问题是此法振源需 要由专门设备构成，并且为了得到各个频率的瑞利波信号，需不断改交激 振频率，现场工作量较大。另外，稳态法中，由于激振器工作频率范围限 制，很难得到频率较小的瑞利波信号，大大限制了该法的有效测试深度。 瞬态振动法由于在分析测试数据时采用频谱分析法，故又称为表面波频谱 分析法，简称s a s w ( s p e c t r a la n a l y s i so fs u r f a c ew a v e ) 法，s a s w 法有效地克服 了稳态法存在的问题。8 0 年代以来，s a s w 取得了较大的进展，国内外一些 科技人员着手s a s w 法的技术开发( 吴世明1 9 8 8 ) 。此法根据采用振源的不 同，又可分为有源法和无源法。有源法是对在一次地面冲击下两检波器所 获得的多频信号进行频谱分析，来确定相位差与频率的关系，得到瑞利波 弥散曲线。无源法即无人工振源，通过对地脉动信号的采集，经过频谱分 析，得到瑞利波弥散曲线。 1 2 问的提出 鉴于s a s w 法在测试土层剪切波速方面具有相当的优势及其在工程上广 阔的应用前景，国内外许多研究人员在s a s w 法的工程应用方面做了大量的 工作，并且逐步地把该法应用于地基勘测中。我校岩土所在吴世明教授的 第一章绪论 浙江大学硕士学位论文 带领下，对于s a s w 法也进行了大量的理论与应用研究，并取得了可喜的成 绩。 在对s a s w 法的进一步应用研究中发现，利用有源法测试土参数存在一 些不利的因素，主要表现在： 1 有源法测试过程中，由于采用人工振源，很难得到低频信号，而只 有通过对较低频率的表面波分析，才能够得到较深土层的土参数。这样使 得表面波法在能够分析的土层深度上受到很大的限制。目前，根据有源法 研制的表面波数字信号分析仪很难分析到2 0 米以下的土体参数，而2 0 米至 5 0 米的地基土参数，正是工程上所迫切需要了解的。这样使得此法推向工 程应用受到很大制约。 2 有源法分析过程中，主要同过对两测点采集的信号的相位角频率曲 线即p f 曲线的分析得到瑞利波的弥散曲线。而通过理论分析可知道，该 曲线中相位角在1 8 0 0 至1 8 0 0 之间摆动，要得到相位角的真值，则必须对其 进行展开，对于实测信号，展开难度很大。 鉴于有源法在分析数据过程中存在的一些困难，国内一些研究人员利用 无源法分析中的频率- 波数谱分析方法( f k 法) 对人工振源进行分析，并研制 了相应的处理系统。f - k 法主要是通过对不同频率的k 值的提取来得到瑞利 波弥散曲线。 1 3 本文的主要研究内容 根据上文讨论以及现有的表面波理论及数字信号处理方法，本文拟在前 人工作的基础上，做以下几方面的工作： 1 、 根据高分辨率频率- 波数谱分析方法( f k 法) ，编制出无源法的多测点 分析程序。 2 、利用模拟曲线，通过程序对无源法和有源法进行对比分析，确定在 不同的测试条件下采用不同的分析方法对数据进行分析。 4 第一章绪论 浙江大学硕士学位论文 3 、在应用方面对地脉动信号的f - k 法分析反映深层土的情况方面进行 一些研究。 4 、对于数字信号分析方法在表面波分析中的应用进行一些研究。 5 、结合工程实测地脉动数据，分析利用无源法测试程序对深层地基土 进行评价分析。 第二章表面波法的基本原理 浙江大学硕士学位论文 第= 章裹面波法的基本屎曩 2 1 璃利波特性 2 1 1 各向同性弹性体中的璀利渡 在各向同性饱和土中存在三种体波，压缩波p ，和p ：以及剪切波s 。半无 限空间中在自由边界的作用下，由于p 波和s 波的干涉，在弹性半空间的表面 附近产生一种表面波，即瑞年= j ( r a y l e i g h ) 波。 一般情况下，平面波运动方程的解为： 纯= e x p i k ( x p l y c t ) 】 妒2 = e x p i k ( x + p l y c t ) j 】f ，l = e x p i k ( x p 2 y c t ) 】 y 2 = e x p i k ( x + p 2 y c t ) ( 2 1 2 ) 如果令速度c 小于剪切波速v s ( c v s ) ，则( 2 1 2 ) 中p ，和p 2 同时为虚数，令 p l = i a p 2 = i b 代入式( 2 1 2 ) 中可得： p l = e x p a 砂+ i k ( x c f ) 】 p 2 = e x p 一a k y + i k ( x c t ) 】 = e x p b k y + i k ( x c t ) 】 y 2 = e x p 一b k y + i k ( x c f ) 】 式中： b = 且 k c 咋 6 ( 2 1 3 ) 、， 11 但、， 吼以毋 + + 吼 4 b = = 妒y 中其 压隋 第二章表面波法的基本原理 浙江大学硕士学位论文 波振幅在y _ 0 0 时应为有限，因此式( 2 1 1 ) 中必有： a l = b t = 0 将a ：和1 3 2 换写成a 和b ，则式( 2 1 3 ) 进一步化为： 舻瓜x p 卜由+ i k ( x - c t 。) l ( 2 - 1 4 ) y = b e x p - b k y + i k ( x c r ) 】j 、。 式中c 是尚未确定的恒量。上两式代表一个以速度c 沿x 方向前进的简谐波列， 波的振幅在边界面y = o 上为最大，并随着离自由表面的距离y 的增大而迅速地 减小。 可得 ox 图2 1 1 各向同性土中的瑞利波 为了确定速度c ，应用y = o 处的边界条件： y = o 上 盯y = f = 0 ( 1 一p ；) ( 爿l + a 2 ) 一2 p 2 ( b i 一且2 ) = 0i 2 p i ( 一l + 一2 ) + ( 1 一p ；) ( b i 十b 2 ) = 0j ( 1 + b2 ) 4 + 2 i b b = 0i 一2 i a a + ( 1 + b2 ) b = 0j 要使a 和b 有非零解，则下式必须成立 ( 1 + 62 ) 2 4 a b = 0 或者写成： 蹶鼷 将上式两边平方，并整理各项。得到确定波速的方程： c 印6 叫毒，4 + c ：。一- s 等，c 旁2 一6 c t 一号，= 。 ( 2 _ 5 ) 箜三童查堕垫鎏盟茎查堕里 塑翌盔兰堡圭兰垡鲨苎 上式是( 旁2 的三次方程可用解析法求解。而且缸。0 时为负缸赶州 为正。因此，它在区间0 c 中至少有一个正根。令： 归c 印2 由式( 2 1 5 ) 得到： v 3 8 y z + 8 掣矿一一：0 ( 2 1 6 ) l 一1 一 这一方程表明，这个三次式的根只依赖于材料的泊松i ；k 。给定一个泊松比值， 可以找到对应的y 2 的值。图2 1 2 给出了琶和每随泊松比的变化曲线。式 ( 2 1 6 ) 的解也可近似地表达为： z 半珞 ( 2 1 7 ) 芝 岁 一 芝 岁 t l v r v p 、 2 1 2 毒和每与的关系 2 1 2 成层土中的疆利波特性 上一节指出，在匀质半空间中存在着瑞利波，瑞利波波速可近似以式 ( 2 1 _ 7 ) 表示，且与振动频率，无关，即具有非弥散性；成层半空间中，e h 于各层的弹性性质不一样，p 和s v 波在分界层多次反射及干涉也将产生一种 第二章表面波法的基本原理 浙江大学硕士学位论文 广义瑞利波，但不同于半空间中的普通瑞利波，这种广义瑞利波是频散的，即 相速度c 大小与振动频率，有关。研究成层地基中的瑞利波特性对浅层地基勘 测等都具有重要意义。 现在考虑具有表面层的半空间中的一种平面内运动，见图2 2 1 。 式中 图2 2 1 表面层半空间中的一种平面内运动 假设y _ m 时位移等于零，则位移势函数由式2 1 1 可改写为 p l = a 1e x p ( 一 印l y ) + a 2 ( e x p ( i k p l y ) i = 【b le x p ( 一i k p 2 y ) + b 2 ( e x p ( i k p 2 y ) 】j 妒2 = a ie x p ( 一k a y ) e x p i k ( x c f ) 】i y 2 = b j e x p ( - k b y ) e x p i k ( x 一“) 】j p 2 b = 边界条件和连续条件为 9 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 厣乒罨焉伊钜压压 第二章表面波法的基本原理 浙江大学硕士学位论文 曲= 一h a = 吒= 盯y = 0 劫= o _ k “。4 j 2 f = f f 2 u y i 。u j 2 盯j = d ； ( 2 1 1 0 ) 由上述条件和( 2 1 1 1 ) 。( 2 1 1 2 ) 及( 2 1 8 ) 中的六个系数必须满足( 2 1 1 3 ) “，= 腩 彳l 伊l + a 2 妒2 一p 2 ( b , y l b 2 矿2 ) 】l u ，= 一i k p l ( a l 妒l a 2 妒2 ) + 蜀y l + b w 2 】j ( 1 一p ：) ( 4 l e 却一十a 2 e 一慨6 ) 一2 p 2 ( 岛e 却z 6 一b 2 p 一却：6 ) 2 p 1 ( 4 l e l 印一a 2 e 一却) + ( 1 一p ；) ( 蜀p 卸2 6 + b 2 e - k p 2 h ) a i + a 2 一p 2 ( 曰l b 2 ) 一a i i 6 b l = 0 一p 1 ( 4 l a 2 ) 一( 占l + b 2 ) 一i a a i + 曰l = 0 ( i p ；) ( 爿l + a 2 ) 一2 p 2 ( 蜀一b 2 ) 一g 【( 1 + 口2 ) 爿l + 2 i b b l = 0 2 p 1 ( 4 l a 2 ) 一( 1 一p ；) ( b l + b 2 ) + q 2 i a a i 一( 1 + b 2 ) b i 】= 0 ( 2 1 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) 要使系数a ，a 2 ，b ，b 2 ，一a t ，一a2 有非零解，上述系数行列式必须等于零 于是可得出频率方程或特征方程。当 c 0 7 时各测点的数据具有良好的相干性，信号可取。式( 3 _ 2 5 ) 中得 到的相位角为主值，一般在一1 8 0 0 至1 8 0 0 之间摆动，通过转换技术把主值转 化为真值，为有源法测试系统要解决的主要问题。 在无源法中，由于地脉动频率低，波长较长，采用高分辨率频率波数 谱法即f k 法较为合适。本文采用的f 。k 法为k 3 o k i m a t s uk s h i n z a w a l a n ds k u w a y a m a ( 1 9 9 2 ) 提出。首先用慨( ) + s 。( 刊j 对互功率谱s i i ( f ) 进行 规格化，由下式可得频率波数谱p ( f ，k ) ： - 2 1 - 第三章测试系统 浙江大学硕士学位论文 p ( f ，乏) ：m 乞m 譬4 ( 乏) b ，( ，乏) + s f ( ，) + e x p i k ( i i ) 】 i = 1 卜1 ( 3 2 6 ) 式中乏为矢量波数，i 和巧为传感器r i 和r l 的坐标位置，这里： bm 沁翌竺( 3 2 7 ) b f ， 2 5j i = 赢 3 z 。7 上式中岛( 厂，i ) 为矩阵 e x p i k ( x 一工纠+ s 。( ，) 的逆矩阵。由式( 3 2 6 ) 可 求出每一频率f 在二维波数k x - k ，平面上的高分辨频率一波数谱。f - k 谱提供 了有关波的传播功率和矢量速度方面的信息。根据谱中极大值点的位置， 即k 可求出波数k 以及波传播的方向，利用传感器的距离及k 可求出频率f 对应的波的相速度c ，矢量i 的方向即为波的传播方向。例如频率为f ，矢 量波数为k 的波以相应的相速度v 。( f ) 在图3 _ 2 1 中沿x 轴正方向传来，在 x 轴正方向距离为| k l 处出现波峰，i k j 是波峰出现位置与原点之间的距离。 则可由下列公式计算相应的相速度v r ( f ) 和波长k ( ，) ： ( 厂) = 2 矽k ( 3 2 8 ) 五m ( 厂) = 2 厅k( 3 2 9 ) 在信号较为良好时，即采集到的信号具有足够的信噪比的频率范围内， 对不同的传感器组合直径的所测得的数据重复上述计算，即可获得弥散曲 线。 3 3 有源法同无熏法的对比 有源法中波的传播方向是已知的，并且波主要以高频信号为主，对于 一般地基为5 h z 一5 0 0 h z ，在道路结构测试时甚至可达到数千h z 。对于有 源法一般采用频谱分析法分析信号，频谱分析法方法简洁，计算量不大， 2 2 第三章测试系统浙江大学硕士学位论文 能够满足工程要求。频谱分析法存在的主要问题为在信号分析过程中相位 角真值的正确提取，目前多采用人工提取，自动化程度不高，对无源法的 工程应用带来一定制约。另外，由于人工激发振源较难得到较好的低频信 号，使得有源法在分析深层土参数上受到深度限制。 同有源法相比较，无源法不需预先知道波的传播方向，因此，无源法 可用来对人工激发振源进行检测，也可用于对地脉动等非人工激发振源波 进行检测，应用范围较广。通过地脉动信号的采集分析，可以得到低频信 号，从而可得到深层土参数。无源法一般采用频率- 波数谱( f k ) 分析法， f - k 法分析中主要是得到m a x ( p ( f ，f ) ) 处的f ( 七，k ，) ，i 为所要求的波 数矢量，其角度表示波的传播方向，由吲可得到土层剪切波速。由( 3 2 6 ) il 和( 3 2 7 ) 可知p ( f ，k ) 是一个周期性函数矢量，有多个极值点，使得在判 断正确波数矢量上产生一定困难。对于低频信号由于f 较小，从尸( ，西谱 中判断正确波数矢量较为容易，因此无源法对测定低频信号较为合适。 2 3 第四章模拟信号分析 浙江大学硕士学位论文 第四章模报信号分析 4 1 数宇信号处理一般原理 数字信号处理的一般过程可分为数据采集、分析、平均及后处理几个 过程。图4 1 1 为一个典型双通道信号处理的流程图。 数字信号r i ( t ) 和r ( t ) 分别从两个通道c h a 和c h b 输入，经过时域处 理，然后进行离散f o u r i e r 变换( d f t ) ，求得信号的f o u r i e r 谱，通过系集平 均，求得两信号的自功率谱和互功率谱，再通过其他运算处理，可进一步 求得信号的自相关函数、互相关函数、相干函数等等。下面将其一般原理 分述如下： 4 1 1 时域处理 1 离散f o u r i e r 变换 对非周期连续时间信号r ( t ) 进行f o u r i e r 变换可得到连续的频谱x ( f ) ， 其积分关系式为： f o u r i e r 变换( f t ) ：x ( f ) = 广x ( t ) e _ j 2 “d t( 4 1 1 ) f o u r i e r 逆变换( i f t ) ：x ( t ) = 广x ( f ) e j 2 “d f( 4 1 2 ) 式( 4 1 1 ) 和式( 4 1 2 ) 不能直接用于计算机运算，因为计算机只可能对 有限长度的离散序列进行运算和存储。因此，必须对连续的时域信号和连 续的频谱进行抽样( 离散化) 和截断，这也就是离散f o u r i e r 变换的由来。 为了说明无限连续信号的f o u r i e r 变换和有限离散f o u r i e r 变换之间的 相互联系，让我们来逐一考察图4 1 2 ( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 四种情况的f o u r i e r 变换。图( a ) 表示一非周期连续信号x ( t ) 及其f o u r i e r 频谱x ( d 。通常x ( t ) 覆 盖一o o 至+ o o 整个区域。图( b ) 为一x ( t ) 位移周期信号。这时，f o u r i e r 变换转 化为f o u r i e r 级数，因而它有图式的离散性频谱： 2 4 剐文妪 霸 liliilifllijllj 嚣求 lllij 球咪 i l l j l _ 议秘斟扑h隧扑kh餐 培求_旨蜒礤鞑料臣撩 第四章模拟信号分析浙江大学硕士学位论文 图( a ) 图( b 图f c 图( d ) f t 。、，卜、4 胁，r ：i 二。皿皿叫山盎瞌 tt 20t 2t t0 f i x m s ( d ，、，十、 ， 、 、l 。兰l = 4 。b 20f 2“f - 丁- t 20t 2t t- f 。- f d 20 f d 2f 。f 图4 1 2 傅里叶变换的几种类型 x ( f k ) = 懿x ( t ) e _ 业叽d t ( 4 1 3 ) f t ： x ( t ) = x ( f d e 叫 ( 4 1 4 ) 这里f k = k a f ( k = 0 ，1 ，2 ) ，a f ：圭式中a f 为相邻谱线的频率间隔，也 l 等于基波频率。周期t 越长，频率间隔f 越小，谱线越密。 图( c ) 为非周期离散时域信号的f o u r i e r 变换。与前两种情况不同之处在 于：图( a ) 和图( b ) 中，时域信号是连续的，而图( c ) 的时域信号则是离散的脉冲 序列，这种时间序列可以看作是连续信号经过波形抽样而得到。可以证明， 无限长度的离散时间序列的f o u r i e r 变换，得到周期性的连续频谱： - 2 6 一 迭止 第四章模拟信号分析 浙江大学硕士学位论文 f t f t x ( f ) = x ( t 。) e 叩“- x ( t n ) - 去f ；l 泌) e j 2 帆a r ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 这里t 。= n t ( n 5 。1 ，2 ) ，厶t 2 击式中t 为脉冲序列的时间阃隔， 也即时间波形的抽样间隔。f 。为时间波形的抽样频率，它等于该时间序列的 频谱的周期。时域抽样间隔越小，频域周期f l 越长。可以看出，图( c ) 相当 于图( b ) 的时域和频域交换，即：周期、连续的时域信号对应非周期、离散 的频谱：非周期、离散的时间序列则对应周期、连续的频谱。从正、逆f o u r i e r 变换关系式4 1 1 和4 1 2 的对称性，不难理解上述结论的正确性。 图( d ) 为周期、离散的时间序列的f o u r i e r 变换，可以证明，它的频谱也 是周期、离散的频谱序列。设时间序列的时间间隔为t ，周期为t ，一个 周期内有n 个时域抽样，即t = n a t 则它的频谱具有周期= 二 。t 即频率间隔 a f = 圭 并且在一个周期内，也有n 条离散谱线，即c = n a f ，因此这种信号的 f o u r i e r 变换，只需取时域一个周期的n 个抽样和频域一个周期的n 个抽样， 便可了解其全貌。这种对有限长度的离散时域或频域序列，通过f o u r i e r 变 换或其逆变换，获得同是有限长度的离散频域或时间序列的方法，就称为 离散f o u r i e r 变换( d f t ) 或其逆变换( i d f t ) 其变换式为 d f t ： x ( f k ) = x ( k a f ) = x 。e - j 2 “ ( 41 7 ) i d f t ： 2 x ( n a t ) 2 亩萎x t e j 2 “ ( 4 1 8 ) 离散f o u r i e r 变换的真正意义在于：可以对任何连续的时域信号进行抽 - 2 7 第露搴模拟绩号分砉蓐瀵辽大学硬士学位论文 图( a ) 表示一连续时域信姆x ( t ) 及其频谱x ( f ) ，闰( b ) 为抽样函数s l ( t ) 和 它的频谱s ，( f ) 。s l ( t ) 为等时间间隔a t 的单位脉冲序列。其频谱s ，( f ) 式等频 率间隰f , = l a t 等值离教谱。象积x ( t ) s ，( t ) 就是x f t ) 豹挞样，磐图( c ) 左边群 x ( t ) s l ( t ) 丛。x ( f ) + s l ( f ) x ( f ) s l ( f ) ! 坠x ( t ) + s l ( t ) 峭，忱萋 w ( t ) 使称为窗函数。矩形窗函数的频谱w ( 。如图( c ) 右边所示，其函数式为 w ( f ) ：t i s i n x f r ( 4 。1 ，9 ) 冗t i x ( t ) s l ( t ) w ( t ) 马【x ( f ) $ s 。( f ) 卜w ( f ) - 2 8 - 第四章模拟信号分析浙江大学硕士学位论文 翔9 ) 銎b 圈( c ) 图 d ) d 围( e ) 鼙辨 圈( g ) _ t0mtt | x 辫 一丛 i s t f l j l x 桥s 褥 7 l j 7 ：u 7 。1 ，丰、 l x 圆s ，孵燃0 。、 j ，广j | | 。 ，、一i 丫 # 百r 百蕊芦1 f 。_ 仁1 r r 龇龇幽| ! ! l 蛹 i ! i ! 址 ! x l f 艇越业 山w 2of 以f if 图4 1 3 离散傅里叶交换的过程 - 2 9 一 龇 几 辫胤 o 越愿。二。盈磐盈m二。幽 第四章模拟信号分析浙江大学硕士学位论文 【x ( f ) 。s 。( f ) 】w ( f ) ! 里：! ，x ( t ) s ( t ) w ( t ) 得到它的频谱如图( e ) 右所示与未截断波形的频谱相比较，该频谱出现由于截 断引起的“皱波效应”。 ( 3 ) 频率抽样 图( 0 右位移频域抽样函数s ：( f ) ，它是一序列等频率间隔a f = 1 t 的单 位幅值离散谱线。s 2 ( f ) 的f o u r i e r 逆变换是时间间隔t = i & f 的单位脉冲时 间序列s 2 ( t ) ，如图( g ) 左边所示。 截断抽样波形的频谱( 连续谱) 与s ：( f ) 的乘积就是它的频域抽样( 离 散谱) ，如图( g ) 右边所示。由时域卷积定理 x ( t ) + s 2 ( t ) x ( f ) s 2 ( f ) x ( f ) s 2 ( f ) _ x ( t ) s 2 ( t ) 可知，如图( g ) 右边所示频谱相对应的时间函数为截断抽样波形与s 2 ( t ) 的卷 积，如图( g ) 左边所示。它是一具有周期t 的时间序列，不过，它在一个周 期内的波形与截断抽样波形是相同的。 图( g ) 左、右图就是一组离散f o u r i e r 变换对，其时域一个周期内的n 个数据( t = n a t ) 就是原始信号x ( t ) 的抽样数据；而频域一个周期f s 内的 n 条离散谱线( f s = n & f = l & t ) 的值，就是原始信号x ( t ) 的频谱x ( f ) 的抽 样估计。 2 数字信号分析中的抗混滤波和加宙 有限离散f o u r i e r 变换要求对连续信号进行抽样和截断。不恰当的抽样 和截断会分别带来频率混淆和功率泄漏误差，甚至是频率分析完全失效。 解决的办法是恰当地选择抽样频率，引进抗混滤波器，采用异于矩形窗的 其它窗函数。介绍如下： 1 1 ) 频率混淆和抗混滤波 波形抽样也称为采样，一般通过模数转换电路( a d ) 来完成。不过， 普通指示器的a d 通常只有一个固定的抽样率，而数字式频率分析仪应具 3 0 第四章模拟信号分析浙江大学硕士学位论文 有与分析带宽相适应的不同抽样率供操作者选择。抽样率的选择是一个重 要的问题。抽样率高，抽样间隔小，意味着对一定长度的波形纪录( 也称 为样本) 取较多的离散数据，要求计算机有较大的内存容量及较长的处理 机时：如缩短纪录的长度，则可能产生较大的分析误差。抽样率过低，即 抽样间隔过大，则离散的时间序列可能不足以反映原来信号的波形特征， 频率分析会出现频率混淆或称为混叠的现象。 数字频率分析要求抽样频率f i 必须高于信号成分中最高频率f m 两倍，即 t = 2 f = ( 4 1 1 0 ) 凸l t 为抽样间隔。这就是所谓抽样定理。 图4 1 4 表示对两个不同频率的简谐信号x l ( t ) 和x ：( t ) ，采用相同抽样间 隔抽样的情况。由于该抽样频率对x ：( t ) 来说太低了，结果两个不同信号的 抽样得到相同的时间序列，就是说两个不同的频率被混淆了。 0 ，。t jx 1 ( n 二d l r ll ，rr 0 i l i t i 一一 图( a ) 图4 1 4 频率混淆实例 图( b ) 频率混淆现象可进一步用图4 1 5 和4 1 6 来说明。应用f o u r i e r 变换 的卷积定理，由连续信号x ( t ) l 拘频i l tx ( f ) 与抽样函数s ( t ) 的频谱s ( f ) 的卷积， 得到( t ) 的抽样序列的频谱。该频谱是频率f 的周期函数，且周期等于抽样 频率。图4 1 5 中，信号x ( t ) 的上限频率f m 与抽样频率f i 之间满足抽样定 3 1 第四章模拟信号分析浙江大学硕士学位论文 理，即f r o f , 2 ，不满足抽样定理，抽样时间序列的频谱在f = f , 2 的邻近发生混叠现象。f m 比f , 2 大的越多，混叠范围就越宽，当f m f $ 时， 混叠扩展到整个频域，混叠区域的频谱不是原来信号的真实频谱。 图( a ) 图( b ) 图( c ) i 砌 ，一fif 、 一 j i ： 0 1 3 ( 1 ) i i i i ! 幽f i i i i f i f f i ! i i i i i f f i i 础 0 ix ( t ) s ( t ) n _ t = - l f 。 i | h r 御删山i 嗌一 4 m0f ， 0f sf 0 l n t f l 利2 0 f = 2f 。f 图4 1 5 f 。) 2 f 。无频率混淆 图( a )f 0t 图( b ) 图( c ) 8 n ) l - 1 f l 川