（固体力学专业论文）柔性结构的独立模态空间控制研究.pdf

摘要 随着航天科技的发展，委挂绪控被广泛应用于航天飞行器中，由于太空环境的复杂性， 那些柔性结构很容易被激发振动f 这类结构的振动具有大挠度、非线性、振动频率低且模态 、k 密集、各阶模态阻尼比低等特点：所以它们的振动靠自由衰减要很长时间才能停止下来，这 样会影响到卫星的准确定位( 尤其是对精度要求很高的三轴稳定卫星的定位) ，使得其上的仪 器难以工作正常，另一方面长时间的振动容易造成柔性结构的疲劳破坏，缩短寿命，以至导 、 7 致整个卫星的破坏。被动控制具有其固有的局限性，因此针对柔性结构的特点，】文章采用主 动控制对这类结构的振动进行控制设计，利用直盟瑟模得到受控系统的物理模型：利用d 优化准则对传感器作动器的位置优化；并用k l 特征值提取方法对受控系统进行降阶处理； 在独立攫查窒间进行趁制律的设计，从传统的极点配置、最优控制法着手，并提出独立模态 1 _ 。一_ _ - - - - 一 ， 空间h 控制法的应用；对控制中可能出现的观测和控制溢出( 由于增加控制器的鲁棒性可 、 、 以减小柔性结构振动的溢出，故文中利用神经网络控制较好的泛化作用和鲁棒性这一特点，广、r 一 运用神经网络控制器代替原来的最优控制器再对受控系统进行控制，以此减小溢出的发生： ， 通过对悬臂粱和悬臂板的邀笪笾裹以及对悬臂梁的实验研究陆果表明这种方法对这类结构 、 振动的控制是十分有效的。卜、 曼登堂垫查查兰堡主望奎 一a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h es p a c e f l i g h tt e c h n o l o g y , f l e x i b l es t r u e t w e s a r eu s e do nt h e a e r o c r a f tw i d e l y t h o s ef l e x i b l es t r u c t u r e sa r ee a s i l ys t i r r e dt ov i b r a t eb e c a u s eo ft h ec o m p l i c a t e d o u t e rs p a c ee n v i r o n m e n t t h ev i b r a t i o nt r a i t so ft h e s es t r u c t u r e sa r cl a r g eb e n d ，n o n l i n e a r i t y , l o w f r e q u e n c y , d e n s em o d e a n dl i g h tm o d a ld a m p i n gr a t i oa n ds oo n s oi ti sv e r yl o n gt i m et h a tt h e i r v i b r a t i o ni ss t o p p e db yf r e e d o ma r e n u a f i o n w h i c ho f t e nh a sa ne f f e c to nt h el o c a t i o np r e c i s i o no f f l i i g h t ( e s p e c i a l l y t oh i g hp r e c i s i o nt r i a x i a ls a t e l l i m ) a n dt h en o r m a l w o r ko ft h e p r e c i s i o n i n s t n z m a n t o nl h eo t h e rh a n dt h el o n gv i b r a t i o nw i l lc a n s et h es t r u c t u r ef a t i g u e da n dd e s t r o y e d ，i t w i l ls h o r t e nt h el i f eo ft h es t r u c t u r e s ，s oi tw i l lc a u s et h ew h o l es a t e l l i t ed e s t r o y e d t h ep a s s i v e c o n t r o lh a si t si n h e r e n tl i m i t a t i o n 1 1 1 e ni na c c o r d a n c ew i t ht h et r a i t so ft h ef i e x i h i es t r u c t u r e s a c t i v ec o n t r o li su s e dt oc o n t r o lt h ev i b r a t i o no ft h i sk i n do fs t r u c t u r ei nt h ea r t i c l e p h y s i c sm o d e l o f t h ec o n t r o l l e ds y s t e mi sg o t t e nb yt h ef i n i t ee l e m e n tm o d e l i n g do p t i m a lr u l ei su s e dt oa l l o c a t e t h eo p t i m a la l l o c a t i o no f s e n s o r a c t u a t o r k - le i g e n v a l u ee x t r a c tm e t h o di su s e dt or e d u c et h er a n k o ft h ec o n t r o l l e ds y s t e m i n d e p e n d e n tm o d a ls p a c ec o n t r o l ( i m s c ) m e t h o di su s e dt od e s i g nt h e c o n t r o l l a w , f i r s tt h et r a d i t i o n a lp o l ea l l o c a t i o n m e t h o da n do p t i m a lc o n t r o lm e t h o di nt h e i n d e p e n d e n ts p a c ea r ed i s c u s s e d ，t h e nh - c o n t r o lm e t h o di nt h ei n d e p e n d e n ts p a c ei s r a i s e d a b o u tt h eo b s e r v a t i o na n dc o n t r o ls p i l l o v e r , b e c a u s et h es p i l l o v e rm a yb em i n i s h e db yi n c r e a s i n g t h er o b u s t n e s so f t h ec o n t r o l l e ds y s t e m ，n e u r a ln e t w o r kc o n t r o l l e rh a sb e t t e re x t e n s i v ea n dr o b u s t t r a i t s i ti su s e dt oc o n t r o lt h ev i b r a t i o nt om i n i s ht h es p i n o v e ri n s t e a do ft h eo r i g i n a lo p t i m a l c o n t r o l l e r t h es i m u l a t i o nr e s u l t so nt h ef l e x i b l ec a n t i l e v e rb e a ma n dp l a t ea r ep r e f e r a b l e t h e e x p e r i m e n tr e s u l t so n t h ef l e x i b l ec a n t i l e v e rb e a ma l ep r e f e r a b l e t h e s er e s u l t sm a k ec l e a rt h a tt h e i m s cm e t h o di se 忭e c t u a lt 0t h ec o n t r 0 1o nt h i sk i n do f s t r u c t n r e 2 ! 曼型兰茎查奎兰塑主堕奎一 第一章绪论 一振动控制的任务及分类 振动控制是振动工程领域内的一个重要分支，广义上讲它包括两方面的内容：一是振动 的利用，如各类振动机械等：另一个则是振动的抑制，尽量减小有害的振动- 文中所讲的是 振动的抑制。因此振动控制的任务就是通过一定的手段使受控对象的振动水平满足人们的预 定要求。为达到振动控制的目的所采用的手段，通常要经过以下环节：( 1 ) 确定振源特性与 振动特性：( 2 ) 确定振动控制水平：即确定衡量振动水平的量及其指标，这些量可以是位移、 速度或者加速度、应力等；( 3 ) 确定振动控制方法：不同的振动控制方法其适用性不同，这 些方法包括隔振、吸振、阻振、主动控制等：( 4 ) 进行分析与设计：包括受控对象与控制装 置( 如吸振器、阻尼器、作动器等) 的力学模型进行振动分析，以及对控制装置参数与结构 的设计，即控制器的设计。( 5 ) 实现：将控制装置的结构与参数从设计转化为实物。 振动控制的分类，按是否要能源区分，分为无源控制和有源控制，即被动控制和主动控 制。振动被动控制由于不需要外界能源，装置结构简单，易于实现，经济性和可靠性较好， 在许多场合下减振效果满意，已广泛地在各工程领域中得到应用。但随着科学技术的发展， 以及人们对振动环境、对产品与结构振动特性越来越高的要求，被动控制的局限性就暴露出 来了，难以满足人们的要求。如无阻尼动力吸振器对频率不变或变化很小的简谐外扰激起的 振动能进行有效的抑制，但它不适用于频率变化很大的简谐外扰情况；另外吸振器质量块的 重量代价与振幅限制也是妨碍这类吸振器更广泛应用的原因。又如被动隔振器对外扰频率大 于受控对象隔振器系统固有频率的, 2 倍时才能起到减振作用，但对低频( 如小于2 h z ) 外扰的隔振在实现时就会遇到静变形过大与失稳的问题造成低频隔振难题。 主动控制技术由于具有效果好、适应性强等潜在的优越性，成为一种振动控制的重要的 新途径振动主动控制是主动控制技术在振动领域中的一项重要应用，包括开环与闭环两类 控制开环控制又称程序控制，其控制器中的控制律是预先按规定的要求设置好的，与受控 对象的振动状态无关，而闭环控制中的控制器是按受控对象的振动状态为反馈信息而工作 的，后者是目前应用最为广泛的一类控制，也是论文中所讨论的控制。其控制过程为装在受 控对象上的传感器感受振动，传感器的输出信号( 经过适调、放大后) 传至控制器，控制器 实现所需的控制律，其输出为作动器动作的指令。作动器通过附加子系统或直接施加作用于 受控对象，这样，构成一个闭环振动控制系统。一个振动主动控制系统由以下几个环节组成， 3 ! 曼型兰垫垄盔兰堡圭笙苎 一一 其方框图见图( 卜1 ) ：( 1 ) 受控对象：如本文中研究的问题一大型柔性结构。( 2 ) 作动器： 它是一种提供作用力( 或力矩) 的装置；作用力( 或力矩) 可以直接施加予受控对象，如机 器人臂的振动主动控制关节内的电动力矩马达；也可通过附加子系统提供对受控对象的作用 力( 或力矩) ，如飞机机翼颤振主动抑制系统中装在机翼上的伺服液压作动器驱动气动操纵 面( 又称控制面) ，从而产生附加的气动力此力作用于受控对象棚。翼上。( 3 ) 控制器： 它是主动控制系统中的核心环节，由它实现所需的控制律。控制 黼是控制器输入与输出之 间的传递关系。( 4 ) 测量系统：包括传感器、适调器、放大器以及滤波器等将受控对象的振 动信息转换并传输到控制器输入端的各个环节。( 5 ) 能源：它是用来供给作动器工作所需的 外界能量( 6 ) 附加子系统，并不是所有的振动主动控制都需要有时作动器不直接施力于 受控对象上，而是通过先施力于附加子系统，通过子系统的运动进而产生施加于受控对象的 作用力。振动主动控制装置的雏形可追溯到上世纪2 0 年代出现的电磁阀控制的缓冲器。直 到1 9 6 0 年前后才出现较复杂的振动控制系统，其中以针对解决航空工程中出现的振动问题 为主。1 9 5 9 年为对b - 5 2 型飞机机身侧向弯曲模态进行主动控制，综合了个机身侧向阻尼 系统，用置于后机身作反馈用的加速度传感器的输出来操纵方向舵调整片，达到控制机身 1 2 5 h z 反对称模态振动的目的。近2 0 年来。振动主动控制的研究已从航空工程扩展到其它 各工程领域，吸引了越来越多的从事力学、控制、计算机以及材料等学科的研究人员，促进 了这门交叉学科的发展。 图1 - l 闭环主动控制方框图 f i g l 一1t h e b o xf i g u r co f c l o s e da c t i v ec o n t r o l 二课题的重要性及其研究背景 随着航天事业的发展，柔性结构在飞行器中的应用越来越广泛( 如图i - 2 中神州3 号飞 船两侧的太阳能帆板电池结构) ，其振动控制的问题十分突出。从动力学和振动控制的角度， 大型柔性结构具有以下明显的特点：( i ) 柔性大，模态频率低且密集模态耦合程度高：( 2 ) 结构复杂，建模困难：( 3 ) 未被控制时的结构阻尼小( 4 ) 瞬态环境条件( 或载荷) 及载荷 的不确定性需求振动控制的频带较宽：( 5 ) 系统和环境存在着多种耦合，耦合分析的困难要 求由振动控制措施来弥补；( 6 ) 要求振动控制系统可靠性高、耗能低且附加质量低。由于这 4 中国科学技术大学硕士论文 些柔性结构的上述特点，又加上太空的环境复杂，所以很容易出现激起柔性结构振动的因素 ( 如宇宙里的陨石碎片对结构的撞击，太阳风暴对结构的影响，结构正反面周期温差的影响， 还有就是卫星主体调整姿态时带动其附件运动而产生的振动等等) 。柔性结构的使用固然满 足了减轻飞行器发射载荷的要求，但柔性机构固有的低阻尼特性及太空几乎无阻尼的环境， 使得柔性结构由于各种因素而激发起来的振动难以在短时间内迅速衰减。这样会影响到卫星 的准确定位( 尤其是对精度要求很高的三轴稳定卫星的定位) ，使得其上的仪器难以工作正 常，另一方面长时间的振动容易造成柔性结构的疲劳破坏，缩短寿命，因此必须对这类柔性 结构进行控制。由于被动控制的频带比较窄，只能对某一频段的控制达到比较好的效果，而 大型柔性结构是一个连续系统，需比较宽的频带控制，被动控制不再适用。而且大型柔性结 构的固有频率一般很低可能需要控制的模态都集中在o 一埘z 频率内，很多被动控制起作 用的频率范围很难达到如此低的频率。从而被动控制在这里很难满足我们的要求，因此对这 类柔性结构的稳定性控制适合于用主动控制的方法，为此我们希望用主动控制技术对其进行 控制，降低结构的振动幅度，使振动在比较短的时间内衰减下来。 本项目已经申请总装备部“十五”卫星技术预先研究项目。由于军事上的需求：许多航 空航天器中存在着大型柔性结构，人们希望用主动控制技术，特别是利用压电、磁致伸缩、 形状记忆等智能材料的特性制作的智能元件，对航天器中的柔性结构振动进行自适应控制。 圈l - 2 神州3 号飞船模拟图 f i g l - 2 t h es i m u l a t i o np i c t u r eo f s h e n z h o ui i i 三国内外研究状况 由于对柔性结构振动控制的重要性，国内外在这方面都做了不少研究，特别是国外。从 上世纪7 0 年代到9 0 年代，国外的许多学者对此问题做了比较完善的研究，其中以 m e r o v i t c h 、b a y a r d 、l i n d b e r g 等人为代表由于柔性结构的特点，故在模态空间比物理空 5 、 主里型兰垫查查兰堡主丝苎 一 问中去研究其振动的控制更简单，因为独立模态空间有以下优点：( 1 ) 独立模态空间中 各模态是相互解藕的，原来n 自由度的动力学方程变为n 个独立的单自由度方程，因此可 以独立控制每个模态，从而某一模态的响应不会影响到其他模态的响应；( 2 ) 此方法物理概 念清楚，方程中的参数意义明显；( 3 ) 基于独立模态空间控制的方法只需求解n 2 个解藕的 2 x 2 的r i c c a t i 方程而实物理空间是要解一个n x n 的r i c c a t i 方程，因此独立模态空间 方法( i m s c ) 的计算量要小很多；( 4 ) 实验上有一些行之有效的识别模态参数商业软件。因 此在8 0 年代国外许多学者又尝试在独立模态空间控制( i m s c ) 对这类结构进行主动控制。 1 9 8 3 年l w e i r o v i t c h 与h b a r u h “1 提出了作动器数目等于所控模态数目的独立模态空间控 制( i m s c ) ，他们用了模态滤波器来解决观测溢出的问题，对控制溢出他们主张选取足够多 的控制模态这样达到抑制控制溢出1 9 8 4 年r b l i n d b e r gj r 与r w l o n g m a n ”1 提出改 进的独立模态控制控制方法，此方法解决了m e i r o v i t c h 在1 9 8 3 年提出的作动器数目要等于 所控模态数目的问题，可以用少于所控模态的作动器对所有重要模态进行控制，并对作动器 的位置作了初步研究。1 9 9 2 年kb l i m 0 1 对大型柔性结构的作动器传感器的最优位置作了 进一步系统的讨论。1 9 9 2 年c h u n _ l i a n gl i n “1 提出了用剩余模态滤波器对模态控制出现的 观测溢出进行抑制，减小了由溢出带来的不稳定性。1 9 9 3 年c 一h c i h d s b a y a r d ，a a h m e d ，s j w a n g ”1 已经采用六输入六输出的多变量自适应控制器成功对一伞 状三维大型柔性结构进行了振动控制，并进行了鲁棒性分析。纵观国外在这方面所做的工作， 他们探讨了各种建模方法在大型柔性结构控制建模中的应用；从不同的角度( 鲁棒性、能量 最低、全局的稳定性等) 对传感器作动器定位及尺寸进行研究并采用各种优化准则( 如： d 优化准则”) 对传感器作动器定位进行了寻优；在控制律方面采用的方案集中在多变量自 适应、极点配置“、l q g 最优控制“。”1 等；同时也对控制中可能出现的观测溢出、控 制溢出“”作了较深入的研究。国内在这方面的研究起步较晚，主要开始在上世纪9 0 年代。 许多单位只针对一维挠性粱进行的振动控制，而对整个系统数学模型的建立、传感器作动 器的定位及二维挠性结构的研究还不很成熟在这方面开展工作的除了科大外，还有南京航 空航天大学、北京控制工程研究所、哈尔滨工业大学、西安交通大学、重庆大学智能研究所 等。到目前能查到的关于j m s c 方面的文章很少。1 9 9 7 年南京航空航天大学的卢连成等“” 提出采用现代模态滤波器哪f ) 技术和最优控制理论研究智能空间桁架结构的独立模态空间 控制方法( i w s c ) ，解决了传统i m s c 控制中的状态解耦问题，使i m s c 方法不再局限于简 单、低自由度数的结构动力控制，对于智能空间结构，实施i m s c 方法也是可行并且有效 的，并对一桁架结构进行了仿真1 9 9 9 年南京航空航天大学的陈仁文等4 1 也提出了独立模 6 态空间控制的概念，但他们提出的这个概念与1 9 8 2 年m e r o v i t c hl 他们提出的最初的i w s c 基本相同，他们认为在控制多少模态时需要同样数目的作动器。并对梁作了简单的数值仿真 模拟。国内在这方面的研究单位虽然较多，但很多都只停留在简单模型的数值仿真，做出实 验的较少。 四论文的内容与结构 根据前面所讲的振动主动控制系统的几个环节，论文大致的结构如下：第一章，即本章 为绪论，概述振动控制及振动主动控制的重要性以及国内外在大型柔性结构振动主动控制中 所做的一些工作；第二章，振动主动控制的首要环节，数学建模，分有限元建模、实验建模： 第三章，传感器作动器对位置的优化；第四章，为控制律的设计做准备，进行模型的降阶； 第五章，进行控制器设计的一些讨论，提出在i w s c 空间中h 控制法，并进行数值仿真计算， 同时也对控制可能出现的观测溢出、控制溢出进行研究，提出了鲁棒性较好的神经网络控制， 用来减小观测溢出、控制溢出的出现；第六章，对文章中所讨论的一些控制律应用到柔性悬 臂梁的实验中；最后一章，总结和展望。 7 望型兰垫查查兰堡主丝兰一 第二章数学建模 典型的多自由度系统动力学方程式可表示为 膨+ 臌+ k x = q ( 2 1 ) 其中：x 为h 维物理空间位移矢量 d 、k 分别为? i x 珂阶的系统质量阵、阻尼阵、刚度 阵，q 为节点载荷向量 本章就是要利用有限元数值方法或实验方法来得到被控系统的质量、阻尼、刚度阵。 第一节有限元数值建模 根据动力学问题的有限元方法口”，得到系统的运动方程如( 2 - 1 ) 所示。 其中： 吖= 吖，k = k ，d = c ，q = q ( 2 - 2 ) _j_一 m 。= 丘n d v ，k = p 7 d b d v ，d 。= 7 n d v ( 2 - 3 ) 分别是单元的质量、刚度、阻尼矩阵。 在( 2 3 ) 式中p 为系统的体密度，为材料的一个阻尼比系数，d 是系统的弹性矩阵，| v 为位移插值函数，口为应变矩阵。 算例 航天飞行器上很多柔性结构都可以简化为悬臂梁或是悬臂板的形式，如太阳能帆板结 构，经过简化可近似为悬臂板。故本论文涉及到的研究对象是柔性悬臂粱和悬臂板，下面的 算例就以构造它们的质量、刚度、阻尼阵为目的进行研究。 1 弯曲粱单元 在进行有限元建模时，我们用了经典的k i r e h h o f f 直法线假设，即中面的法线在变形后仍 保持和中面垂直对梁考虑的是伯努利一欧拉粱，即梁的主要变形是弯曲变形。在低频振动 时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响。因此梁的弯曲问题简化成维问 题。 臣2 - l 二节点粱单元 f i g 2 - 1 t h ee l e m e n to f b e a mo f t w on o d e s 8 主璺型兰苎查查堂堡主笙苎 一一 用有限元分析梁弯曲问题时，采用如图( 2 1 ) 所示的二节点h e r m i t e 单元。单元内挠度函 数w ) 的插值表示如下： w ( f ) = n , ( o a ，= n a 。 其中n = 【n ：n 3n 。】 拈【w 1bw ：听只= ( 箬 ，( f 嘲 n t ( f ) = 1 3 f 2 + 2 f 3 2 ( f ) = ( f - 2 ( 2 + f 3 ) ， 将( 2 - 5 ) 式代入( 2 3 ) 式可得 l1 5 62 2 ，5 41 3 ， 一旦憎一412-1孤-：3：1，a420 5 41 3 l1 5 6一2 2 ， i1 3 ，一3 l 2 2 2 ，4 1 2 如 e i ( d 2n ：、1 7 ( 剽蜘笋 1 2 6 ， 一1 2 6 ， 6 z 4 ，2 6 ， 2 f 2 1 2 6 ， 1 2 6 f 6 ， 2 1 ： 一6 ， 4 ，2 其中，f 是单元长度，= 卢“是单元的质量，a 是截面面积脚弯曲刚度。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) 我们把梁做如下网格划分( 图2 2 ) ，则通过组装单元质量、刚度阵可以很容易得到4 0 4 0 阶的系统总的质量、刚度阵。 | | | | | | | | | j 、l _ ， | | | | 一 0r? i j j | | | | | | | | | | | | | | 123 1 92 ( 生鬯型兰垫查查堂堡主堕奎一 由于比例阻尼系数较难确定，所以不能通过这种方法得到系统的阻尼矩阵d ，只有通过下节 的实验建模来获得。 2 弯曲薄板单元 对板有如下假设：板的厚度比其它两个方向尺寸小很多，以及挠度比厚度小，可忽略厚 度方向的正应力：薄板中面内的各点没有平行于中面的位移；薄板中面的法线在变形后仍保 持为法线。这样薄板弯曲问题简化为二维问题。 圈2 - 3 矩形板单元 f i g 2 - 3 t h ee l c m e mo f r e c t a n g u l a rp l a t e 采用如图( 2 3 ) 所示的矩形单元1 2 3 4 ，每个角节点有3 个参数：挠度w 、法线绕x 轴 的转角以和绕y 轴的转角乱，即 牡唇 ， a ，= o x , h 同样单元内挠度可以表示成 w = n a 2 w ( 考) ， 一( 豢) ( f = 1 , 2 ，3 ，4 ) ( 2 7 ) 其中， = 【。n ：n 3n 。】 = ；十1 ) ( 7 0 + 1 ) ( 2 + 磊+ 7 7 0 - f 2 彳) 魄( 厶+ 1 ) ( 1 ) 2 ( ，7 0 - 1 ) 一日乒( 厶+ 1 ) 2 ( 厶一1 ) ( ，7 0 + 1 ) 】 f = ( x x c ) a ，玎= ( y y c ) b = i ，q o = t q 。 x 。，y c 是单元中心的坐标，乒，7 ，是矩形板单元四角点在局部坐标下的值。 l o ( 2 8 ) ( 2 - 9 ) 把( 2 - 9 ) 式代入( 2 3 ) 式可以得到矩形单元1 2 3 4 的单元质量、刚度阵，为1 2 x 1 2 阶的对 称方阵。如果把悬臂板按如下( 图2 - 4 ) 作有限元划分，最后可组装成8 4 x 8 4 阶对称的质 量、刚度阵。 lil ii l lli 节主要用模态参数识别的方法来确定被控结构的模型。因为我们实验中研究的被控结构是典 型的柔性结构，具有小阻尼的特点，阻尼矩阵经模态坐标变换后可对角化，模态参数为实数 频响函数可按实模态展开。若在p 点激励，在，点测量，则频响函数可表示为对于粘性阻尼 有： 蹦咖姜前麓 州班喜蒋 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 式中，( d 。) ，是p 点激励、，点观测的第i 阶有效柔度：劬为系统第i 阶固有频率；鼻为系 统第i 阶模态阻尼比；g 为结构的损耗因子。 、 以上两式就是实模态参数识别的基本公式。下面介绍一种最常用的模态参数识别方法。 一共振法1 2 4 i 这是一种经典的模态分析方法，其基本思想是：当激励频率在系统某阶固有频率附 近时，该阶模态导纳便起主导作用，其余各阶模态导纳的影响可忽略不计。即 | | 生里型兰垫查奎兰堡圭丝壅 一一一 日( ) “日枷( ) ( 2 - 1 2 ) 此时，整个系统等效于一个单自由度系统。利用幅频特性和相频特性，便可确定系统的模态 参数。 在待测结构上选择，个测试点，求其中某点p 对所有各点的位移导纳。点数，一般应等 于或大于拟选的模态数n ( 自由度数) 。则p 点对任意点，的位移导纳可作如下处理： 当激振频率在r 阶固有频率附近时有 i ) | - ( d i ) ， t 一( 舻2 坛詈 ( p * ) ， ( 2 - 1 3 ) 因此，由测得的幅频曲线j 乩( ) i 的第，个峰位置( 共振频率点) ，便可近似确定，阶 固有频率0 2 ，由国，两侧半功率带宽，可以确定，r 模悉阻尼比鼻( 2 a c o 2 t o ，j 。由，处 位移导纳幅值1 日扣( ) l ，便可按下面方法确定( d * ) ，、模态刚度，和该阶振形如 ，当 = 脚。时有： ，) = 警 所以：( d ) ，= 2 告， 日( t o ，) i ( 2 - 1 5 ) 又因为( 叭= 警 ( 2 _ 1 6 ) 故在令妒，的值等于1 ( 振型中各元素具有确定的比例，其绝对值可人为地指定，不妨取r 阶振型第p 个元素妒，的值为1 ) 时，由原点导纳曲线的峰值可得r 阶模态刚度为 p 丽霸1 碉 此外，当0 2 = 时，个导纳的幅值分别为 阶讣鼍 ( 2 一1 7 ) ( 缉1 = 等 陬讣鼍 任嘞 锄，料豳 p 柳 二数值方法和实验相结合 由上面的共振法实验我们可以比较精确地得到系统前j 阶的固有频率和模态阻尼比， 而我们用a n s y s 等大型计算软件很容易得到系统前s 阶比较精确的振型，根据里兹近似法 ，如果我们取系统的前j 个主振型构成如下矩阵： m = k ，妒2 纯】 ( 2 2 0 ) 则可由系统的足，肘、d 阵得到如下矩阵 k = o r k o l = k n 主璺型兰垫查查兰堡圭堕兰一 面= c r m c p = m m 面= c r d o l = d 其中，足。：d i a g p ? ：2 国：】 m m = i 。( 前面得到的振型矩阵对质量阵m 归一正交) d m = d i a g 2 孝l 国。2 手：t ：0 2 2 皇q 】 f 2 2 1 ) 由( 2 2 1 ) 式，通过对m 求伪逆的方法很容易得到系统的质量、刚度、阻尼阵m 、k 、d k = m ：7 k m ：1 m = o ：m 儿中： d = 中：7 d m o ：1 ( 2 - 2 2 ) 三几种不同建模方法所得到系统参数的比较 粱和板所用的材料是玻璃钢( 当成准各向同性材料) 。材料常数是：杨氏模量 e = 2 5 3 6 g p a ，密度p = l s 0 8 k g m 3 ，泊松比u = 0 2 7 ，梁的尺寸是8 0 0 5 0 x 1 5 n u n ，板的尺 寸是8 0 0 2 0 0 1 5 m m 。 表2 - 1 悬臂粱和悬臂板的前六阶固有频率( 单位：h z ) t a b l e2 - 1t h ef i r s ts i xi n h e r e n tf r e q u e n c i e so f t h ec a n t i l e v e rb e a ma n dp l a t e ( u n i t s ：h z ) 入 悬臂粱悬臂板 有限元a n s y s 计实验有限元a n s y s 计实验 编程算值 编程算值 l1 4 1 6 81 4 2 5 91 5 9 4l2 4 5 ll4 3 61 5 0 28 9 0 4 l8 9 4 4 09 o7 b l l 38 9 9 98 7 5 32 5 1 4 42 5 1 1 42 45 l o 1 9 51 1 7 5 3 44 9 9 7 74 9 4 2 74 7 52 2 0 1 32 5 2 3 92 45 5“2 3 l9 2 1 1 l7 7 53 1 4 4 83 6 2 4 5 61 2 8 b 81 2 3 2 51 1 5 54 3 5 2 24 9 6 4 74 7 2 5 ( 注：用a n s y s 计算时梁的有限元网格划分是2 0 1 个单元，板采用的是4 0 2 0 个单元) 从上表发现对于悬臂粱来说，同样的有限元网格用有限元编程和a n s y s 计算得到其前六 阶固有频率略有不同，主要原因是有限元编程采用的是一维：节点的h e r m i t e 单元，而a n s y s 1 4 计算时采用的是平面4 节点单元，还有就是计算中的舍取误差也会引起结果略有不同；对悬 臂板，两种方法采用的均是平面4 节点单元，引起结果差异的主要原因是它们采用了不同的 有限元网格数用有限元编程选用了较少的有限元数，可能会带来较大误差；用h p 3 5 6 6 5 模态分析仪对它们做敲击实验，通过频响曲线得到梁和板的前六阶固有频率，发现与有限元 编程和a n s y s 计算得到的结果基本吻合，从而从另一方面验证了结果的可靠性，但在板的实 验中，由于第3 、5 阶模态是板的两个扭转模态，比较难激发，即便激发，又由于其振动很 快衰减，故采集不到这阶模态的太多信息，在频响曲线上看不到该模态，但它们也有差异， 主要是整个建模过程忽略了粘在粱和板上压电晶体的影响( 因为压电传感器和作动器与系统 本身相比很小，不足以对系统的机械效应产生明显的影响) ，而做模态实验时压电晶体的影 响存在，还有就是他们振动会出现的一些几何非线性，这些因素都会影响结果。 表2 - 2 实验测得悬臂粱和扳的前六阶模态阻尼比 t a b l c ，2t h e f i r s ts i x m o d a ld a m p i n g r a t i oo f c a n t i l e v e r b e a ma n d p l a t e i 第l 阶第2 阶第3 阶第4 阶第5 阶第6 阶 i 惫臂粱 0 0 1 3o 0 1 1 50 0 1 0 50 0 0 9 50 0 0 4 80 0 0 6 l 悬臂板 o 0 1 10 0 1 0o 0 0 7 50 0 0 5 1 5 主里型兰茎查盔兰堡圭堕壅 一 第三章传感器作动器数目和位置优化 在实际系统中，使用压电片实现振动主动控制同时存在数目优化和位置优化问题。但目 前对于传感器、作动器数目优化的研究还不充分，技术思路还不清楚，这主要是因为传感器、 执行器的数目对于不同的控制器和控制要求来说，是难以决定的。而对于位置优化的研 究则开展得较充分。八十年代初，对配置问题主要是基于可观可测使控制能量最小的指标 进行研究。】，后来又形成了控制作用使系统能量损耗最大啪1 以及控制作用与系统贮能之 和最小化0 9 3 埘的配置准则。东北大学的杜立群和南京航空航天大学的张俊华等人使用遗传 算法研究了大型柔性空间结构振动主动控制系统中传感器作动器的配置优化8 1 ”】；中科院 的严天宏等人则提出了一种改进的模拟退火算法，研究了应用离散分布压电智能传感作动 器进行柔性结构振动控制的一体化全局最优配置问题口3 1 ；早在1 9 8 6 年d s b a y a r d 就提出 用d 优化法( 即把f i s h e r 信息矩阵行列式的最大值作为目标函数的一种优化方法) 来解决 传感器的位置配置口”，后来由于大型柔性结构的小阻尼特点，对d 优化准则可以简化，其 用起来更简单，且物理含义明确，所以在处理此类问题时被广泛应用1 2 2 。”】。用基于输出 可控性准则的方法，我们知道传感器所处的最优位置也是作动器所处的最优位置之一，反之 亦然l ，所以只需对传感器或作动器其中之进行位置优化即可，而且由此文献我们知道 把压电传感器、作动器贴在结构的同一部位的两侧而构成传感器作动器对来实现控制，采 用这种方式实现同位控制，能保证受控系统为最小相位系统，防止由于模态截断而导致的观 测溢出和控制溢出，保证系统的稳定性o ”。介于文中所选的被控结构也是小阻尼结构，下 面将用d 优化准则进行传感器的位置优化。 一d 优化准则 d 优化法是把f i s h e r 信息矩阵行列式的最大值作为目标函数的一种优化方法。即 m a x d e t ( f )( 3 - 1 ) 我们知道，传感器的作用实际上是用于状态参数估计，由数理统计知识可知，f i s h e r 信息矩 阵f 的行列式d e t ( f ) 是与参数无偏估计的方差下界成反比的。因此，d e t ( f ) 越大，所估计的 参数的方差就越小，在最小方差无偏估计的意义上就越好b a y a r d 等人的研究表明，在 结构模态阻尼很小的情况下，d 优化法能够进行简化，使传感器位置的设计与控制输入问题 解耦，只须利用结构的位移模态信息，就能最优地确定传感器的位置，使设计问题大大简化。 b a y a r d 等人的研究结果表明，传感器优化的目标函数可以写成如下形式： 1 6 约束条件：e 成 成- - i 卢：展= m l 吖j l i ，lj ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 其中：n 为结构待控的重要模态；j l 彳为描述结构模态的点数；m 为布置的传感器，驱动器的 数量沏 力：，女为与第1 个压电传感器位置相关的系数矩阵；仍为第i 个模态的归一化 振型( 位移) ；k 为第女个传感器的测量噪声：展为布置位置选择矩阵的元素值，取0 或1 取0 表示相应位置处没有布置传感器，取1 则表明相应位置布置了传感器，反映传感器所布 置位置信息。 。 一般情况下，不论是传感器，还是作动器，我们均使用同一种压电晶体片，因此 是常数。不妨令h = 1 ，并不影响优化的结果。目标函数可进一步简化为： s ( 所) ：m a ) 【兰l 。g l 兰展仍) 2s ( 所) = m a ) 【l ol 展坛仍) 2 口，一l l i - l j ( 3 4 ) 约束条件同( 3 - 3 ) 。 由此，我们可以看出，对于给定压电传感器作动器对的数目m ，通过选择不同的卢，求 取最大值联m ) ，对应的，的元素分布即描述了传感器作动器对在结构上的优化位置。压电 传感器的作用机理实际上是将感受到的应变转换为电荷或电压输出。因此式( 3 - 4 ) 的物理含义 可以认为是在待控模态作用下能够获得最大电荷输出的地方，则( 仍) 项的含义可以等 效为压电片的输出电荷。 二算例 悬臂粱 假设压电传感器的i 方向与悬臂梁的长度方向一致，则压电传感器在挠性悬臂梁中的 系数矩阵九可以如下确定：当悬臂粱发生振动时，梁表面的应变变化q 将使压电传感器产 一 生相对电位移d ，电位移大小还与压电晶体的压电应变系数函l 有关【3 ”。在悬臂梁微幅振动 时，上表面的应变h o j 为： “d 2 w 2 专再 1 7 ( 3 5 ) 警 尻 村n 昭 m呼 哪 双 ! 曼型兰垫查查兰堕主丝苎一 。砜砜e 等 ( 3 6 ) 其中，d 3 1 为压电晶体片的压电应变常数：e 为压电片的杨氏模量；w 为挠厦，t b 为梁厚厦。 由于压电传感器的尺寸较小，可以近似认为电荷大小口与压电片面积一成正比。故： g = 彳d = 丢编e 屯等 ，) x t 于式( 3 7 冲的二阶导数，结合我们对柔性梁所做有限元分析所获得的模态矩阵，我们用节 点挠度坐标的二阶差分来代替d z 下w ，由于模态矩阵中的节点挠度坐标反映了各点振幅之比， ( 红。 因此代替的结果只会相差一个比例系数岛，即： g = 扣啦，a 盟铲 协s ， 上式表示压电晶体中心放在第k 个节点上，i 、j 为其相邻节点。 设( y j p ) = g ，则 铲击如同a ( 0 1 ，吃卜。_ 。】r ( 3 ，) 传感器作动器对位置优化问题是从结构的m 个网格位置中最优地选定m 个位置布置传 感器，作动器对。优化的核心就是在给定的模态振型下，对传感器的信号求和。由于该优化 是一个离散优化问题，所以可通过离散变量的组合优化方法进行求解。 采用玻璃纤绀环氧树脂正交各向异性材料制作了压电减振悬臂梁模型，粱的尺寸为 8 0 0 x 5 0 x 1 5 m m ，e b l = e 2 = 2 5 3 6 g p a ，密度p = 1 8 0 8 k g m 3 ，泊松比o = 0 2 7 ；传感器和 作动器所用的是4 0 2 0 l m m 的p z t 5 ，材料常数是：杨氏模量e = 5 8 0 3 g p a ，密度 p 。= 8 3 0 0 k g m 3 ，压电常数以l = 1 g x l 0 。o c n 。 粱的有限元网格划分如图( 3 - 1 ) 所示考虑结构的前六阶弯曲模态，归一化振型可通 过有限元程序计算得到。在计算s ( 肌) 的值随m 变化时令k o a d 3 l e 乙= l ，图( 3 2 ) 是目 标函数与布置传感器数量之间的关系。从中可以看出，随着传感器数量的增加，目标函数值 也开始增加；当传感器达到一定数目时，目标函数的增加趋缓，这说明过多地增加传感器 作动器对的数量并不能有效地提高对系统状态的识别能力，而且传感器的噪声还可能会掩盖 1 8 l 增加的少量有用信息。此外，从测量与控制的试验角度出发，也不宣布置太多的传感器 和驱动器。 “ 匿3 - 1 粱的有限元网格 f i 9 3 - lt h ef i n i t ee l c m c n t 酣do f b e a m 口f 图3 - 2 目标函数与传感器数的关系 f i 9 3 - 2t h er c l a d o n s h i pb m e e no p t i m a l f u n c t i o na n dt h e 珈r i b e r so f 辩p s o r 通过计算，在用单个传感器，作动器对对粱的前六阶进行控制时，其位置1 处；用两对 传感器作动器对时，其布置位置在1 、3 3 处；三对传感器作动器对时，其布置位置在1 、2 、 3 4 处；四对传感器，作动器对时，其布置位置在l 、2 、3 3 、3 4 处。 悬臂板 对于二维柔性板，与一维梁不同的是必须考虑压电片在平面内两正交方向z ，y 上的传 感作用。为便于分析，我们根据压电片与柔性板的尺寸合理划分有限元单元，若柔性板有限 元的单元尺寸为d x d y ，则使一片压电片正好覆盖四个有限元单元，如图( 3 - 3 ) 所示： 圈3 - 3 压电片与有限元单元关系 f i 9 3 3 t h er e l a t i o nb e t w e e np i e z o e l e c t r i c i t yp i e c ea n de l e m e n t s 对比式