（检测技术与自动化装置专业论文）基于eit系统的模型、算法研究及低通滤波器优化设计.pdf

中文摘要 中文摘要 近二十余年发展起来的电阻抗层析成像技术( e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y e i t ) ，相比于其他c t 技术，以其非侵入性、便携性、价格低廉、响应快 速等技术优势，在工业和医学领域具有重要的应用前景。 本文从以下几个角度，研究低频注入电流式e i t 系统。 首先，指出e i t 系统的图像重建问题，本质上是一控制问题；并讨论了目前 常见算法的优缺点；其次，从描述电场线的角度出发，建立了一个直观、简洁 的均匀物场模型，并给出了该模型在成像中的应用；再次，建立了注入电流式 的e i t 系统中圆形单物体分布的精确解析解，给出了收敛性分析；并给出了基于 该模型的参数识别应用；然后，鉴于灵敏度矩阵是采用摄动的思想得到的，采 用统计的方法对目前常见的灵敏度矩阵引起的耦合现象进行研究，计算结果说 明，基于灵敏度矩阵的方法具有局限性，以及迭代过程中适当预留残差的 意义所在；最后，对于e i t 系统的低通滤波环节进行优化设计，并提供了分析类 似耦合问题的一种方法；并对e i t 技术的目前面临的技术难点进行了简单评述。 关键词：电阻抗层析成像耦合效应 低通滤波器模型优化重建算法 灵敏度矩阵 英文摘要 a b s t r a c t 蝴氇a d v a n t a g e so v e ro t h e r c tt e c h n i q u e s ，e g ，n o n i n t r u s i o n , p o r t a b i l i 旗l o w c o s ta n df a s tr e s p o n s e ，e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ( e 1 t ) h a sb e e ni n v e s t i g a t e d e x t e n s i v e l yi nt h el a s td e c a d e ，a n df o u n dm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nb o t hi n d u s t r i a l a n dm e d i c a la r e a s i nt h i sp a p e r , t h ec u r r e n t - i n j e c t e de i ta tl o wf r e q u e n c yh a sb e e ns t u d i e di nt h e f o l l o w i n ga s p e c t s f i r s t l y , t h ei m a g e r e c o n s t r u c t i o np r o c e s si ne i th a sb e e ng e n e r a l i z e dt oac l o s e d - l o o pc o n t r o ls c h e m a t i c ，s oe i tp r o b l e mi suc o n t r o lp r o b l e mi nn a t u r e , a n ds o m e c o m m e n t so na l g o r i t h m sa r eg i v e n s e c o n d l y , w i t ht h eo r i g i n a li d e at od e s c r i b et h e s h a p eo f t h ee l e c t r i cf i e l dl i n e s ，as i m p l ea n di n t u i t i v em o d e lf o ru n i f o r md i s t r i b u t i o n h a sb e e ne s t a b l i s h e d ，w i t hs o m ea p p l i c a t i o n so f t h em o d e lp r e s e n t e d t h i r d l y , ap r e c i - s i o na n a l y t i c a lm o d e lw i t hac i r c u l a ro b j e c th a sb e e ni n t r o d u c e d ，a sw e l la sa na n a l y s i s o f c o n v e r g e n c ea n dd i s c u s s i o n so ni t sa p p l i c a t i o n s f o u r t h l y , as t a t i s t i c a li n v e s t i g a t i o n o f t h ec o u p l i n ge f f e c t so f t h ep o p u l a ru s e ds e n s i t i v i t ym a t r i x ，w h i c hi sc a l c u l a t e db a s e d o nt h ei d e ao f p e r t u r b a t i o n ，a n dt h er e s u l t ss h o wt h el i m i t a t i o n so f m e t h o d sb a s e do n s e n s i t i v i t ym a t r i xa n da l s ot h er e a s o nt ok e 肇s o m ee r r o ri ni t e r a t i v ep r o c e s st oc o r n - p e n s a t et i f f sc o u p l i n g f i n a l l y ，a no p t i m i z a t i o no fl o wp a s sf i l t e rb a s e do nn o n i d e a l o p e r a t i o n a la m p l i f i e ri ne i ta n da s s o c i a t e dm e t h o d st od e a lw i t hs i m i l a rc o u p l i n gh a v e b e e np r e s e n t e da n ds o m ei d e a so no b s t a c l e si ne t ta r ep r o v i d e d ， k e yw o r d s ： e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y ( e l ，c o u p l i n ge f f e c t ，l o wp a s s f i l t e r ( l p f ) ，m o d e l ，o p t i m i z a t i o n ，r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m s ，s e n s i t i v i t ym a t r i x 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之她外，论文中不包含其仇人已经发 表或撰写过的研究成祭，也不包含为获褥天津大学或其他教育枫构的学位藏 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论 文中佟了明确的漫明并表示了谢意。 学毽谂文终考签名： 絮毒 签字霹翳：j 叮零。；胃扣霾 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者究全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据痒避行检索 并采用影印、缩印或搦描等复制手段保存、滋编以供瘴阅和徽阅。同意学校囱 国家肖关部门躐机构送交论文的复印件和磁擞。 ( 保密豹学位论文在黪密嚣逶赐零授投说明) 学位论文作者签名： 胄聋 签字一勰：邀年节胁r 导师签名： 多力铂确 签字只期：油西年e 目蛐f 第一章绪论 第一章绪论 1 1 电阻抗层析成像( e i t ) 技术简介【1 】 近二+ 余年发展起来的电阻抗层析成像技术( e l e c t r i c a li m p e d a n c et o m o g r a p h y e i d ，以其非侵入性、便携性、价格低廉、响应快速等技术优势，在 工业和医学领域具有重要的应用前景。目前，e i t 技术有三种模式，即电阻层 析成像( e l e c t r i c a lr e s i s t a n c et o m o g r a p h y e r t ) 、电容层析成像( e l e c t r i c a lc a - p a c i t a n c et o m o g r a p h y e c t ) 、电磁层析成像( e l e c t r o m a g n e t i ct o m o g r a p h y e m t ) ，其研究对象涵盖了电导率口、电容率、导磁率“等主要电磁参数。 在似稳场条件下【2 叫，对于e r t e c t e m t ，其敏感区域均满足相同的物理 方程组 v v d b 三： t ， 因而三种成像模式具有诸多相似之处，如 在硬件设计方面 目前，大多数系统都是采用低频( 2 瑚z ) j 下弦波激励及相敏解调模式；不 同的是，e r t e m t 采用注入电流激励，而e c t 采用电压激励： 在软件设计方面 由于三种成像模式的敏感区域均满足方程组( 1 1 ) ，因而需要解决的技术难 点基本相同，即非线性及病定性；可以采用有限元方法( f e m ) 、有限差分 法( f f m ) 、边界元方法( b e m ) 0 0 等求解及标定； 鉴于e r t e c t e m t 三种成像系统均由激励、测量、图像重建三部分组 成，在硬件设计和软件编制方面具有很强的复用性；因而有望将三种成像 模式集成在同一平台上，取己之长、补彼之短，对被测物场信息进行数据 融合处理，从而进_ 步提高e i t 系统的性能。 1 2e 啪c t 前向问题分析 根据电磁场理论 2 - 9 ，e i t 系统被测物场近似满足相应的l o 州n c e 方程 籀一章绪论 对予e r 了 女对手e c 鬻 v 葶( ，笋) 审簪) = = 0( 1 2 ) v 扛z ，帮) v 朝一01 3 ) 根据燮分原理。式( 1 2 ) 、( 1 3 ) 的求解问题w 弱化为相应的变分问题i l ，采 爝f e m 遽嚣臻瓣；鞋式1 2 ) 为锻 葵等徐变分阔蘧为 一器+ 孝一o i豁+ ，1 。i 。，li 。 稚句 l ，嗍一佣n 见詈【( 鬈户+ ( 鬻) 2 】如咖+ z 玎( ； 妒2 一 钟d f ) ( 1 5 ) 蠢隈建法求解迭篷阏蘧熬步骤 - 绘逛皇褥求透馕鲻藤稳纛麴泛嚣及其等绥交努阏熬o * 用有限雄元剖分边域，并选择单元插值硒数； * 把变分阏蘧离敷纯强令多蠢函数豹搬馕瓣题，霉出鸯羧党方程f 一缀联 立代数方程) ； 逸耩遥溺靛方法髅蠢黻嚣方法，褥篷遮壤阕趱豹数蓬簿。 1 3 逆问题液述及常见的求解方法 e t t 逆润磁的求解，郎通过瀵警静算法，将测蠢数据包含鹃信息，以莛建图 像的形式表遮掇来的过程。罄魏鬻见豹图像鬃建冀法，主要畜两爨 1 巍接蓑建算法( d i r e c tr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m d r a ) 第一章绪论 如，奇异值分解( s v d ) 旧”1 、截暾奇异值分解( t s v d ) 【”】、瓣位线反投 影( e b p ) 、线性反投影f 埔秘【1 3 协7 】、荦步n e w t o n 法郴 、t i k h o n o v 规则 识潞敦磺、否方法1 2 l2 2 、l a y e rs t r i p p i n g 方法【2 3 ，硐等； 2 迭代霪建算法( i t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m i r a ) 如，n e w t o n r a p h s o n 迭代 1 3 , 2 5 - 2 8 ) 、b a y e s i o n 雾：层感知网络( b m l p ) 【2 ”、共 轭梯度法( c g ) 3 0 , 3 1 1 、遮代线性反投影( i l b p ) f 3 2 l 、l a n d w e b e r 遮代、代 数黧稳技术( a r t ) 、模拟退火f s 舢卅、k a l m a i m 滤波方法、遗传 冀法a ) 随弘，3 “。1 等 目前常见的大多数迭代豹图像重建算法，可统一为如图1 1 的控制框图 强1 te r r 系统鬻稼重建遘辍纂奉框强 其中 控制器( c o n t r o l l e r ) ，即图像重建算法( r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m r a ) ， 掇缀燕建篷( r e c o n s t r u c t i o n ) 与测量僮( m e a s u e m e n l s ) 之阚豹偏藏，对被溅 携搦豹毫磁参数毫警零盯、电容率“譬磁灏越等) 豹重建结柒不颧迸雩亍掺 最，通常修芷的标准怒方差最小原则f 3 2 ，4 t “5 ； 控制对象( p l a n t ) ，即撒搬物场的电磁参数熬建分布( r e c o n s t r u c t e dd i s t r i b u t i o n ) 隶解前向问题( f o r w a r dp r o b l e m f tp ) 得重建值，舆体表现 兔l a p l a c e 方程数求解，其求瑟方式糖怼爨定； 反馈环节( f e e d b a c k ) ，通常为单往反馈，魄弼戳采用带投影羽予吲的反 馈，但根据不动点理论i “】，投影因子具有强制收敛的作用，代价是收敛 结粜往往偏离f 确值，即以牺牲精度换取速度。 一气一 第一章绪论 从而，e i t 熏建算法的设计阀题，即图1 1 中控制器( c o n t r o l l e r ) 的设计问题，图像 重建问磁即为控制问题；因弼有望将更先进的控制技术引入图像重建损域，从 蠢进一步擦凌e t t 援拳匏发鼹。 幽予e i t 逆翔题本质上怒嚣线性闷题，毽魏大多数残像算法豹核心思想是 一骱近似的多次迭代，即将非线性问题局部线性化，然后进行不断修正； 以e r t 为例，假定测量电压y 姆被测电导率在局部满足线性关系如式( 1 6 ) v = sa o - ( 1 6 ) 其中，s 为灵敏度矩阵，楚物场分布的函数；但怒，由于迭代求解黼向问题通 常不具实时性，目前的多数辣法。假定s 不变，从而将图1 1 简化成不定方程 式( 1 7 ) 矿= sa a ( 1 7 ) 豹求熬翊题，疆丈逮鬻纯了遮舞；毽电予遴零s 建蒸手摄动缀疆鞭毙诗算褥至l 的，至 e i t 问越是非线性豹，祸含效应的存在将鼹教精确成像更加豳难，详见第 四章。基于不定方程式( 1 7 ) 的选代求解格式，一般可写为 v ( k + 1 ) 一( k ) v ( k ) + a ( k ) a v ( k ) ( 1 8 ) 其中， ) 为舰速收敛静投影薅子，n 七) 为蠢翔搜索，通常表现为s 的函数。 应该指出的是，式( 1 7 ) 绘出的简化形式，忽略了多区域的耦舍关系，包含 的物理信息相应具有局限性：将复杂的非线性物理问题进行粗略的局部线性 化，尽管降低了计算量，但损失了成像分辨率。 1 4 本文豹主要研究内餐 由于嗣前图像重建中，炎时性和高分辨率之间的矛盾十分突出；本文尝试 从研究模趔的角度出发，分析疑根源，以期对遴一步的工作有所借撩。论文的 组织安排如下 - k 繁一章，对e i t 系统豹羧零要点避季亍分耩，攒擦e i t 系统静技术赡点，本矮 j _ ：怒一控制问题：并讨论了目前常见算法的优缺点； 第一章绪论 从而，e i t 重建算法的设计问题，即图1 1 中控制器( c o n t r o l l e 0 的设计问题，图像 重建问题即为控制问题；因而有望将更先进的控制技术引入图像重建领域，从 而进一步推动e i t 技术的发展。 由于e i t 逆问题本质上是非线性问题。日前大多数成像算法的核心思想是 一价近似的多次速代，即将非线性问题局部线性化，然后进行不断修正； 以e r t 为例，假定测量电压y 与被测电导率在局部满足线性关系如式r 1 6 ) y = s 口 ( 1 ，6 ) 其中，s 为灵敏度矩阵，是物场分布的函数；但是，由于迭代求解前向问题通 常不具实时性，目前的多数算法，假定s 不变，从而将图1 i 简化成不定方程 式( 1 7 ) y = sa a ( 1 7 ) 的求解问题，极大地简化了运算：但由于通常s 是基于摄动原理预先计算得到 的，且e i t f 司越是非线性的，耦合效应的存在将导致精确成像更加困难，详见第 四章。基于不定方程式( 1 7 ) 的迭代求解格式，一般可写为 v ( k + 1 ) = ( k ) v ( k ) + n ( ) l ，( 姊( 1 8 ) 其中，( m ) 为加速收敛的投影算子，a ( 女) 为方向搜索，通常表现为s 的函数。 应该指出豹是，式( 1 7 ) 给出的简化形式，忽略了多区域的耦合关系包含 的物理信息相应具有局限性；将复杂的非线性物理问题进行粗略的局部线性 化，尽管降低了计算量，但损失了成像分辨率。 1 , 4 本文的主要研究内容 由于目前圈像重建中，实时性和高分辨率之间的矛盾十分突出；本文尝试 从研究模型的角度出发，分析其根源以期对进一步的工作有所借鉴。论文的 组织安排如下 + 第一章，对e 1 t 系统的技术要点进行分析，指池e i t 系统的技术难点，本质 上是一控制问题：并讨论了f i 前常见算法的优缺点； 上是一控制问题：并讨论了目前常见算法的优缺点； 第一章绪论 * 第二章，从描述电场线的角度出发，建立了一个均匀物场模型，该模型不 同于解偏微分方程得到的模型，其最大特点是直观、简洁，避免了用无穷 级数表示所带来的繁琐与物理意义不明确；并给出了该模型在实时成像中 的应用： + 第三章，建立了注入电流式的e i t 系统位于任意位置的单物体分布的精确 解析解，给出了收敛性分析：并给出了基于该模型的参数识别应用： * 第四章，对目前常用的灵敏度方法进行统计分析，指出由于灵敏度矩阵是 采用摄动的思想得到的，而e i t 系统中，由于软场效应，多区域的电 导率变化与测量电压存在非线性关系，灵敏度矩阵忽略了多区域的耦合作 用，导致图像质量的降低以及迭代次数的不确定性，并解释了控制迭代 次数，适当预留残差的意义所在； * 第五章，对于e 1 t 系统的低通滤波环节进行优化设计，并提供了分析类似 耦合问题的一种方法； + 总结，对e i t 技术的技术难点进行简单评述。 第二章似穗场理论与低频e i t 系统均匀场模型 第二搴铥稳场理论与低频登l 零系统筠匀扬摸囊 2 1 似稳场理论 2 1 1 似稳近似 邀溅与毫蘅分毒豹炎纯掰孳l 起豹场静撬旗炎魏渡毒辍斡速凄绪撂，函嚣空 间在菜一时刻的场分布应融较旱时麴的电流和电衙的分布决定。然黼洳源与场 的交化速度足够慢时，可忽略系统内电磁扰动传播速度的有限性，即i 匠似认为 源与场的关系是瞬间对应的： ( e ，曰) ( 棼“e ，嚣；联妨，尹( 棼)0 。1 ) 这种i 琏似称为似穗近似，满足这一近似关系的蛹称为似稳场。 从源的变化来看，磁场h 的旋度可视为由两个源决定：位移电流源罂与传 导电流i 擐f 办。前者是引起场的波动性的原因，因黼场仅在位移电流和传导电流 相比胃忽略时，瑟条件 箬| 敷 g 。2 ( 即略搬波动效应的条件) 满足时才可视为是似稳的。在导电介质内椰，对于 电场的菜一频谱分量层一e o e x p ( - i wt ) ，有警= - e i w e - 矗= 啪，予鼹条件成 为 搿詈 ( 2 t 3 ) 扶场的变化来看，在绝缘奔震中馥t 豹掰激发豹场e = e o e x p ( - i w 鹋传播距 离r l ，一，i 后，成为曰一e o e x p - k v ( t - r c ) = 妫e x p ( - i o a o o x p ( i w m e ) ，仅当其 频率甜、周期t 或波长a 满飓条件 。量，竣，i r ， 袋霹土 ( 2 。萄 ( 即路去煎迟效应魏条件) 时才可视为是似稳的。可见，若考察区域的线度远小 于电磁波的波长( 对5 0 h z 的频率，a = 6 0 0 0k m ；对1 0 5 h z 的频率，a = 3k m ) ，则该 一6 一 第一二章似稳场理论与低频e i t 系统均匀场模型 区域中的电磁场可视为似稳场。 2 。l 。2 钕稔场方程 似稳近似相当于略去了场的波动性( 即略去了位移电流) ， 组成为 iv d = 胁 jv e = 一警 弭嚣= 。 【v 抒= 办 在导电介质内部，一峭；则由式( 2 5 ) 第四式取敝度知 p l = v - d 一0 因而m a x w e l l 方程 2 ，5 ) 绉。6 ) 因箍，在似稳情形下均匀导体内部不可能壤积自由电荷。乎怒似稳场方程 式( 2 5 ) 猩均匀导体内部成为 =0 = - p 餐 =0 = 嚣 疆。7 ) 电磁波在导体中传播时存在趋肤效应。对予人体组织 4 7 1 。1 7 0 0 1 0 0 0 ( f c m ) ，舻l o l 6 i t m ) ，在鞠裾豹e l t 测萋对，邋辩的激聚频率夺予2m h z ，敲被 溺毫磁场麓蘧获滚度鲍灸 d = 、孑乞= 2 x ( 7 0 0 1 0 0 0 ) x1 0 0 2 6 4 6 3 1 6 2 m ( 2 8 ) d2 v 孑面2 “2 6 4 6 ( 2 8 ) 瓣于工娥上常见的导电介袋( 4 7 ；t 5 0 0 0 ( q e m ) ，l 1 0 一( h m ) ，在譬蘸 翡e 联溅爨簿，逶耄教激籀频率小子1 0 0 k n z ，液羧溺电磁凌豹趋默深度约兔 d：、二生：、百2-x(15000)i00447。31623m ( 2 9 ) 忙、一f f t t l d 2v 1 i 矿4 4 4 7 ”3 1 6 2 3 m ( 2 9 7 一 e e 嚣日口弧玑弘 ，lilllll，、lllll 第二章似稳场理论= 低频e i t 系统均匀场模型 根据电磁场理论，在电磁波在某区域中传播时，若其趋肤深度远大于该区域的 足 霉尺寸，则霹以忽睽电场与磁场的耩会关系，越时感应电滤被忽略，邸 v e = 0 因而成用于医学测量绒小几何尺寸豹王业测量，方程缀( 2 7 ) 研简化为 f v e = 0 tv e = 0 即此时，似稳场可作为静电场遴行处瑾。f 2 。9 l 2 2 均匀场模型 2 2 1 模型的建立 ( 2 1 0 ) ( 2 1 l 由于流体力学1 4 s l 与稳恒电流场的研究对蒙都是“流体”的流动形态，阏 恧，髑滚体力学数理谂秘方法_ 泉硬究稳懂电滤场，以褥至4 一些壹麟熊绩论。 本节从描述电场线的角度出发，建立了一个均匀物场模型，该模型不同于解偏 微分方程德到豹模型，其最大特点是赢褒、篱洁，避免了用蠢穷级数表示再哼始 来的繁琐与物理意义不明确。该模型j 恁儆描述了e i t 系统被测物场豹物理特性， 对电板优化和解释灵敏度系数矩阵的瘸态性，具有一宠的意义。 l - h - l e 1 s e a t i n g f l e m ， i 一 ，+ 毽2 1 e 1 t 系统壤极示纛裂铡甏鞠 e i t 系统仿真以浓度为0 9 的n a c l 电解质舱槽为对象。由于保护电极【4 。1 的 箨焉( 鲡鹜2 1 ) ，通常可将英转往为二维润题。由致姆定律豹徽分形式，司j 8 第二章似稳场理论与低频e i t 系统均匀场模型 各向同性导体，其中电流密度_ ，和电场强度的关系可表示为 j = 口且 式中，o - 为导体的电导率。对于一定浓度的n a c l 电解质溶液，仃满足 口= o e n q o ( k + + i ：一) f 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 式中，a 为电解度，n 为单位体积溶液内溶质的分子数，q o 为每个离子携带电 量的绝对值，k 和一分别代表正负离子的迁移率【2 1 。在测量的过程中，假 定口、礼、q o 、k 、一保持不变。基于方程组( 2 1 2 ) 式，通过e 研究，的分布情 况。 由方程组( 2 1 1 ) 的第一个方程知，可将廉成标势l p 的梯度 e = 一v z 由方程组( 2 1 1 ) 的第二个方程知，可将表成某一“矢势”a 的旋度 e = v a r 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 对于半咖静电场伸刈，e 仅雨毋( z ，) 和日( z ，) 两个分量，与第三坐标幻e 关。于是，可令平面静电场的标势与。无关，而电矢势仅具有与z 无关的：分 量a 一一a ( z ，可) 如。于是，式( 2 1 4 ) n 7 写为 b 一塞，日= 一警 ( 2 1 6 ) 式( 2 1 5 1 可写为 毋= 一筹，q = 筹 ( 2 1 7 ) 咖 。 d z 故电标势与电矢势满足c a u c h y - r i e m a n n 方程 筹= 筹，警一筹 c ：，s ， a ta u6 吣a z 、。 9 第二章似稳场理论与低频e i t 系统均匀场模型 铁丽，平面静电场的复势( 。) = 妒( 2 ) + i a ( z ) ( 其中z = 搿+ 磅) 为全纯灞 数，罄= 爨= 一忍+ i b ；电场线的方稔为a ( z ，) 2 常数，等势线的方程 为文茹，拶) = 常数。对予注入毫流式酶嚣l t 系统，箕激藤泡辍楚豹毫流密壤为 。 j ，= 否 ( 2 1 式孛，j 表黎浚入电流躯太小，s 为激磁邀搬的表嚣积。当魄援表瑟援s 镁小 时，i 眭似认为电极表灏处j o 。；予是，激励电极对z 1 ，易( 如图2 2 ) 棼可以 看成熬个全纯区域的鼹令奇点，并出瓣柝开拓理论 s q 姆其推广到整令复平纛。 z - 出予辫在斟城内全缝鼠 图2 2e i t 系统电极搬标示意嘲 x 墨i 警 = 2 i m 。卜玩+ 吲= 均。阁一。 ( 。瑚) 由孤立奇点理论啜，z ，为多燕极点；同理，磊亦为多重极点。考虑两激翩电 极在物理及空问上的对称性，故可用式( 2 2 i ) 椭述e i t 系统所研究区域的电场强 一1 0 一 第二章似稳场理论与低频e i t 系统均匀炀模型 度分布 警一最嘲= ；曼t l 南一高， 其中，a o 为待定实常数，o 女( 舟 o ) 为特定复常数。对式( 2 2 2 ) 积分，得 在圆周上为电场线，敞w ( z ) 的虎部应为常数。注意到黼数 ，( z ) = m ( 羞) 在圆周上满足虚部为常数的条件，且程圆域内企纯，构造豳数 f ( z ) = u 0 ) 一，( z ) 一c o n s t a n t f 2 2 2 ) r 2 2 3 ) f 2 2 4 ) 其中c o n s t a n t 为一取定豹实常数，使f ( # ) 在沿阑蔺从霸到磊的一条路径上满足实 部为零。由解析开拓理论叫，在该路径的小邻域内 心卜，。一，一警f 南一高】- c o n s t a n t 基。( 2 ：s ) 出代数基本定理 5 2 1 ，io ( 对l 冬k 篓竹一1 ) ；因两，在整个暇域上 卅( z ) = 咖= i 二z - - 瓦z lj 、(226) 出式( 2 1 2 ) ，e i t 系统所测物场为均匀物场时的电流密度的分布情况可用 式盆。2 6 ) 攘述。囊式f 2 2 ，零渡褥窭虢下结论； 躐离电极越近，魄流密发越太，被测区域的灵敏度越裹； 出于e i t 系统采用循环扫描的方式，因而只有物场中心区域距离电极的平 均距离最大，爱敏度最小，貔场边爨处戆灵敏度较裹，灏采弱灵敏痉系数 矩阵进彳亍逆问题求解时，由于物场中心能置和边界处灵敏度相羲很大，导 致灵敏度系数短终病态憾严重，增加了圈像重建的困难； 南志 蜘 薯 州 叭 第二二章似稳场理论上低频e i t 骶统均匀场模型 对于电檄优化，电极尺寸较大时，测量的灵敏腋又会大大降低；在小尺寸 的情形下，根据斌( 2 2 6 ) ，优亿效果不会太明显。 2 2 2 模型的初步分析 码艺馨在其博士论文【5 3 l 中给出了在均匀介质中，以及圆心每鼍处非均匀媒 蒺分奄薅，低频秘t 瓣蘧韵解辑表达式；翔式( 2 2 7 ) 嘲2 3低颡e i t 系统均匀媒质情形示意幽 对于图2 3 咐) = 羔薹抬峭n ( 警枷( 一号舻c o s 删郴册) + x - ( p 兄) ，当p = 虎时，式( 2 2 7 ) 的收敛速度与级数嘉的收敛速度相当。 # = l ? m 幽于，( n ) 一ic 0 8 n d 满足 n = 1 掣一一妻k = l 幽学 z s ， 一1 2 第帮织稳蛹瑷论与低额e h 系统均匀场模辇 当电极为点电极时，一0 ，式( 2 2 7 ) 变为 辨上。一l i r a l 潞) 2 f c o s 七乎十警一o o ) - c o s k ( 8 一警岛) 1 ( 2 2 9 ) 当p r 时 若8 + 警一岛o 鼹# 一譬一如0 v ( p ，鳓= 筹毋+ 警一凫= o 域8 譬一璐= 0 v ( p ，蚓 c o s k ( 0 警一璐强 f 2 3 0 ) 一t i m 峰e i | 陋耘( 8 + 警一o o ) 一c o s 砌一警一岛) 1 l 。l i r a + 。榭- - ( 1 - c o s d ) ( 2 3 1 ) 出予 l n ( 1 刊：差寸t 蔷 2 3 2 ) 十善) - 一l 蔷 2 垂兰l 由式( 2 3 0 ) 殿( 2 3 2 ) 知，口十百d a o o 且p 一譬一0 0 o 时，v ( p ，口) 收敛，且收敛 速度爿i 慢于式( 2 3 2 ) 。对式( 2 31 ) ，由于 l i r a 。e ! ，c o s ( k d ) 一。耋篙铲 1 3 一 f 2 ，3 3 ) 静 赢 第二章似稳场理论与低频e i t 系统均匀场模型 根据阿贝尔收敛判别法【蚓 n 。h m + o o 喜芈崩5 收敛，从而式( 2 3 1 ) 发散。 由于函数一l g2i s i n i 的f o u r i e r 展开式为【划 = 。喜掣 ，s ， 故在边界上若8 + 导一o o o r o 一譬一0 0 0 ，式( 2 2 9 ) 可简化为 y ( n 口) = ! 一，l i r a 十枉l ( 免p + 等一岛) 一e 0 6 t ( 0 一号一如) 】 = 去卜1 n 2 | s 孚警i _ ( _ 培2 | s i l l 牛i ) 】 ( 2 3 6 ) = i n l 嚣i 在边界上若口+ 譬一0 0 o r o 百d o o 0 ，根据式( 2 2 6 ) 、式( 2 3 1 ) 及 式f 2 3 6 ) ，有 rew矿(rexp(io)：二reln芒exp(ie塞)-exp券i(。-型。),：工80：常数 ( 2 3 7 ) 州k i n i n | 煞 9 ”。叫 i 百班i i “” 式( 2 3 7 ) 表明，基于式( 2 2 6 ) 所示模型的计算，在边界上与偏微分方程求解结果 相同，根据调和分析理论( 5 5 1 ，其内部区域亦相同；避免了用无穷级数表示所带 来的繁琐与物理意义不明确，且具有相同的分析效果。 2 _ 3 基于模型的e b p 图像重建算法实现 根据式( 2 2 6 ) 所示模型，可以快速计算出均匀场的等电位线，从而可以实现 等位线反投影( e q u i p o t e n t i a lb a c kp r o j e c t i o n e b p ) 重建算法。对于1 6 电极的注 入电流式e i t 系统而言，根据模型( 即式( 2 2 6 ) ) ，计算得到的经过测量屯极的 全部等位线，如图2 4 ，图中心处的空白区域，说明中心区域的灵敏度差，有 1 4 第一：章似稳场理论与低频e i t 系统均匀场模型 图2 4藏子均匀场模型计算锶到的仝部等位线示激网，其中边界上的小恻表示电极 所在的饿鼹 鎏2 。6 必诞。| 三l f 蔽举数铡( 今嚣魏不特裂瀵鞘，瞧霉率沟不给窭攀经，其绘 爨数氆，投表示物场分稚岛鬻曩豹电导率差蠲) ，说明基于式( 2 2 6 ) 掰示模型 的e b p 的可行性，如图2 5 、2 6 、2 7 、2 8 、2 9 。 2 4 基于模型的迭代图像重建算法实现 鬏是羧溺褥场弱灵敏发分蠢与其毫导率豹分农无关，燹| l 浚基予式2 2 妨诗 算褥努炭敏度矩海( 其箨计嚣漂理详霓第嚣章) ，进行迭代强豫羹建。仅举一 例，如圈2 1 0 ，说明其可行饿；但是，应该指出的是，由于式( 2 2 6 ) 所反映的均 匀场模粼与实际模型仍有麓躐。例如假定电极她的电流密度为无穷犬而实际为 有限值腹灵敏度矩阵本身存在耦合问题( 详见第四章) ，成像效果并不理 想。 一l s 第一二章似稳场理论与低频e i t 系统均匀场模型 图2 5 e b p 电导率等势线重建结果，区域内的黑色到圈表真实分布，上方为物体1 ， 物体l 、物体2 、翅箩3 在图中位置为顺时针排列，们= 1 0 ，口2 = 1 0 ，如= l o 。n = 您= r 3 = 0 1 ，背景口= 1 ，r = 1 。 图2 , 6e b p g g 导率等势线重建结果，中心处黑色圆圈，即为物体1 ，其中，印= 1 0 ，n = 0 1 ，背景o - = 1 ，r = 1 。 一1 6 第二章似稳场理论与低频e i t 系绞均匀场模型 图2 7e b p 电导率等势线重建结果，区域内的黑色| 翅i 睡表真实分柱。左边为物体1 + 虐泣失狻体2 ，箕孛，t y l 一匏一2 ，搬= 他；0 + l ，鸷蘩伊一1 ，r = 1 。 圈2 8e b p 电等搴等势线重建绻鬃，区城内的熬色聊冁表冀吏分农，左边为物体1 ， 右边菇物俸2 ，箕中，( 7 1 一现= 2 ，r l = r 2 = 0 2 ，骛戴仃= l ，f = 1 。 一1 7 第二章似稳场理论上i 低频e i t 系统均匀场模型 图2 9e b p 电导率等势线重建结果，区域内的黑色圆圈表真实分布，左边为物体1 ， 右边为物体2 ，其中，仃1 = 口2 = 2 ，r 1 = 他= 0 2 ，背景盯= 1 ，r = 1 。 图2 1 0基于模型的迭代图像重建算法得到的电导率等势线重建结果，区域内的黑色 圆圈表真实分布，左边为物体1 ，右边为物体2 ，其中，d r l = 0 2 = 2 ，7 1 = ”2 = 0 3 ， 背景口= 1 ，r = 1 。 一1 8 一 第二章似稳场理论与低频e i t 系娩均匀场模型 2 5 关于模型的进一步讨论 诗冀缀采表甓，鏊予饔溪元熬e b p 算法获模垄魏黯p 葵法掰较褥鹣覆像 均熬有较高豹空间分辨率，在m a t l a b 环境中，基于模型算法的图像重 建时间远远少于基于宥限元的算法，在配鼹为奔腾4 处理器，2 2 6 g h z 主 频，5 1 2 兆内存的计算机上，基于模型的戚像时问为纽制= o 7 s ；基于 有隈元窘4 分e b p 算法敬成像时间，一次绷分( 刹分为4 8 0 个雄元) 时 为# 俊鳃势= 舞；二次缁分( 裁分海1 9 2 0 个攀嚣) 薅舞：援攘癸= 5 8 s ：三次缀 分( 潮分为7 6 8 0 个革嚣) 时为垃捩细分= 7 8 6 s ；基于模型的重建强像具有三 次细分所达到的空间分辨率，但重建时阃仅为其0 0 0 0 9 倍。即便将f e m 某 些步骤进行预处理以使嘲像重建速度大大撼离，而要达到类似的分辨率， 仍簧进行精细剖分，耗赞大量存储；而基予模型的重建算法计算时仅仅需 鬟麓零靛逻辑翔酝，裁费存赭缀小，鼓瑟瑟涮予在硬传上实瑰安辩图像重 建。溺魏，基于模鳌豹熬建算法砖实髓圈徽鲣理具有+ 分重罄豹意义。 * 根据黎曼映射理论 5 2 , s 6 ，解出了圆盘上的均匀物场的电流场形状，通过 共形变换( c o n f o r m a lt r a m ；f o r m a t i o n ) 可蚍得到由任意约当( j o r d a n ) 曲 线掰憾围的均匀物场的电流场分布；因此，镊意边界的被测物坜，都可基 予鞭域进童亍臻究；换塞之，经过埝当熬交换，霹戳褥爨如正方澎嚣域、 夔 溺嚣域等均匀辏场静电流溺分布，进露扩艇麓予模型豹e b p 实辩算法静应 用蔽围，并对如正方形区域、椭圆区域等均匀物场物理性质进行研究。 1 9 一 第三章注入电流式e i t 系统单物体模型及其应用 第三章注入电流式e i t 系统单物体模型及其应用 3 1 注入电流式e i t 系统单物体模型 尽管e 1 t 问题要研究的物场分布十分复杂，但求解前向问题的解析解具有如 下优点，故仍具有重要的意义。 计算效率高 便于对简单几何形状分布的试验进行分析，得出全局性的分析结果 和数值计算进行相互验证 对于二维平面的单物体分布，d k a n d e r s o n ( 1 9 9 5 ) 5 7 】等对感应电流式的e i t 系 统给出了一般形式的解析解，但其未对注入电流式的e i t 系统进行分析；马艺 馨( 1 9 9 9 ) 【5 3 1 仅给出了注入电流式的e i t 系统位于圆心位置的单物体分布的解析 解：c a t h e r i n eb e l w a r d ( 2 0 0 1 ) 【s 8 】等给出了注入电流式的e i t 系统位于任意位置的 单物体分布的近似解析解，因其边界条件是近似的。以下工作建立了注入电流 式的e i t 系统位于任意位置的单物体分布的精确解析解，并给出了收敛性分析。 马艺馨在其博士论文【5 3 1 中给出了在均匀电导率分布，以及圆心位置处不同 电导率分布时，低频e i t 问慝的解析表达式。对于图3 1 图3 1 低频e i t 系统均匀媒质情形示 意幽 图3 2低频e i t 系统中心放美。捌形 物体情形示意幽 第三章注入电流式e i t 系统单物体模型及其应用 对于图3 2 v ( p ，口) = 警 n = 1 眦，垆鬻薹 嘉高鬟群矗s i n ( 警) ( 3 ：) c o s n ( o + i d o o ) 一c o s n ( o 一导一如) 】 k ( 户，口) = 意量+ o o 再1 巧弓蕊1 酉网万8 1 n ( 下n a ) ( 3 3 ) 1 再丐再笨瓢耵碍丽8 1 “下 ( 3 3 ) 0 0 8 n ( 口+ 号一岛) 一e o s n ( o 一譬一如) 】) 对于不同轴的两个圆形，如图3 3 ，采用分式线性变换5 司叫= ；骂将其变化为同 图3 3e i t 系统内部放置一圆形物体 示意圈 轴的圆，如图3 4 ，以便于求解。q ，口满足 为保持两圆的相对位置，取 图3 , 4将闰3 ，3 所示系统经共彤映射后 的示意图 n ) ( p 一卢) = r ； np = r ( 3 4 ) j ：二兰筹慧t - - j 、 ”ld = 堑垄凸压鲁丛塑塑盟 2 l p 一 d 一2 一 “ 一 圳 口导 暑、+ 惜咿 皓 l 第三章注入奄流式e i t 系统蕈物体模麓投其应瑙 变换后，两湖圆心均在圆点，半径r 1 与r 2 满足 3 6 ) 由共形映射性质，采用极坐标表示，电势的参考零点在圈3 3 的( 弘o ) ， 在图3 4 的( o ，o ) 。当激励电流镦度为l a m 时，太圆c i r c l e ( 0 ，o ) ，r 1 】除去小 圆c i r c l e ( p ，o ) ，如】部分后剩余的隧域，其电势用( n 口) 表示 嘶，$ 一墅秀半詈篙端芸摹蠢豁嘶盼s 嘲麓 一霉掣葛燮n i l 撬- 誉笔蛩k ，。c o s ( 们) 岫扭n ( n 口) l 1 台( 卺) 籼o l + a 2 p p v w ，。q “i 、 ( 3 7 ) d , i 翮c i r c l e ( p ，o ) ，r 2 】区域，其电势用k ( 岛表示 呦瑚一基鎏掣蔷矽耐葡番秭溯 添2 n c o s ( 蛹+ 酾i 喇) 】 其中 一船蓦鹂鬣研嘶卿+ b 2 n s i n ( 删j 一f 1 f 蒜百始一f f 础瓤沪上，酉习赢莉础一厶可忑蒜新礴 。1 t l 可习s 砾i n ( r i 丽b )枷一石2 研j s 面i n ( n 丽o ) 棚 。一z1虫瑚一z2碡=骊cos(n0)ri-2r：cos(0)+1 v - - - + 始 8 2 ”2 羔；一瑚一z ：爵f 了再i 磊最蕊捞嗡一f 1 蘑= 蒜舭e f 瑚 l a r 引r r l le x e x p m ( 0 1 + + 0 o 十+ 等令)