（基础数学专业论文）neumann边值条件下的二维逆sturmliouville特征值问题.pdf

复旦大学顼圭学位论文 摘饕 本文主要讨沦t - - - 维s t u r m l i o u v i l l e 方程在n e u l n g n i l 边值条件下势函数的重构 问题设 ( z ) 是2 2 的实对称矩阵值函数，利用紧算子的谱理论及留数知识可得 到s 沁：n l i o u v i l l e 算子厶= 一黪+ q z ) 的潜在不嗣条 譬下赞性质，邋过这些性质 的讨论得出：在一定的条l 丰下可以唯一的确定势函数q 江) 关键词：二终s t u h n l i o u v i t l e 超题；n e l l l s l & z t h 边 壹条俸；势函数；逆闭题 复里大学颈圭学位论灾 a b s t r a c t t t 搞d i s c u s s e dt h a 主t h e ! e c o n s t u c t i o no fa 细od i m e n s i o n 蘸v e e t o r i a ls t u r m l i o u v i l l e e q u a t i o ns u b j e c tt on e n m a n nb o u d a r yc o n d i t i o n s l e t0 ( g ) b ea2 2r e a ls y m m e t r i c n 1 强 ，r i xv a l u e dt h n c t i o n ，b yi n v e r s t i g a t i n gs o m ep r o t m r t i e so ft h es p e c t r a 毵瞪w od i m e n + s i o n a lv e c t o r i a ls t u r m - l i o u v i l l eo p e r a t o r 一乐十q ( 。) r e l a t e dt od i r e r e n tc o n d i t i o n s ，t h e r e p r o v et h a tf i v es p e c t r ad e t e r m i n et h ep o t e n t i a lf l m c t i o no ft b et w od i m e n s i o n mv e c t o r i m s t u r m l i o u v i l l eo p e r a t o rw i t ht h en e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o nu n i q u e l y k e y w o r d s ：t w o d i m e n s i o n a lv e c t o r i a ls t n r m - l i o u v i t l ep r o m l e m ；n e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n s ；p o t e n t i a lf u n c t i o n li n v e r s ep r o m t e m 第一章前言 1 1一维逆s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题 s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题是个非常经典的闻题，早在1 8 3 6 1 8 7 7 年间由s t l i t m 和l i o u v i l l e 等科学家提出，由于其在力学，量子力学等领域的广泛应用而得到迅速 发展逆s t u r m - l i o u v i l l e 特征值问题的研究是近几十年，才开始发展起来的， 向鼷s t u r m l i m l v i l l e 问题，是指 其中。 0 ，1 ，g ( z ) 是n 维的列向擞值函数，矗是n 阶单位阵，q ( x ) 是n ”的 实对髂艇阵焦函数，称为势函数，算子豢+ q ( 。) 称为s t u r l l 2 一l i o l l v i l l e 特征值篓 子 n = l 时，即一维特征值问题；n 2 时，称为高维特征值问题 考虑具有d i r i c h l e t 边界条件的一维s t u r m - l i o u v i l l e 跨征值问题( 标准形式) 一 其中g l 2 ( o ，1 ) 其正闷题是求特征值 和特征函数9 ( m ) ( 参见【l i ) ；而逆问题 是指已知s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征值的集合 ) 来确定函数( 。) 容易知道， 若a 是( 11 ) 一个特征篷，是穗应的特征函数，取z ( 。) = y ( 1 一z ) ，确。( 。) 是 g “( 。) 十( a i ( ) v ( g ) = 0 ，z 0 ，1 ，y ( 0 ) = 0 ，( 1 ) = 0 的解，其中0 ( z ) ：q ( 1 z ) 这说暖只有一缀d i r i c h l e t 梅莲僮不缝唯一决定g ( 。) 一维逆s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题的求解，直到1 9 4 6 年由b o r g 证明了需已知两 列特征傻才能唯一确定其势函数g ( z ) ，开创了理论磷究的先河。在二卡世纪五十年 代，由前苏联的数学家l e v i n s o n ，m a r c h e n k o 和t i k h o n o v 等提出了一系列解逆s t m m l i o u v i l l e 特征值问题的方法，将逆s t u r m - l i o u v i l l e 特征值问题化为一个等价的二阶 双盐型偏微分方程的g o u r s a t 问题，使逆问题的求解在理论上前进了一大步到了 九十年代初，r u n d e l l 和s a c k s 发展了逆s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题的数值求勰方 法( 参觅f 1 ，2 ，3 ，4 j ) ，使一维闺透豹求解褥到了进一步的发展 在具有d i r i c h l e t 边界条件的一维逆s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题的求解中，考虑 初佳问题 ? ( z ) 十d g ( 。) ) 。一0 ，z o ，l 】，9 ：( o ) = i ，：( o ) = o ；( 12 ) 复旦大学硕士学位论文 ? ( z ) + ( a g ( z ) ) 。( z ) = 0 ，z 0 ，l l ，。( 0 ) = 0 ，：( 0 ) = 1 ，( 13 ) 是非常重要的思路 ( 12 ) ，3 ) 的解可用下列v o l t e n a 积分方程表示( 参见| l j ) ： ：( z ；a ) ：c o s ( 佤) + ，。堕掣口( t 川t ) d t ， 姒哪) = 掣+ z 。- t ) 抓溉出 ，是( 1 ) 的一个特征值当且仅当 + 是，( ) = 。( 1 ；a ) = 0 的一个零点( 参见若 q ( z ) l 2 ( o ，1 ) 烂实值函数，则( 1 1 ) 的所有特征值都是实的；存在可数多个实的特 征值a j ，j n 及相应的特征函数毋c o ，1 】使得恢怕= l ，特征函数组成l 2 ( o ，1 ) 中的一个完备正交系；特征值a 的几何重数是1 ( 即特征空间是一维的) ，代数重数也 是l ( 1 j p ，( a ) 的零点是一阶的) ( 参见 1 1 ) 再考虑边值问题： ”( 。) + ( 一q ( z ) ) ( 。) = 0 ， o ，1 1 ，( o ) = 0 ，( i ) 十f f ( 1 ) 一0 ，( 4 ) 其中h 且设g 。( z ) 驴( o ，1 ) ，i = 1 ，2 ，a 。幢) 分别是( 1 1 ) 相应于嚷的特征值， “。( q ，) 分别是( 1 4 ) 相应于吼的特征值，若 。( 吼) = a 。( q 。) ，p 。( 吼) = 虬( 吼) ，利用初 f 直f n j n ( 1 2 ) ，( 13 ) 解函数与d i r i c h l e t 边值问题( 1 1 ) 特征值之间的关系得到的性质， 以及借助于转化成的g o u r s a t 问题可以得到口。( z ) = ：吼( z ) ( 参见f 1 1 ) 在高维逆s t o r m l i o u v i l l e 特征值问题中，也有类似的性质，但不完全相同，我 们希鼙加上一些适当的条件后有类似的结论：重构势函数 1 - 2高维逆s t u r m l i o u v i l l e 特征值闽题 壶到上世纪九十年代，对道s t u r m * l i o u v i l l e 特征值问题的研究仅n 限q = - 维， 近几年来人们开始对高维情况下的逆s t u r m - l i o u v i l l e 特征值闻题发生兴趣一维闯 题研究中的较多性凌积结论可以撰广到高维情况，捌如羼样考虑从初僮闯题出发研 究，得到与特征值有关的性质，但在高维情况的研究中也出现了一些溉的问题，比 如一维问题的特征值重数都是1 ，而高维问题中特征值的重数情况更为复杂1 9 9 5 年e d e s p r e s 首先研究了高维s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题下的b a 唱方法以后，我 国的台湾清华大学学者c h a o - l i a n gs h e n 等发表了一系列关于高维逆s t u r m l i o u 、i l l e 特征使问题的文章( 参见 6 ，7 ，8 ，9 ) ，褥出 ：r 不葡条件下商维s t u r m l i , i o u v i l l , e 问题与 特征值福关的性质，并讨论了已帮某些特征值条件能唯决定矩阵值势函数0 堡呈盔堂堡圭堂垡堡塞一一一一3 c h a 0 也i a n gs l e n 对于具有d i r i c h l e t 边值条件的二维方程 7 ( z ) + ( 如一q ( z ) ) ( 。) = 0 ，z 【0 ，1 ( 1 , 5 ) 的势函数重构散了研究，证明了再增加某些边 壹条件的二维方程可以唯一的确定出 势函数q ( 。) 本文进一步榷广了c h l i a x 、gs h e n 的工作，讨论其链条件下二维方程( 1 5 ) 懿 势函数的重构问题，特别是n e u m a n n 边值条件下的二维逆特征值问题的解的唯一 ，性。 1 3 基本知识及记号 设f o ，1 ，q ( z ) 是2 2 实对称矩阵值鬲数，y ) 表示初值问题 y ”( g ) + 【 j 2 一q ( 。) l y ( 。) = 0y ( o ) = 0 ，y ( o ) = j 2 的2 2 矩阵值解幽数；同样z ( z ：a ) 表示初值问题； z ”) + 盼如一0 ( 茁) 】z 扫) 嚣0z ( 0 ) = 如，z7 ( o ) = 0 的2 2 矩阵值解函数， 初谯问题( 1 6 ) ，( 1 7 ) 的解可由下列积分方程( 参见 10 ) 给出： y a = 学z 。墅掣阮囝幽 牙( 叩2 ) ：c 。如十。尝旦删z ( z ；。2 m j 0 o 其中a = s 2 记z + 为z 的伴随矩阵；记为z 的转鼹矩阵； y 7 ( 。； ) ，z z ；码等分鬟表示对求偏导； d ( a ) ，k 7 ( ) 等表示对a 求导； d 。( 为= d e ( 1 ；地 e 。( ) id e t y ”；a ) ； f 。( 砷id e t f z ，( 1 ； ) 十y ，( 1 ；砷b j ； p 0 ；a ) 三z 0 ；a ) z ( 1 ；a ) y ( 1 ；a ) 一d 。( a ) y 扛； ) 对于问题 ( i 6 ) ( 17 ) 1 8 ) ( 1 0 ) 耋旦大学颈士学位论咒 ”i z ) + a 局q ( 。) ) 9 江) = 0v ( 0 ) = 印) = c j ： g ”( z ) + 2 一 ( z ) ) ( z ) = ( 1矿( o ) b y ( o j = 9 ( 1j = 0 其中口是实对称的非奇羿熬最矩阵，有( 参见口1 ) ： + 是n1 的! 降征值的充分必要条件是d 。( + ) = n 。是( 11l j 的特征值的充分必要条件是( 。) = o 、 l1 l ll2 l ，足( 11 2 ) 的特征值的充分必要条件是咒。( + ) = 0 对于维方程( 15 ) ，本文始终假设势函数q ( 一) 是光滑函数特j e 值 的重数， 是指相应于 。的所有特征瞄数倚成的子空间的维数设特征值九的重数是m + ，记 集合“ ，) 为所谈及方程的谱集 记方程1 的谱集为d 。( 0 ) ，方程( 1 】1 ) 的蔷集为口( 0 ) ，方程( 11 2 ) 的谱蒙 为一。( 印) 对予矩阵岛：fq 幻1 ，如果向量 c ， 刀l ，口2 ，岛线性无关 ，= l ，2 ，3 是线j 骺无关的称 第二章二维s t u r n l l i 。u v i l l e 特征值问题特征值的性质 2 + 1 = 维s t u r m l i o u v i l l e 初毽问题矩阵值解函数的矬质 首先，类似于一维情况，我们需要一些初值问题的性质 引理2 1 设y ( 。：氓z ( z ； ) 分鄹是初僵问题( 1 ) ，( 1 7 ) 的矩阵值懈函数 ：s 2 、s c 爨y ( z ；s 2 ) ，z s 2 ) 是变量s 的整函数；且有 。一翌8 竺圳s 砰l e x p ( 1 l q i l o 。m n s 阶 ( 21 ) n z x ；8 2 j - - c 0 8s a g 2 1 1 o x p ( 1 l o l l 。o 。 f m s l 。) ， 其中0 曼$ 曼1 涯甓觅( 参见【8 1 ，l e m m a 23 ) 引理2 2设y ( z ； ) ，z ( 。；a ) 分别是视值闼题( i6 ) ，( i7 ) 的短阵悠解函数， ：s 2 s g 则y ( ；s 2 ) ，z 涵) 是s 的整函数；且有 m ) 一半如一百c o s8 0 3 序趴。( 华) ； 撕。) _ c 。s s x i j + 百s i l ls z 触铷f 竺哗掣) ； 浮。) s z 旧。聃警，和( t ) d t + 0 ( 哗i - i 掣i ) ； 江t ， 弛s 。) 一圳豳蜗+ 半：。钟冲+ 。( e x p ( 1 h z m s l ：c ) ( 25 ) 证明：( 2 2 ) ( 2 3 ) 觅 9 1 ，l e r n m a 2 3 ；下面证明( 2 4 ) ，粪似方法可证明( 2 5 ) - 崮( 2 1 ) 可以得到 y s 2 ) 一s i n 。s x l 2 + 0 ( 掣) ， 由( 1 ，8 ) ，有 r z y ( z ；s 2 ) = e o ss z 如+ c o ss 扛一t ) q ( ) y ( t ；s 2 ) d t j 0 = ：= = c o ss x l 2 + f 。c 。s s(口一t)q(t)(sin。sti。0(exp(1izmslt)8x12 )dto = ：= = c o ss ( 口一t ) q ( t ) ( 。【酉r 一) ) d t j o i o l 如+ 警触牡一新凼s e 一蝴，d t + oc 掣， 其中f 。s i ns ( x - 2 t ) q ( t ) d r = o ( e x p ( 1 r m s i z 气) 所以可得( 2 4 ) 口 5 复旦大学硕士学位、呛文 弓 理2 3设9 ( z ) ，( z ) 是r 2 向量佳函数，当 ga 。( q ) 时，方程： 口”( 。) + f 如q ( 。) 】g ( x ) = ，( 。)9 1 ( o ) = 9 ( 1 ) = 0 ，( 26 ) 有唯一解： 其中g 。； ) 9 ( z ；a ) = g 。( z ，t ；a ) f ( t ) d t ， j 0 志即矿强a ) o z 曼l 熹z ( z ； ) p 7 泡 ) o l a j 诞明：设扩( 。：a ) 表示 的解，其中 ：， 。 l q ( 。) 地0 e z ；a ，= ( ；：叠；譬i ) 且u ( z ；a ) 可逆i 8 、 一垆( 菡荔 对v ( z ) f ，方程( 。) = 且( 。；a ) u ( z ) + ( 。) 的解u ( 。) 可表示为 w ( z ) = 矿( 茁；a ) u ( o ) + u ( 茁；a ) u 一1 ( t la ) h ( t ) d t ， j0 取u c z ，= ( 暑) ，nc z ，一( ，三，) ，和用c z 同的边界条件可得结论 2 2 二维s t u r m - l i o u v i l t e 问题特征值的性质 引理2 4 对v a r ，矩阵( a ) iz + ( 1 ； ) y ，( 1 ； ) 是对张阵；n - k 是 的一个特征值，则k ( a + ) 与z o ( 1 ：a + 1 有楣同的秩 ，、， 塞里盘堂堕堂笪堡塞 证明：由e ，( 。；a ) u 1 ( z ；a ) _ ，4 ，有 z 7 ( 1 ；a ) y ”( 1 ； ) 一l ，7 ( 1 ， ) z 7 ( 1 ； ) 两边左乘z + ( 1 ， ) ，右乘z ”+ ( 1 ；a ) 得 z + ( 1 ：a ) z ( ta ) y 盯( 1 ；a ) z 7 4 ( 1 ； ) = z + ( 1 ；a ) y 7 ( 1 ，a ) z7 7 ( 1 ； ) z 盯+ ( 1 ：a ) 即 d q ( a ) y w l ( 1 ；a ) z 盯+ ( 1 ；a ) = d q ( ) z7 * ( 1 ；a ) y ，( 1 ；a ) 也即 d 。( a ) z ( 1 ；a ) l ，7 ( 1 ；a ) 。= d 。( ) 【z + ( 1 ；a ) y7 ( 1 ；a ) ( 27 ) ( a ) i 弘+ ( 1 ，a ) y7 ( 1 ；州i z 7 + ( 1 ；a ) y ”；蚓 则e ( a ) 是定义在r 上的2 2 连续的矩阵值函数对v a 芒一。( q ) 由( 2 7 ) 知( a ) 是 零矩阵，由( a ) 关于a 的连续性，有v a r ，e ( a ) 是零矩阵，所以z ( 1 ； ) y ，( 1 ；a ) 是对称的 设 + 是( 11 0 ) 的一个特征值，则 d 。( a + ) = z h ( 1 ；a + ) z ( 1 ；a ；) = z ( 1 ；a + ) z 7 4 ( 1 ； + ) = 0 ， 仍由u ( z ；a ) u1 ( z ； ) = 厶，知 y 7 ( 1 ；a ) z 1 ( 1 ；a ) 一z 7 ( 1 ；a ) y 7 ( 1 ；a ) = ， 取a = a + ，两边左乘z7 + ( 1 ；a ；) 得 z + ( 1 ；a * ) ，7 ( 1 ； + ) z 7 ( 1 ； + ) z + ( 1 ；a + ) z ( 1 ；a + ) ，( 1 ；a 。) 二z7 s ( 1 ；a 。) 由d 。( a + ) ，2 = z h ( 1 ；a 。) z ( 1 ； + ) = 0 ，得到 z 。( 1 ；a + ) y 7 ( 1 ；a + ) z 7 ( 1 ，a + ) = z + ( 1 ；a 。) ， 所以z + ( 1 ； + ) y ，( 1 ； + ) 与z + ( 1 ； + ) 秩相同厂 引理2 5 a ；是( 1 - 1 0 ) 的单特征值的充分必要条件是a + 是d q ( ) 的阶零点 证明：充分性 若k 是d 。( a ) 的一阶零点，则有d q ( a + ) ：o ，d ：( a + ) o 若 3 + 不是单的，则 + 是( 1l o ) 的重特征值，即相应于a + 的特征函数的享空间的维数 复旦大学硕士学位论文 是2 ，则有z ； * ) 是零矩阵而z u ；a ) 关于a 的逐列微分的行列式之和是d ：( a ) 则有_ d ：( a + ) = 0 ，矛盾 必要性若a + 是( 11 0 ) 的单特征值，而 + 是d 。( ) 的二阶零点，则有 又由 d ：( a ) 如= z ：( 1 ；a ) z “( 1 ；a ) + z ，( 1 ；a ) z t ( 1 ；札 所以 d ：( a * ) 1 2 = z ( 1 ；a + ) z “( 1 ；a + ) + z ( 1 ； + ) z 。t * ( 1 ；a + ) = 0( 28 ) 构造 r ( 。，a ) 三z ( z ；a ) z 件( 1 ；a ) y ( 1 ； ) ， 记 r * ( z ) = r ( 。； m ) ， 矿( 。) = r 。b ； ) ，k ( z ) = r 。( 卫：a + ) 则可验证风( z ) 满足 r ：( z ) + + 1 20 ( z ) r + ( z ) = oj r ：( o ) = 0 ，咒：( 1 ) = 0 ( 2 ，9 ) 另外有 r ! ( 。； ) + 如一q ( z ) 】r 。( z ；a ) = 一兄( z ；a ) 再由( 28 ) 以及 v 7 ( 1 ) 二a ( z 7 ( 1 ；a ) z 7 + ( 1 ； ) y 7 ( 1 ； ) ) = d q ( i ) y7 ( 1 ； ) + d q ( a ) f ( 1 ； ) 得到 w 7 ( z ) + 盼+ 如一q ( z ) k ( z ) = 一r ；( z ) ，e ( o ) = 0 ，w ( 1 ) = 0 ( 21 0 ) 由( 2 ，9 ) ，( 21 0 ) 得 【r ，( z ) k 0 ) 一r ：( 。) v + i ( z ) 7 = r ：( 。) r + 扛) 两边从。到1 积分，利用( 2 9 ) ，( 2 如) 边界条件得lr ：( z ) 月+ ( z ) 出：o ，即 z + ( 1 ；a + ) ，7 ( 1 ； + ) 7 f 1z 7 扛；九。) z ( 。； + ) 如 z 件( 1 ；a + ) y ，( 1 ：a + ) 】= o ，0 。 复旦大学硕士学位论文 由厂z t ( z ； + ) z ( z ：a + ) 出的正定性得z “( 1 ；a + ) y ”；a + ) ：o ，即z j * ( 1 ；a + ) y ；a + ) 的秩为零，根据引理2 , 4 知z “( j ；a + ) 的秩为零，说明 + 是( 1 1 0 ) 二重特征值，从 而与假设矛盾 口 推论2 6 a + 是( m o ) 的二夔特征值的充分必要条 孚是 + 是d 。( a ) 的二阶零 点口 同理，对于边值问题( i i l ) ，( 1 1 2 ) 用类似于证明引理2 5 ，推论2 6 的方法可以得 到： 引理2 7 e 。( a ) ( 或者，。( a ) ) 的任一零点阶数至多是2 ，( 11 1 ) ( 或者( 11 2 ) ) 的 一个特征值的煎数等于这个特征值作为e 。( a ) ( 或者，。( a ) ) 的零点的阶数 口 引联2 , 8 对v a r ，z ( 1 ；a ) z “( 1 ； ) 是实对称矩阵 证明：由u 一( z ； ) ( z ；a ) = = 4 有 z 7 ( ；x ) z 7 ( 茁， ) = z 卢( 贯；a ) z ( 。；a ) = z 7 ( 茹；a ) z ，扛； ) 7( 2 1 1 ) 记 4 ( a ) = z 1 ( 1 ；a ) 牙( 1 ；a ) ，b ( a ) = = z ( 1 ；a ) z 7 + ( 1 ；a ) ， 有 z 件7 ( 1 ；a ) a ( a ) z h ( 1 ：a ) = z 脚7 ( 1 ；a ) z 7 ( 1 ；a ) z ，( 1 ；a ) z ，s ( 1 ； ) = d 。( a ) 降( 1 ；a ) z + 1 ；矧7 = d 。( ) b 7 ( a ) 由( 2i i ) 知a ( 碣对称，稃由上式知对v a 冗，d 。( ) 是实的，且若a 隹g n ( q ) h 扎 b ( a ) 对称枣于嚣( a ) 是关于a 的连续函数，所以v a r ，b ( ) 是实对称矩阵口 g f 理2 9 没a t 是d e ( a ) 的一酚零点，若口：；) o ( 或者 o ( 或者 o ) 1 ( ) 脚 zdk 啦引 k + ， 峨弧弧 k k k g 口 b _ l _ i = a 8 0鼢 d 复旦大学硕士学位论文 1 1 羲e 明；富驴( z ： ) 矿“( j ：； ) = 4 ，褂 z ( 1 ： ，) y 7 ( 1 ； + ) 一y ( 1 ；a + ) z7 7 ( 1 ， + ) = 如， 即 y 7 ( 1 ：a + ) z 。( 1 ； + ) 一z ( 1 ；a + ) y ( 1 ；a + ) = 2 ， 两边左乘z “( 1 ：k ) ，右乘y ，( ；a 。) ，得 z 8 ( i ；a ；) y7 1 ；a 。) z 7 ( 1 ： + ) y 7 ( 1 ： ，) 一z 脚( 1 ； ，) z ( i ； + ) y 7 ( 1 ；a + ) y ( 1 ；a + ) = = z “( 1 ；a + ) y ”；a j 由z “( 1 ；a j z ，( 1 ， + ) = 0 ，上式即 z 7 + ( 1 ； + ) y7 ( 1 ；k ) = z + ( 1 ；k ) y ( 1 ； ；) z 7 ( 1 ；k ) y ( 1 ；天；j 再由引理2 4 ，有 z 7 + ( 1 ；a 。) y ，( 1 ； + ) = z 7 + ( 1 ；a ；) y ；a + ) 广 = y , r ( 1 ；a + ) z ( 1 ；a + ) y 7 1 ( 1 ； + ) z 7 十7 ( 1 ；a + ) = y , r ( 1 ；a j z ( 1 ；a + ) z 7 + ( 1 ： ；) y ( 1 ：a + ) 、 出引理2 9 即得结论。口 引理2 1 1 若 。是d 。( ) 的二阶零点，则k 7 k ) 正定( 或者负定) 的充分必 要条件是d ! ( 。) o ) q 证明：由( ) 一z “( 1 ；a ) y7 ( 1 ；a k 得 k ( + ) = z ? ( 1 ；a ，) y7 ( 1 ；a + ) + z 拇( 1 ； + ) 琰( i ；a + ) 因为 + 是d 。( a ) 的二阶零点，所以 所以有 又匿 z ，( 1 ； + ) = o a ；) = 霹( 1 ；a ；) y 椎；a 。) d 口( ) 如= z ，( 1 ；a ) z ”( 1 ； ) ( 2 1 6 ) 复旦大学硕士学位论文 所以 所以 _ d ：( a + ) 1 2 2 z i ( 1 ；a + ) 露( 1 ；a + ) z l ( i ； ，) k ( ，) z 譬( 1 ；天+ ) 二z i ( 1 ； 。) z ( 1 ； ，) y ( 1 ； 。) z 譬( 1 ； 。) = ；d ：( 蹦1 a ) z 娜r * ； 根据( 2 1 6 ) 有z 7 ( 1 ：a + ) y ”； + ) = 如 所以 z ( 1 ； + ) z l ( 1 ；a + ) n ( + ) z f ( 1 ； + ) z ( 1 ；a + ) ；d 。t r ( + ) z ( 1 ；a ；) y ( ； ；) z f 9 l ；a + ) z ( 1 ； + ) 7” ；j ) ：( a + ) 烈( 1 ；a + ) z ( 1 ； + ) 由( 2 1 4 ) ，( 2 ，1 6 ) 得 z 7 ( 1 ； ，) 戤( 1 ；k ) 盯( a + ) 瓦i t ( 1 ；a + ) z ( 1 ， ；) = = 一；。：( a + ) f 1z 7 扛： + ) z ( z ；a + ) d 。， 所以可得结论 “ 口 2 。3 齐次方禳( 2 6 ) 的聪的耱种表示形式 定义；对于r 2 中的非零向量”，若它的第一个分疑是一个正数，或者当它的第 一个分纛为零时，它的第二分量凳一个正数，称”是字典顺序正商量若”的横是 l 且是字典顺序工e 向量，则称”为字典顺序单位正向量 弓l 理21 2 a + 足( 1 。l o ) 的一个擎特征蠖，则存在唯一的字典顺序单位正向量 使得( a + ) = k + 8 ，s t + ，s + 满足条件( 1 ；a + ) s + 一0 证暇：根据紧自共轭棼子的谱理论 1 n 】可以得到结论口 由以上引理有： 1 ) 若a ，是( 1 1 0 ) 的单特征值，则存在唯一的字典顺序单位正向量及非零 常数s ，且勺d ：( ，) 0 ，使得k ( b ) = n j s j 8 记畸( z ) = z ( 。；x j s ，则岣( z ) 是 ( 11 0 ) 的相应于a ，的特征函数 屯 = xz r y一z 得 蚣 ， ( 厶 旷 = 篁u天 一 矿 密 萋生! 塑圭堂焦垒塞l 烈，若1 2 是( 1 1 0 ) 的= 重特征蕴，强id q ( a f ) 协f ) 是负定的设嘲山q 2 蔻 ”，) 的两个持征值，- 钆，l ，8 f 2 是相应的彼此正交的字典顺序单位正向量，则耳，f j 1 。 槐? 一+ m 2 r f 即l q , j d o ，21 ，2 记吲) 一z ( 。批j ： ，2 ，显然 、。曼至：。i 是非如) 的二莺特征僮，没屹，擘l 吨。是如上构造的赭m 一 3 f 的特征函数t 则这两个特征函数悬正交的，即f 1 ( 咄，。( 。) ，w t 2 ( z ) ) d x ：；。i 。1 - l 口j # p ? 专掏孽，2 扛l 咄“珐挑“。) 构成( 1 1 0 ) 的委交特征函数族f 是完套的，高1 此对，( z ) 兄2 ，有 m ) 2 k 讥( 。) ， f 2 1 7 1 f 篮笪学= l 。，h 悬一重时；7 其中 ( z 卜2 骞避铲加， 碾二剿 谗、：。i _ 煮2 研o ，设g 旧x _ 以( 如k r l ，( z ) 表示方程( 26 ) 的解 1 芟h 口。( q ) ，则有 、”。 ( k 五一l o ) 魄知) = 0 ， 三。) ( z ) = ( 一a ) 管( 嚣) 似驴& ) - 7 缸) = 点吣巧f 2 占型耄兰童；芝芝! ；鬯篓璺t ；a ) 是一个驻纯的矩阵毽函数，特 芷值k 是其极 最，由留数的计算方法可得到 1 。”2 ”“ 1一j 高z ( z ；h ) ( k ) z 7 ( ；k )k 是一重时； ? e s ( g 。阮a ) ：a ) 一 f 一采弘毗炉慨槭二重时胆1 钟【一虿两z ( 。；h ) ( h ) z 7 ( # 儿)扎是二重时 疋 有 贿 即 队 复旦大学硕士学1 壹沦文 再剥翔引理2 2 司褥g 。ts 。) 鹚灏近公式： 鼬秘弘。( 堕警盟) ( 2 。) f 面说踞啦( 2 ) 又有另一种形式： 在引理2 3 中， 天一l q ) 一，g ) = g ( 嚣； ) 一7g 。江，t ；a ；，馥) 盘。 ，0 由( 2 1 9 ) ，引理2 1 2 等可得 r e s ( g ( x ；叼；b ) = 峨沏) f 一否舞z 1 ，( 峨峨( z ) ) 出w t ( 。) h 是一熏时； 兰 i 啊2 蚤2b 小嗍，如蚓s ，卜是二辩 不妨竣三。秘辑骞n e u m a n n 特经筐帮楚委戆，记楚岛透，b 在凝蠢、半释黄 蔓二2 鱼旦的圆；记曜怒只禽有a k 的小圃有： i 笔吏警娑劫一去塞是等审一出。 强 熹吏警等如一k 壹= l 2 丌l 矗“ ”p z 一 密( 2 2 0 翘 所以 即 = p ( 茹； ) 撬焘杰掣咖矾 ) = 妻k = l 攀递 汹吨搀；2 薹警= 蚤o o 瓢1 。， 蟊。；， 复旦大学硕士学位论文 与( 21 8 ) 比较可得u 女( z ) 一讥( z ) ，且有 。d ：( 九) i o 女酽= 一生； k k | | 2 = 一掣 “k , j ( 22 2 ) f 22 3 1 第三章n e u m a n n 边值条件下二维逆s t u r m l i o u v i l l e 特征 值问题 3 1 考虑其他类型的特征值条件 引理3 ，1 设0 ( z ) ，百( z ) 都是2 2 的实对称光滑的矩阵值函数，z f o ，1 凹是2 2 非奇异的实对称阵 1 ) 若 q ) = 口。( 百) ，则d q ( a ) 一d o ( ) ； 2 ) 若0 0 , n q ) = 一( 西) 1 剡e q ( ) = ( a ) ； 3 ) 若a s q ) = ( ) ，则，。( a ) = ，。 证明：只证】1 ，其余类似可证 由前面的讨论，对于q ( z ) ，百( 。) ，都有 d q ( s 2 ) = s 2 s i n 25 一s l s i n 一2 sf 1 挣q ( t ) d t + 0 0 ) d q 妒) = ，s i n 2 s s s i 4 n 2 竺f 1 打百d ( 1 ) 我们可假设( 1 】0 ) 的特征值不是0 若o 。( q ) 一一。( q ) ，记这些特征值如下： ? t t k 是特征值k 的爨数，则由整函数分解理论，有 d q ( a ) 2 n ( 1 一会) “k ( 栌( 卜砉尸 ，是常数 在( 3 1 ) ，( 3 2 ) 中取s = n ”+ 昙，有 撬端毛 所以= 吃、即 d q ( a ) = d 6 ( ) 1 6 f 3 i 1 ( 3 2 ) 口 复! 盔堂亟堂焦监壅一1 7 一一 容易让明： 引理3 2 没b 1 ：日2 ，晚是三个线性无关的2 2 非奇异实对称阵若k 和 是两个实对称矩阵且满足 1 1d e t k = d e t 詹： 2 ) d e t ( k + 口，) = d e t ( k + 马) ，= 1 ，2 ，3 ， 则 k ：露 口 引理3 3设一。( q ) = 盯。( 百) ；g d , n ( q ) = o - d , n ( q ) ：盯毋( q ) = 盯( q ) ，j = 1 、2 3 ， b l ，b 2 ，玩是三个线性无关的2 2 非奇异实对称阵，则k 日( a ) 2 ( a ) 证明：由引理31 、引理3 2 可以得到结论 口 在下面的叙述中，记 l ：一面d 2 + ，三= 一面d 2 + ； 以y ( ：r ) ，z ( z ； ) 表示势函数是q ( z ) 的方程( 16 ) ，( 17 ) 的解， y ( z ；a ) z ( z ；a ) 表示 势函数是西( z ) 的方程( 16 ) ，( 1 7 ) 的解；记 d ( a ) = d 。( a ) ，西( ) = _ d j ( a ) ， 其他类似 u 女( z ) ，毗，( z ) j ：。，2 如前定义，类似的，定义瓯( z ) ，西，( 。) 由诹( z ) ，面，( ) j 2 l ，2 构成的特征函数族是方程( 11 0 ) 的以百( z ) 代替0 ( z ) 的完备正交系 定义算子 tt ( u k ( z ) ) = 苗k ( z ) ； t ( u ，j ( z ) ) = 西c ，j ( 互) ，= 1 ，2 并将其延拓到l 2 ( o ，1 ；r 2 ) 上，由式( 2 2 2 ) ，( 22 3 ) ，有 i i u k i = 石k 忆l l u f ，e i = i i 亩。，f l ，= 1 ，2 ， 因此线性算于t = i 壬襞且拶| | 2 l 设a 一。( q ) ，( a 如一l ) “，( z ) 是( 2 6 ) 的解定义 f 一南反引 矿u 。) 0 延l ； g 嘶( ，t ； ) = l 一丽1 孙，m o 矧l 类似于( 2 2 0 ) 的讨论，有 吲叫| s 2 ( 巫等# 型) ( 3 s ) 复旦太学硬圭学位论文 1 8 引理3 4设对v a 庶，d ( ) = 西( a ) 目+ 耳( a ) = ：= = 膏( a ) ，算子t 如t 定义，则对 于v ( x ) 0 2 ( b l3 ；置2 ) ，有 r j ( a 是一三) 1 t 。，( g ) = ：g 。，j 。，；a ) ，秘穗 ，0 证明：对v ，( z ) l 2 ( h 1 ；r 2 ) ，有 l ) - l f ( 加忐砜 ) 其中 f 彘小，蜊侧。， 。，净 一霹2 2 和：出，岫“z ) 是重时； k 是二重时 霹此有 t ( a 如一矿化) 一k = l 1 吣) ， 嚣中 f 一翻知，酬，如， 该。) = l l 一条孙，和，如糖。 对于a 甓d 。( 西) = a 。( q ) ，a 毫a ，( 百) 一口。( q ) ，困为 ( m 2 三) 函 ( 。j 一( 一 ) 氓( 。) ： 所以 f a 矗一z ? f a 乏一) 一1 ，。) = 。( 嚣) ， 与( 21 7 ) 比较，有 ( a 南l ) t ( t 2 一五) 。歹= t f ， 所潋有 t ( a 如一二) 一1 ，( 。) 一( 如一三) 一1 t f a 滢一重时 a 是二重时 复旦大学硕士学位论文 1 9 又幽( 3 4 1 确 “ ( x 2 - z ) - i t , 净磊点诹妇) l 下面证明： 薹o z 瓢1 酶) = z 1 水，泓舢t o 己( 。；1 ) 2 上g 。西( 。，2 ：1 ) ，( ) 出，由于 p ( j ) = z ( z ； ) ( a ) 一d ( a ) y ( z ； ) ，芦扛； ) = 牙( z ；a ) k ( a ) d ( a ) 驴( 誓；a ) 所阻 鼬= 一高阻- ) f o z z r 掰孤p 飞删叫 = 一高陋班( ) t i z r 托糊) 虎卜沁z 。矿狮汹 “4 、 十z ( 。；a ) 7y 1 ( ； ) ，( t ) 斑， 所以 屁始( 啪) ) 划m 一高缸踯) z 1 硪蛐) m ) 斑 高孙凇z 1 巩坤冲 l 一彘孙m ) ( k ) 0 1 z r 坤皿 瓢 a 女是一重时 k 是二重时 西南讯慨s 看z 1 九埘以懒 k 是莺时 高秭s ，奈碑蕊，汜，如 一蒜西胁s m 蠊郅搬n 班 札是二重时 a 女是一重时 啊2薹2 胁强，邵m 爿7 弛) 班 碱二重时 一 ，lfitflltll，l，lt，、ll，il 复旦大学硕士学位论文 焘j 7 0 ( )d ：) ”、。k 是一重时 2 r12 霹两善，上揪删出砜叫 1 是二重时 = 仇( 口) 记g 是隧心在原点，半径为盐尝的圆；记( 理是只含有a 斡小强，( 类 似于翦面的讨论) 则 熹走警安础一娄丝絮警牛型= m 由 以及( 3 3 ) 知 所以 有 ，1 ( z ；a ) 。n g q ，i ( z ，t ；t ) f ( t ) d t ju l i r a2 磊1 东掣如一o r 。s ( ；弘) ；) a k 1 。，、 f 忑”2 ；l 理3 5 若对v a r ，d ( a ) = 西( ) ，( a ) 一露( a ) ，则 熙一志 声缸z 7 ( 哪) 一牙；妒7 慨啪= 如 证明；由( a ) 是对称的，及 p ( 芏；a ) = z ( 茁；a ) k ( a ) 一d ( a ) y ( z ； ) ，卢( z ；a ) = 季( z ；a ) k ( a ) 一d ( ) 矿； ) 声( 。；a ) z ( 。； ) 一牙( 。；a ) p 7 扛；a ) 矛( 。；a