（基础数学专业论文）非线性对流扩散问题的fdsd预测校正格式.pdf

摘要 本文对一类发展型非线性对流占优扩散方程，建立了f d s d ( 有限差分一流 线扩散法，) 预测校正格式，给出了该方法的误差估计。理论分析表明，该预测校 正f d s d 格式在r ( r ( q ”度量下具有拟最优收敛阶，而关于时间步长t 的精度 为o ( t m ) 数值计算结果表明该格式的确是求解对流扩散问题的一种有效的 有限元方法。 关键词非线性对流占优扩散，预测校正i 流线扩散法 麒 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，ap r e d i c t o r - c o r r e c t o rf d s ds c h e m ef o rt i m e d e p e n d e n t n o n l i n e a rc o n v e c t i o n d o m j n a t e dd i f f u s i o dp r o b l e mi sc o n s t r u c t e d t h e r e s u l t sf o rs o m eh u m e r i c a le x p e r i m e n t sp r o v e st h a tt h ep c f d s ds c h e m ea n d w eg i v ei t se r r o ra n a l y s i s t h et h e o r ya n a l y s i ss h o w st h a tt h ep c f d s d s c h e m e sa l s oh a sq u a s i o p t i m a lo r d e ra c c u r a c yi nl 。( l 2 ) n o r ma n dh a s 3 2 一o r d e r a c c u r a c y i nt i m ev a r i a b l e i si nd e e da ne f f i c i e n tf i n i t e e l e m e n tm e t h o df o rc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m s k e yw o r d s ： n o n l i n e a rc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o n ，p r e d i c t o r - c o r r e c t o r ， s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d 3j l#eliiillilliilllllle r f l f f l _ l 河北人学硕士学位论文 第1 章引言 流线扩散法( s t r e a m l i n e d i f f u s i o n m e t h o d ，以下简称s d 方法) ，是由h u g h e s 与b r o o k s 在1 9 8 0 年前后提出的求解对流扩散问题( 包括纯双曲问题) 的种 有效的数值方法，由于其具有良好的数值稳定性及高阶收敛率，已在计算流体 和其他工程领域，得到越来越多的应用。然而，对于发展型问题，s d 方法使用 的是时空有限元剖分，这样做，虽然可使时间和空间方向上的精度很好的协调 起来，却对高维问题工作量较大，编程较复杂。对非线性问题也不便于进行线 性化处理。为使s d 方法能较简便的应用于高维及非线性问题，孙澈提出了仅 对空间域作有限元离散，对时间域则作差分离散的差分流线扩散法( 以下简称 f d s d 方法) ，这种方法保持了s d 方法的本质特征，简化了s d 方法的算法结 构，方便了s d 方法的实际应用，对高维和非线性问题的处理，具有明显的优 越性。另一方面，由于s d 方法的p e t r o n - g a l e r k i n 框架及对时空变元的非一致 性处理，使得f d s d 方法的理论分析比s d 方法更为困难。孙澈与沈慧p l 就线性 问题给出了f d s d 的方法的理论分析，证明了f d s d 方法仍然具有比g a l e r k i n 方法更好的稳定性，且在空间方向上仍具有拟最优阶精度，随后孙澈与张强【6 l 推广了【5 】的结论，对一类非线性问题给出了f d s d 方法的误差分析，为避免在 各时间步上求解非线性离散化方程组，【6 未考虑c - n 格式而仅讨论了e u l e r 型 格式，因此在时间上的精度仅为o ( a t ) ( a t 为时间步长) 。 为提高f d s d 方法在时间方向上的精度。孙澈和张强又提出了f d s d 预测 校正格式但扩散项的系数是线性的。本文对扩散项系数是非线性的一类问题， 讨论了其f d s d 预测校正格式及其建立了该格式的误差估计，证明了在 l 。( l 2 ( q ) ) 度量下，该格式关于空间步长h 仍具有拟最优收敛阶，关于时间步长t 的精度为o ( 产) 第2 章问最及其f d s d 预测校正格式 设q 为具有逐片光滑边界的有界区域，对任意的非负整数，记 ( q ) u ：l i d 。u o = ( ，。i d 。u ( x ) 1 2 d x ) 1 。 o 。，v 1 dl s w 俨( q ) 一 u ：1 | d 。u 怯o = e s s s u pl d4 吣) i ，v i dl s j e n 考虑q 上的非线性对流扩散问题，t 为给定丁f 数， 河北大学硕士学位论文 豢+ 口( x t ，u ) v u ( a ( x t u ) _ u ) = “x t ，u ) l x ，t ) q 【o ，t 】t l j 叫 u ( x ，t ) 2 0 ，( x ，t ) aq 【0 ，t 】 ( 2 ) u ( x ，o ) = u 0 “) x 0 ( 3 ) 其中0 ( x ，t ，u ) = ( b ( x ，t ，u ) ，t 32 ( x ，t ，u ) ) ，称( 1 ) ( 3 ) 为问题( a ) 假定问题( a ) 满足下列条件( h ) ： ( h 1 )真解u ( x ，t ) 存在唯一且具有光滑性别u l 。( w 2 1 “( q ) n h ”1 q ) n h 。“q ) ) ，u l 。( w 4 ) n l 2 ( h “) ，l 2 ( h 2 ) ，u 埘l 2 ( l 2 ) 其中r 1 是给定整数， 特别的恻j h 。k l ； ( h 2 )在q o t 】【2 k l ，2 k i 】内，b ，( x ，t ，u ) ，i _ 1 ，2 本身及其所有一阶偏导数 均以k 2 为界； ( h ，)在q 【o ，t 】【2 k ，2 k 。】内，a ( x , t ，p ) 本身及其所有一阶偏导数均有界。 目 0 铲i n fa ( x ，t ，u ) a ( x ，t , u ) a i 。n x 【o 啪k i 2 k i l 4 。 ( h 。)右端项f f x , t ，u ) 关于变量t 【0 , t i和p 一2 k i 2 k t 】满足l i p s c h i t z 条 件，且对每个t 【0 ，邛有t l x , t ，0 ) l 2 ( q ) ； ( 地) a o 0 为人工扩散系数，记 q ：a i p = a i 1 1 0 ，对6 如下限制， 6 - - m i n c t ，c c 酊1h 2 ) ， c 与c c 为适当选取的正常数，其具体限制见引理1 一引理6 对格式( 4 ) ( 5 ) 的初值u 。取 u f “汕v h 其中。：h ”n w 卜nh o i v h 是l 型插值算子 称( 4 ) ( 6 ) 为格式( b ) 我们约定：恒用符号c ，c ，m ，m i ( 滓1 ，2 ， 同一符号在不同位置可取不同数值。 ( 6 ) 满足有限元插值定理的条件 ) 表示与h ，x t ，a o ，n 无关的常数 第3 章误差分析 记州炉“h u ( t ) ，g 。= u n w n ，e # u 。w n ，r i 。产n 日= l l | l - w 。，则e n 。 u n - q 。，显然有。= o ，e 。，乙h 0 ，n = 0 1 ，n 由有限元插值定理( 【7 ) 知， 对 n = o i ，n 有 i | n 。1 1 + h ll vn 。i i + h l ln 。i l 。+ h 2 i i n 。| l c 矿l i u 其中1 1 r l 。j 1 2 = i l r 1 忆2 ，记j 。：= k + ，】，参照【6 】的讨论，易知对任意的 r j t 7 n n 1 有 1 l 百。r i ，m i | + h 1 1 否，vr i 。l n | | c h ”( x t ) - 1 。i t o u a t l l r ( j 。h w ， 3 1 误差方程 在t = r “= ( n + 1 2 ) a t 处，( 1 ) 可改写为 百，u i + 眦+ b ( u n + 1 甩) v u 叶1 心v ( a u 几十忠) v + f 卮) = f ( u “+ m ) + p 。 ( 7 ) 河北大学硕士学位论文 或 a 。u i l w 2 b ( + i n ) 甲1 1 2 审( a ( 1 l - 1 + 】n ) 口l l t l + l n ) = f ( + 1 n ) + p( 8 ) 其中 p = 否。l l t l 邶娑+ 1 3 ( 矿。) vu a i o - 口( 。) vu 口 - ( v ( a ( u 川4 ) vl l t i m ) 一审( a ( u 川o ) vu 刚2 ) ) p = 百，k 盯罢 + b ( i ovl l t l o ( 矿1 。) 可u n “ 讲 一( v ( a ( u ，1 n ) vu + 1 n ) v ( 寸“vu n + ”) ) - ( f h + 1 n ) - f ( 矿“) p 怿m ( 1 l u t t l l e j 。h z ) + l l u m l le ( j 。f ，) ) a t 3 。， p 怿m ( 1 l u j i e ( j 1 l2 , hz ) + l l u m l le ( j 。一) 矿。， 记no 。i i = i l u “屯j | m1 1 u | 1 1r ( r ，a t , 在( 7 ) 两端与v + 6b ( u 1 i ) vv 作内积，然后与预测格式( 4 ) 相减 得到关于 ；。) 的误差方程 d b 口( e v ) - b “r i ，v 卜z 。( v ) vv v h ( i ) i = 1 其中符号 b 。( w ，v ) = ( 百。w ，1 一b ( u j v w n v + 61 3 ( u ) vv ) + ( a ( u j vw 。+ 1 mv v ) - ( v ( a ( u 】1 ) v w ，】0 ，6b ( u jv v ) z 。( v ) = ( ( 1 3 【u 勺b ( u 。) ) v u 口+ m v + 6b ( u 。) vv ) z t - 2 ( v ) 鼍f ( u ”) 一f f u o + p v + 6b ( u 。) 审v ) z * n 3 ( v ) = ( v ( ( a ( u n + l 。2 ) - a ( u 。) ) 可k + l n ) ，61 5 ( u 。) vv ) z “( v ) = ( ( 矿“) - a ( u 。) ) v l l t l + 他vv ) ( 8 ) 式两端与v + 5b ( u a + l 2 ) v v 作内积，然后与校正格式( 5 ) 相减，得到关 于 e 。 的误差方程 4 b “毛，v ) = b 。( t 1 ，v ) + z a v ) vv v h ( i i ) i j 其中符号 b 。( w v ) = ( 百，w l 矿t 3 ( u n ) vw p v + 6b ( u * n + l r 2 ) vv ) + ( a ( u , + i 2 ) vw ，mvv ) - ( v ( a ( u ，1 n ) v h m ) ，8 且( u n * l , r 2 ) v v ) z 。i ( v ) = ( ( p ( u 。) 一b ( t ) ) vu | 1 w ! v + 5b ( u j ! ) v v ) ；i 。 _-l_tte-tlltifflbtfte*-t|tter-erethepbrpel|e-ttil-f-irt_lmtbtie-e-t-k-e_eht_r_l-pitt e 1 e_tli一 一e_ii一_ie 1 一 一l e一 | 塑j ! 查堂塑主兰垡堡壅 z 。! 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