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点这里,看更多数学资料 2017考研已经拉开序幕,很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-相似与相似对角化知识点讲解和习题】,希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程,针对每一个科目要点进行深入的指导分析,欢迎各位考生了解咨询。模块九 相似与相似对角化经典习题一相似矩阵1、下列矩阵中,和相似的是( )(A) (B) (C) (D)2、设均为阶矩阵,可逆且AB,则下列命题中ABBA A2B2 ATBT A-1B-1正确的有( )个. (A) (B) (C) (D)二相似对角化的条件3、下列矩阵中,不能相似对角化的是( )(A) (B) (C) (D)4、已知三阶矩阵的特征值为,则下列结论中不正确的是( ) (A)矩阵是不可逆的 (B)矩阵的主对角元素之和为 (C)所对应的特征向量正交 (D)的基础解系由一个向量构成5、设阶方阵,且对,则( ) (A) (B)相似(C)合同 (D)同时可相似对角化或不可相似对角化6、设为阶方阵,满足,证明:(1);(2)矩阵可以相似对角化.7、设为三阶方阵,为三维线性无关列向量组,且有,.(1)求的全部特征值;(2)是否可对角化?8、已知三阶矩阵的特征值为,设( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)不能确定三相似对角化中与的计算9、已知是矩阵属于特征值的特征向量,是矩阵属于特征值的特征向量,那么矩阵不能是( ) (A) (B)(C) (D)10、已知,其中,求_.11、已知矩阵与相似:(1)求与;(2)求一个满足的可逆矩阵12、设矩阵.问当为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵?并求出和相应的对角矩阵.13、设矩阵,已知有三个线性无关的特征向量,是的二重特征值.试求可逆矩阵,使得为对角矩阵.14、设矩阵与相似,其中.(1)求和的值; (2)求可逆矩阵,使.四的计算15、已知、为三阶矩阵,满足,齐次方程组有非零解,(1)求的值;(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵;(3)求秩;(4)计算行列式;(5)求五对实对称矩阵性质的考查16、设阶实对称矩阵,则( )(A)个特征向量两两正交(B)个特征向量组成单位正交向量组(C)重特征值(D)重特征值17、设二阶实对称矩阵的一个特征值,属于的特征向量为,若,则_.18、设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为,求.六实对称矩阵的正交相似对角化19、设是阶矩阵,且有个相互正交的特征向量,证明是实对称矩阵20、设三阶对称矩阵A的特征值为,是A的属于特征值的特征向量,记(1)验证是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与其对应的特征向量;(2)求矩阵B七综合21、阶实对称矩阵,且满足条件.(1)求的全部特征值.(2)当为何值时,矩阵为正定矩阵,其中阶单位矩阵.参考答案一相似矩阵1、【答案】(C)【解析】:(A)中,故和不相似.(B)中,故和不相似.(D)中,的特征值为,的特征值为,故和不相似.由排除法可知:只有(C)中矩阵和可能相似.事实上,在(C)中,和的特征值均为,由于和均可相似对角化,也即和均相似于,故和相似.故选(C)2、【答案】(D)【解析】:由于,可知:存在可逆矩阵,使得.故,可知、.又由于可逆,可知,故.故正确的命题有个,选(D)二相似对角化的条件3、【答案】(D)【解析】:(A)中矩阵为实对称矩阵,可以相似对角化.(B)中矩阵有三个互不相同的特征值:,可以相似对角化.(C)中矩阵特征值为,由于该矩阵秩为,可知其二重特征值有两个线性无关的特征向量,故可以相似对角化.(D)矩阵特征值为,令该矩阵为,可知其二重特征值只有一个线性无关的特征向量,故不可以相似对角化.故选(D).4、【答案】:(C)【分析】 :注意本题是找不正确的答案.根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知A,B正确,而的非零解对应的是零特征值的特征向量.【解析】: 根据,知(A),(B)正确;而是单根,因此,即的基础解系只由一个线性无关解向量构成,可知(D)也正确.因此唯一可能不正确的选项是(C).事实上,由于没有限定为实对称矩阵,故不同特征值的特征向量不一定正交.故选(C).【评注】: 特征值的重数与矩阵的秩的关系:由于矩阵的重特征值最多只能有个线性无关的特征向量,故假设为矩阵的重特征值,则,也即.有两种情况可以确定:一是当矩阵可相似对角化时,必有;二是当为单特征值时,由于,又由于矩阵不满秩,故.本题在确定的基础解系所含向量个数时,用到了上述结论:由于是单特征值,故5、【答案】:(A)【解析】: 由知,具有相同特征值,而的特征值为, 所以 故(A)是正确的. 对于(B),(C),(D),可以通过举反例予以排除. 例如,则的特征多项式相同,但不相似,否则,矛盾,故可以排除(B).同时,由于矩阵不可相似对角化,故可排除(D). 最后,由于合同矩阵是在实对称矩阵的范围内讨论,可知(C)不正确.故唯一正确的选项是(A)6、【证明】:(1)由可得,故有.又由于.可知.(2)由于,可知矩阵的特征值必满足,也即的特征值只能为或.由于矩阵可相似对角化的充要条件是有个线性无关的特征向量,故考虑和的特征向量.由于和的特征向量分别为和的解,它们的基础解系中分别含有和个解向量.也即特征值有个线性无关的特征向量;特征值有个线性无关的特征向量.而,可知有个线性无关的特征向量.故矩阵可以相似对角化.7、【解析】: 由已知得, ,又因为线性无关,所以,.所以-1,2是的特征值.是相应的特征向量.又由线性无关,得也线性无关,所以-1是矩阵的二重特征值,即的全部特征值为-1,-1,2. 由线性无关可证明线性无关,即矩阵有三个线性无关的特征向量,所以矩阵可相似对角化. 【评注】:对于抽象的矩阵,经常利用定义与性质讨论其特征值与特征向量问题8、【答案】:(A)【解析】:因为矩阵有三个不同的特征值,所以必能相似对角化,则有 .那么 ,即.因此.故应选(A)三相似对角化中与的计算9、【答案】:(D)【解析】:若 则有 即 即 可见是矩阵属于特征值的特征向量,又因矩阵可逆,因此,线性无关. 若是属于特征值的特征向量,则仍是属于特征值的特征向量,故(A)正确. 若是属于特征值的特征向量,则仍是属于特征值的特征向量.本题中,是属于的线性无关的特征向量,故仍是的特征向量,并且线性无关,故(B)正确. 关于(C),因为均是的特征向量,所以谁在前谁在后均正确.即(C)正确. 由于是不同特征值的特征向量,因此不再是矩阵的特征向量,故(D)错误.【评注】:相似对角化中,只要有的对角元是矩阵的个特征值,的列向量是与中特征值对应的个线性无关的特征向量,所得的与就能满足等式10、【答案】:【解析】:由于知,有3个不同的特征值1,2,3.所以 ,其中. 故.【评注】:当矩阵可相似对角化时,由于在式中,对角矩阵的对角元均为的特征值,可逆矩阵的列向量为特征值对应的特征向量.因此,只要知道了矩阵所有的特征值、特征向量,就可以利用等式求出,这是考点相似对角化下的一个重要的命题思路.11、【解析】:(1)的特征值为.由与相似,则的特征值为.故.(2)分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为.令可逆矩阵,则.12、【解析】:则的特征值为.矩阵与对角矩阵相似属于特征值的线性无关的特征向量为两个.此时,属于特征值的线性无关的特征向量;属于特征值的线性无关的特征向量.令可逆矩阵,则13、【解析】:有三个线性无关的特征向量,则能对角化.又是的二重特征值,则属于有两个线性无关的特征向量,故.此时.由为的另一特征值.属于的线性无关的特征向量;属于的线性无关的特征向量.令.14、【解析】:(1)的特征值为;有特征值. 与相似,则与有相同的特征值,故.又.(2)的对应于特征值的特征向量分别为, 令可逆矩阵,则.四的计算15、【解析】,因为,所以所以有-1特征值,且其重数至少是2重,因为有非零解,所以有0特征值,且其重数至少是1重,又因为为三阶矩阵,所以-1是二重特征值,0为1重特征值,由于是对称矩阵一定可对角化,所以。因为,且,所以。五对实对称矩阵性质的考查16、【答案】:(C)【解析】: 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,但未必两两正交;个特征向量未必是单位正交向量组,故(A),(B)均不正确.由于实对称矩阵必可对角化,的属于重特征值的线性无关的特征向量必有 个,故.故本题应选(C)17、【答案】:【分析】:求出所有的特征值特征向量即可.【解析】:设矩阵的特征值为和,对应的特征向量分别为和. 因为为实对称矩阵,则存在正交矩阵,使得,其中 . 由于相似矩阵的行列式相等,所以 所以.又实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交,于是可得此方程组的基础解系为.将对应的特征向量单位化. 令矩阵, 则 18、【解析】:设对应于特征值的特征向量为,则与正交,即,其基础解系为.令可逆矩阵,则,故六实对称矩阵的正交相似对角化19、【分析】:个相互正交的特征向量必线性无关,可知可对角化,并且可用正交变换化这对角矩阵.【证明】设个相互正交的特征向量分别为,其对应的特征值分别为,将单位正交化,记为,则用为的特征向量,令,则为正交矩阵,且故有 所以有 即是实对称矩阵20、【解析】(1)因为三阶对称矩阵A的特征值为且所以B的特征值为4,-2,-2。是A属于2的特征向量,所以也是B属于4的特征向量,因为A是对称矩阵,所以B也是对称矩阵,所以对于B矩阵属于-2的特征向量与属于4的特征向量正交。对于B属于4的特征向量为,属于-2的特征向量为,其中为非零任意常数,是不全为零的任意常数。(2)通过正交化单位化找到实现对角化的正交矩阵Q,使得七综合21、【解析】: 设是矩阵

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