（基础数学专业论文）粗糙核含参marcinkiwicz积分的加权不等式及其向量值不等式.pdf

摘要 众所周知，l i t t l e w o o d - p a l e yg 函数在调和分析中是极为重要的工具与u t t t e w o o d - p a l e y g 函数相关的高维空间的m 越c i n k e 妇z 积分由e 。s 幽【1 4 】引进的。 加= ( f c 姚圳2 矿 其中 f n f ( 缸) = 玩。m 刊器屯 n l 1 ( s ”1 ) 零次齐次函数，且满足消失性条件j 0 一，q ( 矿) 曲( ! ，) = 0 近五十年 里。对m a 舢e w i c z 积分的研究已经相当深入在论文里，对于一类含参带粗糙核 的m a r c i n k i “订c z 积分： = ( o 。( 刚) ) 2 矿 其中 瑶 z ) = 石1z ，扛一划鳓) 并鲁匆， p = 口+ i r ( a ，下r ，盯 o ) ，q 厶1 ( s ”1 ) ，零次齐次函数，且满足消失性条 件0 一。n ( ! ，) 咖( ! ，) = o ，我们建立一类加权不等式应用得到的加权不等式，我们得 到了m a i i n k j e 嫡忍积分的向量值不等式我们的结果如下： 定理：设砂俨( 【o ，o o ) ) ，妒( o ) = o 且为单调增的凸函数如果对于某个q 1 ，n l q ( 8 - 1 ) ，则存在与，无关的常数c 0 ，使得 i l 熊力( 力l l p 扣) sc l i 州p ( “础5 锄( 。a 1 ，l 尹 o o ) s 为任何大于1 的正数 为与n 有关的测度，下文将给出定义而地= ( m ( f ，i ) ) “，肘兰m l a l ( 1 f i ) 1 推论：妒，q 满足定理条件，则有以下向量值不等式或立 j j ( 莩c 塌。c 办，0 1 加虬c i j ( 莩i 办i ，) v 忆c ， p 。 1 ，t h e n t h e r ee x i s t a c o n s t a n t cs u c h t h a t 瑶p ( ，) l l p c u l l p ( 地朋r i 。) p a t ，1 p ) w i t hsa x b i t r a r i l yc l o s et o1 川a r em e a s u r e sr e l a t e dt oq t h ed e f i n i t i o nw i l lb eg i v e ns u b s e q u e n f l y 帆= ( m ( i i 。) ) 讹，删引e ( m j 5 ( i f l ，) ) m c o r o l l a r y ：u n d e rt h es a m ea s s u m p t i o na si nt h ea b o v et h e o r e m w eh a v et h e f o l l o w i n gv e c t o rv a l u e di n e q u a l i t i e s ： j l ( 莩c 塌“劲，p ) “虬s c 0 ( 莩吲0 珈忆- p 。 0 ) n l 1 ( 铲- 1 ) ，零次齐次函数，且满足消失性条 件j 一- q ( 7 ) 打( ! ，) = 0 当皿( t ) = t 时，将熊柚简记为塌1 9 5 8 年，e s t e i n 1 4 证明了p b 是( p ，功型的( 1 o ) 伊 ( 笼，2 + 2 a ) 时 见( s , - i ) = q ：n 工1 ( 酽。) 1 f磐厶一，q(沁g南)1+。dal y l ( 口) 0 ，q l i p 。( s n - 1 ) ，0 口i ，p ( 1 ，o o ) 时，熊是( p ，p ) 型的 加权的情形，也有了很大进展1 9 9 0 年，t o c h i n s k y 和王【1 5 】证明了，当q l i p 。( s ”1 ) ，0 1 ，1 p 一i 鼍a p ( 牙1 ) 时，如是圮有界的2 0 0 4 年， 李，林 1 2 1 1 正明了，当n h 1 ( 铲1 ) ，u a ：( j p ) ，1 0 ，使得 l i 熊十( ，) l l p 和) c l l f i p ( m 州a 切a l ，1 p 。) s 为任何大于1 的正数 俐为与q 有关的测度，下文将给出定义j 】l 毛= ( m ( i ，j 。) ) ”， 扩j 兰( m 1 5 i ( i f l ，) ) 1 山 1 浙江大学硕士学位论文第1 章引言及结果 2 推论1 1 ：妒，n 满是t h e o r e l n l 1 条件。则有以下向量值不等式成立 0 ( 莩c 此，c 厶，) 1 加忆e l i ( 莩i 厶i ，) 1 加虬c 0 ，q 0 ，使对所有 l n 有 0 巩f l sc 一删z 了d t 鲴胪佻i - 口 f 俨7 d l 鲴蚓： 址明： 由m 定义， 锨) = 刍厶1 e 卅和蓐刚嘶) 岛 由变量替换得 眯) = z 1 厶- l e 枷和q 酢) 刍 ( 2 1 ) 由以定义容易验证 ( 2 3 ) 由消失性条件 l = i z 1 厶一。_ 1 】坼) 酢) 刍i g i 妒( t ) 引 - g r 岳“i 巩( 邢- i c l e ( 2 m ) f i 。 ( 2 2 ) 由h 6 l d e r 不等式， 卜z 1i 南陋眦。e 卅和州阳s 记 l ( ) 1 2 兰ij 一。e 一坤( 砷扣n ( z ) d ，( z ) 1 2 则 眦) 1 2 = j ：f q ( z ) 瓦西刊蛳一) 出( z ) 曲( f ) 而 l 2 s 1 时，丢( 妒( s ) ) = t l j f ，0 5 ) 生! 竽c 1 ；f ，( 2 ) ，由v a n d e r c o r p u t 引理 1e 刮唧“p 们d s c m i n ( 1 m 拉( x _ y ) j _ 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 堑兰奎兰至圭兰堡篁壅 丝! 塞圭垂! ! 堡! i 妒( ；) i - 。i r ( 一v ) l 一“( o 口 1 ) s g l 畸1 驴一熙_ 1 i 川蟛扣纠”嘶姒们 纠睁盯刮刚： p 一盟一。爵r 最后一项有齐，因为a 矿 1 故 l 文任) 1 2s g i 妒( ；t ) f r - 4 f 1 嘲1 2 譬sc a 以钏2 斑鲴妒k r 引理2 2 ：1 p ，n ，妒条件如引理2 1 ，则存在与，无关常数使 t i m l “( f ) l l p c 。) c l l , f lj p ( 肌叫“。) ，) l m 蝌( 力1 1 p c l l 州p ( 肌m r a 1 ，1 p ( 3 0 ) 证明：由定艾： i m i d ( j ) l c t s u d e r + 三t n 乜妪。l ，( 卜酬) 枷q ( 删白 当掣h5 掣+ 1 时， 去z 蚓蜓。叭。一雪( ) f q ( ，) i 匆 c 2 一可i ，扣一皿( 1 y 1 ) y ) l n ( v ) l d y 。倒4 1 7 l ! 计1 c 2 一n u 一1 l ，0 一皿( ) 可7 ) i n ) 1 西 2 一1 s l v l _ o + 2 一研i ， 一田( 1 u 1 ) u ) i n ( 口训匆 于_ 屯i m 佻，) l c s u p 触i 哪! + i ，i 记m = 1 吻l ，更j 有引理2 1 证明过程知 j 口i ( ) 一口i ( o ) isc 1 妒( 2 + 1 ) 引 j m ( ) i c 1 妒( 2 扣1 ) 引一“2 与s h o f m 蹰n 嘲中证明相仿，知结论威主 浙江大学硕士学位论文第2 章主要引理 5 j l ( 篆”1 i r - 十，r 一+ 。，巩j 2 譬) 1 7 20 。，。，c 。一一u * t 町”，l i 。以；。， 其中，e ( s ) = ：l 二2 坐， ( ) = ( ) ， 虬是一组光滑函毵 l = 1 ，a k c o o ( r ) ，o a k5 1 ，s u p p a k i k ，i k = 【l a k + 1 ，1 a t ，口i = 妒( 2 ) 证明： 记上式左端为0 毋，工2 和) 则 l l s d l l 5 c 即，= 乏厶f ”i f k + j * f k + j * f * 巩1 2 譬如 c 忑l 所删觚斤鹰 其中，( = 代彤：识筘1 呵研b ) ) j o ，使得 i l s d l i 2 z ( 即) c 2 一所i l y l l 2 , c 舻) ( 2 4 ) 下面计算加权情形： 1 1 6 f 1 1 5 1 ：) c , l i r t 卅r t 卅_ ，嘞t 1 2 出u 5 出 由s c h w a r z 不等式 l l 刚陆2 ) ”丕j ( 疵厶阮蚝m 小陬州1 2 姚 ”乏j ( 出厶i r 彬卯陬小如 鲫篆厶l r 州町1 2 l m m i 5 i ) 如 ( 2 - 5 ) 对( 2 4 ) ( 2 5 ) 使用变测度内插， 临川2 p g 2 卅。- 1 加m i 薹厶陬q 圳2 l 尬衅怕) 如 由加权型u m e w 0 0 d p a l e ) r 不等式得 旧圳2 ) l 2 忆刚| 2 ，川月： 又m 。肘) a 1ca ，命是得证 堑兰奎兰堡圭兰竺篁窒苎! 塞圭量! ! 矍! 引理2 4 ： 1 g ( 3 0 ，q ，妒条件如前，u a 1 ，则存在常数c 使下式成立 l i ( 薹f “1i 巩，鲰尸字) u 2 印gj | ( 乏鲰r ) 1 肛| | 朋。m 肿 证明：先证1 q 2 e 畸情形变量替执使得引理2 4 左端 g 眨21 0 2 1 1 * g k l 2 d t ) “2 忆 由引理2 2 。 s u p 矧s u 。p 习l a 2 k , * g k 忆s ”k 盟圳l c s u 臼pi 扎眦蝴 0 2i e r 2 s t * g k i 出忆，薹厶j ( 2 陆小u 出出f | 乏训忆胁脚。， 对上速二式进行向量插值，可得1 口 2 时，选取“，1 1 t 1 1 l “1 1 ) ，) = 1 ，使得引 _ 理2 4 左端的平方 s c 乏厶j ( 2 b t t 砰附以如c 薹厶z 2 b 小圳2 w 抛c 注意到0 j k l i c ，上式第二个不等式由s c l l w a r z 不等式得到所以，引理2 4 左端的平方 够乏厶z 流1 2 陋。h 卜础如 ( 2 6 ) 钾兰q 2 + e 由h 6 l d e r 不等丸 i 啦乜l 怏1 2 训( i 面t l o - ，2 r l q ) ”( 1 而# i 1 7 ( v 2 ) ) ( 2 7 ) 上式右端第一项被( 删5 1 w ) 2 1 q 控制，其中，5 = 2 r q 将 2 7 ) 带入( 2 6 ) ，应用h 6 l d e r 不等 式，其中指数分别为口2 及( q 2 ) 于是，引理2 4 t 剖g c l i ( 乏；i ，t 1 2 ) v 2i | ：。m 。扩。，( c 一司矿u ，c 2 ，7 ，g 2 ) 一) 耶抽7 2 7 又， ( q 2 ) ，m i 司在p ( 1 o ) 在引理2 3 中， i j 毋川i 胪_ c 2 - 口：( , ) u i l l f l i 口( 儿 扩( e ( s ) = 三二竽) ( 3 1 ) 又在定理条件下， ”毋，“p c 。，= l l ( 薹“1 i r t 州，r t 钾+ ，m 1 2 譬) v 2 l | p ” 出一0 毋 2 ， 卯 脚 扛 马 l r 一一肛去 = 他 勘 醍 浙江大学硕士学位论文第3 章定理及推论的证明8 c ( 乏l r t 卅+ n 卅+ ，1 2 ) v 2 ij p 。肌硝i 山 c l f f l l p ( m m i i m ( 3 2 ) 第一个不等式由引理2 4 得到，第二个不等式由加权l i t t l e w o o d - p a l e y 等式得 到( 见5 h o f m a n n l 8 ) ，因为尬肘护l a 1ca p 对( 3 1 ) ( 3 2 ) 插值得 推论1 1 的 il s j f ( z ) l i p “) c 2 1 圳i l f l l p 肿l 。) ( 7 o ) 证明： 1 ps 口 o o 时，由s h o h t m n n 8 】，知结论成立 一 参考文献 【1 】1 a b e n e d e k , a c a l d e r 6 n , a n dr p a n z o n e c o n v o l u t i o no p e r a t o r so f tb a n a c hs p a c ev a l u e d f u n c t i o n s p r o c e e d i n g so ft h en a t i o n a la c a d e m yo fs c i e n c e so ft h eu n i t e ds t a t e so f a m e r i c a4 8 ( 1 9 6 2 ) ，3 5 6 3 6 5 【2 】j c h e n , d f a n , a n dyp a n , an o t eo na m a r c i n k i m a r i c zi n t e g r a lo p e r a t o r m a t h e m a t i s - c h en a c h r i c h t e n2 2 7 ( 2 0 0 1 ) ，n o 1 ，3 3 4 2 【3 1yd i n g ，d f a n , a n dy p a n w e i g h t e db o u n d e d n e e s f o rac l a s so f r o u g hm a r c i n k i e w i c z i n t e g r a l s i n d i a n au n i v e r s i t ym a & e m a f i ai o u m a l4 8 ( 1 9 9 9 ) ， t o 3 ，1 0 3 7 1 0 5 5 【4 lyd i n g , d f a n , a n dyp a n i p b o u n d e d n e s so m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l sw i t hh a r d y 弘卯丘n c t i o nk e r n e l a c t am a t hs i n i c a l ( e n g l i s hs e r i e s ) 4 8 ( 2 0 0 0 ) ，n o 4 ，5 9 3 6 0 0 圈i d u o a n d i k o e t x e a w e i g h t e d 玎删i n e q 堋l i t i e s o rh o m o g e n e o u ss i n g u l a ri n t e g r a l s t r a n s a c t i o n so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y3 3 6 ( 1 9 9 3 ) ，n o 2 ，8 6 9 8 8 0 【6 】j d u o a n d i k o e t x e a a n dj l r u b i o d e f r a n c i a m a x i m a l a n d s i n g u l a r i n t e g r a l o p e r a t o r s v i af o u r i e rt r a n s f o r me s t i m a t e s i n v e n t i o n e sm a t h e m a t i c a e8 4 ( 1 9 8 6 ) , n o 3 ，5 4 1 5 6 1 【7 】j g a r c i a - c u e r v aa n dj l r u b i od ef r a n c i a w e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t i e sa n dr e l a t e d t o p i c s n o r t h - h o l l a n dm a t h e m a t i c ss t u d i e s , v o l1 1 6 , n o r t h - h o l l a n d ，a m s t e r d a m ， 1 9 8 5 【8 1s h o f m a n 几w e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t i e sa n d 口g c t o rv a l u e di n e q 御l i t i e s o rc e r t a i nr o u g h o p e r a t o r s i n d i a n aj o u r m a t b , 4 2 ( 1 9 9 3 ) ，1 - 1 4 【9 】9l h o r m a n d e r e s t i m a t e s 加t r a n s l a t i o ni n v a r i a n to p e r a t o r si n 扩s p a c e s a c t am a t h e - m a f i c a1 0 4 ( 1 9 6 0 ) ，9 3 1 4 0 【l o ld s k u r t z l i t t l e w o o d - p a l e ya n dm u l 印l i e rt h e o r e m so nw e i g h t e d 护s p a c e s t r a n s a c - i i o n so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o d e t y2 5 9 ( 1 9 8 0 ) ，n o 1 ，2 3 5 2 5 4 【1 2 1m - y l e ea n dc - c l i 几w e i g h t e dp b o u n d e d n e s so f m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l i n t e g r a l e q u a t i o n s a n d o p e r a t o rt h e o r y4 9 ( 2 0 0 4 ) ，n o 2 ，2 1 1 2 2 0 【1 2 】m s a k a m o t oa n d k y a b u t a b o u n d e d n e s so j ? m a r c i n k i e w i c z u n e t 加s t u d i am a t h e - m a f i c a1 3 5 ( 1 9 9 9 ) ，n o 2