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用Matlab解决静电场中的问题 【摘要】：Matlab是一种用于算法开发，数据可视化，数值分析及数值图形生成的高级工具语言,它主要被应用于信号和图像处理,通讯,控制系统设计，测试和测量等广泛领域。在本文中，我用Matlab的功能使静电场里的某些模型（电场强度电势、电场线、等势线、等势面)可视化，方便了我们对有关静电场的知识的学习，提高了我们对知识的理解和运用能力，本文主要是从图像处理功能方面介绍了Matlab语言在静电场一些问题中的应用。【关键字】：Mtalab 电场强度 电势 电场线 等势线 等势面 一、引言Matlab是美国Mathworks公司开发1984年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，其应用范围涵盖了当今几乎所有的工业应用与科学研究领域,，集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体。.此外，Matlab更强大的功能还表现在其有大量的工具箱(Toolbox)，如：控制系统、数值模拟、信号处理及偏微分方程等工具箱。因此，Matlab已成为美国和其它发达国家大学教育和科学研究中必不可少的工具。静电场中的电场线，等势线，等势面等图形是一种抽象的模型，在现实世界不具可视化的空间场的物体。所以，形象的模拟出以上问题的图形，对于更进一步学习与研究电场知识有很大的意义。静电场的问题学习与理解起来具有一定的特殊性：它既有理论数值的计算，又有图形图像的辅助处理与理解。例如：形象的模拟出电场线，等势线，等势面，这能在教学中解决教师的授课难题，又能解决学生的理解上的困难。近年来，一直有人在不断的探索这方面的问题，并且取得一定的成绩。但还存在一定的缺陷，而Matlab恰好解决了这些问题！这使得这些抽象问题能有一门精确的工具软件来处理完成。这正是Matlab在图像方面问题处理的应用。二、Matlab在静电场中的应用问题一：等量同号点电荷的电场线的绘制根据库仑定律：在真空中，两个静止的点电荷之间的作用力与这两个电荷的电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的连线上，两电荷同号维斥力，异号为吸力，他们之间的力F满足： （1） 由电场强度E的定义可知： （2）对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场E的势函数为： （3） （4）在matlab中，由以上公式算出各点的电势U，电场强度E后，可以用matlab自带的库函数绘出一对点电荷的电场线和等势线，其matlab程序如下：clearq=0.5;xm=2.5;ym=2;x=linspace(-xm,xm); %横坐标向量y=linspace(-ym,ym); %纵坐标向量X,Y=meshgrid(x,y);%产生自变量网络坐标R1=sqrt(X+1).2+Y.2); %第一个正电荷到场点的距离R2=sqrt(X-1).2+Y.2); %第二个正电荷到场点的距离U=1./R1+q./R2; %计算电势u=1:0.5:4; %等势线的电场向量figurecontour(X,Y,U,u) %画等势线grid on %有网格hold on %设置图形保持状态plot(-xm;xm,0;0) %画水平线plot(0;0,-ym;ym) %画竖直线plot(-1,0,o,MarkerSize,12) plot(1,0,o,MarkerSize,12) Ex,Ey=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1); %用等势梯度求场强的两个分量dth1=20;th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; %电场线的起始角度r0=0.1;x1=r0*cos(th1)-1; %电场线的起点横坐标y1=r0*sin(th1); %电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1) %画左上电场线streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1,-y1)%画左下电场线dth2=dth1/q;%右边电场线角度间隔th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180;x2=r0*cos(th2)+1; %电场线的起点横坐标y2=r0*sin(th2); %电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2) %画右下电场线streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2) %画右下电场线axis equal tight %纵横坐标轴采用等长刻度xlabel(x,fontsize,16) %X轴说明ylabel(y,fontsize,16) %Y轴说明图1 同号点电荷的电场线和电势线 小结1：由图1可以清楚的看出同号电荷相互排斥的现象，各电荷的等势线呈圈状围在电荷周围，且越靠近电荷电场线分布越密集。问题二：等量异种电荷的电势，电场的分布1. 物理理论：平面上在x=2, y=0处有一正电荷，x=-2, y=0处有一负电荷根据： （5） 其中r= （6）为两点间的距离。2matlab程序： （1）电势的分布x,y=meshgrid(-5:0.2:5,-4:0.2:4); %建立数据网格z=1./sqrt(x-2).2+y.2+0.01)-1./sqrt(x+2).2+y.2+0.01);%电势的表达式mesh(x,y,z) %三维曲面绘图运行结果如图2所示： 图2 电势的分布 小结2：由图2可以看出，在不同位置的两正负电荷由于所带电性的不同电势分布也大不相同，也可以说是在某些角度看来是完全相反的。（2）电场的分布x,y =meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2); %以0.1为步长建立平面数据网格.x,y的取值范围都是-2,2z= 1./sqrt(x-1).2+y.2+0.01)-1./sqrt(x+1).2+y.2+0.01); %电势公式px,py=gradient(z); %求电势在x,y方向的梯度即电场强度contour(x,y,z,-12,-8,-5,-3,-1,-0.5,-0.1,0.1,0.5,1,3,5,8,12) %画出等势线hold on %保留上一次作图痕迹quiver(x,y,px,py, k) %画出各点上电场的大小和方向,k为图形参数控制%quiver是绘制点x,y处的矢量px,py,即画出各点电场的大小和方向运行结果如图3所示： 图3 电场线分布 小结3：由图3可以直观的观察到两电荷电场线的分布，在离场源电荷越远的地方电场线分布越疏，这也代表着电场强度的减弱。问题三：线电荷的电势分布1物理理论：长为l的线电荷,电荷线密度为dg=(x)dx,求其电势分布。电场中任意一点的电势为 （7） 令 2Matlab程序：X,Y=meshgrid(-1.5:1/(4*pi):1.5); % 构造三维图形用X，Y阵列n=2001; %给n赋值dx=2/(n-1); %建立微分元x=-1:dx:1; %定义以dx为步长的矩阵Z=zeros(size(X); %产生零矩阵，查询矩阵维数for i=1:n-1 lpi=x(i)2+1; Z=Z+lpi./sqrt(x(i)-X).2+Y.2); %电势公式endZ=Z*dx;l=linspace(min(min(Z),max(max(Z),10); %构造线性分布向量求向量中最大元素和最小元素surf(X,Y,Z); %画等高线运行结果如图4所示。图4 线电荷的电势分布图 小结4：由图4可以看到长为l电荷线密度为dg=(x)dx的线电荷的电势分布情况，同理借助这样的Matlab程序我们也可以直观的看到其他更多的电荷的电势分布图。问题四：点电荷系问题1物理理论：真空中的一点电荷系,如果电场是由n个点电荷所激发,某点P的电势分布：由场强叠加原理可知: (8)式中是P点电荷的距离在空间直角坐标系下,设P点坐标为(x y z), 所在位置的坐标为(,)则在点P(X, Y, Z)处的电势为: (9)2Matlab程序：clearv=1./(x-3).2+y.2).0.5+1./(x+3).2+y.2).0.5; %读取电势计算式xmax=10;ymax=10;ngrid=30;xplot=linspace(-xmax,xmax,ngrid); %绘图区域、网格线设定x,y=meshgrid(xplot); %生成二维网格vplot=eval(v); %执行输入的电势计算方程explot,eyplot=gradient(-vplot); %计算电场强度clf;subplot(1,2,1),meshc(vplot); %画含等势线的三维曲面xlabel(x);ylabel(y);zlabel(U); %定义各个坐标轴上的变量subplot(1,2,2),axis(-xmax xmax -ymax ymax) %坐标轴标度设定cs=contour(x,y,vplot); %画等势线clabel(cs);hold on; %在等势线上编号quiver(x,y,explot,eyplot) %用箭头描述矢量场xlabel(x); %加x轴说明ylabel(y); %加y轴说明hold off %关闭图形保持运行结果如图5所示。图5 两等量同种电荷电势分布和矢量场 小结5：由图5可以观察到真空中由一点电荷系n个点电荷所激发的 电场中的某一点P处的电势。 三、结论问题1：由图1可以清楚的看出同号电荷相互排斥的现象，各电荷的等势线呈圈状围在电荷周围，且越靠近电荷电场线分布越密集。问题2：由图2可以看出，在不同位置的两正负电荷由于所带电性的不同电势分布也大不相同，也可以说是在某些角度看来是完全相反的。问题3：由图3可以直观的观察到两电荷电场线的分布，在离场源电荷越远的地方电场线分布越疏，这也代表着电场强度的减弱。问题4：由图4可以看到长为l电荷线密度为dg=(x)dx的线电荷的电势分布情况，同理借助这样的Matlab程序我们也可以直观的看到其他更多的电荷的电势分布图。 问题5：由图5可以观察到真空中由一点电荷系n个点电荷所激发的 电场中的某一点P处的电势。从全文可以了解Matlab是一种有着强大的图像绘制功能的可视化软件。是一个为科学，教育，和工程数值计算等多方面设计的高级语言。它的特点是程序设计过程简单，这使我们将我们将主要的，最难的工作还是放在工程问题上，这正是体现了它的优越性。图像处理仅仅是Matlab功能一个方面的体现，他还有更强大的功能值得我们去学习与应用。通过Matlab在静电场中的实际运用，可以看出利用Matlab解决静电场问题有以下优点：(1) 介入Matlab，使得静电场中抽象的问题清晰与明朗化。这在教学与研究当中是问题变得简单。相比以往，学生更能形象的理解静电场这方面的知识，将这一方法与工具应用到中学教学中可以更好的帮助学生学好电学知识。(2) 通过这一问题的处理。由当初的学习电场到现在更深一步的探讨，使得我对电场方面的知识有了更进一步的学习与理解。Matlab还有很多方面的应用，我们要继续深入的学习Matlab